SKKN sử DỤNG PHƯƠNG PHÁP HÌNH học để GIẢI bài TOÁN tìm GTLN,GTNN LIÊN QUAN mô ĐUN số PHỨC

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRƯỜNG THPT LƯƠNG ĐẮC BẰNG

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP HÌNH HỌC ĐỂ GIẢI BÀI TỐN TÌM
GTLN,GTNN LIÊN QUAN MƠ ĐUN SỐ PHỨC

Người thực hiện:
Lê Xuân Ninh
Chức vụ:
Hiệu trưởng
SKKN thuộc lĩnh mực (mơn): Tốn

THANH HỐ NĂM 2021


MỤC LỤ

1. MỞ ĐẦU....................................................................................................................1
1.1.Lí do chọn đề tài……………………………………………………….. 1
1.2. Mục đích nghiên cứu…………………………………………….
1
1.3. Đối tượng nghiên cứu……………………………………………
1
1.4. Phương pháp nghiên cứu……………………………………………….1
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM...........................................................2
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm……………………………… 2
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng Sáng kiến kinh nghiệm................ 3
2.3. Giải pháp thực hiện…………………………………………………….4

2.4. Hiệu quả của Sáng kiến kinh nghiệm…………………………………14
3. KẾT LUẬN – KIẾN NGHỊ....................................................................................15
3.1. Kết luận………………………………………………………………15
3.2. Kiến nghị……………………………………………………………..15
4. TÀI LIỆU THAM KHẢO


1. MỞ ĐẦU
1.1. Lý do chọn đề tài
Bài tốn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất nói chung là một vấn đề quan
trọng và khó đối với học sinh cấp trung học phổ thơng, trong đó bài tốn tìm giá
trị lớn nhất nhỏ nhất liên quan mơđun số phức là một nội dung thường xuyên
xuất hiện ở các câu vận dụng, vận dụng cao trong đề thi tốt nghiệp THPT những
năm gần đây. Đối với học sinh trung bình, khá thì đây là mảng kiến thức khó và
thường để mất điểm, đối với học sinh giỏi thì có thể giải quyết được một phần
tuy nhiên thường gặp rất nhiều khó khăn trong việc xác định phương pháp giải
và mất nhiều thời gian trong việc tìm ra đáp số.
Trong sách bài tập và các tài liệu tham khảo loại bài tập này xuất hiện
nhiềutuy nhiên chỉ dừng lại ở việc cung cấp bài tập cùng lời giải rời rạc, với
phương pháp giải và hướng tiếp cận đa dạng chưa có hệ thống hướng dẫn chi
tiết phương pháp tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của môđun số phức phù hợp với
hình thức thi trắc nghiệm và xu hướng đề thi tốt nghiệp THPT.
Từ những lý do trên cùng với ý tưởng, giải pháp mà bản thân nghiên cứu
trong quá trình trực tiếp ơn luyện và chỉ đạo ơn tập thi tốt nghiệp THPT Quốc
gia, tôi đã quyết định chọn đề tài: “ Sử dụng hình học để giải các bài tốn tìm
giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất liên quan mơđun số phức”nhằm giúp học
sinh có cách nhìn rõ ràng, tổng quan hơn, cụ thể hơn trên cơ sở những hình ảnh
hết sức trực quan để từ đó giúp các em có thể tìm ra lời giải và đáp số nhanh hơn
về một lớp bài tốn tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất liên quan môđun số phức.Rất
mong nhận được sự đóng góp ý kiến, nhận xét và đánh giá của đồng nghiệp để

đề tài được hoàn thiện hơn.
1.2. Mục đích nghiên cứu
Mục đính nghiên cứu của đề tài là hình thành phương pháp hình học để
tính nhanh, chính xác bài tốn tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của mơđun số phức
qua đó hình thành kỹ năng tốn học và tư duy hình học trong các bài toán đại số.
1.3. Đối tượng nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu của đề tài là phương pháp hình học để giải các bài
tốn tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất liên quan môđun số phức.
1.4.Phương pháp nghiên cứu
Phương pháp nghiên cứu trong đề tài bao gồm
- Phương pháp điều tra khảo sát thực tế, thu thập thông tin: Điều tra, khảo
sát thực tế dạy học phần giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của môđun số phức ở trường
THPT Lương Đắc Bằng và các trường THPT trong huyện.
- Phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lý thuyết: Sách giáo khoa Giải
tích 12; Tài liệu dạy học theo định hướng phát triển năng lực học sinh.
- Phương pháp thống kê, xử lý số liệu: Thống kê và sử lý số liệu trên lớp
thực nghiệm và lớp đối chứng để qua đó thấy được hiệu quả của đề tài.
1


2. NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN
2.1.Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm
Các định nghĩa về số phức và các phép toán cộng, trừ hai số phức; phép
nhân số phức; phép chia hai số phức (SGK Giải tích 12)
Các bài toán cực trị cơ bản về liên quan giữa các yếu tố: Điểm, đường
tròn, đường thẳng, đoạn thẳng, tia, miền đa giác, hình trịn, …
Một số kết quả đã biết
a. Cho hai điểm A, B cố định. Với điểm M bất kỳ ln có bất đẳng thức
tam giác:
+) MA  MB �AB , dấu “=” xảy ra � M nằm giữa hai điểm A, B .

+)

MA  MB �AB

, dấu “=” xảy ra � B nằm giữa hai điểm A, M .

b. Cho hai điểm A, B nằm cùng phía đối với đường thẳng d và M là điểm
di động trên d . Ta có:
+)

MA  MB �AB

, dấu “=” xảy ra � Ba điểm A, M , B thẳng hàng.

+) Gọi A�là điểm đối xứng với A qua d , khi đó ta có
, M , B thẳng
MA  MB  MA�
 MB �A�
B , dấu “=” xảy ra � Ba điểm A�

hàng.
c. Cho hai điểm A, B nằm khác phía đối với đường thẳng d và M là điểm
di động trên d . Ta có:
+) MA  MB �AB , dấu “=” xảy ra � M nằm giữa hai điểm A, B .
+) Gọi A�là điểm đối xứng với A qua d , khi đó ta có
MA  MB  MA�
 MB �A�
B

, M , B thẳng

, dấu “=” xảy ra � Ba điểm A�

hàng.
d. Cho đoạn thẳng PQ và điểm A không thuộc PQ , M là điểm di động
max AM  max  AP, AQ

trên đoạn thẳng PQ , khi đó
AM ta xét các trường hợp sau:

. Để tìm giá trị nhỏ nhất của

+) Nếu hình chiếu vng góc H của A trên đường thẳng PQ nằm trên
đoạn PQ thì min AM  AH .
+) Nếu hình chiếu vng góc H của A trên đường thẳng PQ khơng nằm


.
trên đoạn PQ thì
e. Cho đường thẳng  và điểm A không nằm trên  . Điểm M trên  có
khoảng cách đến A nhỏ nhất chính là hình chiếu vng góc của A trên  .
min AM  min AP; AQ

2


f. Cho x, y là các tọa độ của các điểm thuộc miền đa giác A1 A2 ... An . Khi đó
giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của biểu thức F  ax  by ( a, b là hai số thực đã cho
không đồng thời bằng 0 ) đạt được tại một trong các đỉnh của miền đa giác.
2.2 Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
Trao đổi với các thầy cô giáo trong bộ mơn tốn nhà trường,tơi nhận thấy

phần lớn giáo viên mới chỉ dừng lại ở mức độ trang bị lý thuyết và giao nhiệm
vụ cho học sinh một vài bài tập cụ thể mà chưa khai thác bài toán ở những cách
giải mới. Lý do là phần kiến thức này khá rộng và khó, ngồi ra số tiết theo phân
phối chương trình dành cho phần này rất ít nên chưa có sự quan tâm xứng đáng.
Một bộ phận học sinh khi tìm GTLN, GTNN của mơ đun số phức thường
sử dụng phương pháp biến đổi trực tiếp và dùng bất đẳng thức để đánh giá dẫn
đến một số thử thách trong việc làm bài thi Tốt nghiệp THPT Quốc gia:
Một là, các em mất nhiều thời gian để tìm ra đáp số của bài toán.
Hai là, một số bài toán phức tạp các em sẽ gặp khó khăn trong việc định
hướng tìm lời giải hoặc có hướng giải quyết bài tốn nhưngkhơng tìm được đáp
số chính xác dẫn đến kết quả bài thi chưa cao.
Từ thực tế đó, địi hỏi cần có cách tư duy bài tốn theo hướng khai thác
tối đa tính trực quan của việc biểu diễn số phức bằng hình học là rất cần thiết
trong việc ơn thi tốt nghiệp THPT Quốc gia phần cực trị số phức của nhà trường
trong giai đoạn hiện nay.
2.3. Giải pháp thực hiện
2.3.1. Xây dựng quy trình giải bài tốn tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất
liên quan số môđun số phức bằng hình học.
Phương pháp giải:
Bước 1: Chuyển đổi ngơn ngữ bài tốn số phức sang ngơn ngữ hình học.
Bước 2: Sử dụng một số kết quả đã biết để giải bài tốn hình học.
Bước 3: Kết luận cho bài tốn số phức.
Ví

dụ:



