Bài 3 hàm số LIÊN tục

BÀI 3. HÀM SỐ LIÊN TỤC
Mục tiêu
 Kiến thức
+ Nắm được khái niệm hàm số liên tục tại một điểm, trên một khoảng, trên một đoạn.
+ Nắm được các định lí cơ bản về hàm số liên tục
 Kĩ năng
+ Chứng minh được hàm số liên tục tại một điểm, liên tục trên một khoảng, liên tục trên một
đoạn
+ Nắm vững phương pháp giải dạng bài tốn tìm tham số để hàm số liên tục

Trang 1


I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM
1. Hàm số liên tục tại một điểm

Hàm số không liên tục tại điểm x0 được gọi là gián

Định nghĩa 1
Cho hàm số y  f  x  xác định trên khoảng K và

đoạn tại điểm x0 .

x0 �K . Hàm số y  f  x  được gọi là liên tục tại
f  x   f  x0  .
x0 nếu xlim
� x0
2. Hàm số liên tục trên một khoảng, trên một
đoạn
Hàm số liên tục trên khoảng  a; b 

Định nghĩa 2
Hàm số y  f  x  được gọi là liên tục trên một
khoảng nếu nó liên tục tại mọi điểm của khoảng đó.
Hàm số y  f  x  được gọi là liên tục trên đoạn

 a; b 

nếu nó liên tục trên khoảng

 a; b 

và

lim f  x   f  a  , lim f  x   f  b  .
x �b

x �a 

Hàm số không liên tục trên khoảng  a; b 
Nhận xét: Đồ thị của hàm số liên tục trên một
khoảng là một “đường liên” trên khoảng đó

3. Một số định lí cơ bản
Định lí 1
a) Hàm đa thức liên tục trên �
b) Hàm phân thức hữu tỉ và hàm số lượng giác liên
tục trên từng khoảng xác định của chúng.
Định lí 2
Giả sử y  f  x  và y  g  x  là hai hàm số liên
tục tại điểm x0 .

Khi đó
a) Các hàm số y  f  x   g  x  , y  f  x   g  x 
và y  f  x  .g  x  liên tục tại x0 ;
b) Hàm số

f  x

g  x

liên tục tại x0 nếu g  x0  �0

Trang 2


Định lí 3
Nếu hàm số

y  f  x

 a; b  . f  a  �f  b 

liên tục trên đoạn

thì với mỗi số thực M nằm

giữa f  a  và f  b  , tồn tại ít nhất một điểm
c � a; b  sao cho f  c   M
Hệ quả
Nếu hàm số y  f  x  liên tục trên đoạn  a; b  và
f  a  . f  b   0 thì tồn tại ít nhất một điểm

c � a; b  sao cho f  c   0
Nói cách khác: Nếu hàm số y  f  x  liên tục trên
đoạn  a; b  và f  a  . f  b   0 thì phương trình
f  x   0 có ít nhất một nghiệm nằm trong khoảng

 a; b  .
II. CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1: Hàm số liên tục tại một điểm, trên một tập
Phương pháp giải
Sử dụng định nghĩa hàm số y  f  x  xác định Ví dụ. Cho hàm số
trên khoảng K và x0 �K .
f  x   f  x0 
Hàm số liên tục tại x0 nếu xlim
� x0

� x 3  27
�
�2
f  x   �x  x  6
�27
�5

, khi x �3
, khi x  3

Xét tính liên tục của hàm số tại điểm x  3
Hướng dẫn giải
 f  x  và
Bước 1. Tìm giới hạn của hàm số xlim
� x0

f  x0 

Hàm số xác định trên �
Ta có f  3 

27
và
5

 x  3  x 2  3 x  9 
x 3  27
lim f  x   lim 2
 lim
x �3
x �3 x  x  6
x �3
 x  3  x  2 
 lim
x �3

x 2  3x  9 27

x2
5

f  x   f  3 nên hàm số liên tục tại
Ta thấy lim
x �3
Trang 3

f  x  thì ta so sánh
Bước 2. Nếu tồn tại xlim
� x0

x3

lim f  x  với f  x0  .

x � x0

Hàm số liên tục trên một tập ta sử dụng định nghĩa
2 và các định lí.
Chú ý:
1. Nếu hàm số liên tục tại x0 thì trước hết hàm số
phải xác định tại điểm đó
f  x   k � lim f  x   lim f  x   k
2. xlim
� x0
x � x0
x � x0
�
�f  x  , khi x �x0
3. Hàm số y  �
liên tục tại
�g  x  , khi x  x0
x  x0 � lim f  x   g  x0 
x � x0

