Một số phương pháp toán học hỗ trợ sinh viên đại học ngoại thương tiếp cận và giải quyết bài toán kinh tế

B ộ GIÁO DỤC V À Đ À O TẠO
T R Ư Ờ N G Đ Ạ I H Ọ C NGOẠI T H Ư Ơ N G
oOo

ĐÊ TÀI NGHIÊN cứu KHOA HỌC CẤP TRƯỜNG

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TOÁN HỌC HỒ TRỢ
•

•

•

SINH VIÊN ĐẠI HỌC NGOẠI THƯƠNG TIẾP CẬN
•

•

•

VÀ GIẢI QUYẾT BÀI TỐN KINH TẾ

•

MÃ SỐ: NT2007-05

Chủ nhiệm đề tài: ThS. Vương Thị Thảo Bình
Các thành viên tham gia:

ThS. Nguyễn Thị Toàn _ Trường đại học Ngoại thương
Ths. Tống Lan Anh

- nt-

CN. Trần Đức Thịnh

- nt-

ThS. Lê Thanh Nguyệt

- nt-

(TH ư

z

ỳ í Ẻn]

— i
í ị>T.fol£
H À N Ộ I - 2008

I

IG03

ì

2


LỜI NĨI Đ Ầ U

6

1. Tính cấp thiết của đề tài

6

2. Tình hình nghiên cứu trong và ngồi nước

6

3. Mục tiêu nghiên cứu

7

4. Phạm vi nghiên cứu

7

5. Phương pháp nghiên cứu

7

6. Kết cấu của đề tài

8

CHƯƠNG Ì
M Ộ T SỊ Ứ N G DỤNG T O Á N CAO C Á P TRONG VIỆC GIẢI Q U Y Ế T BÀI
T O Á N KINH T É

9

1.1. Phương pháp ứng dụng toán cao cấp giải quyết một số bài toán kinh tế ..9
1.1.1. Mơ hình cân bang thị trường

9

1.1.2. Mó hình cân bằng kinh tế vĩ mơ

li

1.1.3. Đạo hàm và giá trị cận biên trong kinh tế

12

1.1.4. Đạo hàm cấp hai và quy luật lợi ích cận biên giảm dần

13

1.1.5. Tính hệ số co dãn của cung và cầu theo giá

13

1.1.6. Một sổ bài tốn cực trị trong kinh tế....Ì,

14

1.1.7. Mơ hình phương trình sai phân trong kinh tế học

16

1.2. Toán cao cấp kết h
p phèn mềm Maple trong giảng dạy và nghiên cứu.. 19
1.2.1. ớng dụng Maple trong toán cao cấp ì

19

1.2.2. ớng dụng Maple trong hoạt động dạy và học Toán cao cấp li.

27

1.2.3. ớng dụng của Maple trong giảng dạy

34

1.2.4. Dùng phần mềm Maple giải quyết một số bài tốn kỉnh tế

37

1.3. Một ớng dụng của tính giả đơn điệu trong nghiên cớu kinh tế

41

1.3.1. Giới thiệu

41

1.3.2. Một số tính chất của hàm giả đơn điệu

41

1.3.3. Tính giả đơn điệu trong mơ hình kinh tế

42

1.3.4. Quy luật cân bằng cung cầu

43
3


1.3.5. Mơ hình hỏa quy luật bằng nghiệm của bất đẳng thức biến phân

4

1.3.6. Sử dụng hàm giả đơn điệu để đảnh giá quy luật

45

1.3.7. Quan hệ giữa tỉnh giả đơn điệu và tiên đề yếu của Wald

46

CHƯƠNG2
M Ộ T SỐ P H Ư Ơ N G P H Á P Ứ N G DỤNG C Ủ A KINH T É L Ư Ợ N G TRONG

VIỆC GIẢI QUYẾT C Á C BÀI T O Á N KINH T É

47

2.1. Phương pháp xây dựng m ơ hình kinh tế lượng

48

2.1.1. Tổng quan về phương pháp

48

2.1.2. Phương pháp đề xuất mô hình kinh tế lượng và ưộc lượng mơ hình

48

2.1.3. Các kiểm định cơ bản đối vội mơ hình kinh tế lượng.

49

2.1.3. ỉ. Các giả thuyết cơ bản của phương pháp OLS

49

2.1.3.2. Phương pháp kiểm định một sổ giả thiết cơ bản

51

2.1.4. Một so tiêu chuẩn lựa chọn các biến giải thích trong mơ hình hồi qu
tuyến tính

59

a) Nội dung tiêu chuẩn

60

b) Áp dụng tiêu chuẩn Theil để lựa chọn mô hình

63

2.2. Xây dựng m ơ hình kinh tế lượng dựa trên lý thuyết kinh tế

65

2.2. ỉ. Giội thiệu về đường Phillips

66

2.2.2. Ưộc lượng mỏ hình đường Phillips nghiên cứu tình trạng lạm phát Việ
Nam

.'

