Dạy thêm toán 11 1D4 1 GIỚI hạn dãy số

TOÁN 11

GIỚI HẠN DÃY SỐ

1D4-1

Contents
PHẦN A. CÂU HỎI.............................................................................................................................................................1
DẠNG 0. CÂU HỎI LÝ THUYẾT.....................................................................................................................................1
DẠNG 1. DÃY SỐ DẠNG PHÂN THỨC..........................................................................................................................2
Dạng 1.1 Phân thức bậc tử bé hơn bậc mẫu....................................................................................................................2
Dạng 1.2 Phân thức bậc tử bằng bậc mẫu........................................................................................................................4
Dạng 1.3 Phân thức bậc tử lớn hơn bậc mẫu...................................................................................................................8
Dạng 1.4 Phân thức chứa căn...........................................................................................................................................9
DẠNG 2. DÃY SỐ CHỨA CĂN THỨC............................................................................................................................9
DẠNG 3. DÃY SỐ CHỨA LŨY THỪA..........................................................................................................................11
DẠNG 4. TỔNG CẤP SỐ NHÂN LÙI VÔ HẠNG.........................................................................................................13
DẠNG 5. MỘT SỐ BÀI TOÁN KHÁC............................................................................................................................14
PHẦN B. LỜI GIẢI THAM KHẢO..................................................................................................................................17
DẠNG 0. CÂU HỎI LÝ THUYẾT...................................................................................................................................17
DẠNG 1. DÃY SỐ DẠNG PHÂN THỨC........................................................................................................................17
Dạng 1.1 Phân thức bậc tử bé hơn bậc mẫu..................................................................................................................17
Dạng 1.2 Phân thức bậc tử bằng bậc mẫu.....................................................................................................................20
Dạng 1.3 Phân thức bậc tử lớn hơn bậc mẫu.................................................................................................................25
Dạng 1.4 Phân thức chứa căn.........................................................................................................................................26
DẠNG 2. DÃY SỐ CHỨA CĂN THỨC..........................................................................................................................27
DẠNG 3. DÃY SỐ CHỨA LŨY THỪA..........................................................................................................................31
DẠNG 4. TỔNG CẤP SỐ NHÂN LÙI VƠ HẠNG.........................................................................................................33
DẠNG 5. MỘT SỐ BÀI TỐN KHÁC............................................................................................................................34

PHẦN A. CÂU HỎI

DẠNG 0. CÂU HỎI LÝ THUYẾT
Câu 1.

Trong các mệnh đề dưới đây, mệnh đề nào sai?.
lim  un vn   �
A. Nếu lim un  � và limv n  a  0 thì
.
�u �
lim � n � 0
�vn � .
B. Nếu lim un  a �0 và limv n  �� thì
1


�u �
lim � n � �
�vn �
C. Nếu lim un  a  0 và limv n  0 thì
.
�u
lim � n
�vn
D. Nếu lim un  a  0 và limv n  0 và vn  0 với mọi n thì

�
� �
�
.

Câu 2.

Tìm dạng hữu tỷ của số thập phân vơ hạn tuần hồn P = 2,13131313... ,
212
213
211
211
P =
P =
P =
P =
99
100 .
100 .
99 .
A.
B.
C.
D.

Câu 3.

Khẳng định nào sau đây là đúng?

lim  un  a   0
có giới hạn là số a (hay un dần tới a ) khi n � �, nếu n��
.
u
u
B. Ta nói dãy số  n  có giới hạn là 0 khi n dần tới vơ cực, nếu n có thể lớn hơn một số
dương tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.

u
C. Ta nói dãy số  n  có giới hạn � khi n � � nếu un có thể nhỏ hơn một số dương bất kì,
kể từ một số hạng nào đó trở đi.
u
D. Ta nói dãy số  n  có giới hạn � khi n � � nếu un có thể lớn hơn một số dương bất kì,
kể từ một số hạng nào đó trở đi.

A. Ta nói dãy số

 un 

 u n  ,  vn 

và lim un  a, lim vn  � thì
B. 0 .
C. �.

lim

un
vn bằng

Câu 4.

Cho các dãy số
A. 1 .

Câu 5.

Trong các khẳng định dưới đây có bao nhiêu khẳng định đúng?

D. �.

k
(I) lim n  � với k nguyên dương.
n
q 1
(II) lim q  � nếu
.
n
(III) lim q  � nếu q  1

A. 0 .
Câu 6.

Câu 7.

B. 1 .

C. 3 .

1
n3 với mọi n ��* . Khi đó
thỏa
A. lim un khơng tồn tại. B. lim un  1 .
C. lim un  0 .
u
Cho dãy số  n 

D. 2 .

un  2 

D. lim un  2 .

(THPT CHUYÊN HÙNG VƯƠNG - PHÚ THỌ - LẦN 1 - 2018) Phát biểu nào sau đây là sai?

n
 q  1 .
A. lim un  c ( un  c là hằng số ).
B. lim q  0
1
1
lim  0
lim k  0 k  1

.
n
n
C.
.
D.

2


DẠNG 1. DÃY SỐ DẠNG PHÂN THỨC
Dạng 1.1 Phân thức bậc tử bé hơn bậc mẫu

Câu 8.

Câu 9.

Câu 10.

L  lim

(THPT Chun Thái Bình - lần 3 - 2019) Tính
A. L  1.
B. L  0.
C. L  3.
(Mã đề 101 BGD&ĐT NĂM 2018)
1
A. 0 .
B. 3 .
(Mã đề 103 BGD&ĐT NĂM 2018)
1
A. 7 .

Câu 11.

Câu 12.

n 1
n3  3 .

B.

lim

�.

(Mã đề 104 BGD&ĐT NĂM 2018)
1
A. 2 .
B. 0 .

1
5n  3 bằng
C. �.

lim

lim

D. L  2.

1
2n  7 bằng
1
C. 2 .

1
D. 5 .

D. 0 .

1
2n  5 bằng

(THPT QUỐC GIA 2018 - MÃ ĐỀ 102)
1
A. 5 .
B. 0 .

C. �.
lim

1
5n  2 bằng
1
C. 2 .