�

�f  x  , khi x �x0
4. Hàm số f  x   �
liên tục tại
�g  x  , khi x  x0
x  x0

điểm

khi

và

chỉ

khi

lim f  x   lim g  x   f  x0 

x � x0

x� x0

Ví dụ mẫu
� x3
�
Ví dụ 1. Cho hàm số f  x   � 2 x  3  3
2
�
 x  1
�

khi x  3

. Xét tính liên tục của hàm số tại điểm x  3

khi x �3

Hướng dẫn giải
f  x   lim  x  1  4
Ta có xlim
�3
x �3
2

lim  lim

x �3

x �3

x3
2x  3  3

 lim
x �3

2x  3  3
3
2

f  x  �lim f  x 
Do đó xlim
�3
x �3
Vậy hàm số gián đoạn tại x  3
�3 4 x  2
,
�
Ví dụ 2. Cho hàm số f  x   � x  2
�
a
,
�

khi x �2

. Tìm a để hàm số liên tục tại điểm x  2

khi x  2
Trang 4


Hướng dẫn giải
Hàm số xác định trên �
3
4x  2
lim
f
x


lim
 lim


Ta có f  2   a và x �2
x �2
x �2
x2

4
3

 4x

2

 2 3 4x  4

Vậy để hàm số liên tục tại điểm x  2 thì lim f  x   f  2  � a 
x �2

�x 4  5 x 2  4
�
Ví dụ 3. Cho hàm số f  x   � x 3  1
�
m 2 x 2  2mx  5
�



1
3

1
3

khi x  1
khi x �1

Tìm m để hàm số liên tục tại điểm x  1
Hướng dẫn giải
Hàm số xác định trên �
4
2
 x  1  x 2  4 
Ta có: lim f  x   lim x  5 x  4  lim
2
x �1
x �1
x �1
x3  1
x2  x  1

lim f  x   lim  m 2 x 2  2mx  5   m 2  2m  5  f  1

x �1

x �1

Hàm số liên tục tại x  1 khi và chỉ khi

lim f  x   lim f  x   f  1 � m2  2m  5  2 � m  1 � 2
x � 1

x �1

�x 2  1
, khi x �1
�
Ví dụ 4. Cho hàm số f  x   �x  1
�
2,
khi x  1
�
Xét tính liên tục của hàm số trên toàn bộ tập xác định
Hướng dẫn giải
Hàm số xác định trên D  �
Với x �1 thì f  x  

x2  1
 x  1 là hàm số liên tục trên tập xác định.
x 1

Do đó hàm số liên tục trên  �;  1 và  1;  �
x2  1
 lim  x  1  2
x � 1 x  1
x �1

Với x  1 ta có lim f  x   lim
x � 1

f  x
Vì f  1  2 �xlim
� 1
Vậy hàm số liên tục trên các khoảng  �;  1 và  1;  � ; hàm số không liên tục tại điểm x  1

Trang 5


�a 2  x  2 
�
Ví dụ 5. Cho hàm số f  x   � x  2  2
�
 1  a x
�

khi x  2
khi x �2

Tìm a để hàm số liên tục trên tập xác định.
Hướng dẫn giải
Hàm số xác định trên �
Với x  2 ta có f  x  

a2  x  2
x22

là hàm số liên tục trên từng khoảng xác định.

Do đó hàm số f  x  liên tục trên  2;  �

Với x  2 ta có f  x    1  a  x là hàm số liên tục trên tập xác định. Do đó hàm số f  x  liên tục trên

 �; 2 
f  x   lim  1  a  x  2  1  a   f  2 
Với x  2 ta có xlim
�2 
x �2
lim f  x   lim

x �2 

x �2

a2  x  2
x2 2

 lim a 2
x �2





x  2  2  4a 2

Hàm số liên tục trên � khi và chỉ khi hàm số liên tục tại x  2 , nên
a  1
�
�
lim f  x   lim f  x  � 4a  2  1  a  �

1
x �2 
x �2
�
a
� 2
2

Vậy a  1; a 

1
là những giá trị cần tìm.
2

Bài tập tự luyện dạng 1
Câu 1: Hàm số có đồ thị như hình bên gián đoạn tại điểm có hồnh độ bằng bao nhiêu?

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

Câu 2: Cho hàm số y  f  x  có đồ thị như hình bên. Chọn khẳng định đúng.

Trang 6

A. Hàm số liên tục trên �
B. Hàm số liên tục trên  �; 4 
C. Hàm số liên tục trên  1;  �
D. Hàm số liên tục trên  1; 4 
Câu 3: Hàm số f  x  

x2  1
liên tục trên khoảng nào sau đây?
x2  5x  6

A.  �; 3

B.  2; 2019 

C.  3; 2 

D.  3;  �

3 x  2 khi x  1
�
Câu 4: Cho hàm số f  x   � 2
. Khẳng định nào sau đây đúng?
�x  1 khi x �1
A. f  x  liên tục trên �
B. f  x  liên tục trên  �;  1
C. f  x  liên tục trên  1;  �
D. f  x  liên tục tại x  1
�x  2a
Câu 5: Giá trị của a để các hàm số f  x   � 2
�x  x  1

A.

1
2

B.

