Dạy thêm toán 11 CÂU hỏi CHỨA đáp án 1h3 2

HAI ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC VỚI NHAU
DẠNG 1. GĨC CỦA HAI VÉCTƠ
Câu 1.

(SỞ GD&ĐT PHÚ THỌ - 2018) Cho hình chóp S . ABC có BC  a 2 , các cạnh cịn lại đều
uur
uuur
bằng a . Góc giữa hai vectơ SB và AC bằng
A. 60�.

B. 120�.

C. 30�.
Lời giải

D. 90�.

2
uur uuur
uur uuu
r uuur uur uuur uuu
uur uuur
r uuur  a  0
SB. AC
SA  AB . AC SA. AC  AB. AC
cos SB, AC  uur uuur
1

 22

SB . AC 

2
2
a
a
a
2.
Ta có
uur
uuur
SB
Vậy góc giữa hai vectơ
và AC bằng 120�.



Câu 2.







O
�
�
Cho tứ diện ABCD có CAB  DAB  60 , AB  AD  AC (tham khảo như hình vẽ bên).

Gọi  là góc giữa AB và CD . Chọm mệnh đề đúng?
O

A.   60 .

B.

cos  

1
4.

O
C.   90 .
Lời giải

D.

cos  

3
4.

Chọn C
uuuruuur uuur uuur uuur
uu
ruuur uuu
r uuur
AB.CD  AB AD  AC  u
�  AB. AC.cos CAB
� 0
AB AD  AB. AC  AB. AD cos DAB
.





�   90O .
1


Câu 3.

uuur uuuur
cos BD, A��
C



B C D . Tính
Cho hình lập phương ABCD. A����
uuur uuuur
uuur uuuur
cos BD, A��
C 0
cos BD, A��
C 1
A.
. B.
.
uuur uuuur 1
uuur uuuur

2
cos BD, A��
C 
cos BD, A��
C 
2 . D.
2 .
C.



















Lời giải
Chọn A

uuur uuuur
�
c
os
BD, A��
C 0
BD  AC || A��
C � BD  A��
C
.



Câu 4.



Cho hình chóp O. ABC có ba cạnh OA , OB , OC đơi một vng góc và OA  OB  OC  a .
uuur
uuuu
r
BC
OM
M
AB
Gọi
là trung điểm cạnh
. Góc tạo bởi hai vectơ
và
bằng

A. 135�.

B. 150�.

C. 120�.
Lời giải

Chọn C

2

D. 60�.


r uuur
�uuuur 1 uuu
uuuu
r uuur
OM  OA  OB
1
a2
�
2
2
� OM .BC   OB  
�uuur uu
ur uuur
2
2
�BC  OC  OB

�
Ta có
.





1
1
a 2
AB 
OA2  OB 2 
BC  OB  OC  a 2 và
2
2
2 .
2
a
uuuu
r uuur

uuuu
r uuur OM .BC
uuuu
r uuur
1
2
cos OM , BC 


  � OM .BC  120�
OM .BC a 2
2
.a 2
2
Do đó:
.
2



Câu 5.

OM 

2







(Trường THPT Hoàng Hoa Thám - Hưng Yên, năm 2019) Cho hình hộp chữ nhật
ABCD. A ' B ' C ' D ', biết đáy ABCD là hình vng. Tính góc giữa A ' C và BD.

0
A. 90 .

0

B. 30 .

0
C. 60 .
Lời giải

0
D. 45 .

Chọn A
uuuuu
r r uuuuur r uuuur r
A
'
B
'  a, A ' D '  b, A ' A  c, AB  x.
Đặt
uuuur uuuuu
r uuuuur uuuur r r r
A 'C  A ' B '  A ' D '  A ' A  a  b  c .
uuur uuur uuu
r r r
BD  AD  AB  b  a .

uuuur uuur r r r r r r r r 2 r 2 r r r r r r
A ' C.BD  (a  b  c).(b  a)  a.b  (a )  (b)  b.a  c.b  c.a .
 0  x  x  0  0  0  0 . (Vì ABCD là hình vng nên
uuuu
r uuur
0

Vậy A 'C  BD hay góc giữa A ' C và BD bằng 90 .
2

Câu 6.

2

r r
a b x

).

(Chuyên - Vĩnh Phúc - lần 3 - 2019) Cho tứ diện ABCD có hai mặt ABC và ABD là các
tam giác đều. Tính góc giữa hai đường thẳng AB và CD .
A. 90�.

