Phát triển ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm thích ứng trên máy tính, chương Vectơ trong không gian, quan hệ vuông góc trong không gian, Hình học 11 THPT.

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

TRẦN THỊ PHƢƠNG THẢO

PHÁT TRIỂN NGÂN HÀNG CÂU HỎI CHO HỆ THỐNG
TRẮC NGHIỆM THÍCH ỨNG TRÊN MÁY TÍNH,
CHƢƠNG VECTƠ TRONG KHƠNG GIAN, QUAN HỆ VNG GĨC
TRONG KHƠNG GIAN, HÌNH HỌC 11 THPT

KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP
NGÀNH SƢ PHẠM TỐN HỌC

Hà Nội – 2020
i


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

PHÁT TRIỂN NGÂN HÀNG CÂU HỎI CHO HỆ THỐNG
TRẮC NGHIỆM THÍCH ỨNG TRÊN MÁY TÍNH,
CHƢƠNG VECTƠ TRONG KHƠNG GIAN, QUAN HỆ VNG GĨC
TRONG KHƠNG GIAN, HÌNH HỌC 11 THPT

KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP
NGÀNH SƢ PHẠM TOÁN HỌC

Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: ThS. Lê Thị Hồng Hà
Sinh viên thực hiện khóa luận: Trần Thị Phƣơng Thảo

Hà Nội
ii - 2020


LỜI CẢM ƠN
Trong q trình viết khóa luận tốt nghiệp, em đã nhận đƣợc sự giúp đỡ, quan
tâm, hƣớng dẫn của nhiều tập thể, cá nhân trong trƣờng Đại học Giáo dục.
Đầu tiên, em xin đƣợc gửi lời cảm ơn từ tận đáy lịng đến cơ Lê Thị Hồng
Hà. Cơ đã nhiệt tình giảng dạy, truyền thụ cho em những kiến thức quý báu về bộ
môn Đo lƣờng và đánh giá trong giáo dục. Đặc biệt, cô đã trực tiếp hƣớng dẫn,
chỉnh sửa, chỉ bảo tận tình để giúp em hồn thành khóa luận tốt nghiệp. Những kiến
thức, kĩ năng, bài học đắt giá mà cô truyền tải sẽ là hành trang đi cùng em trong
suốt sự nghiệp giáo dục trong tƣơng lai.
Em cũng xin chân thành cảm ơn sự quan tâm chỉ bảo của quý thầy cô khoa
Quản trị chất lƣợng – Trƣờng Đại học Giáo dục!
Cuối cùng, em muốn gửi lời cảm ơn đến các bạn: Đỗ Thị Kim Dung, Hoàng
Kim Thoa, Nguyễn Thị Vân, Khuất Thị Hải Yến và tất cả những ngƣời bạn đã tạo
điều kiện, ủng hộ và khích lệ em hồn thành khóa luận tốt nghiệp này.

Hà Nội, ngày 15 tháng 6 năm 2020
Sinh viên thực hiện

Trần Thị Phƣơng Thảo

i


MỤC LỤC
MỞ ĐẦU .....................................................................................................................1
1. Đặt vấn đề ..............................................................................................................1

2. Mục đích nghiên cứu ...............................................................................................2
3. Câu hỏi nghiên cứu ................................................................................................2
4. Đối tƣợng, khách thể và phạm vi nghiên cứu ......................................................2
4.1. Đối tƣợng nghiên cứu .........................................................................................2
4.2. Khách thể nghiên cứu .........................................................................................2
4.3. Phạm vi nghiên cứu ............................................................................................2
5. Phƣơng pháp nghiên cứu .......................................................................................3
6. Các nội dung và nhiệm vụ nghiên cứu . ..............................................................3
7. Cấu trúc của khóa luận ..........................................................................................3
8. Kế hoạch thực hiện ................................................................................................3
CHƢƠNG 1.CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ TỔNG QUAN NGHIÊN CỨU ......................5
1.1. Một số khái niệm ................................................................................................5
1.2. Trắc nghiệm thích ứng trên máy tính ................................................................7
1.3. Năng lực tốn học ...............................................................................................8
1.4. Quy trình xây dựng ngân hàng câu hỏi phục vụ thích ứng trên máy tính ....15
1.4.1. Quy trình xây dựng ngân hàng câu hỏi phục vụ CAT. ...................................16
1.4.2. Nội dung và trình tự thực hiện ........................................................................16
1.5. Lý thuyết ứng đáp câu hỏi (IRT) và ứng dụng trong việc xây dựng ngân
hàng câu hỏi chuẩn hóa. ..........................................................................................18
1.5.1. Lý thuyết ứng đáp câu hỏi ............................................................................18
1.5.2. Ứng dụng trong việc xây dựng ngân hàng câu hỏi chuẩn hóa ...................21
1.6. Một số nghiên cứu……………………………………………………………. 22
CHƢƠNG 2. PHƢƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU ......................................................24
2.1. Khái quát về nghiên cứu ....................................................................................24
2.2. Phƣơng pháp và quy trình nghiên cứu ............................................................24
CHƢƠNG 3. KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU .................................................................37
3.1. Xây dựng ngân hàng câu hỏi ............................................................................37
ii

3.2. Xây dựng đề kiểm tra .......................................................................................68
3.2.1. Bản đặc tả đề kiểm tra ...................................................................................68
3.2.2. Đề kiểm tra.....................................................................................................71
KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ……………………………………………….. 79
TÀI LIỆU THAM KHẢO………………………………………………………… 80

iii


Danh mục kí hiệu, chữ viết tắt

CAT

Trắc nghiệm thích ứng trên máy tính

CTT

Lí thuyết trắc nghiệm cổ điển

GDPT

Giáo dục phổ thơng

IRT

Lí thuyết ứng đáp câu hỏi

PISA

Chƣơng trình đánh giá học sinh quốc tế

TNKQ

Trắc nghiệm khách quan

THPT

Trung học phổ thông

iv


Danh mục bảng
Bảng 1. Kế hoạch thực hiện………………………………………………………..3
Bảng 1.1. Cấp độ năng lực Toán học theo PISA..………………………………….9
Bảng 1.2. Khung năng lực toán học THPT lớp 11…………………………………11
Bảng 1.3. Ba bậc nhận thức theo Bloom…………………………………………...14
Bảng 2.1. Mục tiêu đánh giá chƣơng Vectơ trong khơng gian, quan hệ vng góc
trong khơng gian…………………………………………………………………..24
Bảng 2.2. Tiêu chí đánh giá chƣơng Vectơ trong khơng gian, quan hệ vng góc
trong khơng gian…………………………………………………………………..27
Bảng 2.3. Ma trận ngân hàng câu hỏi dự kiến……………………………………..36
Bảng 3.1. Ma trận ngân hàng câu hỏi……………………………………………...37
Bảng 3.2. Ma trận số nội dung và cấp độ cần đánh giá…………………………69
Bảng 3.3. Ma trận cấu trúc đề kiểm tra………………………………………….71