1
4

�
2 x  2
�
Câu 6: Cho hàm số y  f  x   �2 x  a
�2
�x  1
A. 1

A. k ��2

B. k �2

khi x �0

C. 0

liên tục tại x  0 bằng
D. 1

khi x �1

khi x  1

B. 2

2
�
 x  1 ,
�
�2
Câu 7: Cho hàm số f  x   �x  3,
�
k2,
�

khi x  0

. Giá trị của a để hàm số liên tục tại x0  1 là

C. 3

D. 4

x 1
x  1 . Tìm k để f  x  gián đoạn tại x  1
x 1
C. k �2

D. k ��1

Câu 8: Cho hàm số f  x   x 4  4 . Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

(I) f  x  liên tục tại x  2
Trang 7


(II) f  x  gián đoạn tại x  2
(III) f  x  liên tục trên đoạn  2; 2
A. Chỉ (I) và (III)

B. Chỉ (I)

C. Chỉ (II)

D. Chỉ (II) và (III)

Câu 9: Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau
5
2
(I) f  x   x  3x  1 liên tục trên �

1

(II) f  x  

x2  1

liên tục trên  1; 1

(III) f  x   x  2 liên tục trên  2;  �
A. Chỉ (I) và (III)

B. Chỉ (I)

C. Chỉ (II)

D. Chỉ (II) và (III)

Câu 10: Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
(I) f  x  

x 1
liên tục với mọi x �1
x 1

(II) f  x   sin x liên tục trên �
(III) f  x  

x
x

liên tục tại x  1

A. Chỉ (I) đúng

B. Chỉ (I) và (II)

C. Chỉ (I) và (III)

D. Chỉ (II) và (III)

� x

cos
khi x �1
�
Câu 11: Cho hàm số f  x   � 2
. Khẳng định nào sau đây đúng nhât?
�x  1 khi x  1
�
A. Hàm số liên tục tại x  1 và x  1
B. Hàm số liên tục tại x  1 , không liên tục tại x  1
C. Hàm số không liên tục tại x  1 và x  1
D. Hàm số liên tục tại x  1 , không liên tục tại x  1
�x 2  3
khi x � 3
�
Câu 12: Cho hàm số f  x   �x  3
. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
�
2 3 khi x  3
�
(I) f  x  liên tục tại x  3
(II) f  x  gián đoạn tại x  3
(III) f  x  liên tục trên �
A. Chỉ (I) và (II)

B. Chỉ (II) và (III)

C. Chỉ (I) và (III)

D. Cả (I), (II), (III) đều đúng

Câu 13: Hàm số nào sau đây không liên tục tại x  1

Trang 8


�x 2  1
khi x �1
�
A. f  x   �x  1
�
3x  1 khi x  1
�

�x 2  2 khi x �1
f
x

B.   �
2  3 x khi x  1
�

�2 x 2  x  1
�
C. f  x   � x  1
�
2x  1
�

�1


khi x  1
�
D. f  x   � x
�
2 x  3 khi x �1
�

khi x �1
khi x  1

Câu 14: Cho a và b là các số thực khác 0. Tìm hệ thức liên hệ giữa a và b để hàm số
� ax  1  1
,
�
f  x  � x
�
4 x 2  5b,
�
A. a  5b

khi x �0

liên tục tại x  0

khi x  0
B. a  10b

C. a  b

� 2x  4  3

�
Câu 15: Cho hàm số f  x   �
x 1
�2
�x  2mx  3m  2

D. a  2b

khi x �2
khi x  2

Tìm các giá trị của tham số thực m để hàm số liên tục trên �
A. m  3

B. m  4

C. m  5

D. m  6

�x 2 ,
x �1
� 3
�2 x
, 0 �x �1 . Khẳng định nào sau đây đúng?
Câu 16: Cho hàm số f  x   �
1 x
�
�x sin x, x  0
�

A. f  x  liên tục trên �

B. f  x  liên tục trên �\  0

C. f  x  liên tục trên �\  1

D. f  x  liên tục trên �\  0; 1

� 2x  1  1
,
�
Câu 17: Giá trị a để các hàm số f  x   � x  x  1
�
a,
�
A. 1

B. 2

B. 2

khi x  0

3

C.

D. 4

2x  6  2

3x  1  2

1
2

B.

1
4

, khi x �1

liên tục tại điểm x  1 là

khi x  1
2
9

D.

� 4x  1  1
,
� 2
Câu 19: Giá trị của a để hàm số f  x   �ax   2a  1 x
�
3,
�
A.

liên tục tại điểm x  0 là

C. 3

�
�f  x  
Câu 18: Giá trị của a để các hàm số f  x   �
�
a,
�
A. 1

khi x �0

C. 

1
6

khi x �0

1
9

liên tục tại điểm x  0 là

khi x  0
D. 1

Trang 9

� 3x  1  2
,
� 2
� x 1
Câu 20: Cho hàm số f  x   � 2
�a  x  2 
,
�
� x3
A.

1
2

B.

khi x  1
liên tục tại điểm x  1 là
khi x �1

1
4

C. 1

D.

3
4

� x4 2
, khi x  0
�
� x
f
x



Câu 21: Cho hàm số
m là tham số
�
1
2
�
mx  2 x  , khi x �0
�
4
Tìm m để hàm số liên tục tại x  0
A. m 

1
2

B. m  0

�3 4 x  2
,
�

Câu 22: Cho hàm số f  x   � x  2
�
ax  3,
�
A. a  1

B. a 

1
3

B.