1
D. 5 .

D. �.

7 n 2  2n 3  1
I  lim 3
.
3n  2n 2  1
Câu 13. (THPT Chuyên Vĩnh Phúc-lần 3 MĐ 234 năm học 2017-2018) Tìm
7
2

A. 3 .
B. 3 .
C. 0 .
D. 1 .

A. 2 .

B. 0 .

2n 2  3
n6  5n5 bằng:
3
C. 5 .

2018
n bằng
Câu 15.
A. �.

B. 0 .

C. 1 .

Câu 14.

(HỒNG LĨNH - HÀ TĨNH - LẦN 1 - 2018)

lim

D. 3 .

D. �.

lim

2n  1
2  n  n2 ?
D. L  0 .

L  lim

Câu 16.

(LƯƠNG TÀI 2 BẮC NINH LẦN 1-2018-2019) Tính giới hạn
A. L  �.
B. L  2 .
C. L  1 .

Câu 17.

(TRƯỜNG THPT THANH THỦY 2018 -2019) Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng 0 ?
3


A.
Câu 18.

un 

n2  2
5n  3n2 .

B.

un 

n 2  2n
5n  3n 2 .

C.

un 

1  2n
5n  3n 2 .
I  lim

(THPT PHAN CHU TRINH - ĐẮC LẮC - 2018) Tính
A. I  �.
B. I  0 .
C. I  �.

Câu 19. Tìm lim un biết
3
A. 4 .

un 

D.

un 

1  2n 2
5n  3n 2 .

2n  3
2n  3n  1
2

D. I  1 .

1
1
1
 2
 ...  2
2 1 3 1
n 1 .
3
2
B. 5 .
C. 3
2

4
D. 3 .

�1
1
1
1 �
lim � 

 ... 

�
1.2 2.3 3.4
n  n  1 �
�
Câu 20. (THPT XUÂN HÒA - VP - LẦN 1 - 2018) Tính giới hạn
.
3
A. 0 .
B. 2 .
C. 1 .
D. 2 .
Câu 21.

(THPT CHUYÊN LƯƠNG VĂN
1
1
1
�
�
L  lim � 
 ... 
�
1 1 2
1  2  ...  n �
�
5
L
2.
A.
B. L  �.

Câu 22. Với n là số nguyên dương, đặt
lim S n bằng
A.
Câu 23.

Câu 24.

Câu 25.

1
2 1

B.

Sn 

1
2 1 .

CHÁNH

-

PHÚ

C. L  2 .

YÊN

-

L

3
2.

D.

2018)

1
1
1

 ... 
1 2 2 1 2 33 2
n n  1   n  1 n

C. 1 .

. Khi đó

1
22.

D.

lim

Tìm

cos n  sin n
.
n2  1

(THPT NGUYỄN TẤT THÀNH - YÊN BÁI - 2018) Tính giá trị của
A. 1.
B. 0.
C. �.
D. �.
Dạng 1.2 Phân thức bậc tử bằng bậc mẫu

lim

(THPT CHUN HỒNG VĂN THỤ - HỊA BÌNH - 2018) Giá trị của
A. 1 .
B. 2 .
C. 1 .
D. 0 .
(THPT THUẬN THÀNH - BẮC NINH - 2018) Kết quả của
1
1

A. 3 .
B. 3 .
C. 2 .

lim

2n
n  1 bằng

n2
3n  1 bằng:
D. 1 .

4


Câu 26.

Câu 27.

3n  2
n3 .

I  lim

(THPT YÊN LẠC - LẦN 4 - 2018) Tìm giới hạn
2
I 
3.
A.
B. I  1 .
C. I  3 .

D. k ��.

(THPT CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU - NGHỆ AN - LẦN 2 - 2018) Giới hạn

bằng?
2
2
1

A. 3 .
B. 3 .
C. 1 .
D. 3 .

2n  2017
3n  2018 .
Câu 28. (SGD&ĐT BẮC NINH - 2018) Tính giới hạn
2
3
2017
I
I
I
3.
2.
2018 .
A.
B.
C.

lim

1  2n
3n  1

I  lim

Câu 29.

Câu 30.

Câu 31.

Câu 32.

Câu 33.

Câu 34.

(THPT Quỳnh Lưu- Nghệ An- 2019)
19
1
A. 18 .
B. 18 .

1  19n
18n  19 bằng

1
D. 19 .

C. �.

(THPT Thạch Thành-Thanh Hóa-năm 2017-2018) Dãy số nào sau đây có giới hạn khác 0 ?

1
sin n
1
n 1
A. n .
B. n .
C. n .
D. n .

(CHUYÊN HÀ TĨNH - LẦN 1 - 2018)
1
A. 0 .
B. 2 .

lim

1  n2
2n 2  1 bằng
1
C. 3 .

(SGD THANH HĨA - LẦN 1 - 2018) Tính giới hạn
1
A. 2 .
B. 4 .
C. 2 .

lim

D.

(CHUYÊN VĨNH PHÚC - LẦN 1 - 2018) Tính

lim

1
2.

D. 2018 .
lim

8n 5  2 n 3  1
4 n 5  2n 2  1 .
D. 4 .

2n  1
1  n được kết quả là

1
C. 2 .

B. 0 .

(THPT LÊ XOAY - LẦN 3 - 2018)

lim



4n  2018

2n  1 .

(THPT Chuyên Vĩnh Phúc - lần 3 năm 2017-2018) Tìm
A. 2 .
B. 8 .
C. 1 .

A. 2 .

Câu 35.

lim

D. I  1 .

D. 1 .

2n 4  2 n  2
4n 4  2n  5 bằng
5


2
A. 11 .
Câu 36.

1
B. 2 .

lim

(Thi thử SGD Cần Thơ mã 121 – 2019) Giá trị của
A. 3 .
B. 2 .
C. 1 .

Câu 37. Giá trị
1
A. 12 .
Câu 38. Tính

A  lim

lim

lim

D. 0 .
2n 2  3
1  2n 2 bằng

D. 0 .

n2  n
12n 2  1 bằng

1
C. 6 .

1

D. 24 .

B. �.

C. 2 .

5
D. 2 .

1
B. 3 .

1
C. 4 .

1
D. 2 .

B. 0 .
5n  3
2n  1 .

A. 1 .

Câu 39.

