Hình 11 phần 3 VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN – HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG góc

CHUYÊN ĐỀ 3. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN – QUAN HỆ
VUÔNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN
BÀI 1. VECTƠ TRONG KHƠNG GIAN –
HAI ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC
Mục tiêu
 Kiến thức
+ Trình bày được các tính chất, quy tắc biểu diễn vectơ.
+ Phát biểu được tích vơ hướng của hai vectơ, góc giữa hai đường thẳng.
 Kĩ năng
+

Chứng minh được các đẳng thức vectơ, biểu diễn được vectơ theo các vectơ không trùng
phương với nó.

+ Nắm được phương pháp chứng minh sự cùng phương của hai vectơ, tìm được điều kiện của ba
vectơ đồng phẳng.
+ Tính được góc giữa hai đường thẳng. Vận dụng được tích vơ hướng của hai vectơ để giải các
bài toán.

Trang 1


I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM
A. VECTƠ TRONG KHƠNG GIAN
Các định nghĩa
a) Vectơ là một đoạn thẳng có hướng (có phân biệt
điểm đầu và điểm cuối).
uuur
+) Ký hiệu vectơ: AB (điểm đầu là A, điểm cuối là B) hay
r r u
r

a, x, y ,...
+) Độ dài của vectơ là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm
cuối của vectơ đó.
+) Giá của vectơ là đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm
cuối của vectơ đó.

Sự cùng phương của hai vectơ
r
r r
 a
và
cùng
phương
b �0
trùng nhau.
r
r
�

k
�
�
:
a

k
.
b
Hai vectơ được gọi là cùng phương nếu giá của
r

r r
 a
và
cùng
hướng
chúng song song hoặc trùng nhau.
b �0
r
r
Hai vectơ cùng phương thì cùng hướng hoặc ngược
� k �� : a  k .b
r
r r
hướng.
 a
và
ngược
hướng
b �0
Hai vectơ bằng nhau là hai vectơ cùng hướng và có
r
r
� k �� : a  k .b
cùng độ dài.
Hai vectơ đối nhau là hai vectơ ngược hướng  Ba điểm A, B, C thẳng hàng
uuur
uuur
� k ��: AB  k . AC
nhưng có cùng độ dài.

b) Vectơ – khơng là vectơ có điểm đầu và điểm cuối
c)
d)
e)
f)

Các quy tắc tính tốn với vectơ
g) Quy tắc ba điểm (với phép cộng)
uuu
r uuur uuur
AB  BC  AC

Quy tắc ba điểm (mở rộng).
uuuur uuuuur uuuuuu
r
uuuuuuur uuuur uuu
r
AX 1  X 1 X 2  X 2 X 3 ...  X n 1 X n  X n B  AB .

h) Quy tắc ba điểm (với phép trừ)
uuu
r uuu
r uuu
r
OB  OA  AB
i) Quy tắc hình bình hành

uuu
r uuur uuur
Nếu tứ giác ABCD là hình bình hành thì AB  AD  AC .

B C D là hình
j) Quy tắc hình hộp. Nếu ABCD. A����
hộp thì

uuuu
r uuur uuur uuur
AC �
 AB  AD  AA�

r
k) Phép nhân một số k với một vectơ a .
r
Ta có k a là một vectơ được xác định như sau.
r
+ cùng hướng với a nếu k �0 .
Trang 2


r
+ ngược hướng với a nếu k  0 .
r
r
+ có độ dài ka  k . a
Một số hệ thức vectơ hay dùng
l) Hệ thức về trung điểm của đoạn thẳng
uu
r uur r
I là trung điểm của đoạn thẳng AB � IA  IB  0
uuu
r uuur

uur
OA  OB  2OI (với O là một điểm bất kỳ).
m) Hệ thức về trọng tâm của tam giác
uuu
r uuu
r uuur r
G là trọng tâm của tam giác ABC � GA  GB  GC  0
uuu
r uuu
r uuur
uuur
� OA  OB  OC  3OG (với O là một điểm bất kỳ)
uuur 2 uuuu
r
� AG  AM (với M là trung điểm cạnh BC).
3
n) Hệ thức về trọng tâm của tứ diện
G là trọng tâm của tứ diện ABCD
uuu
r uuu
r uuur uuur r
� GA  GB  GC  GD  0
uuu
r uuu
r uuur uuur
uuur
� OA  OB  OC  OD  4OG (với điểm O bất kỳ)
uuur 3 uuur
� AG  AA�(với A�là trọng tâm của BCD )
4

uuuu
r uuur r
� GM  GN  0 (với M, N là trung điểm một cặp cạnh
đối diện).
Sự đồng phẳng của ba vectơ
o) Định nghĩa
Trong không gian, ba vectơ được gọi là đồng phẳng nếu
giá của chúng cùng song song với một mặt phẳng nào đó.

Hệ quả
Nếu có một mặt phẳng chứa vectơ này đồng
thời song song với giá của hai vectơ kia thì

ba vectơ đó đồng phẳng.
p) Điều kiện để ba vectơ đồng phẳng
Ứng dụng:
r r
Trong không gian cho hai vectơ a, b không cùng phương
Bốn điểm phân biệt A, B, C, D đồng phẳng
r
uuu
r uuur uuur
và vectơ c .
� AB, AC , AD
r r
r
uuu
r
uuur
uuur

Khi đó, a, b và c đồng phẳng khi và chỉ khi tồn tại cặp số
đồng phẳng � AB  m.AC  n.AD
r
r
r
 m; n  sao cho c  ma  nb (cặp số  m; n  nêu trên là duy
nhất)
q) Phân tích một vectơ theo ba vectơ không đồng
phẳng

r r
r
Cho ba vectơ a, b và c không đồng phẳng.
r
Với mọi vectơ x , ta đều tìm được duy nhất một bộ số
Trang 3


 m; n; p 

r
r
r
r
sao cho x  m.a  n.b  p.c

Tích vơ hướng của hai vectơ
rr r r
r r
r r

r r
a) Nếu a �0 và b �0 thì a.b  a . b .cos( a, b)
r r
r r
rr
b) Nếu a �0 và b �0 thì a.b  0

Chú ý:
Bình phương vơ hướng của một vectơ:
r2 r 2
a a

Một số ứng dụng của tích vơ hướng
r r
r r
r r
rr
a) Nếu a �0 và b �0 ta có a  b � a.b  0
b) Cơng thức tính cơsin của góc hợp bởi hai
r
vectơ khác 0 .
rr
r r
a.b
cos a, b  r r
a.b

 

c) Cơng thức tính độ dài của một đoạn thẳng

uuu
r
uuu
r2
AB  AB  AB
B. HAI ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC
Góc giữa hai vectơ trong khơng gian
Nhận xét:
r
r
Định nghĩa: Trong không gian, cho u và v là hai vectơ a) Nếu ar là vectơ chỉ phương của đường
r
r
khác 0 . Lấy một điểm A bất kì, gọi B và C là hai điểm sao
thẳng d thì vectơ k a với k �0 cũng là
uuu
r r uuur r
vectơ chỉ phương của d.
cho
Khi
đó
ta
gọi
AB  u , AC  v .





