Rèn luyện cho học sinh khả năng khai thác bài toán theo nhiều khía cạnh trong dạy học môn hình học lớp 9

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HĨA

PHỊNG GD&ĐT HOẰNG HĨA

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

RÈN LUYỆN KỸ NĂNGPHÂN TÍCH ĐA THỨC
THÀNH NHÂN TỬVÀ ỨNG DỤNG CỦA NĨ
TRONG GIẢI TỐN CHO HỌC SINH LỚP 8.

Người thực hiện: Lê Thị Hồng Gấm
Chức vụ: Giáo viên
Đơn vị công tác: Trường THCS Hoằng Đạt
SKKN thuộc lĩnh vực (mơn): Tốn

MỤC LỤC
THANH HỐ NĂM 2021
1


MỤC LỤC
Nội dung
1. Mở đầu
1.1. Lí do chọn đề tài
1.2. Mục đích nghiên cứu
1.3. Đối tượng nghiên cứu
1.4. Phương pháp nghiên cứu
2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm
2.1. Cơ sở lí luận của đề tài
2.2. Thực trạng của đề tài
2.3. Các giải pháp thực hiện

2.3.1. Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử
2.3.2. Một số ứng dụng của phân tích đa thức thành nhân tử
2.3.2.1.Rút gọn biểu thức
2.3.2.2. Giải phương trình
2.3.2.3. Giải bất phương trình
2.3.2.4. Chứng minh quan hệ chia hết
2.3.3. Bài tập tự luyện
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm
3. Kết luận , kiến nghị
3.1. Kết luận
3.2. Kiến nghị

Trang
1
1
1
2
2
2
2
2
3
3
13
13
13
15
15
16
16

17
17
17

Tài liệu tham khảo
Danh mục sáng kiến kinh nghiệm

2


1. Mở đầu.
1.1. Lí do chọn đề tài.
Tốn là bộ mơn khoa học có vị thế vơ cùng quan trọng trong chương trình phổ
thơng nói chung và chương trình THCS nói riêng. Mơn Tốn là mơn học góp
phần khơng nhỏ tới sự hình thành nhân cách, phát triển tư duy, hình thành kỹ
năng, kỹ xảo, phát huy tính tích cực trong học tập của học sinh,...Học tốt mơn
Tốn là cơ sở để các em học tốt các môn học khác.
Trong q trình dạy học tốn việc tổng hợp các kiến thức lí thuyết một cách
có hệ thống và phân chia các bài tập theo từng dạng, loại (nếu được) là cần thiết.
Giúp các em dễ nhớ, dễ thuộc, các em dễ dàng nắm vững kiến thức đã học, chủ
động tự mình nhanh chóng tìm ra lời giải và giải trọn vẹn các bài tập thuộc dạng
đã học, làm cở sở để các em khám phá kiến thức mới. Do đó trong q trình bồi
dưỡng học sinh nói chung và bồi dưỡng học sinh giỏi nói riêng cần thiết phải
dạy theo từng chuyên đề, từng dạng.
Trong phân môn Đại số 8, dạng tốn phân tích đa thức thành nhân tử là một
trong những dạng tốn hay và khó được vận dụng rất nhiều vào giải các bài toán
khác như rút gọn phân thức, giải phương trình, giải bất phương trình, chứng
minh quan hệ chia hết,... Để học tốt dạng toán này địi hỏi học sinh phải trang bị
cho mình rất nhiều kỹ năng, tích hợp nhiều kiến thức. Qua nhiều năm dạy tốn 8
tơi nhận thấy đa số các em chỉ nắm được các một số phương pháp phân tích đa

thức thành nhân tử đơn giản, việc vận dụng và đi sâu vào các bài tốn khác liên
quan đến phân tích đa thức thành nhân tử thì hầu như các em rất lúng túng, gặp
nhiều khó khăn trong việc tìm lời giải.

3


Năm học 2020-2021, Tơi được phân cơng dạy mơn Tốn 8. Bản thân Tôi
luôn trăn trở làm thế nào để chất lượng giảng dạy đạt kết quả cao hơn? Tôi mạnh
dạn đưa ra một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử một cách có hệ
thống, nhằm giúp học sinh có kỹ năng giải tốt dạng tốn này và các bài toán liên
quan, các em thấy được vai trị của việc phân tích đa thức thành nhân tử trong
giải tốn. Từ đó, kích thích các em sự tìm tòi sáng tạo, khám phá những kiến
thức mới, say mê trong học tập. Chính vì vậy, Tơi chọn đề tài “Rèn luyện kỹ
năng phân tích đa thức thành nhân tử và ứng dụng của nó trong giải tốn”
cho học sinh lớp 8 trường THCS Hoằng Đạt, Hoằng Hóa để nghiên cứu thực tế.
1.2. Mục đích nghiên cứu.
- Cung cấp cho học sinh lớp 8 một cách có hệ thống các phương pháp phân tích
đa thức thành nhân tử và một số ứng dụng của nó trong giải tốn, nhằm giúp các
em học sinh có khả năng giải tốt dạng tốn này. Đối với học sinh khá, giỏi thì
vận dụng dạng toán này vào giải bài tập liên quan một cách linh hoạt, sáng tạo;
- Phát huy khă năng suy luận, phán đốn, tính linh hoạt ở học sinh;
- Thấy được vai trị của việc phân tích đa thức thành nhân tử trong giải tốn để
từ đó giáo dục ý thức học tập cho học sinh, nhằm nâng cao chất lượng bộ môn.
1.3. Đối tượng nghiên cứu.
- Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử và ứng dụng của nó trong
chương trình Đại số 8;
- Học sinh lớp 8A, 8B trường THCS Hoằng Đạt, Hoằng Hóa.
1.4. Phương pháp nghiên cứu.
- Phương pháp nghiên cứu lí luận;