 

Cho

2 zz i zz

z  3i



số

phức

mãn

. Giá trị nhỏ nhất của

bằng

A. 3.

B. 3 .

C. 2 3 .

D. 2.

Hướng dẫn giải

3

z thỏa

2


Bước 1: Chuyển đổi ngôn ngữ
z  x  yi  x, y �� � z  x  yi
Giả sử
. Khi đó
bài tốn số phức sang ngơn ngữ
2
2  z  z   i  z  z  � 2  2 yi   4 x 2i � y  x 2
hình học.
.
Gọi

M  x; y  ; A  0; 3

lần lượt là điểm biểu

z  3i  MA
diễn cho số phức z; 3i thì
.

2
Bước 2: Sử dụng một số kết quả
O 0;0
Parabol y  x có đỉnh tại điểm   , trục
đã biết để giải bài tốn hình học.
đối xứng là đường thẳng x  0 . Hơn nữa,

điểm A thuộc trục đối xứng của parabol,
nên ta có:

MA �OA  3 . Suy ra, min MA  3 khi M �O .

Bước 3: Kết luận cho bài toán số
min z  3i  3
Vậy
, khi z  0 . Chọn A.
phức.
2.3.2. Xây dựng hệ thống bài tập mẫu, minh họa và hướng dẫn học
sinh sử dụng hình học để tính giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của mơđun số phức
Ví dụ 1: Cho số phức z thỏa mãn
Môđun lớn nhất của số phức z bằng
A. 7.

B. 6.

C. 5.

D. 4.

z  3  4i  1

.

Hướng dẫn giải
Gọi M  x; y  , I  3;4  là các điểm biểu diễn lần lượt cho
z;3  4i .
các

số
phức
Từ
giả
thiết
z  3  4i  1 � MI  1

.

Tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn giả
thiết là đường tròn tâm

I  3;4 

, bán kính r  1 .
4

Nhận xét:
OI  r �OM  z �OI  r


z  OM
Mặt khác
. Mà OM đạt giá trị lớn nhất bằng
OI  r , khi M là giao điểm của đường thẳng OM với

đường tròn tâm

I  3;4 

r  1 . Hay

, bán kính

18 24 �
�
M� ; �
�5 5 �
.

max z  OI  r  5  1  6

Do đó,
Ví

dụ

2:

Trong

z  2  4i  z  2i

A. z  2  2i .

các

, khi

số

z

18 24
 i
5
5

phức

z thỏa

mãn

, số phức z có mơđun nhỏ nhất là
B. z  1  i .

C. z  2  2i .

D. z  1  i .

Hướng dẫn giải
Đặt

z  x  yi  x, y ��

� x y 4  0  d .

. Khi đó

z  2  4i  z  2i

Vậy tập hợp điểm M biểu diễn số phức z là đường
thẳng d .
z  OM

Do đó
trên d .
Suy ra

M  2;2 

Nhận xét: Trong tất cả
các đoạn thẳng kẻ từ
điểm O đến đường thẳng
d , đoạn vng góc OM
ngắn nhất.

nhỏ nhất khi M là hình chiếu của O
hay z  2  2i .

Chọn C.
z  3  z  3  10
Ví dụ 3: Cho số phức z thỏa mãn
.

Giá trị nhỏ nhất của z là
A. 3.

B. 4.

C. 5.

D. 6.

Hướng dẫn giải

Với mọi điểm M nằm
Gọi
,
lần lượt là trên elip, đoạn OM ngắn
các điểm biểu diễn các số phức 3;3; z .
nhất là đoạn nối O với
F1 F2  2c  6 � c  3 . Theo giả thiết ta có giao điểm của trục bé
Ta có
với elip.
MF1  MF2  10 , tập hợp điểm M là đường elip có trục
2a  10 � a  5
lớn
;
trục
bé
F1  3;0  , F2  3;0 

M  x; y  ;  x, y ��

2b  2 a 2  c 2  2 25  9  8 .

5

OM  z

Mặt khác
z  4i .

nhỏ nhất bằng 4 khi z  4i hoặc
z

Vậy giá trị nhỏ nhất của

bằng 4.

