Bài 1 GIỚI hạn của dãy số

CHƯƠNG 4: GIỚI HẠN
BÀI 1. GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ
Mục tiêu
 Kiến thức
+ Hiểu được khái niệm giới hạn của dãy số.
+ Biết được một số định lí giới hạn của dãy số, cấp số nhân lùi vô hạn.
 Kĩ năng
+

Áp dụng khái niệm giới hạn dãy số, định lí về giới hạn của dãy số vào giải các bài tập.

+

Biết cách tính giới hạn của dãy số.

+

Biết cách tính tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn.

Trang 1


I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM
1. Định nghĩa dãy số có giới hạn 9
1.1. Định nghĩa: Ta có nói rằng dãy số ( un ) có giới Nhận xét:
hạn 0 (hay có giới hạn là 0) nếu với mỗi số dương a) Dãy số ( un ) có giới hạn 0 khi và chỉ khi dãy
nhỏ tùy ý cho trước, mọi số hạng của dãy số, kể từ
một số hạng nào đó trở đi, đều có giá trị tuyệt đối

số ( un

)

có giới hạn 0.

nhỏ hơn số dương đó.

b) Dãy số không đổi ( un ) , với un = 0 có giới hạn

Khi đó ta viết: lim un = 0 hoặc un → 0.

0.

un = 0 ”, đọc là dãy số ( un ) có giới
(Kí hiệu “ nlim
→+∞
hạn là 0 khi n dần đến vô cực).
1.2. Một số dãy số có giới hạn 0 thường gặp
Dựa vào định nghĩa, người ta chứng minh được rằng:
a) lim

1
= 0;
n

b) lim

1
= 0;
n

c) lim

1
= 0;
3
n

d) Dãy số không đổi ( un ) với un = 0 có giới hạn 0.
e) Nếu q < 1 thì lim q n = 0.
Định lí sau đây thường được sử dụng để chứng minh
một số dãy số có giới hạn 0.
Cho hai dãy số ( un ) và ( vn ) .
Nếu un ≤ vn với mọi n và lim vn = 0 thì lim un = 0.
2. Dãy số có giới hạn hữu hạn

Nhận xét:

2.1. Định nghĩa dãy số có giới hạn hữu hạn

- Dãy số ( un ) có giới hạn là số thực L, khi và chỉ

Định nghĩa: Ta nói rằng dãy số ( un ) có giới hạn là

khi khoảng cách từ điểm un đến điểm L là un − L

số thực L nếu lim ( un − L ) = 0.

gần 0 bao nhiêu cũng được miễn là chọn n đủ

Khi đó ta viết lim un = L hoặc un → L.

lớn. Tức là khi biểu diễn các số hạng trên trục số

Tức là lim un = L ⇔ lim ( un − L ) = 0.

ta thấy khi n tăng thì các điểm un tụ tại quanh

2.2. Các định lý cơ bản về giới hạn hàm số

điểm L.

Định lí 1: Giả sử lim un = L. Khi đó:

- Có những dãy số khơng có giới hạn hữu hạn.

 lim un = L và

Chẳng hạn dãy số

3

un = 3 L .

( ( −1) ) ,
n

tức là dãy số:
Trang 2

 Nếu un ≥ 0, ∀n ∈ ¥ * thì L ≥ 0 và lim un = L .
Định lí 2: Giả sử lim un = L;lim vn = M và c là một

−1;1; −1;1;...
- Nếu C là hằng số thì lim C = C.

hằng số.
Khi đó
 lim ( un + vn ) = L + M .

 lim ( un − vn ) = L − M .

 lim ( un .vn ) = L.M .

 lim ( cun ) = cL.

 lim

un
L
=
(nếu M ≠ 0 ).
vn M

Định lí 3 (Nguyên lí kẹp giữa): Cho ba dãy số

( un ) , ( vn ) , ( wn )

và số thực L. Nếu un ≤ vn ≤ wn với

mọi n và lim un = lim wn = L thì lim vn = L.
Định lí 4:
 Một dãy số tăng và bị chặn trên thì có giới hạn.
 Một dãy số giảm và bị chặn dưới thì có giới hạn.
2.3. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn
Khái niệm: Cấp số nhân gọi là lùi vơ hạn nếu có
cơng bội q thỏa mãn điều kiện q < 1.
Tổng các số hạng:
S = u1 + u2 + u3 + ... = u1 + u1q + u1q 2 + u1q 3 + ... =

( q < 1) .
3. Dãy số có giới hạn vơ cực
3.1. Định nghĩa dãy số có giới hạn vơ cực
Định nghĩa:

u1
,
1− q
Nhận xét: Nếu lim un = −∞ thì lim ( −un ) = +∞.
Chú ý:

 Các dãy số có giới hạn là +∞ hoặc −∞ được

 Ta nói rằng dãy số ( un ) có giới hạn là +∞ nếu với gọi chung là các dãy số có giới hạn vô cực hay
mỗi số dương tùy ý cho trước, mọi số hạng của dãy dần đến vô cực.

số, kể từ một số hạng nào đó trở đi, đều lớn hơn số  Dãy số có giới hạn là số thực L được gọi là dãy
dương đó.

số có giới hạn hữu hạn.

Khi đó ta viết lim un = +∞ hoặc un → +∞.

Nhận xét:

 Ta nói rằng dãy số ( un ) có giới hạn là −∞ nếu với Từ định nghĩa, ta có kết quả sau:
a) lim n = +∞ .
mỗi số âm tùy ý cho trước, mọi số hạng của dãy số,
kể từ một số hạn nào đó trở đi, đều nhỏ hơn số âm b) lim n = +∞.
đó.

c) lim 3 n = +∞.
Trang 3


k
d) lim n = +∞ ( k > 0 ) .

