Dạy thêm toán 11 CÂU hỏi CHỨA đáp án 1d3 1

Câu 1.

Khi sử dụng phương pháp quy nạp để chứng minh mệnh đề chứa biến
n≥ p p
nhiên
( là một số tự nhiên), ta tiến hành hai bước:
A( n)
n = p.
•
Bước 1, kiểm tra mệnh đề
đúng với
A ( n)

•

Bước 2, giả thiết mệnh đề
n = k + 1.
rằng nó cũng đúng với

đúng với số tự nhiên bất kỳ

A( n)

n=k≥ p

đúng với mọi số tự

và phải chứng minh

Trogn hai bước trên:
A. Chỉ có bước 1 đúng. B. Chỉ có bước 2 đúng.

C. Cả hai bước đều đúng.
D. Cả hai bước đều sai.
Lời giải
Chọn
Câu 2.

C.
7, ∀n ∈ ¥ * '' ( *)

''8n + 1

Một học sinh chứng minh mệnh đề
chia hết cho
( *)
8k + 1
n=k
7.
•
Giả sử
đúng với
, tức là
chia hết cho

•

Ta có:

8k +1 + 1

8k +1 + 1 = 8 ( 8k + 1) − 7

chia hết cho

7.

, kết hợp với giả thiết

Vậy đẳng thức

( *)

8k + 1

đúng với mọi

như sau:

chia hết cho

7

nên suy ra được

n ∈ ¥ *.

Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Học sinh trên chứng minh đúng.
B. Học sinh chứng minh sai vì khơng có giả thiết qui nạp.
C. Học sinh chứng minh sai vì khơng dùng giả thiết qui nạp.
D. Học sinh không kiểm tra bước 1 (bước cơ sở) của phương pháp qui nạp.

Lời giải
Chọn D. Thiếu bước 1 là kiểm tra với
Sn =

Câu 3.

Cho

S3 =
A.

n =1

1
1
1
1
+
+
+ ... +
1 ×2 2 ×3 3 ×4
n. ( n + 1)

1
.
12

Nhìn vào đi của

B.

Sn

là

với

khơng chi hết cho

n ∈ N* .

Mệnh đề nào sau đây đúng?
2
1
S2 = .
S3 = .
3
4
C.
D.
Lời giải

1
S2 = .
6

1

→
n. ( n + 1)

, khi đó ta có

81 + 1 = 9

cho
1

n=2

, ta được

1
1
=
.
2. ( 2 + 1) 2 ×3

7.


Do đó với
Sn =

Câu 4.

Cho

n=2

S2 =
, ta có

1
1
1
1
+
+
+ ... +
1 ×2 2 ×3 3 ×4
n. ( n + 1)

n −1
.
n

Sn =
A.

1
1
2
+
= .
1ì2 2 ì3 3

Sn =
B.

Cỏch t lun. Ta cú

ã

ã

ã

Vi

n =1

⇔

Mệnh đề nào sau đây đúng?
n +1
n+2
Sn =
.
Sn =
.
n+2
n+3
C.
D.
Lời giải

1
2
3

S1 = , S2 = , S3 =
2
3
4

1
1
=
1.2 1 + 1

Giả sử mệnh đề đúng khi

Ta có

n ∈ N* .

1
2
3
S1 = , S 2 = , S3 = 
→
2
3
4
S1 =

, ta được

với

n
.
n +1

Cách trắc nghiệm: Ta tính được
mẫu đúng 1 đơn vị. Chọn B.

Chọn C.

n=k

. Từ đó ta thấy quy luật là từ nhỏ hơn

Sn =
dự đoán

n
.
n +1

: đúng.

( k ≥ 1)

, tức là

1
1
1
k

+
+ ... +
=
1.2 2.3
k ( k + 1) k + 1

.

1
1
1
k
+
+ ... +
=
1.2 2.3
k ( k + 1) k + 1

1
1
1
1
k
1
+
+ ... +
+
=
+
1.2 2.3

k ( k + 1) ( k + 1) ( k + 2 ) k + 1 ( k + 1) ( k + 2 )

1
1
1
1
k 2 + 2k + 1
⇔
+
+ ... +
+
=
1.2 2.3
k ( k + 1) ( k + 1) ( k + 2 ) ( k + 1) ( k + 2 )
⇔

Câu 5.

