Bài 2 GIỚI hạn hàm số

CHƯƠNG 4
BÀI 2: GIỚI HẠN HÀM SỐ
Mục tiêu
 Kiến thức
+ Nắm được khái niệm giới hạn của hàm số.
+ Nắm được các tính chất và các phép tốn về giới hạn của hàm số.
 Kĩ năng
+ Biết cách tìm giới hạn của hàm số tại một điểm.
+ Vận dụng được các quy tắc tìm giới hạn của hàm số.
+ Thực hành khử một số hạng vơ định cơ bản.
I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM
Định nghĩa giới hạn của hàm số tại một điểm
1. Giới hạn hữu hạn tại một điểm
Định nghĩa 1

Các giới hạn đặc biệt

Cho khoảng ( a; b ) và một điểm x0 . Hàm số y = f ( x )

C = C , với C là hằng số bất kỳ.
+) xlim
→ x0

xác định trên ( a; b ) hoặc trên ( a; b ) \ { x0 } . Ta nói rằng +) f ( x ) là hàm số quen thuộc (đa thức, phân
hàm số f ( x ) có giới hạn là số thực L khi x dần đến thức hữu tỉ, cân lượng giác) xác định trên ( a; b )
x0 (hoặc tại điểm x0 ) nếu với mọi dãy số { xn } trong chứa x thì lim f ( x ) = f ( x0 ) .
0
x → x0
tập hợp

( a; b ) \ { x0 }

mà lim xn = x0 ta đều có

lim f ( xn ) = L .
f ( x ) = L hay f ( x ) → L khi
Khi đó ta viết xlim
→ x0
x → x0 .
2. Giới hạn vơ cực
Ta nói hàm số y = f ( x ) có giới hạn dương vơ cực khi
x dần tới x0 nếu với mọi dãy số ( xn ) sao cho xn → x0
f ( x ) = +∞ .
thì f ( xn ) → +∞ . Kí hiệu xlim
→ x0
Tương tự ta cũng có định nghĩa giới hạn âm vô cực
lim f ( x ) = −∞ .

x → x0

3. Giới hạn hàm số tại vô cực

Các giới hạn đặc biệt

Trang 1


Định nghĩa 2
Giả sử hàm số y = f ( x ) xác định trên khoảng

( a; +∞ ) . Ta nói rằng hàm số

f ( x ) có giới hạn là số

thực L khi x → +∞ nếu với mọi dãy số ( xn ) : ( xn ) > a

C
= 0 với C là hằng số.
x →±∞ x

 lim C = C ; lim
x →±∞



lim x k = +∞

x →+∞

với

k

nguyên

dương;

lim x k = −∞ với k là số nguyên dương lẻ,

x →−∞

lim x k = +∞ với k nguyên dương chẵn.

và xn → +∞ thì f ( xn ) → L .

x →−∞

f ( x) = L .
Kí hiệu: xlim
→+∞
f ( x) = L .
Các giới hạn xlim
→+∞
Các giới hạn

lim f ( x ) = ±∞; lim f ( x ) = ±∞ và
x →−∞

x →+∞

lim f ( x ) = L được định nghĩa tương tự.

x →−∞

4. Một số định lí về giới hạn hữu hạn
Định lí 1
f ( x ) = L, lim g ( x ) = M . Khi đó
Giả sử xlim
→ x0
x → x0
 f ( x ) ± g ( x )  = L ± M .

a) xlim
→ x0 
 f ( x ) .g ( x )  = L.M .
b) xlim
→ x0 
c) xlim
→x

0

f ( x)
L
= ( M ≠ 0) .
g ( x) M

f ( x) = L .
d) xlim
→ x0
f ( x ) = L thì lim
e) Nếu f ( x ) ≥ 0, xlim
→ x0
x→x

0

f) xlim
→x

3

0

f ( x) = L .

f ( x) = 3 L .

cf ( x ) = cL .
g) Nếu c là một hằng số thì xlim
→ x0
Quy tắc 1
f ( x ) = ±∞; lim g ( x ) = L ≠ 0 . Ta có:
Cho xlim
→ x0
x → x0
lim f ( x )

Dấu của L

+∞
−∞
−∞

±
+
−

x → x0

lim  f ( x ) .g ( x ) 

x → x0

±∞
−∞
+∞

Quy tắc 2

Trang 2


f ( x ) = L; lim g ( x ) = 0; L ≠ 0 . Ta có:
Cho xlim
→ x0
x → x0
Dấu của L
+
−
−

f ( x)
x → x0 g ( x )
±∞
−∞
+∞

Dấu của g ( x )

lim

±
+
−
Giới hạn một bên

1. Giới hạn hữu hạn
Định nghĩa 1
Giả sử hàm số

f ( x)

xác định trên khoảng

( x0 ; b ) , ( x0 ∈ ¡ ) . Ta nói rằng hàm

số f ( x ) có giới

hạn bên phải là số thực L khi x cần đến x0 (hoặc tại
điểm x0 ) nếu với mọi dãy số

( x0 ; b )

( xn )

thuộc khoảng

mà lim xn = x0 ta đều có lim f ( xn ) = L .

f ( x ) = L hoặc f ( x ) → L khi
Khi đó ta viết xlim

→ x0+
x → x0+ .
Định nghĩa 2
Giả sử hàm số

f ( x)

xác định trên khoảng

( a; x0 ) , ( x0 ∈ ¡ ) . Ta nói rằng hàm

số f ( x ) có giới

hạn bên trái là số thực L khi x dần đến x0 (hoặc tại
điểm x0 ) nếu với mọi dãy ( xn ) thuộc khoảng ( a; x0 )

Chú ý:
f ( x ) = L ⇔ lim− f ( x ) = lim+ f ( x ) = L .
a) xlim
→ x0
x → x0
x → x0
b) Các định lí về giới hạn của hàm số vẫn đúng
−
+
khi thay x → x0 bởi x → x0 hoặc x → x0 .

mà lim xn = x0 ta đều có lim f ( xn ) = L .
f ( x ) = L hoặc f ( x ) → L khi
Khi đó ta viết xlim

→ x0−
x → x0− .
2. Giới hạn vô cực
f ( x ) = +∞, lim− f ( x ) = −∞ ,
a) Các định nghĩa xlim
→ x0−
x → x0
lim f ( x ) = +∞ và lim+ f ( x ) = −∞ được phát biểu
x → x0

x → x0+

tương tự Định nghĩa 1 và định nghĩa 2.
b) Các chú ý 1 và 2 vẫn đúng nếu thay L bởi +∞ hoặc
−∞ .
Trang 3


II. CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1: Tìm giới hạn của hàm số bằng cách thay trực tiếp
Phương pháp giải
Nếu f ( x ) là hàm số sơ cấp xác định tại x0 thì Ví dụ: Giới hạn lim ( x 2 − 2 x + 4 ) có giá trị là bao
x →−1
lim f ( x ) = f ( x0 ) .

nhiêu?

x → x0

Hướng dẫn giải

2
Do hàm số f ( x ) = x − 2 x + 4 xác định tại điểm

x0 = −1 , nên giới hạn này bằng f ( −1) .
⇒ lim ( x 2 − 2 x + 4 ) = 7 .
x →−1

Ví dụ mẫu
Ví dụ 1: Giới hạn lim
x →2

x 2 − 3x − 5
có giá trị là bao nhiêu?
3x − 1

Hướng dẫn giải
Cách 1: lim
x →2

x 2 − 3x − 5
7
=− .
3x − 1
5

Cách 2: Nhập máy tính như sau

x 2 − 3x − 5
, bấm CACL, nhập giá trị của
3x − 1

x = 2 và ta sẽ nhận được đáp án.