1
2

. Tìm a để hàm số liên tục trên �

khi x  2

1
6

�3  9  x
,
�
x
�
�
m,

Câu 23: Cho hàm số f  x   �
�3
�,
�x
A.

khi x �2

1
2

D. m  

C. m  1

C. a 

4
3

D. a  

4
3

0 x9
. Giá trị của m để f  x  liên tục trên  0;  � là

x0
x �9

C.

1
6

D. 1


�
sin x, khi x �
�
�
2
Câu 24: Cho hàm số f  x   �
. Tìm giá trị của a, b để hàm số liên tục trên �

�
ax  b, khi x 
�
2
� 2
�a 
A. � 
�
b 1
�

� 2
�a 
B. � 

�
b2
�

� x2  1
�
Câu 25: Cho hàm số f  x   � x 3  x  6
�
b 3
�
là
A.

3

B.  3

� 1
�a 
C. � 
�
b0
�
khi x �3; x �2

� 2
�a 
D. � 
�
b0

�
. Giá trị của b để f  x  liên tục tại x  3

khi x  3; b ��

C.

2 3
3

D. 

2 3
3

Trang 10


�3 x  7  3 x  1
,
�
Câu 26: Cho hàm số f  x   �
x 1
�
ax,
�

khi x �1

. Giá trị của a để hàm số liên tục tại x0  1

khi x  1

là
A. -3

B. 2

C.

2
3

�
x 2017  x  2
�
Câu 27: Cho hàm số f  x   � 2019 x  1  x  2019
�
k
�

D. -2
khi x �1

. Tim k để hàm số f  x  liên tục

khi x  1

tại x  1
A. k  2 2020

B. k 

2019. 2020
2

sin x,
�
Câu 28: Cho hàm số f  x   �
1  cos x,
�

C. k  1

D. k 

20018
2020
2019

khi cos x �0
. Hàm số f có bao nhiêu điểm gián đoạn trên
khi cos x  0

khoảng  0; 2019  ?
A. 2018

B. 1009

C. 542

D. 321

Dạng 2: Chứng minh phương trình có nghiệm
Phương pháp giải
* Để chứng minh phương trình f  x   0 có một Ví dụ 1.
nghiệm trên D, ta chứng minh hàm số y  f  x 
liên tục trên D chứa đoạn

 a; b 

Chứng minh rằng phương trình x 2020  3 x5  1  0
có nghiệm.

sao cho Hướng dẫn giải
2020
 3 x5  1 liên tục trên �
Ta có hàm số f  x   x

f  a . f  b  0

và f  0  . f  1  3  0
Suy ra phương trình f  x   0 có ít nhất một
nghiệm thuộc  0; 1
* Để chứng minh phương trình f  x   0 có k
nghiệm trên D, ta chứng minh hàm số y  f  x 
liên tục trên D và tồn tại k đoạn nhau

 ai ; ai 1   i  1, 2, 3,..., k 

nằm trong D sao cho

f  ai  . f  ai 1   0
Ví dụ mẫu
Trang 11


Ví dụ 1. Chứng minh phương trình x 2 sin x  x cos x  1  0 có ít nhất một nghiệm.
Hướng dẫn giải
2
Ta có hàm số f  x   x sin x  x cos x  1 liên tục trên � và f  0  . f       1  0

Suy ra phương trình f  x   0 có ít nhất một nghiệm thuộc  0;  
Ví dụ 2. Chứng minh rằng phương trình x 3  2 x  4  3 3  2 x có đúng một nghiệm.
Hướng dẫn giải
3
Điều kiện xác định: x �
2
Ta có x 3  2 x  4  3 3  2 x � x3  2 x  3 3  2 x  4  0
� 3�
3
Xét hàm số f  x   x  2 x  3 3  2 x  4 liên tục trên ��; �và
� 2�
�3 � 19
�3 �
f  0   4  3 3  0, f � �
 0 � f  0  . f � � 0
�2 � 8
�2 �
Do đó phương trình f  x   0 có ít nhất một nghiệm

Giả sử phương trình f  x   0 có hai nghiệm x1 ; x2
Khi đó f  x1   f  x2   0
�  x13  x23   2  x1  x2   3





3  2 x1  3  2 x2  0

�
�
6
�  x1  x2  �x12  x1 x2  x22  2 
� 0
�
�
3

2
x

3

2
x
1
2
�
1 4 4 4 4 4 4 44 2 4 4 4 4 4 4 4 43�

B

2

2
6
� x � 3x
� x1  x2 (vì B  �x1  2 � 2  4 
 0)
2� 4
3  2 x1  3  2 x2
�

Vậy phương trình có đúng một nghiệm.
Ví dụ 3. Chứng minh rằng phương trình

x 5  2 x3  15 x 2  14 x  2  3 x 2  x  1 có đúng năm nghiệm

phân biệt.
Hướng dẫn giải
Phương trình đã cho tương đương với x 5  2 x 3  15 x 2  14 x  2   3 x 2  x  1
� x5  9 x 4  4 x 3  18 x 2  12 x  1  0