1
1
1
1
k +1
+
+ ... +
+
=
.
1.2 2.3
k ( k + 1) ( k + 1) ( k + 2 ) k + 2

Cho

1 
1 
1

Pn = 1 − 2 ÷ 1 − 2 ÷... 1 − 2 ÷
 2  3   n 

P=
A.

n +1
.
n+2

P=
B.

với

n≥2

n ∈ ¥.

n = k +1

Mệnh đề nào sau đây đúng?
n +1

n +1
P=
.
P=
.
n
2n
C.
D.
Lời giải

n −1
.
2n

2

và

Suy ra mệnh đề đúng với

.


Vì

n≥2

nên ta cho


1  3

→ P2 = 1 − 2 ÷ =
 n = 2 

 2  4
.

1 
1 2

 n = 3 
→ P3 = 1 − 2 ÷. 1 − 2 ÷ =

 2  3  3

Kiểm tra các đáp án chỉ cho D thỏa. Chọn D.
Câu 6.

Với mọi

A.
B.

C.

n ∈ ¥*

, hệ thức nào sau đây là sai?

n ( n + 1)
1 + 2 + ... + n =
2

1 + 3 + 5 + ... + ( 2n − 1) = n2

.
n ( n + 1) ( 2n + 1)
12 + 22 + ... + n 2 =
6
2 2 + 42 + 62 + L + ( 2n ) =
2

D.

.
Lời giải

Bẳng cách thử với
Câu 7.

2n ( n + 1) ( 2n + 1)
6

n =1 n = 2 n = 3
,
,
là ta kết luận được. ChọnD.

S = 12 + 22 + ... + n 2

n

Với mối số nguyên dương , đặt
. Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
n(n + 1)(n + 2)
n(n + 1)(2n + 1)
S=
S=
6
3
A.
. B.
.
n(n + 1)(2n + 1)
n(n + 1)(2n + 1)
S=
S=
6
2
C.
. D.
.
Đáp án
C.
Lời giải
n ∈ ¥*
Cách 1: Chúng ta chứng minh bằng phương pháp quy nạp tốn học rằng mọi
, ta có

12 + 22 + 32 + ... + n 2 =
đẳng thức
- Bước 1: Với

n(n + 1)(2n + 1)
.
6
2

n =1

thì vế trái bằng
n =1
Vậy đẳng thức đúng với
.
-Bước

2:

Giả

sử

đẳng

12 + 22 + 32 + ... + k 2 + ( k + 1) 2 =

1 =1

thức

, vế phải bằng

đúng

với

1(1 + 1)(2.1 + 1)
=1
6

n = k ≥1

(k + 1) [ (k + 1) + 1] [ 2(k + 1) + 1]
6

3

=

,

tức

.

là

chứng

(k + 1)(k + 2)(2k + 3)
.
6

minh


n = k +1

Ta phải chứng minh đẳng thức cũng đúng với
12 + 22 + 32 + ... + k 2 + ( k + 1) 2 =

(k + 1) [ (k + 1) + 1] [ 2(k + 1) + 1]
6

=

, tức là chứng minh

(k + 1)(k + 2)(2k + 3)
.
6

Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có
(k + 1)(k + 1)(2k + 1)
12 + 22 + 32 + ... + k 2 + (k + 1)2 =
+ (k + 1)2 .
6

Mà

(k + 1)( k + 1)(2k + 1)
k (k + 1)(2k + 1) + 6( k + 1) 2 ( k + 1)( k + 2)(2 k + 3)
+ (k + 1) 2 =
=
.
6
6
6

12 + 22 + 32 + ... + k 2 + (k + 1) 2 =
Suy ra

(k + 1)(k + 2)(2k + 3)
.
6

n = k +1
Do đó đẳng thức đúng với
. Suy ra có điều phải chứng minh.
Vậy phương án đúng là C.
Cách 2: Kiểm tra tính đúng-sai của từng phương án đến khi tìm được phương án đúng thơng
qua một số giá trị cụ thể của n.
S = 12 = 1
n =1
+ Với
thì
(loại được các phương án B và D);
2
2

S =1 + 2 = 5
n=2
+ Với
thì
(loại được phương án A).
Vậy phương án đúng là C.

