Toán 10 Bài 1 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG

CHUYÊN 3: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG
BÀI 1: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
Mục tiêu
 Kiến thức
+ Nhận biết được vectơ pháp tuyến, vectơ chỉ phương của đường thẳng.
+ Trình bày được cách viết phương trình tham số, phương trình tổng quát của đường thẳng.
+ Trình bày được điều kiện để hai đường thẳng song song, trùng nhau, cắt nhau hoặc vng góc.
 Kĩ năng
+

Viết được phương trình tham số, phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua một điểm
M ( x0; y0 ) và có phương cho trước hoặc đi qua hai điểm cho trước.

+

Tìm được tọa độ của vectơ pháp tuyến nếu biết tọa độ của vectơ chỉ phương của một đường
thẳng và ngược lại.

+

Biết cách chuyển đổi giữa phương trình tổng quát và phương trình tham số của đường thẳng.

+ Tính được khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng.
+ Tính được góc giữa hai đường thẳng.

Trang 1


I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM
Vectơ chỉ phương của đường thẳng
r

Vectơ u được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆ nếu
r
r r
u ≠ 0 và giá của u song song hoặc trùng với ∆ .
Nhận xét: Một đường thẳng có vơ số vectơ chỉ phương.
r
r
Nếu u là vectơ chỉ phương của ∆ thì ku( k ≠ 0) cũng là vectơ
chỉ phương của ∆ .
Vectơ pháp tuyến của đường thẳng
r
r r
Vectơ n được gọi là vectơ pháp tuyến của đường thẳng nếu u ≠ 0 và
r
giá của n vng góc với ∆ .
Nhận xét: Một đường thẳng có vơ số vectơ pháp tuyến.
r
r
Nếu n là vectơ pháp tuyến của ∆ thì kn( k ≠ 0) cũng vectơ pháp
tuyến của ∆ .
Liên hệ giữa vectơ chỉ phương, hệ số góc, vectơ pháp tuyến của một đường thẳng
r
r
Cho đường thẳng ∆ với u = ( u1;u2 ) ,n = ( n1;n2 ) ;k lần lượt là vectơ chỉ
phương, vectơ pháp tuyến và hệ số góc của ∆ .
r r
rr
. = 0 ⇔ u1.n1 + u2.n2 = 0 .
Nhận xét 1: u ⊥ n ⇔ un
Nhận xét 2: k =

u2
n
=− 1.
u1
n2

Các dạng phương trình đường thẳng

r
Cho đường thẳng ∆ đi qua điểm M ( x0; y0 ) và nhận u = ( u1;u2 )
r
làm vectơ chỉ phương; n = ( a;b) làm vectơ pháp tuyến.
1. Phương trình tham số của đường thẳng
 x = x0 + tu1
Phương trình tham số của đường thẳng ∆ là 
.
 y = y0 + tu2
2. Phương trình tổng quát của đường thẳng
Phương trình tổng quát của đường thẳng ∆ có dạng ax + by + c = 0 , trong đó c = −ax0 − by0 .
3. Một số trường hợp đặc biệt
Cho đường thẳng ∆ cắt Ox; Oy lần lượt tại M ( a0;0) ;N ( 0;b0 ) , trong đó a0.b0 ≠ 0. Khi đó ta có phương
trình đường thẳng theo đoạn chắn là

x y
+ = 1.
a0 b0

Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng
Trang 2

Cho hai đường thẳng d : ax + by + c = 0 và d': a' x + b' y + c' = 0 .
 ax + by + c = 0
( I)
Ta xét hệ phương trình 
 a' x + b' y + c' = 0
+ Hệ ( I ) vô nghiệm ⇔ d / /d'
+ Hệ ( I ) vô số nghiệm ⇔ d ≡ d'
+ Hệ ( I ) có nghiệm duy nhất ⇔ d cắt d’.
Góc giữa hai đường thẳng

ur
uu
r
Góc giữa hai đường thẳng ∆1 và ∆ 2 có vectơ pháp tuyến n1 = ( a1;b1 ) và n2 = ( a2;b2 ) được tính theo

cơng thức: cos( ∆1,∆ 2 )

ur uu
r
n1.n2
ur uu
r
= cos n1,n2 = ur uu
r =
n1 . n2

(

)

a1a2 + bb
1 2
a12 + b12 . a22 + b22

Chú ý: Góc giữa hai đường thẳng ln là góc nhọn hoặc vng nên khi tính cơsin của góc giữa hai đường
thẳng ta cần lấy giá trị tuyệt đối cơsin góc giữa hai vectơ chỉ phương (hoặc pháp tuyến).
Khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng

(

)

2
2
Khoảng cách từ một điểm M ( x0; y0 ) đến đường thẳng ∆ : ax + by + c = 0 a + b > 0 được tính theo

cơng thức: d( M,∆ ) =

ax0 + by0 + c
a2 + b2

.

Mở rộng: Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song:
Cho

∆1 : ax + by + c = 0;∆ 2 : ax + by + c' = 0. Khoảng cách giữa hai đường thẳng

d( ∆1,∆ 2 ) =

∆1,∆ 2

là:

c − c'
a2 + b2

HỆ THỐNG HÓA KIẾN THỨC
Đường thẳng ∆

Trang 3


II. CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1: Xác định các yếu tố của đường thẳng khi biết phương trình đường thẳng
Bài tốn 1: Phương trình được cho ở dạng tổng qt
Phương pháp giải

(

)

2
2
Cho đường thẳng ∆ : ax + by + c = 0 a + b ≠ 0

Ví dụ. Cho đường thẳng ∆ : 2x + 3y + 1 = 0.
a) Xác định một vectơ chỉ phương là một vectơ

pháp tuyến của đường thẳng.
b) Xác định điểm thuộc đường thẳng có hồnh độ
là 3.

Hướng dẫn giải
+ Đường thẳng có một vectơ pháp tuyến là a) Một vectơ pháp tuyến của đường thẳng là

Trang 4


r
r
n = ( a;b) , một vectơ chỉ phương là u = ( − b;a) .

r
n = ( 2;3)

Chú ý:

Một vectơ chỉ phương của đường thẳng là
r
u = ( −3;2)

r
Các vectơ chỉ phương của ∆ là ku( k ≠ 0) .
r
Các vectơ pháp tuyến của ∆ là kn( k ≠ 0) .
+ Đường thẳng đi qua điểm M ( x0; y0 ) thỏa mãn
ax0 + by0 + c = 0
a

+ Hệ số góc của đường thẳng là k = − .
b

b) Gọi M ( 3; y0 ) là điểm thuộc đường thẳng ∆ . Khi
7
đó ta có: 2.3+ 3y0 + 1= 0 ⇔ y0 = − .
3
Vậy

điểm

7

M  3;− ÷
3


thuộc

đường

thẳng

∆ : 2x + 3y + 1 = 0.
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Cho đường thẳng d : 7x + 14y + 13 = 0. Vectơ nào sau đây là vectơ pháp tuyến của d?
r
r
r
r

A. n = ( −1;2)
B. n = ( 14;7)
C. n = ( −2;−4)
D. n = ( −14;7)
Hướng dẫn giải

r
Một vectơ pháp tuyến của đường thẳng d : 7x + 14y + 13 = 0 là n = ( 7;14) . Do đó đường thẳng d nhận
r
kn( k ≠ 0) làm vectơ pháp tuyến.
r
 −2 −2  −2 r
n nên n = ( −2;−4) là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng d.
Ta thấy ( −2;−4) =  .7; .14÷ =
7
 7
 7
Chọn C.
Ví dụ 2. Cho đường thẳng ∆ : 2x + y − 5 = 0
a) Xác định một vectơ chỉ phương của đường thẳng có hoành độ là 4.
b) Biểu diễn các điểm thuộc đường thẳng có hồnh độ là t.
c) Xác định điểm trên đường thẳng ∆ cách gốc tọa độ một khoảng bằng

5.