B. 30�.

C. 120�.
Lời giải

Chọn A

3

D. 60�.


Gọi M là trung điểm của AB .
Vì hai mặt ABC và ABD là các tam giác đều nên CM  AB, DM  AB .

uuu
r uuur uuu
r uuuu
r uuuu
r uuur uuuu
r uuur uuuu
r
Khi đó AB.CD  AB.(CM  MD)  AB.CM  AB.MD  0 .
Vậy góc giữa hai đường thẳng AB và CD là 90�.
Câu 7.

(THPT Trần Phú - Lần 1 - 2018-2019) Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a . Giá trị tích
uuu
r uuu
r uuu
r
AB ( AB - CA)
vô hướng
bằng

a2
A. 2 .

a2 2
B. 2 .

a2 3
C. 2 .
Lời giải

3a 2
D. 2 .

Chọn D
Ta có:

uuur uuu
r uuu
r
uuur uuu
r uuur uuur uuur2 uuur uuur
uuu
r uuur
AB ( AB - CA) = AB. AB + AB. AC = AB + AB . AC .cos ( AB, AC )

a 2 3a 2
�
= AB 2 + AB. AC.cos BAC
= a 2 + a.a.cos 600 = a 2 + =
2
2 .

(

Câu 8.

)

B C có tất cả các cạnh đều bằng a , cosin góc giữa hai
Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC. A���

đường thẳng AB�và BC �bằng
1
A. 4 .

1
C. 2 .
Lời giải

2
B. 4 .

Chọn A

4

3
D. 4 .


r r r
r r rr
rr 1
uuur r uuu
r r uuur r
a  b  c  a, ab  ac  0, bc  a 2
 a, AB  b, AC  c theo giả thiết ta có:
2 .
Đặt AA�
uuur uuuu
r

�
� a 2
AB

BC
B�là các hình vng nên
A�và BCC �
Có ABB�
.
uuur r r
uuuu
r uuuu
r uuur r r r
 a  b và BC �
 AC �
 AB  a  c  b suy ra
Mà AB�
1 2
uuur uuuu
r
2
2
AB�
.BC � a  2 a  a
uuur uuuu
r
1
cos  AB�
, BC �
, BC � uuur uuuu


r 
  cos AB�
4
a 2.a 2
AB�BC �



Câu 9.



.

Cho hình chóp O. ABC có ba cạnh OA, OB, OC đơi một vng góc và OA = OB = OC = a .
uuur
uuuu
r
Gọi M là trung điểm cạnh AB . Góc hợp bởi hai véc tơ BC và OM bằng
A. 120�.

B. 150�.

C. 135�.
Lời giải

D. 60�.

Chọn A

uuur
uuuur
BC
OM
và
bằng 180�trừ đi góc tạo
Gọi I là trung điểm của AC ta có g óc hợp bởi hai véc tơ
u
u
u
u
r
uuu
r
bởi hai véc tơ MI và MO
BC = a 2 �MI =

Ta có:

BC a 2
=
2
2

5


Tam giác OAB vuông cân tại O nên:

OM =

OI =

a 2
2 .

a 2
2 .

Tam giác OAC vuông cân tại O nên:
uuuu
r
uuu
r
MO
MI
Suy ra góc tạo bởi hai véc tơ
và
bằng 60�
uuur
uuuu
r
Suy ra góc hợp bởi hai véc tơ BC và OM bằng 120�

B C có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , tam giác A�
BC đều nằm
Câu 10. Cho hình lăng trụ ABC. A���
trong mặt phẳng vng góc với
hai đường thẳng AA�và BM .

A.

cos 

2 22
11 .

B.

 ABC  .

cos 

M là trung điểm cạnh CC �
. Tính cosin góc  giữa

33
11 .

C.

cos 

11
11 .

D.

cos 

22
11 .

Lời giải
Chọn

Ta có:

B.