2 tan x + 1
Ví dụ 2: Tìm giới hạn của hàm số B = limπ sin x + 1 .
x→
6

Hướng dẫn giải
π
2 tan + 1
2 tan x + 1
4 3 +6
6
=
=
Ta có B = limπ
.
π
sin x + 1
9
x→
sin + 1
6
6
f ( x ) = 3 . Tìm giới hạn A = lim
Ví dụ 3: Cho lim
x →2
x→2

2 f ( x) +1
.
f 2 ( x) +1

Hướng dẫn giải
Ta có A = lim
x→2

2 f ( x ) + 1 2.3 + 1 7
=
= .
f 2 ( x ) + 1 32 + 1 10

x3 − 4 x
Ví dụ 4: Tìm các giới hạn lim
.
x →2
( 2 x − 1) ( x3 − 2 )
Hướng dẫn giải
Trang 4


Ta có lim
x →2

x3 − 4 x
=
( 2 x − 1) ( x3 − 2 )

23 − 4.2

=0.
( 2.2 − 1) ( 23 − 2 )

Ví dụ 5: Tìm giá trị của tham số m để B ≤ 2 với
B = lim ( x 3 − 2 x + 2m 2 − 5m + 5 ) .
x →1
Hướng dẫn giải

( x3 − 2 x + 2m 2 − 5m + 5) = 2m 2 − 5m + 4 .
Ta có B = lim
x →1
2
Do B ≤ 2 ⇔ 2m − 5m + 2 ≤ 0 ⇔

1
≤m≤2.
2

Bài tập tự luyện dạng 1
Câu 1: Giá trị của xlim
→−1
A. −∞

x +1
là
2 ( x − x + 1)
2

B. 0

Câu 2: Giá trị của lim
x →1
A. 0

( 2x

1

2

− 3x + 2 )

3

B. −

A. −2

x3 + 2 x 2 + 1
3

1
2

D. +∞

C.

1
2

D.

C.

1
2

D. 2

là

B. 1

Câu 3: Giá trị của giới hạn xlim
→−1

C.

2 x5 + 1

1
8

bằng

1
2

x 2 . cos x + 3

Câu 4: Chọn kết quả đúng trong các kết quả sau của lim
x→0
A. Không tồn tại.
Câu 5: Cho A = lim
x→2

A. 14

B. 0

1
2

D. +∞

3x + m
. Để A = 5 , giá trị của m là bao nhiêu?
x+2
B. 4

Câu 6: Cho hàm số f ( x ) =
A.

C. 1

C. 3

D.

10

3

x2 + 1
f ( x ) là
. Giá trị của xlim
→−2
2x4 + x2 − 3

B. không xác định.

C.

5
33

D. +∞

C.

2− 2
6

D. không xác định.

sin 3 x + 1
Câu 7: Kết quả đúng của limπ cot 2 x − 3 là
x →−
4

A. −∞

B.

2 −2
6

Trang 5


Câu 8: Chọn kết quả đúng trong các kết quả sau của lim
x →1

A. −1

B. 1

x3 − x 2
x −1 +1+ x
D. +∞

C. 0

f ( x ) = 5 thì lim 13 − 4 f ( x )  bằng bao nhiêu?
Câu 9: Nếu xlim
→−2
x →−2
A. −17

B. −1

D. −7

C. 9

 x 2 + x + 2 − 4 3 2 x3 + 5 x + 1  a a
lim
÷ = ( là phân số tối giản; a, b là số ngun dương).
Câu 10: Cho x→1 
2
÷ b b
x
−
2


Tính tổng L = a 2 + b 2 .
A. 6

B. 36

C. 7

D. 37

1
 2 x − 1  3x + 5 
f ( x ) là
Câu 11: Cho hàm số y = f ( x ) thỏa mãn f 
÷=
 x ≠ −2; x ≠ ÷. Giá trị của xlim

→+∞
2
 x + 2  2x −1 
A.

4
3

B.

Câu 12: Cho lim
x →1

A. I = −

1
5

C.

3
2

D.

2
3

f ( x) +1
( x2 + x ) f ( x ) + 2 .

= −1 , tính I = lim
x →1
x +1
x+4

4
5

B. I =

4
5

D. I = −5

C. I = 4

Dạng 2: Tìm giới hạn của hàm số dạng vơ định

0
0

Đây là dạng tốn vơ cùng quan trọng về tìm giới hạn của hàm số. Việc tìm giới hạn dạng vơ định

0
là bài
0

P ( x)
trong đó Q ( x0 ) = 0 và P ( x0 ) = 0 .

0 Q ( x)

tốn tìm giới hạn của hàm số dạng hữu tỉ L = xlim
→x
Phương pháp giải
Phân tích cả tử và mẫu thành nhân tử và rút gọn.

Sử dụng các hằng đẳng thức để nhân liên hợp ở tử

x2 + 2x + 1
.
x →−1
2x + 2

Ví dụ: Tính giới hạn lim

và mẫu đưa về dạng 1.

Hướng dẫn giải

Chú ý:

Ta thấy khi thay x0 = −1 thì bài tốn có dạng

 Nếu tam thức bậc hai ax 2 + bx + c có hai nghiệm
x1 , x2 thì ax 2 + bx + c = a ( x − x1 ) ( x − x2 ) .
n
n
n −1
n−2

n−2
n −1
 a − b = ( a − b ) ( a + a b + ... + ab + b ) .

Trường hợp 1.
P ( x)
x → x0 Q ( x )

L = lim

0
,
0

như vậy ta nhóm nhân tử chung ( x + 1) của cả tử và
mẫu để triệt tiêu sau đó đưa về dạng bài tốn 1 để
tìm kết quả.

( x + 1)
x2 + 2x + 1
= lim
Cách 1: lim
x →−1
x →−1 2 ( x + 1)
2x + 2
với P ( x0 ) = Q ( x0 ) = 0 và P ( x ) ,
2

Trang 6

Q ( x ) là các biểu thức chứa căn cùng bậc.

x +1
=0.
x →−1 2

= lim

Sử dụng các hằng đẳng thức để nhân liên hợp ở tử

x2 + 2 x + 1
CACL
2x + 2

Cách 2: Bấm máy tính như sau:

và mẫu đưa về dạng 1.

x = −1 + 10−9 và nhận được đáp án.
Cách 3: Dùng chức năng lim của máy Vinacal

Chú ý: Ta có thể MTCT để tìm các giới hạn
1. Sử dụng MTCT với chức năng của phím CALC.
2. Dùng chức lim của máy Vinacal 570ES Plus.

570ES Plus: lim

x2 + 2x + 1
2 x + 2 x →−1+10−9

Trường hợp 2.
P ( x)
L = lim
với P ( x0 ) = Q ( x0 ) = 0 và P ( x ) là
x → x0 Q ( x )

Ví dụ: Tìm giới hạn L = lim
x →7

L = lim

Giả sử: P ( x ) = u ( x ) − v ( x ) với
m

n

Ta phân tích P ( x ) =

(

m

) (

)

u ( x) − a + a − n v ( x) .