v


MỞ ĐẦU

1. Đặt vấn đề
Trên thế giới hiện nay có các hình thức thi trắc nghiệm nhƣ: Trắc nghiệm
chủ quan, trắc nghiệm khách quan và trắc nghiệm thích ứng… Tất cả các hình
thức trắc nghiệm này đều nhằm đến mục đích hỗ trợ hoạt động kiểm tra đánh
giá của ngƣời học. Đặc biệt, hình thức trắc nghiệm thích ứng trên máy tính gần
đây đƣợc cho là xu hƣớng chủ yếu của tƣơng lai trong việc đánh giá kiến thức,
nhận thức và kĩ năng. Trắc nghiệm thích ứng trên máy tính đang phổ biến mạnh
mẽ trên thế giới nhƣng còn rất mới lạ với các trƣờng phổ thông và đại học ở
Việt Nam.
Các trƣờng THPT ở Việt Nam chủ yếu sử dụng các đề thi trắc nghiệm
khách quan để đánh giá kết quả học tập của học sinh. Tuy nhiên, các đề thi này
chƣa đƣợc phân tích và đánh giá một cách khách quan, khoa học nên chƣa đủ
khả năng hỗ trợ học sinh trong việc tự học. Do vậy, nếu có hoạt động kiểm tra
đánh giá qua mơ hình trắc nghiệm thích ứng trên máy tính sẽ hỗ trợ tốt hơn
trong q trình dạy và học.
Trắc nghiệm thích ứng trên máy tính (CAT) là thuật ngữ để chỉ một
phƣơng pháp đánh giá thí sinh bằng hình thức kiểm tra trắc nghiệm trên máy
tính nhƣng đánh giá theo hƣớng năng lực của thí sinh bằng bộ câu hỏi tƣơng
ứng mức năng lực đó. Về hoạt động, ta có thể hình dung hệ thống trắc nghiệm
thích ứng cố gắng mơ phỏng phƣơng pháp đánh giá của một ngƣời giáo viên đối
với học sinh. Có nghĩa là, lần đầu tiên hệ thống cung cấp cho thí sinh một câu
hỏi, nếu thí sinh trả lời đúng thì câu hỏi tiếp theo sẽ khó hơn, nếu trả lời sai thì
câu hỏi tiếp theo sẽ dễ hơn. Quá trình này đƣợc lặp đi lặp lại cho đến khi có đủ
dữ liệu để xác định trình độ kiến thức của thí sinh.
CAT là một hình thức kiểm tra đánh giá cho phép chúng ta rút ngắn số
lƣợng câu hỏi cho mọi thí sinh nhƣng vẫn đảm bảo độ chính xác về đánh giá
năng lực của thí sinh. CAT hoạt động dựa trên lý thuyết đáp ứng câu hỏi (IRT)
1

với ƣu điểm vƣợt trội là ƣớc lƣợng đúng năng lực với hầu hết tất cả các thí sinh.
Trong khi đó, bài kiểm tra cũ chỉ ƣớc lƣợng đúng năng lực của thí sinh có năng
lực trung bình. Các bài CAT thƣờng ngắn hơn một nửa so với bài kiểm tra cố
định mà vẫn ƣớc lƣợng chính xác năng lực của thí sinh và có tính bảo mật cao
vì mọi thí sinh sẽ nhận đƣợc một đề tƣơng đối khác nhau.
Với mục đích giúp cho giáo viên THPT có thể tiếp cận với hình thức trắc
nghiệm thích ứng trên máy tính để đánh giá kết quả học tập của học sinh phù
hợp với tiêu chí đánh giá; đồng thời bổ trợ cho học sinh khối 11 trong quá trình
học Hình học 11 chƣơng 3, tôi mạnh dạn chọn tên đề tài: “Phát triển ngân hàng câu
hỏi cho hệ thống trắc nghiệm thích ứng trên máy tính, Chương vectơ trong khơng
gian, quan hệ vng góc trong khơng gian, Hình học 11 THPT”.
2. Mục đích nghiên cứu
Đề tài này đƣợc thực hiện nhằm xây dựng bộ câu hỏi kiểm tra đánh giá dùng
cho trắc nghiệm thích ứng trên máy tính với nội dung Vectơ trong khơng gian, quan
hệ vng góc trong khơng gian (Hình học 11 THPT).
3. Câu hỏi nghiên cứu
Hệ thống ngân hàng câu hỏi kiểm tra đánh giá kết quả học tập chƣơng
Vectơ trong khơng gian, quan hệ vng góc trong khơng gian phục vụ hệ thống
trắc nghiệm thích ứng trên máy tính sẽ có thiết kế đƣợc hay khơng? Bộ câu hỏi
đó nếu thiết kế đƣợc thì có cấu trúc nhƣ thế nào? Đánh giá đƣợc những năng lực
nào của học sinh?
4. Đối tƣợng, khách thể và phạm vi nghiên cứu
4.1. Đối tƣợng nghiên cứu
Hệ thống câu hỏi kiếm tra đánh giá kết quả học tập chƣơng Vectơ trong khơng
gian, quan hệ vng góc trong khơng gian – Hình học 11 THPT
4.2. Khách thể nghiên cứu
Học sinh lớp 11 của các trƣờng THPT.
4.3. Phạm vi nghiên cứu
Trong giới hạn về khả năng, thời gian và bối cảnh nghiên cứu, đề tài chỉ
giới hạn trong 01 loại hình câu hỏi là trắc nghiệm khách quan nhiều lựa chọn, hệ