Khi đó ta viết lim un = −∞ hoặc un → −∞.

n
e) lim q = +∞ ( q > 1) .

 Định lí: Nếu lim un = +∞ thì lim

1
= 0.
un

3.2. Một vài quy tắc tìm giới hạn vơ cực

Quy tắc 1
 Nếu lim un = +∞;lim vn = +∞ thì lim ( un .vn ) = +∞ .
 Nếu lim un = +∞;lim vn = −∞ thì lim ( un .vn ) = −∞.
 Nếu lim un = −∞;lim vn = +∞ thì lim ( un .vn ) = −∞.
 Nếu lim un = −∞;lim vn = −∞ thì lim ( un .vn ) = +∞.
Quy tắc 2
 Nếu lim un = +∞;lim vn = L ≠ 0
+∞ khi L > 0
.
thì lim ( un .vn ) = 
−∞ khi L < 0
 Nếu lim un = −∞;lim vn = L ≠ 0
−∞ khi L > 0
.
thì lim ( un .vn ) = 
+∞ khi L < 0
Quy tắc 3
Nếu lim un = L ≠ 0 , lim vn = 0 thì
 Khi lim un = L > 0 ⇒ lim

un  +∞ khi vn > 0, ∀n
=
.
vn  −∞ khi vn < 0, ∀n

 Khi lim un = L < 0 ⇒ lim

un  −∞ khi vn > 0, ∀n
=
.

vn  +∞ khi vn < 0, ∀n

3.3. Một số kết quả
a) lim

Mở rộng:

n
qn
= +∞ và lim n = 0 , với q > 1.
q
n

Ta có lim

b) Cho hai dãy số ( un ) và ( vn ) ,

nk
qn
lim
= 0 , với q > 1 và k
và
=
+∞
qn
nk

là một số nguyên dương.

 Nếu un ≤ vn với mọi n và lim un = +∞ thì

lim vn = +∞.
 Nếu lim un = L ∈ ¡ và lim vn = +∞ thì lim

un
= 0.
vn

 Nếu lim un = +∞ (hoặc −∞ ) và lim un = L ∈ ¡ thì

Trang 4


lim ( un + vn ) = +∞ (hoặc −∞ ).
SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA
DÃY SỐ
CÓ GIỚI HẠN 0

Định nghĩa

Dãy số có giới hạn 0 nếu với mọi số
dương nhỏ tùy ý cho trước, mọi số
hạng của dãy số, kể từ một số hạng nào
đó trở đi, đều có giá trị tuyệt đơi nhỏ
hơn số dương đó.

Trường hợp

với

thường gặp

Cho hai dãy số và

Trang 5


Dãy số có
giới hạn

Định nghĩa

Dãy số có giới hạn là số thực L nếu

hữu hạn

Phép tính
giới hạn

lim ( cun ) = cL

Các định lí

Cho ba dãy số

Ngun lí
kẹp giữa

Nếu
Thì

Tổng của cấp số
nhân lùi vô hạn

Trang 6


Dãy số
có giới hạn
vơ cực
Định nghĩa

Dãy số có giới hạn là nếu với mỗi số dương tùy ý cho trước, mọi
số hạng của dãy kể từ một số hạng nào đó trở đi, đều lớn hơn số
dương đó.

Dãy số có giới hạn là nếu với mỗi số âm tùy ý cho trước, mọi số
hạng của dãy kể từ một số hạng nào đó trở đi, đều nhỏ hơn số âm
đó.

1

2

Định nghĩa

3

Trang 7

II. CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1: Dãy số có giới hạn bằng định nghĩa
Bài toán 1. Chứng minh dãy số có giới hạn 0 bằng định nghĩa
Phương pháp giải
Ví dụ: Chứng minh các dãy số ( un ) sau đây có

Cách 1: Áp dụng định nghĩa.
Cách 2: Sử dụng các định lí sau:
 Nếu k là số thực dương thì lim

giới hạn là 0.
1
= 0.
nk

a) un =

( −1)

n

3n + 2

b) un =

.

sin 4n
.
n+3

 Với hai dãy số ( un ) và ( vn ) .

hướng dẫn giải

nếu un ≤ vn với mọi n và lim vn = 0 và lim un = 0.

a) Với mỗi số dương ε tùy ý cho trước, ta có

 Nếu q < 1 thì lim q n = 0.

un =

( −1)

n

3n + 2

=

1
1
<
<ε
3n + 2 3n

1 1

⇔ n >  − 2 ÷.

3ε

1
*
Đặt n0 = 1 +   thì n0 ∈ ¥ và un < ε , ∀n ≥ n0 .
 3ε 
Vậy lim un = 0.
b) Ta có ∀n ∈ ¥ * thì
sin 4n ≤ 1 ⇒ un =

sin 4n
1
1 1
≤
≤ = .
n+3
n+3 n n

Áp dụng cho định lí “Nếu k là một số thực dương
cho trước thì lim

1
1
= 0 ” ta được lim = 0.
k
n
n

Từ đó suy ra lim un = 0.
Ví dụ mẫu

Ví dụ 1. Chứng minh các dãy số ( un ) sau đây có giới hạn là 0.
1 + sin n 4
a) un =
.
4n + 5

b) un

( −1)
=
2

n

n +1

−

1
.
5n−1

hướng dẫn giải
4
a) Ta có ∀n ∈ ¥ thì sin n ≤ 1 ⇒ un =
*

1 + sin n 4
2
2

1
≤
≤
=
.
4n + 5
4n + 5 4 n 2 n

Trang 8


Áp dụng định lí “Nếu k là một số thực dương cho trước thì lim

1
1
= 0 ” ta được lim = 0. Từ đó suy ra
k
n
n

lim un = 0.
b) Ta có un =

( −1)
2

n

−

n +1

1
1
1
1
1
1
≤ n +1 + n +1 < n +1 + n +1 = n , ∀n Ơ .
n +1
5
2
5
2
2
2

n

Vỡ lim

1
1
= lim ữ = 0.
n
2
2

T đó suy ra lim un = 0.
Bài tốn 2. Giới hạn của dãy số có số hạng tổng quát dạng phân thức