C. �.

n 3  4n  5
3n3  n 2  7 bằng

A. 1 .

n 2  3n3
lim 3
2 n  5n  2 .
Câu 40. Tính giới hạn
1
A. 5 .
B. 0 .
Câu 41. Giới hạn của dãy số

 un 

A. 2 .
Câu 42. Tính giới hạn
10
I 
3 .
A.

I  lim

2n  1
n  1 bằng
Câu 43.
A. 1 .

un 

với
2
B. 3 .

C.



3
2.

1
D. 2 .

2n  1
, n ��*
3 n
là:

10n  3
3n  15 ta được kết quả:
10
I
3 .
B.

C. 1 .

C.

I

D.

3
10 .

D.



1
3.

I 

2
5.

lim

Câu 44.

lim

B. 2 .

C. 2 .

D. �.

B. 0 .

1
C. 2 .

-

3n 2  1
n 2  2 bằng:

A. 3 .

D.

1
2.
6


Câu 45. Tính

lim

8n 2  3n  1
4  5n  2 n 2 .

A. 2 .

B.

Câu 46. Cho hai dãy số

 un 

và



 vn 

1
2.

có

C. 4 .

un 

B. 3 .

A. 0 .

8n5  2n3  1
lim 2
2n  4n5  2019 bằng
Câu 47. Giới hạn
A. 2 .
B. 4 .

B  lim
Câu 48. Giá trị của
4
A. 9 .

Câu 49.

Câu 50.

D.

u
1
3
lim n
vn 
vn .
n 1 ;
n  3 . Tính
1
C. 3 .

D. �.

D. 0 .

C. 0 .

D. 4

4n 2  3n  1

 3n  1

2

bằng:

4
B. 3 .

(THPT CHUYÊN THĂNG LONG - ĐÀ LẠT - 2018) Tính
1
A. 2018 .
B. 3 .
C.  �.

L  lim

n3  n 2  1
�
2018  3n3
D.



1
3.

(Thi thử chuyên Hùng Vương Gia Lai lần -2019) Gọi S là tập hợp các tham số nguyên a thỏa

D. 2 .
lim

Câu 52.

1
4.

C. �.

�3n  2
�
lim �
 a 2  4a � 0
�n  2
� . Tổng các phần tử của S bằng
mãn
A. 4 .
B. 3 .
C. 5 .

Câu 51.



(Chuyên Lào Cai Lần 3 2017-2018) Cho a �� sao cho giới hạn
.Khi đó khẳng định nào sau đây là đúng?
1
0a

2.
A. 0  a  2 .
B.
C. 1  a  0 .

 3n  1  3  n 
un 
3
u
 4n  5 
Dãy số  n  với
A. 192

B. 68

an 2  a 2 n  1

 n  1

2

 a2  a 1

D. 1  a  3 .

2

a
có giới hạn bằng phân số tối giản b . Tính a.b
C. 32

D. 128

2n 3  n 2  4 1

an 3  2
2 với a là tham số. Khi đó a  a 2 bằng
Câu 53. Biết
A. 12 .
B. 2 .
C. 0 .
lim

D. 6 .

7


Câu 54.

u
Cho dãy số  n 

A.
B.

lim un  0

1  2  3  ...  n
n2  1
. Mệnh đề nào sau đây đúng?

.

1
2.
 un 

lim un 

không có giới hạn khi n � �.

C. Dãy số
lim un  1
D.
.

Câu 55.

với

un 

(THPT Ninh Giang-Hải Dương năm 2017-2018) Giới hạn
trị bằng?
2
1
A. 3 .
B. 6 .
C. 0 .

1  3  5  ...  2n  1
3n2  4
Câu 56.
bằng
2
A. 3 .
B. 0 .

lim

12  2 2  32  4 2  ...  n 2
n3  2n  7
có giá

1
D. 3 .

lim

Câu 57.

D. �.

1
C. 3 .

1
D. 2 .

n�

�1 2 3
Lim � 2  2  2  ...  2 �
n �bằng
�n n n
B. 0 .

A. 1 .
Câu 58.

1
C. 3 .

u 
Cho dãy số n
A. 0`.

un 

xác định bởi:
B. �.

1
3
2n  1
 2  � 2
*
2
lim un
n
n

n
với n �� Giá trị của
bằng:
C. �.
D. 1

n�
�1 2
lim � 2  2  ...  2 �
n �.
�n n
Câu 59. (THPT HAI BÀ TRƯNG - HUẾ - 2018) Tìm
1
1
A. �.
B. 2 .
C. n .
D. 0 .
Câu 60.

(THPT

Yên

Lạc-Vĩnh

Phúc-lần

1-năm

2017-2018)

Tính

giới

hạn:

�
�
� 1�
� 1 �� 1 �
lim �
1 2 �
1 2 �
... �
1 2 �
�
�
�
� 2 �
� 3 �� n �
�
�.
A. 1 .
Câu 61.

1
B. 2 .

1
C. 4 .

3
D. 2 .

(CHUYÊN TRẦN PHÚ - HẢI PHÒNG - LẦN 1 - 2018) Cho dãy số
1
1
1
un =
+
+... +
.
1.3 3.5
( 2n - 1) .( 2n +1) Tính limun.

u 
n

với

8


1
.
A. 2

B. 0.

2019
2018
Câu 62. Tính lim( 2n  3n  4) ?
A. �.
B. �.
Dạng 1.3 Phân thức bậc tử lớn hơn bậc mẫu

Câu 63.

lim  2  3n 

4

 n  1

C. 2 .

D. 2019 .

C. 81

D. 2

3

là:
B. �

A. �

C. 1.

1
.
D. 4

n3  2n
L  lim 2
3n  n  2
Câu 64. Tính giới hạn
A. L  �.

B. L  0 .

C.

2  3n  2n 3
un 
3n  2
Câu 65. Tính giới hạn của dãy số
2
A. 3 .
B. �.

Câu 66. Giới hạn

lim

1

3.

C. 1 .

D. �.

2n  1

2
C. 2 .

D. 0 .

bằng

(THPT HÀ HUY TẬP - LẦN 2 - 2018)
3
A. 2 .
B. 2.

lim

4n 2  1  n  2
2n  3
bằng

Câu 69.

D. �.

C. 1.
I  lim

Câu 68.

D. L  �.

1  5  ...   4n  3

A. 1 .
B. �.
Dạng 1.4 Phân thức chứa căn

Câu 67.