2


thống mục tiêu dạy học theo chƣơng trình GDPT mới. Đề tài nghiên cứu trong
phạm vi nội dung của chƣơng vectơ trong khơng gian, quan hệ vng góc trong
khơng gian của Hình học 11 THPT
5. Phƣơng pháp nghiên cứu
Đề tài này sử dụng phƣơng pháp nghiên cứu chính là phƣơng pháp
chuyên gia: phân tích nội dung dạy học, hệ mục tiêu dạy học, xây dựng hệ mục
tiêu kiểm tra đánh giá, bảng ma trận câu hỏi và thẩm định câu hỏi kiểm tra đánh
giá.
6. Các nội dung và nhiệm vụ nghiên cứu
Khóa luận này sẽ tập trung nghiên cứu cơ sở lí luận và tổng quan về kiểm
tra đánh giá và trắc nghiệm thích ứng trên máy tính. Cụ thể, đó là nghiên cứu
nội dung chƣơng Vectơ trong khơng gian, quan hệ vng góc trong khơng gian
(Hình học 11 THPT) theo chƣơng trình GDPT mới. Trong đó, bƣớc đầu tiên, tác
giả phải xác định mục tiêu, tiêu chí đánh giá của từng nội dung của chƣơng. Sau
đó xây dựng một ma trận ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm thích ứng trên máy
tính. Tiếp theo, viết bộ câu hỏi trắc nghiệm thích ứng trên máy tính. Sau khi có
đƣợc bộ câu hỏi, cần tham khảo ý kiến của chuyên gia về bộ hỏi. Bƣớc tiếp theo
là thử nghiệm và đánh giá chuẩn hóa câu hỏi. Cuối cùng là hồn thiện báo cáo.
7. Cấu trúc của khóa luận
Ngồi phần mở đầu và phần kết luận và kiến nghị, khóa luận sẽ gồm có 3
chƣơng: Chƣơng 1 tác giả đề cập đến cơ sở lí luận và tổng quan nghiên cứu,
chƣơng 2 nói về phƣơng pháp nghiên cứu và chƣơng 3 là kết quả nghiên cứu.
8. Kế hoạch thực hiện
Bảng 1. Kế hoạch thực hiện

STT
1

Nội dung thực hiện

Sản phẩm dự kiến
Có những tài liệu cơ bản phục vụ

Nghiên cứu tài liệu

cho đề tài.
2

3

Tham khảo ý kiến

Ghi chép những ý kiến, góp ý của

chuyên gia

giáo viên hƣớng dẫn cho đề tài.

Soạn các câu hỏi

Bƣớc đầu có bộ câu hỏi hồn

3


STT

Nội dung thực hiện

Sản phẩm dự kiến
chỉnh.

4

Tham khảo ý kiến

Chỉnh sửa những sai xót của bộ

chuyên gia về bộ câu

câu hỏi theo góp ý của chun

hỏi.

gia.

5

Soạn thảo lại câu hỏi

Hồn thiện bộ câu hỏi.

6

Hồn chỉnh khóa luận

Có đƣợc khóa luận hoàn chỉnh.

4


CHƢƠNG 1
CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ TỔNG QUAN NGHIÊN CỨU

1.1. Một số khái niệm
Trong khóa luận này, tác giả sử dụng một số khái niệm về đo lƣờng đánh giá
nhƣ sau:
Đo lƣờng là một khái niệm chuyên dùng để chỉ sự so sánh một vật hay hiện
tƣợng với một thƣớc đo hay chuẩn mực, có khả năng trình bày kết quả dƣới dạng
thơng tin định lƣợng hoặc định tính. Nói cách khác, đo lƣờng là một hoạt động sử
dụng thang đo với mục đích gán con số hoặc thứ bậc cho đối tƣợng đo (nghiên cứu)
theo hệ thông hay chuẩn mực nào đó.
Trắc nghệm là một phép thử để nhận dạng, xác định, thu nhận những thông
tin phản hồi về những khả năng, thuộc tính, đặc tính, tính chất của một sự vật hay
hiện tƣợng nào đó. Ví dụ: trắc nghiệm đo chỉ số thông minh IQ; trắc nghiệm phân
loại tính cách MBTI; trắc nghiệm đo chỉ số cảm xúc EQ; trắc nghiệm đo thị lực
mắt; trắc nghiệm kiểm tra tiếng Anh TOEFL; trắc nghiệm kiểm tra luật giao
thông;…
Trắc nghiệm trong giảng dạy cũng là một phép thử (một phƣơng pháp kiểm
tra đánh giá) nhằm đánh giá khách quan trình độ, năng lực cũng nhƣ kết quả học tập
của ngƣời học trƣớc, trong quá trình và khi kết thúc một giai đoạn học tập nhất định
(một phần hoặc bài giảng lý thuyết hoặc thực hành); một chƣơng hoặc một chƣơng
trình đào tạo…
Kiểm tra đánh giá là quá trình thu thập và thảo luận về thông tin từ nhiều
nguồn khác nhau nhằm có đƣợc một sự hiểu biết sâu sắc về những điều ngƣời học
biết, hiểu và có thể làm với kiến thức của mình.
Kiểm tra đánh giá trong dạy học đƣợc định nghĩa là “q trình thu thập thơng

tin để đƣa ra những quyết định giáo dục liên quan tới ngƣời học, để phản hồi cho
ngƣời học về sự tiến bộ, những điểm mạnh và điểm tồn tại trong học tập của chúng,