�

� �180� là góc giữa hai vectơ r và r
BAC
0��BAC
u
v
r r
trong khơng gian, kí hiệu là  u , v

 

Vectơ chỉ phương của đường thẳng
r
r
Vectơ a khác 0 được gọi là vectơ chỉ phương của đường
r
thẳng d nếu giá của vectơ a song song hoặc trùng với
đường thẳng d.

b) Một đường thẳng trong khơng gian hồn
tồn xác định nếu biết một điểm A thuộc d
r
và một vectơ chỉ phương a của nó.
c) Hai đường thẳng song song với nhau khi
và chỉ khi chúng là hai đường thẳng phân
biệt và có hai vectơ chỉ phương cùng
phương.

r r
Chú ý. Giả sử u , v lần lượt là vectơ chỉ
phương của đường thẳng a và b.

r r
Đặt u , v   .

 


khi 0�� �90�
�
�
Khi đó  a, b   �
180�  khi 90�  �180�
�
+) Nếu a//b hoặc a �b thì �
a, b   0�.

Trang 4


Góc giữa hai đường thẳng
Góc giữa hai đường thẳng a và b trong khơng gian là góc
giữa hai đường thẳng a�và b�cùng đi qua một điểm và
lần lượt song song với a và b.

+) 0���
a, b  �90�.
Nhận xét
a) Nếu hai đường thẳng a, b lần lượt có các
r r
vectơ
chỉ

phương
thì
u, v
rr
a  b � u.v  0 .
a / /b
�
�c b
b) �
ca
�

Hai đường thẳng vng góc
Định nghĩa: Hai đường thẳng được gọi là vng góc với
nhau nếu góc giữa chúng bằng 90�.
Kí hiệu: Đường thẳng a và b vng góc với nhau kí hiệu
là a  b .
SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HĨA
Vectơ là một đoạn
thẳng có hướng
cùng hướng

Định nghĩa

Hai vectơ được gọi là
cùng phương nếu giá
của chúng song song
hoặc trùng nhau.

ngược hướng

Độ dài của vectơ là
khoảng cách giữa
điểm đầu và điểm
cuối của vectơ đó
Vectơ – khơng là vectơ có điểm
đầu và điểm cuối trùng nhau.

đối nhau
VECTƠ

Một số hệ thức vectơ
trọng tâm

TRONG
KHƠNG

Các phép tốn
vectơ

GIAN
Quy tắc 3 điểm:

I là trọng tâm của hệ n điểm

Phép trừ:
khơng cùng phương thì và đồng
phẳng khi và chỉ khi tồn tại cặp số
sao cho

Sự đồng đẳng
của ba vectơ

Nếu ABCD là hình bình hành thì

Nếu là hình hộp thì
Trang 5


II. CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1: Vectơ trong không gian
Bài toán 1. Xác định vectơ và chứng minh đẳng thức vectơ
Phương pháp giải
Vận dụng các kiến thức sau.


Định nghĩa các khái niệm liên quan đến vectơ;



Tính chất hình học của các đa giác đã học;



Các quy tắc tính tốn với vectơ;



Một số hệ thức vectơ hay dùng;



Các tính chất của các hình hình học cụ thể.

Ví dụ. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Chứng minh rằng
uuur uuur uuur uuur
uuuu
r
AC  BD  AD  BC  2MN
Hướng dẫn giải

uuur uuur uuur uuur
Ta có AC  BD  AD  BC
uuur uuur uuur uuur
� AC  AD  BC  BD
uuur uuur
� DC  DC (đẳng thức này đúng).
Do M, N lần lượt là trung điểm các cạnh AB và CD
uuuu
r uuuu
r
�
�AM  BM  0
nên �uuur uuur
�NC  ND  0
uuur uuur uuuu
r uuuu
r uuur
uuuu
r uuuu

r uuur
Do đó AD  BC  AM  MN  NB  BM  MN  ND



 



uuuu
r uuuu
r
uuur uuur
uuuu
r
uuuu
r
 AM  BM  NB  ND  2MN  2MN



 



uuur uuur uuur uuur
uuuu
r
Vậy AC  BD  AD  BC  2MN
Trang 6

Ví dụ mẫu
B C D . Sử dụng các đỉnh của hình hộp làm điểm đầu và điểm cuối của
Ví dụ 1. Cho hình hộp ABCD. A����
vectơ.

uuu
r uuur uuur uuur
a) Hãy kể tên các vectơ bằng nhau lần lượt bằng các vectơ AB, AC , AD, AA�
.
uuur
b) Hãy kể tên các vectơ ln có độ dài bằng nhau và bằng độ dài của vectơ BC .

Hướng dẫn giải
+)
+)
+)
+)

a) Ta có
uuu
r uuur uuuur uuuur
AB  DC  A��
B  D��
C .
uuur uuuur
AC  A��
C .
uuur uuur uuuur uuuur

AD  BC  A��
D  B��
C
uuur uuur uuuu
r uuuur
AA�
 BB�
 CC �
 DD �

b) Từ tính chất của hình bình hành, ta suy ra các
uuur
vectơ ln có độ dài bằng độ dài của vectơ BC là
uuur uuu
r uuur uuur uuuur uuuur uuuur uuuur
.
BC , CB, AD, DA, A��
D , D�
A�
, B ��
C ,C�
B�
Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành.
uur uuu
r uur uuu
r
a) Chứng minh SA  SC  SB  SD
uur 2 uuu
r 2 uur 2 uuu
r2

b) Nếu ABCD là hình chữ nhật thì SA  SC  SB  SD
Hướng dẫn giải
a) Gọi O là tâm của hình bình hành ABCD thì O là
trung điểm của mỗi đường chéo AC và BD.
uur uuu
r
uuu
r
uur uuu
r
uuu
r
Do đó SA  SC  2 SO và SB  SD  2SO
uur uuu
r uur uuu
r
Vậy SA  SC  SB  SD
uur 2
uuu
r uuu
r 2 uuu
r 2 uuu
r2
uuu
r uuu
r
b) Ta có SA  SO  OA  SO  OA  2SO.OA ,



uuu
r2
uuu
r uuur
SC  SO  OC





2



uuu
r 2 uuur 2
uuu
r uuur
 SO  OC  2SO.OC .

uur 2 uuu
r2
uuu
r 2 uuu
r 2 uuur 2
uuu
r uuu
r uuur
Suy ra SA  SC  2SO  OA  OC  2SO OA  OC









uuu
r 2 uuu
r2
uuu
r
uuur
uuu
r uuur r
 2 SO  OA (vì OA và OC là hai vectơ đối nhau nên OA  OC  0 )
 2  SO 2  OA2 
uur 2 uuu
r2
Tương tự. SB  SD  2  SO 2  OB 2 
Mà ABCD là hình chữ nhật nên OA  OB
uur 2 uuu
r 2 uur 2 uuu
r2
Suy ra SA  SC  SB  SD
Trang 7


Bài toán 2. Chứng minh ba vectơ đồng phẳng, ba điểm thẳng hàng

Phương pháp giải


Chứng minh ba vectơ đồng phẳng, sử dụng một trong các cách sau.