- Phương pháp nghiên cứu khảo sát thực tiễn;
- Phương pháp phân tích, tổng hợp;
- Phương pháp tổng kết kinh nghiệm.
2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm.
2.1.Cơ sở lí luận của đề tài.
Trước hết giáo viên cần làm cho học sinh thấy rõ “Phân tích đa thức thành nhân
tử” là gì, có những phương pháp nào để phân tích và ngồi những bài tập về
phân tích đa thức thành nhân tử thì những dạng bài tập nào được vận dụng nó và
vận dụng như thế nào?
Nhắc lại một số kiến thức cơ bản phục vụ cho việc giải bài tốn “Phân tích đa
thức thành nhân tử”
2.1.1. Định nghĩa: Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) là biến đổi đa
thức đó thành một tích của những đa thức.
2.1.2. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp thông thường.
- Đặt nhân tử chung;
- Dùng hằng đẳng thức;
4


- Nhóm các hạng tử.
2.1.3. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng các phương pháp khác.
- Tách một hạng tử thành nhiều hạng tử;
- Thêm, bớt cùng một hạng tử;
- Đặt ẩn phụ;
- Dùng phương pháp hệ số bất định;
- Phương pháp xét giá trị riêng,...
2.2. Thực trạng của đề tài.
Như chúng ta đã biết, dạng tốn phân tích đa thức thành nhân tử được sắp xếp
ngay từ đầu chương I Đại số 8, với thời lượng chỉ có 6 tiết bao gồm 4 tiết lí
thuyết và 2 tiết bài tập, kiến thức về dạng toán này rất nhiều đa dạng, phong phú.

Nhìn chung, đa số các em chỉ làm được các bài tập đơn giản trong sách giáo
khoa, còn việc vận dụng và đi sâu vào các bài tốn khác liên quan đến phân tích
đa thức thành nhân tử thì hầu như các em lúng túng, đơi khi bế tắc. Từ thực
trạng trên, để chất lượng giảng dạy đạt hiệu quả cao hơn tôi mạnh dạn nêu ra các
phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử mang tính hệ thống để giúp các
em có thể tổng hợp được kiến thức, kỹ năng tính tốn, kỹ năng tư duy; Giúp các
em có khả năng vận dụng tốt dạng tốn này trong giải tốn; Thấy được vai trị
của việc phân tích đa thức thành nhân tử trong giải tốn để từ đó giáo dục ý thức
học tập cho học sinh.
* Kết quả và điều tra thực trạng.
Lớp
Tổng số
Số học sinh giải được
Số học sinh chưa
học sinh
giải được
SL
Tỉ lệ
SL
Tỉ lệ
(%)
(%)
8A
28
12
42,9
16
57,1
8B
27

11
40,7
16
59,3

5


Nhìn vào bảng so sánh trên, ta thấy số học sinh chưa thực hiện được phép
phân tích đa thức thành nhân tử trong giải tốn cịn khá cao so với sĩ số học sinh
của mỗi lớp. Trước những khó khăn và thực trạng trên bản thân tôi luôn trăn trở,
suy nghĩ, tìm nhiều giải pháp để nâng cao chất lượng bộ mơn, góp phần nâng
cao chất lượng chung của nhà trường. Chính vì vậy, trong khn khổ đề tài này,
tơi muốn rèn luyện cho học sinh một số phương pháp phân tích đa thức thành
nhân tử và ứng dụng của nó trong giải tốn mà bản thân tơi đã tích lũy được
trong quá trình giảng dạy trong những năm vừa qua.
2.3. Các giải pháp thực hiện
2.3.1.Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử
Để phân tích đa thức thành nhân tử có nhiều phương pháp.
Phương pháp 1: Phương pháp đặt nhân tử chung
Ví dụ 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
b. 5 x 2  y  13  15 x  y  13

a. 8 xy 2  20 y 3 ;

2

Giải:
a. Các hạng tử có nhân tử chung là 4 y 2 . Do đó:
8 xy 2  20 y 3  4 y 2 .2 x  4 y 2 .5 y

 4 y2  2x  5 y 

b. Các hạng tử có nhân tử chung là 5 x  y  13 . Do đó:
5 x 2  y  13  15 x  y  13  5 x  y  13 �
x  3  y  13 �
�
�  5 x  y  13  x  3 y  39 
2

Chú ý: Nhiều khi để làm xuất hiện nhân tử chung ta cần đổi dấu các hạng tử.
( Lưu ý tới tính chất A = - (- A) )
Chẳng hạn: 10 x  x  y   8 y  y  x   10 x  x  y   8 y  x  y 
 2  x  y   5x  4 y 

Phương pháp2: Phương pháp dùng hằng đẳng thức
Ví dụ 2: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a. x 2  x 
b. 8 x3 

1
4

1
8

c.  x  y    x  y 
3

3

Giải:
2

1
1 �1 �
a. x  x  = x 2  2.x.  � � =
4
2 �2 �
2

2

� 1�
�x  �
� 2�

3
2
1 �1 �� �
1 � 2
1�
3
1
�1 � � 1 �� 2
4x  x  �
 2x   2 x.  � �� �2 x  �
b. 8 x    2 x   � � �2 x  ��
�
�

2 �2 �� �
2�
4�
8
�2 � � 2 ��
�
3

6


2
2
3
3
�
 x  y   x  y �
 x  y   x  y  x  y   x  y �
c.  x  y    x  y   �
�
��
�

 2 x  x2  3 y 2 

Chú ý: Đôi khi phải đổi dấu các hạng tử mới có thể áp dụng được hằng đẳng
thức.
2
Chẳng hạn: 10 x  25  x 2    x 2  10 x  25    x  5 hoặc   5  x 

2

Phương pháp3: Phương pháp nhóm hạng tử
Ví dụ 3: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a. x 2  2 xy  y 2  z 2  2 zt  t 2
b. x 4  9 x 3  x 2  9 x
Giải:

2
2
2
2
a. x 2  2 xy  y 2  z 2  2 zt  t 2   x  2 xy  y    z  2 zt  t 

  x  y   z  t 
2

2

�
 x  y   z  t �
 x  y   z  t �
�
��
�
�

  x  y  z t  x  y  z t
3
b. Cách 1: x 4  9 x 3  x 2  9 x  x  x  9   x  x  9 

  x  9   x3  x 

 x  x  9   x 2  1

Chú ý: Đối với một đa thức có thể có nhiều cách nhóm các hạng tử. Nhưng khi
nhóm các hạng tử phải nhóm thích hợp, cụ thể là:
- Mỗi nhóm đều có thể phân tích được;
- Sau khi phân tích ở mỗi nhóm thì q trình phân tích phải được tiếp tục.
Chẳng hạn ở ví dụ b, ta có thể phân tích như sau:
2
2
2
Cách 2: x 4  9 x3  x 2  9 x  x  x  1  9 x  x  1

  x 2  1  x 2  9 x 

  x 2  1 x  x  9 

3
2
Cách 3: x 4  9 x3  x 2  9 x  x  x  9 x  x  9 

 x�
x 2  x  9   x  9 �
�
�
 x  x  9   x 2  1

Nhận xét: Trên thực tế khi phân tích đa thức thành nhân tử thường phối hợp

nhiều phương pháp, theo các bước sau:
- Đặt nhân tử chung nếu tất cả các hạng tử có nhân tử chung;
-Dùng hằng đẳng thức nếu có;
7


- Nhóm nhiều hạng tử ( thường mỗi nhóm có nhân tử chung, hoặc là hằng đẳng
thức), nếu cần thiết phải đặt dấu “-” trước dấu ngoặc và đổi dấu các hạng tử.
Ví dụ 4: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a. 20 z 2  5 x 2  10 xy  5 y 2
b.  x 2  y 2  5  4 x 2 y 2  16 xy  16
2

Giải:

2
2
2
a. 20 z 2  5 x 2  10 xy  5 y 2  5  4 z  x  2 xy  y 

2
 5�
�2 z    x 2  2 xy  y 2  �
�
2
2
 5�
�2z    x  y  �
�

  2z  x  y   2z  x  y 

b.  x 2  y 2  5  4 x 2 y 2  16 xy  16   x 2  y 2  5   4  x 2 y 2  4 xy  4 
2

2

  x2  y 2  5  �
2  xy  2  �
�
�
2

2

�
�
 x 2  y 2  5   2 xy  4  �
 x 2  y 2  5   2 xy  4  �
�
��
�
�
�
 x 2  2 xy  y 2   1�
 x 2  2 xy  y 2   9�
�
��
�
2

2
�
�
 x  y   1�
 x  y   32 �
�
��
�

  x  y  1  x  y  1  x  y  3  x  y  3

Ví dụ 5: Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
P  x2  y  z   y 2  z  x   z

2

 x  y

Giải:
Cách 1:

P  x2  y  z   y 2  z  x   z

2

 x  y

 x 2  y  z   y 2 z  xy 2  xz 2  yz 2
 x 2  y  z   yz  y  z   x  y 2  z 2 

  y  z   x 2  yz  xy  xz 

  y  z �
x x  y  z  x  y �
�
�

  y  z  x  y  x  z

Trong cách giải trên, ta đã khai triển số hạng thứ hai và số hạng thứ ba rồi
nhóm các số hạng thích hợp để xuất hiện thừa số chung y-z.
Cũng có thể khai triển số hạng thứ nhất và số hạng thứ ba rồi nhóm các số
hạng thích hợp để xuất hiện thừa số chung x – z, hoặc khai triển số hạng đầu và
số hạng thứ hai rồi nhóm các số hạng thích hợp để xuất hiện thừa số chung
x – y.
8


 y  z   x  y �
Cách 2: Chú ý rằng: z  x   �
�
�, ta có
2
2
2
 y  z   x  y �
P = x  y  z  y �
�
� z  x  y 

  y  z   x2  y 2    x  y   y 2  z 2 

=  y  z  x  y  x  y   x  y  y  z  y  z
=  y  z  x  y  x  z
Phương pháp 4: Phương pháp tách một hạng tử thành nhiều hạng tử
2
Dùng tam thức bậc hai: f  x  =ax  bx  c
Ví dụ 6: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 3x 2  8x  4
Giải: Đa thức trên khơng có nhân chung, khơng có một dạng hằng đẳng thức
đáng nhớ nào, cũng khơng thể nhóm các hạng tử. Ta biến đổi đa thức ấy thành
đa thức có nhiều hạng tử hơn.
Cách 1: ( Tách hạng tử thứ hai)
3x 2  8 x  4 = 3x 2  6 x  2 x  4
 3x  x  2   2  x  2 
  x  2  3x  2 

Cách 2: ( Tách hạng tử thứ nhất)
3x 2  8 x  4  4 x 2  8 x  4  x 2
  2 x  2  x2
2

  2x  2  x   2x  2  x 
  3x  2   x  2 

Nhận xét: Trong cách giải 1, hạng tử -8x được tách thành hai hạng tử -6x và
-2x. Trong đa thức 3x 2  6 x  2 x  4 , hệ số của các hạng tử là 3; -6; -2; 4.Các hệ
số thứ hai và thứ tư đều gấp -2 lần hệ số liền trước, nhờ đó mà xuất hiện nhân tử
chung x – 2.
Một cách tổng quát, để phân tích tam thức bậc hai ax 2  bx  c thành nhân tử,
b

c

1
ta tách hạng tử bx thành b1 x  b2 x sao cho a  b , tức là b1b2  ac .
2
Trong thực hành ta làm như sau:
Bước 1: Tìm tích ac ;
Bước 2: Phân tích ac ra tích của hai thừa số nguyên bằng mọi cách ;
Bước 3: Chọn hai thừa số mà tổng bằng b .
Trong ví dụ trên, đa thức 3x 2  8 x  4 có a  3, b  8, c  4 . Tích ac  3.4  12 .
Phân tích 12 ra tích của hai thừa số, hai thừa số này cùng dấu ( vì tích của chúng
bằng 12), và cùng âm (để tổng của chúng bằng -8):  1  12  ;  2   6  ;  3  4 
Chọn hai thừa số mà tổng bằng -8, đó là -2 và -6.
Ví dụ 7: Phân tích đa thức thành nhân tử: 4 x 2  4 x  3
Giải: Cách 1 (Tách hạng tử thứ hai) :

