Dạy thêm toán 11 ĐẠO hàm BẰNG ĐỊNH NGHĨA

ĐẠO HÀM BẰNG ĐỊNH NGHĨA
Câu 1.

(THPT Chuyên Hùng Vương-Phú Thọ-lần 1-NH2017-2018) Phát biểu nào trong các phát
biểu sau là đúng?
y = f ( x)
x0
A. Nếu hàm số
có đạo hàm trái tại
thì nó liên tục tại điểm đó.
y = f ( x)
x0
B. Nếu hàm số
có đạo hàm phải tại
thì nó liên tục tại điểm đó.
y = f ( x)
x0
− x0
C. Nếu hàm số
có đạo hàm tại
thì nó liên tục tại điểm
.
y = f ( x)
x0
D. Nếu hàm số
có đạo hàm tại
thì nó liên tục tại điểm đó.
Lời giải
Chọn D
Ta có định lí sau:
y = f ( x)

x0
Nếu hàm số
có đạo hàm tại
thì nó liên tục tại điểm đó.

y=
Câu 2.

∆y
∆x

1
x

x0

∆x

∆x

Cho hàm số
. Tính tỉ số
theo
và
(trong đó
là số gia của đối số tại
và
∆y
là số gia tương ứng của hàm số) được kết quả là
∆y

1
∆y
1
∆y
1
∆y
1
=
=−
=−
=
∆x x0 ( x0 + ∆x )
∆x
x0 ( x0 + ∆x )
∆x
x0 + ∆x
∆x x0 + ∆x
A.
.
B.
.
C.
. D.
.
Lời giải
Chọn D
∆y =

1
1

∆x
− =−
x0 + ∆x x0
x0 ( x0 + ∆x )

Suy ra
Câu 3.

∆y
1
=−
∆x
x0 ( x0 + ∆x )

Cho hàm số

.

.

y = f ( x)

có đạo hàm tại
f ( x + x0 ) − f ( x0 )
f ′( x0 ) = lim
x → x0
x − x0
A.
.
f ( x ) − f ( x0 )

f ′( x0 ) = lim
x → x0
x − x0
C.
.

x0

là

f ′( x0 )

. Khẳng định nào sau đây là sai?
f ( x0 + ∆ x) − f ( x0 )
f ′( x0 ) = lim
∆x → 0
∆x
B.
.
f (h + x0 ) − f ( x0 )
f ′( x0 ) = lim
h→0
h
D.
.

Lời giải
Chọn A
Theo định nghĩa đạo hàm của hàm số tại một điểm
Câu 4.

x0

Số gia
2
A. .

∆y

của hàm số

f ( x) = x 4

tại

x0 = −1

1
B. .
1

∆x = 1
ứng với số gia của biến số
là
0
−1
C.
.
D. .

Lời giải
Chọn C
∆y = f ( x0 + ∆ ) − f ( x0 ) = (−1 + 1)4 − 14 = −1

Câu 5.

∆y

y=

1
x

.
x0 = 2

∆x

Tính số gia
của hàm số
theo
tại
.
1
4 + ∆x
∆x
∆y =
∆y =
∆y =

2
2 ( 2 + ∆x )
2 ( 2 + ∆x )
( ∆x )
A.
.
B.
.
C.
.

∆y = −

D.

∆x
2 ( 2 + ∆x )

.

Lời giải
Chọn D
∆y =

Ta có
Câu 6.

Câu 7.

1

1
∆x
−
=−
2 + ∆x ∆x
∆x ( 2 + ∆x )

.

