DeDA HSG Toan 9QTrach20102011

<span class='text_page_counter'>(1)</span>PHßNG gd&§t qu¶ng tr¹ch. SBD:……………... đề thi hsg lớp 9 - Môn Toán N¡M HäC 2010 - 2011. Thời gian: 150 phút - (Không kể thời gian giao đề). C©u 1 (2,0 ®iÓm) A. x x  4x  x  4 x x  7x  14 x  8. Cho biÓu thøc: a) (1,0 điểm) Tìm điều kiện của x để A có nghĩa, từ đó rút gọn biểu thức A. b) (1,0 điểm) Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức A nhận giá trị nguyên. C©u 2 (3,0 ®iÓm) a) (1,0 ®iÓm) T×m tÊt c¶ c¸c gi¸ trÞ x, y nguyªn tho¶ m·n: x2 - 4y2 = 5. b) (2,0 ®iÓm) Cho ba sè x, y, z tháa m·n ®iÒu kiÖn: x2 + y2 + z2 = 1 vµ x3 + y3 + z3 = 1. TÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc : M = x2009 + y2010 + z2011 C©u 3 (2,0 ®iÓm) Trên các cạnh Ox, Oy của góc nhọn xOy lần lợt lấy các điểm M và N di động sao cho OM + ON = m (m cố định, m > 0) a) (1,25 điểm) Chứng minh rằng, trung điểm của đoạn thẳng MN chuyển động trên một đoạn thẳng cố định, xác định đoạn thẳng đó. b) (0,75 điểm) Xác định vị trí của M và N để đoạn thẳng MN có độ dài bé nhất ? C©u 4 (2,0 ®iÓm) 0  Cho tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A; C 15 . Trªn tia BA lÊy ®iÓm O sao cho  BO = 2AC. TÝnh BCO C©u 5 (1,0 ®iÓm) Có ba chiếc hộp: một hộp chỉ đựng hai quả cam, một hộp chỉ đựng hai quả quýt; hộp còn lại chỉ đựng một quả cam và một quả quýt. Khi đóng kín các hộp, ngời ta đã d¸n nhÇm c¸c nh·n CC (cam - cam), CQ (cam - quýt), QQ (quýt - quýt) nªn tÊt c¶ c¸c nhãn dán ở ngoài hộp đều không đúng với các quả đựng trong hộp. Làm thế nào để chỉ cần mở một hộp và lấy một quả trong hộp đó mà không nhìn vào trong hộp có thể biết đợc chính xác các quả đựng trong mỗi hộp ? ---- HÕt ----. Lu ý: + Thí sinh không đợc sử dụng tài liệu + Ngời coi thi không đợc giải thích gì thêm PHßNG gd&§t qu¶ng tr¹ch H¦íNG DÉN CHÊM Thi hs giái líp 9 - M«n to¸n N¨m häc 2010-2011 I. Híng dÉn chung:. 1) Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án mà vẫn đúng thì cho đủ điểm từng phần nh hớng dẫn quy định. 2) ViÖc chi tiÕt hãa thang ®iÓm (nÕu cã) so víi thang ®iÓm trong híng dÉn chÊm phải đảm bảo không sai lệch với hớng dẫn chấm và đợc thống nhất trong Hội đồng chÊm thi..