5


để đƣa ra phán quyết về hiệu quả của công tác giảng dạy và sự phù hợp của chƣơng
trình đào tạo, và cuối cùng là để cung cấp thông tin xây dựng chính sách”. (Liên
đồn ngƣời dạy Hoa Kỳ, Hội đồng quốc gia về đo lƣờng trong giáo dục, Hiệp hội
giáo dục quốc gia. (1990). Teacher Competence in Education Assesment of
Students, USA)
Đánh giá là sự giải thích có tính chất tổng kết các dữ liệu có đƣợc từ các bài
kiểm tra hay những công cụ đánh giá khác. Đánh giá là việc định ra giá trị của bản
thân đối tƣợng đƣợc đánh giá trong mối tƣơng quan với các đối tƣợng hay môi
trƣờng xung quanh. Đánh giá là việc nhận định sự xứng đáng của một cái gì đó,
chẳng hạn đánh giá một chƣơng trình, một nhà trƣờng, một chính sách có ý nghĩa
nhƣ thế nào đối với sự phát triển xã hội…
Mục đích của kiểm tra đánh giá là nhằm nâng cao chất lƣợng của tất cả các
hoạt động giáo dục, chƣơng trình giáo dục, sản phẩm giáo dục. Tuy nhiên, trong
mỗi tình huống khác nhau, kiểm tra đánh giá mang những mục đích hồn tồn khác
nhau. Việc xác định rõ mục đích của hoạt động kiểm tra đánh giá phù hợp sẽ giúp
ngƣời dạy lựa chọn đƣợc những hình thức cũng nhƣ nội dung kiểm tra đánh giá phù
hợp, đáp ứng tốt nhất mục đích đã đặt ra.
Mục tiêu dạy học xác định rõ những gì ngƣời học cần đạt đƣợc sau khi kết
thúc một chƣơng/ bài/ tiết học. Mục tiêu dạy học cần cụ thể hóa những gì ngƣời học
có thể làm, những giá trị chúng có thể cảm nhận, cà cả một thái độ đúng đắn với
mỗi sự vật, hiện tƣợng mà chúng gặp.
Tiêu chí đánh giá là những biểu hiện cụ thể mà chúng ta mong đợi ngƣời
học thể hiện đƣợc khi thực hiện một nhiệm vụ (nhƣ trả lời một câu hỏi, làm một bài
tập, thực hiện một hoạt động nhóm; hoặc làm một bài thi …); những biểu hiện này

chúng ta có thể quan sát đƣợc, hoặc trực tiếp trên ngƣời học, hoặc thơng q kết quả
thực hiện nhiệm vụ. Tiêu chí đánh giá là vấn đề trung tâm, là trái tim của hoạt động
kiểm tra đánh giá.

6


1.2. Trắc nghiệm thích ứng trên máy tính
Trắc nghiệm thích ứng, tiếng Anh gọi là “Adaptive Test” là thuật ngữ để chỉ
một phƣơng pháp đánh giá thí sinh ( học sinh, sinh viên, bệnh nhân,....) bằng hình
thức kiểm tra trắc nghiệm với mục đích đánh giá theo hƣớng năng lực thông qua bộ
câu hỏi tƣơng ứng với mức năng lực của thí sinh.
Trắc nghiệm thích ứng trên máy tính (CAT): Là một cơng cụ, hình thức kiểm
tra đánh giá cho phép rút ngắn số lƣợng câu hỏi nhƣng vẫn đảm bảo độ chính xác về
đánh giá năng lực của thí sinh. Trắc nghiệm đánh giá năng lực thí sinh với sự giúp
đỡ của máy tính, việc sử dụng trắc nghiệm thích nghi thì số lƣợng và thứ tự câu hỏi
đƣa ra cho mỗi thí sinh là khác nhau, tùy thuộc vào năng lực hiện tại của thí sinh. Vì
vậy, việc đánh giá năng lực thí sinh sẽ trở nên nhanh chóng, chính xác và khách
quan hơn.
Hệ thống Trắc nghiệm thích ứng là một hệ thống phần mềm đƣợc phát triển
trên cơ sở mơ hình Trắc nghiệm thích ứng để đánh giá thí sinh. Về hoạt động ta có
thể hình dung hệ thống Trắc nghiệm thích ứng cố gắng bắt trƣớc phƣơng pháp đánh
giá của một ngƣời giáo viên đối với học sinh. Có nghĩa là, lần đầu tiên hệ thống
cung cấp cho thí sinh một câu hỏi vừa đủ khó đối với thí sinh. Nếu thí sinh trả lời
một cách chính xác, thì sau đó một câu hỏi khó hơn sẽ đƣợc đề nghị và nếu khơng
một câu hỏi có độ khó thấp hơn đƣợc đề nghị. Q trình này nên đƣợc lặp đi lặp lại
cho đến khi có đủ bằng chứng để xác định trình độ kiến thức của thí sinh. Trong
trắc nghiệm thích ứng, q trình này đƣợc thực hiện một cách tự động. Ban đầu có
thể ƣớc lƣợng một mức năng lực của thí sinh, sau khi đặt ra một câu hỏi và thí sinh
trả lời. Một ƣớc lƣợng mới về năng lực của thí sinh sẽ đƣợc tính tốn lại. Với ƣớc

lƣợng này, câu hỏi kế tiếp sẽ đƣợc chọn một cách chính xác hơn. Ta có thể xem trắc
nghiệm thích ứng nhƣ là một thuật tốn lặp với thơng số đầu vào là ƣớc tính ban
đầu về mức độ năng lực của thí sinh. Quy trình để triển khai Trắc nghiệm thích ứng
đƣợc Nathan A. Thompson đƣa ra nhƣ sau:
Giai đoạn 1. Phát triển ngân hàng câu hỏi và hệ thống Trắc nghiệm thích
ứng.
Giai đoạn 2. Thực hiện đánh giá theo các bƣớc
7


Bƣớc 1. Lựa chọn câu hỏi đầu tiên và bắt đầu quá trình đánh giá;
Bƣớc 2. Câu hỏi tiếp theo phù hợp với năng lực hiện tại của thí sinh đƣợc
đƣa ra và thí sinh trả lời câu hỏi đó;
Bƣớc 3. Theo kết quả câu trả lời của thí sinh, một ƣớc lƣợng mới của
mức độ năng lực đƣợc tính toán;
Bƣớc 4. Quay lại bƣớc 1 nếu các điều kiện dừng của Trắc nghiệm thích
ứng chƣa thỏa mãn;
Bƣớc 5. Kết thúc quá trình đánh giá nếu điều kiện dừng của Trắc nghiệm
thích ứng thỏa mãn.
Do vậy, trong mơ hình Trắc nghiệm thích ứng: thuật tốn lựa chọn câu hỏi
tiếp theo phù hợp với khả năng hiện tại của thí sinh là khó khăn vì phải tính tốn
một cách tối ƣu nhất. Bên cạnh đó một ngân hàng câu hỏi đƣợc chuẩn hóa lý thuyết
ứng đáp câu hỏi cần đƣợc xây dựng. Số câu hỏi trong ngân hàng cần đủ lớn để đạt
đƣợc phân bố chuẩn với tham số độ khó.
1.3. Năng lực tốn học
Chƣơng trình GDPT tổng thể giải thích khái niệm năng lực nhƣ sau: “Năng
lực là thuộc tính cá nhân đƣợc hình thành, phát triển nhờ tố chất sẵn có và q trình
học tập, rèn luyện, cho phép con ngƣời huy động tổng hợp các kiến thức, kỹ năng
và các thuộc tính cá nhân khác nhƣ hứng thú, niềm tin, ý chí,... thực hiện thành
cơng một loại hoạt động nhất định, đạt kết quả mong muốn trong những điều kiện