Hướng dẫn giải

uu
r
uu

r
a) Đường thẳng có một vectơ pháp tuyến là n0 = ( 2;1) nên có một vectơ chỉ phương là u0 = ( −1;2)
uu
r
Do đó các vectơ chỉ phương của đường thẳng có dạng ku0 = ( − k;2k) ≠ 0.
Vậy vectơ chỉ phương cần tìm là ( 4;−8)
b) Các điểm thuộc đường thẳng ∆ : 2x + y − 5 = 0 có hồnh độ t là ( t;5− 2t) .
c) Theo câu b ta có M ( t;5− 2t) ∈ ∆ nên
OM =

( t − 0)

2

+ ( 5− 2t − 0) = 5 ⇔ 5t2 − 20t + 20 = 0 ⇔ t = 2
2

Vậy điểm cần tìm là: M ( 2;1)
Trang 5


Bài tốn 2. Phương trình được cho ở dạng tham số, chính tắc
Phương pháp giải
 x = 1+ 2t
Ví dụ. Cho đường thẳng d : 
 y = 2 + 3t

 x = x0 + tu1
Cho đường thẳng ∆ : 
 y = y0 + tu2

a) Xác định một vectơ chỉ phương, một vectơ
pháp tuyến của đường thẳng.
b) Xác định hệ số góc của đường thẳng.
r
+ Đường thẳng có một vectơ chỉ phương là u = ( u1;u2 )
r
và một vectơ pháp tuyến là n = ( −u2;u1 ) .

Hướng dẫn giải
a) Một vectơ chỉ phương của đường thẳng là
r
u = ( 2;3)
Một vectơ pháp tuyến của đường thẳng là
r
n = ( −3;2)

u2
+ Hệ số góc của đường thẳng là k =
u1
+ Đường thẳng đi qua điểm M ( x0; y0 ) .

b) Hệ số góc của đường thẳng là k =

+ Với mỗi giá trị của t thay vào phương trình tham số ta

3
.
2

được tọa độ của một điểm thuộc đường thẳng.
Ví dụ mẫu
 x = 3− 2t
( t∈ ¡
Ví dụ. Cho đường thẳng d : 
 y = −4 + t

)

a) Xác định điểm trên trục hoành thuộc đường thẳng.
b) Xác định điểm thuộc đường thẳng d có hoành độ lớn gấp hai lần tung độ.
Hướng dẫn giải
a) Gọi điểm M ( x0;0) là điểm trên trục hoành và thuộc đường thẳng d.
 x0 = 3− 2t  x0 = 3− 2.4
⇔
⇒ x0 = −5.
Khi đó d : 
0 = −4 + t
t = 4
Vậy điểm cần tìm là M ( −5;0)
b) Giả sử điểm N ( 3− 2t0;−4 + t0 ) thuộc đường thẳng d và có hồnh độ lớn gấp hai lần tung độ.
Khi đó 3− 2t0 = 2( −4 + t0 ) ⇔ 11= 4t0 ⇔ t0 =

11
.
4

 5 5
Vậy điểm cần tìm là N  − ;− ÷.
 2 4

Bài tập tự luyện dạng 1
BÀI TẬP CƠ BẢN
Câu 1: Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng ∆ có phương trình tổng qt là 16x + 8y + 2019 = 0 .
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
Trang 6


r
A. ∆ có vectơ pháp tuyến là n = ( 16;8)
C. ∆ có hệ số góc k =

r
B. ∆ có vectơ chỉ phương là n = ( −1;−2)
2019 

D. ∆ đi qua điểm M  0;−
.
8 ÷



1
2

x = 2+ t
( t ∈ ¡ ) . Hệ số góc của đường thẳng d là:
Câu 2: Cho đường thẳng d có phương trình 
 y = 3− 2t
B. −

A. −2

1
2

C.

2
3

D.

3
2

Câu 3: Đường thẳng ∆ vng góc với đường thẳng AB, với A( −2;1) và B( 4;3) . Đường thẳng ∆ có một
vectơ chỉ phương là:
r
A. a = ( 3;1)

r
B. d = ( 1;3)

r
C. b = ( 3;−1)

r
D. c = ( 1;−3)

Câu 4: Cho đường thẳng d : 2x + 3y − 4 = 0. Vectơ nào sau đây là vectơ pháp tuyến của d?

r
r
r
r
A. n = ( 2;3)
B. n = ( 3;2)
C. n = ( 3;−2)
D. n = ( −3;−2)
Câu 5: Cho tam giác ABC với A( 2;4) ; B( 2;1) ;C ( 3;0) . Đường thẳng chứa trung tuyến AM của tam giác
ABC nhận vectơ nào sau đây là vectơ chỉ phương?
A. ( 2;14)

B. ( −1;7)

C. ( 14;−2)

D. ( −7;1)

 x = 2 − 3t
Câu 6: Cho đường thẳng ( d) : 
. Giá trị của m để đường thẳng d đi qua điểm A( −1;−3) là:
 y = 1− 4mt
A. −1

B. 1.

D. −2

C. 2.

 x = 2 + 3t
Câu 7: Cho ( d) : 
. Điểm nào sau đây không thuộc ( d) ?
 y = 5− 4t
A. A( 5;3)

B. B( 2;5)

C. C ( −1;9)

D. D( 8;−3)

 x = 2 − 3t
7

Câu 8: Cho đường thẳng ( d) : 
và điểm A ;−2÷. Điểm A ∈ ( d) ứng với giá trị nào của t?
2

 y = −1+ 2t
A. t =

3
2

B. t =

1
2

C. t = −

1
2

D. t = 0

r
Câu 9: Đường thẳng ( d) có vectơ pháp tuyến n = ( a;b) . Mệnh đề nào sau đây sai?
ur
A. u1 = ( b;−a) là vectơ chỉ phương của ( d) .
uu
r
B. u2 = ( −b;a) là vectơ chỉ phương của ( d) .
r
C. n = ( ka;kb) ,k ≠ 0 là vectơ pháp tuyến của ( d) .
D. ( d) có hệ số góc k =

−b
( a ≠ 0) .
a

 x = 2 + 3t
Câu 10: Cho ( d) : 
. Điểm M ∈ ( d) cách A( 0;1) một đoạn 2 2 là:
 y = 3+ t
 14 7 
A. M1 ( 2;3) , M2  ; ÷
 5 5

 −14 7 
; ÷
B. M1 ( 2;3) , M2 
 5 5
Trang 7


 −14 7 
; ÷
C. M1 ( −2;3) , M2 
 5 5

 14 7 
D. M1 ( −2;3) , M2  ; ÷
 5 5

Câu 11: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A( 2;1) và đường thẳng ∆ : x − 2y + 5 = 0 . Điểm M thuộc
đường thẳng ∆ sao cho AM = 10 là:
A. M1 ( −1;2) , M2 ( 4;3)

B. M1 ( −1;2) , M2 ( 3;4)

C. M1 ( 1;2) , M2 ( 3;4)

D. M1 ( 1;2) , M2 ( 4;3)

Bài tập nâng cao
 x = 1+ t
Câu 12: Cho hai điểm A( −1;2) , B( 3;1) và đường thẳng ∆ : 
. Tọa độ điểm C thuộc ∆ để tam

y = 2+ t
giác ACB cân tại C là:
 7 13
A.  ; ÷
6 6 

 7 13
B.  ;− ÷
6 6 

 13 7 
C.  ; ÷
 6 6

 7 13
D.  − ; ÷
 6 6

Câu 13: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho ∆ABC có A( 1;2) , B( 4;−2) ,C ( −3;5) . Một vectơ chỉ
phương của đường phân giác trong của góc A là:
r
r
A. u = ( 2;1)
B. u = ( 1;−1)

r
C. u = ( 1;2)

r
D. u = ( 1;1)

Câu 14: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm M ( 4;1) , đường thẳng d qua M, d cắt tia Ox, Oy lần lượt
tại A( a;0) , B( 0;b) sao cho tam giác ABO (O là gốc tọa độ) có diện tích nhỏ nhất. Giá trị a − 4b bằng:
A. −14

B. 0.

D. −2

C. 8.

x y
+ = 1 với a ≠ 0,b ≠ 0 , đi qua điểm M ( −1;6) và tạo với các tia Ox, Oy một
a b
tam giác có diện tích bằng 4. Giá trị của S = a + 2b là:
Câu 15: Đường thẳng d :

A. S = 6

B. S = 10

C. S =

−5+ 7 7
3

D. S = −

74
3

Dạng 2: Lập phương trình đường thẳng
Bài tốn 1: Lập phương trình tham số, phương trình chính tắc của đường thẳng
Phương pháp giải
Để viết phương trình tham số của một đường Ví dụ. Viết phương trình tham số và chính tắc của
thẳng ∆ , ta cần xác định:
+ Một điểm M ( x0; y0 ) ∈ ∆

đường thẳng ∆ đi qua điểm M ( −1;3) và nhận
r
u = ( 2;−1) làm một vectơ chỉ phương.