2

 1

5
4
3

2
Xét hàm số f  x   9 x  4 x  18 x  12 x  1 liên tục trên �

� 1 � 19
 �   0
Ta có: f  2   95  0, f  1  1  0, f �
� 2 � 32
f  0   1  0, f  2   47, f  10   7921  0
Trang 12


Do đó phương trình f  x   0 có ít nhất năm nghiệm thuộc các khoảng
1; 
 2;  1 , �
�
�

1 �� 1 �
,  ; 0�
,  0; 2  ,  2; 10 
��
2 �� 2 �

Mặt khác f  x  là đa thức bậc năm nên có tối đa năm nghiệm.
Vậy phương trình đã cho có đúng năm nghiệm.
Bài tập tự luyện dạng 2
Câu 1: Trong các khẳng định sau
(I) f  x  liên tục trên đoạn  a; b  và f  a  . f  b   0 thì phương trình f  x   0 có nghiệm
(II) f  x  khơng liên tục trên  a; b  và f  a  . f  b  �0 thì phương trình f  x   0 vô nghiệm
(III) f  x  liên tục trên đoạn  a; b  và f  a  . f  b   0 thì tồn tại ít nhất một số c � a; b  sao cho

f  c  0
(IV) f  x  liên tục trên đoạn  a; b  và f  a  . f  b   0 thì tồn tại ít nhất một số c � a; b  sao cho
f  c  0
Số khẳng định đúng là
A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Câu 2: Cho hàm số f  x  xác định trên  a; b  . Khẳng định nào sau đây đúng?
A. Nếu hàm số f  x  liên tục trên  a; b  và f  a  f  b   0 thì phương trình f  x   0 khơng có
nghiệm trong khoảng  a; b 
B. Nếu f  a  f  b   0 thì phương trình f  x   0 có ít nhất một nghiệm trong khoảng  a; b 
C. Nếu hàm số f  x  liên tục, tăng trên  a; b  và f  a  f  b   0 thì phương trình f  x   0 khơng có
nghiệm trong khoảng  a; b 
D. Nếu phương trình

f  x   0 có nghiệm trong khoảng  a; b  thì hàm số f  x  phải liên tục trên

 a; b 
Câu 3: Cho phương trình 2 x 4  5 x 2  x  1  0 . Khẳng định nào sau đây đúng?
A. Phương trình đã cho khơng có nghiệm trong khoảng  1; 1
B. Phương trình đã cho chỉ có một nghiệm trong khoảng  2; 1
C. Phương trình đã cho có ít nhất một nghiệm trong khoảng  0; 2 
D. Phương trình đã cho khơng có nghiệm trong khoảng  2; 0 
3
2

Câu 4: Tìm các giá trị của tham số m sao cho phương trình x  3 x   2 m  2  x  m  3  0 có ba

nghiệm x1 , x2 , x3 thỏa mãn x1  1  x2  x3
A. m  5

B. m  5

C. m �5

D. m  6
Trang 13


Câu 5: Cho các số thực a, b, c thỏa mãn 4a  c  8  2b và a  b  c  1 . Khi đó số nghiệm thực phân
biệt của phương trình x 3  ax 2  bx  c  0 bằng
A. 1

B. 2

C. 3

D. 0

Câu 6: Cho phương trình x  ax  bx  c  0 (1) trong đó a, b, c là các tham số thực. Chọn khẳng định
đúng trong các khẳng định sau
3

2

A. Phương trình (1) vơ nghiệm với mọi a, b, c

B. Phương trình (1) có ít nhất một nghiệm với mọi a, b, c
C. Phương trình (1) có ít nhất hai nghiệm với mọi a, b, c
D. Phương trình (1) có đúng ba nghiệm phân biệt với mọi a, b, c
2
Câu 7: Tìm giá trị của tham số m để phương trình  m  5 x  6   x  5 

2019

x

2020

 2 x   2 x  1  0 có

nghiệm
A. m � 2; 3

B. m ��\  2; 3

C. m ��

D. m ��

Trang 14


ĐÁP ÁN
Dạng 1. Hàm số liên tục tại một điểm, trên một tập
1-B
2-D

3-B
4-C
11-A
12-C
13-C
14-B
21-B
22-D
23-C
24-D
HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT

5-A
15-C
25-D

6-B
16-A
26-C

7-A
17-A
27-A

8-B
18-C
28-D

9-A
19-C

10-D
20-D

Câu 1:
Dựa vào hình vẽ đồ thị ta thấy hàm số gián đoạn tại điểm x  1
Câu 2:
Dựa vào hình vẽ đồ thị ta thấy hàm số liên tục trên  1; 4 
Câu 3:
�x �2
2
Điều kiện xác định của hàm số x  5 x  6 �0 � �
�x �3
Do đó hàm số đã cho gián đoạn tại điểm có hồnh độ bằng -2 và -3
Câu 4:
Hàm số xác định trên �
f  x   lim  x 2  1  0, lim f  x   lim  3 x  2   1
Ta có: f  1  0; xlim