(THPT Yên Lạc 2-Vĩnh Phúc-lần 1-năm 2017-2018) Cho hàm số
f ( x ) − f ( 3)
lim
=2
x →3
x−3
thỏa mãn
. Kết quả đúng là
f ′ ( 2) = 3
f ′( x) = 2
f ′( x) = 3
A.
.
B.
.
C.
.
Lời giải
Chọn D
Theo định nghĩa đạo hàm của hàm số tại một điểm ta có
f ( x ) − f ( 3)

lim
= 2 = f ′ ( 3)
x →3
x −3
.

y = f ( x)

D.

xác định trên

f ′ ( 3) = 2

¡

.

y = x3 + 1

∆x
(THPT Chuyên Vĩnh Phúc-MĐ 903 lần 1-năm 2017-2018) Cho hàm số
gọi
là
∆y
∆y
x
∆x
số gia của đối số tại và
là số gia tương ứng của hàm số, tính

.
3
2
2
2
3 x − 3x.∆x + ( ∆x )
3 x + 3 x.∆x + ( ∆x )
A.
. B.
.
2
3
2
2
3 x + 3x.∆x − ( ∆x )
3x + 3x.∆x + ( ∆x )
C.
. D.
.
Lời giải
Chọn B
Ta có :
3
∆y = f ( x + ∆x ) − f ( x ) = ( x + ∆x ) + 1 − x 3 + 1 = 3x 2 .∆x + 3 x.∆ 2 x + ∆ 3 x = ∆x 3 x 2 + 3 x.∆x + ∆ 2 x

(

⇒

)

∆y
2
= 3 x 2 + 3 x.∆x + ∆ 2 x = 3 x 2 + 3 x.∆x + ( ∆x )
∆x

2

(

.

)


Câu 8.

y = f ( x)
(THPT Chuyên ĐHSP – Hà Nội - Lần 1 năm 2017 – 2018) Cho hàm số
có đạo
f ( x ) − f ( 6)
lim
f ′ ( 6 ) = 2.
x →6
x−6
hàm thỏa mãn
Giá trị của biểu thức
bằng
1
1

.
.
12.
3
2
2
A.
B. .
C.
D.
Lời giải
Chọn B
y = f ( x)
x0 ∈ D
D
Hàm số
có tập xác định là
và
. Nếu tồn tại giới hạn (hữu hạn)
f ( x ) − f ( x0 )
lim
x → x0
x0
x − x0
thì giới hạn gọi là đạo hàm của hàm số tại
f ( x ) − f ( 6)
lim
= f ′ ( 6 ) = 2.
x →6
x−6

Vậy kết quả của biểu thức
f ( x) =

Câu 9.

3x
1+ x

Cho hàm số
A.

f ′ ( 0) = 0

. Tính
.

B.

f ′ ( 0)

f ′ ( 0) = 1

.

f ′ ( 0) =
.

C.
Lời giải

1
3

.

D.

f ′ ( 0) = 3

Chọn D

f ′ ( 0 ) = lim
x →0

f ( x ) − f ( 0)
3
= lim
.
x
→
0
x
1+ x

Ta có:

lim+

x →0

3
3
3
3
3
3
= lim+
= 3; lim−
= lim−
= 3 ⇒ lim+
= lim−
=3
x →0 1 + x
x →0 1 − x
x →0 1 + x
x →0 1 + x
1 + x x →0 1 + x

Mà

⇒ f ′ ( 0 ) = lim
x →0

Kết luận:

Câu 10.

3
= 3.
1+ x

f ′ ( 0 ) = 3.

Cho hàm số

 3x + 1 − 2x
khi x ≠ 1

x −1
f ( x) = 
 −5
khi x = 1
 4

A. Không tồn tại.

B.

f ' ( 1)

. Tính

7
−
50

0

C.
Lời giải

Chọn D
Ta có:
3

.

−
.

D.

9
64

.

.


3x + 1 − 2x
3x + 1− 4x 2
lim f ( x ) = lim
= lim
= lim
x →1
x →1
x →1
x −1
( x − 1) 3x + 1 + 2x x →1

(

⇒

Hàm số liên tục lại

x →1

Câu 11.