+ Một vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆ là
Hướng dẫn giải
r
r
u = ( a;b)
Ta có M ( −1;3) ∈ ∆;u = ( 2;−1) là vectơ chỉ phương
Khi đó, phương trình tham số của đường thẳng ∆
của ∆ . Khi đó, phương trình tham số của đường
 x = x0 + at
( t∈ ¡
là 
y
=
y
+
bt

0

)

 x = −1+ 2t
( t∈ ¡
thẳng ∆ là 
 y = 3− t

)
Trang 8


Nếu a.b ≠ 0 thì đường thẳng ∆ có phương trình Phương trình chính tắc của đường thẳng ∆ là
chính tắc là ∆ :

x − x0 y − y0
=
.
a
b

x + 1 y− 3
=
2
−1

Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Viết phương trình tham số, chính tắc (nếu có) của đường thẳng d trong các trường hợp sau:
r
a) d đi qua A( 1;−2) và nhận u = ( −1;0) làm vectơ chỉ phương.

b) d đi qua hai điểm M ( −3;1) và N ( 2;−2)
c) d đối xứng với d': x + 2y − 16 = 0 qua I ( 1;−3) .
 x = 2 − 3t
( t∈ ¡ ) .
d) d đi qua điểm B( 4;−3) và song song với đường thẳng d': 
 y = 2t
Hướng dẫn giải

r
a) Ta có A( 1;−2) ∈ d và u = ( −1;0) là vectơ chỉ phương của d.
 x = 1− t
( t∈ ¡ ) .
Khi đó, phương trình tham số của đường thẳng d là: 
 y = −2
r
Vì u = ( −1;0) là vectơ chỉ phương của d nên d khơng có phương trình chính tắc.
uuuur
b) Ta có MN = ( 5;−3) là vectơ chỉ phương của d và M ( −3;1) ∈ d .
 x = −3+ 5t
( t∈ ¡ ) .
Khi đó, phương trình tham số của đường thẳng d là 
 y = 1− 3t
Phương trình chính tắc của d là

x + 3 y− 1
=
.
5
−3

c) Chọn E '( 0;8) ∈ d' . Gọi E ( xE ; yE ) là điểm đối xứng của E’ qua I.
⇒ I là trung điểm của EE’ và E ∈ d (vì d đối xứng với d’ qua I).
uur uuur
 x − 1= 1− 0
x = 2
⇒ IE = E 'I ⇔  E
⇔ E
⇒ E ( 2;−14)
 yE + 3 = −3− 8  yE = −14
Tương tự chọn F '( 16;0) ∈ d' . Khi đó F ( −14;−6) ∈ d .
 x = 2 − 2t
Vậy phương trình tham số của đường thẳng d là 
 y = −14 + t
Phương trình chính tắc của đường thẳng d là

x − 2 y + 14
=
.
−2
1

uur
 x = 2 − 3t
( t ∈ ¡ ) ⇒ ud' = ( −3;2) là vectơ chỉ phương của d’ .
d) Ta có: d': 
 y = 2t
uur
⇒ ud ' cũng là vectơ chỉ phương của d (vì d / / d' ).
Trang 9

 x = 4 − 3t
( t∈ ¡
Vì B( 4;−3) ∈ d nên phương trình tham số của đường thẳng d là 
 y = −3+ 2t
Phương trình chính tắc của d là:

)

x − 4 y+ 3
=
.
−3
2

Ví dụ 2. Cho tam giác ABC có A( −2;1) , B( 1;−5) và C ( 2;3)
a) Viết phương trình đường thẳng chứa các cạnh của ∆ABC .
b) Viết phương trình đường thẳng chứa đường trung tuyến AM, BN của ∆ABC .
c) Viết phương trình đường thẳng AD là đường phân giác trong góc A của ∆ABC ( D ∈ BC ) .
d) Viết phương trình đường thẳng DG với G là trọng tâm của ∆ABC .
Hướng dẫn giải
uuu
r
uuu
r
a) Ta có AB = ( 3;−6) nên chọn uAB = ( 1;−2) là vectơ chỉ phương của đường thẳng AB.
 x = −2 + t
( t∈ ¡ ) .
Vậy phương trình tham số của đường thẳng AB là 
 y = 1− 2t

uuur
uuur
Ta có AC = ( 4;2) nên chọn uAC = ( 2;1) là vectơ chỉ phương của AC.
Vậy phương trình tham số của đường thẳng

AC là

 x = −2 + 2t
( t∈ ¡ )

 y = 1+ t
uuur
Ta có BC = ( 1;8) là vectơ chỉ phương của BC.
Vậy phương trình tham số của đường thẳng
 x = 1+ t
( t∈ ¡

 y = −5+ 8t

BC là

)

xB + xC 1+ 2 3

=
=
 xM =
2
2

2 ⇒ M  3;−1
b) Vì M là trung điểm của BC nên 
 2 ÷.


 y = yB + yC = −5+ 3 = −1
 M
2
2
uuur  7
uuur

Do đó AM =  ;−2÷ nên chọn uAM = ( 7;−4) là vectơ chỉ phương của đường thẳng AM.
2

 x = −2 + 7t
( t∈ ¡ )
Vậy phương trình đường trung tuyến AM là 
 y = 1− 4t
uuur
Ta có N ( 0;2) là trung điểm của AC ⇒ BN = ( −1;7) là vectơ chỉ phương của đường thẳng BN.
 x = −t
( t∈ ¡
Vậy phương trình đường trung tuyến BN là 
 y = 2 + 7t

)

c) Cách 1:
Trang 10

Gọi D( xD ; yD ) là chân đường phân giác trong kẻ từ A đến BC của ∆ABC .
Ta có BD =

AB
.DC (tính chất đường phân giác trong tam giác).
AC

uuur AB uuur
⇒ BD =
.DC .
AC
Mà AB =

( 1+ 2)

2

+ ( −5− 1) = 3 5 và AC =
2

( 2 + 2)

2

+ ( 3− 1) = 2 5 .
2

uuur AB uuur 3 5 uuur 3 uuur

.DC =
.DC = .DC .
Nên BD =
AC
2
2 5
3
8


x
−
1
=
2
−
x
x
=
(
)
D
D
D


2
5 ⇒ D 8; −1
⇔
Suy ra 

5 5 ÷


 y + 5 = 3( 3 − y )
 y = −1
D
D
 D

2

5
uuur  18 −6 
uuur
Khi đó AD =  ; ÷ nên chọn uAD = ( 3;−1) là vectơ chỉ phương của AD.
 5 5
 x = −2 + 3t
( t∈ ¡
Vậy phương trình đường phân giác trong AD của ∆ABC là 
 y = 1− t

)

Cách 2:

uuu
r
uuur
ur AB  3 −6   1 −2 
uu

r AC  4
2   2 1 
=
;
=
; ÷ và u2 =
=
;
=
; ÷.
Đặt u1 =
÷
AB  3 5 3 5   5 5 
AC  2 5 2 5 ÷
  5 5
r ur uu
r  3 −1 
; ÷.
Khi đó một vectơ chỉ phương của đường phân giác trong AD là u = u1 + u2 = 
 5 5
uuur
Vậy đường thẳng chứa đường phân giác trong AD đi qua điểm A( −2;1) và nhận uAD = ( 3;−1) làm vectơ
 x = −2 + 3t
( t∈ ¡ ) .
chỉ phương có phương trình là 
 y = 1− t
xA + xB + xC −2 + 1+ 2 1