66

2.2.3. Dùng mơ hình định lượng sự tác động của giả dầu thế giội đến lạm phát
Việt Nam giai đoạn 1997-2007
2.3.Phương pháp sử dụng m ơ hình dự báo ARIMA

68
69

2.3.1. Giội thiệu phương pháp sử dụng mô hình

70

2.3. Ị. Ì Định nghĩa chuỗi thời gian dừng

70

2.3.1.2 Kiểm định tính dừng của chuỗi thời gian

70

2.3.1.3. Mơ hình AR, MA, ARIMA đối vội chuỗi thời gian

71

2.3.1.4. Phương pháp Box-JenKins (BJ)

72

2.3.2. ứng dụng phương pháp Box-JenKins đối vội một giai đoạn của VN-index. 7
2.3.3. Áp dụng mó hình ARIMA để dự báo lạm phát

79

4

CHƯƠNG3
Ứ N G DỤNG C Ủ A TÍCH P H Â N NGẪU NHIÊN

82

3.1. Một số vấn đề cơ bản về tích phân ngẫu nhiên

82

3.1.1. Một sổ khải niệm liên quan tới q trình ngẫu nhiên

82

3.1.2. Tích phân ngẫu nhiên hơ

83

3.1.3. Định nghĩa tích phân hơ

84

3.1.4. Cơng thức hơ dạng đơn giản

86

3.1.5. Phương trình vi phân ngẫu nhiên

87

3.2. Một số ứng dụng của tích phân ngẫu nhiên

90

3.2.1. Mơ hình tăng dân sổ đơn giản

90

3.2.2. Mơ hình thời điểm dừng tối ưu

91

3.2.3. Mơ hình Black-Scholes

91

3.2:4. Mơ hình phân tích diễn biến giả

92

3.3. Một số kết quả ứng dụng
K Ế T LUẬN.

95
99

TÀI LIỆU THAM KHẢO

100

PHỤ L Ụ C

102

5


LỜI NĨI ĐẦU
1. Tính cấp thiết của đề tài
Bộ mơn tốn đã có nhiều đề tài nghiên cứu ứng dụng tốn trong nghiên
cứu kinh tế, nhưng chưa có đề tài nào nghiên cứu về kết họp toán cao cấp và
phần mềm toán học để giúp cho việc dạy và học tốn cao cấp thú vị hơn, chưa có
đề tài nào nêu lên ứng dụng của giải tích ngẫu nhiên trong kinh tế, và trình bày
cụ thể phương pháp ứng dụng kinh tế lượng vào giải quyết các bài toán kinh tế.
Tâm lý sinh viên khi học toán, đậc biệt là tốn cao cấp thường cảm thấy khơng
có ứng dụng gì trong thực tể nên học toán thiếu hứng thú dẫn đến giảm chất
lượng học tập. Với tình hình như vậy, đề tài là tài liệu cần thiết cho sinh viên
khối kinh tế nói chung và đậc biệt sinh viên của trường đại học Ngoại thương.
Ngoài ra, đề tài cũng là tài liệu bổ ích cho các giáo viên và các nhà nghiên cứu
tham khảo.
2. Tình hình nghiên cứu trong và ngồi nước
Có rất nhiều nghiên cứu trong và ngồi nước về phương pháp toán học để
tiếp cận và giải quyết bài toán kinh tế. Hầu hết các nghiên cứu đề cập đến các
vấn đề toán học chuyên sâu nên sinh viên không cảm nhận thấy được ứng dụng
trực tiếp những nội dung được giảng dạy ở trường. N ộ i dung đề tài chủ yếu đề
cập đến một số phương pháp ứng dụng tốn cao cấp, giải tích ngẫu nhiên và kinh
tế lượng ở mức độ phù họp cho các sinh viên nghiên cứu. Các trường đại học
thuộc khối kinh tể cũng có nhiều nghiên cứu nhưng chủ yếu là ứng dụng kinh tế
lượng. Điểm qua một vài nghiên cứu liên quan đến đề tài như sau:
Trong trường:

- Vương Thị Thảo Bình, "Pseudomonotone Functions and an Application in the
Theory of General Economic Equilibrium", Báo cáo Hội nghị quốc tế: Các nền
kinh tế nhỏ và mở trong thế giới toàn cầu hóa (Small Open Economies in a
Globalized World) tại Đại học tổng hợp Bologna, Italy, 2006.
- Vương Thị Thảo Bình, "Về tính giả đơn điệu và một hướng tiếp cận trong m ơ
hình kinh tế cạnh tranh hồn hảo", Tạp chí Kinh tế đối ngoại, số l o , năm 2005.
- Vương Thị Thảo Bình, "ứng dụng phần mềm tốn học Maple trong giảng dạy
Toán cao cấp và một số bài toán kinh tế", Báo cáo Hội nghị khoa học Khoa Cơ
bản, Đại học Ngoại thương, 2005.