L

4n 2  5  n

4n  n 2  1 . Khi đó giá trị của I là:
(THPT LÝ THÁI TỔ - BẮC NINH - 2018) Cho
5
3
I
I
3.
4.
A. I  1 .
B.
C. I  1 .

D.

(CỤM 5 TRƯỜNG CHUYÊN - ĐBSH - LẦN 1 - 2018) Tính giới hạn
4x2  x  1  x2  x  3
x ��
3x  2
1
2

A. 3 .
B. 3 .
lim

1
C. 3 .

D.



2
3.
9


Câu 70. Tìm lim un biết
1
A. 2 .

un 

n 1  3  5  ...   2n  1
2n 2  1

B. �.

D. �.

C. 1 .

12  2 2  33  ...  n 2
2n  n  7   6 n  5 

lim
Câu 71.

(HỒNG QUANG - HẢI DƯƠNG - LẦN 1 - 2018) Tính
1
1
1
A. 6 .
B. 2 6 .
C. 2 .

D. �.

DẠNG 2. DÃY SỐ CHỨA CĂN THỨC

Câu 72.

lim



n 2  3n  1  n

A. 3 .

 bằng
C. 0 .

B. �.

D.



3
2.

Câu 73. Trong các giới hạn sau đây, giới hạn nào có giá trị bằng 1 ?
3n 1  2n
3n 2  n
lim
lim
5  3n .
4n 2  5 .
A.
B.
C.

lim

(

Câu 74. Giới hạn

n 2 + 2n -

lim n



D.

n4  n3





lim n  n 2  4n

lim

2n 3  3
.
1  2n 2

bằng

B. �.

A. 0 .
Câu 75. Tính giới hạn
A. 3 .

).

n 2 +1

7
C. 2 .

1
D. 2 .

C. 2 .

D. 4 .

.

B. 1 .

a
Câu 76. Có bao nhiêu giá trị nguyên của để
A. 3 .
B. 1 .

lim





n 2  4n  7  a  n  0

C. 2.

D. 0 .

I  lim �
n
�
Câu 77. (LÊ Q ĐƠN - HẢI PHỊNG - LẦN 1 - 2018) Tính
3
I
2.
A. I  �.
B.
C. I  1, 499 .
Câu 78.

(LÊ QUÝ ĐÔN - QUẢNG TRỊ - LẦN 1 - 2018) Tính
A. �.

B. 1 .

C. �.

?

lim n







n2  2  n2  1 �
�.
D. I  0 .

4 n 2  3  3 8n 3  n

.

2
D. 3 .
10


Câu 79. Tính giới hạn

L  lim



9n 2  2 n  1  4 n 2  1

A. �.
Câu 80. Tính giới hạn

B. 1 .

L  lim



4n2  n  1  9n

Câu 81. Tính giới hạn

L  lim



4 n 2  n  4n 2  2

Câu 82. Tính giới hạn

L  lim



n 2  3n  5  n  25

2n  1  n  3

4n  5

L  lim
Câu 83. Tính giới hạn

Câu 84. Tính giới hạn sau

L  lim

 L  lim



3

L  lim



3

Câu 87. Tính giới hạn
A. �.

L  lim



3

2 1
2 .

53
C. 2 .

D.

53
C. 2 .

D. 0 .

.

8n3  3n 2  2    3 5n 2  8n3

.

53
C. 2 .

8n3  3n2  4   2n  6
25
B. 4 .

A. �.

9
D. 4 .

n  4    3 n  1 

B. 7 .

A. �.
Câu 86. Tính giới hạn

3

B. 7 .

A. �.
Câu 85. Tính giới hạn



53
C. 2 .

.

B. 7 .

A. �.

C. �.

1
D. 4 .

.

B. 7 .

A. �.

C. �.

9
D. 4 .

 . ĐS: 14 .

B. 7 .

A. �.

C. �.

9
D. 4 .

.

B. 7 .

A. �.

.

2
D. 3 .

.
53
C. 2 .

1
D. 2 .

53
C. 2 .

1
D. 2 .

.

2n  n 3    n  1
B. 1 .

11


Câu 88. Tính giới hạn

L  lim



3

A. �.

n  n3    n  2

.

B. 2 .

Câu 89. Tính giới hạn

L  lim



3

C. 1 .

.

n 3  2n 2    n  1
5
B. 4 .

A. �.
Câu 90. Tính giới hạn

L  lim



53
C. 2 .

n4  n2  3 n6  1

Câu 91. Tính giới hạn

L  lim



1
C. 2 .

n 2  n  1  3 n3  n 2
5
B. 4 .

A. �.

D.



5
3.



5
3.

.

5
B. 4 .

A. �.

1
D. 2 .

D.

.
53
C. 2 .

1
D. 6 .

DẠNG 3. DÃY SỐ CHỨA LŨY THỪA
Câu 92.

(THPT HÀ HUY TẬP - HÀ TĨNH - LẦN 1 - 2018) Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng 0 ?
n

n

�4 �
��
A. �e �.
Câu 93.

n

�1 �
��
B. �3 �.

n

�5 �
� �
D. �3 �.

�5 �
��
C. �3 �.

(THPT THÁI PHIÊN - HẢI PHÒNG - LẦN 1 - 2018)
A. 2 .
B. �.
C. �.

lim 2n

n ��

bằng.
D. 0 .

Câu 94. Trong các giới hạn sau giới hạn nào bằng 0
n

�2 �
lim � �
�3 �.
A.

n

n

�5 �
lim � �
�3 �.
B.

�4 �
lim � �
�3 �.
C.

D.

B. �.

1
C. 2 .

D. 2 .

lim  2 

n

.

n

�2018 �
lim �
�
�2019 � bằng.
Câu 95.
A. 0 .

Câu 96. Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng 0 ?

 0,999 
A.

n

.

 1
B.

n

.

 1,0001
C.

n

.

 1, 2345
D.

n

.

100n 1  3.99n
lim 2 n
10  2.98n 1 là
Câu 97.
12


B. 100 .

1
C. 100 .

D. 0 .

B. �.

4
C. 3 .

D. 1 .

3.2n 1  2.3n 1
lim
4  3n
Câu 99. Tính giới hạn
.
3
A. 2 .
B. 0 .