=
=

 xG =
3
3
3
d) Vì G là trọng tâm của tam giác nên 
y
+
y
+
y
1
−
5
+
3
1
B
C
y = A
=
=−
 G
3
3
3
 1 −1
⇒ G ; ÷
3 3 
uuur  −19 −2 
uuur

⇒ DG = 
; ÷ nên chọn uDG = ( 19;2) là vectơ chỉ phương của DG.
 15 15 
1

 x = 3 + 19t
( t∈ ¡
Vậy phương trình đường thẳng DG là 
 y = −1 + 2t

3

)
Trang 11


Ví dụ 3. Cho hình bình hành ABCD có A( −3;−1) , B( −1;2) và C ( 4;2) . Viết phương trình các cạnh của
hình bình hành ABCD.
Hướng dẫn giải
uuu
r
Ta có AB = ( 2;3) là vectơ chỉ phương của đường thẳng AB.
 x = −3+ 2t
( t∈ ¡ )
Vậy phương trình đường thẳng chứa cạnh AB là 
 y = −1+ 3t
uuur
uuur
Ta có BC = ( 5;0) nên chọn uBC = ( 1;0) là vectơ chỉ phương của đường thẳng BC.
 x = −1+ t

( t∈ ¡ )
Vậy phương trình đường thẳng chứa cạnh BC là 
y = 2
uuu
r
Vì AB / /CD (ABCD là hình bình hành) nên AB là vectơ chỉ phương của đường thẳng CD.
 x = 4 + 2t
( t∈ ¡ )
Vậy phương trình đường thẳng chứa cạnh CD là 
 y = 2 + 3t
uuur
Ta có AD / / BC (ABCD là hình bình hành) nên uBC là vectơ chỉ phương của đường thẳng AD.
 x = −3+ t
( t∈ ¡
Vậy phương trình đường thẳng chứa cạnh AD là 
 y = −1

)

Bài toán 2: Lập phương trình tổng quát
Phương pháp giải
Để viết phương trình tổng quát của một đường thẳng ∆ , ta Ví dụ.
cần xác định:
+ Một điểm M ( x0; y0 ) ∈ ∆ .
r
+ Một vectơ pháp tuyến của đường thẳng ∆ là n = ( A; B) .
Khi đó, phương trình tổng quát của đường thẳng ∆ là
A( x − x0 ) + B( y − y0 ) = 0

a) Phương trình tổng quát của đường thẳng d

r
đi qua điểm M ( 1;4) và nhận n = ( 5;−1) làm
vectơ pháp tuyến là 5( x − 1) − ( y − 4) = 0
hay 5x − y − 1= 0 .

Nếu đường thẳng ∆ cắt trục Ox tại A( a;0) và cắt trục Oy b) Phương trình đường thẳng cắt hai trục tọa
độ lần lượt tại A( 2;0) và B( 0;−3) là
tại điểm B( 0;b) thì đường thẳng ∆ có phương trình đoạn
chắn là

x y
+
= 1.
2 −3

x y
+ = 1( a.b ≠ 0) .
a b
Ví dụ mẫu

Ví dụ 1. Lập phương trình tổng quát của đường thẳng d biết:
r
a) d đi qua điểm A( −2;1) và nhận n = ( 1;−3) là một vectơ pháp tuyến.
b) d đi qua điểm B( 0;−1) và có hệ số góc k =

1
.
2
Trang 12

c) d đi qua điểm C ( 3;2) và song song với đường thẳng d': 2x − y + 7 = 0.
x = 6− t
( t∈ ¡ ) .
d) d đi qua điểm D( −2;−2) và vng góc với đường thẳng d': 
 y = 2 + 2t
Hướng dẫn giải

r
a) Ta có A( −2;1) ∈ d và n = ( 1;−3) là vectơ pháp tuyến của d.
Vậy phương trình tổng quát của đường thẳng d là x + 2 − 3( y − 1) = 0 hay x − 3y + 5 = 0
1 r 1 
⇒ n =  ;−1÷ là vectơ pháp tuyến của d.
2
2 
ur
Khi đó ta chọn n' = ( 1;−2) là vectơ pháp tuyến của d.
b) Ta có k =

Lại có B( 0;−1) ∈ d nên phương trình tổng quát của đường thẳng d là x − 0 − 2( y + 1) = 0 hay
x − 2y − 2 = 0 .

uu
r uur
c) Vì d song song với đường thẳng d': 2x − y + 7 = 0 nên nd = nd' = ( 2;−1) là vectơ pháp tuyến của d’.
Lại có C ( 3;2) ∈ d nên phương trình tổng quát của đường thẳng d là 2( x − 3) − ( y − 2) = 0 hay
2x − y − 4 = 0.
r
x = 6− t
( t ∈ ¡ ) nên u = ( −1;2) là vectơ chỉ phương của d’.

d) Ta có d': 
 y = 2 + 2t
r
⇒ u = ( −1;2) là vectơ pháp tuyến của d (vì d ⊥ d' ).
Lại có D( −2;−2) nên phương trình tổng quát của đường thẳng d là − ( x + 2) + 2( y + 2) = 0 hay
− x + 2y + 2 = 0.
Ví dụ 2. Cho tam giác ABC có A( −2;3) , B( 2;−1) và C ( −4;−1)
a) Viết phương trình đường thẳng chứa các đường cao của ∆ABC . Tìm tọa độ trực tâm của ∆ABC .
b) Viết phương trình các đường trung trực của ∆ABC . Tìm tọa độ tâm đường trịn ngoại tiếp của ∆ABC .
c) Viết phương trình đường thẳng chứa các cạnh của ∆ABC .
d) Viết phương trình đường thẳng qua A và song song với BC.
Hướng dẫn giải
a) Gọi H là trực tâm của tam giác ABC.
uuu
r
+ Ta có AB = ( 4;−4) là vectơ pháp tuyến của đường cao CH (vì AB ⊥ CH ).
uuur
Chọn nCH = ( 1;−1) là vectơ pháp tuyến của CH.
Với C ( −4;−1) ∈ CH thì phương trình đường cao CH là

( x + 4) − ( y + 1) = 0 hay

x − y + 3 = 0.

Trang 13


uuur
+ Ta có AC = ( −2;−4) là vectơ pháp tuyến của đường cao BH (vì AC ⊥ BH )
uuur

Chọn nBH = ( 1;2) là vectơ pháp tuyến của BH.
Với B( 2;−1) ∈ BH thì phương trình đường cao BH là x − 2 + 2( y + 1) = 0 hay x + 2y = 0 .
uuur
+ Ta có BC = ( −6;0) là vectơ pháp tuyến của đường cao AH (vì BC ⊥ AH )
uuur
Chọn nAH = ( 1;0) là vectơ pháp tuyến của AH.
Với A( −2;3) ∈ AH thì phương trình đường cao AH là x+ 2 = 0 .
x + 2 = 0
 x = −2
⇔
+ Ta có H = AH ∩ CH nên tọa độ trực tâm H là nghiệm của hệ phương trình: 
x − y+ 3= 0 y = 1
Vậy H ( −2;1) .
b)

uuur
+ Đường trung trực của đoạn thẳng BC đi qua trung điểm BC và nhận BC làm vectơ pháp tuyến.
uuur
Ta có M ( −1;−1) là trung điểm của BC và BC = ( −6;0) là vectơ pháp tuyến của đường trung trực của
r
đoạn thẳng BC hay n = ( 1;0) là vectơ pháp tuyến của đường trung trực của BC. Vậy phương trình đường
trung trực của BC là x+ 1= 0

uuur
+ Đường trung trực của đoạn thẳng AC đi qua trung điểm AC và nhận AC làm vectơ pháp tuyến.
uuur
Ta có N ( −3;1) là trung điểm của AC và AC = ( −2;−4) là vectơ pháp tuyến của đường trung trực của
ur
đoạn thẳng AC hay n' = ( 1;2) là vectơ pháp tuyến của đường trung trực của AC.
Vậy phương trình đường trung trực của AC là x + 3+ 2( y − 1) = 0 hay x + 2y + 1= 0 .