AH  A�
H

a 3
H  � BC  AA�
H  BC � BC   AA�
2 và AH  BC , A�

hay

BC  BB�
B�là hình chữ nhật.
. Do đó: BCC �

Khi đó:

CC �
 AA�


a 2 .6
22
a 3
a 6
2
�
BM

a

a
. 2
16
4 .
2
2

uuur uuuu
r uuur uuur uuuu
r
3a 2

AA�
.BM  AA�
. BC  CM  0  AA�
.CM
4 .
Xét:



cos  AA�
, BM  
Suy ra



3a 2
4
33
a 6 a 22

.
11 .
2
4

Câu 11. Cho tứ diện ABCD. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của BC , AD . Biết AB  2a ,

CD  2a 2 và MN  a 5. Sớ đo góc giữa hai đường thẳng AB và CD là
6


o
A. 60 .

o
B. 30 .

o

C. 90 .
Lời giải

o
D. 45 .

Chọn D

uuuu
r uuur uuu
r uuur
uuuu
r uuuu
r uuur uuur
Ta có: MN  MB  BA  AN và MN  MC  CD  DN . Suy ra
uuuu
r uuur uuuu
r
uuu
r uuur
uuur uuur uuu
r uuur
2MN  MB  MC  BA  CD  AN  DN  BA  CD
(Vì M là trung điểm BC và N là
trung điểm AD ).



 

 







uuu
r uuur 1 uuuu
r 2 uuu
r 2 uuur 2
uuuu
r 2 uuu
r 2 uuur 2
uuu
r uuur � BA.CD  4MN  BA  CD  4a 2
2
Khi đó: 4MN  BA  CD  2BA.CD
.
uuu
r uuur
BA.CD
2
cos  AB, CD   uuu
r uuur 
2
BA . CD

Do vậy ta có:
.
o
Vậy, sớ đo góc giữa hai đường thẳng AB và CD là 45 .

Câu 12.

(THPT THUẬN THÀNH 1) Cho hình chóp S . ABC có SA  SB  SC  AB  AC  a và góc
�  30�
CAB
. Cơsin góc tạo bởi hai đường thẳng AB và SC gần nhất với giá trị nào sau đây?
A. 0,83.

B. 0, 37.

C. 0, 45.
Lời giải

D. 0, 71.

Chọn B

uuu
r uuu
r uuu
r uur uuur uuu
r uur uuu
r uuur
a2 a2 3
AB.SC  AB SA  AC  AB.SA  AB. AC  a.a.cos120� a.a.cos 30�  

2
2
+) Ta có:
uuur uuu
r
a2 a2 3


AB.SC
uuu
r uuu
r
2
2  1  3 �0.37.
cos AB, SC 

2
AB.SC
a
2
+) Do đó:
Chọn
B.









7


Câu 13.

(THPT Xn Hịa-Vĩnh Phúc-năm 2017-2018) Cho hình chóp S . ABCD có tất cả các cạnh
bên và cạnh đáy đều bằng a và ABCD là hình vng. Gọi M là trung điểm của CD. Giá trị
uuur uuu
r
MS .CB bằng
a2
A. 2 .

a2

B. 2 .

a2
C. 3 .
Lời giải

D.

2a 2
2 .

Chọn A
Do tất cả các cạnh của hình chóp bằng nhau nên hình chóp S . ABCD là hình chóp đều

�SO  ( ABCD )
��
�AC  BD
.
Do M là trung điểm của CD nên ta có:
uuur uuu
r uuuu
r
r
1 uuur 1 uuur uuu
r uuu
r uuur
uuur uuur
MS  OS  OM   OC  OD  OS uuu
2
2
, CB  OB  OC  OD  OC .
uuur uuu
r uuur
OC
;
OS
; OD đôi một vng góc với nhau nên ta có:
Do
uuur uuu
r 1
1
a2
2
2

2
MS .CB  OC  OD  OC 
2
2
2

Câu 14.

(THPT Sơn Tây-Hà Nội-lần 1-năm 2017-2018) Cho hình chóp S . ABC có AB  AC ,
�  SAB
�
SAC
. Tính sớ đo của góc giữa hai đường thẳng SA và BC.
A. 45�.

B. 60�.

C. 30�.
Lời giải

Chọn D

8

D. 90�.


S

A

C
H
B

Cách 1:
uuu
r uuur uuu
r uuur uuur uuu
r uuur uuu
r uuur
�  AS . AB.cos SAB
�  0.
AS .BC  AS . AC  AB  AS . AC  AS .AB  AS . AC .cos SAC
Ta có





.
Do đó sớ đo của góc giữa hai đường thẳng SA và BC bằng 90�
DẠNG 2. GÓC CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG
Câu 15. (Chuyên Thái Bình lần 2 - 2018-2019) Cho hình lập phương ABCD. A ' B ' C ' D '. Tính góc
giữa hai đường thẳng AC và A ' B.
A. 60�

B. 45�

C. 75�

Lời giải

D. 90�

Chọn A

BCD�là hình bình hành nên A�
B //D�
C . Suy ra góc giữa hai đường thẳng AC và A�
B
Do A�
C và đó chính là góc �
ACD�
 60�(do  ACD ' đều).
bằng góc giữa hai đường thẳng AC và D�
Câu 16.