Câu 8.

Đặt

A.

Tn = 2 + 2 + 2 + ... + 2

Tn = 3

(có

n

Tn = 2 cos

.

Đáp án

B.

dấu căn). Mệnh đề nào dưới đây là mệnh đề đúng?

π
2n +1

Tn = cos

.

C.

π
2n +1

.

D.

Tn = 5

.

B.
Lời giải
Tn = 2 cos

Ta chứng minh

Bước 1: Với

π

2n +1

bằng phương pháp quy nạp toán học. Thật vậy:

n =1

thì vế trái bằng
n =1
Vậy đẳng thức đúng với
.
Bước 2: Giả sử đẳng thức đúng với

2

2 cos

, còn vế phải bằng

n = k ≥1

Tk = 2 cos

, nghĩa là

Ta phải chứng minh đẳng thức cũng đúng với

Thật vậy, vì

Tk +1 = 2 + Tk

π
π
= 2 cos = 2
1+1
2
4

n = k +1

π
2k +1

.

.
Tk +1 = 2 cos

, tức là chứng minh
Tk +1 = 2 + Tk = 2 + 2 cos

nên theo giả thiết quy nạp ta có

4

π
2k +2
π
2k +1

.

.


1 + cos

Câu 9.

π
π
 π 
= 1 + cos  2. k + 2 ÷ = 2 cos 2 k + 2
k +1
2
2
 2 

Tk +1 = 2.2 cos 2

π
π
= 2 cos k + 2
k +2
2
2

Mặt khác,
nên
Vậy phương án đúng là B.
1

1
1
Sn =
+
+ ... +
1.3 3.5
(2n − 1)(2n + 1)
n∈¥*
Đặt
,với
.Mệnh đề nào dưới đây đúng?
Sn =
A.

n +1
2(2n + 1)

Đáp án

Sn =
.

B.

3n − 1
4n + 2

Sn =
.

C.

n
2n + 1

Sn =
.

D.

n+2
6n + 3

.

.

C.
Lời giải

Cách 1: Rút gọn biểu thức

Sn

dựa vào việc phân tích phần tử đại diện.

k
Với mọi số nguyên dương , ta có

Do đó:

1
1 1
1 
= 
−
÷
(2k − 1)(2k + 1) 2  2k − 1 2k + 1 

.

1 1 1 1
1
1  1
1 
n
S n =  1 − + − + ... +
−
÷ = 1 −
÷=
2 3 3 5
2 n − 1 2n + 1  2  2 n + 1  2n + 1

Vậy phương án đúng là phương án

.

C.

Cách 2: Kiểm tra tính đúng – sai của phương án dựa vào một số giá trị cụ thể của n.

Với

Với

n =1

S1 =
thì

n=2

1 1
=
1.3 3

S2 =
thì

(chưa loại được phương án nào);

1
1 2
+
=
1.3 3.5 5

(loại ngay được các phương án A,B và D.

Vậy phương án đúng là phương án

C.

n

Câu 10. Tìm tất cả các số nguyên dương sao cho
n≥3
n≥5
A.
.
B.
.
Đáp án

2n +1 > n2 + 3n.
C.

n≥6

.

Kiểm tra tính đúng – sai của bất đẳng thức với các trường hợp
2

n≥4

.

D.
Lời giải

n +1

D.

> n + 3n,
2

với

n ≥ 4.

n = 1, 2,3, 4,

ta dự đoán được

Ta chứng minh bất đẳng thức này bằng phương pháp quy nạp toán

học. Thật vây:
24+1 = 25 = 32,
42 + 3.4 = 28.
n=4
-Bước 1: Với
thì vế trái bằng
còn vế phải bằng
32 > 28
n = 4.
Do
nên bất đẳng thức đúng với
n = k ≥ 4,

2k +1 > k 2 + 3k .
-Bước 2: Giả sử đẳng thức đúng với
nghĩa là

5


Ta phải chứng minh bất đẳng thức cũng đúng với
2(

k +1) +1

> ( k + 1) + 3 ( k + 1)
2

hay

n = k + 1,

tức là phải chứng minh

2k + 2 > k 2 + 5k + 4.
2k +1 > k 2 + 3k .

Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có
2.2k +1 > 2 ( k 2 + 3k )
2 k + 2 > 2k 2 + 6k
Suy ra
hay
2

2
2k + 6k − ( k + 5k + 4 ) = k 2 + k − 4 ≥ 42 + 4 − 4 = 16
k ≥ 4.
Mặt khác
với mọi
2k + 2 > 2 ( k 2 + 3k ) > k 2 + 5k + 4
n = k + 1.
Do đó
hay bất đẳng thức đúng với
Suy ra bất đẳng thức được chứng minh.
Vậy phương án đúng là D.
S
n≥3
n
Câu 11. Tổng các góc trong của một đa giác lồi cạnh,
, là:
(
)
S = n − 2 .180°
S = n.180°
A.
.
B.
.
(
)
(
)
S = n − 1 .180°
S = n − 3 .180°

C.
.
D.
.
Lời giải
Đáp án

B.

Cách 1: Từ tổng các góc trong tam giác bằng
chúng ta dự đoán được

S = ( n − 2 ) .180°

180°

và tổng các góc trong từ giác bằng

360°

,

.

Cách 2: Thử với những trường hợp đã biết để kiểm nghiệm tính đúng –sai từ các công thức. Cụ
n=3
S = 180°
n=4
S = 360°
thể là với

thì
(loại ln được các phương án A, C và D); với
thì
(kiểm nghiệm phương án B lần nữa).

S = 1.4 + 2.7 + 3.10 + ... + n ( 3n + 1)

n∈¥*

Câu 12. Với
, hãy rút gọn biểu thức
2
2
S = n ( n + 1)
S = n ( n + 2)
A.
.
B.
.

C.

S = n ( n + 1)

.

.
D.

S = 2n ( n + 1)

.

Lời giải
Đáp án

A.

Để chọn được

S

đúng, chúng ta có thể dựa vào một trong ba cách sau đây:

Cách 1: Kiểm tra tính đúng –sai của từng phương án với những giá trị của

n

.

n =1
S = 1.4 = 4
n=2
S = 1.4 + 2.7 = 18
Với
thì
(loại ngay được phương án B và C); với
thì
(loại được phương án D).
n = 1, S = 4; n = 2, S = 18; n = 3, S = 48

S
Cách 2: Bằng cách tính trong các trường hợp
ta dự
đốn được cơng thức

2
S = n ( n + 1)

.

6


Cách 3: Ta tính

S

12 + 22 + ... + n 2 =

1 + 2 + ... + n =
dựa vào các tổng đã biết kết quả như

n ( n + 1) ( 2n + 1)
6

Câu 13. Kí hiệu
dưới đây là đúng?
A.

S n = 2.n !

Đáp án

.

B.

và

2
S = 3 ( 12 + 2 2 + ... + n 2 ) + ( 1 + 2 + ... + n ) = n ( n + 1)

. Ta có:

k ! = k ( k − 1) ...2.1, ∀k ∈ ¥

n ( n + 1)
2

*

n∈ ¥*

. Với

Sn = ( n + 1) !− 1

.

, đặt

C.
Lời giải

Sn = 1.1!+ 2.2!+ ... + n.n !

S n = ( n + 1) !

.

D.

.

. Mệnh đề nào

Sn = ( n + 1) !+ 1

.

B.

Chúng ta có thể chọn phương án đúng dựa vào một trong hai cách sau đây:
Cách 1: Kiểm nghiệm từng phương án đúng đối với những giá trị cụ thể của
Với

n =1

thì

S1 = 1.1! = 1

Cách 2: Rút gọn

Sn

dựa vào việc phân tích phần tử đại diện
. Suy ra:

Sn = ( 2!− 1!) + ( 3!− 2!) + ... + ( ( n + 1) !− n !) = ( n + 1) !− 1

Câu 14. Với
, đặt
đây là đúng?

A.

Tn
4n + 1
=
M n 2n + 2

Đáp án

.

(Loại ngay được các phương án A, C, D).

k .k ! = ( k + 1 − 1) .k ! = ( k + 1) .k !− k ! = ( k + 1) !− k !

n∈¥*

n

Tn = 12 + 22 + 32 + ... + ( 2n )

.

B.

Tn
4n + 1
=
M n 2n + 1

2

.

và

.