uuu
r
+ Đường trung trực của đoạn thẳng AB đi qua trung điểm AB và nhận AB làm vectơ pháp tuyến.
uuu
r
Ta có P ( 0;1) là trung điểm của AB và AB = ( 4;−4) là vectơ pháp tuyến của đường trung trực của đoạn
uu
r
thẳng AB hay n'' = ( 1;−1) là vectơ pháp tuyến của đường trung trực của AB.
Vậy phương trình đường trung trực của AB là x − 0 − ( y − 1) = 0 hay x − y + 1 = 0.
+ Tâm đường tròn ngoại tiếp của ∆ABC là giao điểm của ba đường trung trực của các cạnh.
 x + 1= 0
 x = −1
⇔
Vậy tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC là nghiệm của hệ phương trình 
.
 x − y + 1= 0  y = 0
Vậy I ( −1;0) là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC .
uuu
r
uuur
c) + Ta có AB = ( 4;−4) là vectơ chỉ phương của AB ⇒ nAB = ( 1;1) là vectơ pháp tuyến của AB.
Với A( −2;3) ∈ AB thì phương trình tổng quát của đường thẳng chứa cạnh AB là x + 2 + y − 3 = 0 hay
x + y − 1 = 0.
Trang 14


uuur
uuur
+ Ta có AC = ( −2;−4) là vectơ chỉ phương của AC ⇒ nAC = ( 2;1) là vectơ pháp tuyến của AC.

Với A( −2;3) ∈ AC thì phương trình tổng quát của đường thẳng chứa cạnh AC là 2( x + 2) + y − 3 = 0 hay
2x + y + 1 = 0 .
uuur
uuur
+ Ta có BC = ( −6;0) là vectơ chỉ phương của BC ⇒ nBC = ( 0;1) là vectơ pháp tuyến của BC.
Với C ( −4;−1) ∈ BC thì phương trình tổng quát của đường thẳng chứa cạnh BC là 0( x + 4) + y + 1 = 0
hay y+ 1 = 0.

uuur
d) Đường thẳng qua A( −2;3) và song song với BC sẽ nhận nBC = ( 0;1) làm vectơ pháp tuyến.
Vậy phương trình đường thẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán là: 0( x + 2) + y − 3 = 0 hay y− 3 = 0.
Bài tập tự luyện dạng 2
r
Câu 1: Phương trình đường thẳng ( d) đi qua M ( −2;3) và có vectơ chỉ phương u = ( 1;−4) là:
 x = −2 + 3t
( t∈ ¡
A. 
 y = 1− 4t

)

 x = −2 + t
( t∈ ¡
B. 
 y = 3− 4t

)

 x = 1− 2t
( t∈ ¡

C. 
 y = −4+ 3t

)

 x = 3− 2t
( t∈ ¡
D. 
 y = −4 + t

)

r
Câu 2: Phương trình chính tắc của đường thẳng ∆ đi qua M ( 1;−3) và nhận vectơ u = ( 1;2) làm vectơ
chỉ phương là:
A. ∆ : 2x − y − 5 = 0
 x = 1+ t
( t∈ ¡
C. ∆ : 
 y = −3+ 2t

)

B. ∆ :

x − 1 y+ 3
=
1
2

D. ∆ :

x + 1 y− 3
=
1
2

r
Câu 3: Đường thẳng đi qua A( −1;2) và nhận n = ( 1;−2) làm vectơ pháp tuyến có phương trình là:
A. x − 2y − 5 = 0

B. 2x + y = 0

C. x − 2y − 1= 0

D. x − 2y + 5 = 0
r
Câu 4: Phương trình tham số của đường thẳng ∆ đi qua M ( 1;−3) và nhận vectơ n = ( 1;2) làm vectơ
pháp tuyến là:
 x = 1+ t
( t∈ ¡
B. ∆ : 
 y = −3+ 2t

A. ∆ : 2x + y + 5 = 0
 x = 1− 2t
( t∈ ¡
C. ∆ : 
 y = −3 + t

)

D. ∆ :

)

x − 1 y+ 3
=
−1
1

Câu 5: Cho đường thẳng ( d) : x − 2y + 1 = 0 . Đường thẳng ( ∆ ) đi qua M ( 1;−1) và song song với ( d)
có phương trình là:
A. x − 2y − 3 = 0

B. 2x + y − 1= 0

C. x − 2y + 3 = 0

D. x + 2y + 1 = 0

Câu 6: Cho tam giác ABC có A( −2;0) , B( 0;3) ,C ( 3;1) . Đường thẳng đi qua B và song song với AC có
phương trình là:
Trang 15


A. 5x − y + 3 = 0

B. 5x + y − 3 = 0

C. x + 5y − 15 = 0

D. x − 5y + 15 = 0

Câu 7: Phương trình tham số của đường thẳng ( d) đi qua điểm M ( −2;3) và vng góc với đường thẳng

( d') :3x − 4y + 1= 0 là:
 x = 3− 2t
( t∈ ¡
A. 
 y = −4 + 3t

)

 x = −2 + 3t
( t∈ ¡
B. 
 y = 3− 4t

)

C.

x + 2 y− 3
=
3
−4

D. 4x + 3y − 1 = 0

Câu 8: Phương trình tổng quát của đường thẳng ∆ đi qua điểm M ( −1;2) và có hệ số góc k = 3 là:
A. 3x − y − 1= 0

B. 3x − y − 5 = 0

C. x − 3y + 5 = 0

D. 3x − y + 5 = 0

Câu 9: Phương trình tổng quatr của đường thẳng đi qua hai điểm A( −2;4) , B( −6;1) là:
A. 3x + 4y − 10 = 0

B. 3x − 4y + 22 = 0

C. 3x − 4y + 8 = 0

D. 3x − y − 22 = 0

Câu 10: Cho điểm A( 1;−1) , B( 3;−5) . Phương trình tham số đường trung trực của đoạn thẳng AB là:
 x = 2 + 2t
( t∈ ¡
A. 
 y = −3 + t

 x = 2 + 2t
( t∈ ¡
B. 
 y = 1− 3t

)

x = 2+ t
( t∈ ¡
C. 
 y = −3− 2t

)

 x = 1+ 2t
( t∈ ¡
D. 
 y = −2 − 3t

)

)

Câu 11: Cho tam giác ABC có A( 2;−1) , B( 4;5) ,C ( −3;2) . Phương trình tổng quát của đường cao AH
trong tam giác ABC là:
A. 3x − 7y + 11 = 0

B. 7x + 3y − 11 = 0

C. 3x − 7y − 13 = 0

D. 7x + 3y + 13 = 0

Câu 12: Cho tam giác ABC có A( −1;−2) , B( 0;2) ,C ( −2;1) . Đường trung tuyến BM của ∆ABC có
phương trình là:
A. 5x − 3y + 6 = 0

B. 3x − 5y + 10 = 0

C. x − 3y + 6 = 0

D. 3x − y − 2 = 0

 x = −1+ 2t
Câu 13: Phương trình tham số của đường thẳng d là 
. Phương trình nào sau đây là phương
 y = −2 − 3t
trình tổng quát của đường thẳng d?
A. 3x − 2y + 7 = 0

B. 3x + 2y + 7 = 0

C. 3x + 2y − 7 = 0

D. 3x + 2y + 1 = 0

Câu 14: Cho đường thẳng ( d) :3x + 5y − 15 = 0 . Phương trình nào sau đây khơng phải là một dạng khác
của ( d) ?
x y
A. + = 1
5 3

3
B. y = − x + 3
5

x = t
( t∈ ¡
C. 
y = 5

)

5

 x = 5− t
D. 
3 ( t∈ ¡
 y = t

)

Câu 15: Cho hai điểm P ( 1;6) và Q( −3;−4) , đường thẳng ∆ : 2x − y − 1= 0. Điểm N thuộc ∆ sao cho
NP − NQ lớn nhất là
A. N ( 3;5)

B. N ( 1;1)

C. N ( −1;−3)

D. N ( −9;−19)

Dạng 3: Vị trí tương đối của hai đường thẳng
Phương pháp giải
Trang 16

Để xét vị trí tương đối của hai đường thẳng
d : ax + by + c = 0 và d': a' x + b' y + c' = 0 ta xét hệ
 ax + by + c = 0
( I)
phương trình 
 a' x + b' y + c' = 0
+ Hệ ( I ) vô nghiệm ⇔ d / /d'
+ Hệ ( I ) vô số nghiệm ⇔ d ≡ d'