Chọn B.
Chú ý: Bài này có thể trình bày kết hợp hình học và
bất đẳng thức
Gọi F1  3;0  , F2  3;0  , có trung điểm là O  0;0  . Điểm
M biểu diễn số phức z .
Theo

cơng

2

z  OM 2 

trung

tuyến

thì

MF  MF2
FF
 1 2
2
4 .

MF1  MF2
2

Ta có

thức
2
1

2

2

2

 MF
�

1

2

 MF2 2 
2

2

 50

.

khi Chú ý:
Trong mặt phẳng tọa độ
�
M  4;0 
�MF1  MF2
50 36
��
� min z 

4
�
tập hợp các điểm biểu
2
4
M  4;0 
�MF1  MF2  10 �
, diễn nghiệm của bất
phương
trình
Khi z  4i hoặc z  4i .
ax  by  c �0 là nửa mặt

Ví dụ 4: ( Sở GD&ĐT Thanh Hóa- 2021)
phẳng có bờ là đường
z  z  2  2 z  z  2i �12 thẳng ax  by  c  0 ( )
Cho số phức z thỏa mãn
.

Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu ( kể cả đường thẳng )
Đẳng

thức

thức

P  z  4  4i

xảy

ra

. Tính M  m .

A. 5  61 .

B. 10  61 .

C. 10  130 .

D. 5  130 .

Giải:

Gọi z  x  yi, x, y ��,
Ta có

z  z  2  2 z  z  2i �12 � x  1  2 y  1 �6

�x  2 y �7 khi x �1; y �1
�
 x  2 y �9 khi x  1, y �1
�
��
�x  2 y �3 khi x �1, y  1
�
 x  2 y �5 khi x  1, y  1
�

6


Tập hợp điểm
ABCD
thoi

N  x; y 

biểu diễn số phức z thuộc miền trong của của trong hình
(tính cả trên các cạnh) như hình vẽ với

A  1;4  , B  5;1 , C  1; 2  , D  7;1

Xét điểm

I  4;4 

P  z  4  4i  IN
, thì I nằm ngồi hình thoi và

Theo hình vẽ
+ IN đạt giá trị lớn nhất khi N �D , suy ra M  ID  121  9  130
+ IN đạt giá nhỏ nhất khi N �H ( H là hình chiếu của I trên AB ), suy ra
m  d  I , AB  

487
5

 5

. Vậy M  m  130  5

z 1 i  2
Ví dụ 5: Cho số phức z thỏa mãn
. Tìm giá trị lớn nhất của biểu
2

thức

P  z  2  i  z  2  3i

2

.

B. 38  8 10 .

A. 18 .

C. 18  2 10 .

D. 16  2 10 .

Lờigiải
Cách1: Gọi M  x; y  là điểm biểu diễn cho số phức z . Gọi I  1; 1 , A  2;1 ,
B  2;3

lần lượt là điểm biểu diễn cho các số phức 1  i ; 2  i ; 2  3i . Khi đó, ta

có: MI  2 nghĩa là M thuộc đường trịn  C  có tâm I  1; 1 , R  2 và
AB 2
P  2ME  EA  EB  2ME 
2 , với E  0; 2  là trung
P  MA2  MB 2 . Ta có:
điểm của AB . Do đó P có giá trị lớn nhất khi và chỉ khi ME có giá trị lớn nhất.
2

2

2

2

Ta có : IE  1  9  10  R nên  ME  max  IE  R  2  10 .

7


Vậy



Pmax  2 2  10



2





AB 2
 2 2  10
2



2

 10  38  8 10

.

Cách2: Giả sử z  x  yi ( x, y ��). M  x; y  là điểm biểu diễn của z .
Suy ra M � C1  có tâm I1  1;  1 và bán kính R1  2 .
z  1  i  2 �  x  1   y  1  4  1
2

2

.

Ta có: P �0 và P  z  2  i  z  2  3i   x  2    y  1   x  2    y  3
2

2

2

2

2

2

2
2
Suy ra P   x  1   y  1  x  y  2 x  10 y  16   x  1   y  5   6 .
2

2

2

2

Ta có  x  1   y  5  P  6 �6  2  nên  2  là phương trình của đường trịn  C2 
có tâm I 2  1;5 , bán kính R2  P  6  R1 ; I1 I 2  2 10 .
2

2

Để tồn tại x , y thì  C1  và  C2  có điểm chung � P  6  2 �I1 I 2 � P  6  2 .
Suy ra :

 P
P  6 �2  I1 I 2 ۣ

 2  2 10 

2

 6  38  8 10

.