Chú ý: Ta hồn tồn có thể dùng cách đặt ẩn phụ

với những bài toán căn bậc cao.
khơng đi đến kết quả ta phải phân tích như sau:
u ( x) − m v ( x)

=

(

n

) (

u ( x) − m( x) −

m

v ( x) − m( x)

)

4x −1 − x + 2
4
2x + 2 − 2

 3 4x −1 − 3
x + 2 −3 
= lim  4
−4
 = lim ( A − B ) .
x →7

2 x + 2 − 2  x →7
 2x + 2 − 2
Ta có
3

A=

Trong nhiều trường hợp việc phân tích như trên

n

3

x →7

u ( x0 ) = n v ( x0 ) = a .

4x −1 − x + 2
.
4
2x + 2 − 2

Hướng dẫn giải

biểu thức chứa căn khơng đồng bậc.
m

3

=

4

2

B=

trong đó m ( x ) → c .
=

(

4

(

4x −1 − 3
2x + 2 − 2

4

4

(

2x + 2 + 2
3

( 4 x − 1)

2

)(

4

( 2x + 2)

2

+4

+ 3 3 4x −1 + 9

)

) = 64 .
27

x + 2 −3
2x + 2 − 2
2x + 2 + 2
2

(

)(

( 2x + 2)

x+2 +3

L = lim ( A − B ) =
x →7

4

2

+4

)

) =8.
3

64 8 −8
− =
.
27 3 27

Ví dụ mẫu
Ví dụ 1: Tìm giới hạn A = lim
x →1

x3 − 3x 2 + 2
.
x2 − 4x + 3

Hướng dẫn giải

( x − 1) ( x 2 − 2 x − 2 )
x3 − 3x 2 + 2
x2 − 2 x − 2 3
= lim
= lim
=
Ta có A = lim 2
x →1 x − 4 x + 3
x →1
x →1
x−3
2
( x − 1) ( x − 3)
Trang 7


x4 − 5x 2 + 4
.
x3 − 8

Ví dụ 2: Tìm giới hạn B = lim
x→2

Hướng dẫn giải
4
2
x 2 − 1) ( x 2 − 4 )
(
x

−
5
x
+
4
Ta có B = lim
= lim
x→2
x→2
x3 − 8
x 3 − 23

(x
= lim
x →2

2

− 1) ( x − 2 ) ( x + 2 )

( x − 2) ( x2 + 2x + 4)

(x
= lim
3

x →0

− 1) ( x + 2 )

x2 + 2 x + 4

x→2

1 + 5x )
Ví dụ 3: Tìm giới hạn C = lim (

2

= 1.

− ( 1− 6x )
.
x
4

Hướng dẫn giải
1 + 5x )
Ta có C = lim (

3

− ( 1− 6x )
x

( 1 + 5x )
= lim

3

−1

x →0

x

x→0

4

( 1− 6x )
− lim

4

−1

x

x →0

2
2
5 x ( 1 + 5 x ) + ( 1 + 5 x ) + 1
12 x ( 3 x − 1) ( 1 − 6 x ) + 1




= lim

− lim
x→0
x
→
0
x
x
2
2
= lim 5 ( 1 + 5 x ) + ( 1 + 5 x ) + 1 − lim12 ( 3 x − 1) ( 1 − 6 x ) + 1 = 39 .
 x →0


x→0 

Ví dụ 4: Tìm giới hạn D = lim
x→0

( 1 + x ) ( 1 + 2 x ) ( 1 + 3x ) − 1 .
x

Hướng dẫn giải
Ta có D = lim
x→0

( 1 + x ) ( 1 + 2 x ) ( 1 + 3x ) − 1 = lim 6 x3 + 11x 2 + 6 x = 6 .
x

x→0

Ví dụ 5: Tìm giới hạn A = lim
x →1

x

xn −1
( m, n ∈ ¥ * ) .
xm −1

Hướng dẫn giải
Ta có

( x − 1) ( x n−1 + x n −2 + ... + x + 1)
A = lim
x →1 x − 1 x m −1 + x m − 2 + ... + x + 1
(
)(
)

= lim
x →1

x n −1 + x n− 2 + ... + x + 1 n
= .
x m −1 + x m− 2 + ... + x + 1 m

Sau đây chúng ta sẽ tìm một số giới hạn liên quan đến biểu thức chứa dấu căn.
Nguyên tắc cơ bản của dạng bài tập này là nhân lượng liên hợp để đưa về đa
thức. Ngồi cách đó chúng ta có thể chuyển về đa thức khi thực hiện đặt ẩn phụ
tùy bài cụ thể:

Ví dụ 6: Tìm giới hạn I = lim
x →0

2

(

).

3x + 1 − 1
x

Trang 8


A. 6

C. −6

B. 3

D. 0

Hướng dẫn giải
Ta có I = lim
x→0

2

(

) = lim

3x + 1 − 1
x

x →0

6x

(

6
= 3.
3x + 1 + 1

= lim

)

3x + 1 + 1

x →0

x 2 − 3x
Ví dụ 7: Tìm giới hạn K = lim
.
x →0
4x +1 −1
Hướng dẫn giải

Ta có K = lim

( x − 3) (

) =−3.

4x + 1 + 1
4

x →0

Ví dụ 8: Giới hạn lim
x →5

2

3x + 1 − 4
có giá trị bằng bao nhiêu?
3− x + 4

Hướng dẫn giải

(

)
)

( 3x + 1) − 16  3 + x + 4
3x + 1 − 4
= lim

3 − x + 4 x→5 9 − ( x + 4 )  3 x + 1 + 4

Ta có lim
x →5

(

= lim

(

−3 3 + x + 4
3x + 1 + 4

x →5

Ví dụ 9: Tìm giới hạn lim

x →−2

3

) = −18 = − 9 .
8

4

x +1 +1
.
x+2

Hướng dẫn giải
3

Ta có

lim

x →−2

x +1 +1
= lim
x →5
x+2
( x + 2)
= lim
x →5

(

x+2
3

( x + 1)

2

)

− 3 x +1 +1

1

1
= .
2
3
( x + 1) − 3 x + 1 + 1 3

Bằng phương pháp tương tự ta làm một số các bài tốn mở rộng sau đây
Ví dụ 10: Tìm giới hạn M = lim
x→0

1+ 4x − 3 1+ 6x
.
x2

Hướng dẫn giải
Ta có M = lim
x→0

= lim
x→0

3
4 x + 1 − ( 2 x + 1)
1 + 6 x − ( 2 x + 1)
−
lim
x→0

x2
x2

−4
− lim
4 x + 1 + 2 x + 1 x →0

−8 x − 12
3

( 1+ 6x)

2

+ ( 2 x + 1) 3 1 + 6 x + ( 2 x + 1)

2

= −2 + 4 = 2 .

Trang 9


Ví dụ 11: Cho biết lim1
x→

2

1 + ax 2 − bx − 2
= c , với c là một số nguyên và a, b ∈ ¡ .

4 x3 − 3x + 1

Phương trình ax 4 − 2bx 2 + c − 1 = 0 có nhiều nhất bao nhiêu nghiệm trên ¡ ?
Hướng dẫn giải
Ta có 4 x 3 − 3x + 1 = ( 2 x − 1)

( x + 1) .