+ Chứng minh ba vectơ có giá cùng song song với một mặt phẳng.
+ Chứng minh hai vectơ có giá cùng song song với mặt phẳng chứa giá của vectơ còn lại.
r
r
r
+ Biến đổi vectơ để được đẳng thức dạng c  m.a  n.b


Chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng
uuur
uuur
� k ��: AB  k . AC
uuur
uuur uuuu
r
� k ��: k .MA   1  k  .MB  MC
Ví dụ. Cho tứ diện ABCD. Gọi M và N lần lượt là các điểm trên các cạnh AD và BC sao cho
uuu
r uuur uuuu
r
AM  2MD, BC  3 NC . Chứng minh ba vectơ AB, CD, MN đồng phẳng.
Hướng dẫn giải

uuuu
r uuur uuu

r uuur
�
MN

MA

AB
 BN
�
r
uuuu
r uuur uuur
Ta có �uuuu
2MN  2 MD  DC  CN
�
�





uuuu
r uuur uuuu
r
uuur uuur
uuu
r uuur
Cộng vế theo vế của hai đẳng thức này ta được 3MN  MA  2MD  BN  2CN  AB  2 DC



 

 



uuuu
r 1 uuu
r 2 uuur
uuur uuuu
r r uuur uuur r
Do MA  2 MD  0, BN  2CN  0 nên MN  AB  CD
3
3
uuu
r uuur uuuu
r
Vậy AB, CD, MN đồng phẳng.
Ví dụ mẫu

uuur r uuu
r r uuur r
B C có AA�
Ví dụ 1. Cho hình lăng trụ tam giác ABC. A���
 a, AB  b, AC  c . Hãy phân tích các vectơ
uuuu
r uuuu
r
r r r

B�
C , BC �qua các vectơ a, b, c .
Hướng dẫn giải
uuuu
r uuur uuur
uuur uuur uuur
r r r
Ta có B�
C  B�
B  BC   AA�
 AC  AB  a  b  c
uuuu
r uuur uuuu
r uuur uuu
r uuur r r r
BC �
 BC  CC �
 AC  AB  AA�
 a b c

Trang 8


Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABC. Lấy điểm M và N sao cho
uuur
uuur
uuur
uuur
MS  2MA và NC  2 NB . Chứng minh rằng ba vectơ
uuu

r uuuu
r uuu
r
AB, MN , SC đồng phẳng.
Hướng dẫn giải

uuur uuur r uuur uuur r
Từ giả thiết ta có MS  2MA  0; CN  2 BN  0
uuuu
r uuur uuu
r uuur
�
MN

MS

SC
 CN
�
u
u
u
u
r
u
u
u
r
uuu
r uuur

Lại có �
2
MN

2
MA

AB
 BN
�
�





Cộng vế theo vế ta được
uuuu
r uuur uuur
uuur uuur uuu
r uuu
r uuu
r uuu
r
3MN  MS  2MA  CN  2 BN  SC  2 AB  SC  2 AB



 

uuu
r uuuu
r uuu
r
Vậy AB, MN , SC đồng phẳng.



, B�
, C �lần lượt thuộc các tia SA, SB, SC sao cho
Ví dụ 3. Cho hình chóp S.ABC. Lấy các điểm A�
SA  a.SA�
, SB  b.SB�
, SC  c.SC �
, trong đó a, b, c là các số thay đổi. Chứng minh rằng mặt phẳng
B C  đi qua trọng tâm của tam giác ABC khi và chỉ khi
 A���

a bc  3.

Hướng dẫn giải

uur
uuu
r ur
uuur uuu
r
uuur
Từ giả thiết ta suy ra SA  a.SA�
, S B  b.SB�

, SC  c.SC �
uur uur uuu
r
uuu
r
Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC . Ta có SA  SB  SC  3SG
uuu
r
uuu
r
uuur
uuur
G � A���
B C  � SG  x.SA�
 y.SB�
 z.SC �với x  y  z  1
uuu
r
uuu
r
uuur
uuur
� 3SG  3 x.SA�
 3 y.SB�
 3 z.SC �với x  y  z  1
uuu
r
uuur
uuur
uuu

r
uuur
uuur
� a.SA�
 b.SB�
 c.SC �
 3 x.SA�
 3 y.SB�
 3z.SC �
uuu
r
uuur
uuur r
�  a  3x  .SA�
  b  3 y  .SB�
  c  3z  .SC �
0
uuu
r uuur uuur
� a  3x  b  3 y  c  3 z  0 (do SA�
, SB�
, SC �không đồng phẳng)
B C  ta có a  3 x  b  3 y  c  3z  0 (với x  y  z  1 ).
+) Nếu G � A���
Do đó a  b  c  3
+) Nếu a  b  c  3 , ta đặt x 
x yz 

a
b

c
, y  , z  thì
3
3
3

abc
 1 và a  3 x  b  3 y  c  3z  0
3

BC .
Do đó G � A���

Trang 9


Ví dụ 4. Cho tứ diện ABCD, M và N là các điểm lần lượt thuộc AB và CD sao cho
uuur
uuur uuur
uuur
I, J, K
AD, MN , BC
lần lượt thuộc
sao cho
MA  2 MB, ND  2 NC ; các điểm
uu
r
uur uuur
uuu
r uuur

uuur
IA  k .ID, JM  k .JN , KB  k .KC . Chứng minh rằng các điểm I , J , K thẳng hàng.
Hướng dẫn giải

uuu
r uuur
uuuu
r OA  2OB
uuur
uuur
Ta có MA  2 MB nên với điểm O bất kỳ thì OM 
3
Tương tự, ta chỉ ra được
uuur
uuur
uuu
r
uuur
uuu
r
uuur
uuuu
r
uuur
uuur OD  2.OC uur OA  k .OD uuur OB  k .OC uuu
r OM  k .ON
ON 
, OI 
, OK 
, OJ 

3
1 k
1 k
1 k
uuu
r
r uuu
r
uuur
uuur
1 1 uuu
. OA  2OB  k .OD  2k .OC
Ta có OJ 
1 k 3
uur
uuur
1 1

. �
�1  k  OI  2  1  k  OK �
�
1 k 3





1 uur uuur 1 uur 2 uuur
OI  2OK  OI  OK
3

3
3
r 2 uuur uuu
r
r 2 uuu
r
uu
r
uuu
r
1 uur uuu
1 uu
Suy ra OI  OJ  OK  OJ  0 � JI  JK  0 � IJ  2 JK
3
3
3
3














Suy ra I , J , K thẳng hàng.
, CB��
D.
B C D . Gọi G, G�lần lượt là trọng tâm của các tam giác BDA�
Ví dụ 5. Cho hình hộp ABCD. A����
, C �thẳng hàng.
Chứng minh các điểm A, G, G�
Hướng dẫn giải

uuu
r r uuur r uuur r
Đặt AB  a, AD  b, AA�
c
uuuu
r r r r
Ta có AC �
 a  b  c (quy tắc hình hộp).

Trang 10


uuur 1 uuu
r uuur uuur 1 r r r
Theo quy tắc trọng tâm, ta có AG  AB  AD  AA� a  b  c
3
3
uuuu
r 1 uuur uuur uuuu
r 1 r r r r r r 2 r r r

AG�
 AC  AB�
 AD� a  b  a  c  b  c  a  b  c
3
3
3
uuuu
r
uuur 3 uuuu
r
, C �thẳng hàng.
 3 AG  AG �nên các điểm A, G, G�
Vậy AC �
2





















Bài tập tự luyện dạng 1
r r r ur
Câu 1: Cho bốn vectơ a, b, c, d bất kỳ. Khẳng định nào sau đây sai?
r r
r
r
r r
r ur
r r r ur
A. a  b và c  d � a  c  b  d
B. a  b � a  �b
r r r ur
r ur r r
r
r
r
ur r ur r r
C. a  c  b  d � a  d  b  c
D. a  b và c   d � a  d  c  b
r r r
Câu 2: Trong không gian cho ba vectơ a, b, c . Cho các khẳng định sau.
r r r
r r r
(1) Nếu các vectơ a, b, c đồng phẳng thì các vectơ a, b, c thuộc một mặt phẳng nào đó.
r r r

r r r
(2) Nếu các vectơ a, b, c đồng phẳng thì ba vectơ a, b, c cùng phương.
r r r
r
r
r
(3) Nếu tồn tại hai số thực m, n sao cho c  ma  nb thì các vectơ a, b, c đồng phẳng.
r r r
(4) Nếu các vectơ a, b, c đồng phẳng thì giá của chúng song song với mặt phẳng nào đó.
Có bao nhiêu khẳng định đúng?
A. 4