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi  C1  và  C2  tiếp xúc trong. Vậy
max P  38  8 10 .
Thông qua các ví dụ minh họa cần phân tích để học sinh thấy rõ hiệu quả
của ứng dụng hình học trong giải các bài tập, đồng thời trang bị cho các em kiến
thức hình học và tư duy hình học trong các bài toán đại số.
Xác định rõ vấn đề mấu chốt là cần phát hiện chính xác quỹ tích của các
điểm biểu diễn số phức và yếu tố hình học trong yêu cầu của đề bài để chuyển

đổi “ngôn ngữ” đại số sang hình học.
2.3.3. Xây dựng hệ thống bài tập nâng cao, phát triển mở rộng.
Ví dụ 1: (BGD - Đề minh hoạ 2021)
Xét hai số phức z1 , z2 thỏa mãn
3z1  z2  5i

z1  1, z2  2

và z1  z2  3 . Giá trị lớn nhất của

bằng

A. 5  19 . B. 5  19 . C. 5  2 19 . D. 5  2 19 .
Lời giải
Chọn B
z1  1 � 3z1  3

;

z2  2

; z1  z2  3

uuur

 Gọi M là điểm biểu diễn z1 � OM là vectơ biểu diễn z1 ;
uuu
r

N là điểm biểu diễn 3z1 � ON là vectơ biểu diễn 3z1 ;

8


uuu
r

P là điểm biểu diễn z2 � OP là vectơ biểu diễn z2 .

Có

z1  OM  1 � M � O , R  1 

3z1  ON  3 � N � O , R3  3
z2  OP  2 � P � O , R2  2

;

;

.

 Gọi w  3z1  z2 và Q là điểm biểu diễn w .
� w  OQ  ON 2  NQ2  2ON .NQ.cos ONQ  ON 2  OP 2  2ON .OP .cos ONQ

� Để tính OQ , ta cần cosONQ

Ta có :

cos MOP 

OM 2  OP 2  MP 2 1
1
 � cos ONQ   cos MOP  
2
2OM .OP
2

�1�
� w  OQ  32  22  2.3.2. � � 19
� 2�
uuu
r uur
T  3z1  z2  5i  OQ  OA  AQ

 Xét

với A  0, 5 biểu diễn số phức u  5i .



� T max khi AQ max . Mà OQ  19 � Q � O , R4  19



� AQ max  OA  R4  5  19

Nhận xét: Xu hướng dùng hình học giải bài toán giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ
nhất liên quan môđun số phức nhất là các bài tập liên quan nhiều số phức cần
quan tâm đặc biệt bởi ưu điểm trực quan, nhanh gọn và giảm tính hàn lâm khi

sử dụng các bất đẳng thức nhiều biến.
9


Ví dụ 2: Xét các số phức z , w thỏa mãn z  2 , iw  2  5i  1 . Giá trị nhỏ nhất
của

z 2  wz  4

A. 4 .B.

2



bằng

29  3

 .C. 8 .

D.

2



29  5

.

Lời giải

iw  2  5i  1 � i �w 

Ta có:
Ta có:

2  5i
 1 � w  5  2i  1
i
.

T  z 2  wz  4  z 2  wz  z

2

 z 2  wz  z �
z  z �z  z  w  2 z  z  w  *

Đặt z  a  bi . Suy ra: z  z  2bi . Vì z  2 nên 4 �2b �4 .
Gọi A , B lần lượt là điểm biểu diễn của w và 2bi . Suy ra:

+ A thuộc đường trịn  C  có tâm I  5; 2  , bán kính R  1 .
+ B thuộc trục Oy và 4 �xB �4 .

4  8 (xem hình)
Từ  * suy ra: T  2 AB �2 MN  2 �

Dấu “  ” xảy ra khi và chỉ khi A �M  4; 2  � w  4  2i và

B �N  0; 2  � 2bi  2i � b  1 � z  a  i � a 2  1  4 � a  � 3 � z  � 3  i

Vậy

z  wz  4
2

.

có giá trị nhỏ nhất bằng 8 .

z  3  4i  2
Ví dụ 3: Trong các số phức z thoả mãn
có hai số phức z1 , z2

thỏamãn

z1  z2  1.

