Dạy thêm toán 11 1D4 3 hàm số LIÊN tục

TOÁN 11

HÀM SỐ LIÊN TỤC

1D4-3

Contents
DẠNG 1. CÂU HỎI LÝ THUYẾT.....................................................................................................................................1
DẠNG 2. LIÊN TỤC TẠI MỘT ĐIỂM..............................................................................................................................3
Dạng 2.1 Xét tính liên tục tại điểm của hàm số...............................................................................................................3
Dạng 2.1 Điểm gián đoạn của hàm số.............................................................................................................................4
Dạng 2.3 Bài toán chứa tham số......................................................................................................................................4
DẠNG 3. LIÊN TỤC TRÊN KHOẢNG...........................................................................................................................11
Dạng 3.1 Xét tính liên tục trên khoảng của hàm số......................................................................................................11
Dạng 3.2 Bài toán chứa tham số....................................................................................................................................12
DẠNG 4. CHỨNG MINH PHƯƠNG TRÌNH CĨ NGHIỆM.........................................................................................14
DẠNG 1. CÂU HỎI LÝ THUYẾT...................................................................................................................................15
DẠNG 2. LIÊN TỤC TẠI MỘT ĐIỂM............................................................................................................................15
Dạng 2.1 Xét tính liên tục tại điểm của hàm số.............................................................................................................15
Dạng 2.1 Điểm gián đoạn của hàm số...........................................................................................................................16
Dạng 2.3 Bài toán chứa tham số....................................................................................................................................17
DẠNG 3. LIÊN TỤC TRÊN KHOẢNG...........................................................................................................................24
Dạng 3.1 Xét tính liên tục trên khoảng của hàm số......................................................................................................24
Dạng 3.2 Bài toán chứa tham số....................................................................................................................................26
DẠNG 4. CHỨNG MINH PHƯƠNG TRÌNH CĨ NGHIỆM.........................................................................................29

DẠNG 1. CÂU HỎI LÝ THUYẾT

Câu 1.

Câu 2.

y  f  x
(THPT THẠCH THANH 2 - THANH HÓA - LẦN 1 - 2018) Cho hàm số
liên tục
a; b 
a; b 
trên 
. Điều kiện cần và đủ để hàm số liên tục trên 
là
lim f  x   f  a 
lim f  x   f  b 
lim f  x   f  a 
lim f  x   f  b 
A. x�a
và x �b
.
B. x �a 
và x �b
.
lim f  x   f  a 
lim f  x   f  b 
lim f  x   f  a 
lim f  x   f  b 
C. x�a
và x �b
.
D. x �a
và x �b
.
f x

a; b 
(THPT LÊ HỒN - THANH HĨA - LẦN 1 - 2018) Cho hàm số   xác định trên 
.
Tìm mệnh đề đúng.
f x
a; b 
f a f b 0
f x 0
A. Nếu hàm số   liên tục trên 
và    
thì phương trình  
khơng có
a; b 
nghiệm trong khoảng 
.
1


a; b 
có ít nhất một nghiệm trong khoảng 
.
f  x
a
;
b
f
a
f
b


0
f
x
0
 và    
C. Nếu hàm số
liên tục, tăng trên 
thì phương trình  
a; b 
khơng có nghiệm trong khoảng 
.
f  x  0
a; b 
f x
D. Nếu phương trình
có nghiệm trong khoảng 
thì hàm số   phải liên tục trên
 a; b  .

B. Nếu

Câu 3.

f  a  f  b  0

thì phương trình

f  x  0

 a; b . Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Cho hàm số y  f ( x) liên tục trên đoạn
 a; b  .
A. Nếu f (a). f (b)  0 thì phương trình f ( x )  0 khơng có nghiệm nằm trong

 a; b  .
B. Nếu f (a ). f (b)  0 thì phương trình f ( x)  0 có ít nhất một nghiệm nằm trong
 a; b  .
C. Nếu f (a). f (b)  0 thì phương trình f ( x )  0 có ít nhất một nghiệm nằm trong
 a; b  thì f (a ). f (b)  0 .
D. Nếu phương trình f ( x)  0 có ít nhất một nghiệm nằm trong
Câu 4.

Cho đồ thị của hàm số

y  f  x

như hình vẽ sau:

y

7
6
5
4
3
2
1

x
-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

-1
-2

Chọn mệnh đề đúng.
y  f  x
A. Hàm số
có đạo hàm tại điểm x  0 nhưng không liên tục tại điểm x  0 .
y  f  x
B. Hàm số
liên tục tại điểm x  0 nhưng khơng có đạo hàm tại điểm x  0 .
y  f  x
C. Hàm số
liên tục và có đạo hàm tại điểm x  0 .

y  f  x
D. Hàm số
không liên tục và khơng có đạo hàm tại điểm x  0 .
Câu 5.

Hình nào trong các hình dưới đây là đồ thị của hàm số không liên tục tại x  1 ?

A.

.

B.

.

2


C.
Câu 6.

.

D.

(Thi thử SGD Hưng Yên) Cho các mệnh đề:
y  f  x
a; b 
1. Nếu hàm số
liên tục trên 

và
f  x0   0
.
y  f  x
a; b 
2. Nếu hàm số
liên tục trên 
và
nghiệm.
y  f  x
3. Nếu hàm số
liên tục, đơn điệu trên
f  x  0
có nghiệm duy nhất.
A. Có đúng hai mệnh đề sai.
C. Cả ba mệnh đề đều sai.

.

f  a . f  b  0

thì tồn tại

f  a . f  b  0

thì phương trình

 a; b 

và

f  a . f  b  0

x0 � a; b 

sao cho

f  x  0

có

thì phương trình

B. Cả ba mệnh đề đều đúng.
D. Có đúng một mệnh đề sai.

DẠNG 2. LIÊN TỤC TẠI MỘT ĐIỂM
Dạng 2.1 Xét tính liên tục tại điểm của hàm số

Câu 7.

Câu 8.

Câu 9.

�
1  x3
�
, khi x  1
y  �1  x

�
1
, khi x �1
�

Cho hàm số
A. y liên tục phải tại x  1 .
C. y liên tục trái tại x  1 .

. Hãy chọn kết luận đúng
B. y liên tục tại x  1 .
D. y liên tục trên �.

�x 2  7 x  12
khi x �3
�
y  � x3
�
1
khi x  3
�
Cho hàm số
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Hàm số liên tục nhưng khơng có đạo hàm tại x0  3 .
B. Hàm số gián đoạn và khơng có đạo hàm tại x0  3 .
C. Hàm số có đạo hàm nhưng khơng liên tục tại x0  3 .
D. Hàm số liên tục và có đạo hàm tại x0  3 .

� x2
khi x �2

�
f  x  � x  2  2
�4
khi x  2
�
Cho hàm số
. Chọn mệnh đề đúng?
x

2
A. Hàm số liên tục tại
.
B. Hàm số gián đoạn tại x  2 .
C. f  4   2 .

D.

lim f  x   2
x �2

.
3


Câu 10.

f  x 

2x 1
x3  x . Kết luận nào sau đây đúng?

Cho hàm số
A. Hàm số liên tục tại x  1 .