B. 3

C. 2

D. 1

Câu 3: Cho tam giác ABC có diện tích S. Giá trị nào của k thích hợp thỏa mãn
S

r 2 uuur 2
uuu
r uuur
1 uuu
AB . AC  2k AB. AC
2

A. k 



1
4



2

B. k 

?
1
2

C. k 

1
2

D. k  1

Câu 4: Cho tứ diện ABCD. Hãy chọn khẳng định đúng?
uuu
r uuur uuur uuur
uuur uuur uuu
r uuur
A. AB  CD  AC  DB
B. AC  BD  AB  CD
uuur uuur uuu

r uuur
uuu
r uuur uuur uuu
r
C. AD  BC  AB  DC
D. BA  CD  BD  CA
Câu 5: Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào là đúng?
uuur
uuur
uuu
r
uuu
r
A. Từ AB  3 AC ta suy ra BA  3CA .
uuur
uuur
uuu
r
uuur
B. Từ AB  3 AC ta suy ra CB  2 AC .
uuur
uuur uuur
C. Nếu AB  2 AC  5 AD thì bốn điểm A, B, C , D cùng thuộc một mặt phẳng.
uuu
r
1 uuur
D. Nếu AB   BC thì B là trung điểm của đoạn AC.
2
Câu 6: Hãy chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau đây.
uur uuu

r uur uuu
r
A. Cho hình chóp S.ABCD. Nếu có SB  SD  SA  SC thì tứ giác ABCD là hình bình hành.
uuu
r uuur
B. Tứ giác ABCD là hình bình hành nếu AB  CD .
uuu
r uuur uuur uuur r
C. Tứ giác ABCD là hình bình hành nếu AB  BC  CD  DA  0 .
Trang 11


uuu
r uuur uuur
D. Tứ giác ABCD là hình bình hành nếu AB  AC  AD .
r
r
r
r
Câu 7: Cho a  3, b  5 , góc giữa a và b bằng 120�. Khẳng định nào sai trong các khẳng định sau?
r r
r r
r
r
r r
A. a  b  7
B. a  b  19
C. a  2b  9
D. a  2b  139
Câu 8: Cho tứ diện ABCD, O là trọng tâm tam giác BCD, M là trung điểm của AD. Khẳng định nào dưới

đây đúng?
uuuu
r 1 uuu
r 1 uuur 1 uuur
uuuu
r
r 1 uuur 1 uuur
2 uuu
A. OM  AB  AC  AD
B. OM   AB  AC  AD
3
3
6
3
3
6
uuuu
r
r 1 uuur 1 uuur
uuuu
r 1 uuu
r 1 uuur 1 uuur
1 uuu
C. OM   AB  AC  AD
D. OM  AB  AC  AD
3
3
6
3
3

6
Câu 9: Khẳng định nào sau đây sai?

r r r
r
r
A. Cho hai vectơ không cùng phương a và b . Khi đó ba vectơ a, b, c đồng phẳng khi và chỉ khi có
cặp số m, n là duy nhất.
r
r
r r
r r r
B. Nếu có ma  nb  pc  0 và một trong ba số m, n, p khác 0 thì ba vectơ a, b, c đồng phẳng.
r r r
C. Ba vectơ a, b, c đồng phẳng khi và chỉ khi ba vectơ đó cùng có giá thuộc một mặt phẳng.
D. Ba tia Ox, Oy , Oz vng góc với nhau từng đơi một thì ba tia đó khơng đồng phẳng.
Câu 10: Cho 2 điểm phân biệt A, B và một điểm O bất kì. Mệnh đề nào sau đây đúng?
uuuu
r uuu
r
uuu
r
A. Điểm M thuộc đường thẳng AB khi và chỉ khi OM  OB  k BA .
uuuu
r uuu
r
uuu
r uuu
r
B. Điểm M thuộc đường thẳng AB khi và chỉ khi OM  OB  k OB  OA .

uuuu
r
uuu
r
uuu
r
C. Điểm M thuộc đường thẳng AB khi và chỉ khi OM  kOA   1  k  OB .
uuuu
r uuu
r uuu
r
D. Điểm M thuộc đường thẳng AB khi và chỉ khi OM  OA  OB .
uuur uuuu
r
B C D có cạnh bằng a. Giá trị AB.C �
Câu 11: Cho hình lập phương ABCD. A����
A�bằng



A. a 2

B.  a 2 2



D. a 2

C. a 2 2

Câu 12: Khẳng định nào sau đây đúng?
A. Ba vectơ đồng phẳng là ba vectơ cùng nằm trong một mặt phẳng.
r r r
r
r
r
B. Ba vectơ a, b, c đồng phẳng thì có c  ma  nb với m, n là các số duy nhất.
r r r
ur
r
r
r
ur
C. Ba vectơ a, b, c khơng đồng phẳng khi có d  ma  nb  pc với d là vectơ bất kì.
D. Cả ba mệnh đề trên đều sai.
Câu 13: Khẳng định nào sau đây sai?
uuuur uuur r
A. Vì NM  NP  0 nên N là trung điểm của đoạn MP.
B. Vì I là trung điểm của đoạn AB nên từ một điểm O bất kì ta có OI 

r uuu
r
1 uuu
OA  OB .
2





uuu
r uuur uuur
uuu
r
uuur uuur
C. Từ hệ thức AB  2 AC  8 AD ta suy ra ba vectơ AB, AC , AD đồng phẳng.
uuu
r uuur uuur uuur r
D. Vì AB  BC  CD  DA  0 nên bốn điểm A, B, C , D cùng thuộc một mặt phẳng.
Câu 14: Trong không gian cho ba điểm A, B, C bất kì. Khẳng định nào sau đây đúng?

Trang 12


uuu
r uuur 1
uuu
r uuur 1
2
2
2
2
2
2
A. BA.BC   BA  BC  2 AC 
B. BA.BC   BA  BC  AC 
2
2
uuu
r uuur

uuu
r uuur
C. BA.BC  BA2  BC 2  AC 2
D. BA.BC  BA2  BC 2  2 AC 2
uur r uur r uuu
r r
Câu 15: Cho tứ diện SABC. Đặt SA  a, SB  b, SC  c . Gọi M là trung điểm của SA, N là điểm trên cạnh
r r
uuuu
r
r
BC sao cho NC  3NB . Phân tích vectơ MN theo ba vectơ a, b và c ta được
uuuu
r
1r 3r 1r
A. MN   a  b  c .
2
4
4
uuuu
r
1r 3r 1r
C. MN   a  b  c
2
4
4

uuuu
r 1r 3r 1r
B. MN  a  b  c

2
4
4
uuuu
r 1r 3r 1r
D. MN  a  b  c
2
4
4
uuu
r r uuur r uuur r
Câu 16: Cho tứ diện ABCD. Đặt AB  a, AC  b, AD  c . Gọi M là trung điểm của AB, N là điểm trên
uuur
cạnh CD sao cho ND  2 NC . Gọi O là trung điểm của đoạn thẳng MN. Biểu diễn vectơ AO theo ba
r r
r
vectơ a, b và c ta có
uuur 1 r 1 r 1 r
A. AO  a  b  c
4
3
3
uuur 1 r 1 r 1 r
C. AO  a  b  c
4
4
4

uuur 1 r 1 r 1 r
B. AO  a  b  c

4
3
6
uuur 1 r 1 r 1 r
D. AO  a  b  c
4
6
3

Câu 17: Trong không gian cho tam giác ABC. Tìm M sao cho giá trị của biểu thức
P  MA2  MB 2  MC 2 đạt giá trị nhỏ nhất.
A. M là trọng tâm tam giác ABC.