M n = 22 + 42 + 62 + ... + ( 2n )

C.
Lời giải

Tn
8n + 1

=
Mn
n +1

.

D.

2

. Mệnh đề nào dưới
Tn
2n + 1
=
Mn
n +1

.

A.

Chúng ta có thể chọn phương án đúng dựa vào một trong hai cách sau đây:
Cách 1: Kiểm nghiệm từng phương án đúng đối với những giá trị cụ thể của

Với

n =1

T1 = 1 + 2 = 5; M 1 = 2 = 4
2

thì

Cách 2: Chúng ta tính

Tn =

2

2

Tn , M n

nên

T1 5
=
M1 4

Câu 15. Tìm số nguyên dương

.

(loại ngay được các phương án B, C, D).

dựa vào những tổng đã biết kết quả. Cụ thể dựa vào ví dụ 1:

2n ( 2n + 1) ( 4n + 1)
2n ( n + 1) ( 2n + 1)
;Mn =

6
3
p

n

nhỏ nhất để

. Suy ra

2 n > 2n + 1

7

Tn
4n + 1
=
M n 2n + 2

với mọi số nguyên

.
n≥ p

.


A.

p=5

Đáp án
Dễ thấy

.

p=3

B.

B.
p=2

.

C.
Lời giải

p=4

.

D.

p=2

.

2 p > 2 p +1

thì bất đẳng thức
là sai nên loại ngay phương án
D.
p
p=3
2 > 2 p +1
Xét với
ta thấy
là bất đửng thức đúng. Bằng phương pháp quy nạp toán học
p=3
n≥3
2n > 2n + 1
chúng ta chứng minh được rằng
với mọi
. Vậy
là số nguyên dương nhỏ
nhất cần tìm.
n∈¥*
2n > n 2
Câu 16. Tìm tất cả các giá trị của
sao cho
.
A.

n≥5

.

B.

n =1

n≥6

n≥7
.C
.
Lời giải

hoặc

D.

n =1

hoặc

n≥5

.

Đáp án

D.
n =1
Kiểm tra với
ta thấy bất đẳng thức đúng nên loại ngay phương án A và C.
n =1
Kiểm tra với
ta thấy bất đẳng thức đúng. Bằng phương pháp quy nạp toán học chúng ta

chứng minh được rằng

2 n > n 2 , ∀n ≥ 5

Câu 17. Với mọi số nguyên dương

n

, ta có:

.
1
1
1
an + b
+
+ ... +
=
( 3n − 1) ( 3n + 2 ) cn + 4
2.5 5.8

các số nguyên. Tính các giá trị của biểu thức
A.

T =3

Đáp án

.

B.

T =6

T = ab 2 + bc 2 + ca 2

.

T = 43
C.
.
Lời giải

.

, trong đó

D.

T = 42

B.

Cách 1: Với chú ý

1
1 1
1 
= 
−

( 3k − 1) ( 3k + 2 ) 3  3k − 1 3k + 2 ÷


, chúng ta có:

1
1
1
11 1 1 1
1
1 
+
+ ... +
=  − + − + ... +
−
÷
( 3n − 1) ( 3n + 2 ) 3  2 5 5 8
2.5 5.8
3n − 1 3n + 2 

=

1
3n
n
.
=
(
)
3 2 3n + 2

6n + 4

.

Đối chiếu với đẳng thức đã cho, ta có:
Suy ra

T = ab 2 + bc 2 + ca 2 = 6

Cách 2: Cho

n = 1, n = 2, n = 3

a = 1, b = 0, c = 6

.

.
a + b 1 2a + b 1 3 x + b 3
= ;
= ;
=
c = 4 10 2c + 4 8 3c + 4 22

ta được:
.
2
2
a = 1, b = 0, c = 6
T = ab + bc + ca 2 = 6

Giải hệ phương trình trên ta được
. Suy ra
8

.

a , b, c

là


n≥2

Câu 18. Với mọi số nguyên dương

, ta có:

số nguyên. Tính các giá trị của biểu thức
A.

P=5

.

B.

Đáp án

P=9

1  an + 2
 1  1  
 1 − ÷ 1 − ÷... 1 − 2 ÷ =
 4   9   n  bn + 4
T = a 2 + b2

.

