Gioi Han

<span class='text_page_counter'>(1)</span>Giíi h¹n I. Giíi h¹n cña d·y sè 1. D·y sè cã giíi h¹n 0. A. KiÕn thøc s¸ch gi¸o khoa. lim  u n  0 u  a. §Þnh nghÜa: Ta nãi r»ng d·y sè n cã giíi h¹n 0, kÝ hiÖu (hay lim u n 0 ), nÕu víi mäi sè d¬ng nhá bao nhiêu tùy ý cho trớc, mọi số hạng của dãy số, kể từ số hạng nào đó trở đi, đều có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn số dơng đó. 1 1 lim 0; lim  0    0  ; lim q n 0  | q | 1 n n b. TÝnh chÊt: | u n |v n u n , vn :   lim u n 0 lim  v n  0   c. §Þnh lÝ: Cho hai d·y sè (1) 2. D·y sè cã giíi h¹n h÷u h¹n lim  u n  L  0 u  a. §Þnh nghÜa: Ta nãi r»ng d·y sè n cã giíi h¹n lµ sè thùc L, kÝ hiÖu lim u n L , nÕu lim u n L  lim  u n  L  0 b. Các định lí: • Cho (un) mµ un = c, n : lim u n c • NÕu lim u n L, lim v n M th×: lim  u n v n  L M; lim  u n .v n  L.M; lim k.u n k.L (k  ); lim. un L  (M 0) vn M.  v n u n  w n , n  lim u n L  lim v n lim w n L  L    •  (2) • D·y (un) t¨ng vµ bÞ chÆn trªn th× cã giíi h¹n; D·y (vn) gi¶m vµ bÞ chÆn díi th× cã giíi h¹n. (3) c. Tæng cña mét cÊp sè nh©n lïi v« h¹n S u1  u1q  u1q 2  ...  u1q n  1  ... lim Sn lim u1 .. u 1 qn  1 ; 1 q 1 q. • 3. D·y sè cã giíi h¹n v« cùc a. D·y sè cã giíi h¹n  Ta nãi r»ng d·y (un) cã giíi h¹n +∞, kÝ hiÖu limun = +∞, nÕu víi mçi sè d¬ng tïy ý cho tríc, mäi sè h¹ng cña d·y sè, kÓ từ số hạng nào đó trở đi, đều lớn hơn số dơng đó. 3 KÕt qu¶: lim n ; lim n ; lim n  b. D·y sè cã giíi h¹n - ∞ Ta nãi r»ng d·y (un) cã giíi h¹n lµ - ∞, kÝ hiÖu limun = -∞, nÕu víi mäi sè ©m tïy ý cho tríc, mäi sè h¹ng cña d·y sè, kÓ từ số hạng nào đó trở đi, đều nhỏ hơn số âm đó. c. C¸c quy t¾c t×m giíi h¹n v« cùc • Quy t¾c nh©n • Quy t¾c chia lim u n lim v n u lim  u n .v n  lim n lim u n L 0 lim v n 0, v n 0. vn +    + +      +  +    +       II. Giíi h¹n cña hµm sè 1. Giíi h¹n h÷u h¹n a. Giíi h¹n h÷u h¹n x   a; b   a; b  \  x 0  . Ta nãi r»ng hµm sè f cã giíi h¹n lµ sè thùc L, kÝ hiÖu Cho 0 và f là hàm số xác định trên tập lim f  x  L x   a; b  \  x 0  mµ lim x n x 0 , x  x0 , khi x dần đến x 0 (hoặc tại điểm x 0 ), nếu với mọi dãy số n trong tập. lim f  x n  L ta đều có b. Giíi h¹n v« cùc lim f  x   x   a; b  \  x 0  mµ lim x n x 0 th× lim f  x n   x  x0 nÕu mäi d·y n trong tËp 2. Giíi h¹n cña hµm sè t¹i v« cùc  a;  . Ta nói rằng hàm f có giới hạn là số thực L khi x dần đến Định nghĩa: Giả sử hàm số f xác định trên khoảng lim f  x  L x   a;  mà lim x n  , ta đều có lim f  x n  L +∞, kÝ hiÖu x   , nÕu víi mäi d·y sè n trong kho¶ng 3. Các định lí lim f  x  L lim g  x  M  L, M    a. §Þnh lÝ 1: Gi¶ sö x  x 0 vµ x  x 0 . Khi đó: lim  f  x  g  x   L M lim  f  x  .g  x   L.M • x  x0 • x  x0 f  x L lim  k.f  x   k.L  k    lim   M 0  x  x0  x  x0 g  x  M • •.