2

Suy ra phương trình ⇒ 1 + ax 2 − ( bx + 2 ) = 0 phải có nghiệm kép là x =
2

⇒ ( a − b 2 ) x 2 − 4bx − 3 = 0 có nghiệm kép x =

1
.
2

1
2





2
a − b2 ≠ 0
a
−

b
=
0



4

⇒ ∆ = 16b 2 + 4 ( a − b 2 ) .3 = 0 ⇒ a − b 2 = − b 2
⇒ a = b = −3 .
3


2
2

2 1
( a − b )  2 ÷ − 4.b. 12 − 3 = 0 − 4 b2 . 1 ÷ − 4.b. 1 − 3 = 0

2
 3 2
Thử lại đúng. Vậy a = b = −3 .
−3 ( 2 x − 1)

Khi đó

lim1
x→

2

2

1 − 3x 2 − ( 3x − 2 )
1 − 3x 2 + 3x − 2
=
lim
2
1
4 x3 − 3x + 1
x→
( 2 x − 1) ( x + 1)
2
= lim1
x→

2

−3

(

)

1 − 3 x − 3 x + 2 ( x + 1)
2

= −2

.

Suy ra c = −2 .
Vậy ta có phương trình −3 x 4 + 6 x 2 − 3 = 0 có nghiệm x = ±1 .
Sau đây chúng ta sẽ làm một số bài tốn mang tính tổng qt
Ví dụ 12: Tìm giới hạn B = lim

n

x →0

1 + ax − 1
n ∈ ¥ * , a ≠ 0) .
(
x

Hướng dẫn giải
Cách 1: Nhân liên hợp
Ta có B = lim
x →0

B = lim

x →0 n

(

n

)(

1 + ax − 1
x

(

n

n

( 1 + ax )

( 1 + ax )

n −1

n −1

+ n ( 1 + ax )

+ n ( 1 + ax )

n−2

n −1

+ n ( 1 + ax )

n −2

)

+ ... + n 1 + ax + 1

)

+ ... + n 1 + ax + 1

a

( 1 + ax )

n −2

+ ... + n 1 + ax + 1

=

a
n.

Cách 2: Đặt ẩn phụ

Trang 10


Đặt t = n 1 + ax ⇒ x =
⇒ B = a lim
t →1

t n −1

và x → 0 ⇔ t → 1 .
a

t −1
t −1
1
a
= a lim
= a lim n −1 n
= .
n
n
−
1
n
t →1 t − 1 t
t →1 t
t −1
+ t + ... + t + 1 n
( ) ( + t + ... + t + 1)
m

Ví dụ 13: Tìm giới hạn N = lim
x →0

1 + ax − n 1 + bx
.
x

Hướng dẫn giải

Ta có N = lim

m

x →0

n
1 + ax − 1
1 + bx − 1 a b
− lim
= − .
x →0
x
x
m n
n

Ví dụ 14: Tìm giới hạn A = lim m
x →0

1 + ax − 1
với ab ≠ 0 .
1 + bx − 1

Hướng dẫn giải
Áp dụng bài tốn trên ta có A = lim
x →0

n

1 + ax − 1
x
a m am
.lim m
= . =
.
x → 0 1 + bx − 1
x
n b bn

Ví dụ 15: Tìm giới hạn B = lim

1 + ax 3 1 + bx − 1
với ab ≠ 0 .
x

3
Ta có 1 + ax 1 + bx − 1 = 1 + ax

(

x →0

B = lim 1 + ax

3

x →0

3

) (

1 + bx − 1 +

)

1 + ax − 1

1 + bx − 1
1 + ax − 1
a b
+ lim
⇒B= + .
x→0
x
x
2 3

Ví dụ 16: Tìm giới hạn B = lim
x →0

1 + ax 3 1 + bx 4 1 + cx − 1
với ab ≠ 0 .
x

Hướng dẫn giải
Ta có 1 + ax 3 1 + bx 4 1 + cx − 1
= 1 + ax 3 1 + bx
B = lim

x →0

⇒B=

(

(

4

)

1 + cx − 1 + 1 + ax

1 + ax 3 1 + bx

)

4

(

3

) (

1 + bx − 1 +

)

1 + ax − 1 .

3
1 + cx − 1
1 + bx − 1
1 + ax − 1
+ lim 1 + ax
+ lim
x →0
x →0
x
x
x

c b a
+ + .
4 3 2

Ví dụ 17: Tìm giới hạn L = lim (
x →0

1 + mx ) − ( 1 + nx )
.
x2
n

m

Hướng dẫn giải
Ta có L = lim (

x→0

1 + nx ) − ( 1 + mnx )
( 1 + mx ) − ( 1 + mnx ) = mn ( n − m ) .
− lim
2
x →0
x
x2
2
m

n

Trang 11


( 1 − x ) ( 1 − x ) ...( 1 − x ) .
Ví dụ 18: Tìm giới hạn K = lim
3

n

( 1− x)

x →1

n −1

Hướng dẫn giải

Ta có

K = lim
x →1

( 1+ x ) (

1
3

) (

x 2 + 3 x + 1 ...

Ví dụ 19: Tìm giới hạn F = lim

n

x→0

n

)

x n −1 + ... + 1

=

1
n! .

( 2 x + 1) ( 3x + 1) ( 4 x + 1) − 1 .
x

Hướng dẫn giải
Đặt y =
Ta có

n

n

( 2 x + 1) ( 3x + 1) ( 4 x + 1) ⇒ x → 0

thì y → 1 .

( 2 x + 1) ( 3x + 1) ( 4 x + 1) − 1 = y − 1 .

Lại có lim
x→0

( 2 x + 1) ( 3x + 1) ( 4 x + 1) − 1 = 9 .
yn −1
= lim
x →0
x
x

Do đó F = lim
x→0

y −1
yn −1
9
= lim
= .
n
−
1
n
−
2
x→0 x y
x
( + y + ... + y + 1) n

Để tiếp tục ta xét một số bài tốn tìm giới hạn của hàm ẩn và giới hạn có tham số
sau.
Ví dụ 20: Cho lim
x →1

f ( x) +1
( x2 + x ) f ( x ) + 2 .
= −1 . Tính I = lim
x →1
x −1
x −1

Hướng dẫn giải

(x
Ta có lim

2

+ x) f ( x) + 2

x →1

x −1

(x
= lim

2

+ x ) ( f ( x ) + 1) − x 2 − x + 2
x −1

x →1

 ( x 2 + x ) ( f ( x ) + 1)

= lim 
− x − 2 ÷ = −5 .
x →1 
÷
x −1



Ví dụ 21: Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn a + b = 2020 và
lim
x→0

x 2 + ax + 1 − bx + 1
= 1010 . Tìm a, b.
x

Hướng dẫn giải
x 2 + ax + 1) − ( bx + 1)
(
x 2 + ax + 1 − bx + 1
= lim
Ta có lim
x→0
x →0
x
x x 2 + ax + 1 + bx + 1

(

= lim
x→0

x

(

x2 + ( a − b ) x
x + ax + 1 + bx + 1

2

)

= lim
x →0

x + ( a − b)
x + ax + 1 + bx + 1
2

=

)

a −b
2 .

Trang 12


x 2 + ax + 1 − bx + 1
a−b
= 1010 ⇔
= 1010 ⇔ a − b = 2020 .
x
2

Lại có lim
x→0

 a + b = 2020
 a = 2020
⇔
Từ đó ta có hệ phương trình 
.
 a − b = 2020
b = 0
x 2 + mx + n
Ví dụ 22: Cho m, n là các số thực khác 0. Nếu giới hạn lim
= 3 , hãy
x →−5
x+5
tìm mn?
Hướng dẫn giải
x 2 + mx + n
= 3 nên x = −5 là nghiệm của phương trình x 2 + mx + n = 0
x →−5
x −5

Vì lim

⇒ −5m + n + 25 = 0 ⇔ n = −25 + 5m .
x 2 + mx + n
x 2 + mx + 5m − 25
= lim
= lim ( x − 5 + m ) = m − 10
x →−5
x →−5
x →−5

x −1
x+5

Khi đó lim

⇔ m = 13 ⇒ n = 40 ⇒ mn = 520 .