6
C. 5 .

D. 6 .

A. �.
Câu 98.

lim  3n  4n 

là

A. �.

Câu 100. Trong bốn giới hạn sau đây, giới hạn nào bằng 0 ?
1  2.2017n
1  2.2018n
lim
lim
2016n  2018n . B.
2016n  2017 n1 .
A.
C.

lim

Câu 101. Tính

1  2.2018n
2.2018n 1  2018
lim
2017 n  2018n . D.
2016 n  2018n .

lim

2n  1
2.2n  3 .

A. 2.

B. 0.

1
D. 2 .

C. 1.

Câu 102. (Chuyên - Vĩnh Phúc - lần 3 - 2019) Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số a thuộc
9n  3n 1
1
lim n
�
n a
0; 2019 

5 9
2187 ?
khoảng
để
A. 2018 .
B. 2012 .
Câu 103.

C. 2019 .

D. 2011 .

(THPT Chuyên Hùng Vương-Gia Lai-lần 1 năm 2017-2018) Tính giới hạn

T  lim



A. T  0 .

16n 1  4n  16n 1  3n

B.

T

.

1
4.

C.

T

1
8.

D.

T

1
16 .

DẠNG 4. TỔNG CẤP SỐ NHÂN LÙI VÔ HẠNG
Câu 104. (THPT YÊN LẠC - LẦN 4 - 2018) Tính tổng S của cấp số nhân lùi vơ hạn có số hạng đầu
1
q
u1  1 và cơng bội
2.
3
2
S
S
2.
3.
A. S  2 .
B.
C. S  1 .
D.
2 2
2
S = 2 + + 2 + ... + n +...
3 3
3
Câu 105. Tổng vơ hạn sau đây
có giá trị bằng
13


8

A. 3 .

B. 3 .

C. 4 .

D. 2 .

3,15555...  3,1  5 
Câu 106. Số thập phân vô hạn tuần hoàn
viết dưới dạng hữu tỉ là
63
142
1
7
A. 20 .
B. 45 .
C. 18 .
D. 2 .

1 1 1
1    n  ...
2 4 2
Câu 107. Tổng
bằng
1
A. 2 .
B. 2.

D. �.

C. 1.

� u1  3
�
u
�
un 1   n
�
(un ), n ��*
5 .
Câu 108. (Chu Văn An - Hà Nội - lần 2 - 2019) Cho dãy số
, thỏa mãn điều kiện �
Gọi S  u1  u2  u3  ...  un là tổng n số hạng đầu tiên của dãy số đã cho. Khi đó lim S n bằng
1
3
5
A. 2 .
B. 5 .
C. 0 .
D. 2 .

u 
Câu 109. Cho dãy số n
lim un  1
A.
.
Câu 110. Cho cấp số cộng
1
L

3.
A.

u1  1
�
�
�
2
un 1  un  4, n �N*
�
lim un
3
thoả mãn �
. Tìm
.
lim un  4
lim un  12
B.
.
C.
.

 un  có số hạng đầu u1  2
B.

L

1
2.

và cơng sai d  3 . Tìm

D.

lim

lim un  3

.

n
un .
D. L  2

C. L  3 .

DẠNG 5. MỘT SỐ BÀI TOÁN KHÁC

Câu 111.

(THTT số 5-488 tháng 2 năm 2018) Cho dãy
un  n  2018  n  2017, n ��*
. Khẳng định nào sau đây sai?
A. Dãy số

 un 

là dãy tăng.
1
0  un 

, n ��*
2 2018
C.
.

B.

lim un  0

n ��

số

 un 

thỏa

.

un 1
1
n �� u
n
D.
.
lim

f  n    n 2  n  1  1
2

Câu 112. (THPT Việt Trì-Phú Thọ-lần 1-năm 2017-2018) Đặt

un 
cho

f  1 . f  3 . f  5  ... f  2n  1
f  2  . f  4  .f  6  ... f  2n 

mãn

. Tìm

lim n un

, xét dãy số

 un 

sao

.
14


A.

lim n un 

1
3.

B.

lim n un  3

.

C.

Câu 113. (THTT số 6-489 tháng 3 năm 2018) Cho dãy số
n �1 . Biết
lim

1
2.

lim n un 

 un 

D.

lim n un  2

.

xác định bởi u1  0 và un 1  un  4 n  3 ,

un  u4 n  u42 n  ...  u42018 n
un  u2 n  u22 n  ...  u22018 n



a 2019  b
c

với a , b , c là các số nguyên dương và b  2019 . Tính giá trị S  a  b  c .
A. S  1 .

B. S  0 .

C. S  2017 .

Câu 114. (THTT Số 2-485 tháng 11-năm học 2017-2018) Dãy số
khi n dần đến vô cùng?

 2017  n 
un 
2017
un  n 
n  2018  n 
A.
. B.

 un 

2018

u  2017
�

�1
�
1
un1   un  1 , n  1, 2,3...
�
2
C. �
.

n 2  2018  n 2  2016

un 
D.

D. S  2018 .
nào sau đây có giới hạn khác số 1

.

1
1
1
1


 ... 
1.2 2.3 3.4
n  n  1

.

u 
Câu 115. (THPT CHU VĂN AN -THÁI NGUYÊN - 2018) Cho dãy số n được xác định như sau
*
u1  2016; un 1  n 2  un 1  un 
u 
, với mọi n  � , n 2 , tìm giới hạn của dãy số n .
A. 1011 .
B. 1010 .
C. 1008 .
D. 1009 .
n
un 
lim  u  u  ...  un 
un 

1  n 2  n 4 , n  1 , 2 , ... Tính giới hạn x�� 1 2
Câu 116. Cho dãy số
như sau:
.
1
A. 4 .

Câu 117.

B. 1 .

1
C. 2 .

1
D. 3 .

(THPT NGUYỄN HUỆ - TT HUẾ - 2018) Cho dãy số

 un 

thỏa mãn

u1  2
�
�
�
3 4un 1  1  4un  1  4,  n ��* 
�
. Tính lim un .

1
A. 3 .

3
B. 4 .

1
C. 2 .

Câu 118. (THPT GANG THÉP - LẦN 3 - 2018) Cho dãy số
u
L  lim nn
3

A. Không xác định.

B. L  �.

C.