(THPT CHUYÊN HÙNG VƯƠNG - PHÚ THỌ - LẦN 1 - 2018) Cho hình lập phương
ABCD. A����
B C D . Góc giữa hai đường thẳng BA�và CD bằng:
A. 45�.

B. 60�.

C. 30�.
Lời giải

9

D. 90�.

A�

D�

B�

C�

A

D

C

B
Có
Câu 17.

CD //AB �  BA�
, CD    BA�
, BA  �
ABA�
 45�
A�là hình vng).
(do ABB�

(THPT Chun ĐH Vinh-GK1-năm 2017-2018) Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là
hình chữ nhật với AB  2a , BC  a . Các cạnh bên của hình chóp cùng bằng a 2 . Tính góc

giữa hai đường thẳng AB và SC .
A. 45�.

B. 30�.

C. 60�.

D. arctan 2 .

Lời giải
Chọn A

Ta có AB //CD nên

�; SC  SCD
AB; SC    CD
�
 � .

Gọi M là trung điểm của CD . Tam giác SCM vng tại M và có SC  a 2 , CM  a nên là





�
AB; SC  45�
�  45�
SCD
M

tam giác vuông cân tại
nên
. Vậy
.
Câu 18.

B C D . Góc giữa
(THPT CHUYÊN NGỮ - HÀ NỘI - 2018) Cho hình lập phương ABCD. A����
C và BD bằng.
hai đường thẳng A��

A. 60�.

B. 30�.

C. 45�.
Lời giải

10

D. 90�.


�
A��
C ; BD    �
AC ; BD   90�

Ta có:
Câu 19.

(THPT THANH MIỆN I - HẢI DƯƠNG - LẦN 1 - 2018) Cho hình lập phương
ABCD. A����
B C D , góc giữa hai đường thẳng A�
C là
B và B�
A. 90�.

B. 60�.

C. 30�.
Lời giải

D. 45�
.

�
B; B�
C   �
A�
B; A�
D   DA
��
C // A�
D �  A�
B.
Ta có B�

B có A�
D  A�

B  BD nên DA�
B là tam giác đều.
Xét DA�
� B  60�
Vậy DA�
.
Câu 20.

B C có
(THTP LÊ Q ĐƠN - HÀ NỘI - LẦN 1 - 2018) Cho hình lăng trụ đều ABC. A���
cạnh đáy bằng 1 , cạnh bên bằng 2 . Gọi C1 là trung điểm của CC �
. Tính cơsin của góc giữa hai
B .
đường thẳng BC1 và A��
2
A. 6 .

2
B. 4 .

2
C. 3 .
Lời giải

11

2
D. 8 .



 



�, A��
� , AB  �
� BC
B  BC
ABC1
1
1
��
A
B
//
AB
Ta có
.
AC1  BC1  2
Tam giác ABC1 có AB  1 ;
và

Câu 21.

cos B 

AB 2  BC12  AC12
2

� cos B 
2 AB.BC1
4 .

(THPT HÀ HUY TẬP - LẦN 2 - 2018) Cho tứ diện đều ABCD . Số đo góc giữa hai đường
thẳng AB và CD là
A. 45�
.

B. 90�.

C. 60�.
Lời giải

D. 30�.

a2 a 2
uuu
r uuur uuu
r uuu
r uuur
u
u
u
r
u
u
u
r
u

u
u
r
u
u
u
r

 0
AB.CD  AB CB  BD
� AB  CD .
 BA.BC  BA.BD 2
2
Đặt AB  a ,



Câu 22.



(THPT QUỲNH LƯU - NGHỆ AN - 2018) Cho hình chóp S . ABCD có tất cả các cạnh đều
bằng  a . Gọi I và J lần lượt là trung điểm của SC và BC . Sớ đo của góc
A. 30�.