A. -10

2

2

Giá trị nhỏ nhất của z1  z2 bằng
B. 4  3 5

C. -5

Lời giải:

10

D. 6  2 5 .


2

P  z1  z2

2

Ký hiệu
, giả sử M biểu diễn z suy
raM thuộc đường tròn tâm I (3;4) bán kính R=2;A,
Bbiểu diễn z1 , z2 . Gọi H là trung điểm AB. Ta có
AB  1, OI  5 , IH  AB và:
uuu
r uuu
r uuu
r uuu
r
2
2
P  z1  z 2  OA2  OB 2  OA  OB . OA  OB
uuu
r uuur
uuu

r uur uuu
r
 BA.2OH  2 BA. OI  IH





uuu
r uur
P  2 BA.OI nên Pmin






.

uuu
r uur
 2 AB.OI  10 khi BA, OI

ngược hướng nhau. Chọn A.
Ví dụ 4: Cho 3 số phức z, z1 , z2 thỏa mãn
z  1  2i  z  3  4i , z1  5  2i  2, z2  1  6i  2.

thức

T  z  z1  z  z2  4

2 3770
A. 13

10361
B. 13

Tính giá trị nhỏ nhất của biểu

3770
C. 13

10361
D. 26

Lờigiải
Gọi

M  z   M  x; y  ; A  1; 2  , B  3; 4 

M thuộc đường trung trực đoạn AB:

. Từ giả thiết

z  1  2i  z  3  4i .

2x  3 y  5  0  

suy ra

P  z1  , Q  z2 

từ giả thiết suy ra P, Q lần lượt thuộc đường tròn tâm I(-5;2) và
đường tròn tâm K (1;6) bán kính R1  R2  2 . Ta có:
uuu
r
uur
AB   4;6  , IK   6;4 

uuu
r uur
d I ,    R, IK  2 R
Nghĩa là AB  IK nên hai đường thẳng IK / /  , hơn nữa 
.

Rõ ràng ta có T  MP  MQ  2 R nhỏ nhất khi P, Q thuộc các đoạn MI, MK và
Tmin
do
tính
đối
xứng
nên
=
2MK
.
Vậy
2

Tmin

2
2 3770
�1 �
 2 MK  2 � IK � �
d  I ,  �

�
�
13 . Chọn A.
�2 �

HỆ THỐNG CÁC BÀI TẬP ĐỂ GIÚP HỌC SINH TỰ LUYỆN
11


Câu 1: Gọi M và m là giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của môđun số phức z thỏa mãn
z 1  2

. Giá trị của M  m là

A. 3.

B. 2.

C. 4.

D. 5.

z2  z2 5
Câu 2: Cho số phức z thỏa mãn

. Gọi M , m lần lượt là giá trị

lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của
A.

M m 

17
2 .

z

. Giá trị M  m là

B. M  m  8 .

C. M  m  1 .

D. M  m  4 .

z  1  2i  z  3  i
z
Câu 3: Cho số phức z thỏa
. Khi đó, nhỏ nhất bằng
3
B. 2 .

A. 1.

5

C. 2 .

D. 2.

P  z2  z  z2  z
z 1
Câu 4: Cho số phức z thỏa
. Giá trị lớn nhất của
là

14
A. 5 .

C. 2 2 .

B. 4.

D. 2 3 .

Câu 5: Cho số phức z và w biết chúng thỏa mãn hai điều kiện

 1  i  z  2  2; w  iz
1 i

. Giá trị lớn nhất của

P  w z

B. 2 2 .

A. 4.

bằng

C. 4 2 .

D. 2 .

 1  i  z  1  7i  2 . Giá trị lớn nhất của z là
Câu 6: Cho số phức z thỏa
A. 4.

B. 7.

C. 6.

D. 5.

Câu 7: Cho số phức z thỏa mãn z  1  2i  z  1  i  5 . Giá trị nhỏ nhất của biểu
thức

P  iz  3  4i

7 5
A. 5 .

là
B. 2 5 .

C. 13 .

7
D. 5 .

Câu 8: Cho số phức z thỏa mãn z  2  i  z  3  2i  34 . Gọi m, M lần lượt là
giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của
A. P  5 34 .

z  1  2i

. Giá trị P  m.M bằng
14 85
C. 17 .

B. P  10 2 .

14 170
D. 17 .

z  1  i  z  2  2i
z  a  bi  a, b ��
Câu 9: Cho số phức z thỏa mãn
. Biết khi
thì
biểu thức
z  1  2i  z  2  i

đạt giá trị lớn nhất. Giá trị T  3b  a là
12

B. 2 .

A. 5.

C. 3.

D. 4.

z  z  2  3 z  z  2i �6
Câu 10: Cho số phức z thỏa mãn
. Gọi M , m lần lượt là

giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của
A. 8 5 .

z  2  3i

B. 3 10 .

. Giá trị của M  5m bằng
C. 6 5 .