cụ thể”.
Năng lực toán học (mathematical competence) là một loại hình năng lực đặc
thù, gắn liền với mơn học. Có nhiều quan niệm khác nhau về năng lực tốn học.
Hiệp hội giáo viên Tốn Mĩ (NCTM) mơ tả: “Năng lực toán là cách thức nắm bắt và
sử dụng nội dung kiến thức toán”. Theo Blomhøj & Jensen (2007): “Năng lực toán
học là khả năng sẵn sàng hành động để đáp ứng với thách thức tốn học của các tình
huống nhất định”. Theo Niss (1999): “Năng lực toán học nhƣ khả năng của cá nhân
để sử dụng các khái niệm tốn học trong một loạt các tình huống có liên quan đến
toán học, kể cả những lĩnh vực bên trong hay bên ngồi của tốn học (để hiểu, quyết
định và giải thích)”. Niss cũng xác định tám thành tố của năng lực toán học và chia
8


thành hai cụm (xem sơ đồ minh họa ở trên). Cụm thứ nhất bao gồm: năng lực tƣ
duy toán học (mathematical thinking competency); năng lực giải quyết vấn đề toán
học (problems tackling competency); năng lực mơ hình hóa tốn học (modelling
competency); năng lực suy luận toán học (reasoning competency). Cụm thứ hai bao
gồm: năng lực biểu diễn (representing competency); năng lực sử dụng ngơn ngữ ký
hiệu, hình thức (symbols and formalism competency); năng lực giao tiếp toán học
(communicating competency); năng lực sử dụng cơng cụ, phƣơng tiện học tốn
(aids and tools competency). Tám năng lực đó tập trung vào những gì cần thiết để
cá nhân có thể học tập và ứng dụng tốn học. Các năng lực này khơng hồn tồn
độc lập mà liên quan chặt chẽ và có phần giao thoa với nhau.
Các chuyên gia OECD đƣa ra ba cấp độ năng lực tốn học phổ thơng nhƣ sau:
 Cấp độ 1: Ghi nhớ và tái hiện;
 Cấp độ 2: Kết nối và tích hợp;
 Cấp độ 3: Khái qt hóa, tốn học hóa.
Dựa trên ba cấp độ này, bài kiểm tra của PISA đƣợc xây dựng phù hợp theo
chủ đề từng kỳ đánh giá.
Các cấp độ năng lực Toán học theo PISA:

Bảng 1.1. Cấp độ năng lực Toán học theo PISA.

Cấp độ của năng lực

Đặc điểm

Cấp độ 1: Ghi nhớ, tái

- Nhớ lại các đối tƣợng, khái niệm, định nghĩa và tính

hiện

chất Tốn học.
- Thực hiện đƣợc một cách làm quen thuộc.
- p dụng đƣợc một thuật toán tiêu chuẩn.

Cấp độ 2: Kết nối, tích

- Kết nối, tích hợp thông tin để giải quyết các vấn đề

hợp

đơn giản.
- Tạo những kết nối trong các cách biểu đạt khác nhau.
- Đọc và giải thích đƣợc các kí hiệu và ngơn ngữ hình
thức (tốn học) và hiểu mối quan hệ của chúng với ngôn
ngữ tự nhiên.

9

Cấp độ của năng lực

Đặc điểm

Cấp độ 3: Khái quát hố,

- Nhận biết nội dung Tốn học trong tình huống có vấn

Tốn học hố

đề phải giải quyết.
- Vận dụng kiến thức Toán học để giải quyết các vấn đề
thực tiễn.
- Biết phân tích, tổng hợp, suy luận, lập luận, khái quát
hoá trong chứng minh Toán học.

Năng lực Toán học theo PISA: Năng lực tƣ duy và lập luận; Năng lực lập
luận; Năng lực mơ hình hố; Năng lực giải quyết vấn đề; Năng lực giao tiếp; Năng
lực biểu diễn; Năng lực sử dụng ngơn ngữ, kí hiệu hình thức; Năng lực sử dụng các
phƣơng tiện hỗ trợ và công cụ.
Năng lực Tốn trong trƣờng phổ thơng Việt Nam là: năng lực tƣ duy; năng
lực giải quyết vấn đề; năng lực mơ hình hóa tốn học; năng lực giao tiếp; năng lực
sử dụng các cơng cụ, phƣơng tiện học tốn; năng lực học tập độc lập và hợp tác”.
Năng lực toán học bao gồm các thành tố cốt lõi: năng lực tƣ duy và lập luận
tốn học; năng lực mơ hình hóa tốn học; năng lực giải quyết vấn đề tốn học; năng
lực giao tiếp toán học; năng lực sử dụng cơng cụ, phƣơng tiện học tốn.
Mơn Tốn cấp trung học phổ thông nhằm giúp học sinh đạt các mục tiêu chủ
yếu sau:
Thứ nhất, góp phần hình thành và phát triển năng lực toán học với yêu cầu

cần đạt: nêu và trả lời đƣợc câu hỏi khi lập luận, giải quyết vấn đề; sử dụng đƣợc
các phƣơng pháp lập luận, quy nạp và suy diễn để hiểu đƣợc những cách thức khác
nhau trong việc giải quyết vấn đề; thiết lập đƣợc mơ hình tốn học để mơ tả tình
huống, từ đó đƣa ra cách giải quyết vấn đề toán học đặt ra trong mơ hình đƣợc thiết
lập; thực hiện và trình bày đƣợc giải pháp giải quyết vấn đề và đánh giá đƣợc giải
pháp đã thực hiện, phản ánh đƣợc giá trị của giải pháp, khái quát hoá đƣợc cho vấn
đề tƣơng tự; sử dụng đƣợc công cụ, phƣơng tiện học toán trong học tập, khám phá
và giải quyết vấn đề toán học.