4( x − 1)

Cho hàm số

3x + 1 + 2x

)

−5
= f ( 1)
4

3x + 1 − 2x 5
+
x −1
4 = lim 4 3x + 1 − 3x − 5
2
x →1
x −1

4( x − 1)

16( 3x + 1) − ( 3x + 5)
2

(

=

x=1
.

f ( x ) − f ( 1)
f ' ( 1) = lim
= lim
x →1
x →1
x −1
= lim

)

−4x − 1

(4

2

)

3x + 1 + 3x + 5

= lim

x →1

−9

(

)

4 4 3x + 1 + 3x + 5

=−

9
64

 x 2 − 7 x + 12
khi x ≠ 3

y=
x −3
 −1
khi x = 3


. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
x0 = 3

A. Hàm số liên tục nhưng khơng có đạo hàm tại
.
x0 = 3
B. Hàm số có đạo hàm nhưng khơng liên tục tại
.
x0 = 3
C. Hàm số gián đoạn và khơng có đạo hàm tại
.
x0 = 3
D. Hàm số liên tục và có đạo hàm tại
.
Lời giải
Chọn D
D=¡
TXĐ:
.
 x 2 − 7 x + 12
khi x ≠ 3

y = f ( x) = 
x −3
−1
khi x = 3

lim f ( x ) = lim
x →3

x →3

x 2 − 7 x + 12

= lim ( x − 4 )
x →3
x−3
= −1 = f ( 3)

Đạo hàm của hàm số tại

.
f ( x ) − f ( 3)
x 2 − 7 x + 12 − 0
lim
=
lim
= −1 = f (3)
x0 = 3 x→3
x →3
x −3
x −3
x0 = 3

Suy ra: Hàm số liên tục và có đạo hàm tại

∆y
∆x → 0 ∆x
lim

Câu 12.

A.

của hàm số

3
3x + 1

.

f ( x ) = 3x + 1

B.

3
2 3x + 1

theo

.

x

.

là:

C.
Lời giải

Chọn B
4

3x
2 3x + 1

.

D.

1
2 3x + 1

.


3
3 ( x + ∆x ) + 1 − 3x + 1 = lim
3
∆y
=
= lim
∆x →0
3 ( x + ∆x ) + 1 + 3 x + 1 2 3 x + 1
∆x → 0 ∆x
∆x →0
∆x

lim

Ta có:

Câu 13.

Cho
A.

f ( x ) = x 2018 − 1009 x 2 + 2019 x

1009

.

B.
Chọn

1008

lim

∆x → 0

. Giá trị của

f ( ∆x + 1) − f ( 1)
∆x

2018

.

C.
.

Lời giải

D.
lim

∆x →0

Theo định nghĩa đạo hàm ta có
f ' ( x ) = 2018 x 2017 − 2018 x + 2019 ⇒ f ' ( 1) = 2019
Mà
.
f ( ∆x + 1) − f ( 1)
lim
= 2019
∆x → 0
∆x
Vậy giá trị của
.
Câu 14.

2019

.

.

(THPT CHUYÊN QUANG TRUNG - BP - LẦN 1 - 2018) Cho hàm số
 x 2 + 1, x ≥ 1
y = f ( x) = 
x < 1.

2 x,
Mệnh đề sai là
′
f ( 1) = 2
x0 = 1.
f
A.
.
B.
khơng có đạo hàm tại
f ′ ( 0 ) = 2.
f ′ ( 2 ) = 4.
C.
D.
Lời giải
f ( x ) − f ( 1)
2x − 2
lim−
= lim−
= 2;
x →1
x →1
x −1
x −1
f ( x ) − f ( 1)
x2 + 1 − 2
lim+
= lim+
= lim+ ( x + 1) = 2.
x →1

x →1
x →1
x −1
x −1
Ta có
f ′ 1− = f ′ 1+ = f ′ ( 1) = 2.
x0 = 1.
Vậy
Suy ra hàm số có đạo hàm tại
Vậy B sai.

( )

Câu 15.

bằng:
D.

f ( ∆x + 1) − f ( 1)
= f ' ( 1)
∆x

.