9


4 x2  4x  3  4 x2  2 x  6 x  3

 2 x  2 x  1  3  2 x  1

  2 x  1  2 x  3 

Chú ý rằng hệ số -4 được tách thành 2 và -6 có tích bằng -12, bằng tích của
4.(-3)
Cách 2 (Tách hạng tử thứ ba)
4 x2  4x  3  4x2  4x  1  4

  2 x  1  22
2

  2x 1  2  2 x 1  2

  2 x  1  2 x  3 

Nhận xét: Qua hai ví dụ trên, ta thấy việc tách một hạng tử thành nhiều hạng tử
khác thường nhằm mục đích:
- Làm xuất hiện các hệ số tỉ lệ, nhờ đó mà xuất hiện nhân tử chung (cách 1)
- Làm xuất hiện hiệu của hai bình phương (cách 2)
Chú ý:
- Đa thức dạng ax  bxy  cy khi phân tích đa thức thành nhân tử cách làmtương
tự như đa thức bậc hai một biến
Cách 1: 4 x 2  7 xy  3 y 2  4 x 2  4 xy  3 xy  3 y 2
2

2

 4x  x  y   3y  x  y 
  x  y   4x  3y 

Cách 2: 4 x 2  7 xy  3 y 2  4 x 2  8 xy  4 y 2  xy  y 2
 4 x  y  y  x  y
2

  x  y   4x  4 y  y 

  x  y   4x  3y 

10


Tam thức bậc hai ax 2  bx  c sẽ khơng phân tích tiếp được thành nhân tử trong
phạm vi số hữu tỉ nếu:
Theo cách 1, khi phân tích ac ra tích của hai thừa số nguyên bằng mọi cách,
khơng có hai thừa số nào có tổng bằng b , hoặc
2
Theo cách 2, sau khi đưa tam thức về dạng ax  k thì k

khơng là bình

phương của một số hữu tỉ.
2
Chẳng hạn tam thức x  x  6 khơng phân tích thành nhân tử được nữa (trong

phạm vi số hữu tỉ) vì : Theo cách 1, tích ac  6  1.6  2.3 , khơng có hai thừa số
2

1 1 23 � 1 � 23
nào có tổng bằng 1; Còn theo cách 2, x  x  6  x  2 x. 2  4  4  �x  2 � 4 .
�
�
2

2

23

Ta thấy 4 khơng là bình phương của một số hữu tỉ.

Đa thức bậc ba trở lên.
Để dễ dàng làm xuất hiện các hệ số tỉ lệ, người ta thường dùng cách tìm
nghiệm của đa thức.
Nhắc lại một số kiến thức về nghiệm của đa thức
Khái niệm nghiệm của đa thức: Nếu tại x=a, đa thức f  x  có giá trị bằng 0
thì ta nói a (hoặc x=a) là một nghiệm của đa thức đó. Vậy nếu đa thức f  x  có
nghiệm x = a thì nó chứa nhân tử x-a.
Khi xét nghiệm nguyên của đa thức, nên nhớ các định lí sau:
Định lí 1: Nếu đa thức f  x  có tổng các hệ số bằng 0 thì 1 là nghiệm của đa
thức, do đó đa thức chứa nhân tử x–1.
Định lí 2: Nếu đa thức f  x  có tổng các hệ số của hạng tử bậc chẵn bằng tổng
các hệ số của hạng tử bậc lẻ thì -1 là nghiệm của đa thức, đa thức chứa nhân tử
x+1.
Định lí 3: Nếu đa thức f  x  với các hệ số nguyên có nghiệm nguyên đó phải
là ước của hệ số tự do.
Chú ý: Để nhanh chóng loại trừ các ước của hệ số tự do khơng là nghiệm của đa
thức, có thể dùng nhận xét sau:
Nếu a là nghiệm nguyên của đa thức f  x  và f  1 , f  1 khác 0 thì

f  1
và
a 1

f  1
đều là số nguyên.
a 1

Xét ví dụ: f  x   4 x  13x  9 x  18
Ta thấy số 18 có các ước là �1; �2; �3; �6; �9; �18.
3

2

11


f  1  4  13  9  18  18
f  1  4  13  9  18  44
18 18 18
18
,
,
,
Hiển nhiên �1 không là nghiệm của f  x  . Ta thấy

3  1 �6  1 �9  1 �18  1

không nguyên nên 3; �6; �9; �18 không là nghiệm của f  x  .
Ta thấy

44
không nguyên nên 2 không là nghiệm của f  x  . Chỉ còn -2 và 3.
2 1

Kiểm tra ta thấy 3 là nghiệm của f  x  .
p

Định lí 4: Đa thức f  x  với các hệ số nguyên nếu có nghiệm hữu tỉ x  q thì p
là ước của hệ số tự do, q là ước dương của hệ số cao nhất.
Ví dụ 9: Phân tích đa thức thành nhân tử: x3  5 x 2  3x  9

Giải: Ta thấy đa thức đã cho có tổng các hệ số là 1+5+3+(-9) = 0, nên x = 1 là
nghiệm của đa thức đó, đa thức chứa nhân tử x-1.
Ta tách các hạng tử như sau: x3  5 x 2  3x  9  x3  6 x2  x 2  9 x  6 x  9
 x 2  x  1  6 x  x  1  9  x  1
  x  1  x 2  6 x  9 

  x  1  x  3

2

Ví dụ 10: Phân tích đa thức thành nhân tử: x3  5 x 2  3x  9
Giải:
Ta thấy 1+3 = -5+9 nên x = -1 là nghiệm của đa thức, đa thức chứa nhân tử x+1
Ta làm như sau: x3  5 x 2  3x  9  x3  x 2  6 x 2  6 x  9 x  9
 x 2  x  1  6 x  x  1  9  x  1
  x  1  x 2  6 x  9 
  x  1  x  3