10


Thứ hai, có những kiến thức và kĩ năng tốn học cơ bản, thiết yếu về:
- Đại số và Một số yếu tố giải tích: Tính tốn và sử dụng cơng cụ tính tốn;
sử dụng ngơn ngữ và kí hiệu đại số; biến đổi biểu thức đại số và siêu việt (lƣợng
giác, mũ, lơgarit), phƣơng trình, hệ phƣơng trình, bất phƣơng trình; nhận biết các
hàm số sơ cấp cơ bản (luỹ thừa, lƣợng giác, mũ, lôgarit); khảo sát hàm số và vẽ đồ
thị hàm số bằng công cụ đạo hàm; sử dụng ngôn ngữ hàm số, đồ thị hàm số để mơ
tả và phân tích một số q trình và hiện tƣợng trong thế giới thực; sử dụng tích phân
để tính tốn diện tích hình phẳng và thể tích vật thể trong khơng gian.
- Hình học và Đo lƣờng: Cung cấp những kiến thức và kĩ năng (ở mức độ
suy luận logic) về các quan hệ hình học và một số hình phẳng, hình khối quen
thuộc; phƣơng pháp đại số (vectơ, toạ độ) trong hình học; phát triển trí tƣởng tƣợng
không gian; giải quyết một số vấn đề thực tiễn đơn giản gắn với Hình học và Đo
lƣờng.
- Thống kê và Xác suất: Hoàn thiện khả năng thu thập, phân loại, biểu diễn,
phân tích và xử lí dữ liệu thống kê; sử dụng các cơng cụ phân tích dữ liệu thống kê
thông qua các số đặc trƣng đo xu thế trung tâm và đo mức độ phân tán cho mẫu số
liệu khơng ghép nhóm và ghép nhóm; sử dụng các quy luật thống kê trong thực
tiễn; nhận biết các mô hình ngẫu nhiên, các khái niệm cơ bản của xác suất và ý

nghĩa của xác suất trong thực tiễn.
Thứ ba, góp phần giúp học sinh có những hiểu biết tƣơng đối tổng qt về
các ngành nghề gắn với mơn Tốn và giá trị của nó; làm cơ sở cho định hƣớng nghề
nghiệp sau trung học phổ thơng; có đủ năng lực tối thiểu để tự tìm hiểu những vấn
đề liên quan đến toán học trong suốt cuộc đời.
Trên cơ sở trên, tác giả đƣa ra khung năng lực Toán học theo hƣớng áp dụng
chƣơng trình giáo dục phổ thơng 2018 sẽ sử dụng trong khoá luận này nhƣ trong
bảng sau:
Bảng 1.2. Khung năng lực toán học THPT lớp 11.
Tên năng lực
Năng lực tƣ duy và

Cấp THPT lớp 11
- Thực hiện đƣợc tƣơng đối thành thạo các thao tác tƣ duy,

11


Tên năng lực
lập luận Toán học

Cấp THPT lớp 11
đặc biệt phát hiện đƣợc sự tƣơng đồng và khác biệt trong
những tình huống tƣơng đối phức tạp và lí giải đƣợc kết quả
của việc quan sát.
- Sử dụng đƣợc các phƣơng pháp lập luận, quy nạp và suy
diễn để nhìn ra những cách thức khác nhau trong việc giải
quyết vấn đề.
- Nêu và trả lời đƣợc câu hỏi khi lập luận, giải quyết vấn đề.
Giải thích, chứng minh, điều chỉnh đƣợc giải pháp thực hiện

về phƣơng diện tốn học.

Năng lực mơ hình

- Thiết lập đƣợc mơ hình tốn học (gồm cơng thức, phƣơng

hố Tốn học

trình, sơ đồ, hình vẽ, bảng biểu, đồ thị,...) để mơ tả tình
huống đặt ra trong một số bài toán thực tiễn.
- Giải quyết đƣợc những vấn đề tốn học trong mơ hình đƣợc
thiết lập.
- Lí giải đƣợc tính đúng đắn của lời giải (những kết luận thu
đƣợc từ các tính tốn là có ý nghĩa, phù hợp với thực tiễn hay
không). Đặc biệt, nhận biết đƣợc cách đơn giản hoá, cách
điều chỉnh những yêu cầu thực tiễn (xấp xỉ, bổ sung thêm giả
thiết, tổng quát hoá,...) để đƣa đến những bài toán giải đƣợc.

Năng lực giải quyết

- Xác định đƣợc tình huống có vấn đề; thu thập, sắp xếp, giải

vấn đề Tốn học

thích và đánh giá đƣợc độ tin cậy của thông tin; chia sẻ sự
am hiểu vấn đề với ngƣời khác.
- Lựa chọn và thiết lập đƣợc cách thức, quy trình giải quyết
vấn đề.
- Thực hiện và trình bày đƣợc giải pháp giải quyết vấn đề.
- Đánh giá đƣợc giải pháp đã thực hiện; phản ánh đƣợc giá trị

của giải pháp; khái quát hoá đƣợc cho vấn đề tƣơng tự.

Năng lực giao tiếp

- Nghe hiểu, đọc hiểu và ghi chép (tóm tắt) đƣợc tƣơng đối

12


Tên năng lực
Tốn học

Cấp THPT lớp 11
thành thạo các thơng tin tốn học cơ bản, trọng tâm trong văn
bản nói hoặc viết. Từ đó phân tích, lựa chọn, trích xuất đƣợc
các thơng tin tốn học cần thiết từ văn bản nói hoặc viết.
- Lí giải đƣợc (một cách hợp lí) việc trình bày, diễn đạt, thảo
luận, tranh luận các nội dung, ý tƣởng, giải pháp toán học
trong sự tƣơng tác với ngƣời khác.
- Sử dụng đƣợc một cách hợp lí ngơn ngữ tốn học kết hợp
với ngơn ngữ thơng thƣờng để biểu đạt cách suy nghĩ, lập
luận, chứng minh các khẳng định toán học.
- Thể hiện đƣợc sự tự tin khi trình bày, diễn đạt, thảo luận,
tranh luận, giải thích các nội dung tốn học trong nhiều tình
huống khơng q phức tạp.