C.
Lời giải

, trong đó

a, b

là các

.

P = 20

C.
1−

Cách 1: Bằng cách phân tích số hạng đại diện, ta có:

.

D.

1 k −1 k +1
=
.
k2
k
k

P = 36

.

. Suy ra

1  1 3 2 4 n − 1 n + 1 n + 1 2n + 2
 1  1  
.
=
=
 1 − ÷ 1 − ÷... 1 − 2 ÷ = . . . ...
 4  9   n  2 2 3 3
n
2n
2n
4n

.
P = a + b 2 = 20

a = 2, b = 4
Đối chiếu với đẳng thức đã cho ta có:

. Suy ra
.
a + 1 3 3a + 2 2
= ;
=
n = 2, n = 3
b
4 3b
3
Cách 2: Cho
ta được
. Giải hệ phương trình trren ta được
a = 2; b = 4
P = a 2 + b 2 = 20
. Suy ra
.
3
3
3
4
1 + 2 + ... + n = an + bn3 + cn 2 + dn + e, ∀n ∈ ¥ *
Câu 19. Biết rằng
. Tính giá trị biểu thức
M = a+b+c+d +e
.
2

A.

M =4

.

Đáp án

B.

M =1

M=

.

C.
Lời giải

1
4

M=

.

D.

1
2

.

B.

n 2 ( n + 1)
n 4 + 2n3 + n 2
1 + 2 + ... + n =
=
4
4
2

3

Cách 1: Sử dụng kết quả đã biết:

số, ta được

3

3

. So sánh cách hệ

1
1
1
a = ;b = ; c = ; d = e = 0
4
2
4

Cách 2: Cho

.
n = 1, n = 2, n = 3, n = 4, n = 5

phương trình đó, ta tìm được

, ta được hệ 5 phương trình 5 ẩn

. Giải hệ

1
1
1
a = ;b = ;c = ; d = e = 0
4
2
4

Câu 20. Biết rằng mọi số nguyên dương

n

, ta có

M = a +b+c + d +e =1
. Suy ra
.
3
2

1.2 + 2.3 + ... + n ( n + 1) = a1n + b1n + c1n + d1

1.2 + 2.5 + 3.8 + ... + n ( 3n − 1) = a2 n + b2 n + c2 n + d 2
3

T = a1a2 + b1b2 + c1c2 + d1d 2

a , b, c, d , e

và

2

.

9

.

Tính

giá

trị

biểu

thức

A.

T =2

.

B.

T =1

M=

.

C.
Lời giải

4
3

T=

.

D.

2
3

.

Đáp án
C.
Cách 1: Sử dụng các tổng lũy thừa bậc 1 và bậc 2 ta có:
+)

1
2
1.2 + 2.3 + ... + n ( n + 1) = ( 12 + 2 2 + ... + n 2 ) + ( 1 + 2 + ... + n ) = n3 + n 2 + n
3
3

.

1
2
a1 = ; b1 = 1; c1 = ; d1 = 0
3
3

Suy ra
.
1.2 + 2.5 + 3.8 + ... + n ( 3n − 1) = 3 ( 12 + 2 2 + ... + n 2 ) − ( 1 + 2 + ... + n ) = n3 + n 2 .
+)
a2 = b2 = 1; c2 = d 2 = 0
Suy ra
.
4
T = a1a2 + b1b2 + c1c2 + d1d 2 =
3

Do đó
.
n = 1, n = 2, n = 3, n = 4
Cách 2: Cho
và sử dụng phương pháp hệ số bất đinh ta cũng tìm được
1
2
a1 = ; b1 = 1; c1 = ; d1 = 0
a2 = b2 = 1; c2 = d 2 = 0
3
3
;
.
4
T = a1a2 + b1b2 + c1c2 + d1d 2 =
3
Do đó
.
k
k
k
n, k
1 + 2 + ... + n
Câu 21. Biết rằng
, trong đó
là số nguyên dương. Xét các mệnh đề sau:
2
n ( n + 1)
n ( n + 1) ( 2n + 1)
n 2 ( n − 1)

n ( n + 1) ( 2n + 1) ( 3n 2 + 3n − 1)
S1 =
S2 =
S3 =
S4 =
2
6
4
30
,
,
và
.
Số các mệnh đề đúng trong các mệnh đề nói trên là:

A.