2

Ví dụ 11: Phân tích đa thức thành nhân tử: x3  x 2  4
Giải: Lần lượt kiểm tra với x  �1; �2; �4
Đặt f  x   x3  x 2  4
Ta có f  2   0 . Vậy đa thức có nghiệm x=2, do đó f  x  chứa nhân tử x-2.
Vậy f  x   x3  x 2  4
 x3  2 x 2  x 2  2 x  2 x  4

 x2  x  2  x  x  2  2  x  2
  x  2  x2  x  2

Ví dụ 12: Phân tích đa thức thành nhân tử: 3x3  7 x 2  17 x  5
12


Giải: Ta thấy �1; �5 không là nghiệm của đa thức. Như vậy, đa thức khơng có
nghiệm ngun. Tuy vậy, đa thức có thể có nghiệm hữu tỉ khác. Xét các số hữu
p

1

tỉ dạng q với p là ước của -5 và q là ước dương của 3. Ta thấy là nghiệm của
3
đa thức, do đó đa thức chứa thừa số 3x-1. Ta tách các hạng tử như sau:
3x3  7 x 2  17 x  5  3x3  x 2  6 x 2  2 x  15 x  5

 x 2  3 x  1  2 x  3 x  1  5  3x  1
  3x  1  x 2  2 x  5 

Phương pháp 5: Phương pháp thêm bớt cùng một hạng tử.
Thêm và bớt cùng một hạng tử làm xuất hiện hiệu của hai bình phương.
Ví dụ 13: Phân tích đa thức thành nhân tử: 4 x 4  81
Giải: Nhận thấy đa thức đã cho là tổng của hai bình phương  2 x 2   92 tương
2

ứng với hai số hạng A2  B 2 của hằng đẳng thức A2  2 AB  B 2 còn thiếu 2AB .
Vậy cần thêm bớt 2.2 x 2 .9 để làm xuất hiện hằng đẳng thức.
Ta có: 4 x 4  81   2 x 2   2.2 x 2 .9  92  36 x 2
2

  2x2  9   6x 

2

2

  2x2  9  6 x   2 x2  9  6 x 

Thêm và bớt cùng một hạng tử làm xuất hiện nhân tử chung.
Ví dụ 14: Phân tích đa thức thành nhân tử: x5  x  1
Giải:
Cách 1: x5  x  1  x5  x 4  x3  x4  x3  x 2  x 2  x  1
 x3  x 2  x  1  x 2  x 2  x  1   x 2  x  1
  x 2  x  1  x 3  x 2  1

Ví dụ 15: Phân tích đa thức thành nhân tử: x 7  x 2  1
Giải: Thêm và bớt x
x7  x2  1  x7  x  x 2  x  1
 x  x 6  1   x 2  x  1

 x  x3  1  x3  1   x 2  x  1

 x  x3  1  x  1  x 2  x  1   x 2  x  1

  x 2  x  1  x 5  x 4  x 2  x  1

Chú ý: Các đa thúc dạng x3m1  x3 n2  1 như x 7  x 2  1 , x 7  x5  1, x  x 5  1,
x  x8  1,... đều chứa nhân tử x 2  x  1 .
Phương pháp 6: Phương pháp đổi biến.
Ví dụ 16: Phân tích các đa thức thành nhân tử:
13

2
2
a.  x  x  1  x  x  2   12

b. x  x  4   x  6   x  10   128
Giải:
2
a. Đặt x 2  x  1  y , ta có: y  y  1  12  y  y  12
 y 2  4 y  3 y  12

 y  y  4  3 y  4

  y  4   y  3

Thay y  x 2  x  1 , ta được:

x

2

 x  1  x 2  x  2   12   x 2  x  5   x 2  x  2 

�
x  x  2    x  2 �
 x 2  x  5
�
�
  x  1  x  2   x 2  x  5 

2
2
b. x  x  4   x  6   x  10   128   x  10 x   x  10 x  24   128

Đặt x 2 10 x  12  y , đa thức đã cho có dạng:

 y  12   y  12   128  y 2  16
  y  4  y  4
  x 2  10 x  8   x 2  10 x  16 

  x 2  10 x  8   x  2   x  8 

Nhận xét: Trong ví dụ trên, nhờ phương pháp đổi biến ta đã đưa đa thức bậc bốn
đối với x thành đa thức bậc hai đối với y.
Ví dụ 17: Phân tích đa thức thành nhân tử:
A  x4  6 x3  7 x 2  6 x  1
Giải: Giả sử x �0 . Ta viết đa thức dưới dạng:

6 1 � �
�
�2 1 � � 1 � �
A  x 2 �x 2  6 x  7   2 � x 2 �
�x  2 � 6 �x  � 7 �
x x � �
�
� x � � x� �
1
1
Đặt x   y thì x 2  2  y 2  2 . Do đó
x

x
2
2
2
2
A  x2 �
 y 2  2  6 y  7�
�
� x  y  6 y  9   x  y  3
2

2
� 1
�
 x 2 �x   3 �  x 2  3x  1
� x
�

Dạng phân tích này cũng đúng với x=0
Chú ý: Có thể trình bày lời giải của ví dụ trên như sau:





4
2
2
A  x 4  6 x 3  7 x 2  6 x  1  x  2 x  3 x  1   3 x  1  x  3 x  1
2

2

Phương pháp 7: Phương pháp hệ số bất định.
Ví dụ 18: Phân tích đa thức thành nhân tử: x 4  6 x 3  12 x 2  14 x  3
14


Giải: Các số �1; �3 không là nghiệm của đa thức, đa thức khơng có nghiệm
ngun, cũng khơng có nghiệm hữu tỉ. Như vậy nếu đa thức trên phân tích được

2
2
thành nhân tử thì phải có dạng  x +ax  b   x  cx  d  . Phép nhân này cho kết quả

x 4   a  c  x3   ac  b  d  x 2   ad  bc  x  bd . Đồng nhát đa thức này với đa thức đã

cho, ta được hệ điều kiện:
�a  c  6
�ac  b  d  12
�
�
�ad  bc  14
�
bd  3
�

 1; 3 . Với b=3 thì d=1, hệ điều kiện trên trở thành:
Xét bd=3 với b, d �Z , b α�
�a  c  6

�
�ac  8
�a  3c  14
�

Suy ra: 2c  8 . Do đó c  4, a  2 .