B. Hàm số liên tục tại x  0 .
1
x
2.
D. Hàm số liên tục tại

C. Hàm số liên tục tại x  1 .

Câu 11. (THPT NAM TRỰC - NAM ĐỊNH - 2018) Hàm số nào sau đây liên tục tại x = 1 :
x 2 + x +1
x2 - x - 2
x 2 + x +1
x +1
f ( x) =
f ( x) =
f ( x) =
f ( x) =
2
x- 1 .
x - 1 . B.
x - 1 . C.
x
A.
. D.
Dạng 2.1 Điểm gián đoạn của hàm số
Câu 12.

(THPT THUẬN THÀNH - BẮC NINH - 2018) Hàm số nào dưới đây gián đoạn tại điểm
x0  1 .
A.

Câu 13.

y   x  1  x 2  2 

. B.

y

2x 1
x 1 .

Hàm số nào sau đây gián đoạn tại x  2 ?
3x  4
y
x2 .
A.
B. y  sin x .

C.

y

x
x 1 .

D.

4
2
C. y  x  2 x  1

x
x  1 gián đoạn tại điểm x0 bằng?
Câu 14. Hàm số
A. x0  2018 .
B. x0  1 .
C. x0  0

y

x 1
x2  1 .

D. y  tan x .

y

Câu 15.

y

D. x0  1 .

x 3
x 2  1 . Mệnh đề nào sau đây đúng?

Cho hàm số
A. Hàm số không liên tục tại các điểm x  �1 . B. Hàm số liên tục tại mọi x ��.
C. Hàm số liên tục tại các điểm x  1 .
D. Hàm số liên tục tại các điểm x  1 .

Câu 16. (THPT CHUYÊN BẮC NINH - LẦN 1 - 2018) Cho hàm số
Khẳng định nào đúng trong các khẳng định sau?
A.
C.

f  x
f  x

có đạo hàm tại x  0 .

B.

liên tục tại x  0 .

D.

f

1  cos x
�
khi x �0
� 2
f  x  � x
�

1
khi x  0
�

.

 2  0.

f  x

gián đoạn tại x  0 .

 x cos x, x  0
�
� 2
�x
f  x   � , 0 �x  1
1 x
�
3
�
�x , x �1
Câu 17. (THPT HAI BÀ TRƯNG - HUẾ - 2018) Cho hàm số
. Khẳng định nào
sau đây đúng?
f x
A. Hàm số   liên tục tại mọi điểm x thuộc �.
f x
B. Hàm số   bị gián đoạn tại điểm x  0 .
4

C. Hàm số

f  x

bị gián đoạn tại điểm x  1 .

f x
D. Hàm số   bị gián đoạn tại điểm x  0 và x  1 .
Dạng 2.3 Bài toán chứa tham số

�x 2  4
khi x �2
�
f ( x)  �x  2
� m
khi x  2 liên tục tại x  2
�
Câu 18. Tìm m để hàm số
A. m  4 .
B. m  2 .
C. m  4 .

Câu 19.

�x3  1
khi x �1
�
y  f ( x)  �x  1

�
2m  1 khi x  1 . Giá trị của tham số m để hàm số liên tục tại điểm
�
Cho hàm số

x0  1
A.

là:

m

1
2.

C. m  1 .

B. m  2 .

�x 2  3x  2 khi
y�
4x  a
khi
�
Câu 20. Để hàm số
A. 4 .
B. 4.

Câu 21.

D. m  0 .

x �1
x  1

liên tục tại điểm x  1 thì giá trị của a là
C. 1.
D. 1 .

�x3  x 2  2 x  2
�
f  x  �
x 1
�
3x  m
�
Tìm giá trị thực của tham số m để hàm số

A. m  0 .

B. m  6 .

D. m  0 .

C. m  4 .

khi x �1
khi x  1

liên tục tại x  1 .

D. m  2 .

�
x 2016  x  2
khi x �1
�
f  x   � 2018x  1  x  2018
�k
khi x  1 . Tìm k để hàm số f  x  liên tục tại
�
Câu 22.
Cho hàm số
x 1.
2017. 2018
20016
k
k
2019
2
2017
A. k  2 2019 .
B.
. C. k  1 .
D.
.

Câu 23.

Cho hàm số

A. a  0 .

� x 1
khi x �1
�
f  x   �x  1
�a
khi x  1
�

. Tìm a để hàm số liên tục tại x0  1 .
1
1
a
a
2.
2.
B.
C.
D. a  1 .

�
3x + b khi x �- 1
f ( x) = �
�
�
x + a khi x > - 1
�
Câu 24. Biết hàm số
liên tục tại x = - 1. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. a = b - 2.
B. a = - 2 - b.
C. a = 2 - b.
D. a = b + 2.

5


� 3 x
khi x �3
�
f  x  � x 1  2
�
m
khi x=3
�
Câu 25. Cho hàm số
. Hàm số đã cho liên tục tại x  3 khi m  ?
A. 1 .
B. 1 .
C. 4 .
D. 4 .
�
ax 2  bx  5 khi
f  x  �
khi
� 2ax  3b
Câu 26.
Biết hàm số
P  a  4b .

A. P  4 .
B. P  5 .

Câu 27.

Tìm m để hàm số
A. m  0 .

x �1
x 1

�x 2  x
khi x �1
�
f ( x)  �x  1
�
m  1 khi x  1
�

B. m  1 .

liên tục tại x  1 Tính giá trị của biểu thức

C. P  5 .

D. P  4 .

liên tục tại x  1
C. m  1

D. m  2 .

�x 2  3 x  2
�
f  x  � x 1
�
m2  m  1
�
Câu 28. Có bao nhiêu số tự nhiên m để hàm số
A. 0.
B. 3 .
C. 2 .

Câu 29.

Tìm a để hàm số
15
A. 4 .

� x2 2
�
f  x  � x  2
�2 x  a
�
B.



khi x �1
khi x  1 liên tục tại điểm x  1 ?

D. 1 .

khi x �2
khi x  2

15
4.

liên tục tại x  2 ?
1
C. 4 .
D. 1 .

�x 2 - 3x + 2
�
khi x > 2
�
f ( x) = �
� x +2 - 2
�
�
�
m 2 x - 4m + 6 khi x �2 , m là tham số. Có bao nhiêu giá trị của m để
�
Câu 30.
Cho hàm số
hàm số đã cho liên tục tại x = 2 ?
A. 3 .
B. 0 .
C. 2 .

D. 1

Câu 31.
Câu 32.

Cho hàm số
A. m  3 .

� 3x 2  2 x  1  2
�
, x �1
f  x  �
x2 1
�
4m
x 1
�
B. m  3 .

f  x
x 1
. Hàm số
liên tục tại 0
khi
m

7
m



7.
C.
.
D.

(Chuyên Lê Thánh Tơng-Quảng Nam-2018-2019) Tìm giá trị của tham số
�x 2  3 x  2
khi x   1
�
f  x   � x2 1
�
mx  2
khi x � 1 liên tục tại x  1 .
�
A.

m

3
2 .

B.

m

5
2 .

C.

m

3
2.

D.

m

m

để hàm số

5
2.
6


� x2  4  2
�
2
�
f ( x)  � x
5
�
2a 
�
�
4
Câu 33. Cho hàm số

liên tục tại x  0 .
3
4
a
a
4.
3.
A.
B.

Câu 34.

Cho hàm số
A. m  1 .

khi x �0
khi x  0

�x 2  2 x  3 khi x �1
f  x  �
3 x  m  1 khi x  1
�

B. m  3 .

. Tìm giá trị thực của tham số a để hàm số f ( x )

C.

a

4
3.

D.

a

3
4.