� 1
x � 1
x � 1
x � 1
f  x  �lim f  x 
Suy ra f  1  xlim
�1
x � 1
Vậy hàm số đã cho liên tục trên nửa khoảng  1;  � và khoảng  �;  1
Câu 5:
Hàm số xác định trên �

f  x   lim  x 2  x  1  1
Ta có: f  0   1, xlim
�0
x �0
Hàm số đã cho liên tục tại điểm x  0 khi và chỉ khi lim f  x   lim  x  2a   1 � a 
x �0

x �0

1
2

Câu 6:
Hàm số xác định trên �
f  x   lim  2 x 2  2   0
Ta có: f  1  0, xlim
�1
x �1
�2 x  a �
Hàm số đã cho liên tục tại điểm x0  1 khi và chỉ khi lim f  x   lim � 2
� 0 � a  2
x �1
x �1 �x  1 �
Câu 7:
Hàm số xác định trên �
f  x   lim  x  1  4, lim f  x   lim  x 2  3  4
Ta có: xlim
�1
x �1
x �1

x �1
2

4
k2
Vậy hàm số đã cho gián đoạn tại x  1 khi và chỉ khi f  1 �۹۹�

4

k

2

Câu 8:
Trang 15


x �2
�
2
Điều kiện xác định: x  4 �0 � �
x �2
�
2
Ta có: f  2   lim f  x   lim x  4  0 . Do đó hàm số đã cho liên tục tại x  2
x �2

x �2

f  2   lim f  x   lim x 2  4  0 . Do đó hàm số đã cho liên tục tại x  2

x �2

x �2

Câu 9:
5
2
(I) f  x   x  3x  1 là hàm số có tập xác định trên �. Do đó hàm số f  x  liên tục trên �

1

(II) f  x  

x2  1

có tập xác định D   �;  1 � 1;  � .

Do đó f  x  gián đoạn trên khoảng  1; 1
(III) Hàm số f  x   x  2 có tập xác định D   2;  �
f  x   lim x  2  0 . Do đó hàm số liên tục trên  2;  �
Ta có: f  2   xlim
�2
x �2
Câu 10:
x 1
có tập xác định D   1;  � . Do đó (I) sai
x 1

(I) f  x  

(II) f  x   sin x có tập xác định D  �. Do đó f  x  liên tục trên �
(III) f  x  

x
x

có tập xác định D  �\  0 . Do đó f  x  liên tục tại x  1

Câu 11:
1  x khi x  1
�
� x
�
cos
khi x �1
�
� x
f  x  � 2
� f  x  �
cos
khi  1 �x �1 . Khi đó ta có:
2
�x  1 khi x  1
�
�
�
�x  1 khi x  1
� �
 � 0, lim f  x   lim  1  x   0 . Suy ra f  1  lim f  x 
+) f  1  cos �

x �1
x �1
� 2 � x �1
Do đó hàm số liên tục tại x  1
� �
+) f  1  cos � � 0, lim f  x   lim  x  1  0 . Suy ra f  1  xlim
. Do đó hàm số liên tục tại x  1
�1
x �1
�2 � x �1
Câu 12:
Tập xác định: D  �
Ta có: f







�x  3 x  3 �
�x 2  3 �
�
� lim x  3  2 3
3  2 3, lim f  x   lim �
� xlim
x� 3
x� 3 x  3
� 3�
� x� 3

x 3
�
�
�
�

 





Do đó hàm số liên tục tại x  3 . Vậy hàm số liên tục trên �
Trang 16


Câu 13:
�2 x 2  x  1
�
Xét f  x   � x  1
�
2x 1
�

khi x �1

có tập xác định D  �

khi x  1

� 1�
2  x  1 �x  �
2x  x  1
Ta có:
� 2 � lim 2 �x  1 � 3
f  1  1, lim f  x   lim
 lim
�
�
x �1
x �1
x �1
x �1
x 1
x 1
� 2�
2

f  x  . Do đó hàm số gián đoạn tại điểm x  1
Suy ra f  1 �lim
x �1
Câu 14:
Ta có f  0   5b
ax  1  1
 lim
x �0
x

lim f  x   lim
x �0

x �0

ax



 lim



ax  1  1

x �0

a
ax  1  1

a
2



Hàm số liên tục tại x  0 khi và chỉ khi f  0   lim f  x  � 5b 
x �0

a
� a  10b
2

Câu 15:
Ta có: f  2   3, lim f  x   lim
x �2

x �2





2 x  4  3 , lim f  x   lim
x �2

x �2

x 1
x  2mx  3m  2
2

Hàm số f  x  liên tục trên � khi và chỉ khi hàm số f  x  liên tục tại x  2
� lim
x �2

x 1
3
3�
3� m5
6m
x  2mx  3m  2
2

Câu 16:
Ta có lim x 2  lim
x �1

x �1

Ta cũng ó\có lim
x �0

2 x3
 1 � lim f  x   lim f  x   f  1 nên hàm số liên tục tại x  1
x �1
x �1
1 x

2 x3
 lim x sin x  0 � lim f  x   lim f  x   f  1 nên hàm số liên tục tại x  0
x �0
x �0
1  x x �0