B. 60�.

C. 45�.
Lời giải

12



IJ , CD 

D. 90�.

bằng:


S

I
D

A

B

C

J

IJ // SB �
�� �
�  60�
SB, AB   SBA
 IJ , CD   �
Ta có CD // AB �

(vì tam giác SAB là tam giác đều cạnh a ).
Câu 23.

B C D (hình vẽ bên dưới).
(CHUYÊN VINH - LẦN 2 - 2018) Cho hình lập phương ABCD. A����
D bằng
Góc giữa hai đường thẳng AC và A�

A. 45�.

Ta có:

B. 30�.

C. 60�.
Lời giải

� ��
AC , A�
D   �
A��
C , A�
D   DA
C  60�
�
.

D  A��
C  C�
D.

Vì A�

13

D. 90�.


Câu 24.

B C D cạnh a . Gọi M là trung điểm của
(SGD Nam Định) Cho hình lập phương ABCD. A����
CD và N là trung điểm của A��
N bằng
D . Góc giữa hai đường thẳng B�
M và C �

A. 30�.

B. 45�
.

C. 60�.
Lời giải

D. 90�.

Chọn D

BCD 
D khi đó IB�là hình chiếu vng góc của B�

M trên  A����
Gọi I là trung điểm của C ��
. Mặt khác
� C  NC
��
� ��
��
�
���
B�
 NC
D  NC
B�
B
C D  90�� C �
N  IB�Do đó C �
N  B�
M . Vậy góc
ta có IB��
N bằng 90�.
M và C �
giữa B�
Câu 25. Cho tứ diện OABC có OA = OB = OC = a; OA, OB, OC vng góc với nhau từng đơi một.
Gọi I là trung điểm BC . Tính góc giữa hai đường thẳng AB và OI .
A. 45�.

B. 30�.

C. 90�.
Lời giải

D. 60�.

Chọn D

Vì tứ diện OABC có OA = OB = OC = a; OA, OB, OC vng góc với nhau từng đơi một nên
ta có thể dựng hình lập phương AMNP.OBDC như hình vẽ với I là trung điểm BC nên

{ I } = OD �BC .
Cạnh của hình lập phương trên bằng a nên AB = AN = NB = a 2 vậy tam giác ABN đều.
Dễ thấy OI / / AN nên góc giữa hai đường thẳng AB và OI bằng góc giữa AB và AN bằng
60�.
14


� = 400
B C D có đáy là hình chữ nhật và CAD
Câu 26. Cho hình hình lăng trụ ABCD. A����
. Sớ đo góc
D là
giữa hai đường thẳng AC và B ��
0
A. 40 .

0
B. 20 .

0

C. 50 .

Lời giải

0
D. 80 .

Chọn D

Ta có

(

) (

BD / / B ��
D � �
AC ; B��
D = �
AC; BD

).

0
0
0
�
�
�
�
Gọi O = AC �BD . Vì CAD = 40 � OAB = OBA = 50 � AOB = 80
�

AC ; B ��
D = 800
Vậy
.

(

Câu 27.

)

(Chuyên Đại học Vinh - Lần 1 - Năm học 2018 - 2019) Cho hình lập phương
ABCD. A ' B ' C ' D ' có I , J lần lượt là trung điểm của BC và BB ' . Góc giữa hai đường thẳng
AC và IJ bằng
0
A. 45 .

0
B. 60 .

0

C. 30 .
Lời giải

0

D. 120 .

Chọn B

 IJ , AC    B ' C , AC  .
Vì IJ // B ' C nên
Mà AC , AB ', CB ' là đường chéo của các hình vng bằng nhau nên AC  AB '  CB ' .
0
�
� ACB ' đều. Vậy  IJ , AC    B ' C , AC   ACB '  60 .

Câu 28.

(Thi thử cụm Vũng Tàu - 2019) Cho hình lập phương ABCD. A ' B ' C ' D ' . Góc giữa hai
đường thẳng AC và DA�bằng
15


A. 60�.

B. 45�.

C. 90�.
Lời giải

D. 120�.

Chọn A

Ta có AC // A ' C ' nên góc giữa hai đường thẳng AC và DA ' bằng góc giữa hai đường thẳng
A ' C ' và DA ' .
Mà A ' C '  DA '  DC ' (các đường chéo của hình vng).
�

Suy ra A ' C ' D là tam giác đều � A ' C ' D  60�.
Vậy góc giữa hai đường thẳng AC và DA ' bằng 60�
.