. Tìm m để hàm số liên tục tại x0  1 .
C. m  0 .
D. m  2 .

�x 2  3 x  2
khi x �2
�
f ( x)  � x  2
�
a
khi x  2 . Hàm số liên tục tại x  2 khi a bằng
�
Câu 35. Cho hàm số
A. 1 .
B. 0 .
C. 2 .
D. 1 .

Câu 36.

Cho hàm số
A. 2 .

� 3 x
khi x �3
�
f  x  � x 1  2
�mx  2
khi x  3
�
B. 4 .

. Hàm số liên tục tại điểm x  3 khi m bằng:
C. 4 .
D. 2 .

�x 2  16
khi x  4
�
f  x   �x  4
�
mx  1 khi x �4 liên tục tại điểm x  4 .
�
Câu 37. Tìm m để hàm số
7
7
m
m
4.

4.
A.
B. m  8 .
C.
D. m  8 .

Câu 38.

(THPT Yên Mỹ Hưng Yên lần 1 - 2019) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số

A. m  3 .

liên tục tại x = 2 .
B. m  2.

C. m  2 .

D. Không tồn tại m .

� x + 3- m
�
�
khi x �1
f ( x) = �
.
� x- 1
�
�
n
khi x = 1

�
�
Câu 39. (THPT THUẬN THÀNH 1) Cho hàm số
Để hàm số liên tục
x =1
( m + n) tương ứng bằng:
tại 0
thì giá trị của biểu thức
3
1
9
.
- .
.
A. 4
B. 1.
C. 2
D. 4

7


�x3  6 x 2  11x  6
khi x �3
�
f  x  �
x3
�
m
khi x  3 . Tìm giá trị của m để hàm số liên tục tại

�
Câu 40.
Cho hàm số
x  3?
A. m  1 .
B. m  2 .
C. m  3 .
D. m  0 .

cos 3x  cos 7 x
x2
Câu 41. Giới hạn x �0
. Tìm giá trị của m để hàm số liên tục tại x  3 ?
A. 40 .
B. 0 .
C. 4 .
D. 20 .
lim

Câu 42.

Tìm m để hàm số
� 3�
m ��
1;  �
� 2 .
A.

�x 2  x  2
khi x  1

�
f ( x)  � x  1
�
mx  2m 2 khi x �1
�
B.

m � 1

.

liên tục tại x  1.
� 3�
m �� �
�2 .
C.

� 3�
m ��1; �.
� 2 .
D.

�x 2  3 x  2
khi x  2
�
f  x   � x2  2x
�mx  m  1 khi x �2
�
Câu 43.
Tìm các giá trị của tham số m để hàm số

liên tục tại điểm
x 2.
1
1
1
1
m
m
m
m
6.
6.
2.
2.
A.
B.
C.
D.
� x2  4  2
khi x �0
�
� x2
f  x  �
5
�
2a  khi x  0
�
� 4
Câu 44.
Cho hàm số

. Tìm các giá trị thực của tham số a để hàm số
f  x
liên tục tại x  0 .
3
4
3
4
a
a
a
a
4.
3.
3.
4.
A.
B.
C.
D.

� ax 2  1  bx  2
1
khi x �
�
� 4 x3  3x  1
2 ,  a, b, c ��
f  x  �
1
1
�c

khi x 
x

�
�2
2
2.
Câu 45. Cho hàm số
. Biết hàm số liên tục tại
Tính S  abc .
A. S  36 .
B. S  18 .
C. S  36 .
D. S  18 .
�x 2  1
khi x �1
�
f  x   �x  1
�
a
khi x  1 liên tục tại
�
Câu 46. (Chuyên - Vĩnh Phúc - lần 3 - 2019) Tìm a để hàm số
điểm x0  1 .
A. a  1 .

B. a  0 .

C. a  2 .

D. a  1 .

8


Câu 47.

(THPT Chuyên Thái Bình - lần 3 - 2019) Tìm giá trị thực của tham số m để hàm số
�x 2  x  2
khi x �2
�
f ( x)  � x  2
�m
khi x =2
�
liên tục tại x=2.

A. m  3.

B. m  1.

C. m  2.

D. m  0.

�2 x 2  3 x  1
khi x �1
�
f  x   � 2  x  1
�

m
khi x  1 liên tục tại x  1 thì giá trị m bằng
�
Câu 48. Để hàm số
A. 0,5 .
B. 1,5 .
C. 1 .
D. 2 .

�x 2  x  2
khi x �1
�
f  x   � x 1
�
3m
khi x  1 .
�
Câu 49. (THPT CHUYÊN BẮC NINH - LẦN 1 - 2018) Cho hàm số
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số gián đoạn tại x  1.
A. m �2.
B. m �1.
C. m �2.
D. m �3.
Câu 50.

(THPT CHUYÊN HÙNG VƯƠNG - PHÚ THỌ - LẦN 1 - 2018) Tìm tất cả các giá trị của m
� 1 x  1 x
khi x  0
�
�

x
f  x  �
1 x
�
m
khi x �0
�
1

x
�
để hàm số
liên tục tại x  0 .
A. m  1 .
B. m  2 .
C. m  1 .
D. m  0 .

�e ax  1
khi x �0
�
� x
f  x  �
�1
khi x  0
�2
Câu 51. (TOÁN HỌC VÀ TUỔI TRẺ SỐ 1 - 2018) Cho hàm số
. Tìm giá
trị của a để hàm số liên tục tại x0  0 .
1

1
a
a
2.
2.
A. a  1 .
B.
C. a  1 .
D.

Câu 52.

Câu 53.

�ax 2  ( a  2) x  2
khi x �1
�
f ( x)  �
x3 2
�
8  a2
khi x  1
�

(THPT HẬU LỘC 2 - TH - 2018) Cho hàm số
bao nhiêu giá trị của a để hàm số liên tục tại x  1 ?
A. 1 .
B. 0 .
C. 3 .

. Có tất cả

D. 2 .

(THPT CHUN HỒNG VĂN THỤ - HỊA BÌNH - 2018) Giá trị của tham số a để hàm số
� x2 2
khi x �2
�
y  f  x  � x  2
�
a  2x
khi x  2
�
liên tục tại x  2 .
1
15

A. 4 .
B. 1 .
C. 4 .
D. 4 .
9


Câu 54.

(PHAN ĐĂNG LƯU - HUẾ - LẦN 1 - 2018) Hàm số
x0  1 khi m nhận giá trị

A. m  2 .

Câu 55.

C. m  1 .

liên tục tại điểm

D. m  1 .

(CHUYÊN TRẦN PHÚ - HẢI PHÒNG - LẦN 1 - 2018) Cho hàm số
� 2x 1  x  5
khi x �4
�
f  x  �
x4
�a  2
khi x  4
�
. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số a để hàm số
liên tục tại x0  4 .
A.

Câu 56.

B. m  2 .

�x 2  1 khi x �1
f  x  �
�x  m khi x  1

a

5
2.

B.

a

11
6 .

C. a  3 .

D. a  2 .

y  f  x
(THPT CHUN THÁI BÌNH - LẦN 5 - 2018) Tìm tham số thực m để hàm số
�x 2  x  12
khi x �4
�
� x4
�
mx  1
khi x  4 liên tục tại điểm x0  4 .
�

A. m  4 .

B. m  3 .

C. m  2 .

D. m  5 .

Câu 57.