4

1
B. .

.

Đáp án

n∈¥

Q :"7 n + 5
A.

3

*

2
n 2 ( n − 1)
S3 =
4

P : "7 + 5
n

, ta xét các mệnh đề

chia hết cho

.

Đáp án

D.

3

.

D.

chúng ta thấy ngay được chỉ có

Câu 22. Với

2
C. .
Lời giải

là sai.

n
3"
2" Q :"7 + 5
chia hết cho
;
chia hết cho
và

6"

. Số mệnh đề đúng trong các mệnh đề trên là :
0
1
2
B. .
C. .
D. .
Lời giải

A.

Bằng phương pháp quy nạp toán học, chúng ta chứng minh được rằng

n =1
71 + 5 = 12M6
Thật vậy: Với
thì
.
10

7n + 5

chia hết cho 6.


Giả sử mệnh đề đúng với

n = k ≥1

7k + 5

, nghĩa là
chia hết ccho 6.
n = k +1
7 k +1 + 5
Ta chứng minh mệnh đề đúng với
, nghĩa là phỉa chứng minh
chia hết cho 6.
k +1
k
(
)
7 + 5 = 7 7 + 5 − 30

Ta có:
.
k
7 k +1 + 5 = 7 ( 7 k + 5 ) − 30
7 +5
Theo giả thiết quy nạp thì
chia hết cho 6 nên
cũng chia hết cho
6.
Q
n ≥1
7n + 5
P
Vậy
chia hết cho 6 với mọi
. Do đó các mệnh đề
và cũng đúng.
n
n ≥ 2n −1
Câu 23. Xét bài toán: “Kiểm nghiệm với số nguyên dương bất đẳng thức
”. Một học sinh đã
trình bày lời giải bài toán này bằng các bước như sau:
n =1
n ! = 1! = 1
n ! ≥ 2n −1
2n−1 = 21−1 = 20 = 1
Bước 1: Với
, ta có:
và
. Vậy

đúng.
n = k ≥1
k ! ≥ 2 k −1
Bước 2 : Giả sử bất đẳng thức đúng với
, tức là ta có
.
( k + 1) ! ≥ 2k
n = k +1
Ta cần chứng minh bất đẳng thức đúng với
, nghĩa là phải chứng minh
.
Bước 3 : Ta có

( k + 1) ! = ( k + 1) .k ! ≥ 2.2k −1 = 2k

n

. Vậy

n! ≥ 2n−1

với mọi số nguyên dương

.
Chứng minh trên đúng hay sai, nếu sai thì sai từ bước nào ?
A. Đúng.
Đáp án

Câu 24. Biết rằng

B. Sai từ bước 2.

A.
1
1
1
an 2 + bn
+
+ ... +
= 2
1.2.3 2.3.4
n ( n + 1) ( n + 2 ) cn + dn + 16

nguyên dương. Tính giá trị của biểu thức
là :
A.

T = 75

Đáp án

C. Sai từ bước 1.
Lời giải

.

B.

T = 364

.

T = ( a + c) ( b + d )

, trong đó

D. Sai từ bước 3.

a, b, c, d

T = 300
C.
.
Lời giải

D.

T = 256

C.

Phân tích phần tử đại diện, ta có:
1
1
1
+
+ ... +
(
1.2.3 2.3.4
n n + 1) ( n + 2 )

Suy ra:
1 1
1
1
1
1
1

= 
−
+
−.
+ ... +
−
(
)
(
)
(
)
2 1.2 2.3 2.3 3.4
n n +1
n + 1 n + 2 
1 1
1

−

2  2 ( n + 1) ( n + 2 ) 

Đối chiếu với hệ số, ta được:

n 2 + 3n
2n 2 + 6n
=
4n 2 + 12n + 8 8n 2 + 24n + 16

=
a = 2; b = 6; c = 8; d = 24
11

.

n

.

1
1 1
1

= 
−
(
)
(
)
(
)
(

)
(
)
k k +1 k + 2
2  k k +1
k + 1 k + 2 

=

và

.

.

.

là các số


Suy ra:

T = ( a + c ) ( b + d ) = 300

.

12