C .
B C D . Tính góc giữa hai đường thẳng AB�và A��
Câu 29. Cho hình lập phương ABCD. A����
A. 60�.

B. 45�
.

C. 30�.
Lời giải

D. 90�.

Chọn A

B C D có cạnh là a .
Giả sử hình lập phương ABCD. A����
, A��
C    AB�
, AC 
C nên  AB�
Do AC P A��
.
� �
 AC  CB�
 a 2 � Tam giác AB�

 60�.
C đều nên CAB
Ta có: AB�
� �
, A��
C    AB�
, AC   CAB
 60�
�  AB�
.

B C D . Góc giữa hai đường thẳng AB�và CD�bằng
Câu 30. Cho hình lập phương ABCD. A����
A. 60�.

B. 45�
.

C. 30�.
16

D. 90�.


Lời giải
Chọn D

D // AB�
Ta có: C �
.



 



�
�
� �
AB�
, CD� C
D, CD� 90�
C là hình vng nên hai đường chéo vng góc).
(vì CDD��

Câu 31. Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình thoi cạnh a , SA  a 3 và SA  BC . Góc giữa hai
đường thẳng SD và BC bằng
A. 90�.

B. 60�.

C. 45�
.
Lời giải

D. 30�.

Chọn B

AD / / BC , SA  BC � SA  AD hay SAD vuông tại A .
�
AD / / BC , SD �AD  D � �
SD , BC   �
SD , AD   SDA

SAD vuông tại A �

� 
tan SDA

.

SA
�  60�
 3 � SDA
AD
.

B C D (hình vẽ bên dưới). Góc giữa hai đường thẳng AC và
Câu 32. Cho hình lập phương ABCD. A����
A�
D bằng

17


A. 30�.

B. 60�.

C. 90�.
Lời giải

D. 45�.

Chọn A
Gọi cạnh hình lập phương là a .
��
D    A��
C , A�
D  C
A�
D
 AC , A�
Ta có
.
C D là tam giác đều.
C  A�
D  DC �
 a 2 nên tam giác A��
Vì A��
�A�
D  60�.
Suy ra C �
Câu 33. Cho hình lăng trụ đều ABCD. A ' B ' C ' D ' có tất cả các cạnh bằng a . Góc giữa hai đường thẳng
BC ' và B ' D ' bằng
0
A. 30 .

0
B. 45 .

0

C. 60 .
Lời giải

0
D. 90 .

Chọn C

Ta có

� '
 BC ', B ' D '   BC ', BD   DBC
, xét

bằng a
� '  600
 BC ', B ' D '   BC ', BD   DBC

của

hình

vng

BDC ' có BD, BC ', DC' đều là các đường chéo

nên BDC ' là tam giác đều. Do đó

cạnh

.

Câu 34. Cho tứ diện ABCD có AB = CD = 2a . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AD và BC .
Biết MN = 3a , góc giữa hai đường thẳng AB và CD bằng
A. 45�
.

B. 90�.

C. 60�.
Lời giải

Chọn C

18

D. 30�.


Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của AC và BD . Khi đó ta có
�PM / / NQ / / CD
�
�
�
CD � PMQN
�

PM
=
NQ
=
�
�
2
là hình bình hành.
AB
MQ / / NP / / AB, MQ = NP =
2 .
Ta cũng có
Do AB = CD = 2a � PM = MQ = QN = NP = a .
Gọi

�
AB, CD ) =  � cos  = cos ( MPN
(�
)

. Áp dụng định lí Cơsin ta có
�
MN = PM + PN - 2 PM .PN .cos MPN
2

2

(

2

(

�
� 3a 2 = a 2 + a 2 - 2.a.a .cos MPN

)

)

a 2 + a 2 - 3a 2 - 1
�
� cos MPN
=
=
2.a.a
2

(

)

1
�
cos  = cos MPN
= � (�
AB, CD ) = 60�
2
nên

(

Câu 35.

)

(Thi giữa kì II - 1819 Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định) Cho hình chóp tứ giác S . ABCD
có có đáy là hình vng cạnh 2a ; cạnh SA  a và vng góc với đáy. Gọi M là trung điểm
CD . Tính cos  với  là góc tạo bởi SB và AM .

A.



2
5.

1
B. 2 .

2
C. 5 .
Lời giải

Chọn C

2
2
2
2

Ta có AM  AD  DM  a 5, SB  SA  AB  a 5 .