(THPT TRẦN PHÚ - ĐÀ NẴNG - 2018) Tìm giá trị của tham số m để hàm số
� 3x  1  2
khi x �1
�
f  x  � x 1
�m
khi x  1
�
liên tục tại điểm x0  1 .
3
1
m
m
4.
2.
A. m  3 .
B. m  1 .
C.
D.

Câu 58.

(THPT HÀ HUY TẬP - HÀ TĨNH - LẦN 1 - 2018) Cho hàm số
� x3 2

khi  x  1
�
� x 1
f  x  �
1
�
m2  m 
khi  x �1
f x
�
�
4
. Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m để hàm số  
liên tục tại x  1 .
A.

m � 0;1

.

B.

m � 0; 1

.

C.

m � 1

.

D.

m � 0

.

Câu 59. (THPT KINH MƠN - HẢI DƯƠNG - LẦN 1 - 2018) Tìm a để hàm số liên tục trên �:
2x  a
khi x �1
�
�3
f  x   �x  x 2  2 x  2
khi x  1.
�
x 1
�
A. a  2 .
B. a  1 .
C. a  2 .
D. a  1 .
Câu 60. (THPT CHUYÊN HẠ LONG - LẦN 1 - 2018) Tìm tất cả các giá trị thực của m để hàm số
�x 2  x  2
khi x �2
�
f  x  � x  2
�
m2
khi x  2

�

liên tục tại x  2 .
10


A. m  3 .

B. m  1 .

C. m  � 3 .

D. m  �1 .

�x 2  4 x  3
khi x  1
�
f ( x)  � x  1
�
mx  2
khi x �1
�
Câu 61. (THPT LÝ THÁI TỔ - BẮC NINH - 2018) Tìm m để hàm số
liên tục tại điểm x  1 .
A. m  2 .
B. m  0 .
C. m  4 .
D. m  4 .
�x 3  8
khi x �2

�
f  x   �x  2
�2m  1 khi x  2
�
Câu 62. (THPT HẢI AN - HẢI PHỊNG - LẦN 1 - 2018) Cho hàm số
. Tìm
x

2
m để hàm số liên tục tại điểm 0
.
A.

m

3
2.

B.

m

13
2 .

C.

m

11

2.

D.

m

1
2.

Câu 63. (THPT

CHUYÊN THĂNG LONG - ĐÀ LẠT - 2018) Cho hàm số
� x 2  2 x  8
khi x �2
�
f ( x)  � x  2
�
f  x
m 2 x 2  5mx khi x  2  m ��
�
. Biết hàm số
liên tục tại x0  2 . Số giá trị
nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bài toán là
A. 3 .
B. 2 .
C. 1 .
D. 0 .

DẠNG 3. LIÊN TỤC TRÊN KHOẢNG
Dạng 3.1 Xét tính liên tục trên khoảng của hàm số

Câu 64.

Trong các hàm số sau, hàm số nào liên tục trên �?
A. y  x  x .
3

Câu 65.

Câu 66.

B. y  cot x .

C.

y

2x 1
x 1 .

2
D. y  x  1 .

f x  2 x3  3x  1
(PHAN ĐĂNG LƯU - HUẾ - LẦN 1 - 2018) Cho bốn hàm số 1  
,
3x  1
f2  x  
x  2 , f 3  x   cos x  3 và f 4  x   log 3 x . Hỏi có bao nhiêu hàm số liên tục trên tập �
?
A. 1 .

B. 3 .
C. 4 .
D. 2 .

Trong các hàm số sau, hàm số nào liên tục trên �?
x2  3
f
x



f  x  x  6
f x  tan x  5
5 x .
A.  
.
B.
C.
.

D.

f  x 

x5
x2  4 .

�
 x 2  x  3 khi x �2
y�

5x  2
khi x  2
�
Câu 67. Cho hàm số
. Chọn mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:
A. Hàm số liên tục tại x0  1 .
B. Hàm số liên tục trên �.
 �;2  ,  2;  � .
C. Hàm số liên tục trên các khoảng
11


D. Hàm số gián đoạn tại x0  2 .
Câu 68.

Hàm số nào sau đây liên tục trên �?
A.

f  x  x

.

B.

f  x  x  4x
4

2

.

C.

f  x 

x4  4 x2
x4  4 x2
f  x 
x  1 . D.
x 1 .

�x 2
�x khi x  1, x �0
�
�
f  x  �
0
khi x  0
�
� x khi x �1
�
Câu 69. (THPT XUÂN HÒA - VP - LẦN 1 - 2018) Cho hàm số
. Khẳng
định nào đúng
0;1
A. Hàm số liên tục tại mọi điểm trừ các điểm thuộc đoạn   .
B. Hàm số liên tục tại mọi điểm trừ điểm x  0 .
C. Hàm số liên tục tại mọi điểm thuộc �.
D. Hàm số liên tục tại mọi điểm trừ điểm x  1 .

�
sin  x khi x 1
f  x  �
�x  1 khi x  1 . Mệnh
Câu 70. (THPT NGUYỄN HUỆ - NINH BÌNH - 2018) Cho hàm số
đề nào sau đây là đúng?
A. Hàm số liên tục trên �.
 �; 1 và  1; � .
B. Hàm số liên tục trên các khoảng
 �;1 và  1; � .
C. Hàm số liên tục trên các khoảng
D. Hàm số gián đoạn tại x  �1 .
Câu 71. (CHUYÊN VINH - LẦN 1 - 2018) Hàm số nào trong các hàm số dưới đây không liên tục trên
�?
x
x
y
y

y x
x 1
x 1 .
A.
.
B.
C. y  sin x .
D.
.
sin x neu cos x �0
�

f  x  �
.
1

cos
x
neu
cos
x

0
�
Câu 72. (THPT CHUYÊN KHTN - LẦN 3 - 2018) Cho hàm số
Hỏi
0; 2018 
hàm số f có tất cả bao nhiêu điểm gián đoạn trên khoảng 
?
A. 2018 .
B. 1009 .
C. 642 .
D. 321 .
Dạng 3.2 Bài tốn chứa tham số

Câu 73.

Tìm m để hàm số
A.

m

4
3.

�2 3 x  x  1
, x �1
�
y  � x 1
�mx  1
,x  1
�
B.

m

1
3.

liên tục trên �.
C.

m

4
3.

D.

m

2

3.

12


Câu 74.

(KSCL LẦN 1 CHUYÊN LAM SƠN - THANH HÓA_2018-2019) Cho hàm số
�3 4 x  2
, x �2
�
f ( x)  � x  2
�ax  3
, x2
�
. Xác định a để hàm số liên tục trên R.
1
4
4
a
a
a
6.
3.
3.
A. a  1 .
B.
C.
D.

�x 2  1
khi x �1
�
f  x   �x  1
�
m  2 khi x  1 . Tìm m để hàm số f  x  liên tục trên �.
�
Câu 75. Cho hàm số
A. m  1 .
B. m  2 .
C. m  4 .
D. m  4 .
Câu 76.

(LƯƠNG TÀI 2
2
�
�x  2 x  2
y  f  x  �
5 x  5m  m 2
�
A. m  2; m  3 .
B.

BẮC NINH
khi x �2

LẦN

1-2018-2019)

khi x  2 liên tục trên �?
m  2; m  3 .
C. m  1; m  6 .

Tìm

m

để

hàm

số

D. m  1; m  6 .

�3 x  a  1 khi x �0
�
f  x   � 1  2x 1
khi x  0
�
x
�
Câu 77. Cho hàm số
. Tìm tất cả giá trị thực của a để hàm số đã cho liên
�
tục trên .
A. a  1 .
B. a  3 .