Ví dụ. Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng

+ Hệ ( I ) có nghiệm duy nhất ⇔ d cắt d’.

sau:

Khi đó nghiệm của hệ là tọa độ giao điểm của d và d’.
Với trường hợp a'.b'.c' ≠ 0. Sử dụng biện luận hệ hai
phương tình bậc nhất hai ẩn ta có kết quả sau:

a) d : 2x − 3y = 0 vµ d':3x − y + 2 = 0
b) d : x + y − 2 = 0 vµ d': 2x + 2y − 1 = 0
c) d : x − y + 2 = 0 vµ d': −2x + 2y − 4 = 0
Hướng dẫn giải
2 −3
a) Ta có ≠
nên d cắt d’.
3 −1

+ Nếu

a b
≠
thì hai đường thẳng d và d’ cắt nhau.
a' b'

+ Nếu

a b c
= ≠
thì d / / d' .
a' b' c'

b) Ta có

1 1 −2
= ≠
nên d / / d' .
2 2 −1

+ Nếu

a b c
= = thì d ≡ d' .
a' b' c'

c) Ta có

1 −1 2
=

=
nên d ≡ d' .
−2 2 −4

Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng sau:
a) d1 : x + 2y − 2 = 0 vµ d2 : x + y − 1 = 0
 x = −1+ t
b) d1 :8x − 2y + 3 = 0 vµ d2 : 
( t∈ ¡ )
 y = 2 + 4t
 x = 1+ t
 x = −1− 2t
c) d1 : 
( t ∈ ¡ ) vµ d2 : 
( t∈ ¡
 y = −2 − t
 y = 2t

)

Hướng dẫn giải
a) Vì

1 2
≠ nên d1 cắt d2
1 1

 x = −1+ t
x + 1 y− 2

=
⇔ 4( x + 1) = y − 2 ⇔ 4x − y + 6 = 0 .
( t∈ ¡ ) ⇒
b) Ta có d2 : 
1
4
 y = 2 + 4t
Khi

8 −2 3
=
≠ nên d1 / /d2
4 −1 6

 x = 1+ t
x − 1 y+ 2
=
⇔ x + y + 1 = 0.
( t∈ ¡ ) ⇔
c) Ta có d1 : 
1
−1
 y = −2 − t
 x = −1− 2t
x+1 y
d2 : 
= ⇔ 2x + 2y + 2 = 0 ⇔ x + y + 1= 0 .
( t∈ ¡ ) ⇔
−2 2
 y = 2t

Trang 17


Vậy d1 ≡ d2 .
Ví dụ 2. Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng sau đây: ∆1 : x − 2y + 1 = 0 và
∆ 2 : −3x + 6y − 1 = 0 .
A. Song song.

B. Trùng nhau.

C. Vng góc nhau.

D. Cắt nhau nhưng khơng vng góc.

Hướng dẫn giải
 x − 2y + 1 = 0
Cách 1: Vì hệ phương trình 
vơ nghiệm nên hai đường thẳng đã cho song song.
 −3x + 6y − 1 = 0
ur
uu
r
Cách 2: Đường thẳng ∆1 có vectơ pháp tuyến n1 = ( 1;−2) và ∆ 2 có vectơ pháp tuyến n2 = ( −3;6) .
uu
r
ur
Hai đường thẳng ∆ 2,∆1 có n2 = −3n1 và 1 ≠ −1 nên hai đường thẳng này song song.
Chọn A.
Chú ý:

ur
uu
r
Cho đường thẳng ∆1 có vectơ pháp tuyến n1 và đường thẳng ∆ 2 có vectơ pháp tuyến n2 . Khi đó:
ur
uu
r
+ n1 = kn2; k ∈ ¡ và có một điểm chung (hoặc c1 = kc2 ) thì hai đường thẳng trùng nhau.
ur
uu
r
+ n1 = kn2; k ∈ ¡ và lấy một điểm bất kì của ∆1 , khơng thuộc ∆ 2 thì hai đường thẳng song song (hoặc
c1 ≠ kc2 )
ur
uu
r
+ n1 ≠ kn2; ∀k ∈ ¡ thì hai đường thẳng cắt nhau:
ur uu
r
Trong trường hợp hai đường thẳng cắt nhau nếu n1.n2 = 0 thì hai đường thẳng vng góc với nhau. Ta có
kết quả tương tự đối với hai vectơ chỉ phương.
Ví dụ 3. Xác định tọa độ giao điểm của hai đường thẳng: d1 : 4x + 3y − 18 = 0 vµ d2 :3x + 5y − 19 = 0
Hướng dẫn giải
 4x + 3y − 18 = 0  x = 3
⇔
Giải hệ phương trình: 
3x + 5y − 19 = 0  y = 2
Vậy hai đường thẳng đã cho cắt nhau tại điểm ( 3;2) .
Chọn A.
Chú ý: Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng chính là nghiệm của hệ phương trình bậc nhất hai ẩn.

Ví dụ 4. Cho đường thẳng d : ( m+ 2) x + ( m− 1) y − 3 = 0
a) Tìm m để d / / d1 : 2x − y + 1 = 0
b) Tìm m để d ⊥ d2 : x − 2y − 5 = 0
Hướng dẫn giải
−
3m= 0
 ( m+ 2) = 2( m− 1)
⇔
⇔ m= 0
a) Để d / / d1 thì 
 m− 1≠ 3
 m≠ 4
Trang 18


Vậy m= 0 thì d / / d1 .
uu
r uur
b) Để d ⊥ d1 thì nd.nd2 = 0 ⇔ 1.( m+ 2) − 2.( m− 1) = 0 ⇔ m= 4
Vậy m= 4 thì d ⊥ d2
Ví dụ 5. Cho hai đường thẳng d1 : ( m+ 1) x + 2my − 2 = 0 và d2 : 2mx + ( m+ 1) y − m− 1= 0 . Tìm m để:
a) d1 cắt d2 . Tìm tọa độ giao điểm của chúng.
b) d1 / /d2
c) d1 ≡ d2
d) d1 ⊥ d2
Hướng dẫn giải
( m+ 1) x + 2my − 2 = 0
Xét hệ phương trình 
, ta có:
2mx + ( m+ 1) y − m− 1= 0

D=

m+ 1 2m
2
= ( m+ 1) − 4m2 = −3m2 + 2m+ 1 = ( 1− m) ( 3m+ 1)
2m m+ 1

Dx =

2m
−2
= 2m( −m− 1) − ( −2) ( m+ 1) = −2m2 + 2 = 2( 1− m) ( m+ 1)
m+ 1 − m− 1

Dy =

− 2 m+ 1
2
2
= −2.2m+ ( m+ 1) = m2 − 2m+ 1= ( 1− m)
− m− 1 2m

 m≠ 1
1− m≠ 0

⇔
a) d1 cắt d2 ⇔ D ≠ 0 ⇔ ( 1− m) ( 3m+ 1) ≠ 0 ⇔ 
−1
3m+ 1 ≠ 0  m≠


3
Vậy m≠ 1 và m≠

−1
thì d1 cắt d2 .
3


 x =
Khi đó, tọa độ giao điểm của d1 và d2 là 
y =


Dx 2( m+ 1)
=
 2( m+ 1) 1− m 
D
3m+ 1
;
hay M 
÷
3m+ 1 3m+ 1
Dy 1− m

=
D 3m+ 1

 1− m= 0
( 1− m) ( 3m+ 1) = 0
D = 0

3m+ 1 = 0


3m+ 1 = 0 
−1


⇔ 1− m≠ 0 ⇔ m=
b) d1 / /d2 ⇔   Dx ≠ 0 ⇔  2( 1− m) ( m+ 1) = 0 ⇔ 
3
 D ≠ 0 
 1− m≠ 0
 m+ 1 ≠ 0
2
y