L

2
D. 3 .

 un 

5
6.

biết

u1  2
�
�
un  3un 1  1, n �2
�

, khi đó

D. L  0 .
15

Câu 119. (THPT HẬU LỘC 2 - TH - 2018) Tam giác mà ba đỉnh của nó là ba trung điểm ba cạnh của
tam giác ABC được gọi là tam giác trung bình của tam giác ABC .
A B C , A B C , A B C ,...
ABC
Ta xây dựng dãy các tam giác 1 1 1 2 2 2 3 3 3 sao cho 1 1 1 là một tam giác đều

ABC
cạnh bằng 3 và với mỗi số nguyên dương n �2 , tam giác n n n là tam giác trung bình của tam
giác

An1 Bn 1Cn 1

tiếp tam giác

A.

S

S
. Với mỗi số nguyên dương n , kí hiệu n tương ứng là diện tích hình trịn ngoại

An Bn Cn

. Tính tổng

15
.
4

S  S1  S2  ...  Sn  ...

B. S  4 .

C.

Câu 120. (CTN - LẦN 1 - 2018) Trong các dãy số
un 
A.
un 

C.

n  n  2018 

 n  2017 

2017

2018

. B.

un  n



 un 

S

?

9
.
2

cho dưới đây, dãy số nào có giới hạn khác 1 ?

n 2  2020  4n 2  2017

2
2
2

K 
1.3 3.5
 2n  1  2n  3

.

D. S  5 .

.

u1  2018
�
�
�
1
un 1   un  1 , n �1

�
2
D. �
.

Câu 121. (SGD&ĐT BRVT - 2018) Cho dãy số (un ) thỏa mãn: u1  1 ;

lim  u12  u22  ...  un2  2n   b

A. 2 .
Câu 122.

. Giá trị của biểu thức T  ab là
B. 1 .
C. 1 .

un 1 

2 2
un  a , n ��*
3
. Biết rằng

D. 2 .

(THPT TRẦN PHÚ - ĐÀ NẴNG - 2018) Với n là số tự nhiên lớn hơn 2 , đặt
1
1
1
1

Sn  3  3  4  ...  3
C3 C4 C5
Cn . Tính lim S n
3
1
A. 1 .
B. 2 .
C. 3 .
D. 3 .

Câu 123. (THPT CHUYÊN NGUYỄN QUANG DIÊU - ĐỒNG THÁP - 2018) Có bao nhiêu giá trị
9n  3n1
1
�
n
n

a
 0; 2018 để có
5 9
2187 ?
nguyên của tham số a thuộc khoảng
A. 2011 .
B. 2016 .
C. 2019 .
D. 2009 .
lim

Câu 124. Từ độ cao 55,8m của tháp nghiêng Pisa nước Italia người ta thả một quả bóng cao su chạm
1

xuống đất. Giả sử mỗi lần chạm đất quả bóng lại nảy lên độ cao bằng 10 độ cao mà quả bóng đạt
trước đó. Tổng độ dài hành trình của quả bóng được thả từ lúc ban đầu cho đến khi nó nằm yên
trên mặt đất thuộc khoảng nào trong các khoảng sau đây?

16


A.

 67m; 69m .

B.

 60m; 63m .

C.

 64m; 66m .

D.

 69m; 72m .

 u  ,  vn  đều tồn tại giới hạn hữu hạn. Biết rằng
Câu 125. (THPT THUẬN THÀNH 1) Cho hai dãy số n

hai dãy số đồng thời thỏa mãn các hệ thức un 1  4vn  2, vn 1  un  1 với mọi n �� . Giá trị
của giới hạn
A. 0.

lim  un  2vn 

n � �

bằng
3
B. 2 .

C. 1 .

1
D. 2 .

Câu 126. Một mơ hình gồm các khối cầu xếp chồng lên nhau tạo thành một cột thẳng đứng. Biết rằng mỗi
khối cầu có bán kính gấp đơi khối cầu nằm ngay trên nó và bán kính khối cầu dưới cùng là 50
cm. Hỏi mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. Chiều cao mơ hình khơng q 1,5 mét
B. Chiều cao mơ hình tối đa là 2 mét
C. Chiều cao mơ hình dưới 2 mét.
D. Mơ hình có thể đạt được chiều cao tùy ý.
Câu 127. Trong một lần Đồn trường Lê Văn Hưu tổ chức chơi bóng chuyền hơi, bạn Nam thả một quả
bóng chuyền hơi từ tầng ba, độ cao 8m so với mặt đất và thấy rằng mỗi lần chạm đất thì quả bóng
lại nảy lên một độ cao bằng ba phần tư độ cao lần rơi trước. Biết quả bóng chuyển động vng
góc với mặt đất. Khi đó tổng quảng đường quả bóng đã bay từ lúc thả bóng đến khi quả bóng
khơng máy nữa gần bằng số nào dưới đây nhất?
A. 57m .
B. 54m .
C. 56m .
D. 58m .
2

2
2
x; y 
Câu 128. Với mỗi số nguyên dương n , gọi sn là số cặp số nguyên 
thỏa mãn x  y �n . (nếu
a �b thì hai cặp số  a; b  và  b; a  khác nhau). Khẳng định nào sau đây là đúng?
sn
sn
sn
sn
lim
 2
lim
2
lim
 
lim
4
A. n �� n
.
B. n�� n
.
C. n �� n
.
D. n�� n
.

PHẦN B. LỜI GIẢI THAM KHẢO

Câu 1.

DẠNG 0. CÂU HỎI LÝ THUYẾT
Chọn C
�u
lim � n
�vn
Nếu lim un  a  0 và limv n  0 thì
dương hay âm.

Câu 2.

�
� �
�
là mệnh đề sai vì chưa rõ dấu của vn là

Chọn D
17


Lấy máy tính bấm từng phương án thì phần D ra kết quả đề bài
Câu 3.

Chọn A

Câu 4.

Chọn B
Dùng tính chất giới hạn: cho dãy số
lim

Câu 5.

 un  ,  vn 

và lim un  a, lim vn  � trong đó a hữu hạn thì

un
0
vn
.

Chọn D
k
� I
(I) lim n  � với k nguyên dương
là khẳng định đúng.
n
n
q  1 �  II 
q 1
(II) lim q  � nếu
là khẳng định sai vì lim q  0 nếu
.
n
� III
(III) lim q  � nếu q  1   là khẳng định đúng.