D. 5 10 .

z 2  2 z  5   z  1  2i   z  3  4i 
z
Câu 11: Xét các số phức thỏa mãn
. Giá trị nhỏ
z 1 i

nhất của

là

2 5
B. 5 .

A. 1.

3
D. 4 .

2 6
C. 6 .

Câu 12: Cho số phức z thỏa mãn z  1  i  z  3  2i  5 . Gọi M , m lần lượt là
giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của
39
A. 2 .

z

1
i
2
2
2
. Giá trị của M  m là

137
B. 10 .

157
C. 10 .

33
D. 2 .

z1  a   a 2  2a  2  i
M
Câu 13: Gọi
là điểm biểu diễn số phức
( với a là số thực
z2  2  i  z2  6  i
z2
N

thay đổi) và
là điểm biểu diễn số phức
ngắn nhất của đoạn MN bằng
6 5
B. 5 .

A. 2 5 .
Câu

14:

Cho

hai

. Độ dài

C. 1.
số

z  5  z  5  6; 5a  4b  20  0
3
A. 41 .

biết

D. 5.
w  a  bi

z và

phức

. Giá trị nhỏ nhất của

5
B. 41 .

4
C. 41 .

zw

thỏa

mãn

là
3
D. 41 .

zw 4
Câu 15: Cho hai số phức z và w thỏa mãn z  2w  8  6i và
. Giá trị lớn

nhất của biểu thức
A. 4 6 .
Câu 16: Gọi S
z  1  mi  z  m  2i

z1  z2

zw

bằng

B. 2 26 .

là tập hợp các số phức

D. 3 6 .
z thỏa mãn z  1  34

và

(trong đó m �� ). Gọi z1 , z2 là hai số phức thuộc S sao cho

lớn nhất, khi đó giá trị của

A. 2.

C. 66 .

z1  z2

bằng
C. 2 .

B. 10.

13

D. 130 .


z1  i
z i
 1; 2
 2
z1  2  3i
z2  1  i

Câu 17: Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn
nhất của

z1  z2

. Giá trị nhỏ

là

A. 2 2 .

B. 2 .

D. 2  1 .

C. 1.

zz 2 zz 8
Câu 18: Cho số phức z thỏa mãn
. Gọi M , m lần lượt là giá trị

lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức
A. 10  34 .
Câu

19:

Gọi

z  a  bi  a, b ��

. Giá trị của M  m bằng

C. 10  58 .

B. 2 10 .

z  1  2i  z  2  3i  10

A. 7.

P  z  3  3i

là

số

phức

thỏa

D. 5  58 .
mãn

điều

kiện

và có mơđun nhỏ nhất. Giá trị của S  7 a  b là

B. 0.

C. 5.

D. 12 .

z  2  z  2i
Câu 20:Cho số phức z thỏa mãn điều kiện
. Giá trị nhỏ nhất của
a  b 17
P  z  1  2i  z  3  4i  z  5  6i
2
biểu thức
được viết dưới dạng
với
a , b là các số hữu tỉ. Giá trị của a  b là

A. 3 .

B. 7 .

C. 2 . D. 4 .

2.4. Hiệu quả của Sáng kiến kinh nghiệm
Thực tế áp dụng phương pháp tôi thấy khả năng nhận định của các em tốt
hơn nhiều, lời giải ngắn gọn và chính xác. Học sinh tự tin hơn khi gặp các bài
tập tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất liên quan môđun số phức, các em không những
giải được nhanh, hiệu quả mà đồng thời phát triển tư duy trừu tượng, kỹ năng
dùng hình học trong giải tốn.
Qua khảo sát giữa các lớp ôn thi tốt nghiệp THPT tại trường tôi thấy kết

quả kiểm tra của lớp thực nghiệm 12A4 tỉ lệ học sinh khá giỏi tăng, tỉ lệ học
sinh trung bình, yếu giảm so với trước khi áp dụng giảng dạy. Việc định hướng
về phương pháp trong làm bài của học sinh tốt hơn, học sinh lớp 12A4 tự tin
hơn khi đứng trước bài kiểm tra, không bị bất ngờ trong từng bài tốn, trình bày
lời giải ngắn gọn, rõ ràng. Kết quả thi KSCL tốt nghiệp do Sở GD&ĐT Thanh
Hóa tổ chức lớp đạt điểm trung bình 8.68
Đề tài được đồng nghiệp và học sinh đánh giá cao và xem đây là một tài
liệu quan trong giảng dạy môn Giải tích ơn thi Tốt nghiệp THPT Quốc gia.