Phương pháp giải
Để tính giới hạn của dãy số có số hạng tổng qt
dạng phân thức: lim

un
.
vn

Ví dụ: Chứng minh rằng: lim

1
= 0.
n +1

Hướng dẫn giải

1
1
1
 Nếu un ; vn là hàm đa thức theo biến n thì chia cả Ta có 0 < n + 1 < n và lim n = 0.
tử số và mẫu số cho n p , trong đó p là số mũ lớn Từ đó suy ra điều cần chứng minh.
nhất. Sau đó áp dụng: lim

1
= 0 (với k > 0 ).
nk

 Nếu un ; vn là hàm số mũ thì chia cả tử và mẫu cho
a n với a là cơ số lớn nhất. Sau đó sử dụng cơng
thức: lim q n = 0 với q < 1.

Chú ý: Thông thường, ta sẽ biến đổi các dãy số
tổng quát về dãy số có giới hạn 0 quen thuộc như
trên.
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1: Chứng minh rằng các dãy số với số hạng tổng quát sau đây có giới hạn 0.
a) un =

(

)

2n + 3 − 2n .

b) un =

(

)

n+2 − n−2 .

Hướng dẫn giải
a) Ta có

(

2n + 3 − 2n

⇒ 2n + 3 − 2n =
Mà

)(

) (

2n + 3 + 2n =

) (
2

2n + 3 −

2n

)

2

=3

3
.
2n + 3 + 2n

3
3
3
3
3
<

=
<
= 0.
và lim
2n + 3 + 2n
2n + 2 n 2 2 n
n
n
Trang 9


Từ đó suy ra điều cần chứng minh.
b) Ta có

(

n+2 − n−2

⇒ n+2 − n−2 =
Mà

)(

)

n + 2 + n − 2 = ( n + 2) − ( n − 2) = 4

4
.
n+2 + n−2

4
2
2
<
= 0.
và lim
n+2 + n−2
n−2
n−2

Từ đó suy ra điều cần chứng minh.
Ví dụ 2: Chứng minh rằng các dãy số với số hạng tổng quát sau có giới hạn 0.
cos n
.
a) un =
n+4

( −1)
=

n

cos n
.
2
n +1

c) un

b)

un =

cos
4

nπ
5 .
n

nπ
5 .
d) u =
n
n
( 1, 01)
sin

Hướng dẫn giải
a) Ta có

b) Ta có

cos n
1
1
1
<
< và lim = 0. Từ đó suy ra điều cần chứng minh.

n+4 n+4 n
n

( −1)

n

cos n
cos n
1
1
1
< 2
< 2
< 2 và lim 2 = 0.
n +1
n +1 n +1 n
n
2

Từ đó suy ra điều cần chứng minh.
nπ
n
n
1
1
5 < 1 =  1  và
< 1 ).
lim
= 0 (do

 ÷
n
n

÷
4
4 4
4
4

cos
c) Ta có

Từ đó suy ra điều cần chứng minh.
nπ
n
n
1
 1 
 1 
5
<
=
d) Ta có

÷ và lim 
n
n
÷ = 0.
( 1, 01) ( 1, 01)  1, 01 

 1, 01 
sin

Từ đó suy ra điều cần chứng minh.
Ví dụ 3: Chứng minh rằng các dãy số sau có giới hạn bằng 0.
a) lim

2n + 3n
= 0.
4n

b) lim

an
= 0.
n!

hướng dẫn giải
a) Ta có lim

n
n
2
3
2n + 3n
2
3
=
lim
+

lim
 ÷
 ÷ = 0 + 0 = 0 (do 4 < 1 và 4 < 1 ).
n
4
4
4

Từ đó suy ra điều cần chứng minh.
Trang 10


b) Gọi m là số tự nhiên thỏa m + 1 > a . Khi đó với mọi n > m + 1.
n −m

m

an
a a a
a
a a  a 
Ta có 0 <
= . ... .
... <
.
÷
n! 1 2 m m + 1 n
m!  m + 1 
n−m

 a 
Mà lim 
÷
 m +1

.

m

= 0 và

an
a
m
≤ a . Từ đó suy ra lim = 0.
n!
m!