( )

 3 − x2

f ( x) =  2
1

 x

khi x < 1
khi x ≥ 1

(TOÁN HỌC VÀ TUỔI TRẺ SỐ 1 - 2018) Cho hàm số
định nào dưới đây là sai?
f ( x)
x =1
A. Hàm số
liên tục tại
.
f ( x)
x =1
B. Hàm số
có đạo hàm tại
.
f ( x)
f ( x)
x =1
x =1
C. Hàm số
liên tục tại
và hàm số
cũng có đạo hàm tại
.
f ( x)
x =1
D. Hàm số
khơng có đạo hàm tại

.
Lời giải
5

. Khẳng


lim− f ( x ) = lim−

x →1

x →1

3 − x2
=1
2

lim+ f ( x ) = lim+

x →1

x →1

1
=1
x

và
f ( x ) − f ( 1)
1 − x2

1+ x
lim−
= lim−
= lim−
= −1
x →1
x →1 2 ( x − 1)
x →1 −2
x −1

lim+

x →1

Câu 16.

f ( x ) − f ( 1)
1− x
−1
= lim+
= lim+
= −1
x →1 x ( x − 1)
x →1 x
x −1

liên tục tại

x =1

.

f ( x)

có đạo hàm tại

x =1

.

(THPT HOÀNG HOA THÁM - HƯNG YÊN - 2018) Cho hàm số
ax 2 + bx khi x ≥ 1
f (x) = 
2 x − 1 khi x < 1
x =1
2a + b
. Để hàm số đã cho có đạo hàm tại
thì
bằng:
5
−5
2
−2
A. .
B. .
C.
.
D.
.
Lời giải

f ( x ) − f ( 1)
2x −1−1
=2
lim−
= lim−
x →1
x →1
x −1
x −1
;
a x 2 − 1 + b ( x − 1)
( x − 1)  a ( x + 1) + b 
f ( x ) − f ( 1)
ax 2 + bx − a − b
= lim+
= lim+
lim+
= lim+
x →1
x →1
x →1
x →1
x −1
x −1
x −1
x −1
= lim+  a ( x + 1) + b 
x →1

)

= 2a + b
lim−

Theo u cầu bài tốn:

Câu 18.

f ( x)

và

. Do đó, hàm số

(

Câu 17.

. Do đó, hàm số

x →1

f ( x ) − f ( 1)
f ( x ) − f ( 1)
= lim+
x →1
⇔ 2a + b = 2
x −1
x −1

.

f ( x ) = x −1

(CHUYÊN BẮC NINH - LẦN 2 - 2018) Cho hàm số
. Khẳng định nào sau đây
là khẳng định sai?
f ( 1) = 0
f ( x)
x =1
A.
.
B.
có đạo hàm tại
.
f ( x)
f ( x)
x =1
x =1
C.
liên tục tại
.
D.
đạt giá trị nhỏ nhất tại
.
Lời giải
f ( 1) = 0
Ta có
.
f ( x ) − f ( 1)

f ( x ) − f ( 1)
1− x − 0
x −1− 0
lim−
= lim−
= −1
lim+
= lim+
=1
x →1
x
→
1
x
→
1
x
→
1
x −1
x −1
x −1
x −1
và
.
x =1
Do đó hàm số khơng có đại hàm tại
.

(ĐẶNG THÚC HỨA - NGHỆ AN - LẦN 1 - 2018) Cho hàm số

f ( x)
x0 = 0
T = a + 2b
Khi hàm số
có đạo hàm tại
. Hãy tính
.
T =0
T = −6
T = −4
A.
.
B.
.
C.
.
Lời giải
6

 ax 2 + bx + 1, x ≥ 0
f ( x) = 
 ax − b − 1, x < 0

D.

T =4

.

.

f ( 0) = 1

Ta có
.
lim+ f ( x ) = lim+ ( ax 2 + bx + 1)
x→0

x →0

lim− f ( x ) = lim− ( ax − b − 1)

x →0

x →0

=1

.