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> lim f  x  L. x  x0. b. §Þnh lÝ 2: Gi¶ sö lim | f  x  || L | • x  x0 ; •. lim 3 f  x   3 L. x  x0. . Khi đó:. ;. lim f  x   L , trong đó J là một khoảng nào đó chứa x 0 thì L 0 và x  x0 . J \ x   0 c. Định lí 3: Giả sử J là một khoảng chứa x 0 và f, g, h là ba hàm số xác định trên tập hợp . Khi đó:  x  J \ x : g x  f x  h x         0   lim f  x  L  lim g x  lim h x L x  x0  x  x0   x  x 0   4. Giíi h¹n mét bªn a. §Þnh nghÜa:  x ; b  , x 0   . Ta nói rằng hàm f có giới hạn bên phải là số thực L khi x dần đến • Giả sử hàm f xác định trên khoảng 0 lim f  x  L x   x ; b  mà lim x n x 0 , ta đều có lim f  x n  L . x0, kÝ hiÖu: x  x0 , nÕu víi mäi d·y sè n trong kho¶ng 0  a; x 0  , x 0   . Ta nói rằng hàm f có giới hạn bên trái là số thực L khi x dần đến • Giả sử hàm f xác định trên khoảng lim f  x  L x   a; x 0  mà lim x n x 0 , ta đều có lim f  x n  L . x0, kÝ hiÖu: x  x0 , nÕu víi mäi d·y sè n trong kho¶ng lim f  x  ; lim f  x   ; lim f  x  ; lim f  x    x  x0 x  x0 x  x0 • Các định nghĩa x  x0 đợc phát biểu tơng tự nh trên. b. §Þnh lÝ: 1 lim | f  x  |  lim 0 lim f  x   lim f  x  L  lim f  x  L x  x0 x x0 f  x  x  x0 x  x0 x  x0 5. Quy t¾c t×m giíi h¹n v« cùc a. Quy t¾c nh©n b. Quy t¾c chia f  x lim f  x  L 0 lim g  x  0 lim g  x  L 0 lim  f x .g x  lim f  x  x  x0 x  x0     x  x0 lim x  x0 x  x0  x  x0 g  x  cã dÊu g(x) cã dÊu cã dÊu + + +      +     + +          6. Các dạng vô định f  x lim , lim  f  x  g  x   , lim  f  x   g  x     g x Khi t×m khi x  x 0 ; x  x 0 ; x  x 0 ; x  ; x    ta gÆp c¸c d¹ng 0  , , 0.,    vô địn, kí hiệu 0  , lúc đó ta không dùng đợc các định lí về giới hạn cũng nh các quy tắc tìm giới hạn vô cực. Phép biến đổi về các định lí và quy tắc đã biết gọi là phép khử các dạng vô định B. C¸c d¹ng to¸n c¬ b¶n D¹ng 1: T×m giíi h¹n cña d·y sè Phơng pháp giải: Dùng định nghĩa, tính chất và các định lí về giới hạn của dãy số. • NÕu. f  x  0. víi mäi. lim 3. VÝ dô 1: T×m: Gi¶i:. x  J \  x0. 8n 2  3n n2. 8n 2  3n 3 lim 3 8   3 8 2 2 n n 2n 2  3n  1 lim  n2  2 VÝ dô 2: T×m: Gi¶i: lim 3. 3 1 2  2 2n 2  3n  1 n n  2  2 lim lim 2 1  n2  2  1 2 n. . lim n  1  VÝ dô 3: T×m: Gi¶i:. . lim n  1 . . n 2  1 lim. n 2 1. .  2n 2. n  1  n 1. D¹ng 2: Chøng minh lim u n 0 Phơng pháp giải: Sử dụng định lí:. 2. lim 1. 1 1  1 2 n n.  1. ..