19

4
D. 5 .


uuuu
r uur uuur uuuur uur uuu
r
uur uur uuur uuu
r uuuuruur uuuuruuu
r uuuur uuur
AM .SB  AD  DM . SA  AB  u
AD.SA  AD. AB  DM .SA  DM . AB  DM . AB  2a 2 .
uuuu
r uur
uuuu
r uur
uuuu
r uur
AM .SB  AM .SB.cos AM , SB  5a 2 .cos AM , SB
Mặt khác
uuuu
r uur
uuuu
r uur
2
2

� 2a 2  5a 2 .cos AM , SB � cos AM , SB 
cos  
5 . Suy ra
5.









Câu 36.















BC

(THPT Ngơ Quyền - Ba Vì - Hải Phịng, lần 1) Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC. A���
 a 2 . Góc giữa hai đường thẳng AB�và BC �bằng
có AB  a và AA�

A. 90�.

B. 30�.

C. 60�
.
Lời giải
A'

D. 45�
.
C'

P
B'

N

A

C
M

E
B

Chọn C
Gọi M , N , P, E lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng AB, BB ', B ' C ', BC .
Suy ra MN / / AB ' và NP / / BC ' . Khi đó góc giữa đường thẳng AB ' và BC ' là góc giữa hai
đường thẳng MN và NP .
Ta có:

MN  NP 

a 3
2 .

Xét tam giác PEM vng tại E ,

MP 2  PE 2  ME 2  2a 2 

a 2 9a 2

4
4 .

Áp dụng định lí cosin trong tam giác MNP , ta có

3a 2 3a 2 9a 2


MN  NP  MP
4
4 1
cos MNP 
 4

2
3a
2.MN .NP
2
2.
4
.
2

2

2

0
0
Do đó góc MNP bằng 120 nên góc giữa đường thẳng AB ' và BC ' bằng 60 .

Câu 37.

(Tham khảo 2018) Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đơi một vng góc với nhau và
OA  OB  OC . Gọi M là trung điểm của BC ( tham khảo hình vẽ bên dưới). Góc giữa hai
đường thẳng OM và AB bằng

20


A.

900 .

0
B. 30 .

0
C. 60 .

0
D. 45

Lời giải
Chọn C

Đặt OA  a suy ra OB  OC  a và AB  BC  AC  a 2
Gọi N là trung điểm AC ta có MN / / AB và
Suy ra góc

MN 

a 2
2

OM , AB   �
OM , MN 
�
�
. Xét OMN

Trong tam giác OMN có

ON  OM  MN 

a 2
2 nên OMN là tam giác đều

0
�
OM , AB   �
OM , MN   600
�
Suy ra OMN  60 . Vậy
.

B C D ; gọi M là trung điểm của B��
C . Góc giữa hai đường
Câu 38. Cho hình lập phương ABCD. A����
thẳng AM và BC �bằng
A. 45�
.

B. 90�
.

C. 30�
.
Lời giải

Chọn A

21

D. 60�.


Giả sử cạnh của hình lập phương là a  0 .

AM , BC�
   AM , MN  .
Gọi N là trung điểm đoạn thẳng BB�
. Khi đó, MN //BC �nên 

a2 a 5
 a 

B 2  B�
M2
4
2 .
B M vng tại B�ta có: A�
M  A��
Xét tam giác A��
5a 2 3a
2

a


2
2
�
�

AM

AA

A
M
4
2 .
�
�
AA
M
A
Xét tam giác
vng tại
ta có:
a 5
BC � a 2
AN  A�
M
MN 

2 ;
2
2 .
Có
Trong tam giác AMN ta có:
2

9a 2 2a 2 5a 2



4
4
4

2
2
2
6a 2
4
1
MA  MN  AN
3a a 2

.


2.
.
4 6a 2 2
cos �
AMN
2.
2.MA.MN
2 2
�
AMN  45�

Suy ra

.
AM , BC�
   AM , MN   �
AMN  45�
Vậy 
.
Câu 39.

B C D . Gọi M là
[THPT NINH BÌNH-BẠC LIÊU-2019] Cho hình lập phương ABCD. A����
C và
trung điểm của DD�(Tham khảo hình vẽ). Tính cơ-sin của góc giữa hai đường thẳng B�
C�
M

A.

1
10 .