= −b − 1

.

x0 = 0
x0 = 0
Để hàm số có đạo hàm tại
thì hàm số phải liên tục tại
nên

f ( 0 ) = lim+ f ( x ) = lim− f ( x )
−b − 1 = 1 ⇔ b = −2
x→0
x→0
. Suy ra
.
2
ax − 2 x + 1, x ≥ 0
f ( x) = 
ax + 1, x < 0
Khi đó
.
Xét:
f ( x ) − f ( 0)
ax 2 − 2 x + 1 − 1
lim+
= lim+
= lim+ ( ax − 2 )
x →0
x →0
x
x
x →0
= −2
+)
.
f ( x ) − f ( 0)
ax + 1 − 1
= lim−
lim−

= lim− ( a )
x →0
x →0
=a
x
x
x →0
+)
.
x0 = 0
a = −2
Hàm số có đạo hàm tại
thì
.
x0 = 0
a = −2 b = −2
T = −6
Vậy với
,
thì hàm số có đạo hàm tại
khi đó
.

Câu 19.

( x 2 + 2012) 7 1 − 2 x − 2012 a
lim
=
x →0
x

b

a
b

(THPT HÀ HUY TẬP - LẦN 2 - 2018)
, với
là phân số
a
a +b
tối giản, là số nguyên âm. Tổng
bằng
−4017
−4018
−4015
−4016
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Lời giải
* Ta có:
7
( x 2 + 2012) 7 1 − 2 x − 2012
( 7 1 − 2 x − 1)
1− 2x −1

lim
= lim x 7 1 − 2 x + 2012.lim
= 2012.lim
x →0
x →0
x →0
x →0
x
x
x

(

)

y = f ( x) = 7 1− 2x

f ( 0) = 1
* Xét hàm số
ta có
. Theo định nghĩa đạo hàm ta có:
7
f ( x ) − f ( 0)
1 − 2x −1
f ′ ( 0 ) = lim
= lim
x →0
x
→
0

x−0
x

f ′( x) = −

7

(

2
7

1− 2x

)

6

⇒ f ′ ( 0) = −

2
7
1 − 2x − 1
2
7 ⇒ lim
=−
x →0
x
7

( x 2 + 2012) 7 1 − 2 x − 2012
4024 ⇒ a = −4024

=−
x →0
b = 7
⇒ a + b = −4017
x
7

⇒ lim

7

.


Câu 20.

(THPT

Xuân

Hòa-Vĩnh

3 − 4 − x

4
f ( x) = 
1


 4

A.

1
4

Phúc-năm

2017-2018)

Cho

hàm

số

khi x ≠ 0
khi x = 0

. Khi đó

.

B.

1
16

.

f ′ ( 0)

là kết quả nào sau đây?
1
32
C.
.
D. Không tồn tại.
Lời giải

Chọn B
x≠0
Với
xét:
f ( x ) − f ( 0)
lim
= lim
x →0
x →0
x−0

= lim
x →0

Câu 21.

Câu 22.

(

1

4 2+ 4− x

)

=

3− 4− x 1
4 − ( 4 − x)
−
4
4 = lim 2 − 4 − x = lim
x →0
4x 2 + 4 − x
x →0
4x
x

(

(

1

4 2+ 4−0

)

=

1
1
16 ⇒ f ′ ( 0 ) =
16

)

.

(THPT Chuyên Vĩnh Phúc-lần 1 MĐ 904 năm 2017-2018) Hàm số nào sau đây khơng có
¡
đạo hàm trên ?
y = x −1
y = x2 − 4 x + 5
y = sin x
y = 2 − cos x
A.
.
B.
. C.
.
D.
.
Lời giải
Chọn A
x ≥1
x >1

 x − 1,
1,
y=
y′ = 
y = x −1
x <1
x <1
1 − x,
 −1,
Ta có:
, do đó:
khi đó:
f
x
−
f
1
( ) ( ) = lim x − 1 = 1
y′ ( 1+ ) = lim+
x
→
1
x →1+ x − 1
x =1
x −1
Tại
:
.
f ( x ) − f ( 1)
1− x