<span class='text_page_counter'>(2)</span> 3) Điểm toàn bài lấy điểm lẻ đến 0,25.. II. §¸p ¸n, biÓu ®iÓm:. C©u Tæng ®iÓm 1a 1,0 ®. §iÓm thµnh phÇn 0,25. Néi dung §Ó A cã nghÜa, tríc hÕt x 0 . §Æt t  x  t 0  A A. t 3  t  4t 2  4 t t2  1  4 t2  1 t 3  4t 2  t  4   t 3  7t 2  14t  8 (t 3  8)  (7t 2  14t)  t  2  (t 2  2t  4)  7t  t  2 . . (t  1)  t  1 (t  4).  t  2  (t. 2.  5t  4). .  . . .  . . (t  1)(t  1)(t  4) (t  2)(t  1)(t  4). §Ó biÓu thøc A cã nghÜa th×: t 0, t 1, t 2, t 4  x 0, x 1, x 4, x 16 (*) t 1 x 1 A  t 2 x 2 Khi đó, rút gọn ta đợc:. 1b. 1,0 ®. 2a. §Ó A lµ sè nguyªn th× t - 2 lµ íc cña 3 nªn t -2 b»ng 1 hoÆc 3 . - NÕu t  2  1  t 1 ( lo¹i v× kh«ng tho¶ m·n ®iÒu kiÖn (*)) - NÕu t  2  3  t  1  0 (lo¹i v× kh«ng tho¶ m·n ®iÒu kiÖn (*)) - NÕu t  2 1  t 3  x 9 vµ A = 4; - NÕu t  2 3  t 5  x 25 vµ A = 2; Vậy để A nhận các giá trị nguyên thì x = 9 hoặc x = 25. 1,0® Ta cã: x2 - 4y2 = 5  (x-2y)(x+2y) = 5. A. t 1  t  2  3 3  1  t 2 t 2 t 2.   x  2y 1    x  2y 5   x  2y  1    x  2y  5  x  2y 5     x  2y 1    x  2y  5     x  2y  1. 2b. x2  5  4 = 1  2x 6  x 3 nªn y= VËy c¸c gi¸ trÞ (x;y) cÇn t×m lµ: (1;3);(-1;-3);(-1;3);(1;-3) 2,0® Tõ gi¶ thiÕt x2 + y2 + z2 = 1 suy ra: |x| ≤ 1; |y| ≤ 1; |z| ≤ 1; (1) Ta cã: x2 + y2 + z2 - (x3 + y3 + z3) = 0  x2(1 - x) + y2(1 - y) + z2(1 - z) = 0 (2) Tõ (1) suy ra: 1 - x  0; 1 - y  0; 1 - z  0; Do đó: x2(1 - x)  0; y2(1 - y)  0; z2(1 - z)  0 (3) Tõ (2) vµ (3) suy ra:  x 2 (1  x) 0  2  y (1  y) 0 z 2 (1  z) 0. 0,25. 0,25 0,25. 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25. 0,25. 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25. 0,25.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> KÕt hîp víi ®iÒu kiÖn x2 + y2 + z2 = 1 suy ra mét trong ba sè x, y, z ph¶i b»ng 1, hai sè cßn l¹i b»ng 0. Do đó: x2009 + y2010 + z2011 = 1. 3a. 0,25 0,25. 1,25® x d a m h o n b. c. f. 3b. y. m Trªn Ox lÊy ®iÓm A, trªn Oy lÊy ®iÓm B sao cho OA=OB = 2 , ta có đoạn thẳng AB cố định. Trªn Oy lÊy ®iÓm C sao cho NC=OM th× OC=NC+ON=OM+ON=m; m OB=OC= 2 hay B lµ trung ®iÓm cña OC Từ C kẻ đờng thẳng song song với Ox, trên đờng thẳng đó lấy F (F n»m ngoµi gãc xOy) sao cho: CF=NC=OM ; FN c¾t Ox t¹i D Ta cã OMCF lµ h×nh b×nh hµnh (OM//=CF); B lµ trung ®iÓm cña OC nªn B còng lµ trung ®iÓm cña MF.   1800  O 1800  NCF    2 2 Ta l¹i cã OBA = ; OND = FNC = ;     Mµ O = NCF (so le trong) suy ra OBA = OND Nên AB//FD (có 1 cặp góc đồng vị bằng nhau) Do đó AB là đờng trung bình của tam giác MNF hay trung điểm của MN thuộc đờng thẳng AB. Khi M O th× trung ®iÓm cña MN trïng víi B Khi N O th× trung ®iÓm cña MN trïng víi A Vậy trung điểm của MN luôn chuyển động trên đoạn thẳng cố định AB. 0,75 đ Ta có: AM=AD (AB là đờng trung bình của  MFD) Dùng h×nh b×nh hµnh AHNB (H  FD), Ta cã AB=HN;  ADH cân tại A (vì đồng dạng với tam giác cân ODN) nên AD=AH MD Suy ra AM=AH =AD = 2   MHD vu«ng t¹i H Nªn  MHN vu«ng t¹i H Do đó MN HN hay MN AB VËy MN nhá nhÊt b»ng AB khi M vµ N trïng A vµ B.. 0,25. 0,25. 0,25. 0,25. 0,25. 0,25. 0,25.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> 4. 2,0 ® O. H. M. A B. 5. C. Ta cã:  ABC vu«ng t¹i A;   BCA = 150 (gt) => CBO = 750 Vẽ  MBC đều sao cho M và A cùng n»m trªn mét nöa mÆt ph¼ng cã bê lµ đờng thẳng BC. 0  Từ đó ta có: OBM 15 . Gäi H lµ trung ®iÓm cña BO. XÐt  HMB vµ  ABC cã: 1 HB = AC (cïng b»ng 2 BO)   HBM ACB 150 ; MB = BC (vì  MBC đều); VËy  HMB =  ABC (c.g.c);. 0   Suy ra: MHB BAC 90 hay MH  OB, do đó MH vừa là đờng cao, vừa là đờng trung tuyÕn cña  OMB. 0  Suy ra:  MOB c©n t¹i M => BMO 150 0 0 0 0  => CMO 360  (150  60 ) 150 XÐt  OMB vµ  OMC cã: 0   OM c¹nh chung; BMO = CMO 150 ; MB = MC (v×  MBC đều) VËy  OMB =  OMC (c.g.c) Suy ra: OB = OC hay  OBC c©n t¹i O.   Do đó BCO = CBO =750 1,0 đ Vì các nhãn dán ở ngoài hộp đều không đúng với các quả đựng trong hộp nên hộp có nhãn CQ đựng 2 quả cam hoặc đựng 2 quả quýt. Do đó ta lấy 1 quả trong hộp mà bên ngoài có ghi nhãn CQ th× có các khả năng sau: NÕu: Hép cã nh·n CQ QQ CC - Qu¶ lÊy §ùng 2 qu¶ cam §ùng 1 qu¶ §ùng 2 qu¶ quýt ra lµ cam cam, 1 qu¶ quýt - Qu¶ lÊy §ùng 2 qu¶ §ùng 2 qu¶ cam §ùng 1 qu¶ ra lµ quýt quýt cam, 1 qu¶ quýt. 0,25 (h×nh vÏ) 0,25 0,25 0,25. 0,25. 0,25. 0,25. 0,25. 0,25 0,25. 0,25 0,25.

<span class='text_page_counter'>(5)</span>