6


- Nguyễn Thị Tồn, Sử dụng một số cơng thức tính tốn hữu hạn cho nguồn vốn
dùng cho việc lựa chọn đầu tư, Báo cáo Hội nghị khoa học Khoa Cơ bản, Đ ạ i học
Ngoại thương, 2005.
Ngoài trường
- Phan Đức Châu, Sử dụng phẩn mềm Maple trong việc giảng dạy Tốn cao
cấp, Kấ yếu Hội thảo Khoa học tồn quốc về phát triển công cụ tin học trợ giúp
cho giảng dạy, nghiên cứu và ứng dụng toán học, 2005, tr. 54-57.
- Phạm Huy Điên, Sử dụng máy tính trong giảng dạy và đánh giá chất lượng học
tập, Kấ yểu Hội thảo Khoa học tồn quốc về phát triển cơng cụ tin học trợ giúp
cho giảng dạy, nghiên cứu và ứng dụng tốn học, 2005, tr. 83-113.
- Hồng Đình Tuấn, Quá trình ngẫu nhiên phục hồi trung bình và ứng dụng
trong phán tích động thái giá cả, Tạp chí Kinh tế và phát triển, 10-2006, tr. 3437.
Ngoài nước
- H. Bessembinder, J. Coughenour, p. J Seguin, and M. M. Smoller, Mean

reversion in equilibrium asseí price, evidence /rom the /uture term struc
Journal of Finance, 50, 1995, pp. 373-374.

- E. s. Schwartz, The stochastic behavior of commodìty prices: Implication for
Vaỉuation andHedging, Journal of Finance, 52, 1997, pp.923-973.
- Y. Wu, Mean Reversion in Equiỉibrium Real Exchange Rates, International
Economic Journal, 1996, pp. 85-104.
- w. Hildenbrand and M. Jerison, The demand theory of the weak axioms of
revealedpreference, Economics Letters, 1989, p. 209-213.
- D. L. Zhu, The demand /unctions thát satisỷ
the weak axìom of revealed
preference andgeneralized monotonicity, Economics Letters, 2001, p. 369-374.
3. Mục tiêu nghiên cửu
- Giới thiệu phần mềm toán học Maple kết hợp một số nội dung cơ bản của toán
cao cấp để áp dụng giải quyết bài toán kinh tế.
- Giới thiệu cách sử dụng cơ bản phần mềm kinh tế lượng thông dụng và ứng
dụng để phân tích và dự báo một số chuỗi giá.
- Nghiên cửu một số ứng dụng của giải tích ngẫu nhiên.
4. Phạm v i nghiên cứu
Đề tài tập trung nghiên cứu trên phạm vi ứng dụng chương trình tốn đã được
giảng ở đại học .
5. Phương pháp nghiên cứu
7


Các phương pháp được sử dụng trong nghiên cứu bao gồm:
* Phương pháp nghiên cứu tài liệu, phương pháp khảo sát thực tiễn, phương pháp
thống kê, phương pháp mô tả - khái quát, phương pháp diễn giải - quy nạp,
phương pháp phân tích tổng hợp, phương pháp đối chiếu - so sảnh.
* Mơ hình lượng hóa được sử dụng trong đề tài.
6. Kết cấu của đề tài
Ngồi lời nói đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, đề tài được kết cấu gồm

03 chng:
Chương ì: Một số ứng dụng tốn cao cấp trong việc giải quyết bài toán kinh tế.
Chương li: Một sổ phương pháp ứng dụng của kinh tế lượng trong việc giải
quyết các bài toán kinh tế.
Chương lũi ứ n g dụng của giải tích ngẫu nhiên.

8


CHƯƠNG Ì
MỘT SỊ ỨNG DỤNG TỐN CAO CÁP TRONG VIỆC GIẢI
QUYẾT BÀI TỐN KINH TẾ
Tốn cao cấp là mịn khoa học tự nhiên nên việc dạy và học toán ở mỗi
trường đại học có những đặc thù riêng. Sinh viên ờ trường đại học Ngoại thương
nóiriêngvà các trường trong khối kinh tế nói chung học tốn với mong muốn
nắm bắt được những ứng dụng cảa toán học vào lĩnh vực kinh tế để vận dụng và
giải quyết các bài toán kinh tế. Sinh viên khối kinh tế cần toán cao cấp như một
công cụ làm việc chứ không phải để đi sâu nghiên cứu do đó giảng dạy tốn cao
cấp cho các trường đại học thuộc khối kinh tế cần chú ý đến ứng dụng nhiều
hơn. Trong mục này, chúng tơi giới thiệu một số bài tốn ứng dụng tốn cao cấp
trong kinh tế. Ngồi ra, chúng tơi giới thiệu cách sử dụng phần mềm toán học
Maple hỗ trợ sinh viên khối kinh tế học và giải quyết một số bài toán kinh tế, hỗ
trợ giáo viên giúp cho việc giảng dạy toán cao cấp thú vị hơn.
LI. Phương pháp ứng dụng toán cao cấp giải quyết một số bài tốn kình tế

Có rất nhiều nghiên cứu cho chúng ta thấy ứng dụng cảa toán cao cấp trong
nghiên cứu kinh tế như sử dụng một số cơng thức tính tốn hữu hạn cho nguồn
vốn dùng cho việc lựa chọn đầu tư , phân tích tối ưu trong m ơ hình kinh tể -dân
1

số cảa Solow , trong nghiên cứu lý thuyết cân bằng, nghiên cứu động thái cảa thị
2

trường... Trong mục này khơng thể trình bày hết được các ứng dụng toán cao cấp
để giải quyết các bài toán kinh tế do vậy chúng tôi giới thiệu một số m ơ hình có
ứng dụng trực tiếp tốn cao cấp nhằm cung cấp cho sinh viên một số cách nhìn
hiệu quả ứng dụng mơn học, trong đó mục Ì. Ì .7 đã giới thiệu một áp dụng thực
tế cảa phương trình sai phân.
1.1.1. M ơ hình cân bằng thị trường
a) Thị trường một loại hàng hoa
Khi phân tích hoạt động cảa thị trường hàng hoa, các nhà kinh tế học sử
dụng hàm cung và hàm cầu để biểu đạt sự phụ thuộc cảa lượng cung và lượng
cầu vào giá hàng hoa (với già thiết các yếu tố khác không thay đổi). Dạng tuyến
tính cảa hàm cung và hàm cầu như sau:

' Xem Nguyễn Thị Tồn, Sừ dụng một số cơng thức tính tốn hữu hạn cho nguồn vốn dùng cho việc lựa chọn đầu
tư, Kỳ yếu H ộ i nghị khoa học khoa C ơ bản, 2005.
Ngô Văn Thứ, M ộ t phân tích dựa trên m ơ hình kinh tế - dãn số cùa Solow, Tạp chí K i n h tế và phát triển số 37
2000.
2

9


H à m cung:

Q = - a + a,p

H à m cầu :

Q = bo - bi p

s

0

d

Trong đó Q là lượng cung, tức là lượng hàng hoa m à người bán bằng lòng bán;
s

Q

đ

là lượng cầu, tức là lượng hàng hoa m à người mua bằng lòng mua; p là giá

hàng hoa; ao, a bo, bi là các hằng số dương.
h

M ơ hình cân bằng thị trường cỏ dạng:
Q s = - a

+

a

0

Q =-a +a,p

i P

s

- Q = - b + b,p
d

o

0

0

Q = - b + b,p
d

0

- a + a p = - b + b,p

.Q. = Q d

0

1

0

Giải phương trình này ta tìm được:

aọ+ o
b

Giá cân bằng:

3,+b,

a|b -a b|
0

Lượng cân bằng:

Qs = Q đ

0

a,+b,

b) Thị trường nhiều hàng hoa
Trong thị trường nhiều hàng hoa liên quan giá của hàng hoa này có thể ảnh
hưởng đến lượng cung và lượng cầu của các hàng hoa khác. Đ ể xét m ơ hình cân
bằng thị trường n hàng hoa liên quan ta kí hiệu biến số như sau:
Q - Lượng cung hàng hoa i;
si

Q - Lượng cầu hàng hoa i;
di

p, - Giá hàng hoa i;
Với giả thiết các yếu tố khác không thay đổi, hàm cung và hàm cầu tuyến tính có

dạng như sau:
H à m cung của hàng hoa i:
Qs, = i 0 + i i P i
a

a

+a P +...+a p„

(i = l,2,...,n)

+ b p +... + b p

(i = l,2,..,n)

i2

2

in

H à m cầu của hàng hoa i:
Qdi = i 0 + „ P i
b

b

i2

2

in

n

M ơ hình cân bằng thị trường n hàng hoa có dạng nhu sau:
'Qsi= i0
a

+ anPi+- + a p
in

n

Qd, =b,o + b „ P , + - + b,nPn
Qsi=Qdi

i = l,2,...,n
10


Từ hệ phương trình này ta suy ra hệ phương trình xác định giá cân bằng:
a + a, ,p, +... + a p = b + b, ,p, +...+ b p
]0

ln

n

l0

ln

n

a 0 + 2 l P l + •••+ 2 n P n = 20 + 2 l P l + •••+ 2 n P n
a

a

b

b

b

2

a„0 + a p, +... + a^p,, = b + b
nl

n0

Đặt c = a - b
ik

ik

ik

+... + b

nlPl

nnPn

(i = l,2,...,n; k = 0,1,...,n) ta được hệ phương trình tuyển

tính n phương trình n ẩn:
c
C

llP]

+c p +... + c p =-c
12

2

2.P,+ 22P2+-

l llPl + „2P
C

ln

C

C

2

+ -

+

+

C

C

n

10

2nP„ =- 20

l n P n

C

= -

C

I O

Giải hệ phương trình trên ta xác định được giá cân bằng của tất cả n hàng hoa,
sau đó thay vào hàm cung (hoặc hàm cầu) ta xác định được lượng cân bằng.

1.1.2. M ô hình cân bằng kinh tế vĩ m ô
Ta xét m ơ hình cân bằng đối với một nền kinh tể đóng dạng đơn giản
(khơng có quan hệ kinh tế với nước ngoài).
Gễi Y là tổng thu nhập quốc dân (Income) và E là tổng chi tiêu kế hoạch
(Planned Expenditure) của nền kinh tế, trạng thái cân bằng được biểu diễn dưới
dạng phương trình:
Y = E
Trong một nền kinh tế đóng, tổng chi tiêu kế hoạch của tồn bộ nền kinh tế
gồm các thành phần sau:
c -Tiêu dùng (Consumption) của các hộ gia đình;
G - Chi tiêu của chính phủ (Government);
ì - Chi tiêu cho đầu tư của các nhà sàn xuất (Investment).
Ta giả sử rằng đầu tư theo kế hoạch là cố định: ì = lo và chính sách tài khoa
của chính phủ cố định: G = Go, cịn tiêu dùng của các hộ gia đình phụ thuộc vào
thu nhập dưới dạng hàm bậc nhất (gễi là hàm tiêu dùng):
C = aY + b

(0
b >0j.