C. a  4 .
D. a  2 .
�x 3  3 x 2  2 x
� x x2

� 
�
f  x  �
a
�
b
�
�
�
Câu 78. Cho biết hàm số
A. T  2 .
B. T  122 .

khi

x  x  2  �0

khi

x0

khi

x2

2
2
liên tục trên �. Tính T  a  b .
C. T  101 .
D. T  145 .
Câu 79. (TỐN HỌC TUỔI TRẺ SỐ 5) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số sau liên tục
trên �

�x  1
khi x  1
�
f  x   �ln x
�
m.e x 1  1  2mx 2 khi x �1
�
A. m  1 .

B. m  1 .

C.

m

1
2.

D. m  0 .

Câu 80. (THPT CHUYÊN THÁI BÌNH - LẦN 4 - 2018) Có bao nhiêu giá trị thực của tham số m để
m2 x2

khi x �2
�
f  x  �
 1  m  x khi x  2 liên tục trên �?
�
hàm số
A. 0 .
B. 2 .
C. 3 .
D. 4 .

13


�x m
f  x  �
mx  1
�
Câu 81. (THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC - LẦN 4 - 2018) Cho hàm số
f x
Tìm tất cả các giá trị của m để   liên tục trên �.
A. m  1 .
B. m  0 .
C. m  1 .
D. m  2 .

khi x �0
khi x  0

.

�x 2  4 x  3
khi x  1
�
y  � x 1
�
6 Px  3
khi x �1 liên tục trên
�
Câu 82. (THPT YÊN LẠC - LẦN 4 - 2018) Tìm P để hàm số
�.
5
1
1
1
P
P
P
P
6.
2.
6.
3.
A.
B.
C.
D.
ax  b  1, khi x  0
�
f ( x)  �

a cos x  b sin x, khi x �0 liên
�
Câu 83. (THPT TỨ KỲ - HẢI DƯƠNG - LẦN 2 - 2018) Hàm số
tục trên � khi và chỉ khi
A. a  b  1 .
B. a  b  1 .
C. a  b  1
D. a  b  1
3 x  1 khi x �1
�
y�
�x  m khi x  1 , m là tham số. Tìm m
Câu 84. (THPT YÊN LẠC - LẦN 3 - 2018) Cho hàm số
để hàm số liên tục trên �.
A. m  5 .
B. m  1 .
C. m  3 .
D. m  3 .
Câu 85. (THPT CHUN BIÊN HỊA - HÀ NAM - 2018) Tìm tất cả các giá trị thực của m để hàm số
� x 1 1
khi x  0
�
f ( x)  � x
� 2
� x  1  m khi x �0

A. .

Câu 86.

Câu 87.

B. .

liên tục trên �.
C. .

D. .
� x 2  16  5
�
khi x �3
y  f  x  � x  3
�
a
khi x  3
�

(THPT GANG THÉP - LẦN 3 - 2018) Cho hàm số
các giá trị của a để hàm số đã cho liên tục trên R là:
�2 �
�1 �
��
��
0
A. �5 .
B. �5 .
C.   .

. Tập

�3 �
��
D. �5 .

(SỞ GD&ĐT BÌNH THUẬN - 2018) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số
�x 2  16
khi x  4
�
f  x   �x  4
�
mx  1 khi x �4 liên tục trên �.
�
7
7
m
m
4 . B.
4.
A. m  8 hoặc
7
7
m
m
4.
4.
C.
D. m  8 hoặc
14

Câu 88.

(PTNK CƠ SỞ 2 - TPHCM - LẦN 1 - 2018) Nếu hàm số
liên tục trên R thì a  b bằng
A. 1 .
B. 0 .
C. 1 .

�x 2  ax  b khi x  5
�
f  x   �x  17
khi  5 �x �10
�
ax  b  10 khi x  10
�
D. 2 .

DẠNG 4. CHỨNG MINH PHƯƠNG TRÌNH CĨ NGHIỆM
Câu 89.

4
2
Cho phương trình 2 x  5 x  x  1  0 (1) . Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau
1
2;1
A. Phương trình   có đúng một nghiệm trên khoảng 
.
1
B. Phương trình   vơ nghiệm.
1

0; 2 
C. Phương trình   có ít nhất hai nghiệm trên khoảng 
.
 1 vô nghiệm trên khoảng  1;1 .
D. Phương trình

Câu 90.

(THPT HẢI AN - HẢI PHỊNG - LẦN 1 - 2018) Phương trình nào dưới đây có nghiệm trong
0;1
khoảng  
5
2
x  1  x 7  2  0

2
x

3
x

4

0
A.
.
B.
.
4
2

2017
C. 3 x  4 x  5  0 .
D. 3 x  8 x  4  0 .

Câu 91.

(THPT CHUYÊN HÙNG VƯƠNG - GIA LAI - LẦN 2 - 2018) Cho phương trình
4 x 4  2 x 2  x  3  0  1 . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
1
1;1
A. Phương trình   vơ nghiệm trên khoảng 
.
1
1;1
B. Phương trình   có đúng một nghiệm trên khoảng 
.
1
1;1
C. Phương trình   có đúng hai nghiệm trên khoảng 
.
1

1;1
.
D. Phương trình   có ít nhất hai nghiệm trên khoảng 

Câu 92.

Câu 93.

Câu 94.

5
3
Phương trình 3x  5 x  10  0 có nghiệm thuộc khoảng nào sau đây?
2; 1
 10; 2  .
 0;1 .
 1; 0  .
A. 
.
B.
C.
D.

2 x 3  8 x  1  0  1
Cho phương trình
. Khẳng định nào sai?
A. Phương trình khơng có nghiệm lớn hơn 3 .
B. Phương trình có đúng 3 nghiệm phân biệt.
C. Phương trình có 2 nghiệm lớn hơn 2 .
5; 1
D. Phương trình có nghiệm trong khoảng 
.

Cho hàm số

y  f  x

liên tục trên đoạn

 a; b

và thỏa mãn

f  a  b

a �b . Khi đó phương trình nào sau đây có nghiệm trên khoảng  a; b  .

A.

f  x  0

.

B.

f  x  x

.

C.

f  x  x

.

,

f  b  a

D.

f  x  a

với a, b  0 ,

.

15


8  4a  2b  c  0
�
�
8  4a  2b  c  0 . Số giao điểm của đồ thị hàm số
Câu 95.
Cho số thực a , b , c thỏa mãn �
y  x3  ax 2  bx  c và trục Ox là
A. 2 .
B. 0 .
C. 3 .
D. 1 .
Câu 96.

(LÊ QUÝ ĐÔN - QUẢNG TRỊ - LẦN 1 - 2018) Cho các số thực a , b , c thỏa mãn
�a  c  b  1
�
3
2

�a  b  c  1  0 . Tìm số giao điểm của đồ thị hàm số y  x  ax  bx  c và trục Ox .
B. 1 .

A. 0 .

C. 2 .

D. 3 .

DẠNG 1. CÂU HỎI LÝ THUYẾT
Câu 1.
Câu 2.

Câu 3.
Câu 4.