Ví dụ 4. Cho dãy số ( un ) với un =
a) Chứng minh rằng

n
.
3n

un +1 2
≤ với mọi n.
un
3
n

2
b) Chứng minh rằng 0 < un ≤  ÷ với mọi n.
3
c) Chứng minh rằng dãy số ( un ) có giới hạn 0.
Hướng dẫn giải
a) Với mọi n ta có

un +1  n + 1   n  n + 1 2n 2
=
≤
= .
÷:  ÷ =
un  3n +1   3n  3n
3n 3

ta được điều phải chứng minh.
n

2
b) Sử dụng phương pháp quy nạp toán học chứng minh 0 < un ≤  ÷ ; ∀n ( *)
3
 n = 1 ta có 0 < u1 =

1 2
< , suy ra (*) đúng với n = 1.
3 3
k

 Giả sử (*) đúng với n = k tức là 0 <

k 2
≤  ÷ . Ta phải chứng minh (*) đúng với n = k + 1. Thật vậy,
3k  3 
k

uk +1 =

k +1

k +1
2
2 2
2
> 0 . Mặt khác uk +1 ≤ uk ⇔ uk +1 ≤ .  ÷ =  ÷ .
k +1
3
3
3 3 3

Ta được điều phải chứung minh.
n

n

2
2
c) Do 0 < un ≤  ÷ mà lim  ÷ = 0 nên lim un = 0.
3
3

Ta được điều phải chứng minh.
CHÚ Ý: MỘT SỐ KỸ THUẬT GIẢI NHANH
Quy ước: Trong máy tính khơng có biến n nên ta
ghi x thay cho n.

Ví dụ 1. Tính giới hạn sau: lim

1
.
n +1

Ghi nhớ cách nhập giá trị của x.

Hướng dẫn giải

 x → +∞ thì ta nhập x = 9999999999 (10 số 9)

Cách bấm máy:

 x → −∞ thì ta nhập x = −9999999999 (10 số 9)

 Nhập vào máy tính biểu thức sau:
Trang 11


 Đề bài yêu cầu tính lim ( un ) thì ta hiểu rằng, biến
n → −∞ .

 Sau đó bấm CALC, màn hình sẽ xuất hiện như
hình bên. Ta hiểu rằng “Bạn muốn gán x bằng bao

nhiêu?”

 Nhập: x = 9999999999 , sau đó bấm “=”, ta được
kết quả:

Ghi nhớ cách hiển thị kết quả
 Gặp hằng số c.10n (trong đó α là số ngun âm,
thơng thường α = −10, α = −12,...)
Ví dụ: 15.10−12 là số rất nhỏ và gần bằng 0.
 Gặp hằng số c.1010 , c.1020 ,... đọc là (dấu của c)
nhân vô cực với c là hằng số (chú ý có thể lớn hơn
10).

Kết quả: 1.10−10 là một giá trị rất rất nhỏ gần bằng

Ví dụ: −5.1010 là âm vô cực, ghi là −∞;5.1010 là
0. Vậy lim

dương vơ cực, ghi là +∞ .
VÍ DỤ MINH HỌA
−1
Ví dụ 1. Tính giới hạn sau: lim ( )

1
= 0.
n +1

n

n+5

.

Hướng dẫn giải
Cách bấm máy:
 Nhập vào máy tính biểu thức sau:

 Sau đó bấm CALC.

Trang 12


 Nhập x = 9999999999 , sau đó bấm “=”, ta được kết quả:

Kết quả: −9,999999996.10−11 là một giá trị rất nhỏ gần bằng 0.
−1
Vậy lim ( ) = 0.
n+5
n

Ví dụ 2. Tính giới hạn sau: lim (
 Nếu ta nhập

( −1)

−1) .cos n
.
n2 + 1
n

n

.cos n
, sau đó CALC như trên máy sẽ báo: MATH ERROR.
n +1
2

Hướng dẫn giải
Vận dụng định lí 1 nếu un ≤ vn với mọi n và lim vn = 0 thì lim un = 0.
Ta có đánh giá sau:

( −1)

n

.cos n
cos n
1
1
< 2
< 2
, ta chỉ cần ghi 2
vào máy tính là sẽ tính được.
n +1
n +1 n +1
n +1
2

Cách bấm máy:
 Nhập vào máy tính biểu thức sau:

 Sau đó bấm CALC.

 Nhập: x = 9999999999 , sau đó bấm “=”, ta được kết quả:

Trang 13


Kết quả: 1.10

−20

−1
là một giá trị rất rất nhỏ gần bằng 0. Vậy lim ( )

n

.cos n
= 0.
n +1
2

−1
Ví dụ 3. Tính giới hạn sau lim ( n ) .
2 +1
n

 Nếu ta nhập

( −1)

n

2n + 1

, sau đó CALC như trên máy sẽ báo: MATH ERROR do hàm số mũ tăng rất nhanh

nên sẽ khơng tính được trên máy tính. Trong trường hợp này ta sẽ xử lý như sau:
Hướng dẫn giải
Cách bấm máy:
 Nhập vào máy tính biểu thức sau:

 Bấm CALC.

 Nhâp: x = 100 , sau đó bấm “=”, ta được kết quả:

Kết quả: 7,888609052.10−31 là một giá trị rất rất nhỏ gần bằng 0.
−1
Vậy lim ( )

n

2n + 1

= 0.

NHẬN XÉT: Qua 4 ví dụ trên, phần nfao bạn đọc đã hiểu về cách sử dụng máy tính cầm tay (MTCT) để
giải các bài tốn về dãy số có giới hạn là 0. Có những bài tốn sử dụng máy tính và nhập lệnh CALC
x = 9999999999 sẽ ra ln kết quả, có những bài tốn khơng ra được ngay, chúng ta cần vận dụng linh
hoạt các cách đánh giá cũng như đổi cách bấm máy để ra được kết quả bài toán. Qua đây, đòi hỏi chúng ta

Trang 14


cần có kiến thức khá chắc chắn về định nghĩa giới hạn dãy số để có thể vận dụng làm các bài tập cho tốt
hơn.
Bài tập tự luyện dạng 1
Câu 1: Trong các dãy số sau, dãy số nào có giới hạn 0?
n

(

 3
A. un =  − ÷ .
 2

A.