1
B. 3 .

1
C. 3 .
Lời giải
22

2 2
D. 9 .

Chọn A

� B�
N // C �
M � �
B�
C, C�
M   �
B�
C , B�
N
Gọi N là trung điểm của AA�

NC có
Xét tam giác B�

B�
N  a2 

��
cos �
B�
C, C �
M   cos NB
C 

a2 a 5
a 2 3a


; B�
C  a 2; NC  2a 2 

4
2
4
2

B�
N 2  B�
C 2  NC 2
2 B�
N .B�
C

Vậy



a2
1

a 5
10
2.
.a 2
2

Câu 40. Cho tứ diện ABCD . Gọi P , Q lần lượt là trung điểm của các cạnh BC , AD . Giả sử

AB  CD  a và
0
A. 90 .

PQ 

a 3
2 . Sớ đo góc giữa hai đường thẳng AB và CD là
0
B. 45 .

C. 30.
Lời giải

0
D. 60 .

Chọn D

�IP / / AB
�
Gọi I là trung điểm của AC , khi đó �IQ / / CD do IP, IQ lần lượt là các đường trung bình của tam giác
CAB và ACD .
23


Suy ra góc giữa hai đường thẳng AB và CD là góc giữa hai đường thẳng IP và IQ .
Xét tam giác IPQ , ta có
2

� 
cos PIQ

IP 2  IQ 2  PQ 2

2 IP.IQ

2
2
�a � �a � �a 3 �
� � � � � �
�2 � �2 � � 2 �
2

�a �
2. � �
�2 �



1
2

0
�
suy ra PIQ  120 .

0
0

0
Vậy góc giữa hai đường thẳng AB và CD có sớ đo là 180  120  60 .

Câu 41.

(THPT CHUYÊN QUANG TRUNG - BP - LẦN 1 - 2018) Cho hình chóp S . ABC có
SA  SB  SC  AB  AC  a , BC  a 2 . Tính sớ đo của góc giữa hai đường thẳng AB và
SC ta được kết quả:

A. 90�.

B. 30�.

C. 60�.
Lời giải

D. 45�.

ABC 
* Gọi H là hình chiếu vng góc của S lên mặt phẳng 
, theo đầu bài SA  SB  SC và
tam giác ABC vuông cân tại A ta có H là trung điểm của BC . Gọi M , N lần lượt là trung

�MN // AB
�
điểm của SA , SB ta có: �HN // SC � Góc giữa AB và SC là góc giữa MN và HN .
Xét tam giác MNH ta có:
tại H )

MN 

AB a
SC a
SA a
 ; HN 
 ; MH 

2
2
2
2
2 2 ( Do SHA vuông

�
� tam giác MNH là tam giác đều � MNH
 60�. Vậy góc cần tìm là 60�.

Câu 42.

(THPT HOÀNG HOA THÁM - HƯNG YÊN - 2018) Cho tứ diện ABCD có

AB  CD  2a . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của BC và AD . Biết MN  a 3 . Tính góc
giữa AB và CD .
A. 45�
.

B. 30�.

C. 90�.
Lời giải

24

D. 60�.


Kẻ MP // AB , NP // CD nên góc giữa AB và CD là góc giữa MP và NP .
� 
cos MPN

1
MP 2  NP 2  MN 2 a 2  a 2  3a 2


2
�  120�
2 � MPN
2.MP.NP
2a
.

Vậy góc giữa AB và CD bằng 60�.
Câu 43.

B C D . Gọi
(THPT NGUYỄN HUỆ - NINH BÌNH - 2018) Cho hình lập phương ABCD. A����
M là
M trung điểm các cạnh CD . cosin của góc giữa AC và C �

A. 0 .

2
B. 2 .

1
C. 2 .

10
D. 10 .

Lời giải

A��
CM .
C nên góc giữa AC và C �
M cũng bằng góc giữa A��
C và C �
M là �
Ta có AC //A��
C a 2,
Gọi cạnh của hình lập phương có độ dài là a . Khi đó A��
M có
gics vng CC �

CM 

C�
M

a 5
2 ( trong tam

a
3a
a
A�
M
MD 
2 ),
2 ( trong tam giác vuông A�
2,
MD ,

A�
D  a 2 ).

C   C�
M 2  A�
M2 1
 A��
cos �
A��
CM 

MC �ta có
2 A�
M .C �
M
2.
Xét tam giác A�
2

25