Câu 5.
Câu 6.

lim f  x   f  a 
lim f  x   f  b 
a; b 
Theo định nghĩa hàm số liên tục trên đoạn 
. Chọn: x�a
và x �b
.
f a f b 0
f a
f b
f x

Vì    
nên   và   cùng dương hoặc cùng âm. Mà   liên tục, tăng trên
 a; b  nên đồ thị hàm f  x  nằm trên hoặc nằm dưới trục hoành trên  a; b hay phương trình
f  x  0
a; b 
khơng có nghiệm trong khoảng 
.
Chọn B
Vì theo định lý 3 trang 139/sgk.
Chọn B
Đồ thị là một đường liền nét, nhưng bị “gãy” tại điểm x  0 nên nó liên tục tại điểm x  0 nhưng
khơng có đạo hàm tại điểm x  0 .

Chọn D
lim y �lim y
x �1
Vì x �1
nên hàm số không liên tục tại x  1 .
Chọn D
Khẳng định thứ nhất sai vì thiếu tính liên tục trên đoạn

DẠNG 2. LIÊN TỤC TẠI MỘT ĐIỂM
Dạng 2.1 Xét tính liên tục tại điểm của hàm số
Câu 7.
Chọn A
y 1 1
Ta có:  
.

Câu 8.





 1  x  1 x  x2
1  x3
lim y  1 lim y  lim
 lim
 lim 1  x  x 2  4
x �1 1  x
x �1
1 x
x �1
Ta có: x�1
; x�1
lim y  y  1
Nhận thấy: x�1
. Suy ra y liên tục phải tại x  1 .
Chọn D
x 2  7 x  12
lim
 lim  x  4   1  y  3
x �3
x�3
x3
nên hàm số liên tục tại x0  3 .

x
lim

2

 7 x  12    32  7.3  12 

x �3

Câu 9.

 a; b .

x3

x
 lim
x �3

2

 7 x  12 
x 3





 lim  x  4   1 � y '  3   1
x �3

.

Chọn A
16


Tập xác định: D  �
lim f  x   lim
x �2
x �2

f  2  4





 x  2 x  2  2
x2
 lim
 lim
x  2  2 x �2
x �2
x2



x2 2

 4

� lim f  x   f  2 
x �2

Vậy hàm số liên tục tại x  2 .
Câu 10. Chọn D
2x 1
�1 �
1
lim
f
x

lim

0

f


��
3
x
1
1
x�
x� x  1
�2 �
2
2
2

Tại
, ta có:
. Vậy hàm số liên tục tại x  2 .
2
x + x +1
f ( x) =
x- 1
Câu 11. A)
lim f ( x) = +�
f ( x)
x�1+
suy ra
không liên tục tại x = 1 .
x2 - x - 2
f ( x) =
x2 - 1
B)
x- 2
lim+ f ( x ) = lim+
=- �
f ( x)
x�1
x �1 x - 1
suy ra
không liên tục tại x = 1 .

C)

f ( x) =

x 2 + x +1
x

x 2 + x +1
= 3 = f ( 1)
f ( x)
x�1
x�1
x
suy ra
liên tục tại x = 1 .
x +1
f ( x) =
x- 1
D)
x +1
lim+ f ( x) = lim+
= +�
f ( x)
x�1
x�1 x - 1
suy ra
không liên tục tại x = 1 .
lim f ( x ) = lim

Dạng 2.1 Điểm gián đoạn của hàm số
2x 1
y
x  1 không xác định tại x0  1 nên gián đoạn tại x0  1 .
Câu 12. Ta có

Câu 13. Chọn A
3x  4
y
x  2 có tập xác định: D  �\  2 , do đó gián đoạn tại x  2 .
Ta có:
Câu 14. Chọn D
x
y
x  1 có TXĐ: D  �\  1 nên hàm số gián đoạn tại điểm x0  1\.
Vì hàm số
Câu 15. Chọn A
x 3
y 2
x  1 có tập xác định �\  �1 . Do đó hàm số khơng liên tục tại các điểm x  �1 .
Hàm số
Câu 16. Hàm số xác định trên R

17


1  cos x
lim f  x   lim
 lim
x �0
x �0
x �0
x2

x
2 1

2
�x � 2
4. � �
�2 �

2sin 2

f 0 1
Ta có  
và
f  0  �lim f  x 
f x
f x
x �0
Vì
nên   gián đoạn tại x  0 . Do đó   khơng có đạo hàm tại x  0 .
1  cos x
f  x 
�0
f
2  0.
x �0
x2
nên
VậyA, B,C sai.
f x
Câu 17. *   liên tục tại x �0 và x �1 .
* Tại x  0

 

x2
lim
f
x

lim
 0 f  0  0


lim f  x   lim   x cos x   0 x �0
x �0 1  x
x �0 
x �0
,
,
.
lim f  x   lim f  x   f  0 
x �0
Suy ra x �0
. Hàm số liên tục tại x  0 .
* Tại x  1
x2
1

lim f  x   lim x3  1
x �1
x �1 1  x
2 , x�1
x �1

.
lim f  x  �lim f  x 
x �1
Suy ra x�1
. Hàm số gián đoạn tại x  1 .
lim f  x   lim

Dạng 2.3 Bài toán chứa tham số
Câu 18. Chọn A
Hàm số liên tục tại x  2 khi và chỉ khi
Câu 19. Chọn C
Ta có f (1)  2m  1

�x 2  4 �
lim �
� lim m  m � m  4
x �2
�x  2 � x�2

x3  1
 lim( x 2  x  1)  3
x �1
x �1 x  1
x �1
f (1)  lim y � 2m  1  3 � m  1
x 1
x �1
Để hàm số liên tục tại điểm 0
thì
.

Câu 20. Chọn B
lim y  lim y  y  1
x �1
Hàm số liên tục tại x  1 khi và chỉ khi x �1
2
� lim  4 x  a   lim  x  3 x  2   y  1
� a40 � a  4.
x �1
x �1
Câu 21. Chọn A
f  1  m  3
Ta có:
.
 x  1  x 2  2 
x3  x 2  2 x  2
lim f  x   lim
 lim
 lim  x 2  2   3
x �1
x �1
x �1
x �1
x 1
x 1
.
lim
f
x

f

1
�
3

m

3
�
m0
 
 
f  x
Để hàm số
liên tục tại x  1 thì x�1
.
Câu 22. Chọn A
lim y  lim

x
x 2016  x  2
lim
 lim
x �1
2018 x  1  x  2018 x�1
Ta có:

2016

 1  x  1



2018 x  1  x  2018



2017 x  2017
18


 x  1  x 2015  x2014  ...  x  1  1  2018x  1  x  2018 
 lim
x �1
2017  x  1
lim f x  f  1
� k  2 2019
x  1 � x �1  

Để hàm số liên tục tại
Câu 23. Chọn C

x  1  lim
x �1
lim f  x   lim
x �1 x  1
x
�
1
Ta có



x 1



x 1

.

1
1

x 1 2 .



x  1  lim
x �1

lim f  x   f  1 � a 

 2 2019

1
2.