14


3. KẾT LUẬN – KIẾN NGHỊ
3.1. Kết luận

Tiếp cận phương pháp hình học để giải tốn là một vấn đề rộng và có
nhiều ý nghĩa mang lại hiệu quả cao, thích thú cho người học nó. Đối với bài
tốn tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất liên quan mô đun số phức sử dụng hình học là
một giải pháp phù hợp, hiệu quả đáp ứng yêu cầu của nội dung kiến thức vận
dụng cao trong chương IV Số phức - Giải tích 12 ở các đề thi tốt nghiệp THPT.
Sáng kiến kinh nghiệm là một giáo án luyện tập môn Giải tích có hiệu quả dành
cho bản thân và đồng nghiệp trong Tổ bộ môn . Hi vọng rằng đề tài này sẽ góp phần

đem lại hiệu quả hơn với học sinh, từ đó tạo sự hứng thú trong việc học mơn
tốn cho các em.
3.2.Kiến nghị
Thơng qua đề tài tơi xin có một vài kiến nghị như sau:

15

- Đối với tổ bộ môn: Tổ chức thêm các buổi sinh hoạt chuyên môn để trao
đổi thảo luận. Nên thường xuyên trau dồi và tự trau dồi kiến thức để có các
phương pháp dạy học tích cực, giúp cho học sinh nắm bắt kiến thức tốt hơn.
- Đối với nhà trường: Tăng cường thêm các loại tài liệu tham khảo, tổ chức
các buổi nói chuyện giao lưu chun mơn giữa các tổ chuyên môn để xây dựng
được nhiều chuyên đề
- Đối với Sở giáo dục và đào tạo cần nhân rộng và phát triển những đề tài
có tính ứng dụng cao đồng thời viết thành bộ sách tham khảo cho học sinh và
giáo viên.
XÁC NHẬN CỦA THỦ
TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Thanh Hóa, ngày 20 tháng 05 năm 2021
Tơi xin cam đoan đây là SKKN của mình
viết, khơng sao chép nội dung của người khác.

Lê Xuân Ninh

4. TÀI LIỆU THAM KHẢO
 Sách giáo khoa Giải tích 12 – Nhà xuất bản Giáo dục
 Đề tham khảo, đề minh họa của Bộ giáo dục năm 2021
 Các đề thi thử của các trường trong và ngoài tỉnh
 Phát triển đề minh họa của các diễn đàn Toán
 Nguồn internet

16


DANH MỤC

CÁC ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG
ĐÁNH GIÁ XẾP LOẠI CẤP SỞ GD&ĐT VÀ CẤP CAO HƠN
XẾP TỪ LOẠI C TRỞ LÊN
Họ và tên tác giả: Lê Xuân Ninh
Chức vụ và đơn vị công tác: Hiệu trưởng trường THPT Lương Đắc Bằng

TT

Tên đề tài SKKN

Cấp đánh
giá xếp
loại (Sở,
Tỉnh…)

1

Một số ứng dụng của hàm lỗi bất

Sở

17

Kết quả
đánh giá
xếp loại

Năm học
đánh giá
xếp loại

C

2004-2005


đẳng thức Jensen
2

Một số phương pháp giải phương
trình và ứng dụng

Sở

C

2005-2006

3

Phương pháp phân dạng một số
loại tốn tìm ngun hàm được
minh họa qua các bài tập đặc biệt

Sở

C

2007-2008

Kỹ thuật quy về một biến trong
bái tốn tìm giá trị lớn nhất, giá
trị nhỏ nhất của một biểu thức

Sở

B

2015-2016

4

5

6

7

8

Kỹ thuật quy về một biến trong
bái tốn tìm giá trị lớn nhất, giá
trị nhỏ nhất của một biểu thức

Tỉnh

B

2016-2017

Khắc phục một số sai lầm
thường gặp của học sinh lớp 10
khi giải phương trình

Sở

B

2017-2018

Một số bài tốn về tích phân vận
dụng, vận dụng cao trong các đề
thi THPT QG

Sở

C

2018-2019

Một số giải pháp giúp HS trung
bình lớp 12 nâng cao chất lượng
mơn Tốn thi tốt nghiệp THPT
thông qua giải đề minh họa năm
2020 của Bộ Giáo dục

Sở

C

2019-2020

18