y′ ( 1− ) = lim−
= lim−
= −1
x →1
x →1 x − 1
x −1
.
+
+
y′ ( 1 ) ≠ y′ ( 1 )
1
Do
nên hàm số khơng có đạo hàm tại .
¡
¡
Các hàm số cịn lại xác định trên
và có đạo hàm trên .
y = f ( x)
x0 = 2
(THTT Số 4-487 tháng 1 năm 2017-2018) Cho hàm số
có đạo hàm tại điểm
2 f ( x ) − xf ( 2 )
lim
x →2
x−2
. Tìm
.
f ′ ( 2)
2 f ′ ( 2) − f ( 2)
f ( 2) − 2 f ′ ( 2)

0
A. .
B.
.
C.
.
D.
.
Lời giải
Chọn C

8


y = f ( x)

⇔ I = lim

2 ( f ( x ) − f ( 2) )

x→2

Câu 23.

Câu 24.

f ( x ) − f ( 2)
= f ′ ( 2)
x−2

x0 = 2
x →2
có đạo hàm tại điểm
suy ra
2 f ( x ) − xf ( 2 )
2 f ( x ) − 2 f ( 2 ) + 2 f ( 2 ) − xf ( 2 )
I = lim
⇔ I = lim
x→2
x →2
x−2
x−2

Do hàm số

Ta có

lim

x−2

− lim
x→2

f ( 2) ( x − 2)
x−2

⇔ I = 2 f ′ ( 2) − f ( 2)

.

.

( x − 1) 2 khi x ≥ 0
f ( x) = 
2
khi x < 0
 − x

(THPT Đô Lương 4-Nghệ An năm 2017-2018) Cho hàm số
x0 = 0
đạo hàm tại điểm
là?
f ′ ( 0) = 0
f ′ ( 0) = 1
f ′ ( 0 ) = −2
A.
.
B.
.
C.
.
D. Không tồn tại.
Lời giải
Chọn D
2
f ( x ) = lim+ ( x − 1) = 1 lim− f ( x ) = lim− ( − x 2 ) = 0
f ( 0 ) = 1 xlim
+
→0

x →0
x →0
x →0
Ta có:
;
;
.
f ( 0 ) = lim+ f ( x ) ≠ lim− f ( x )
x0 = 0
x→0
x→0
Ta thấy
nên hàm số không liên tục tại
.
x0 = 0
Vậy hàm số khơng có đạo hàm tại
.
(THPT Chun Hùng Vương-Bình Phước-lần 2-năm 2017-2018) Cho hàm số
tục trên đoạn

( I)

[ a; b ]

và có đạo hàm trên khoảng
c ∈ ( a; b )

f ′( c) =

f ( x)

có

liên

( a; b ) . Trong các khẳng định
f ( b) − f ( a)
b−a

: Tồn tại một số
sao cho
.
′
f ( a ) = f ( b)
c ∈ ( a; b )
f ( c) = 0
( II )
: Nếu
thì ln tồn tại
sao cho
.
f ( x)
( III )
( a; b )
: Nếu
có hai nghiệm phân biệt thuộc khoảng
thì giữa hai nghiệm đó ln tồn
′
f ( x)
tại một nghiệm của

.
Số khẳng định đúng trong ba khẳng định trên là
0
3
2
1
A. .
B. .
C. .
D. .
Lời giải
Chọn C
( I)
đúng (theo định lý Lagrange).
f ( a) = f ( b)
( II )
đúng vì với
,
f ( b) − f ( a )
f ′( c) =
=0
c ∈ ( a; b )
( I)
b−a
theo
suy ra tồn tại
sao cho
.
9

( III )

f (α) = f ( β ) = 0
α β ∈ ( a; b )
đúng vì với ,
sao cho
.
f ( x)
f ( x)
( a; b )
[ a; b]
Ta có
liên tục trên đoạn
và có đạo hàm trên khoảng
nên
liên tục trên
α
;
β
α
;
β
(
)
[ ]
đoạn
và có đạo hàm trên khoảng
.
c ∈( α; β )

f ′( c) = 0
( II )
Theo
suy ra luôn tồn tại một số
sao cho
.