2
2
Vậy đa thức đã cho phân tích thành:  x  2 x  3  x  4 x  1

Chú ý: Ta trình bày lời giải của ví dụ trên như sau:
x 4  6 x 3  12 x 2  14 x  3  x 4 4 x3  x 2  2 x3  8 x 2  2 x  3x 2  12 x  3

 x 2  x 2  4 x  1  2 x  x 2  4 x  1 0  3  x 2  4 x  1
  x 2  4 x  1  x 2  2 x  3 

Phương pháp 8: Phương pháp xét giá trị riêng.
Trong phương pháp này, trước hết ta xác định dạng của nhân tử chứa biến
của đa thức, rồi gán cho các biến các giá trị cụ thể để xác định nhân tử cịn lại.
2
2
2
Ví dụ 19: Phân tích đa thức thành nhân tử: P  x  y  z   y  z  x   z  x  y 
Giải:
2
2
Thử thay x bởi y thì P  y  y  z   y  z  y   0 . Như vậy P chia hết cho x  y
Ta lại thấy nếu thay x bởi y, thay y bởi z, thay z bởi x thì P khơng đổi (ta nói đa
thức P có thể hốn vị vịng quanh x � y � z � x ). Do đó, nếu P đã chia hết cho

x  y thì cũng chia hết cho y  z và z  x . Vậy P có dạng k  x  y   y  z   z  x  . Ta

thấy k phải là hằng số (khơng chứa biến) vì P có bậc ba đối với tập hợp các biến
x, y, z, còn tích  x  y   y  z   z  x  cũng có bậc ba đối với tập hợp các biến
x , y , z.

Vì đẳng thức x  y  z   y  z  x   z  x  y   k  x  y   y  z   z  x  đúng với mọi
x, y, z nên ta gán cho các biến x, y, z các giá trị riêng, chẳng hạn x  2, y  1, z  0
(Các giá trị của x, y,z có thể chọn tùy ý, chỉ cần chúng đôi một khác nhau để
2

2

 x  y   y  z   z  x  �0 ), ta được:

2

4.1  1 2   0  k .1.1.  2 

15


� 2  2k
� k  1

Vậy P    x  y   y  z   z  x    x  y   y  z   x  z 
2.3.2. Một số ứng dụng của phân tích đa thức thành nhân tử.
2.3.2.1. Rút gọn biểu thức.
Muốn rút gọn một phân thức ta có thể:
- Phân tích tử và mẫu thành nhân tử (nếu cần) để tìm nhân tử chung;

-Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung.
Ví dụ 1: Rút gọn phân thức: A 

x 3  8 x 2  19 x  12
x 3  6 x 2  11x  6

Giải:
- Phân tích tử thức thành nhân tử:
x3  8 x 2  19 x  12  x 3  x 2  7 x 2  7 x  12 x  12

 x 2  x  1  7 x  x  1  12  x  1
  x  1  x 2  7 x  12 

  x  1  x  3  x  4 

- Phân tích mẫu thức thành nhân tử:
x 3  6 x 2  11x  6  x3  x 2  5 x 2  5 x  6 x  6

 x 2  x  1  5 x  x  1  6  x  1
  x  1  x 2  5 x  6 

  x  1  x  2   x  3

 x  1  x  3  x  4 

x4

Vậy A  x  1 x  2 x  3  x  2






Ví dụ 2: Kí hiệu n !  1.2.3...n . Rút gọn các phân thức sau:

 n  1 !

a. n  1 ! n  2 !

 


 n  2  !  n  3 !

b. n  2 ! n  3 !

 

Giải:

 n  1 !
 n  1 !
 n  1 !  1


 n  1 !  n  2  !  n  1 !  n  1 ! n  2   n  1 ! n  3  n  3
 n  2  !  n  3 !  n  2  !  n  2  ! n  3  n  2  ! n  4  n  4 n  4
b. n  2 ! n  3 !  n  2 ! n  2 ! n  3  n  2 !  n  2  n  2  n  2 .

 

 
 

 


a.

2.3.2.2. Giải phương trình.

16


Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử có vai trị quan trọng trong
việc đưa một phương trình về dạng phương trình tích. Cách đặt ẩn phụ cũng
thường được sử dụng để trình bày lời giải được gọn gàng hơn.
Ví dụ 1: Giải phương trình:

 x  3

3

  x  1  56
3

Giải: Cách 1:

 x  3

3

  x  1  56
3

� x3  9 x 2  27 x  27  x 3  3x 2  3x  1  56
� 6 x 2  24 x  30  0
� 6  x2  4 x  5  0

� 6  x  5   x  1  0

x5 0
x  5
�
�
��
��
x 1  0
x 1
�
�

Vậy phương trình có tập nghiệm là S   5;1
Cách 2: Chú ý rằng x  2 là trung bình cộng của x  3 và x  1 , ta đặt x  2  y.
Phương trình trở thành:

 y  1

3

  y  1  56

3

� y3  3 y 2  3 y  1  y3  3 y 2  3 y  1
� 6 y 2  54  0
� y2  9
� y  �3
Với y  3 thì x  1 . Với y  3 thì x  5 .
Vậy phương trình có tập nghiệm là S   5;1

Ví dụ 2: Giải phương trình:

 x  6

4

  x  8   16
4

Giải: Đặt x  7  y , phương trình trở thành  y  1   y  1  16
Rút gọn ta được: 2 y 4  12 y 2  2  16
4

4

� y4  6 y2  7  0
Đặt y 2  z �0 , ta có z 2  6 z  7  0. Phương trình này cho z1  1, z2  7 (Loại)
Với z  1 , ta có y 2  1 nên y  �1 . Từ đó x1  8, x2  6 .