Câu 17:
2x  1 1
 lim
Ta có lim
x �0
x �0
x  x  1
 x  1



2



2x  1  1

1

Suy ra a  f  0   1 thì hàm số liên tục tại điểm x  0
Câu 18:
3

Ta có lim
x �1
Vậy f  1 

2x  6  2
3x  1  2

 lim
x �1

3



2

3



3x  1  2

 2x  6

2



 2 3 2x  6  4





2
9

2
thì hàm số liên tục tại x  1
9
Trang 17


Câu 19:
4x  1  1
4

2
 lim

Ta có lim
2
x �0 ax  2a  1 x
x �0


 ax  2a  1 4 x  1  1 2a  1



Hàm số liên tục tại x  0 thì



2
1
3� a 
2a  1
6

Câu 20:
Ta có xlim
�1

a  x2  2
x3



a
3x  1  2
, lim
 lim
x �1
2 x�1
x2  1
 x  1

Để hàm số liên tục tại x  1 thì



3
3x  1  2





3
8

a 3
3
 �a
2 8
4

Câu 21:
x4 2
 lim
x �0
x

Ta có lim
x �0

1

1
1�
1
� 2
 ; lim �
mx  2 x  � 2 x 
4�
4
x  4  2 4 x �0 �

Để hàm số liên tục tại x  0 thì 2m 

1 1
 �m0
4 4

Câu 22:
3

Ta có lim
x �2

4x  2
4
1
 lim
 ; f  2   2a  3
x �2 3
x2
16 x 2  2 3 4 x  4 3

Để hàm số liên tục trên � thì 2a  3 

1
4
�a
3
3

Câu 23:
Ta có lim
x �9

1
3 9 x 1
3 1
 ; lim  và f  9   nên hàm số liên tục tại x  9
3

x
3 x �9 x 3

Ta cũng có lim
x �0

3 9 x
1
1
 lim
 và f  0   m
x �0 3 
x
9 x 6

Vậy để hàm số liên tục trên  0;  � thì m 

1
6

Câu 24:
a
a
sin x  1; lim sin x  1; lim ax  b 
 b; lim ax  b  
b

Ta có lim





2
2
x�
x�
x�
x�
2

2

2

2

�a
b 1
� 2
�
a
�2
�
�� 
Để hàm số liên tục trên � thì �
a
�
�
b0


 b  1 �
� 2
Câu 25:

Trang 18


x2  1
3
3
2 3
. Để hàm số liên tục tại x  3 thì b  3 

�b
3
3
3
3
x x6

Ta có lim
x �3

Câu 26:
Ta có lim

3

x �1

3
x  7  3x  1
x7 2
2  3x  1
 lim
 lim
x
�
1
x
�
1
x 1
x 1
x 1

 lim

x �1 3



1

 x  7

2

 23 x  7  4

 lim
x�1

3
2  3x  1

1 3

12 4



2
3

f  1  a
Để hàm số liên tục tại x  1 thì a  

2
3

Câu 27:
Ta có lim
x �1

 lim

x

2016

x 2017  x  2
2019 x  1  x  2019
 x 2015  ...  x  1

x �1

2019 x  1  x  2019

2019 x  1  x  2019

2018

x �1





 lim

x 2017  1

  lim
x �1

 lim
x �1

x 1

2019 x  1  x  2019

2019 x  1  x  2019
2018

2017 2020
2020

 2 2020
1009
1009

Để hàm số liên tục tại x  1 thì k  2 2020
Câu 28:
�
sin x,
�
�
Xét hàm số f  x  trên đoạn  0; 2  , khi đó f  x   �
�
1  cos x,
�
�

3
� � �
�
khi x ��
0; ��� ; 2 �
� 2 � �2

�
� 3 �
khi x �� ;
�
�2 2 �

f  x   0  f  0  ; lim f  x   0  f  2 
Ta có xlim
�0
x �2
�  �� 3 � �3
�
0; ��
;
;
Hàm số rõ ràng liên tục trên các khoảng �
�và � ; 2 �
�
� 2 ��2 2 � �2
Ta xét tại x 


2

� �
lim  f  x   lim   1  cos x   1; lim  f  x   lim  sin x  1; f � � 1
� �
� �
� �
� �

�2 �
x �� �
x �� �
x �� �
x �� �
�2 �

�2 �

�2 �

�2 �

Trang 19


� �
f  x   lim  f ( x  f � �nên hàm số f  x  liên tục tại điểm x  

Như vậy lim
� �
� �
�2 �
x �� �
x �� �
2
�2 �

Ta xét tại x 

�2 �

3
2

lim  f  x   lim  sin x  1; lim  f  x   lim

�3 �
x �� �
�2 �

Vì

�3 �
x �� �
�2 �

�3 �
x �� �
�2 �

lim  f  x  � lim  f  x 

�3 �
x �� �
�2 �

�3 �
x �� �
�2 �



�3 �
x �� �
�2 �

 1  cos x   1

nên hàm số f  x  gián đoạn tại điểm x 

Do đó, trên đoạn  0; 2  hàm số chỉ gián đoạn tại điểm x 

3
2

3
.
2

Do tính chất tuần hồn của hàm số y  cos x và y  sin x suy ra hàm số gián đoạn tại các điểm
x