Để hàm số liên tục tại x0  1 khi x �1
Câu 24. Chọn A
lim f ( x) = f ( - 1) = b - 3 lim+ f ( x) = a - 1

x �- 1; x �- 1
. Để liên tục tại x=-1 ta có b - 3 = a - 1 � a = b - 2
Câu 25. Chọn D
f  3  m
lim f  x  lim
x�3

x�3

3 x
x  1 2

 3 x 

 lim
x�3



x  1 2

x 3
lim f  x  f  3





 lim  x  1  2  4
x�3

Để hàm số liên tục tại x  3 thì x�3
Suy ra, m 4.
Câu 26. Chọn B
lim f  x   lim  ax 2  bx  5   a  b  5  f  1
x
x �1
Ta có: �1
.
lim f  x   lim  2ax  3b   2a  3b
x �1
x �1
.
x

1
a

b  5  2a  3b � a  4b  5 .
Do hàm số liên tục tại
nên
Câu 27. Chọn D
TXĐ: D  R
lim f ( x)  lim

Ta có x �1
Và f (1)  m  1 .

x �1

x2  x
 lim x  1
x  1 x�1

Hàm số liên tục tại x  1 � m  1  1 � m  2
Câu 28. Chọn D
x 2  3x  2
 x  1  x  2 
lim
 lim
 lim  x  2   1
x �1
x �1
x �1
x 1
x 1
.

lim f  x   f  1
f  x
Để hàm số
liên tục tại điểm x  1 cần: x �1
� m 2  m  1  1
m  0 (TM)
�
� m2  m  0 � �
m  1 (L) .
�

Câu 29.

Chọn B
Ta có

f  2  4  a

.

19


lim f  x   lim
x �2

x �2

Ta tính được

x24

 x  2 

x22

Hàm số đã cho liên tục tại x  2 khi và chỉ khi
15
a
4 .
Vậy hàm số liên tục tại x  2 khi
Câu 30.



 lim
x �2

.

x �2





 x  2   x  1 x  2  2
x 2  3x  2
 lim
 lim  x  1
x �2
x2
x  2  2 x �2

lim f ( x)  lim
x �2



1
15
�a

4
4 .

f  2   lim f  x  � 4  a 

Chọn D
Ta có

x �2

1
1

x22 4





x2 2  4



lim f ( x )  lim m2 x  4m  6  2m 2  4m  6

x �2

x �2

f (2)  2m 2  4m  6

Để hàm số liên tục tại x  2 thì
lim f ( x)  lim f ( x)  f (2) � 2m 2  4m  6  4 � 2m2  4m  2  0 � m  1
x �2

x �2

Vậy có một giá trị của m thỏa mãn hàm số đã cho liên tục tại x  2 .
Câu 31. Chọn A
x  1��
Tập xác định D  �, 0
.
f  1  4  m
Ta có
.
 x  1  3x  5
3x 2  2 x  1  2  lim
x �1
lim f  x   lim
 x  1  x  1 3x 2  2 x  1  2
x �1
x �1
 x  1  x  1
 lim
x �1

 x  1 

Hàm số
Câu 32. Chọn D
- Ta có:

+
+

f  x



3x  5
3x2  2 x 1  2
liên tục tại

f  1  m  2

1

x0  1

khi và chỉ khi

lim  x   f  1 � 4  m  1 � m  3
x �1

.

.

lim  f  x   m  2

x � 1

lim  f  x   lim 

+ x � 1





x � 1

.

x 2  3x  2  lim
x � 1
x2 1

- Hàm số liên tục tại x  1



 x  1  x  2 
 x  1  x  1

 lim 
x � 1

x  2 1

x 1 2

.

� f  1  lim  f  x   lim  f  x  � m  2  1 � m  5
x � 1
x � 1
2

2.

Câu 33.

.

Chọn D
Tập xác định: D  �.

20


x2  4  2
lim f ( x)  lim
 lim
x �0
x �0
x �0
x2

 lim
x �0

x2  4  4
x 2 ( x 2  4  2)

f (0)  2a 

 lim
x �0



x2  4  2
x2

1
x2  4  2






x2  4  2

x2  4  2

1
4





.

5
4.
5 1
3
 �a
4 4
4.

x  0 � lim f ( x)  f (0) � 2a 

Hàm số f ( x ) liên tục tại
3
a
4.
Vậy
Câu 34. Chọn C
TXĐ D  �
f 1  2m
Ta có  
.
2
lim f  x   lim  x  2 x  3 
x �1

x �1

x �0

 2.

� lim f  x   f  1
x �1
� 2 m2 � m 0.
Hàm số liên tục tại x0  1
Câu 35. Chọn A
� lim f ( x)  f (2)
x �2
Hàm số liên tục tại x  2
.
2
x  3x  2
f (2)  a, lim f ( x )  lim
 lim( x  1)  1
x �2
x �2
x �2
x2
Ta có
. Do đó a  1
Câu 36. Chọn A
Tập xác định D  R .
3 x
lim f  x   lim
 lim �
 x 1  2 �
f  3  3m  2

x �3
x  1  2 x�3 �
� 4 .
Ta có
và x �3



Hàm số đã cho liên tục tại điểm x  3
Câu 37. Chọn A
Ta có

lim f  x   f  4 

x �4 

 4m  1 ;

� lim f  x   f  3
x �3

lim f  x   lim

x �4

x �4



� 3m  2  4 � m  2 .

x 2  16
 lim  x  4 
 8.
x4
x �4

� lim f  x   lim f  x   f  4 

x �4
x �4
Hàm số liên tục tại điểm x  4
Câu 38. Chọn A
x  x  2
x2  2x
lim f  x   lim
 lim
 lim x  2
x �2
x �2
x �2
x2
x2
Ta có x �2
.

� 4m  1  8

�m

7
4.

lim f  x   lim  mx  4   2m  4

x �2 

x �2

Hàm số liên tục tại x  2 khi
Câu 39. Chọn D
f ( 1) = n.
Ta có:

lim f  x   lim f  x  � 2m  4  2 � m  3

x �2

x �2

.

21


lim f ( x) = lim
x�1

x�1

x + 3 - m2

( x - 1)

(

)

x + 3 +m

.

� lim f ( x) = f ( 1) � n = lim
x�1

x�1

Hàm số liên tục tại x = 1

x + 3 - m2

( x - 1) (

)

x + 3 +m

(1).

�

m=2
1 + 3 - m = 0� �
.
�
lim f ( x)
m=- 2
�
x�1
�
tồn tại khi 1 là nghiệm của phương trình:
x- 1
1
1
� n = lim
�n= .
( 1) � n = lim
x�1
x�1
4
x +3+2
( x - 1) x + 3 + 2
m
=
2
+ Khi
thì
1
( 1) � n = lim
x�1
x + 3 - 2 suy ra không tồn tại n.

+ Khi m = - 2 thì
1 9
m + n = 2+ = .
4 4
Vậy
Câu 40. Chọn B
f 3 m
Ta có:  
.
3
x  6 x 2  11x  6
lim f  x   lim
 lim  x 2  3x  2   2
x �3
x �3
x �3
x3
.
Câu 41. Chọn B
cos 3x  cos 7 x
2sin 5 x sin 2 x
lim
 lim
2
x �0
 2.5.2  20 .
x
x2
Ta có: x �0
Câu 42. Chọn A

Tập xác định D  R .
2
* f (1)   m  2m
2

(

*

)

lim f ( x)  lim (mx  2m2 )  m  2m2

.
( x  1)( x  2)
x x2
 lim
 lim ( x  2)  3.
lim f ( x)  lim
x �1
x �1
x �1
x 1
x 1
* x �1
lim f ( x)  lim f ( x)  f (1)
x �1
Hàm số liên tục tại x  1 khi và chỉ khi x �1
m 1
�

�
�
3.
�
m
2
2
�  m  2m  3 � 2m  m  3  0
�
2
� 3�
m ��
1;  �.
2
�
Vậy các giá trị của m là
Câu 43. Chọn B
 x  2   x  1  lim x  1  1
x 2  3x  2
lim 2
 lim
x �2
x �2
x �2
x  2x
x  x  2
x
2
Ta có:
.

f  2   3m  1
.
x �1

x �1

2

22


� 3m  1 

Để hàm số liên tục tại điểm x  2
Câu 44. Chọn D
5
f  0   2a 
4.
+ Ta có

lim f  x   lim
x �0

x �0

+
Hàm số
Câu 45. Chọn A

f  x

x2  4  2
 lim
x �0 2
x2
x

liên tục tại x  0 khi



ax  1  bx  2

2
4 x3  3 x  1
 2 x  1
2

Ta có



1
1
�m
2
6.