Vậy số khẳng định đúng là 2 .
Câu 6.

Chọn D
Ta có:

Câu 7.

Câu 8.

un  2 

1
1
� lim  un  2   lim 3  0
3
� lim un  2  0 � lim un  2 .
n
n

n
 q  1 .
Theo định nghĩa giới hạn hữu hạn của dãy số (SGK ĐS11-Chương 4) thì lim q  0

DẠNG 1. DÃY SỐ DẠNG PHÂN THỨC
Dạng 1.1 Phân thức bậc tử bé hơn bậc mẫu
Chọn B
1 1
 3
2
n 1
n

n  0 0
lim 3
 lim
3
n 3
1
1 3
n
Ta có
.

Câu 9.

Chọn A
1
1
lim
 lim n  0
3
5n  3
5
n
Ta có
.

Câu 10.

Chọn D
1
 lim n  0

7
1
2
lim
n
2n  7
Ta có:
.
18


Câu 11.

Chọn B
1 1
 lim .
0
1
5
n
lim
2
n
2n  5
Ta có:
.

Câu 12.

Chọn B

�
�
1
1� 1 � 1
lim
 lim �
� 0.  0
5n  2
n �5  2 � 5
� n�
.

Câu 13.
Hướng dẫn giải
Chọn B
7
1
2 3
7 n 2  2 n3  1
n   2.
I  lim 3
 lim n
2
2 1
3n  2n  1
3
3  3
n n
Ta có

Câu 14.

2 3

n4 n6

lim
2n 2  3
5
lim 6
1
5
n 0.
n  5n
Ta có

Câu 15.

Chọn B

Câu 16.

Chọn D
2 1
 2
2n  1
n
n 0
L  lim
 lim

2 1
2  n  n2
 1
n2 n
Ta có:
.

Câu 17.

Chọn C

 Xét đáp án

 Xét đáp án

2
1 2
n2  2
1
lim
 lim n 
2
5
5n  3n
3 3
n
A.
.
2
1

n 2  2n
n 1
lim
 lim
2
5
5n  3n
3 3
n
B.

19


1 2

2
1  2n
n
n 0
lim
 lim
5
5n  3n2
3
n
C.
.
1
2

1  2n 2
2
n2
lim

lim

2
5
5n  3n
3
3
n
D.
.

 Xét đáp án

 Xét đáp án

Câu 18.

�2 3 �
2 3
n2 �  2 �

n n �
�
n n2
 lim


lim
� 3 1 �
2n  3
3 1
n 2 �2   2 �
2  2
I  lim 2
n
n
�
�
n n 0.
2n  3n  1

Câu 19.

Chọn A
un 

1
1
1
1
1
1
1
 2
 ...  2




 ... 
2 1 3 1
n  1 1.3 2.4 3.5
 n  1  n  1
2

Ta có:
1 1
1 � 3
1
1�
1 1 1 1 1 1
1
1 � 1 �




 �       ... 

�
�
�
1 2 n  1 � 4 2  n  1
2�
1 3 2 4 3 5
n 1 n 1 � 2 �
.

�
3
1 � 3
lim un  lim � 
�
4 2  n  1 � 4
�
Suy ra:
.

Câu 20.

1
1
1
1
1 1 1 1
1
1 1
1
1


 ... 
1.2 2.3 3.4
n  n  1  1  2  2  3  L  n  1  n  n  n  1  1  n  1
Ta có:
.

�1

1
1
1 �
1 �
lim � 

 ... 
� lim �
1
�
� 1
1.2
2.3
3.4
n
n

1


�
�
� n 1� .
Vậy

Câu 21.

Ta có 1  2  3  ...  k là tổng của cấp số cộng có u1  1 , d  1 nên
�

1  2  3  ...  k 

 1 k  k
2

1
2
2
2



1  2  ...  k k  k  1 k k  1 k ��*
,
.

2
2 �
2 �
�2 2 2 2 2 2
�2
L  lim �       ...  
� lim � 
�
n n 1 �
�1 2 2 3 3 4
�1 n  1 � 2 .

Câu 22.
Hướng dẫn giải

Chọn C

Ta có

1
1

n n 1 n 1  n
n n  1   n  1 n







n 1  n
1
1


n n 1
n
n 1 .
20


Suy ra
Sn 

1
1
1

 ... 
1 2 2 1 2 3 3 2
n n  1   n  1 n

.

1 1
1
1
1
1
1
 


 ....

 1
1
2
2
3
n
n 1
n 1 .
Suy ra lim S n  1

cos n  sin n cos n  sin n
2
2
�
 2
lim 2
0
2
2
n 1
n 1
n  1 và
n 1
Câu 23. Ta có
.
cos n  sin n
lim
 0.
n2  1
Suy ra
0

Dạng 1.2 Phân thức bậc tử bằng bậc mẫu
2
1
n
 lim
2n
1 0 1
lim

1 
n 1
n 1  0  1 .
Câu 24. Ta có:

Câu 25.

� 2�
2
n�
1 �
1
n2
n
n 1
lim
 lim � � lim
1 3
3n  1
� 1�
3
n�
3 �
n
� n�
Ta có
.

Câu 26.

2
3n  2
n 3
I  lim
 lim
3
n3
1
n
Ta có
.

Câu 27.

1
2
1  2n
2
n
lim
 lim

1
3n  1
3
3
n
Ta có
.

Câu 28.

2017
n
 lim
2n  2017
2
2018
I  lim

3
3n  2018
n
3.
Ta có

Câu 29.

Chọn A

3

2

1
 19
1  19n
19
lim
 lim n


19 18
18n  19
18 
n
Ta có
.
21


Câu 30.

Chọn C

Câu 31.

n 1
1
 lim1  lim  1
n
n
Có
.
1
1
2
n
 lim
1  n2
1

1
lim 2
2 2  
n
2.
2n  1
Ta có

Câu 32.

2018
4
4n  2018
n 2
lim
 lim
1
2n  1
2
n
Ta có
.

Câu 33.