 ( 1− m) ≠ 0
  m+ 1≠ 0

Vậy m=

−1
thì d1 / /d2 .
3

( 1− m) ( 3m+ 1) = 0

c) d1 ≡ d2 ⇔ D = Dx = Dy = 0 ⇔ 2( 1− m) ( m+ 1) = 0 ⇔ 1− m= 0 ⇔ m= 1


2
( 1− m) = 0
Trang 19


Vậy m= 1 thì d1 ≡ d2 .
ur
d) Ta có n1 = ( m+ 1;2m) là vectơ pháp tuyến của d1 .
uu
r
n2 = ( 2mm
; + 1) là vectơ pháp tuyến của d2 .
ur uu
r
ur uu
r
 m= 0
 m= 0
d1 ⊥ d2 ⇔ n1 ⊥ n2 ⇔ n1.n2 = 0 ⇔ ( m+ 1) 2m+ 2m( m+ 1) = 0 ⇔ 4m( m+ 1) = 0 ⇔ 
⇔
 m+ 1 = 0  m= −1
Vậy m= 0 hoặc m= −1 thì d1 ⊥ d2 .
Chú ý:
D=

a b
= ab'− a'b
a' b'

b c
 ax + by = c
= cb' = c'b .
Giải hệ phương trình 
, bằng cách sử dụng cơng thức: Dx =
b' c'
 a' x + b' y = c'
c a
Dy =
= ac'− a'c
c' a'
 D Dy 
+ Nếu D ≠ 0 thì hệ có nghiệm duy nhất: ( x; y) =  x ; ÷
 D D
+ Nếu D = 0 và Dx ≠ 0 (hoặc Dy ≠ 0) thì hệ vơ nghiệm.
+ Nếu D = Dx = Dy = 0 thì hệ vơ số nghiệm.
Ví dụ 6. Hai đường thẳng d1 : mx + y = m+ 1, d2 : x + my = 2 song song khi và chỉ khi
A. m= 2

B. m= ±1

C. m= −1

D. m= 1

Hướng dẫn giải
d1 / /d2 ⇔

2
m= ±1

m 1 m+ 1  m = 1
= ≠
⇔
⇔
⇔ m= −1
1 m
2
 m( m+ 1) ≠ 2 m≠ 1;m≠ −2

Chọn C.
Ví dụ 7. Cho đường thẳng d : ( m+ 2) x + ( m− 1) y − 3 = 0
a) Chứng minh rằng khi m thay đổi, đường thẳng d luôn đi qua một điểm cố định. Tìm tọa độ điểm cố
định đó.
b) Biện luận vị trí tương đối của d với d3 : 2( m− 1) x + y − 2 = 0 theo m.
c) Trong trường hợp d cắt d3 tại B, tìm quỹ tích điểm B khi m thay đổi.
Hướng dẫn giải
a) Ta có: d : ( m+ 2) x + ( m− 1) y − 3 = 0 ⇔ mx + 2x + my − y − 3 = 0 ⇔ ( x + y) m+ 2x − y − 3 = 0 ( 1) .
x+ y = 0
x = 1
⇔
Để (1) đúng với mọi m thì 
 2x − y − 3 = 0  y = −1
Vậy tọa độ điểm cố định mà đường thẳng d luôn đi qua là ( 1;−1)
Trang 20


( m+ 2) x + ( m− 1) y − 3 = 0
b) Xét hệ phương trình ( I ) 
.
2( m− 1) x + y − 2 = 0

D=
Ta có Dx =
Dy =

m+ 2 m− 1
2( m− 1) 1

= m+ 2 − 2( m− 1) = −2m2 + 5m= m( −2m+ 5)
2

m− 1 − 3
= −2( m− 1) − 1.( −3) = −2m+ 5
1
−2
−3

m+ 2

−2 2( m− 1)

= −3.2( m− 1) − ( −2) ( m+ 2) = −4m+ 10 = 2( −2m+ 5)

 m≠ 0

Với Dx ≠ 0 ⇔ m( −2m+ 5) ≠ 0 ⇔ 
5
 m≠ 2

 x =
Khi đó hệ phương trình có nghiệm duy nhất là 

y =


Dx 1
=
D m
Dy 2
=
D m

 1 2
Suy ra d cắt d3 tại B ; ÷.
 m m
 m= 0
Với D = 0 ⇔ 
.
 m= 5

2
2x − y − 3 = 0
+ Nếu m= 0 thì hệ phương trình ( I ) trở thành 
 −2x + y − 2 = 0
Khi đó

2 −1 −3
=
≠
nên d / / d3
−2 1 −2

3
9
 x + y− 3= 0
5
+ Nếu m= thì hệ phương trình ( I ) trở thành  2
2
2
3x + y − 2 = 0
9 3
Khi đó 2 2 −3 nên d ⊥ d3
= =
3 1 −2
c) Theo câu b, ta có d cắt d3 khi m≠ 0 và m≠

5
.
2

 1 2
Khi đó B ; ÷ là giao điểm của d và d3 .
 m m

1

m=
x
=


m

⇒
⇔
2
y =
 m=

m 

1
1 2
x
⇔ = ⇔ 2x − y = 0
2
x y
y
Trang 21


Vậy quỹ tích của điểm B là đường thẳng có phương trình là 2x − y = 0 bỏ đi điểm O( 0;0) và điểm
 2 4
B' ; ÷.
 5 5
Ví dụ 8. Cho ba đường thẳng d1 : 2x + y − 1 = 0,d2 : x + 2y + 1 = 0,d3 : mx − y − 7 = 0 .
Để ba đường thẳng này đồng quy thì giá trị của m là:
A. m= −6

C. m= −5

B. m= 6

D. m= 5

Hướng dẫn giải
2x + y − 1= 0  x = 1
⇔
Tọa độ giao điểm của d1 và d2 là nghiệm của hệ phương trình: 
 x + 2y + 1 = 0  y = −1
Vậy d1 cắt d2 tại M ( 1;−1)
Để ba đường thẳng d1,d2,d3 đồng quy thì d3 phải đi qua điểm M ( 1;−1) . Vậy tọa độ M thỏa mãn phương
trình của d3 ⇒ m+ 1− 7 = 0 ⇔ m= 6 .
Chọn B.

(

)

2
2
Ví dụ 9. Cho hai đường thẳng d1 : ( a − b) x − y + 1= 0 và d2 : a − b x + by − a = 0 với a2 + b2 > 0.

a) Tìm mối quan hệ giữa a và b để d1 và d2 cắt nhau.
b) Tìm điều kiện giữa a và b để d1 và d2 cắt nhau tại một điểm thuộc trục hoành.
Hướng dẫn giải
a) Giả sử a = b, ta có d1 : − y + 1= 0 và d2 : y = 1⇒ d1 ≡ d2 .
Do đó a ≠ b , để d1 cắt d2 thì

a2 − b2 b
a+ b b
≠
⇔

≠
⇔ b ≠ − ( a + b) ⇔ a + 2b ≠ 0
a − b −1
1
−1

a ≠ b
Vậy 
thì d1 cắt d2 .
 a + 2b ≠ 0
b) Từ câu a ta có d1 và d2 cắt nhau tại điểm M ( m;0) ∈ Ox .
−1

( a − b) m+ 1= 0
−1
 m= a − b ( do a ≠ b)
⇔
⇒ a2 − b2 .
− a = 0 ⇔ 2a = b
Ta có  2
2
a
−
b
a
−
b
m
−
a

=
0
2
2
 a − b m− a = 0



(

)

(

)

(

)

2a = b
Vậy 
thì d1 cắt d2 tại điểm thuộc trục hồnh.
a ≠ b
Ví dụ 10. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng d1 : x − my + 2 = 0 và d2 : mx + y − m+ 2 = 0
(m là tham số).
Chứng minh rằng với mọi m∈ ¡ , hai đường thẳng d1 và d2 luôn cắt nhau tại một điểm nằm trên một
đường tròn cố định.
Trang 22