B. u = − 2 .

với un =

Câu 2: Dãy số

)

n

1
.
3

( −1) .cos 5n
3n

n

 4 
C. un = 
÷.
 2+ 5 

n

 2+ 5 
D. un =  −
÷
÷.
4



có giới hạn bằng

B. −1.

1
C. − .
3

D. 0.

1
C. − .
3

D.

πn
Câu 3: Giới hạn
bằng
lim 2 6
3n + 1
sin

A. 0.

B. 1.

−1
Câu 4: Giới hạn lim ( )

n +1

3n + 5

A.

1
.
5

bằng

1
B. − .
5

n

−1)
(
Câu 5: Giới hạn lim  2 +

n+2


A. 2.

B.

Câu 6: Giới hạn lim
A.

1
.
3

C.

1

.
3

D. 0.


÷ là
÷


1
.
2

C. 0.

D. 1.

n2 − n + 3
bằng
n3 + 2n

1
.
3

B. 0.

C.

1
.
2

1
D. − .
2

Câu 7: Trong các dãy số dưới đây, dãy số nào có giới hạn 0?
(1):

( −1)

n

n+5

;

sin n
;
(2):
n+5

A. (1), (2), (3), (4).

cos 2n
;
(3):
n +1

B. Chỉ (2), (3).

n
n2 + 2
; (5): ( −1) .cos n .
(4):
n ( n + 1)
n2 + 2

C. (1), (2), (3), (5).

D. Chỉ (1), (5).

Câu 8: Dãy số nào sau đây có giới hạn khác 0?
A.

cos n
.
n

B.

1
.
n

C.

2n + 1

.
n

D.

1
.
n

Câu 9: Xét các câu sau:
n

1
(1) Ta có lim  ÷ = 0;
 3

Trang 15


(2) Ta có lim

1
= 0 , với k là số nguyên tùy ý.
nk

A. Cả hai câu đều đúng.

B. Cả hai câu đều sai.

C. Chỉ (1) đúng.

D. Chỉ (2) sai.

un = m, ( m ≥ 1)
.
Câu 10: Cho dãy số ( un ) được xác định  n
n
*
 2 un +1 = 2 un − 1 , n ∈ ¥
Tham số m để dãy số ( un ) có giới hạn bằng 0 là
A. m = 1.

B. m = 2.

C. m = 3.

D. m = 4.

Dạng 2: Dãy số có giới hạn hữu hạn
Bài toán 1. Sử dụng định nghĩa chứng minh rằng lim un = L
Phương pháp giải
Ta đi chứng minh lim ( un − L ) = 0.

Ví dụ: Chứng minh rằng lim

3n − 1 3
= .
2n + 1 2

Hướng dẫn giải

Đặt un =

3n − 1
, ta có nhận xét:
2n + 1

3
−5

 3n − 1 3 
lim  un − ÷ = lim 
− ÷ = lim
= 0.
2
2n + 1

 2n + 1 2 
3
Do đó lim un = . Ta được điều phải chứng minh.
2
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1: Chứng minh rằng lim

n2 + n
= 1.
n2 + 1

Hướng dẫn giải
Đặt un =

 n2 + n 
 n −1 
n2 + n
lim
u
−
1
=
lim
− 1÷ = lim  2 ÷ = 0.
(
)
,
ta
có
thể
nhận
xét
 2
n
2
 n +1 
n +1
 n +1 

Do đó lim un = 1 . Ta được điều phải chứng minh.
Bài tốn 2: Chứng minh một dãy số có giới hạn
Phương pháp giải
Sử dụng nguyên lí kẹp:

Ví dụ: Chứng minh các giới hạn sau:

Cho ba dãy số ( un ) , ( vn ) , ( wn ) và số thực L.
Nếu

un ≤ vn ≤ wn

với

mọi

lim un = lim wn = L thì lim vn = L.

n

 − n3 
a) lim  3 ÷ = −1.
 n +1
và
 n 2 + 3n + 2  1
b) lim 
÷= .
2
 2n + n  2
Trang 16


hướng dẫn giải
 −n3


1
− ( −1) ÷ = lim 3 .
a) Ta có lim  3
n +1
 n +1

xét dãy un =
lim vn = lim

1
1
1
⇒ un = 3
< 3 = vn , ∀n và
n +1
n +1 n
3

1
1
= 0 nên lim 3
= 0.
3
n
n +1

 −n3 
Do đó lim  3 ÷ = −1.
 n +1
Ta được điều phải chứng minh.

 n 2 + 3n + 2 1 
5n + 4
lim
− ÷ = lim
.
b) Ta có

2
2
2 ( 2n 2 + n )
 2n + n
Xét dãy un =
⇒ un =

5n + 4
2 ( 2n 2 + n )

5n + 4
5n + 4 5
1
<
=
+
= vn , ∀n.
2
4n
4n n 2
2 ( 2n 2 + n )

Mà lim vn = lim

3
5
1
= 0.
+ lim 2 = 0 nên lim
2 ( 3n 2 + n )
4n
n

 n 2 + 3n + 2  1
Do đó lim 
÷= .
2
 2n + n  2
Ta được điều phải chứng minh.
Ví dụ mẫu
 3.3n − sin 3n 
Ví dụ 1: Chứng minh có giới hạn: lim 
÷ = 3.
3n


Hướng dẫn giải
 3.3n − sin 3n

 − sin 3n 
lim
− 3 ÷ = lim 
Ta có


÷.
n
n
3
3




sin 3n 1  1 
 − sin 3n 
1
Ta lại có
≤ n =  ÷ ∀n và lim  ÷ = 0 , nên lim 
÷ = 0.
n
n
 3

3
3 3
 3
n

n

 3.3n − sin 3n 
Do đó lim 
÷ = 3. Ta được điều cần phải chứng minh.