Năng lực sử dụng

- Nhận biết đƣợc tác dụng, quy cách sử dụng, cách thức bảo

công cụ, phƣơng

quản các cơng cụ, phƣơng tiện học tốn (bảng tổng kết về

tiện học Tốn

các dạng hàm số, mơ hình góc và cung lƣợng giác, mơ hình
các hình khối, bộ dụng cụ tạo mặt trịn xoay,...).
- Sử dụng đƣợc máy tính cầm tay, phần mềm, phƣơng tiện
công nghệ, nguồn tài nguyên trên mạng Internet để giải quyết
một số vấn đề toán học.
- Đánh giá đƣợc cách thức sử dụng các công cụ, phƣơng tiện
học tốn trong tìm tịi, khám phá và giải quyết vấn đề toán
học.

Tác giả sử dụng thang cấp độ tƣ duy Bloom để xây dựng và hệ thống hóa các
câu hỏi, bài tập dùng để kiểm tra, đánh giá quá trình học tập. Thang đo Bloom đƣợc
Benjamin S. Bloom (1956). Thang cấp độ tƣ duy của Bloom, sau khi đƣợc điều
chỉnh gọi là Thang Bloom tu chính (Bloom’s Revised Taxonomy) gồm:
- Nhớ
- Hiểu
13


- Vận dụng
- Phân tích
- Đánh giá
- Sáng tạo
Để thuận tiện cho việc sử dụng thang sáu bậc nhận thức của Bloom để xây dựng
mục tiêu dạy học và đánh giá việc thực hiện mục tiêu, có một cách phân chia thành

nhóm các cấp độ nhận thức gồm 3 bậc đã và đang đƣợc sử dụng phổ biến nhƣ trong
bảng sau:
Bảng 1.3. Ba bậc nhận thức theo Bloom.

Cấp độ nhận thức
Bậc 1. Nhớ

Đặc điểm
- Nhớ lại các đối tƣợng, khái niệm, định nghĩa và tính
chất Tốn học.
- Thực hiện đƣợc một cách làm quen thuộc.

Bậc 2. Hiểu, Vận dụng

- Tóm tắt, trình bày lại những kiến thức đã đƣợc học.
- Sử dụng, ứng dụng những kiến thức tốn học.
- Tính toán, biểu diễn, minh họa các bài toán.

Bậc 3. Phân tích, Đánh

- Khám phá, khai thác một số khái niệm toán học theo chi

giá, Sáng tạo.

tiết để hiểu tốt hơn hoặc rút ra kết luận từ những khám
phá đó.
- Vận dụng kiến thức Toán học để giải quyết các vấn đề
thực tiễn.
- Biết phân tích, tổng hợp, suy luận, lập luận, khái quát
hoá trong chứng minh Toán học.

14


1.4. Quy trình xây dựng ngân hàng câu hỏi phục vụ thích ứng trên máy tính
Quy trình xây dựng ngân hàng câu hỏi phục vụ CAT nhằm thể hiện toàn bộ
quá trình chuẩn bị, lập kế hoạch, biên soạn, thẩm định và đƣa câu hỏi thi vào phần
mềm nhằm xây dựng một ngân hàng câu hỏi và đề thi đảm bảo chất lƣợng, phù hợp
với nội dung.
Mặt khác đảm bảo tính khoa học, tính vừa sức, tính khả thi và tính khách
quan trong việc đánh giá kết quả học tập của học sinh đồng thời giảm thiểu các sai
sót trong q trình ra đề thi.
Đề thi chuẩn hóa (đánh giá kết quả học tập) là các các đề thi đƣợc xây dựng
bởi các chun gia khảo thí, có sự tham gia trợ giúp của các chuyên gia về chƣơng
trình/lĩnh vực chuyên môn, giáo viên và các nhà quản lý giáo dục, nhằm đo lƣờng
cấp độ năng lực của ngƣời học, tham chiếu năng lực của những học sinh khác cùng
lứa tuổi, cùng khối lớp, hoặc tham chiếu những tiêu chuẩn, tiêu chí nhất định về
năng lực (Kubiszyn & Borich, 2003). Những đề thi nhƣ trên thƣờng mất cả năm để
xây dựng, chuẩn hóa khơng những về nội dung, các u cầu về thông số kỹ thuật
của từng câu hỏi và tổng thể đề thi mà cịn chuẩn hóa cả về cách thức tổ chức thi, tổ
chức chấm điểm, sao cho các quy trình tổ chức thi và tổ chức chấm điểm cụ thể và
đồng nhất ở tất cả các điểm thi. Nhờ sự chuẩn hóa và nhất quán nhƣ trên, sai số đo
lƣờng do khâu tổ chức thi và chấm điểm sẽ giảm đáng kể.
Hambleton & Jones (1993) đƣa ra một quy trình xây dựng đề thi chuẩn hóa
điển hình với các giai đoạn chính sau:
- Xây dựng cấu trúc đề thi và các đặc trƣng của đề thi.
- Chuẩn bị câu hỏi thô.
- Đánh giá câu hỏi thi (thử nghiệm trên mẫu).
- Chỉnh sửa câu hỏi thi.
- Xây dựng đề thi

- Thử nghiệm đề thi.
- Chỉnh sửa đề thi trƣớc khi đƣa vào sử dụng.
- Tổ chức thi.

15


- Phân tích kỹ thuật kết quả thi (đánh giá mẫu, định chuẩn, đánh giá độ tin
cậy, độ giá trị của đề thi).
- Chuẩn bị các hƣớng dẫn tổ chức thi, sổ tay kỹ thuật.
- In ấn và phân phối đề thi, các sổ tay, hƣớng dẫn.
1.4.1. Quy trình xây dựng ngân hàng câu hỏi phục vụ CAT.
Bƣớc 1: Xây dựng ma trận đề thi và bản đặc tả đề thi.
Bƣớc 2: Soạn thảo câu hỏi thô.
Bƣớc 3: Thẩm định, biên tập câu hỏi.
Bƣớc 4: Đánh máy, nhập vào ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm.
Bƣớc 5: Thử nghiệm, phân tích, đánh giá và định cỡ câu trắc nghiệm.
Bƣớc 6: Chỉnh sửa câu hỏi sau khi thử nghiệm.
Bƣớc 7: Xây dựng đề thi, thử nghiệm, phân tích, đánh giá các đề thi.
Bƣớc 8: Chỉnh sửa lại các câu hỏi sau khi thử nghiệm đề thi.
Bƣớc 9: Rà soát, lựa chọn nhập các câu hỏi vào ngân hàng câu hỏi thi chuẩn
hóa.
1.4.2. Nội dung và trình tự thực hiện
Bƣớc 1: Xây dựng ma trận đề thi và bản đặc tả đề thi
Tổ chức xây dựng ma trận đề thi và bản đặc tả đề thi theo từng lĩnh vực bao
gồm: mục tiêu đánh giá, dạng thức câu hỏi, thang bậc năng lực cần đánh giá, lĩnh
vực kiến thức, độ khó của câu hỏi và các yêu cầu khác (nếu cần).
Bƣớc 2: Soạn thảo câu hỏi thô
Căn cứ vào bản đặc tả đề thi, xây dựng ý tƣởng và soạn thảo nội dung câu
hỏi và đáp án.