<span class='text_page_counter'>(3)</span> | u n |v n u n , vn :   lim u n 0 lim  v n  0   Cho hai d·y sè (1);  v n u n  w n , n  lim u n L  lim v n lim w n L  L    (2). lim.   1. VÝ dô: Chøng minh: Gi¶i:.   1. n. cos n n. . 1 n. n. cos n. 0. n 1. lim. 0. n vµ nªn lim u n D¹ng 3: Chøng minh tån t¹i Phơng pháp giải: Sử dụng định lí D·y (un) t¨ng vµ bÞ chÆn trªn th× cã giíi h¹n; D·y (vn) gi¶m vµ bÞ chÆn díi th× cã giíi h¹n. Ta cã:. u  VÝ dô: Chøng minh d·y sè n. lim. un . cho bëi.   1. 1 n  n  1. n. cos n n. 0. cã giíi h¹n.. Gi¶i:. Ta cã. n  n  1 u n 1 1 n  .   1, n. un n2  n  1  n  2  1. Do đó dãy.  un . gi¶m.. 1 n   : u n   0, n  n  1 *. u  u  Ngoµi ra, nªu d·y n bÞ chÆn díi. VËy d·y n cã giíi h¹n. D¹ng 4: TÝnh tæng cña cÊp sè nh©n lïi v« h¹n u S  1 ,| q | 1 1 q Ph¬ng ph¸p gi¶i: Sö dông c«ng thøc: 1 1 1 S 1   2  ...  n  .... 2 2 2 VÝ dô: TÝnh tæng Gi¶i: u 1 S 1  2 1 1 q 1 1 q  1 2 2 §©y lµ tæng cña mét cÊp sè nh©n lïi v« h¹n, víi vµ u1 1 . VËy: D¹ng 5: T×m giíi h¹n v« cùc Ph¬ng ph¸p gi¶i: Sö dông quy t¾c t×m giíi h¹n v« cùc  2n 3  4n  3 lim 3n 2  1 VÝ dô: T×m: Gi¶i: C¸ch 1:  2n 3  4n  3 lim lim 3n 2  1. Ta cã:. 4 3  3 2 n n 3 1  3 n n.  2. 4 3  3 1  3 1 lim   2  2  3   2  0, lim   2  0  3  0  n  *  n n n n     n n L¹i cã vµ nªn suy ra:  2n 3  4n  3 lim lim 3n 2  1. 4 3  n 2 n 3   3 1  n n3.  2. C¸ch 2:  2n 3  4n  3 lim lim 3n 2  1. Ta cã:. 4  n3   2  2  n  1  n2  3  2 n . 3 4 3     2  n 2  n3  n3  lim  n.  1    3 2   n  . 4 3 4 3    3 2   2  n 2  n3  2  2n 3  4n  3 n n lim n ;lim   0  lim lim  n.    1 1 3 3n 2  1   3 2 3 2 n  n  L¹i cã D¹ng 6: T×m giíi h¹n cña hµm sè Phơng pháp giải: Sử dụng các định lí và quy tắc 1  lim  x.sin  x 0 x.  VÝ dô 1: TÝnh: Gi¶i:  2.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> f  x n   x n sin.  xn . mµ x n 0, n vµ lim x n 0 . Ta cã: 1  lim  x.sin  0 x 0 lim | x n |0  lim f  x n  0. x  V× Do đó . XÐt d·y. lim. VÝ dô 2: TÝnh: Gi¶i:. x  . lim. x  . . . x2  x 1  x. . . 2. 1 | x n | xn. x  x  1  x  lim. x  . x2  x  1  x2 2. x  x 1  x.  lim. x  . 1. x 1 2. x  x 1  x.  lim. x  . 1. Ta cã:. lim. VÝ dô 3: TÝnh: Gi¶i:. x  . lim. x  . . . x 2  3x  1  x. . 2. 1 x. 1 1  1 x x2. . 1 2. . x  3x  1  x  lim. x  . 3x  1 x 2  3x  1  x. 1 1 3 3 x x  lim  2 x   2 3 1 x  3x  1  1  2  1 1 x x x 3.  lim. x  . Ta cã:. 