B. M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

C. M là trực tâm tam giác ABC.

D. M là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC.

Câu 18: Cho tứ diện ABCD có trọng tâm G. Chọn khẳng định đúng?
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2

A. AB  AC  AD  BC  BD  CD  3  GA  GB  GC  GD 
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
B. AB  AC  AD  BC  BD  CD  4  GA  GB  GC  GD 
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
C. AB  AC  AD  BC  BD  CD  6  GA  GB  GC  GD 
2
2
2
2
2
2
2

2
2
2
D. AB  AC  AD  BC  BD  CD  2  GA  GB  GC  GD 
r uuur r uuu
r r uuur
B C . Đặt a  AA�
Câu 19: Cho lăng trụ ABC. A���
, b  AB, c  AC .

Xét hai mệnh đề
uuuu
r
r r r
(I) B�
C  a  b  c

uuuu
r r r r
(II) BC �
 a b c

Mệnh đề nào đúng?
A. Chỉ (I).

C. Khơng có.
D. Cả (I) và (II).
r uuur r uuu
r r uuur
B C . Đặt a  AA�

Câu 20: Cho lăng trụ ABC. A���
, b  AB, c  AC . Gọi G�là trọng tâm của tam giác
uuur
A���
B C . Vectơ AG bằng
1 r r r
1 r r r
1 r r r
1 r r r
A. a  3b  c
B. 3a  b  c
C. a  b  3c
D. a  b  c
3
3
3
3
uuuu
r
uuuu
r uuuu
r
uuur
B C D . Biết MA�
Câu 21: Cho hình hộp ABCD. A����
 k .MC , NC �
 l.ND . Khi MN song song với BD�thì



B. Chỉ (II).















khẳng định nào sau đây đúng?
Trang 13


A. k  l  

3
2

B. k  l  3

C. k  l  4

D. k  l  2

Câu 22: Cho hình chóp S.ABCD có tất cả các cạnh bên và đáy đều bằng a và ABCD là hình vng. Gọi
uuur uuu
r
M là trung điểm của CD. Giá trị MS .CB bằng
a2
2a 2
D.
3
2
uur r uur r uuu
r r
Câu 23: Cho hình chóp S.ABC có SA  a, SB  b, SC  c và các điểm M, N lần lượt là trung điểm của các
uuur
cạnh AB, SC. Các điểm P, Q trên các đường thẳng SA, BN sao cho PQ / /CM . Biểu diễn vectơ PQ theo
r r r
ba vectơ a, b, c được kết quả
A.

a2
2

B. 

a2
2

uuur
2r 2r 4r
A. PQ   a  b  c

3
3
3
uuur 2 r 2 r 4 r
C. PQ  a  b  c
3
3
3

C.

uuur 1 r 1 r 2 r
B. PQ  a  b  c
3
3
3
uuur
1r 1r 2r
D. PQ   a  b  c
3
3
3

Câu 24: Khẳng định nào sau đây sai?
uuu
r uuur uuur
A. Ba vectơ AB , AC , AD đồng phẳng � bốn điểm A, B, C , D cùng nằm trong một mặt phẳng.
uuur uuur uuur
B. ABCD là một tứ diện � BC , CD, AC không đồng phẳng.
r r r

C. Ba vectơ a, b, c đồng phẳng chỉ khi giá của chúng cùng nằm trong một mặt phẳng.
r r r
D. Ba vectơ a, b, c không đồng phẳng khi và chỉ khi trong ba vectơ đó, vectơ này khơng thể biểu diễn
được theo hai vectơ kia.
B C D cạnh bằng a. Gọi G là trọng tâm tam giác A�
BC . Giá trị
Câu 25: Cho hình lập phương ABCD. A����
AG 2 bằng
A. a 2

B.

2a 2
3

C. 3a 2

D.

a2
3

Câu 26: Cho hình chóp S.ABCD. Gọi O là giao điểm của AC và BD. Xét hai mệnh đề
uur uur uuu
r uuu
r
uuu
r
(I). Nếu ABCD là hình bình hành thì SA  SB  SC  SD  4SO .
uur uur uuu

r uuu
r
uuu
r
(II). Nếu SA  SB  SC  SD  4SO thì ABCD là hình bình hành.
Mệnh đề nào đúng?
A. Chỉ (I).

B. Chỉ (II).

C. Khơng có.

D. Cả (I) và (II).

C. a 2

D.  a 2

uuu
r uuur
Câu 27: Cho tứ diện S.ABC có SA  SB  SC  AB  AC  a, BC  a 2 . Tích vơ hướng giữa SC. AB
bằng
A. 

a2
2

B.

a2

2

Câu 28: Cho hình chóp S.ABCD. Xét hai mệnh đề
uur uuu
r uur uuu
r
(I)
Nếu ABCD là hình bình hành thì SA  SC  SB  SD .
uur uuu
r uur uuu
r
(II)
Nếu SA  SC  SB  SD thì ABCD là hình bình hành.
Mệnh đề nào đúng?
A. Chỉ (I).

B. Chỉ (II).

C. Khơng có.

D. Cả (I) và (II).
Trang 14


r r r
r
r r u
r r r r r
r r
Câu 29: Cho ba vectơ a, b, c không đồng phẳng. xét các vectơ x  2a  b, y  a  b  c, z  3b  2c .

Chọn khẳng định đúng?
r u
r r
r r
A. Ba vectơ x, y , z đồng phẳng.
B. Hai vectơ x, a cùng phương.
r r
r u
r r
C. Hai vectơ x, b cùng phương.
D. Ba vectơ x, y , z đôi một cùng phương.
r r r
Câu 30: Cho ba vectơ a, b, c không đồng phẳng. Khẳng định nào sau đây sai?
r r r r u
r
r r r r
r r r
A. Các vectơ x  a  b  2c, y  2a  3b  6c, z   a  3b  6c đồng phẳng.
r r r r u
r
r r r r
r r r
B. Các vectơ x  a  2b  4c, y  3a  3b  2c, z  2a  3b  3c đồng phẳng.
r r r r u
r
r r r r
r r
C. Các vectơ x  a  b  c, y  2a  3b  c, z   a  4b đồng phẳng.
r r r r u
r

r r r r r r r
D. Các vectơ x  a  b  c, y  2a  b  3c, z  a  2b  4c đồng phẳng.
Câu 31: Trong các kết quả sau đây, kết quả nào đúng?

uuur uuur
Cho hình lập phương ABCD.EFGH có cạnh bằng a. Giá trị của AB.EG bằng
A. a 2

C. a 2 3

B. a 2 2

D.

a2 2
2

B C D có cạnh bằng a. Khẳng định nào sau đây sai?
Câu 32: Cho hình lập phương ABCD. A����
uuuu
r
uuuu
r uuur
A. AC � a 3
B. AD�
. AB�
 a2
uuur uuuu
r
uuur uuuur uuur uuuur r

C. AB�
D. 2 AB  B��
.CD�
0
C  CD  D�
A�
0
, A��
C . Điểm M
B C . Gọi I, K lần lượt là trung điểm của BB�
Câu 33: Cho lăng trụ tam giác ABC. A���
uuuur
uuuur
C sao cho MB�
thuộc cạnh B��
. Tìm k để bốn điểm A, I , M , K đồng phẳng.
 k MC �
A. k  1

B. k  

3
2

C. k  

1
2

D. k  3

Câu 34: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành tâm O, M là điểm thay đổi trên SO. Tỉ số

SM
SO

sao cho biểu thức P  MS 2  MA2  MB 2  MC 2  MD 2 nhỏ nhất bằng
A.