3n


Bài tốn 3. Tính giới hạn của dãy số bằng các định lí về giới hạn
Phương pháp giải
Ta lựa chọn một trong hai cách:

Ví dụ: Tìm các giới hạn sau:
Trang 17


a) lim

−4n 2 + n + 2
.
2n 2 + n + 1

3
1
2

− 2
b) lim ( 2n + 1)  2
÷.
 n + 2n n + 3n − 1 
hướng dẫn giải
1 2

n 2  −4 + + 2 ÷
n n 

tích, thương của những dãy số mà ta đã biết giới a) lim −4n + n + 2 = lim 
2
1 1 
2n + n + 1

n2  2 + + 2 ÷
hạn.
n n 

Ta có các kết quả sau:
1 2
−4 + + 2
1. lim C = C , với C là hằng số.
n n .
= lim
1
1
2. Kết quả trong định lí 1.
2+ + 2
n n
3. Kết quả trong định lí 2.
Mà
Cách 1: Đưa dãy số cần tìm giới hạn về tổng, hiệu,

2

1 1 

 lim  2 + + 2 ÷
n n 


1
1
= lim 2 + lim + lim 2 = 2 + 0 + 0 = 2 ≠ 0 .
n
n
1 2 
1
2

lim  −4 + + 2 ÷ = lim ( −4 ) + lim + lim 2

n n 
n
n

= −4 + 0 + 0 = −4
Nên lim

−4n 2 + n + 2 −4
=
= −2.
2n 2 + n + 1
2

Chú ý: Như vậy, để tính các giới hạn trên chúng ta
đã thực hiện phép chia cả tử và mẫu cho bậc cao
nhất của n và sử dụng kết quả lim

a

= 0 với k > 0.
nk

3
1
2

− 2
a) lim ( 2n + 1)  2
÷
 n + 2n n + 3n − 1 
3 ( 2n + 1)
( 2n + 1) .
= lim 2
− lim 2
n + 2n
n + 3n − 1
2

2

Mà
2

1

3 2 + ÷
3 ( 2n + 1)
3.22
n

 lim 2
= lim 
=
= 12.
2
n + 2n
1
1+
n
2

Trang 18


2

1

2+ ÷
2

2
n
+
1
) =  n  = 22 = 4.
 lim ( 2
n + 3n − 1 1 + 3 − 1
1
2

n n
Nên

Cách 2: Sử dụng nguyên lí kẹp giữa.

3
1
2

− 2
 lim ( 2n + 1)  2
÷ = 12 − 4 = 8.
 n + 2n n + 3n − 1 
Chú ý: Như vậy, để tính các giới hạn trên chúng ta
đã thực hiện phép tách thành các giới hạn nhỏ.

Ví dụ mẫu
Ví dụ 1: Tìm các giới hạn sau:
9n 2 + 2n − 3n
a) lim
.
4n + 3

b) lim

3 4 n5 + 4n − 2
2 4 n5 − 3n

.

Hướng dẫn giải
9n 2 + 2n − 3n
a) lim
= lim
4n + 3

3 n + 4n − 2
4

b) lim

5

2 4 n5 − 3n

2
2
− 3n
9+ 2 −3
2
9+0 −3 0
n
n
= lim
=
= = 0.
3
4n + 3
4
+

0
4
4+
n

n 9+

3+
= lim

4
2
−
4 5
n
n = 3+ 0−0 = 3.
3
2−0
2
2− 4
n
4

ví dụ 2: Tìm các giới hạn sau:
a) lim

(

)

4n 2 + 2n − 2n .

b) lim

(

)

n 2 + 2n + 3 − 3 n 2 + n3 .

hướng dẫn giải
a)

lim

(

4n 2 + 2n − 4n 2
4n 2 + 2n + 2n

= lim

2n


1
2n  1 +
+ 1÷
2n 


1
1
1
=
= .
1
1+ 0 +1 2
1+
+1
2n

= lim

b) lim

)

4n 2 + 2n − 2n = lim

(

)

n 2 + 2n + 3 − 3 n 2 + n3 = lim

(

)

(

)

n 2 + 2n + 3 − n + lim n − 3 n 2 + n3 .

Mà

Trang 19


 lim

(

3
2
n
n 2 + 2n + 3 − n = lim
= lim
=
= 1.
1+1
2 3
n 2 + 2n + 3 + n
1+ + 2 +1
n n

)

(

 lim n − n + n
3

2

3

) = lim n + n.
2

−1

= lim

2

1+ 3
Vậy lim

(

2+

n 2 + 2n + 3 − n 2

 1 
1
+1 +  3 +1 ÷

n
 n 

=

n3 − ( n 2 + n3 )
3

n2 + n3 +

(

3

)

n 2 + n3

2

−1
1
=− .
1+1+1
3

)

1 2
n 2 + 2n + 3 − 3 n 2 + n3 = 1 − = .