Chú ý: Khi giải phương trình bậc bốn dạng  x  a    x  b   c , ta thường đặt ẩn
4

phụ y  x 

4

ab
2

17


Ví dụ 3: Giải phương trình: x5  x 4  3x3  3x 2  x  1  0 (1)
Giải:
Ta thấy x  1 là một nghiệm của phương trình (1), vì tổng các hệ số của
hạng tử bậc chẵn bằng tổng các hệ số của hạng tử bậc lẻ. Biến đổi phương trình
4
3
2
(1) thành:  x  1  x  2 x  5 x  2 x  1  0
Giải phương trình x 4  2 x 3  5 x 2  2 x  1  0 (2)
Ta thấy x  0 khơng là nghiệm của phương trình (2). Chia cả hai vế của (2) cho
2 1
�2 1 � � 1 �
2
x 2 �0 , ta được: x  2 x  5   2  0 � �x  2 � 2 �x  � 5  0
x x
� x � � x�
1
1
Đặt x   y thì x 2  2  y 2  2 , ta được y 2  2 y  3  0 , vô nghiệm.

x
x
Kết luận: S   1 .

2.3.2.3. Giải bất phương trình.
Ví dụ 1: Giải bất phương trình sau: x 2  2 x  1  9
Giải:
Ta có x 2  2 x  1  9  0
� x2  2 x  8  0
� x2  4 x  2 x  8  0
� x  x  4  2  x  4  0
�  x  4  x  2  0

Lập bảng xét dấu các nhị thức x  2 và x  4
x
-2
4
x2
0
+
x4
0
+
0
0
 x  2  x  4
Nghiệm của bất phương trình là: 2  x  4
Ví dụ 2: Giải bất phương trình sau: 4 x 2  4 x  1  9
Giải: Ta có: 4 x 2  4 x  1  9  0

+
+
+

� 4x2  4 x  8  0

� 4  x2  2 x  2  0

� 4  x  1  x  2   0
�  x  1  x  2   0

Lập bảng xét dấu các nhị thức x  1 và x  2
x
-1
2
x 1
0
+
+
x2
0
+
+
0
0
+
 x  1  x  2 
Nghiệm của bất phương trình là: x  1 hoặc x  2
2.3.2.4. Chứng minh quan hệ chia hết.
Gọi A(n) là một biểu thức phụ thuộc vào n (n � N, hoặc n�Z). Để chứng

minh biểu thức A(n) chia hết cho một số m, ta thường phân tích biểu thức A(n)
18


thành thừa số, trong đó có một thừa số là m. Nếu m là hợp số, ta phân tích nó
thành một tích các thừa số đơi một ngun tố cùng nhau, rối chứng minh A(n)
chia hết cho tất cả các số đó. Lưu ý trong k số nguyên liên tiếp, bao giờ cũng
tồn tại một bội số của k.
2
Ví dụ: Chứng minh rằng A  n 2  n 2  7   36n chia hết cho 5040 với mọi số tự
nhiên n .
Giải: Phân tích ra thừa số nguyên tố: 5040  24.32.5.7
2
Phân tích A  n 2  n 2  7   36n
2
 n�
n  n 2  7   36 �
�
�
2
 n�
 n3  7 n   6 2 �
�
�

 n  n 3  7 n  6   n3  7 n  6 

3
Ta lại có: n  7n  6   n  1  n  2   n  3

n3  7n  6   n  1  n  2   n  3

Do đó A   n  3  n  2   n  1 n  n  1  n  2   n  3
Đây là tích của bảy số nguyên liên tiếp. Trong bảy số nguyên liên tiếp:
- Tồn tại một bội số của 5 (nên A chia hết cho 5);
- Tồn tại một bội số của 7 (nên A chia hết cho 7);
- Tồn tại hai bội số của 3 (nên A chia hết cho 9);
- Tồn tại ba bội số của 2, trong đó có một bội số của 4 (nên A chia hết cho 16).
A chia hết cho các số 5; 7; 9; 16 đôi một nguyên tố cùng nhau nên A chia hết
cho 5.7.9.16 = 5040.
2.3.3. Bài tập tự luyện.
Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) 6 x 2  11x  3 ; b) x3  x 2  x  2 ;
c) x5  x 4  1 ;
d) x 4  3x3  4 x 2  3x  1 ; e) 4 x 4  4 x3  5 x 2  2 x  1 .
Bài 2: Rút gọn phân thức:

 x  1  11 x  1  30
B
4
3  x  1  18  x 2  2 x   3
4

2

Bài 3: Giải phương trình:
3
3
a) x3   x  1   2 x  1 ; b) x 4  3x3  4 x 2  3x  1  0 .
Bài 4: Giải các bất phương trình sau:

a) x3  2 x 2  3x  6  0 ; b) x 2  4 x  3 �0 .
Bài 5: Chứng minh rằng với mọi số nguyên n, ta có:
a) n3  3n 2  2n chia hết cho 6;
2
b)  n2  n  1  1 chia hết cho 24.
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm.
Trên đây là những việc làm mà tôi đã thực hiện ở hai lớp 8A, 8B trường
THCS Hoằng Đạt trong năm học 2020- 2021, đã có kết quả đáng kể đối với học
sinh. Đa số học sinh đã có kỹ năng giải dạng tốn phân tích đa thức thành nhân
19


tử khá tốt, các em khơng cịn mắc sai lầm, lúng túng khi giải dạng toán này nữa.
Học sinh khá, giỏi đã biết áp dụng linh hoạt, sáng tạo các phương pháp đã học để
giải quyết triệt để các dạng tốn liên quan đến dạng tốn phân tích đa thức thành
nhân tử. Không những các em tỏ ra sáng tạo hơn trong qua trình giải bài tập mà
cịn có rất nhiều cách giải đối với một bài toán. Điều này đã giúp các em say mê
học tập và yêu thích mơn học. Vì vậy, chất lượng bộ mơn nói riêng và chất
lượng giáo dục của nhà trường nói chung đã được nâng lên rõ rệt.
Sau khi tiến hành kiểm tra hai lớp với hai bài kiểm tra (trước và sau khi thực
hiện đề tài) kết quả cụ thể như sau:
Lớp