1
2

B.

2
3

C.

3
4

D.

4
5

Câu 35: Cho tứ diện ABCD. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB, CD. Cho
AB  2a , CD  2b, EF  2c . Với M là một điểm tùy ý, tổng MA2  MB 2 bằng
A. 2 MF 2  2b 2

B. 2 ME 2  2a 2

C. 2 MF 2  2a 2
D. 2 ME 2  2b 2
uuur
uuur uuur
uuur
Câu 36: Cho hình chóp S.ABC có M, N là các điểm thỏa mãn MS  2MA; NB  k NC . Tìm k để ba
uuu
r uuuu
r uuu
r
vectơ AB, MN , SC đồng phẳng.
A. k  2

B. k 

1
2

C. k  2

D. k  

1
2

Câu 37: Cho tứ diện ABCD có các điểm M, N, P lần lượt thuộc các cạnh BC, BD và AC sao cho
BC  4 BM , AC  3 AP, BD  2 BN . Mặt phẳng  MNP  cắt đường thẳng AD tại điểm Q. Tính tỉ số

AQ
.
AD

Trang 15


AQ 3
AQ 2
AQ 5



C.
D.
AD 5
AD 5
AD 3
ur r ur r
Câu 38: Trong không gian xét m, n, p, q là các vectơ có độ dài bằng 1. Giá trị lớn nhát của biểu thức
ur r 2 ur ur 2 ur r 2 r ur 2 r r 2 ur r 2
S  m  n  m  p  m  q  n  p  n  q  p  q là
A.

AQ 5

AD 2

B.

A. 16.

B. 6.

C. 25.

D. 8.

Dạng 2. Hai đường thẳng vng góc
Bài tốn 1. Tính góc giữa hai đường thẳng (chứng minh hai đường thẳng vng góc trong hình lăng
trụ và hình hộp)
Phương pháp giải
 Để tính số đo của góc giữa hai đường thẳng  d1 

Ví dụ. Cho hình lăng trụ đứng tam giác
ABC. A���
B C có đáy ABC là tam giác cân,
và  d 2  ta có thể thực hiện tính thơng qua góc
�  120�và cạnh bên AA�
AB  AC  a, BAC
a 2
giữa hai vectơ chỉ phương của đường thẳng đó.
. Tính góc giữa hai đường thẳng AB�và BC.
rr
r r
u.v
Hướng dẫn giải
+) cos  d1 , d 2   cos u , v  r r
u.v

 

+) Định lí cơsin trong tam giác
 Để chứng minh hai đường thẳng AB và CD vng
uuu
r uuur
góc với nhau, ta thường chứng minh AB.CD  0 .
Bước 1. Sử dụng tính chất sau:
�
 d1 , d 2   
�  d1 , d 2    d1 , d3   
�
d 2 / / d3
�

Ta có BC / / B��
C � �
AB�
, BC   �
AB�
, B��
C

Bước 2. Áp dụng định lí cơsin trong tam giác để
2
C có AB�
Xét AB��
xác định góc.
 AC �

 AB 2  BB�
a 3
Áp dụng định lý cosin cho ABC , ta có
�
BC 2  AB 2  AC 2  2. AB.AC.cos BAC
 a 2  a 2  2.a.a.cos120� 3a 2
� BC  B��
C a 3
C đều, do đó
Suy ra AB��
AB�
, BC   �
AB�
, B��
C�
AB��
C  60�
�
Ví dụ mẫu
B C D . Tính góc giữa 2 đường thẳng
Ví dụ 1. Cho hình lập phương ABCD. A����
C
a) AB và B��
C
b) AC và B��
C và B�
C
c) A��

Trang 16

Hướng dẫn giải

B mà �
a) Ta có AB / / A��
A��
B , B��
C   90�nên �
AB, B��
C   90�

b) Vì tứ giác ABCD là hình vng nên �
.
AC , BC   45�
C nên �
Ta có BC / / B��
AC , B��
C   45�
C và ACB�là tam giác đều vì có các cạnh đều bằng đường chéo của các hình
c) Ta có AC / / A��

vng bằng nhau. Do đó �
A��
C , B�
C   �
AC , B�
C   60�.
��
��

B C D có tất cả các cạnh bằng a và �
Ví dụ 2. Cho hình hộp thoi ABCD. A����
ABC  B
BA  B
BC  60�.
B CD là hình vng.
Chứng minh tứ giác A��
Hướng dẫn giải

B CD là hình bình hành (tính chất hình hộp).
Ta có tứ giác A��

��
C đều. Suy ra B�
C a.
Do B
BC  60�nên BB�
C  a nên A��
B CD là hình thoi.
Do đó CD  B�
uuur uuur uuu
r uuur uuu
r uuu
r uuu
r uuur uuu
r
a 2 a2
Ta có CB�
.CD  CB  BB�.BA  CB.BA  BB�
.BA   

0.
2
2
 CD . Vậy tứ giác A��
B CD là hình vng.
Suy ra CB�





, A�
AB
B C D có độ dài tất cả các cạnh bằng a và các góc BAD, DAA�
Ví dụ 3. Cho hình hộp ABCD. A����
, CD . Gọi  là góc tạo bởi hai đường thẳng MN
đều bằng 60�. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AA�
C , tính giá trị của cos  .
và B�
Hướng dẫn giải

Trang 17


D / / B�
C
�A�
Ta có �
với P là trung điểm của DC �
.

P
�MN / / A�
��
Suy ra �
MN , B�
C   �
A�
P, A�
D   DA
P
� D  DAA
� �
Vì BA
�
A�
AB  60�và các cạnh của hình hộp bằng a.
Do đó A�
D  a, C �
D  C�
A�
a 3.
Suy ra A�
P

2
A�
D 2  A��
C 2 DC �
5a
.


� A�
P
2
4
2

Áp dụng định lý cosin cho tam giác A�
DP , ta có
cos  

A�
D 2  A�
P 2  DP 2 3 5

2 A�
D. A�
P
10

B C D có cạnh bằng a. Trên các cạnh CD và BB�ta lần lượt lấy
Ví dụ 4. Cho hình lập phương ABCD. A����
 MN .
các điểm M và N sao cho DM  BN  x với 0 �x �a . Chứng minh rằng AC �
Hướng dẫn giải

r r r
uuur r uuur r uuur r
Ta đặt AA�
 a, AB�

 b, AD  c . Ta có a  b  c  a
uuuu
r uuur uuur uuur
uuuu
r r r r
AC �
 AA�
 AB  AD hay AC �
 abc
Mặt khác
uuuu
r uuur uuuu
r uuu
r uuur
uuur uuuur
uuur x r
uuuur x r
MN  AN  AM  AB  BN  AD  DM với BN  .a và DM  .b
a
a
uuuu
r �r x r � �r x r � x r � x �r r
b  a � �
c  b � a  �
a �
bc
Do đó MN  �
� a �� a � a
� a�



 



uuuu
r uuuu
r r r r �x r � x �r r �
.MN  a  b  c � a  �
a �
b  c�
Ta có AC �
a
� a� �
�
rr
rr
rr
Vì a.b  0, a.c  0, b.c  0 nên ta có





Trang 18


uuuu
r uuuu

r x r 2 � x �r 2 r 2
� x �2
AC �
.MN  a  �
1 �
b  c  x.a  �
1  �a  a 2  0
a
a
� �
� a�
 MN .
Vậy AC �

Bài toán 2. Tính góc giữa hai đường thẳng (hai đường thẳng vng góc) trong hình chóp
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABC có SA  SB  SC  AB  AC  a và BC  a 2 .
Tính góc giữa hai đường thẳng AB và SC.
Hướng dẫn giải

uuu
r uuu
r
uuu
r uuu
r
SC. AB
r uuu
r
Ta có cos SC ; AB  uuu

SC . AB





uur uuur uuur

uur uuur uuur uuur
SA  AC  . AB SA. AB  AC .AB



uuu
r uuur
a.a

SC . AB

Vì BC 2  2a 2  a 2  a 2  AC 2  AB 2
Nên ABC vuông tại A.
uuu
r uuur
Do đó AB. AC  0
uur uuu
r
�
Mặt khác tam giác SAB đều nên SA; AB  120�.





uur uuu
r
a2
Do đó ta có SA. AB  SA. AB.cos120�  .
2
a2
uuu
r uuu
r
1.
Vậy
cos SC ; AB  22  
a
2
uuu
r uuur
�
Do đó SC ; AB  120�











Suy ra góc �
SC ; AB   180� 120� 60�
Ví dụ 2. Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Tính góc giữa hai đường thẳng AB và CD.
Hướng dẫn giải
uuu
r r uuur r uuur r
Đặt AB  a, AC  b, AD  c .
uuur uuur uuur r r
Ta có CD  AD  AC  c  b
r r r
uuu
r uuur
a. c  b
uuu
r uuur
AB.CD
cos AB, CD  uuu
r uuur  r r r
AB . CD
a . c b









r r r r a.a. 1  a.a. 1
a.c  a.b
2
2 0


a.a
a2
uuu
r uuur
�
Vậy AB, CD  90�





Ví dụ 3. Cho tứ diện ABCD có AB  AC và AB  BD . Gọi P và Q lần lượt là trung điểm của AB và
CD. Chứng minh rằng AB  PQ .
Trang 19


Hướng dẫn giải

uuur uuu
r
uuur uuu
r
Vì AB  AC và AB  BD nên AC. AB  0; BD. AB  0 .

uuur uuu
r uuur uuur
uuur uuu
r uuur uuur
Ta có PQ  PA  AC  CQ và PQ  PB  BD  DQ
uuur uuur uuur
uuur uuu
r uuur uuur uuu
r uuur uuu
r uuur uuu
r
Do đó 2 PQ  AC  BD � 2 PQ. AB  AC  BD .AB  AC. AB  BD. AB  0
uuur uuur
Hay PQ. AB  0 .





Vậy AB  PQ .
Ví dụ 4. Cho tứ diện đều ABCD cạnh a, M là trung điểm của cạnh BC. Tính góc giữa hai đường thẳng AB
và DM.
Hướng dẫn giải
Gọi N là trung điểm AC thì MN / / AB .
Suy ra �
AB, DM   �
MN , DM  .
�
Ta có cos DMN


MN 2  DM 2  DN 2
2.MN .DM

2



2

2
�a � �a 3 � �a 3 �
� � � � � �
�2 � � 2 � � 2 �

a a 3
2. .
2 2



3
6

3
�
Suy ra DMN
.
 arccos
6

3
Vậy �
.
AB, DM   arccos
6
Ví dụ 5. Cho tứ diện ABCD có các cạnh đối bằng nhau từng đôi một,
AC  BD  a, AB  CD  2a, AD  BC  a 6 .
Tính góc giữa hai đường thẳng AD và BC.
Hướng dẫn giải

Trang 20


uuur uuur uuur uuur uuu
r uuur uuur uuur uuu
r
�  AD.AB.cos BAD
�
AD.BC  AD. AC  AB  AD.AC  AD. AB  AD. AC.cos CAD



 AD. AC.

 a 6.a.



AC 2  AD 2  CD 2
AB 2  AD 2  BD 2

 AD. AB.
2. AC. AD
2. AB. AD



a2  a 6



2

  2a 

2

2.a.a 6

 a 6.2a.

 2a 

2



 a 6



2

 a2

2.2a.a 6

 3a 2

uuur uuur
uuur uuur
uuur uuur
AD.BC
3a 2
1
�
cos
AD
,
BC


  � AD, BC  120�
Suy ra
AD.BC a 6.a 6
2









Vậy �
.
AD; BC   60�
Ví dụ 6. Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình thang vng tại A và D, cạnh
AB  2a, AD  DC  a; SA  AB, SA  AD và SA  2a 3 .
3
a) Tính góc giữa đường thẳng SB và DC.
b) Gọi  là góc giữa SD và BC. Tính cos  .
Hướng dẫn giải
�
a) Vì DC / / AB � �
SB, DC   �
SB, AB   SBA
�  90�
(vì SAB vng tại A nên SBA
).
Xét SAB vng tại A, ta có

2a 3
SA
3
� 
�  30�
tan SBA
 3 
� SBA

AB
2a
3

�  30�.
Vậy �
SB, DC   SBA
b) Gọi E là trung điểm của AB.
Khi đó, BCDE là hình bình hành nên DE / / BC � �
SD, BC   �
SD, DE   
�
7
� 2
4a 2
7a 2
2
2
2
 a2 
�SE  SD  a
�SE  SD  SA  AD 
3
3 ��
3
Ta có �
�DE 2  2a 2
�
�
�DE  a 2

Áp dụng định lí cosin trong tam giác SDE, ta được
� 
cos SDE

SD 2  DE 2  SE 2

2 SD.DE

2a 2
42
�  90�

 0 � SDE
14
7
2.a
.a 2
3
Trang 21


�   � cos   cos SDE
�  42 .
Vậy �
SD, BC   �
SD, DE   SDE
14
Ví dụ 7. Cho tứ diện ABCD có CD 
EF 

4
AB . Gọi G, E , F lần lượt là trung điểm của BC , AC , DB , biết
3

5
AB . Tính góc giữa CD và AB.
6

Hướng dẫn giải
Gọi G là trung điểm của BC.
Đặt AB  a . Ta có GE 
GF 

AB a
 .
2
2

CD 2
2a
5
5a
 AB 
; EF  AB 
.
2
3
3
6
6

Từ đó GE 2  GF 2 

a 2 4a 2 25a 2


 EF 2
4
9
36

� GEF vuông tại G.