�
� 1

1
 lim �
� .
2
x �0
x2  4  2
� x 4 2� 4
x2



lim f  x   f  0  � 2a 
x �0


 x  1 

2

ax 2  1   bx  2 

5 1
3
 �a
4 4
4.

2

ax 2  1  bx  2

 a b  x
2





 2 x  1  x  1 
2

2

 4bx  3
ax 2  1  bx  2

2
�
m  3
a  b 2  x 2  4bx  3  m  2 x  1
�

�
1
�
x ��
��
b  3
a
b

2
�  1   2 �0
�
a  3
�
2
�4
Để hàm số liên tục tại
.

lim
x�

Khi đó

 lim
1
x�
2

Vậy

1
2

 x  1 

ax 2  1  bx  2
12 x 2  12 x  3


lim
2
1
4 x3  3x  1
x �  2 x  1  x  1
3 x 2  1  3 x  2



2

3
3 x 2  1  3 x  2





S  abc  3  3  4   36

.



3
c
  2  � c  4
3
2
2

.

.

Câu 46.
Lời giải
Chọn C
Tập xác định D  R .
f  1  a
.
x2 1
lim f  x   lim
 lim  x  1  2
x �1
x �1 x  1
x �1
.

lim f  x   f  1 � a  2
liên tục tại x0  1 khi và chỉ khi x �1
.
Chọn A
f  x

Câu 47.

lim

Ta có:

x �2

x2  x  2
( x  2)( x  1)
 lim
 lim( x  1)  3.
x �2
x �2
x2
x2

Hàm số liên tục tại x=2
Câu 48. Chọn A
f  1  m
.

� lim f ( x )  f (2) � m  3.
x �2

23


 x  1  2 x  1  lim 2 x  1  1
2 x 2  3x  1
 lim
x �1
x �1
x �1
2  x  1
2  x  1

2
2

lim f  x   lim
x �1

.
1
lim f  x   f  1 � m 
f  x
2.
Để hàm số
liên tục tại x  1 thì x �1
Câu 49. Tập xác định của hàm số là �.

lim

x2  x  2
x 1

3 3m

m 1.

lim f  x  �۹
f  1

Hàm số gián đoạn tại x  1 khi x �1
 x  1  x  2  3m lim x 2
۹�lim

�۹۹


x �1
x �1
x 1
Câu 50. Ta có
� 1 x �
lim f  x   lim �m 
� m  1
x �0 
x �0 �
1 x �
.

� 1  x  1  x � lim
lim f  x   lim �
�
� x�0 x
x �0
x �0 �
x
�
�

3m



x �1

2 x
1 x  1 x



 lim
x �0

3m



2
1 x  1 x



 1

f  0  m  1

.

lim f  x   lim f  x   f  0 
� m  1  1 � m   2 .
x �0
Để hàm liên tục tại x  0 thì x �0
Câu 51. Tập xác định: D  �.
e ax  1

eax  1
lim f  x   lim
 lim
.a  a
x �0
x �0
x �0
x
ax
.
1
1
f  0 
lim f  x   f  0  � a 
2 ; hàm số liên tục tại x0  0 khi và chỉ khi: x�0
2.
D   3;  �
Câu 52. Tập xác định:
.
2
ax   a  2  x  2
lim f  x   lim
x �1
x3 2
x �1
.

 lim

 x  1  ax  2  

x �1

 lim  ax  2 
x �1

f  1  8  a

2



x 1

x3 2





.

x  3  2  4  a  2

.

.

a0
�

�
�
lim f  x   f  1 � 4  a  2   8  a
a  4.
�
Hàm số đã cho liên tục tại x  1 khi x�1
2

Vậy có 2 giá trị của a để hàm số đã cho liên tục tại x  1 .
x2 2
x2
1
1
lim f  x   lim
 lim
 lim

x �2
x �2
x �2
x2
 x  2  x  2  2 x�2 x  2  2 4
Câu 53. Ta có:
.
1
15
� lim f  x   f  2  � a  4  � a  
x �2
4
4 .

Hàm số liên tục tại x  2





24


lim f  x   lim  x 2  1  2 lim f  x   lim  x  m   1  m
x �1
x �1
Câu 54. Ta có
; x �1
. Để hàm số liên tục tại x0  1
lim f  x   lim f  x  � 2  m  1 � m  1
x �1
thì x �1
.
Câu 55.
Lời giải
2x 1  x  5
x4
1
1
lim f  x   lim
 lim
 lim

x �4

x �4
x �4
x4
 x  4  2 x  1  x  5 x�4 2 x  1  x  5 6
x �1

f  4  a  2





.

1
11
 a2
a
lim f  x   f  4 
x

4
� 6
�
6 .
Hàm số liên tục tại 0
khi: x �4

Tập xác định: D  �.
Ta có:

 x  3  x  4 
x 2  x  12
lim f  x   lim
 lim
 lim  x  3
x �4
x �4
x �4
 7 .
x4
x4
+ x �4
f 4  4m  1
+  
.
lim f  x   f  4 
f x
� 4m  1  7
Hàm số   liên tục tại điểm x0  4 khi và chỉ khi x�4
� m  2.
3x  1  22
3
3
3x  1  2  lim
x �1
 lim

lim
x


1
3
x

1

2


x �1
3x  1  2 4 .
x 1
Câu 57. Ta có x �1
3
m
f  1  m
4.
Với
ta suy ra hàm số liện tục tại x = 1 khi
Câu 56.



Câu 58.

Ta có

lim f  x   lim

x �1

x �1

f  x



x3 2
 lim
x �1
x 1

1
1
1

f  1  lim f  x   m 2  m 
x �1
x32 4 ;
4.

m2  m 

m  1
1 1 ��

�
m0 .
�
4 4

liên tục tại x  1 thì
f  x   2x  a
 �;1 .
Câu 59.  Khi x  1 thì
là hàm đa thức nên liên tục trên khoảng
x3  x 2  2 x  2
f  x 
 1;  �
x 1
 Khi x  1 thì
là hàm phân thức hữu tỉ xác định trên khoảng
 1;  � .
nên liên tục trên khoảng
 Xét tính liên tục của hàm số tại điểm x  1 , ta có:
f  1  2  a
+
.
lim f  x   lim  2 x  a   2  a
x �1
+ x �1
.
 x  1  x 2  2 
x3  x 2  2 x  2
lim f  x   lim
 lim
 lim  x 2  2   3
x �1
x �1
x �1

x �1
x

1
x

1
+
.
f  x
f  x
 Hàm số
liên tục trên � � hàm số
liên tục tại x  1
lim f  x   lim f  x   f  1
x �1
 x �1
 2a  1  3  a  1 .
Để hàm số

25