8A
8B

Tổng
số
học
sinh

28
27

Điểm bài kiểm tra lần 1
0 - 3,4

3,5 - 4,9

5-64

Điểm bài kiểm tra lần 2

6,5 - 7,9

8 – 10

0 - 3,4

3,5- 4,9

5 - 6,4

6,5 - 7,9

8 – 10

SL

%

SL

%

SL

%

SL

%

SL

%

SL

%

SL

%

SL

%

SL

%

SL

%

3
4

11
15

13
12

47
44

6
7

21
26

4
3

14
11

2
1

7
4

0
0

0
0

3
4

11
15

9
8

32
30

9
9

32
33

7
6

25
22

3. Kết luận, kiến nghị.
3.1. Kết luận:
Để học sinh học tốt dạng toán phân tích đa thức thành nhân tử nói riêng và bộ
mơn Tốn nói chung, khơng chỉ địi hỏi phương pháp giảng dạy của giáo viên,
mà năng lực, tố chất vốn có của học sinh là rất quan trọng. Tuy nhiên, phương
pháp khoa học, phù hợp của giáo viên sẽ góp phần không nhỏ trong việc nâng
cao kết quả học tập của học sinh. Vì vậy, theo tơi đây là phương pháp hữu ích
giúp học sinh học tốt dạng tốn này, giúp học sinh rèn luyện được kỹ năng tính
tốn, kỹ năng tư duy, phân tích, tổng hợp, ..., kỹ năng trình bày bài tốn một
cách chặt chẽ lơgíc, mà học sinh lớp 8 cịn hạn chế. Từ đó, giúp các em học tốt
mơn Tốn cũng như các mơn học khác trong nhà trường.
3.2. Kiến nghị:
Để kinh nghiệm này được áp dụng rộng rãi theo tơi cần có các điều kiện sau:
- Nhà trường cần thường xuyên mở các chuyên đề, đề tài kinh nghiệm để giáo
viên có điều kiện tham gia trao đổi lẫn nhau. Thường xuyên kiểm tra học sinh
theo phương phápmới. Giáo viên cần phải đầu tư nhiều thời gian nghiên cứu bài
dạy để đạt được hiệu quả cao.
-Bên cạnh đó đối với học sinh phải có đầy đủ phương tiện học đặc biệt là sách
giáo khoa, sách tham khảo. Cần chú ý theo dõi sự hướng dẫn của giáo viên và
hăng hái tham gia nêu những ý kiến của mình. Nắm chắc kiến thức từng phần có
liên quan đến dạng tốn “Phân tích đa thức thành nhân tử” như quy tắc dấu
ngoặc, hằng đẳng thức, chia đa thức,...
Trên đây là một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử và ứng
dụng của nó trong giải tốn mà tôi đã nghiên cứu và đưa vào áp dụng tại trường

THCS Hoằng Đạt. Mặc dù đã đạt được một số kết quả đáng kể song do thời gian
hạn chế và mục đích chính của đề tài là áp dụng cho học sinh đại trà, riêng các
phương pháp 6; 7 và 8 dành cho học sinh khá, giỏi nên lượng bài tập đưa ra
chưa thực sự đầy đủ, đa dạng. Sự phân chia các phương pháp, dạng bài tập chỉ
mang tính chất tương đối. Rất mong các đồng nghiệp tham gia đóng góp xây
dựng để đề tài có khả năng áp dụng rộng rãi và có tính thiết thực hơn.
20


Xin chân thành cảm ơn!
Thanh Hóa, ngày 8 tháng 5 năm 2021
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình,
ĐƠN VỊ
khơng sao chép nội dung của người khác.
Người viết

Tào Thị Loan Lê Thị Hồng Gấm
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Sách giáo khoa Toán 8 – Nhà xuất bản giáo dục
2. Sách bài tập Toán 8 – Nhà xuất bản giáo dục
3. Sách giáo viên Toán 8 – Nhà xuất bản giáo dục
4. Bài tập nâng cao và một số chuyên đề Toán 8 - Nhà xuất bản giáo dục
5. Sách cơ bản và nâng cao Toán 8 - Nhà xuất bản giáo dục
6. Những bài toán cơ bản, nâng cao chọn lọc lớp 8 - Nhà xuất bản Đại học sư
phạm 2004
7. Sách phát triển Toán 8 – Nhà xuất bản giáo dục
8. Chuẩn kiến thức, kĩ năng mơn Tốn THCS.

21

DANH MỤC
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN KINH
NGHIỆM NGÀNH GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN, TỈNH VÀ CÁC
CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN
Họ và tên tác giả: Lê Thị Hồng Gấm
Chức vụ và đơn vị công tác: Giáo viên – Trường THCS Hoằng Đạt

TT

Tên đề tài SKKN

Cấp
đánh giá
xếp loại

Kết quả
đánh giá
xếp loại

(Ngành GD
cấp
huyện/tỉnh;
Tỉnh...)

(A, B, hoặc C)

Năm học
đánh giá
xếp loại

1.

Hướng dẫn học sinh vẽ thêm yếu tố phụ

Huyện

B

2004-2005

2.

để giải bài tốn hình học 7.
Hướng dẫn học sinh lớp 6 giải toán dãy

Huyện

A

2006-2007

3.

các phân số viết theo quy luật.
Rèn luyện kỹ năng ứng dụng hệ thức

Huyện

A

2009-2010

4.

Vi-ét trong giải toán cho học sinh lớp 9.
Rèn luyện kỹ năng ứng dụng hệ thức

Tỉnh

C

2009-2010

5.

Vi-ét trong giải toán cho học sinh lớp 9.
Rèn luyện kỹ năng giải toán tỉ lệ thức,

Huyện

C

2015-2016

6.

tính chất của dãy tỉ số bằng nhau.
Một số phương pháp nhằm rèn kỹ năng

Huyện

C

2018-2019

giải bài toán chia hết trong tập hợp các
số tự nhiên.

22


23