Hướng dẫn giải
ur
uu
r
Ta có n1 = ( 1;−m) là vectơ pháp tuyến của d1,n2 = ( m;1) là vectơ pháp tuyến của d2 .
ur uu
r
Khi đó n1.n2 = 1.m− m.1 = 0 nên d1 ⊥ d2
Giả sử d1 cắt d2 tại điểm M.
Ta có d1 : x − my + 2 = 0 có điểm cố định là A( −2;0) .
d2 : mx + y − m+ 2 = 0 ⇔ ( x − 1) m+ y + 2 = 0 có điểm cố định là B( 1;−2) .
Do đó tập hợp điểm M là đường trịn đường kính AB.
Bài tập tự luyện dạng 3
Phần trắc nghiệm
Câu 1: Trong mặt phẳng Oxy, hai đường thẳng d1 : 4x + 3y − 18 = 0;d2 :3x + 5y − 19 = 0 cắt nhau tại điểm
có tọa độ là:
A. ( 3;−2)

B. ( −3;2)

C. ( 3;2)

D. ( −3;−2)

Câu 2: Cho bốn điểm A( 0; −2) , B( −1; 0) , C ( 0; −4) , D ( −2; 0) . Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng AB
và CD là:
A. ( 1;−4)

 −3 1 

B.  ; ÷
 2 2

C. ( −2;2)

D. Khơng có giao điểm.

 x = 1+ 2t
Câu 3: Cho hai đường thẳng d và d’ biết d : 2x + y − 8 = 0 và d': 
. Biết I ( a,b) là tọa độ giao
 y = 3− t
điểm của d và d’. Khi đó tổng a + b bằng:
A. 5.

B. 1.

C. 3.

D. 6.

Câu 4: Cho đường thẳng d1 : 2x + y + 15 = 0 và d2 : x − 2y − 3 = 0 . Khẳng định nào sau đây đúng?
A. d1 và d2 vng góc với nhau.

B. d1 và d2 song song với nhau.

C. d1 và d2 trùng nhau.

D. d1 và d2 cắt nhau và khơng vng góc với nhau.

Câu 5: Cho bốn điểm A( 1;2) , B( 4;0) ,C ( 1;−3) , D( 7;−7) . Vị trí tương đối của hai đường thẳng AB và CD

là:
A. Song song.

B. Cắt nhau nhưng không vng góc với nhau.

C. Trùng nhau.

D. Vng góc với nhau.

Câu 6: Phương trình nào sau đây biểu diễn đường thẳng không song song với đường thẳng d : y = 2x − 1
?
A. 2x − y + 5 = 0

B. 2x − y − 5 = 0

C. −2x + y = 0

D. 2x + y − 5 = 0

 x = 1− 2t
( t ∈ ¡ ) . Với giá trị nào của m thì
Câu 7: Cho hai đường thẳng d1 : ( m+ 1) x − 2y − 1 = 0 và d2 : 
 y = 3+ t
d1 ⊥ d2 ?
A. m= −2

B. m= 0

C. m= 1

D. m= 3

Câu 8: Đường thẳng ∆ :3x − 2y − 7 = 0 cắt đường thẳng nào sau đây?
Trang 23


A. d1 :3x + 2y = 0

B. d2 :3x − 2y = 0

C. d3 : −3x + 2y − 7 = 0

D. d4 :6x − 4y − 14 = 0

Câu 9: Giá trị của m để hai đường thẳng d : 2x − 3y + 4 = 0 và d': 4mx − 3y + 3− 8m= 0 vng góc là
A. m=

9
8

B. m=

1
2

C. m= −

1
2

D. m= −

9
8

Câu 10: Cho tam giác ABC có A( −2;7) , B( 3;5) ,C ( 1;−4) . Biết rằng trực tâm của tam giác ABC là điểm
H ( x; y) . Giá trị của T = x + y là:
A. T =

95
9

B. T =

72
7

C. T =

43
4

D. T =

54
5

Câu 11: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, hình chiếu vng góc của điểm A( 2;1) lên đường thẳng
d : 2x + y − 7 = 0 có tọa độ là:
 14 7 

A.  − ;− ÷
 5 5

 14 7 
B.  ; ÷
 5 5

C. ( 3;1)

 5 3
D.  ; ÷
 3 2

Câu 12: Cho hai đường thẳng ( d1 ) : mx + y = m+ 1, ( d2 ) : x + my = 2 cắt nhau khi và chỉ khi:
B. m≠ ±1

A. m≠ 2

C. m≠ 1

D. m≠ −1

Câu 13: Cho hai đường thẳng d1 : x + 2y − 1 = 0, d2 : x − 3y + 3 = 0 . Phương trình đường thẳng d đối xứng
với d1 qua d2 là:
A. 2x − y + 2 = 0

B. x + 2y + 2 = 0

C. x − 2y + 2 = 0

D. 2x + y + 2 = 0

Câu 14: Cho tam giác ABC với A( 1;3) , B( −2;4) ,C ( −1;5) và đường thẳng d : 2x − 3y + 6 = 0 . Đường
thẳng d cắt cạnh nào của tam giác ABC?
A. Cạnh AB.

B. Cạnh BC.

C. Cạnh AC.

D. Không cắt cạnh nào.

Phần tự luận
Câu 15: Cho đường thẳng d : x − 3y + 1 = 0 và điểm M ( −1;−4)
a) Tìm tọa độ hình chiếu vng góc của điểm M lên d.
b) Tìm tọa độ điểm đối xứng của M qua d.
Câu 16: Cho hình bình hành ABCD có phương trình đường thẳng chứa cạnh AB, AD lần lượt là
2x − y − 3 = 0, x − 2y + 1= 0 và C ( 3;0) . Tìm tọa độ các đỉnh và phương trình các cạnh cịn lại của hình
bình hành ABCD.
Dạng 4: Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
Phương pháp giải
Khoảng cách từ điểm M ( x0; y0 ) đến đường thẳng Ví dụ.
Tính khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng
2
2
∆ : ax + by + c = 0 a + b > 0 được tính theo
∆ : x + y − 2 = 0.

(

công thức d( M,∆ ) =

)

ax0 + by0 + c
a +b
2

2

.

Ta có: d( O,∆ ) =

0+ 0− 2
12 + 12

=

2
2

= 2.

Trang 24


Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Cho đường thẳng ∆ :3x − 2y − 7 = 0 .
a) Tính khoảng cách từ điểm A( −2;1) đến đường thẳng ∆ .

 x = 1+ 2t
( t∈ ¡ ) .
b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng ∆ song song và ∆ ': 
 y = 3t
Hướng dẫn giải
a) Ta có: d( A,∆ ) =

3.( −2) − 2.1− 7
32 + ( −2)

2

=

−15
13

=

15 13
13 .

15 13
Vậy khoảng cách từ A( −2;1) đến đường thẳng ∆ là d( A,∆ ) =
13
b) Lấy M ( 1;−2) ∈ ∆ .
 x = 1+ 2t
x−1 y
∆ ': 
= ⇔ 3x − 2y − 3 = 0.

( t∈ ¡ ) ⇔
2
3
 y = 3t
Do ∆ / /∆ ' nên d( ∆,∆ ') = d( M,∆ ') =

3.1− 2.( −2) − 3
32 + ( −2)

2

=

4
13

Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng ∆ và ∆ ' là d( ∆,∆ ') =

=

4 13
13 .

4 13
.
13

Ví dụ 2. Cho đường thẳng a : x − 2y + 4 = 0 và b :3x − 4y + 1 = 0 .
a) Tìm giao điểm của hai đường thẳng a và b.
b) Tìm điểm M trên a sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng b bằng

3
.
5

Hướng dẫn giải
a) Tọa độ giao điểm I của hai đường thẳng a và b là nghiệm của hệ phương trình
x = 7
 x − 2y + 4 = 0

⇔

11
3x − 4y + 1 = 0  y =

2
 11
Vậy I  7; ÷ là giao điểm của a và b.
 2
b) Gọi M ( 2t − 4;t) ∈ a .
Theo bài ra, ta có:
d( M,b) =

3( 2t − 4) − 4t + 1 3
2t − 11 3
2t − 11 = 3
t = 7
3
⇒
= ⇔

= ⇔ 2t − 11 = 3 ⇔ 
⇔
2
5
5
5
5
2t − 11 = −3  t = 4
32 + ( −4)

Trang 25