Bƣớc 3: Thẩm định, biên tập câu hỏi
- Chuyên gia thẩm định nội dung câu hỏi thẩm định về nội dung chuyên môn,
lời dẫn và dạng thức câu hỏi đảm bảo đúng yêu cầu bản đặc tả đề thi;
- Chuyên gia thẩm định kĩ thuật câu hỏi thẩm định về kĩ thuật viết câu hỏi,
lời dẫn và các phƣơng án trả lời của câu hỏi;

16


- Sau khi có ý kiến của chuyên gia biên tập, thẩm định, chuyên gia soạn thảo
câu hỏi (tác giả) trực tiếp chỉnh sửa các câu hỏi;
Bƣớc 4: Đánh máy, nhập vào ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm
Tiến hành đánh máy nhập câu hỏi vào ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm để
chuẩn bị tiến hành thử nghiệm.
Bƣớc 5: Thử nghiệm, phân tích, đánh giá và định cỡ câu trắc nghiệm
- Các câu hỏi sau khi đƣợc thẩm định, biên tập sẽ đƣợc tổng hợp để tiến hành
thử nghiệm, đánh giá;
- Triển khai thử nghiệm các tổ hợp câu hỏi, đảm bảo mẫu thử nghiệm tối
thiểu 50 học sinh;
- Sau khi hoàn thành hoạt động thử nghiệm, tiến hành nhập/ chiết xuất dữ
liệu kết quả làm bài của thí sinh; làm sạch dữ liệu đã có để chuẩn bị cho cơng tác
phân tích;
- Các chuyên gia phân tích câu hỏi sử dụng các phần mềm chuyên dụng để
thục hiện phân tích các thông số định chuẩn của câu hỏi, đề xuất những câu hỏi cần
chỉnh sửa hoặc loại bỏ.
Bƣớc 6: Chỉnh sửa câu hỏi sau khi thử nghiệm
- Căn cứ báo cáo của chuyên gia phân tích câu hỏi, tổ chức cho các nhóm
chuyên gia thực hiện chỉnh sửa câu hỏi;
- Các nhóm chuyên gia chỉnh sửa câu hỏi theo kết quả phân tích đảm bảo câu
hỏi phù hợp với yêu cầu của bản đặc tả đề thi.

Bƣớc 7: Xây dựng đề thi, thử nghiệm, phân tích, đánh giá các đề thi
- Các câu hỏi sau khi đƣợc chỉnh sửa sẽ đƣợc cấu trúc thành đề thi theo đúng
bản đặc tả đề thi để thử nghiệm;
- Triển khai thử nghiệm các đề thi, đảm bảo mỗi đề thi phải có tối thiểu 50
lƣợt học sinh làm thử;
- Sau khi hoàn thành hoạt động thử nghiệm, tiến hành nhập/ chiết xuất dữ
liệu kết quả làm bài của thí sinh; làm sạch dữ liệu đã có để chuẩn bị cho cơng tác
phân tích;

17


- Các chuyên gia phân tích câu hỏi sử dụng các phần mềm chuyên dụng để
thục hiện phân tích các thông số định chuẩn của câu hỏi, đề xuất những câu hỏi cần
chỉnh sửa hoặc loại bỏ trong mỗi đề thi.
Bƣớc 8: Chỉnh sửa lại các câu hỏi sau khi thử nghiệm đề thi
- Căn cứ báo cáo của chuyên gia phân tích câu hỏi, tổ chức cho các nhóm
chun gia thực hiện chỉnh sửa câu hỏi;
- Các nhóm chuyên gia chỉnh sửa câu hỏi theo kết quả phân tích đảm bảo câu
hỏi phù hợp với yêu cầu của bản đặc tả đề thi.
Bƣớc 9: Rà soát, lựa chọn nhập các câu hỏi vào ngân hàng câu hỏi thi
chuẩn hóa
Các câu hỏi đƣợc chỉnh sửa và hoàn thiện sau khi thử nghiệm sẽ đƣợc nhóm
chun gia rà sốt, lựa chọn để đƣa vào ngân hàng câu hỏi thi chuẩn hóa phục vụ
CAT.
1.5. Lý thuyết ứng đáp câu hỏi (IRT) và ứng dụng trong việc xây dựng ngân
hàng câu hỏi chuẩn hóa.
1.5.1. Lý thuyết ứng đáp câu hỏi
Lý thuyết ứng đáp câu hỏi (Item Response Theory – IRT) ra đời từ nửa
sau thế kỉ 20 và phát triển mạnh mẽ cho đến nay. IRT theo cách định nghĩa của

Hambleton & Jones (1993), là một lý thuyết thống kê tổng quát về kết quả bài
làm của một cá nhân ở cấp độ bài thi và cấp độ câu hỏi, và mối liên hệ giữa kết
quả làm bài với các nét năng lực đang đƣợc đo lƣờng của ngƣời dự thi.
IRT xây dựng mơ hình tính tốn để xử lí dữ liệu dựa trên việc nghiên cứu
mọi cặp tƣơng tác nguyên tố “Thí sinh – câu hỏi” khi triển khai một TNKQ.
Mỗi thí sinh đứng trƣớc một câu hỏi sẽ đáp ứng nhƣ thế nào, điều đó phụ thuộc
vào năng lực tiềm ẩn của thí sinh và các đặc trƣng của câu hỏi.
Hiện nay, có 3 mơ hình tính tốn phổ biến trong IRT: mơ hình 1 tham số
(mơ hình Rasch) chỉ xét đến độ khó của câu hỏi, mơ hình 2 tham số có xét đến

18