Hệ số a biểu diễn lượng tiêu dùng gia tăng khi người ta có thêm $1 thu
nhập, được gễi là xu hướng tiêu dùng cận biên, còn b là mức tiêu dùng tối thiểu,
tức là mức tiêu dùng khi khơng có thu nhập.

li


M ơ hình cân bằng kinh tế vĩ m ơ có dạng đơn giản. Đ ộ phức tạp của m ơ hình
sẽ tăng lên nếu ta tính đến các yếu tố khác, chẳng hạn như thuế, xuất nhập khẩu,

... Nếu tính thuế thu nhập thì hàm tiêu dùng sẽ thay đổi như sau:
C = aY + b,
d

Trong đó Y - Thu nhập sau thuế, hay còn gọi là thu nhập khả dụng. Gọi tỷ
d

lệ thuế thu nhập là t, ta có:
Y =Y-tY = (l-t)Y
d

C = a(l-t)Y + b
Mức thu nhập quốc dân và tiêu dùng cân bàng là:
Y=

b+I +G, 0

b + a(l-t)(I„ + G ) .

0

0

l-a(l-t)

l-a(l-t)

1.1.3. Đạo hàm và giá trờ cận biên trong kinh tế
Xét m ơ hình hàm sổ y = f(x), trong đó X, y là các biến số kinh tế (ta coi biến
độc lập X là biến số đầu vào và biến phụ thuộc y là biển đầu ra). Trong kinh tế

học người ta quan tâm đến xu hướng biến thiên của biến phụ thuộc y tại một
điểm Xo khi biến độc lập X thay đổi một lượng nhỏ. Chẳng hạn, khi xét m ơ hình
hàm sản xuất Q = f(L) người ta thường quan tâm đến số lượng sản phẩm hiện vật
tăng thêm khi sử dụng thêm một đơn vờ lao động.
Theo đờnh nghĩa đạo hàm:
tu

\_ r ~ y _ I _ ( 0 +
A

f

x

A x

f (x )= lim — = lim — —
0

ix->0Ạx

Ax->0

)-f(x )
0

— ^-Si
Ax

Khi Ax có giá trờ tuyệt đối đủ nhỏ ta có:

Ạ

v

f(x„+Ax)-f(x„)

f r
Ax
~
0 =* Ay = f ( x A x ) - f ( x ) * f ( x ) . A x
Khi ầx = Ì ta có Áy » f ' ( x ) . Như vậy, đạo hàm f'(x ) biểu diễn xấp xỉ lượng
thay đổi giá trờ của biến phụ thuộc y khi biến độc lập X tăng thêm một đơn vờ.
Khi xét m ơ hình y = f (x) biểu diễn ảnh hưởng của biến số kinh tế X đối với biến
f , ( x

}

0+

0

0

0

0

số k i n h te y, các nhà k i n h tế g ọ i f '(x ) là giá trờ y - cận biên của X tại điểm x .
0

0

Đối với mỗi hàm kinh tế, giá trờ cận biên có tên gọi cụ thể như sau:
- Đ ố i với m ơ hình hàm sản xuất Q = f(L) thì f (Lo) được gọi là sản phẩm hiện vật
cận biên của lao động tại điểm L . Sản phẩm hiện vật cận biên của lao động được
0

kí hiệu MPP :
L

MPP = f (L)
L

12


Tại mỗi điểm L, MPP cho biết xấp xỉ lượng sản phẩm hiện vật gia tăng khi sử
L

dụng thêm một đơn vị lao động.
Ví dụ: Cho hàm sản xuất có sản lượng phụ thuộc vào lao động và vốn:

Q = P,+p K + p L
2

3

Khi đó p là sản phẩm cận biên theo vốn.
2

- Đ ố i với m ô hình hàm doanh thu TR = TR(Q) thì TR'(Qo) được gỵi là doanh thu
cận biên tại điểm Qo- Doanh thu cận biên được kí hiệu là MR: MR = TR'(Q).
Tại mỗi sản lượng Q, MR cho biết xấp xỉ lượng doanh thu tăng thêm khi sản
xuất thêm một đơn vị sản phẩm. Đ ố i với doanh nghiệp cạnh tranh ta có:
TR = pQ => MR = p (p là giá sản phẩm trên thị trường)
- Đ ố i với m ơ hình hàm chi phí TC = TC(Q) thì TC(Qo) được gỵi là chi phí cận
biên tại điểm Q . Chi phí cận biên được kí hiệu là MC:

MC = TC'(Q).

0

Tại mỗi mức sản lượng Q, MC cho biết xấp x i lượng chi phí tăng thêm khi sản
xuất thêm một đơn vị sản phẩm.
- Đ ố i với hàm tiêu dùng c = C(Y) thì C'(Y) được gỵi là xu hướng tiêu dùng cận
biên và được kí hiệu là MPC:
MPC = C'(Y).
Tại mỗi mức thu nhập Y, MPC là số đo xấp x i lượng tiêu dùng gia tăng khi
người ta có thêm $ Ì thu nhập.
- Đ ố i với hàm tiết kiệm s = S(Y) thì S'(Y) được gỵi là xu thế tiết kiệm cận biên
và kí hiệu là MPS:

MPS = S'(Y).