Ví dụ 23: Cho hàm số y = f ( x ) xác định trên ¡ thỏa mãn lim
x →2

Tính giới hạn lim

3

5 f ( x ) − 16 − 4
x2 + 2x − 8

x →2

f ( x ) − 16
= 12 .
x−2

.

Hướng dẫn giải
f ( x ) = 16 .
( f ( x ) − 16 ) = 0 ⇔ lim
Theo giả thiết có lim
x →2

x→2
Ta có lim
x →2

= lim
x →2

3

5 f ( x ) − 16 − 4
x2 + 2x − 8

( 5 f ( x ) − 16 ) − 64

( x − 2 ) ( x + 4 ) ( 3 5 f ( x ) − 16 )

2



= lim
x →2

5 ( f ( x ) − 16 )

( x − 2 ) ( x + 4 ) ( 3 5 f ( x ) − 16 )



 f ( x ) − 16

= lim 
.
x →2
 x−2
x + 4 ) 
(


= 12.

+ 4 3 5 f ( x ) − 16 + 42 


(

2

+ 4 3 5 f ( x ) − 16 + 42 




5

2
2 
3 5 f x − 16
3
+ 4 5 f ( x ) − 16 + 4 ÷
( )

 

)

5
6


(

3

5.16 − 16

)

2

+ 4 3 5.16 − 16 + 16 


=

5
24 .

Trang 13


Bài tập tự luyện dạng 2

Câu 1: Kết quả đúng của giới hạn lim

3

x →2

A. −

1
12

B.

x2 + 4 − 2
bằng
x2 − 4

5
12

C. −

Câu 2: Kết quả đúng của giới hạn lim
x→0

D.

1
12

1
2

D.

1
2

1− x −1
bằng
x

B. +∞

A. 0

5
12

C. −
x 4 − 27 x
bằng
x →3 2 x 2 − 3 x − 9

Câu 3: Kết quả đúng của giới hạn lim
A. 7

B. 5

Câu 4: Tính giới hạn lim

x →1

A. 0

C. 9

2 x − 3x + 1
, ta được kết quả là
x2 −1
B.

4
3

2
3

B.

x +1

x +3 −2

x →−1

2

3

D. 2

C. 0

D. 1

bằng

−1
4 −2

x + a)
Câu 6: Kết quả đúng của giới hạn lim (
x→0

A. a 2

5
8

C.
3

Câu 5: Kết quả đúng của lim
A. −

D. 3

3

− a3

x

B. 2a 2

bằng
C. 0

D. 3a 2

x 4 − 16
bằng
x →−2 x 2 + 6 x + 8

Câu 7: Kết quả đúng của giới hạn lim
A. −14

B. −16

C. −18

D. −12

x4 + 8x
bằng
x →−2 x 3 + 2 x 2 + x + 2

Câu 8: Kết quả đúng của lim
A. −

21
5

B.

21
5

Câu 9: Kết quả đúng của lim

x →−1

A. −∞

B.

x→0

A. +∞

B.

1
3

24
5

D. −

24
5

C.

−2 2
3

D. −2

C.

1
6

D. 1

x2 + 8 − 3
bằng
1− x − 2

2 2
3

Câu 10: Kết quả đúng của lim

C.

x2 + x + 1 −1
bằng

3x

Trang 14


Câu 11: Kết quả đúng của lim
x→0

A. +∞

x2 + 1 − 1
4 − x 2 + 16

bằng

B. −1

C. −4

xm − xn
; m, n ∈ ¥ ta được kết quả là
x →1
x −1
B. m − n
C. m

D. 4

Câu 12: Tính giới hạn lim
A. +∞

Câu 13: Giới hạn lim
x →1

D. mn

2 x − 1 − 3 3x − 2
bằng
x −1

A. 1

C. +∞

B. 0

Câu 14: Giả sử L = lim
x →0

D.

1
2

ax + 1 − 1
. Hệ số a bằng bao nhiêu để L = 3 ?
2x
B. −6

A. 6

C. −12

D. 12

a
x + 1 − 3 x + 19 a
= , trong đó
là phân số tối giản, a và b là các số nguyên dương.
4
b
b
x+8 −2

Câu 15: Biết lim
x →8

Tổng a + b bằng
A. 137

B. 138

C. 139

Câu 16: Cho a là một số thực khác 0. Kết quả của lim
x →a

B. 2a 2

A. 3a
Câu 17: Biết lim

x →2

3

D. 140

x 4 − a4
bằng
x−a

C. a 3

D. 4a 3

a
8 x + 11 − x + 7 a
là phân số tối giản, a và b là các số nguyên dương.
= trong đó
2
b
x − 3x + 2
b

Tổng 2a + b bằng
A. 68

B. 69

C. 70

D. 71

6 x + 9 − 3 27 x − 54 a
a
= trong đó
Câu 18: Biết lim
là phân số tối giản, a và b là các số nguyên
2
x →3 x − 3
b
(
) ( x + 3x − 18) b
dương. Tổng 3x + b bằng
A. 57

B. 58

Dạng 3: Tìm giới hạn của hàm số dạng vơ định

C. 56

D. 55

∞
∞

Đây là dạng quan trọng của giới hạn hàm số, là lớp các bài tốn tìm giới hạn dạng L = xlim
→±∞

f ( x)

, trong
g ( x)

đó f ( x ) ; g ( x ) → ±∞ khi x → ±∞ .
Phương pháp giải
x4 + 7
.
x →+∞ x 4 + 1

Ví dụ: Tính giới hạn lim

Trang 15


Hướng dẫn giải
1. Chia tử và mẫu cho x n với n là số mũ cao nhất Cách 1: Chia cả từ và mẫu cho x 4 .
của biến ở mẫu (hoặc phân tích thành tích chứa
nhân tử x n rồi giản ước).
2. Nếu f ( x ) hoặc g ( x ) có chứa biến x trong dấu

7
1+ 4
x4 + 7
x = 1.
lim
= lim
x →+∞ x 4 + 1
x →+∞
1
1+ 4

x

4
căn thì đưa x k ra ngồi dấu căn (với k là mũ cao Cách 2: Bấm máy tính như sau x + 7 ; CACL;
x4 + 1
nhất của biến x trong dấu căn), sau đó chia tử và
x = 109 và nhận được đáp án.
mẫu cho lũy thừa cao nhất của x (thường là bậc cao

nhất ở mẫu).
3. Sử dụng các kết quả sau đây để tính.
Các giới hạn đặc biệt:
 lim c = c; lim
x →±∞

x →±∞

c
= 0 với c là hằng số và k ∈ ¥ .
xk

x k = +∞ với k nguyên dương; lim x k = −∞
 xlim
→+∞
x →−∞
x k = +∞ với k chẵn.
với k lẻ; xlim
→−∞
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1: Tìm giới hạn lim

x →+∞

2 x − 3x 2 + 2
5x + x2 + 2

.

Hướng dẫn giải
2
2 x − 3x + 2
x2 = 2 − 3
= lim
Ta có xlim
.
→+∞
6
5 x + x 2 + 2 x →+∞ 5 + 1 + 2
x2
2

Ví dụ 2: Cho hàm số f ( x ) =

2− 3+

x2 + 1
f ( x) .
, tìm giới hạn xlim
→+∞
2 x4 + x2 − 3

Hướng dẫn giải
x +1
= lim
2 x + x 2 − 3 x →+∞
2

Ta có lim

x →+∞

4

=
Ví dụ 3: Tìm giới hạn xlim
→−∞

1 1
+
x2 x4 = 0 .
1 3
2+ 2 − 2
x
x
1 + 3x
2x2 + 3

.