3
 k 2 , k ��
2

Ta có x � 0; 2018  � 0 

3

3
1009 3
 k 2  2018 �   k 
 �320, 42
2
4

4

Vì k �� nên k � 0, 1, 2, ..., 320 . Vậy hàm số f có 321 điểm gián đoạn trên khoảng  0; 2018 
Dạng 2. Chứng minh phương trình có nghiệm
1-B
2-C
3-C
4-B
HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT

5-C

6-B

7-D

Câu 2:
Vì f  a  f  b   0 nên f  a  và f  b  cùng dương hoặc cùng âm. Mà f  x  liên tục, tăng trên  a; b 
nên đồ thị hàm f  x  nằm trên hoặc nằm dưới trục hoành trên  a; b  . Vậy phương trình f  x   0 khơng
có nghiệm trong khoảng  a; b 
Câu 3:
4
2

Đặt f  x   2 x  5 x  x  1 , hàm số f  x  liên tục trên  0; 2 

Ta có f  0   1; f  1  1 � f  0  . f  1  0 nên phương trình đã cho có ít nhất một nghiệm trong
khoảng  0; 2 
Câu 4:
3
2
Đặt f  x   x  3x   2m  2  x  m  3 . Ta thấy hàm số liên tục trên �

Điều kiện cần: af  1  0 � m  5  0 � m  5
Điều kiện đủ: với m  5 ta có

Trang 20


f  x   � nên tồn tại a  1 sao cho f  a   0
+) xlim
��
Mặt khác f  1  m  5  0 . Suy ra f  a  . f  1  0
Do đó tồn tại x1 � a;  1 sao cho f  x1   0
+) f  0   m  3  0, f  1  0 . Suy ra f  0  . f  1  0
Do đó tồn tại x2 � 1; 0  sao cho f  x2   0
f  x   � nên tồn tại b  0 sao cho f  b   0
+) xlim
��
Mặt khác f  0   0 . Suy ra f  0  . f  b   0
Do đó tồn tại x3 � 0; b  sao cho f  x3   0 . Vậy m  5 thỏa mãn yêu cầu bài tốn
Câu 5:
3
2

Xét phương trình: x  ax  bx  c  0

 1

3
2
Đặt: f  x   x  ax  bx  c

4a  c  8  2b � 8  4a  2b  c  0
�
Từ giả thiết �
a  b  c  1 � 1a  b  c  0 � f  1  0
�
Do đó f  2  . f  1  0 nên phương trình (1) có ít nhất một nghiệm trong  2; 1
Ta nhận thấy:
lim f  x   � mà f  2   0 nên phương trình (1) có ít nhất một nghiệm  � �;  2 

x � �

f  x   � mà f  1  0 nên phương trình (1) có ít nhất một nghiệm  � 1;  �
Tương tự: xlim
��
Như vậy phương trình đã cho có ít nhất 3 nghiệm thực phân biệt, mặt khác phương trình bậc 3 có tối đa 3
nghiệm.
Câu 6:
3
2
Xét hàm số f  x   x  ax  bx  c liên tục trên �

lim f  x   �; lim f  x   � nên sẽ tồn tại số  � � và  � � sao cho f    . f     0

x � �

x � �

Vậy phương trình (1) có ít nhất một nghiệm với mọi a, b, c.
Ta lại có với a  b  0; c  1 thì phương trình có đúng một nghiệm thực
Câu 7:
2 n 1
 a2 n x 2 n  ...  a1 x  a0  0 ln có ít nhất một nghiệm, với
Bổ đề: Phương trình đa thức bậc lẻ a2 n 1 x

mọi giá trị của ai , i  2n  1, 0
Chứng minh:

Trang 21


2 n 1
 a2 n x 2 n  ...  a1 x  a0 đây là hàm đa thức, xác định trên � nên liên tục
+ Xét hàm số f  x   a2 n 1 x

trên �
f  x   lim �
a2 n 1 x 2 n 1  a2 n x 2 n  ...  a1 x  a0 �
Ta có: xlim
� � nên tồn tại x1 �� sao cho f  x1   0
��
x ���
lim f  x   lim �
a2 n 1 x 2 n 1  a2 n x 2 n  ...  a1 x  a0 �

� � nên tồn tại x2 �� sao cho f  x2   0
x ���

x ��

Do đó tồn tại x0 � x1 ; x2  sao cho f  x0   0
Vậy phương trình đa thức bậc lẻ ln có ít nhất một nghiệm, với mọi giá trị của ai , i  2n  1, 0
Áp dụng:
2
Đặt f  x    m  5 x  6   x  5 

2019

x

2020

 2 x   2 x  1 Hàm số f  x  liên tục trên �

m2
�
1
2
+ Xét m  5m  6 � �
. Khi đó phương trình trở thành 2 x  1  0 � x 
m3
2
�
m �2
�

2
+ Xét m  5m  6 �0 � �
.
m �3
�
Hàm f  x  có bậc cao nhất là 2019  2020  4039 là đa thức bậc lẻ nên f  x   0 có ít nhất một nghiệm
với m ��

Trang 22