Tại mỗi mức thu nhập Y, MPS là số đo xấp xỉ lượng tiết kiệm gia tăng khi người
ta có thêm $ Ì thu nhập.
1.1.4. Đạo hàm cấp hai và quỵ luật lợi ích cận biên giảm dần
Xét m ơ hình y = f ( x ) , trong đó y là biến số biểu diễn lợi ích (chẳng hạn như
thu nhập, doanh thu, lợi nhuận,...) và X là biển số m ô tả yếu tố đem lại lợi ích y.

Quy luật lợi ích cận biên giảm dần nói rằng khi X càng lớn thì giá trị y - cận biên
càng nhỏ, tức là M
Dưới

y

= f(x) là hàm số đơn điệu giảm (ít nhất theo nghĩa rộng).

giác độ toán hỵc, điều kiện để My

giảm

dần theo X

là :

(My)' = f " ( x ) < 0 .
1.1.5. Tính hệ số co dãn của cung và cầu theo giá
Một vấn đề quan tâm trong kinh tế là phản ứng của cung và cầu đối với sự
biến động giá cả trên thị trường. Với giả thiết các yếu tố khác không thay đổi, sự
phụ thuộc của lượng cầu Q vào giá p được biểu diễn bằng hàm cầu: Q = Dịp).
đ

d

13


Trong m ơ hình hàm cầu biến số p được đo bằng đơn vị tiền tệ, còn biến số Q
được đo bằng đơn vị hiện vật. Nếu gọi AQ

là mức thay đổi lượng cầu khi giá

d

thay đổi một đơn vị thì ý nghĩa của con số đó cịn phụ thuộc vào đơn vị đo. Hơn
nữa, đối với các hàng hoa khác nhau thì sự thay đổi giá thêm $1 mang ý nghĩa
khác nhau. Đe đánh giá độ nhởy cảm của cầu hàng hoa đối với biến động giá cà,
các nhà kinh tế sử dụng khái niệm hệ số co dãn.
Hệ số co dãn của cầu theo giá (tính ở mỗi mức giá) là số đo mức thay đổi phần
trăm của lượng cầu khi giá tăng 1 % .
Tởi mức giá p, nếu giá thay đổi một lượng Áp thì lượng cầu thay đổi tương ứng
một lượng AQ . Mức phần trăm thay đổi của lượng cầu tính bình qn cho 1 %
d

thay đổi giá là:
_(AQ /Q ).100 AQ
p _AD(P) p
(Ap/p).100
Áp Q
Áp 'D(p)
d

d

=

d

d

Khi chuyển qua giới hởn khi Áp -» 0 ta được cơng thức tính hệ số co dãn của
cầu theo giá tởi điểm p:
dp

=

=

dp Q

(p) p

=

p.

p

(p)

dp D(p)

d

W

'D(p)

Tương tự hệ số co dãn của cung theo giá là số đo mức thay đổi phần trăm của

lượng cung khi giá tăng 1 % . Nếu biết hàm cung Q = S(p) thì hệ số co dãn của
s

cung theo giá tởi điểm p được tính theo cơng thức:
=

^a_L i % ) _ E _ ,
=

=s

dp Qs
dp S(p)
1.1.6. M ộ t sổ bài toán cực trị trong kinh tế

p

(p)
W

'S(P)

Mỗi chủ thể kinh tế nói chung và doanh nghiệp nói riêng đều đặt ra một
mục đích là cực đởi hoa lợi ích (lợi nhuận tối đa, chi phí tối thiểu,...) Trong mục
này, chúng tơi trình bày một m ơ hình cực trị khơng điều kiện và một m ơ hình
cực trị có điều kiện nhằm thể hiện vai trò và ứng dụng của bài tốn cực trị tốn
trong thực tế.
• Bài tốn cực đởi lợi nhuận: Xác định mức sản lượng doanh nghiệp cần
cung cấp cho thị truồng, ký hiệu Q, sao cho lợi nhuận thu được là lớn nhất
- Láp bài toán:

Tham khảo các tài liệu: Lê Đinh Thúy, Toán cao cấp cho các nhà kinh tế, N X B Giá o dục, 1999 và Nguyễn Thế
Hệ, Kỳ yếu nghiên cứu khoa học cùa khoa toán kinh tế năm 1998.
3

14


it(Q) = R(Q) - C(Q) - tQ

Max

trong đó 7:(Q) là lợi nhuận, R(Q) là doanh thu, C(Q) là chi phí, t là thuế suất tính
trên Ì đơn vị sản phẩm bán ra. Giả thiết các hàm R(Q) và C(Q) xác định được.
M ơ hình này tách riêng phần thuế trong chi phí nói chung nhằm xét phản ứng
của doanh nghiệp đối với sự thay đổi mức thuế do nhà nước đưa ra.
- Giải quyết bài toán:
Điều kiện cần: —

= R'(Q) - C'(Q) -1

dọ

Cho — 0 , ta có điều cần của cực trị là:
dQ

Q = ẽ(t)
có thể hiểu là quyết định cung của doanh nghiệp là hàm phừ thuộc t.
dQ

Điều kiện đủ:

= R"(Q) - C"(Q) < 0

2

- Đ ể xét tác động của thuế t đối với sản lượng Q, ta xét sự biến thiên của Q theo
t bằng cách xét dấu đạo hàm Q. Từ điều kiện cần, ta có:
4R(Q)-C(Q)-tọ]_

0

dQ

oR'(ẽ)-ơ(ẽ)-t = 0
_^ dí

=>R"(e) ỂỊỊỊ -C"(ỡ) ^p. -1 = 0
dí

=> —
dí

=

—

dí
1

— —

< 0 (do điều kiện cần)

R"(Q)-C"(Q)

Vậy với các yếu tố khác được giữ nguyên thì khi t tăng Q sẽ giảm.
• Bài tốn cực đại hoa lợi ích tiêu dùng:
- Lấp bái toán: Cừc đại hoa hàm lợi ích

U = U(x,,x )
2

với điều kiện ràng buộc thu nhập
Pi X i + p x = m
2

2

trong đó Pi, p tương ứng là giá trị thị trường của của mỗi đơn vị mặt hàng X i ,
2

x với cơ cấu mua sắm ( X i , x ); m là thu nhập của người tiêu dùng.
2

2

- Giải quyết bài toán:
Lập hàm Lagrange: L(xi, x , Ằ) = Ư(xi, x ) + Ằ [ra - Pi X i - p x ]

2

2

2

2

15


- Điều kiện cần: Giải hệ các đạo hàm riêng của hàm Lagrange bằng 0 ta tìm được
phương án:
dư/
õx,
ỵ

x=

dư/

Hay

trong đó MU], M U

2

MU,

MU

Pí

Pl

(*)

tương ứng là lợi ích cận biên của X] và x .
2

- Điều kiện đủ: Lập ma trận viền Hess và kiểm tra điều kiện cần có thoa mãn
điều kiện đủ cua bãi toan cực trĩkBông. Tuy nhiên do tác động của quy luật "lợi
suất giảm dần" nên mối quan hệ của các biến số trong hàm kinh té thường thể
hiện bời hàm tựa lõm hoặc tựa lụi nên theo định lý Arrovv-Enthoven , điều kiện
cần nói trên cũng thường là điều kiện đủ.
4

Ỷ nghĩa của điều kiện tối ưu (*) có thể phát biểu cụ thể như sau: Hộ gia
đình sẽ chọn mua mỗi loại hàng ở mức mà tỷ lệ thay thế biên giữa hai loại hàng
hoa bằng tỷ giá hai hàng hoa đó.
Đường thờ ơ
5»

Đường ngân sách
1.1.7. M ơ hình phương trình sai phân trong kinh tế học
Phương trình sai phân có nhiều ứng dụng trong kinh tế học như trong m ơ
hình mạng nhện (Cobwebs), m ơ hình thị trường có dự trữ, m ơ hình Harrod, m ơ
hình thu nhập có trễ . Trong phần này, chúng tơi chi trình bày một ứng dụng của
5

phương trình sai phân trong m ơ hình mạng nhện và áp dụng cụ thể cho cho chuỗi
chỉ số giá văn hoa thể thao giải trí.
• Giói thiệu m ô hình
Xét một thị trường cạnh tranh đơn giản trong đó việc sản xuất địi hỏi phải
có thời gian nhất định nên trong quá trình điều chỉnh mức cung người sản xuất sẽ
dựa vào mức giá ở thời k i trước, ta có m ơ hình:
D, = a - b p + Vi,
t

(a, b > 0)

Xem các tài liệu: Hoàng Đình Tuấn, Lý thuyết m ơ hình tốn kinh tế, N X B K h o a học và kỹ thuật, 2003 và H. R.
Varian, Microeconomic Analysic, w. w. Norton & Company, 1992.
Xem trang 208, sách Lê Đinh Thúy, Toán cao cấp cho các nhà kinh tế, phần li, N X B Giáo dục,1999.
4

5

16


S, = -c + d P

+v ,

M

(c,d>0)

2

Trong đó D , s , p là mức cầu, mức cung, mức giá ở thời điểm t; Pị.] là mức giá ở
t

t

t

thời điểm (t-1) (thời điểm trước đó); Vít, v là các nhiễu trắng (đại diện cho các
2t

cú sốc trong cung và cầu). Điều kiện cân bằng Dị = s .
t

• Phân tích mơ hình
Từ điều kiện cân bằng ta có:

p«= ^£-4P..I + S,
b

(1)

b

N(0, ơ ).

Với e

s

t

Phương trình (1) suy ra giá cân bằng liên thời là:
p* =
Phân tích cơ chế giá (1): p,

a + c

a + c

(2)

b+d

- — P-1 là phương trình sai phân cáp một có
T

b

b

hệ số hằng, với điều kiện ban đầu p(0) = Po, có nghiệm:

1
0

b+d

b+

diu

=

p*+\p,

a + c

(3)

b+ d

Từ (3) ta có điều kiện để p* ổn định là dcầu. Nếu ả> b thì giá p* sẽ khơng ổn định. Ta có thể minh hợa như trên hình vẽ
sau:
(hình a)

D,s

(hình b)

D,s

Hình a có đường cung phang hơn đường cầu, trên hình vẽ ta cũng thấy giá có xu
hường vận động về mức cân bằng p*. Ngược lại hình b minh hợa đường cung
dốc hơn đường cầu và mức giá trong dài hạn khơng có xu hướng vận động về p*
hay cân bằng khơng ổn định.