Hướng dẫn giải

Trang 16


1
+3
3 2
= lim x
=−
.
2
2 x 2 + 3 x →−∞ − 2 + 3
x

1 + 3x

Ta có xlim
→−∞

3

Ví dụ 4: Tìm giới hạn lim

x →−∞

1 + x4 + x6

.

1 + x3 + x 4

Hướng dẫn giải
3

Ta có xlim
→−∞

1+ x + x
4

6

1 + x3 + x 4

x2 3
= lim

x →−∞

x2

1 1
+ +1
x6 x 2
= 1.
1 1
+ +1
x4 x2

Ví dụ 5: Cho hàm số f ( x ) = ( 2 + x )

x −1
f ( x) .
, tìm giới hạn xlim
→+∞
x + x2 + 1
4

Hướng dẫn giải
Ta có lim ( 2 + x )
x →+∞

x −1
= lim
4
x + x 2 + 1 x →+∞

( x − 1) ( 2 + x )
x4 + x2 + 1

2

= lim

x →+∞

1 1 2
+ −
x 2 x3 x 4 = 0 .
1 1

1+ 2 + 4
x
x

3 x 2 − x5
.
x →+∞ x 4 + 6 x + 5

Ví dụ 6: Tính giới hạn lim
Hướng dẫn giải

3

x  −1 + 3 ÷
3x − x
x 
= lim 
= −∞ .
Ta có xlim
→+∞ x 4 + 6 x + 5
x →+∞ 
6 5 
1 + 3 + 4 ÷
x 
 x
2

5

−2 x 5 + x 4 − 3

.
x →−∞
3x 2 − 7

Ví dụ 7: Tính giới hạn lim
Hướng dẫn giải

1 3

x 3  −2 + − 5 ÷
−2 x + x − 3
x x 
= lim 
= +∞ .
Ta có xlim
2
→−∞
x →−∞
7
3x − 7

3− 5 ÷
x 

5

4

Ví dụ 8: Tính giới hạn A = lim

3

3x3 + 1 − 2 x 2 + x + 1

x →−∞

4

4x4 + 2

.

Hướng dẫn giải

A = lim

x →−∞

3

3x + 1 − 2 x + x + 1
3

2

4

4 x4 + 2

= lim

x →−∞

x3 3+

1
1 1
+ x 2+ + 2
3
3
x
x x =− 3+ 2
.
2
2
x4 4+ 4
x
Trang 17


Ví dụ 9: Tìm giới hạn A = lim

x x2 + 1 − 2x + 1

x →−∞

3

2 x3 − 2 + 1

.

Hướng dẫn giải

1 2 1 
2
x
−
1
+
− + ÷

x2 x x2 
x x2 + 1 − 2x + 1

A = lim
= lim
= +∞ .
3
x →−∞
x →−∞


2
1
2 x3 − 2 + 1
x 3 2− 3 + ÷
x
x


Bài tập tự luyện dạng 3
f ( x ) = a và lim g ( x ) = b . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
Câu 1: Giả sử xlim
→+∞
x →+∞
f ( x ) .g ( x ) = a.b
A. xlim
→+∞

 f ( x ) − g ( x )  = a − b
B. xlim
→+∞ 

f ( x) a
=
g ( x) b

 f ( x ) + g ( x )  = a + b
D. xlim
→+∞ 

C. xlim
→+∞

4 x 2 + x + 6 64 x 6 + x − 1

Câu 2: Tìm giới hạn B = lim

x →−∞

A. −4

B.

4

x4 + 3

4
3

được kết quả là
4
3

C. 4

D. −

C. 7

D. +∞

x14 + 7
là
x →+∞ x14 − 1

Câu 3: Giá trị đúng của lim
A. −1

B. 1

Câu 4: Tìm giới hạn C = lim

2x − 9 x2 + 2
5x + x2 + 1

x →−∞

A. +∞

B. −∞

1
2

Câu 6: Tìm giới hạn xlim
→−∞
A.

5

3
2

B.

2 x5 + 3

5

4

D. −

1
6

x →−∞

được kết quả
C. −

2 x + 3 1 + x4 + x6
1 + x3 + x 4 + x − 1

B. −∞

D. +∞

C. 0

B. 0

Câu 7: Tìm giới hạn D = lim
A. +∞

2
2

1 + 3x

5

C.

x 2 + 2020
f ( x ) là
. Kết quả đúng của xlim
→+∞
2 x 2019 + x 2

Câu 5: Cho hàm số f ( x ) =
A.

được kết quả là

5

3
2

D. −∞

được kết quả
C.

3
2

D. 1

Trang 18


x2 − 2 x −1
f ( x ) là
. Kết quả của xlim
→−∞
x 4 + 3x 2 + 1

Câu 8: Cho hàm số f ( x ) = ( 2 x + 1)
A. 0
Câu 9: Tìm giới hạn xlim
→−∞
A. 3

x 4 − x2 + 3
2 x 4 x2 + 5
B.

D. +∞

C. −2

B. 2

được kết quả

1
4

C. 1

D. −

x4 + 8x x + 2 + 1
x →−∞ x 3 + 2 x 2 + x + 2
C. −∞

D. 1

1
4

Câu 10: Chọn kết quả đúng trong các kết quả sau của lim
B. +∞

A. 0

x2 − x + 1 − 2 x
được kết quả là
x +1

Câu 11: Tìm giới hạn E = lim

x →+∞

A. +∞

B. −∞
x

Câu 12: Tìm giới hạn F = lim

x →−∞

A. −

1
4

3

D. +∞

D. −1

C. 1

( 8x

3

+ 2 x ) + 2 x 3 8 x3 + 2 x + 4 x 2 + 2
2

C.
4

3

B. −∞

được kết quả là

1
6

D.

1
12

16 x 4 + 3 x + 1 + 4 x 2 + 2
được kết quả là
3x + 1

B. −∞

x →−∞

A. +∞

là

2x2 + 3

x →−∞

Câu 17: Tìm giới hạn A = lim

D. 0

x 2 + 3x + 1 − 2 x 2 − x + 1
được kết quả là
x +1

B. 0

Câu 16: Tìm giới hạn H = lim

1
4

C. 1

B. −∞

Câu 15: Tìm giới hạn N = xlim
→+∞

D. 0

được kết quả là
C.

B. 2
x →−∞

A. +∞

4 x3 + 1 + 2 x

x 4 − x3 + x 2 − x

Câu 14: Tìm giới hạn M = lim

A. +∞

3

)

x3 − 3 + 2 x 2

x →+∞

A. +∞

4 x2 + 1 + x

B. +∞

Câu 13: Kết quả đúng của lim
A. 3

(

C. −1

C.

3x3 + 1 − 2 x 2 + x + 1
4

4x4 + 2

4
3

D. −

4
3

được kết quả là

C. −

3

3+ 2
2

D. 0

Trang 19


Câu 18: Tìm giới hạn B = lim

x x2 + 1 − 2x + 1

x →+∞

3

2 x3 − 2 + 1

được kết quả là

B. −∞

A. +∞

C.