3 3

Chú ý: Để tính các giới hạn trên trước tiên chúng ta cần sử dụng phép nhân liên hợp để khử dạng ∞ − ∞
k
.
∞−∞
Ví dụ 3: Tìm các giới hạn sau:

và

a) lim

3n − 2.5n
.
7 + 3.5n

b) lim

1 + 2 + 22 + ... + 2n
.
1 + 3 + 32 + ... + 3n

hướng dẫn giải
n

3
 ÷ −2
n
n
3 − 2.5

0−2
2
5
= lim   n
=
=−
a) lim
n
7 + 3.5
7.0 + 3
3
1
7.  ÷ + 3
5
n +1

n +1

2
1
− ÷

÷
2
n
n +1
1 + 2 + 2 + ... + 2
2 −1
3
 3

= lim n +1
= lim 2.  
b) lim
n +1
2
n
3 −1
1 + 3 + 3 + ... + 3
1
1−  ÷
2
3

= 0.

Chú ý: Để tính các giới hạn trên chúng ta đã thực hiện phép chia cả tử và mẫu cho cơ số cao nhất và sử
dụng kết quả lim q n = 0 với q < 1.
Ví dụ 4. Tìm các giới hạn sau:
 1
1
1
+
+ ... +
a) lim 
( 2n − 1) ( 2n + 1)
 1.3 3.5


÷
÷.



1 
1 
1 

b) lim 1 − 2 ÷ 1 − 2 ÷... 1 − 2 ÷.
 2  3   n 
Hướng dẫn giải
a) Do

1 2k + 1 − ( 2k − 1) 1  1
1 
= .
= 
−
( 2k − 1) ( 2k + 1) 2 ( 2k − 1) ( 2k + 1) 2  2k − 1 2k + 1 ÷
1

Trang 20


 1
1
1
+
+ ... +
Suy ra lim 
( 2k − 1) ( 2k + 1)
 1.3 3.5


÷
÷


1 1 1 1 1
1
1 
1
1  1
= lim  − + − + ... +
−
÷ = lim 1 −
÷= .
2 1 3 3 5
2n − 1 2n + 1 
2  2n + 1  2
1 
1 
1  
1 
1 

÷ 1− 2 ÷
b) Ta có  1 − 2 ÷1 − 2 ÷ 1 − 2 ÷... 1 −
2 
 2  3  4   ( n − 1) ÷
 n 
1 3 2 4 3 5 n − 2 n n −1 n + 1 n + 1

= . . . . . ...
.
.
.
=
.
2 2 3 3 4 4 n −1 n −1 n
n
2n
1
1+
1
1
1
n
+
1





Suy ra lim 1 −
n = 1.
1 − 2 ÷... 1 − 2 ÷ = lim
= lim

2 ÷
2n
2

2
 2  3   n 
Chú ý: Ta thường gặp giới hạn của một số dãy số sau:
 Dạng 1: Nếu dãy số ( un ) có un =

P ( n)
(trong đó P ( n ) , Q ( n ) là các đa thức của n), thì chia tử và
Q ( n)

mẫu cho n k , với n k là lũy thừa có số mũ cao nhất của n trong các đa thức P ( n ) và Q ( n ) , sau đó áp
dụng các định lí về giới hạn hữu hạn.

 Dạng 2: Nếu dãy số ( un ) có un là biểu thức chứa n dưới dấu căn, thì đưa n k ra ngoài dấu căn (với k
k
là số cao nhất của n trong dấu căn) rồi áp dụng các định lí. Nếu gặp dạng (vô định) n .nu với lim un = 0 ,

thì phải nhân và chia với biểu thức liên hợp của biểu thức chứa căn tiến về 0. Cần chú ý các hằng đẳng
thức:

(

a− b

)(

)

a + b = a − b;

(

3

a±3b

)(

3

)

a 2 m3 ab + 3 b 2 = a ± b.

 Dạng 3: Nếu dãy số ( un ) có un là một phân thức mà tử và mẫu là các biểu thức của các lũy thừa có
n
n
dạng a , b ,... ( n ∈ ¥ ) trong đó a, b,... là các hằng số, thì chia cả tử và mẫu cho lũy thừa có cơ số có trị

tuyệt đối lớn nhất trong các lũy thừa ở tử và mẫu, rồi áp dụng các định lí.

 Dạng 4: Nếu dãy số ( un ) trong đó un là một tổng hoặc một tích của n số hạng (hoặc n thừa số), thì
phải rút gọn un rồi tìm lim un theo định lí.

 Dạng 5: Nếu dãy số ( un ) trong đó un được cho bởi một hệ thức truy hồi, thì ta tìm cơng thức tổng quát
của ( un ) rồi tìm lim un theo định lí.
Bài tốn 4. Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn
Phương pháp giải
 Sử dụng công thức: S = u1 + u2 + u3 + ... =

u1

,
1− q

Ví dụ: Tính các tổng sau:

Trang 21


với q < 1.

1 1
1
a) S = + 2 + ... + n + ...
3 3
3
b) S = 16 − 8 + 4 − 2 + ...
Hướng dẫn giải
1 1
1
a) Xét dãy số ( un ) : , 2 ,..., n ,... là một cấp số
3 3
3
1
1
nhân có u1 = , q = .
3
3
n +1

1

1−  ÷
1 1
1
Suy ra S = + 2 + ... + n =  3 
1
3 3
3
1−
3

− 1.

1
Vậy lim S = .
2
b) Xét dãy số ( un ) :16; −8; 4; −2;... là một cấp số
1
nhân có u1 = 16, q = − .
2
Suy ra S = 16 − 8 + 4 − 2 + ... có

lim S =

16
32
= .
1 3
1+
2

Ví dụ mẫu
Ví dụ 1: Hãy biểu diễn các số thập phân vô hạn tuần hoàn sau dưới dạng phân số:
a) α = 0,353535...

b) β = 5, 231231...