2 (Chó ý: khi x    lµ ta xÐt x < 0, nªn x  x ) lim f  x  0 D¹ng 7: Chøng minh x  x 0 (HoÆc b»ng L) Phơng pháp giải: Sử dụng định lí giới hạn kẹp J \  x0 Giả sử J là một khoảng chứa x 0 và f, g, h là ba hàm số xác định trên tập hợp . Khi đó:  x  J \ x : g x  f x  h x  0         lim f  x  L  lim g x  lim h x L x  x0  x  x0   x  x 0  . x 2 sin x 0 4 VÝ dô: Chøng minh: x   1  x Gi¶i: x 2 sin x x2 x2 x2 | f  x  |     f x    1 x4 1 x4 1 x4 1 x4 Ta lu«n cã: 1 1 2 2 x2 x2 x2 x2 x 2 sin x x x lim  lim  0; lim  lim  0  lim  lim  0  lim 0 x   1  x 4 x   1 x   1 x4 x   1 x   1  x 4 x   1  x4 x   1  x 4  1  1 x4 x4 . D¹ng 8: T×m giíi h¹n mét bªn Phơng pháp giải: Sử dụng định nghĩa giới hạn một bên lim.  x 3 víi x   1 f  x   2 lim f  x  2x  3 víi x  1 VÝ dô 1: Cho hµm sè . T×m x   1 Gi¶i: 2 lim  f  x   lim   2x 2  3  2.   1  3  1 x    1 x    1 Ta cã: (1) lim  f  x   lim  x 3  1 x    1 x    1 (2) lim f  x   1 Tõ (1) vµ (2) suy ra x   1. VÝ dô 2: Cho hµm sè lim f  x  a. T×m x  2 Gi¶i:.  1  f  x   x  1  1  x  1. a. b.. khi x  1. b.. lim f  x  lim x 2. khi x  1. x 2. T×m. lim f  x  x 1. 1 1  x 1 3. lim f  x  x1. 1 1 1 1  ; lim f  x   lim   lim f  x   lim f  x  lim f  x  x  1 x  1 x1 x1 1 x 2 1 x 2 Ta cã: suy ra kh«ng tån t¹i x  1 lim f  x   lim f  x  L lim f  x  lim f  x  L x  x0 (Chó ý: x  x0 tån t¹i khi vµ chØ khi x  x 0 th× x  x 0 ) lim f  x   lim. x  1. x1.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> D¹ng 9: T×m giíi h¹n v« cùc Ph¬ng ph¸p: Sö dông quy t¾c t×m giíi h¹n v« cùc lim. x  . VÝ dô: TÝnh Gi¶i:. 4x 2  1. 1  1  x 2  4  2   lim | x | . 4  2 x    x  x . 4x 2  1  lim. lim. x  . x  . lim. lim | x |. 1 2  0  lim 4x 2  1  x   x2. 4. x  . V× x    vµ Dạng 10: Khử dạng vô định Ph¬ng ph¸p gi¶i P x lim lim P  x   lim Q  x  0 x  x0 Q  x  x  x0 1. Khi t×m giíi h¹n d¹ng , víi x  x0 :. • Víi P(x), Q(x) lµ nh÷ng ®a thøc nguyªn theo x th× ta chia c¶ tö P(x) vµ mÉu Q(x) cho x  x 0 • NÕu P(x), Q(x) chøa dÊu c¨n thøc theo x th× ta nh©n c¶ tö P(x) vµ mÉu Q(x) cho lîng liªn hiÖp. x 2  9x  14 x 2 VÝ dô 1: T×m: x  2 Gi¶i: lim.  x  2  x  7  x 2  9x  14 lim lim  x  7   5 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2. lim. 4x  2 4x. lim VÝ dô 2: T×m: Gi¶i:. x 0. 4x  2 lim x 0 4x. lim x 0. 3. lim VÝ dô 3: T×m: Gi¶i:. x1. x 7  2 lim lim x1 x1 x 1. x1. . VÝ dô 4: T×m: Gi¶i:. x 2. 3.  x  7. . 4x 2. 4 x 2. .  lim x 0. 4x  4 4x. . 4x 2. . lim x 0. 1. 4. . x 2  2. VÝ dô 5: T×m: Gi¶i:. x 2. 2.  . x3 . x1. x3 . x 1. . 3. x 7  2. .  x  7. 3. .  x  1 3  x  7 . 2. 2.  2. 3 x  7  4.  2. 3 x  7  4. .  lim x1. x  7  23. .  x  1 3  x  7 .  2. 3 x  7  4. . .  x  2  2 . 2x  5  3.   x  2  2  lim  2x  5  9   x  2  2  lim 2  x  2  2   4 3 2x  5  3 x  2  2   2x  5  3   x  2  4   2x  5  3  2x  5  3. x 2. 3x  2 x 1. . .  x 3  1  3x  2  1  x3  1 3x  2 lim lim   x1 x 1 x 1 x 1  x 1. . 4. lim. .   lim  x 2  x  1   x  1  . 3x  2  1   x1 . 