( 2 x + 1) ( x + 2 )
A = lim
x →+∞
( 3 − 2 x 4 ) ( 1 − x ) 2019
3

Câu 19: Tìm giới hạn

x2 + x + 1 − x

x →−∞

B. −∞

A. +∞

được kết quả là
C. 4

4 x 2 − 3x + 4 − 2 x

Câu 20: Tìm giới hạn B = lim

D. 0

2020

B. −∞

A. +∞

4
3

D. 0

được kết quả là
C. 2

D. 0

Dạng 4: Tìm giới hạn của hàm số dạng vô định ∞ − ∞ và 0.∞
Phương pháp giải

( f ( x ) − g ( x ) ) , trong Ví dụ: Tìm giới hạn E = lim

1. Tìm giới hạn dạng L = xlim
→±∞
x →+∞
đó f ( x ) ; g ( x ) → +∞ , khi x → ±∞ hoặc

(

)

x2 − x + 1 − x .

Hướng dẫn giải

f ( x ) ; g ( x ) → −∞ , khi x → ±∞ .

Đây là giới hạn dạng ∞ − ∞ , để tính giới hạn này ta

f ( x ) → 0; g ( x ) → ±∞ , khi x → ±∞ .

Chú ý khi x → +∞ thì x = x 2 .

nhân liên hợp của tử sau đó chia cả tử và mẫu cho
f ( x ) .g ( x ) , trong đó
2. Tìm giới hạn dạng L = xlim
→±∞
x.

Ta có E = xlim
→+∞

−x +1

1
=− .
2
x − x +1 + x
2

Ví dụ mẫu
x
Ví dụ 1: Tìm giới hạn F = xlim
→−∞

(

)

4x2 + 1 + 2 x .

để tính giới hạn này ta nhân

Hướng dẫn giải

liên hợp của tử sau đó chia
x

1
=− .
4
4x +1 − 2x

Ta có F = xlim
→−∞

Đây là giới hạn dạng ∞ − ∞ ,

cả tử và mẫu cho x.

2

Chú ý khi x → −∞ thì
x = − x2 .

)

(

x + x2 + x + 1 .
Ví dụ 2: Tìm giới hạn B = xlim
→−∞
Hướng dẫn giải

(

)

x + x 2 + x + 1 = lim
Ta có B = xlim
→−∞
x →−∞

Ví dụ 3: Tìm giới hạn C = xlim
→+∞

−x −1

1
=− .
2
x − x + x +1
2

3
4 x2 + x + 1 − 2 x

.
Trang 20


Hướng dẫn giải
4 x2 + x + 1 + 2 x
=4.
x +1

Ta có C = lim

x →+∞

Ví dụ 4: Tìm giới hạn M = xlim
→−∞

)

(

x 2 + 3x + 1 − x 2 − x + 1 .

Hướng dẫn giải
4x

Ta có M = xlim
→−∞

x + 3x + 1 + x 2 − x + 1
2

x
Ví dụ 5: Tìm giới hạn K = xlim
→+∞

= −2 .

)

(

x2 + 1 + x2 −1 − 2x .

Hướng dẫn giải



1
−1
x
+
Ta có K = xlim
÷= 0 .
2
2
→+∞
x
+
1
+
x
x
−
1
+
x


Tiếp theo, ta xét bài tập liên hợp của căn bậc ba hay sự kết hợp căn ở cả tử
và mẫu.
Ví dụ 6: Tìm giới hạn N = xlim
→+∞

(

3

)

8x3 + 2 x − 2 x .

Hướng dẫn giải
Ta có

2x

N = lim

x →+∞

3

( 8x

3

+ 2 x ) + 2x 8x + 2x + 4x
2

3

3

=0
2

4 x 2 − 3x + 4 + 2 x

Ví dụ 7: Tìm giới hạn B = lim

x2 + x + 1 + x

x →−∞

.

.

Hướng dẫn giải
B = lim

x →−∞

4 x 2 − 3x + 4 + 2 x
x + x +1 + x
2

= lim

x →−∞

Ví dụ 8: Tìm giới hạn D = xlim
→−∞

(

3

( 4 − 3x ) (

( x + 1) (

x2 + x + 1 − x

)

3
=− .
2
4 x − 3x + 4 − 2 x
2

)

)

x3 + x 2 + 1 + x 2 + x + 1 .

Hướng dẫn giải
Ta có D = lim

x →−∞

((

3

) (

x3 + x 2 + 1 − x +

))

x2 + 1 + 1 + x .



x2 + 1
x +1
1

÷
= lim 
+
=− .
÷
2
2
x →−∞
6
x + x +1 − x ÷
 3 ( x 3 + x 2 + 1) + x 3 x 3 + x 2 + 1 + x 2


Ví dụ 9: Tìm giới hạn A = xlim
→+∞

(

3

)

x3 + 2 x 2 + 1 − 2 x 2 − x + x .

Hướng dẫn giải
Trang 21


Ta có A = lim

x →+∞

((

3

) (

x3 + 2 x 2 + 1 − x − 2

x2 − x − x

))




2x2 + 1
2x

÷ 5
= lim 
+
÷= .
2
2
x →+∞
x −x+x÷ 3
 3 ( x 3 + 2 x 2 + 1) + x 3 x 3 + 2 x 2 + 1 + x 2


Bài tập tự luyện dạng 4

A. +∞

)

(

Câu 1: Tìm giới hạn A = xlim
→+∞

x 2 − 3x + 1 − x được kết quả là

B. −

3

2

C. −

1
2

D.

3
2

)

(

2 x + 4 x 2 − x + 1 được kết quả là
Câu 2: Tìm giới hạn B = xlim
→−∞
A.

1
4

B.

1
2

Câu 3: Tìm giới hạn C = xlim

→+∞
A. n ( a1 + a2 + ... + an ) B.

(

C. −
n

A. −

1
6

B.

A. −

1
6

C.

được kết quả là

a1 + a2 + ... + an
2n

D.

a1 + a2 + ... + an

n

D.

1
3

9 x 2 + 1 − 3x được kết quả là

1
6

B. −

1
2

)

(

C. −

x2
Câu 5: Tìm giới hạn E = xlim
→−∞

D. −

( x + a1 ) ( x + a2 ) ... ( x + an ) − x )

a1a2 ...an
n

x
Câu 4: Tìm giới hạn D = xlim
→+∞

1
4

(

3

1
3

)

x3 + 2 − x được kết quả là

2
3

C.

2
3

D. −

1
3

)

(

x − 3 1 − x 3 được kết quả là
Câu 6: Tìm giới hạn F = xlim
→−∞
A. +∞

B. −∞

Câu 7: Tìm giới hạn G = xlim
→−∞
A. 0

(

1
4

)

C. −

(

4

D. 0

x 3 − 3 x 2 + x 2 − 2 x được kết quả là

B. 1

Câu 8: Tìm giới hạn H = xlim
→+∞
A. +∞

3

C.