— —

.... -.

ịT H y

viéiy ĩ

• Ư Ớ C lượng mơ hình
Dĩ; K Z Ì 4

17


Từ (9) ta có thể viết lại:
p = p i + p P(.1 + E| v ớ i s, là n h i ễ u trắng
t

2

(4)

Khi đó mức cân bằng dài hạn là p* ta -ẠT- và điều kiện mức cân bằng ổn định
\-ậ
là p < 1.
2

2

Việc thu thập số liệu giá cả một mặt hàng nào đó trong khoảng thỗi gian dài rất
khó khăn nên để m ơ phỏng m ơ hình, ta xét với chuỗi chi số giá văn hóa thể thao
từ năm 1995 tháng Ì đến 2006 tháng 12 (nguồn : Tổng cục Thống kê).

Bảng 1.1. Kết quả ước lượng m ơ hình (4)
Dependent Variable: CPI VH
Sample(adjusted): 1995:02 2006:12
Included observations: 143 after adjusting endpoints
Coefficient Std. Error t-Statistic
Prob.
Variable
0.019376
48.30441
0.935958
0.0000
CPI VH(-l)
7.310238
2.174180
3.362296
c
0.0010
R-squared
0.943015 Mean dependent var
112.2861
1.796565 Prob(F-statistic)
Durbin-Watson stat
0.000000
Nguồn: Kết quả ước lượng trên Evievvs 4.0

Kết quả ước lượng là: ậ 1=7.310238, ậ 2=0.935958
Kiểm tra các khuyết tật thấy m ơ hình khơng có khuyết tật nên các ước lượng là
đáng tin cậy nên mức giá cân bằng dài hạn là
p*« _Ể^=114.1
1-Â

Kiểm định thấy p < Ì, chứng tỏ chi số giá văn hóa thể thao giải trí ổn định.
2

Như vậy trong dài hạn, mức chi số giá cân bằng dài hạn đều là ỉ 14.1 theo cả hai
cách tiếp cận ứng dụng của phương trình sai phân. Hiện nay mức chỉ số CPI V H
là 118.21 nên trong tương lai mức chỉ số này sẽ có xu hướng giảm xuống và
phục hồi xung quanh 114.1 (so với tháng Ì năm 1995).
Tốn cao cấp ln gắn liền với nhiều tính tốn tỳ mỉ, phức tạp nên kết
dụng công nghệ thông tin trong nghiên cứu thì sẽ đạt hiệu quả hơn. Phần tiếp
theo sẽ giới thiệu cách sử phần mềm Maple cho mơn tốn cao cấp và ứng dụng
trong nghiên cửu kinh tế..

18


1.2. Toán cao cấp kết hợp phen mềm Maple trong giảng dạy và nghiên cứu
Maple là một hệ phần mềm chun dùng để tính tốn, bao gồm các tính
tốn thuần tuy bằng kí hiệu tốn học, các tính tốn số và các tính tốn bằng đồ
thị. Sản phẩm này do trường đại học Tổng hợp Waterloo (Canada) và trường đại
học kỹ thuễt Zurich (ETZ) xây dựng và đưa vào thương mại đầu tiên năm 1985 .
6

Hiện tại đã có bản thương mại Maple 11. Sinh viên được sử dung miễn phí
Maple 5.0 (8 Mb). Đặc tính căn bản của Maple là cài đặt dễ dàng trên Windows
và dễ sử dụng.
Trong mục này, trước hết giới thiệu một số phép toán cơ bản của toán cao
cấp thực hiện bằng Maple. Tiếp theo, chúng tơi giới thiệu ứng dụng của tốn cao
cấp trong giảng day. Cuối cùng, chúng tơi trình bày một ứng dụng của toán cao
cấp, kết họp Maple để đánh giá yếu tố kinh tế.
1.2.1. ứ n g dụng Maple trong tốn cao cấp ì

a) Các phép tốn đại số trên ma trễn và vectơ
- Các lệnh tạo ma trễn cấp m X n
i) matrix(m,n,[a i,...,ain, ...,a i,...,a ]) là lệnh tạo ma trễn cấp m X n v ớ i phần
1

m

mn

tử được lấy trong danh mục [aii,...,a , ...,a ,,...,a ].
]n

Thí dụ: Có thê tạo ma trễn cấp 2x3 sau đây:

m

mn

Ì

2 3"

4

5

6

Bằng lệnh
matrix(2,3,[l,2,3,4,5,6]);

Hoặc có thể bằng lệnh
matrix(2,3,[[l,2,3],[4,5,6]]);
li) matrix(m,n,f) là dòng lệnh tạo ma trễn cấp m X n với phần tử là giá trị của
hàm f xác định trên tễp chỉ số hàng và cột của ma trễn, nói cách khác thì nó
chính là ma trễn xác định bởi dịng lệnh:
matrix([[f(l,l),...,f(l,n)],...[f(m,l),...,f(m,n)]);
Thí dụ:
f:=(i,j)->i+j-l;
A:=matrix(2,4,f);
A:



19