3  3 3  3  2  2 3x  2  1. x 2  1. x  1 3. x 2  1 VÝ dô 6: T×m: Gi¶i: 12 12 12 Đặt t  x  2  x  2 t  x  t  2, khi đó x   1 thì t  1 . Do đó:. lim. 2. 1  12  2. x  7  4 3.  3x  2  1 lim  x 2  x  1  x1  x  1 3x  2  1  . x  1 3. . x 2  2. lim. lim. 4. 1  4  x  2 16. 2x  5  3. x 2. 2x  5  3. lim. 4x. . 1. lim. lim. 4x  2. x 7  2 x 1. 3. lim. .  t  1  t 2  t  1 t3  1 t 2  t 1 3 lim 4 lim  lim  2 2 t 1 t  1 t 1 t1 x2  1  t  1  t  1  t  1  t  1  t  1 4 x2  1 3. lim VÝ dô 7: T×m:. x1. x 7  x 3 x 1. x 2.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> Gi¶i: 3. lim x1. x 7  x 3 lim x 1 x1.   lim  x 1   x  1   . . 3.  . x 7  2 . x  7  23. . 3. x 7. . 2.  2. 3 x  7  4  . 1. T×m giíi h¹n cña c¸c hµm sè sau: x 2  5x  6 lim 2 1. x  3 x  8x  15. 2.. 4. 4.. 3. 2. 2x  5x  3x  1 x  1 3x 4  8x 3  6x 2  1. 5.. x 3  2x  1 lim 5 7. x  1 x  2x  1 2. T×m c¸c giíi h¹n hµm sè sau: x 2 lim x 2 3 x 7 1.. 4.. 3. lim 7. 3. 10.. x 0.      lim x 1  x 3 2   .  x  1 . . 3.. x  3x  2 x  1 x 4  4x  3. lim lim. x. x 0. 2.. x 2. lim 11. 14.. x 0. 2.. 1  4x 3 1  6x  1 x 0 x 7. 4. T×m giíi h¹n cña c¸c hµm sè sau: 2x 3  3x 2  4x  1 lim 4 x    x  5x 3  2x 2  x  3 1. lim. lim 5.. 8.. x1. lim x 0. x1. 9.. 4x 2  x  2.  3x  2   2. x  3x  2 x  9  x 16  7 x. 3. 12.. 2.. x 0. 15.. 8 x. 7x  3x x 1. 1 x2  1 x2. lim. x 2  x 7  5 x 2. lim. 2x  2  3x  1 x 1. x 0. x 2. x 1. x1. 1 x  1 x x. 3. x  7  5  x2 x 1. x 0. 2. lim 6.. x  2  3 x2  x 1 x2  1. 3. lim 3.. 3. lim. x 1. 1  2x  3 1  3x x2 2. lim. x 2  2x  3x 2. 4x  1  x  2. 6.. 2. 2. lim   2x  5   4x  4x  1    2 lim x  4x  9  2x  x     5.. 3..  2x  3  4x  7 . x  .  3x. lim. 5x  3 1  x 1 x. 3. x  . 1 x2  1 x. 3. x2  x  1 x   2x 2  x  1. lim. 5.. x. lim. lim. 30. 4. 5. T×m giíi h¹n cña c¸c hµm sè sau: 1. lim  x 2  x  1  x 2  x  1  x     2 lim x.  x  1  x  x     4.. 6.. x1. 2 1 x  x 0 x 3.  1  x   1  2x   1  3x  ...  1  nx   1. x 0. 3. lim. 3. lim. 3.. 4x  2 x 2. x1. lim. x 3  2x 2  4x  8 x 2 x 4  8x 2  16. lim. lim. x 3  2. x1. x 0. 9.. x 3  4x 2  4x  3 x 3 x 2  3x. lim. 2x  7  3. lim. 8.. x  11  8x  43 2x 2  3x  2. 6..  1  x   1  2x   1  3x   1. 3. 1 x  3 1 x x.  1   1  1  1 6 x  3  2  12 4 . .  23 x 7 4. 2. lim. 2. 20.  x  7. 3. 8x 2  1 2 1 x  6x  5x  1. 5..  2x  3  3x  2  lim 50 x    2x  1. 1 2. lim. 3. x 2  2x  6  x 2  2x  6 x 3 x 2  4x  3 3. T×m giíi h¹n cña c¸c hµm sè sau: 3 x 7  x 3 lim x 1 x 2  3x  2 1. x  2. x 3  2  x 1 . C. Bµi tËp tù luËn. lim. lim. 4.. x 7  2  x1. x 3 4. 13.. lim. 3.  . x1. x 2  2 3 x 1.  x  1. x 1. lim. 8.. x 7  3 x2  4. x 2. .  lim . 3. lim. lim. x 3  2. x1. x  . 3. 3.  1  10x 2  9 . lim  x  x  . x  . x . x  . 6.. lim x 2  3x 4  5  . x . 3x 4  2  .

<span class='text_page_counter'>(7)</span>