Chọn A

lim

� 2 1�

2 1
n5 �
8 2  5 �
8

 5
2
n
n
�
�
n
n  8 2

lim
lim
5
3
2
1
�
�
8n  2 n  1
2 1
n5 �
4 3  5 �
lim 5
4 3  5 4
2
n

n
�
�=
n n
4n  2 n  1
Ta có
.

Câu 34.

� 1�
1
n �2  �
2
2n  1
n�
n  20  2
lim
 lim �
 lim
1
1 n
�1 �
1 0 1
n �  1�
n
�n �
Ta có
.

2 2

2n  2n  2
n3 n 4  1
lim 4
 lim
2 5
4 n  2n  5
4 3  4 2
n n
Câu 35. Ta có
.
Câu 36. Chọn C
3
2 2
2n 2  3
n  1
lim
 lim
1
1  2n 2
2
n2
.
2

4

Câu 37.

Chọn A
1
n n
n  1
A  lim
 lim
2
1
12n  1
12  2 12
n
.
1
A
12 .
Vậy
2

Câu 38.

1

Chọn D

22


3
5
5n  3

n 5
lim
 lim
1 2
2n  1
2
n
Ta có
.
Câu 39.

Chọn B
4 5
 3
2
n
n 1
 lim
3
n  4n  5
1 7
lim 3
3  3 3
2
n n
3n  n  7
Ta có:
.
1

Câu 40.

Chọn C
�1
�
1
n3 �  3 �
3
n �
�
3
n

lim

lim


2
3
� 5 2�
n  3n
5 2
2
n3 �
2 2  3 �
lim 3
2 2  3
n
n

�
�
2
n

5
n

2
n
n
Ta có:
.

Câu 41.

Chọn D
1
2
2n  1
n  1
lim un  lim
 lim
3
3 n
3
1
n
Ta có
.

Câu 42.

Chọn B
3
10 
10n  3
n  10
I  lim
 lim
15 3
3n  15
3
n
Ta có
.

Câu 43.

Chọn B
1
n 2
lim
2n  1
1
lim

1
n 1
n

Ta có
.
2

Câu 44.

Chọn A

1
3n  1
n2  3
lim 2
 lim
2
n 2
1 2
n
Câu 45. Chọn C
3

2

3 1
 2
8n  3n  1
n
n 4
lim
 lim
4 5

4  5n  2 n 2
 2
n2 n
Ta có
.
2

8

23


Câu 46.

Chọn C
3
1
1
n
n 1
 lim
n3
un  lim 3
1�
�
 lim
I  lim
3�
1  � 1
3  n  1

vn
� n� 3.
n3
Ta có

Câu 47.

Chọn A

2 1 �
�
� 8  n 2  n5 �
 lim �
�
8n5  2n3  1
�23  4  2019
�
lim 2
5
5
n
n
�
� 2 .
2
n

4
n


2019
Ta có:
Câu 48.

Chọn

A.

� 3 1 �
� 3 1 �
n2 �
4  2 �
4  2 �
�
4n  3n  1
n n �
n n � 400 4
�
�
B  lim
 lim
 lim


2
2
2
2
9
3  0

1�
 3n  1

� 1�
2�
n �
3 �
3 �
�
� n�
� n�
Ta có:
2

1 1
 3
n  n 1
n
n  1�
L  lim
 lim
3
2018
2018  3n
3
3
3
n
Câu 49.
Câu 50. Chọn A

�3n  2
�
lim �
 a 2  4a �
�n  2
�
Ta có:
3

1

2

�2
2  2a 2  8a �
a

4
a

3

�
� 2
n
�a 2  4a  3 n  2  2a 2  8a � lim �
� a  4a  3
2
�
 lim �

�
�
1

�
�
�
�
n2
n
�
�
�
�
.





�3n  2 2
�
lim �
 a  4a � 0 � a 2  4a  3  0 � a  3 �a  1
�n  2
�
Theo giả thiết:
.
Vậy
Câu 51.

S   1;3 � 1  3  4

.

Chọn A
a2 1
 2
an 2  a 2 n  1
an 2  a 2 n  1
n
n a
lim
 lim 2
 lim
2
2
1
n

2
n

1
 n  1
1  2
n n
Ta có
.
a

a 2  a  1  a � a 2  2a  1  0 � a  1 .

Câu 52.

Chọn A

24


2

lim

 3n  1  3  n 
3
 4n  5 

Ta có:
Câu 53.

2

� 1�
�3 �
3 �
�
�  1� 3 a
n�
�

�n � 
 lim

3
64 b
� 5�
�4  �
� n�
. Do đó: a.b  192

Chọn A

� 1 4�
n3 �
2  �
� n n 3 � 2  1
� 2� a 2
n3 �
a �
� n3 �
Ta có
.
2
2
Suy ra a  4 . Khi đó a  a  4  4  12 .
Câu 54. Chọn B
n n  1
1  2  3  ...  n  lim 
1
2

lim un  lim

2
2
n

1
n 1
2.
Ta có:
Câu 55. Chọn D
n  n  1  2n  1
2
2
2
2 
6
Ta có kết quả quen thuộc 1  2  3  ...  n
.
� 1�
� 1�
1 �
2 �
�
�
n�
n � 1.2 1
�
�



n  n  1  2n  1  lim
2
2
2
2
2
� 2 7 � 6 3
1  2  3  4  ...  n  lim
6�
1 2  3 �
lim
6 n 3  2n  7
� n n �
n3  2n  7
Do đó
.
2n 3  n 2  4
lim
 lim
an3  2





Câu 56.

Chọn

Ta có





C.

1  3  5  ...   2n  1 

 1  2n  1  n  1
2

  n  1

2

.

2 1
2
1  2
1  3  5  ...   2n  1
n

1

  lim n n  1
lim
 lim 2

2
4
3n  4
3n  4
3
3 2
n
.
Câu 57.

Chọn D

n�
1  2  3  ...  n �
�1 2 3
�
�n( n  1) �
�1 1 � 1
Lim � 2  2  2  ...  2 � lim �
� lim � 2 � lim �  �
2
n �
n
�n n n
�
�
� 2n �
�2 2n � 2
Câu 58.

Chọn D
Ta có

1  3  ...   2n  1  n 2 ��
�

Suy ra

1
3
2n  1 1  3  ...   2n  1 n 2


...


 2 1
n2 n2
n2
n2
n

lim un  1.

25