5
2

D. −2

)

16 x 4 + 3 x + 1 − 4 x 2 + 2 được kết quả là

B. −∞

Câu 9: Kết quả giới hạn I = xlim
→+∞

C.
3

4
3

x6 + x + 1 − 4 x4 + 2 x −1

( 2 x + 3)

2

D. 0
a
a
= − , với
là phân số tối giản ( a; b > 0 ) .
b
b

Tổng a + b bằng
Trang 22


A. 7

B. 5

C. 6

Câu 10: Kết quả giới hạn J = lim

x →+∞

( a; b > 0 ) . Tổng a + b

(

D. 8

)

x 2 + x + 1 − 2 3 x3 + x 2 − 1 + x = −

a
a
, với
là phân số tối giản
b
b

bằng

A. 7

B. 5

C. 6

Câu 11: Kết quả giới hạn K = lim x
x →+∞

(

D. 8

)

x 2 + 2 x − 3 x3 + 3x 2 =

a
a
, với
là phân số tối giản ( a; b > 0 ) .
b
b

Tổng a + b bằng
A. 3

B. 5

Câu 12: Cho L = xlim
→−∞

(

C. 4

D. 2

)

4 x 2 + ax + 12 + 2 x = 5 . Giá trị của a là
B. −6

A. 10

D. −20

C. 6

Câu 13: Cho a, b là các số dương. Biết M = lim

x →−∞

(

)

3
. Tìm giá trị lớn nhất
2

D.

8
3

4 x 2 − ax + 3 8 x3 + bx 2 + 5 =

của ab.
A.

8
9

B.

Câu 14: Biết rằng L = lim

x →−∞

16
3

(

C.

)

2 x 2 − 3x + 1 + x 2 =

3
8

a
a

2 (a là số nguyên, b là số nguyên dương,
tối
b
b

giản). Tổng a + b có giá trị là
A. 1

B. 5

C. 4

D. 7

3
ax + 1 − 1 − bx
Câu 15: Biết rằng b > 0, a + 3b = 9 và lim
= 2 . Khẳng định nào dưới đây sai?
x→0
x

A. 1 < a < 3

B. b > 1

C. a 2 + b 2 > 12

Câu 16: Cho các số thực a, b, c thỏa mãn c 2 + a = 18 và xlim
→+∞
A. P = 18

B. P = 12

(

D. b − a < 0

)

ax 2 + bx − cx = −2 . Tính P = a + b + 5c .

C. P = 9

D. P = 5

Dạng 5: Tìm giới hạn một bên và giới hạn vô cùng
Phương pháp giải
x−3
f ( x ) ta sử dụng các định
1. Tìm giới hạn xlim
→a±
Ví dụ: Tìm giới hạn lim−
.
x →3 5 x − 1
nghĩa và quy tắc giới hạn một bên.
Hướng dẫn giải
Do x → 3− ⇒ x < 3 , như vậy x − 3 = − x + 3 .

f ( x ) = L ⇔ lim− f ( x ) = lim+ f ( x ) = L .
2. xlim

→ x0
x → x0
x → x0

Ta có lim−
x →3

x−3
−x + 3
−1 −1
.
= lim−
= lim−
=
5 x − 1 x →3 5 x − 15 x →3 5
5

Ví dụ: Cho hàm số
4
2
5 x − 6 x − x khi x ≥ 1
f ( x) =  3
. Tính giới hạn
khi x < 1
 − x + 3x

Trang 23


K = lim f ( x ) .

x →1
Hướng dẫn giải
f ( x ) = lim− ( − x 3 + 3 x ) = −1 + 3 = 2 ;
Ta có lim
x →1−
x →1
lim f ( x ) = lim+ ( 5 x 4 − 6 x 2 − x ) = −2 .

x →1+

x →1

3. Các định lí về giới hạn của hàm số vẫn đúng khi

f ( x ) ≠ lim+ f ( x ) nên không tồn tại
Do lim
x →1−
x →1

−
+
thay x → x0 bởi x → x0 hoặc x → x0 .

lim f ( x ) .
x →1

4. Quy tắc sử dụng các giới hạn vô cùng dạng
thương
f ( x ) = L ≠ 0, lim g ( x ) = 0 và g ( x ) > 0
Nếu lim

x →a
x→a
hoặc g ( x ) < 0 với mọi x ∈ D \ { a} , thì lim
x →a

f ( x)
g ( x)

Ví dụ: Tính giới hạn lim

Dấu của g ( x )

+∞

+
−

+∞
−∞

lim
x →a

−∞
+∞

5. Quy tắc sử dụng các giới hạn vơ cùng dạng tích
f ( x ) = L ≠ 0, lim g ( x ) = ±∞ thì
Nếu lim
x →a

x→a

.

Hướng dẫn giải
Ta có lim+

( x − 2 ) ( x − 1)

= lim+

x−2

x →2

( x − 2 ) ( x − 1)
x−2

x →2

= lim+ ( x − 1) = 1 .
x→2
lim+

( x − 2 ) ( x − 1)

x →2

x−2

= lim+
x→2

− ( x − 2 ) ( x − 1)
x−2

= lim+ ( 1 − x ) = −1 .

−∞

+
−

−∞

f ( x)
g ( x)
+∞

x−2

x →2

được cho bởi bảng sau
L

x 2 − 3x + 2

x→2

⇒ lim−
x→2

( x − 2 ) ( x − 1)
x−2

≠ lim+

( x − 2 ) ( x − 1)

x→2

Vậy không tồn tại lim
x →2

x−2

x 2 − 3x + 2
x−2

.

.

lim f ( x ) .g ( x ) được cho bởi bảng sau
x →a
lim g ( x )
x →a

Dấu của L

+∞
+∞
−∞
−∞

+
−
+
−

lim f ( x ) .g ( x )
x →a

+∞
−∞
−∞
+∞

f ( x)
6. Bấm máy tính giới hạn lim
x →a
- Nhập hàm số f ( x ) .
x → +∞ ⇒ CALC x = 1011
Trang 24


x → −∞ ⇒ CALC x = −1011
x → x0 ⇒ CALC x = x0 ±

1
1011

x → x0+ ⇒ CALC x = x0 +

1
1011

x → x0− ⇒ CALC x = x0 −

1
.
1011

CÁCH CHỌN KẾT QUẢ:
......10−... → KQ = 0
+......10+... → KQ = +∞
−......10+... → KQ = −∞
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1: Tìm giới hạn lim+
x →0

2x + x
.
x− x

Hướng dẫn giải
Ta có lim+
x →0

2x + x
= lim
x − x x → 0+

(

) = lim 2

x 2 x +1
x

Ví dụ 2: Tìm giới hạn lim +

(

)

x −1

x2 + 4x + 3

x →( −1)

x3 + x 2

x → 0+

x +1 1
=
= −1 .

x − 1 −1

.

Hướng dẫn giải
Ta có lim +
x →( −1)

x2 + 4x + 3

= lim +

x3 + x 2

x →( −1)

( x + 1) ( x + 3)
x 2 ( x + 1)

= lim +

x + 1 ( x + 3)

x →( −1)

x2

=

0

=0.
1

f ( x ) = L ⇔ lim− f ( x ) = lim+ f ( x ) = L .
Một bài tốn về định lí tồn tại giới hạn xlim
→ x0
x → x0
x → x0
khi x ≤ 1
x − 3
f ( x ) với f ( x ) = 
Ví dụ 3: Tìm lim
.
x →1
2
1 − 7 x + 2 khi x > 1
Hướng dẫn giải
 lim− f ( x ) = lim− ( x − 3) = −2
x →1
 x →1
Ta có 
.
2
f
x
=
lim
1
−
7

x
+
2
=
−
2
(
)
 xlim
x →1+
 →1+

(

)

f ( x ) = lim+ f ( x ) = −2 nên lim f ( x ) = −2 .
Do lim
x →1
x →1−
x →1
Sau đây ta sẽ xét một số bài tập về kết quả giới hạn một phía bằng vơ cùng.
1 
 1
− 2
Ví dụ 4: Tìm giới hạn L = lim− 
÷.
x →2  x − 2
x −4
Trang 25