�  90�.
Vì GE / / AB, GF / /CD nên �
AB, CD   �
GE , GF   EGF
Ví dụ 8. Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình vng tâm O, cạnh bằng a; SA vng góc với đáy
và SA  a 3 . Tính cơsin góc giữa SB và AC.
Hướng dẫn giải
Gọi I là trung điểm của SD
� OI là đường trung bình của SBD . Suy ra

OI / / SB
�
�
�
SB
OI 


�
�
2

SA2  AB 2
3a 2  a 2

a
2
2

Vì OI / / SB � �
SB, AC   �
OI , AC   �
AOI
Ta có AI 

SD

2

SA2  AD 2
3a 2  a 2

a
2
2

� AI  OI � AOI cân tại I.
Gọi H là trung điểm của OA � IH  OA và OH 

Xét OHI có

�  OH 
cos HOI
OI

OA AC a 2


2
4
4

a 2
4  2
a
4

�  2.
Vậy cos �
SB, AC   cos HOI
4
Ví dụ 9. Cho hình chóp tứ diện OABC có OA, OB, OC đơi một vng góc và OA  OB  a, OC  2a . Gọi
M là trung điểm của BC. Tính cơsin góc giữa hai đường thẳng AB và OM.
Hướng dẫn giải
Trang 22


�AB  a 2, BC  a 5
�

Ta có �
BC a 5
OM 

�
�
2
2
uuu
r uuuu
r uuu
r uuu
r 1 uuu
r uuur 1
uuu
r uuur uuu
r uuu
r uuu
r uuur
AB.OM  OB  OA . OB  OC  OB 2  OB.OC  OA.OB  OA.OC
2
2





 







1 2
a2
.
a  0  0  0 

2
2
uuu
r uuuu
r
AB.OM

a2
uuu
r uuuu
r
10
�
�
2


Vậy cos  AB, OM   cos AB, OM 
.
AB.OM

10
a 5
a 2.
2





�  BAD
�  60�
�  90�. Gọi M là trung điểm
Ví dụ 10. Cho tứ diện ABCD có AB  AD  a và BAC
, CAD
của cạnh CD. Tính độ dài cạnh AC để cơsin góc giữa hai đường thẳng AC và BM bằng

1
.
3

Hướng dẫn giải

Gọi N là trung điểm của AD. Ta có �
BM , AC   �
BM , MN   
Đặt AC  2 x � MN  x  0
Theo bài ra ta có tam giác ABD đều cạnh a nên BD  a, BN 

a 3
.

2

Tam giác ACD vuông tại A nên DC 2  AD 2  AC 2  a 2  4 x 2
Trang 23


Xét tam giác ABC ta có BC 2  a 2  4 x 2  2ax
a 2  a 2  4 x 2  2ax a 2  4 x 2 3a 2  4 x 2  4ax
Do đó BM 


2
4
4
2

3a 2  4 x 2  4ax
3a 2
 x2 
BM  MN  BN
4
4
�

Ta tính cos BMN 
2
2
2 BM .MN
3a  4 x  4ax
2.

.x
2
2



8 x 2  4ax
4 x. 3a  4 x  4ax
2

2



2

2

2x  a
3a  4 x 2  4 ax
2

Theo giả thiết ta có
cos  

2x  a
3a 2  4 x 2  4ax



x0
�
1
� 8 x 2  8ax  0 � �
xa
3
�

Do x  0 nên x  a � AC  2 x  2a
Bài tập tự luyện dạng 2
Câu 1: Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Hai đường thẳng cùng vng góc với một đường thẳng thì song song với nhau.
B. Hai đường thẳng cùng vng góc với một đường thẳng thì vng góc với nhau.
C. Một đường thẳng vng góc với một trong hai đường thẳng vng góc với nhau thì song song với
đường thẳng cịn lại.
D. Một đường thẳng vng góc với một trong hai đường thẳng song song thì vng góc với đường
thẳng cịn lại.
r r
Câu 2: Cho hai đường thẳng a, b lần lượt có vectơ chỉ phương u , v . Mệnh đề nào sau đây sai?
rr
rr
A. Nếu a  b thì u.v  0
B. Nếu u.v  0 thì a  b
rr
rr
u.v
u.v
C. cos  a, b   r r
D. cos  a, b   r r
u.v

u.v
Câu 3: Cho ba đường thẳng a, b, c . Mệnh đề nào sau đây sai?
A. Nếu a / / b thì �
a, c   �
c, b 

B. Nếu c / / b thì �
a, b   �
a, c 

C. Nếu a / / c thì �
a, c   0�

D. Nếu a  b thì �
a, c   �
c, b 

Câu 4: Cho ba đường thẳng a, b, c . Khẳng định nào sau đây đúng?
A. Nếu a  b và b  c thì a / / b

B. Nếu a  b và b  c thì a  c

C. Nếu a  c và b  c thì a  b

D. Nếu a / / b và c  b thì c  a
uuur
uuuu
r
Câu 5: Cho hình lập phương ABCD.EFGH. Góc giữa cặp vectơ AB và DH là
A. 45�

B. 90�

C. 120�

D. 60�

B C D . Chọn khẳng định sai?
Câu 6: Cho hình lập phương ABCD. A����
A. Góc giữa AC và B��
D bằng 90�
C bằng 45�
C. Góc giữa AD và B�

B. Góc giữa B��
D và AA�bằng 60�
C bằng 90�
D. Góc giữa BD và A��
uuur
uuur
Câu 7: Cho hình lập phương ABCD.EFGH. Góc giữa cặp vectơ AB và EG bằng
Trang 24


A. 90�

B. 60�

C. 45�

D. 120�

Câu 8: Cho tứ diện ABCD đều cạnh bằng a. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD. Góc giữa
AO và CD bằng bao nhiêu?
A. 0�

B. 30�

C. 90�

D. 60�

Câu 9: Cho tứ diện đều ABCD, M là trung điểm của cạnh BC. Khi đó cos  AB, DM  bằng.
A.

2
2

B.

3
6

C.

1
2

3
2

D.

B C D có tất cả các mặt là hình thoi và các góc đỉnh A bằng 60�. Góc
Câu 10: Cho hình hộp ABCD. A����
giữa hai đường thẳng BD và AC �bằng
A. 90�

B. 30�

Câu 11: Cho tứ diện ABCD có AC 

C. 45�

D. 60�

3
�  DAB
�  60�
AD, CAB
, CD  AD . Gọi  là góc giữa AB và CD.
2

Chọn khẳng định đúng.
A. cos  

3
4

B.   60�

C.   30�

D. cos  

1
4

Câu 12: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh bằng a. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. SA  SC

B. SA  SB

C. SA  SD

D. SA  CD

A. 60�

B. 45�

C. 120�

D. 90�

uuur
uuur
�  BAD
�  60�. Góc giữa cặp vectơ AB và CD
Câu 13: Cho tứ diện ABCD có AB  AC  AD và BAC

bằng
Câu 14: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a. Gọi M là điểm bất kỳ trên
đường thẳng AC. Số đo góc giữa hai đường thẳng BD, SM bằng
A. 90�

B. 120�

C. 60�

D. 45�

�  BAD
�  60�
�  90�. Gọi I và J lần lượt là
Câu 15: Cho tứ diện ABCD có AB  AC  AD và BAC
, CAD
uu
r
uuur
trung điểm của AB và CD. Góc giữa cặp vectơ AB và IJ bằng
A. 120�

B. 90�

C. 60�

D. 45�

Câu 16: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a. Số đo giữa hai đường thẳng
BC và SA bằng

A. 45�

B. 120�

C. 90�

D. 60�

Câu 17: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a, SA  3a và vng góc với mặt đáy. Gọi
M là trung điểm cạnh SB. Cơsin góc giữa hai đường thẳng AM và SC bằng
A.

5
16

B.

11
16

C.

5
8

3
8

D.

uur uuur
�  SAB
� . Khi đó góc �
Câu 18: Cho hình chóp S.ABC có AB  AC và SAC
SA, BC bằng



A. 30�

B. 45�



C. 60�

D. 90�
uuu
r uuur
�
�
SC
, AB bằng
Câu 19: Cho hình chóp S.ABC có SA  SB  SC và �
.
Góc
ASB  BSC  CSA



A. 120�

B. 45�

C. 60�



D. 90�

Trang 25