Hướng dẫn giải
35
2
35 35
35
a) α = 0,353535... = 0,35 + 0, 0035 + ... = 2 + 4 + ... = 10 = .
1
10 10
1 − 2 99
10
b) β = 5, 231231... = 5 + 0, 231 + 0, 000231 + ... = 5 +

231 231
+
+ ...
103 106

231
3
231 1742
= 5 + 10 = 5 +
=
.
1

999
333
1− 3
10
Để biểu diễn một số thập phân vơ hạn tuần hồn thành phân số, ta biểu diễn số đó thành tổng của một
cấp số nhân lùi vô hạn và suy ra kết quả.
Cách bấm máy:

Trang 22


Ví dụ 1: Tính giới hạn sau: lim

n 2 + 4n
.
n 2 + 4n + 5

Hướng dẫn giải
 Nhập vào máy tính biểu thức sau:

 Sau đó bấm CALC.

 Nhập x = 9999999999 , sau đó bấm “=”, ta được kết quả:

Kết quả: Vậy giới hạn của dãy số bằng 1.
Ví dụ 2: Tính giới hạn sau lim

(

)

4 n 2 − 5n − 2 n .

Hướng dẫn giải
 Nhập vào máy tính biểu thức sau:

 Sau đó bấm CACL.

 Nhập: x = 9999999999 , sau đó bấm “=”, ta được kết quả:

Trang 23


5
Kết quả: Vậy giới hạn của dãy số bằng −1, 25 = − .
4
NHẬN XÉT: Qua 2 ví dụ trên, phần nào bạn đọc đã hiểu cách sử dụng MTCT để tính tốn các bài tốn
liên quan đến giới hạn của dãy số (giới hạn là số thực). Tuy nhiên, MTCT không hẳn là một công cụ vạn
năng để chúng ta giải quyết các bài toán phức tạp hay những bài tốn hay và khó. Vì vậy, chúng ta cần
phải hiểu sâu bản chất của vấn đề và rèn luyện nhiều dạng bài tập để thao tác nhanh và tập được cách xửl
lí khi gặp một bài tốn lạ hay không sử dụng được MTCT. Chúng ta cùng nhau sang các bài tập rèn luyện
dưới đây.
Bài tập tự luyện dạng 2
Câu 1: Giới hạn lim

2n + 1
bằng
n+2

A. 2.

B.

Câu 2: Giới hạn lim

B.

A. 0.

B.

1
.
2

1
.
2

C. 0.

D.

1
.
6

2
.
3

C.

n n2 + 1 + 3
B.

(

1
.
2

n 2 + 3 n3 + 1 + n n

1
.
2

Câu 5: Giới hạn

D.

n2 + 1
bằng
2n + 3

Câu 3: Giới hạn lim

A.

1
C. − .
2

n +1
bằng
n2 + 2

A. 2.

Câu 4: Giới hạn lim

3
.
2

D.

2
.
5

bằng

1
.
3

C.

2
.
3

D. 1.

C.

1
.
3

1
D. − .
3

)

9n 2 + 2n − 3 8n3 + 6n + 1 − n là

1
A. − .
6
Câu 6: Giới hạn lim
A. 64.
Câu 7: Giới hạn lim

B.

(

1
.
6

) (
2

n − n2 − 1 + n + n 2 − 1
n
B. 32.

)

5

bằng

5

C. 16.

D. 128.

1 − 4n
là
1 + 4n
Trang 24

B. −1.

A. 1.
Câu 8: Giới hạn lim

1
D. − .
3

C. 7.

D. −6.

4.3n + 7 n +1
là
2.5n + 7 n

A. 4.

B. 2.

 1
1
1
+
+ ... +
Câu 9: Giới hạn lim 
2n ( 2n + 2 )
 2.4 4.6
A.

C. 0.

1
.
3


÷
÷ bằng


1
B. − .
2

C. 2.

D.

1
.
4



1
1
1
+

+ ... +
 là
Câu 10: Giới hạn lim 
n n + 1 + ( n + 1) n 
1 2 + 2 1 2 3 + 3 2
A. −2
Câu 11: Tổng

B. 1.

C.

S = 8+ 88+ 888+ ... + 888...8
123
n chữsố8

B. 10n +1 + 10 + 54n.

8
10n +1 − 10 − 9n ) .
(
81

Câu 12: Tổng S = 5 − 5 + 1 −

5
D. − .
2

bằng

A. 10n +1 − 10 − 36n.
C.

3
.
2

D.

1
10n +1 − 10 − 72n ) .
(
81

1 1
+ − ... bằng
5 5

A.

25 − 5 5
.
4

B.

25 − 3 5
.
4

C.

25 + 3 5
.
4

D.

5+3 5
.
4

Dạng 3: Dãy số có giới hạn vơ cực
Phương pháp giải
Đề tỉm giới hạn vô cực của dãy số, ta biến đổi Ví dụ: Tìm các giới hạn sau:
dãy số đã cho về tích hoặc thương của các dãy
số đã biết giới hạn, rồi dựa theo các quy tắc để
tìm giới hạn vơ cực của các dãy số.

a) lim

n5 + n 4 − n − 2
.
4n3 + 6n 2 + 9

b) lim

− 3 n6 − 7 n3 − 5n + 8
.

n + 12

Hướng dẫn giải
 1 1 2
n5  1 + − 4 − 5 ÷
n +n −n−2
n n n 
= lim 
.
a) lim 3
2
6 9
4n + 6n + 9
3
n 4+ + 3 ÷
n n 

5

4

Trang 25