Câu 25.

 a x
khi 0 < x < x0
f ( x) =  2
 x + 12 khi x ≥ x0

(THTT số 6-489 tháng 3 năm 2018) Cho hàm số
. Biết
x0
f
a
rằng ta ln tìm được một số dương
và một số thực để hàm số
có đạo hàm liên tục trên
( 0; +∞ )
S = x0 + a
khoảng
. Tính giá trị
.
S = 2 3− 2 2
S = 2 1+ 4 2
S = 2 3− 4 2

S = 2 3+ 2 2
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Lời giải
Chọn B
a
⇒ f ′( x) =
f ′( x)
f
x
=
a
x
( 0; x0 )
( )
0 < x < x0
2 x
+ Khi
:
. Ta có
xác định trên
nên liên
( 0; x0 )
tục trên khoảng

.
2
f ′( x)
( x0 ; +∞ )
x > x0 f ( x ) = x + 12 ⇒ f ′ ( x ) = 2 x
+ Khi
:
. Ta có
xác định trên
nên liên tục
( x0 ; +∞ )
trên khoảng
.
x = x0
+ Tại
:

(

)

(

)

(

(

)

) = lim

lim−

a
f ( x ) − f ( x0 )
a x − a x0
= lim−
= lim−
x → x0
x → x0
x − x0
x − x0

lim+

x + 12 − ( x + 12 )
f ( x ) − f ( x0 )
x 2 − x02
= lim+
= lim+
= lim+ ( x + x0 ) = 2x
x → x0
x → x0 x − x
x − x0
x − x0
x → x0
0
0

x → x0

2

x → x0

f

x − x0
x − x0

x → x0−

(

a
a
=
x + x0 2 x0

)

.

2
0

( 0; +∞ )

.

Hàm số
có đạo hàm trên khoảng
khi và chỉ khi
a
f ( x ) − f ( x0 )
f ( x ) − f ( x0 )
⇔
= 2 x0
lim−
= lim+
x → x0
x → x0
2 x0
x − x0
x − x0
.
 a
khi 0 < x < x0

a
f ′( x) = 2 x
f ′ ( x0 ) =
= 2 x0
2 x
khi x ≥ x0
2 x0
f


Khi đó
và
nên hàm số
có đạo hàm liên
( 0; +∞ )
tục trên khoảng
.
10


Ta có

a
= 2 x0 ⇔ a = 4 x0 x0
2 x0

( 1)
x0

f

Mặt khác: Hàm số
liên tục tại
nên
( 1) ( 2 )
x0 = 2
a =8 2
Từ
và
suy ra

và
S = a + x0 = 2 1 + 4 2
Vậy
.

(

Câu 26.

x02 + 12 = a x0

( 2)

)

(THPT Chuyên Lương Thế Vinh - Hà Nội – Lần 2 năm 2017 – 2018) Cho hàm số
 x 2 + ax + b
khi x ≥ 2
y= 3
2
 x − x − 8 x + 10 khi x < 2
a 2 + b2
x=2
. Biết hàm số có đạo hàm tại điểm
. Giá trị của
bằng
20
17
18
25

A.
.
B.
.
C. .
D.
.
Lời giải
Chọn A
2
khi x ≥ 2
 x + ax + b
y= 3
2
 x − x − 8 x + 10 khi x < 2
Ta có
khi x ≥ 2
2 x + a
⇒ y′ =  2
3 x − 2 x − 8 khi x < 2
Hàm số có đạo hàm tại điểm

x = 2 ⇒ 4 + a = 0 ⇒ a = −4

Mặt khác hàm số có đạo hàm tại điểm
lim+ f ( x ) = lim− f ( x ) = f ( 2 )
x→2

x →2

Suy ra
⇒ 4 + 2a + b = −2 ⇒ b = 2

a + b = 20
2

Vậy

x=2

.

2

.

11

.

thì hàm số liên tục tại điểm

x=2

.