BDT BuNhiaCopsky

<span class='text_page_counter'>(1)</span>* Một trong những phương pháp thường dùng là sử dụng các bất đẳng thức đã biết để chứng minh một bất đẳng thức khác.Tuy nhiên khi sử dụng ,ngoài hai bất đẳng thức Cô-si và bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-ski . Các bất đẳng thức khác khi sử dụng làm bài thi cần chứng minh lại (Xem phần trên).Để tiện theo dõi, tôi sẽ liệt kê các bất đẳng thức vào dưới đây. 1. a2 +b 2 ≥ 2 ab (a,b>0). (BĐT Cô-si) 2. ( a+b )2 ≥ 4 ab 3. 2 ( a2 +b2 ) ≥ ( a+b )2 a b + ≥2 ; a , b> 0 b a 1 1 4 + ≥ ; a ,b> 0 5. a b a+ b 6. a2 +b 2+ c 2 ≥ ab+ bc+ca 7. ( ax+ by )2 ≤ ( a2 +b2 ) ( x 2+ y 2 ) ( Bu nhi a cop xki) 2 a2 b2 ( a+b ) + ≥ 8. x y x+ y 2 a2 b2 c2 ( a+b+ c ) + + ≥ 9. x y z x+ y+z ab bc ca + + ≥ a+ b+c (Với a,b,c > 0) Ví dụ 9:Chứng minh c a b ab bc ca Giải:2A - 2B = 2 +2 +2 − 2 a− 2 b −2 c c a b b c a c b a = a + − 2 + b + − 2 +c + − 2 c b c a a b a b + ≥2 ;a , b>0 .TaCã:2A - 2B a ( 2 −2 ) +b ( 2 −2 ) +c ( 2− 2 ) ≥ 0 .Vậy A Ap dụng bất đẳng thức b a. 4.. (. ) (. ) (. ). B.Đẳng thức xảy ra khi a = b = c > 0 Ví dụ 10: Cho các số dương x , y thoả mãn x + y = 1. 1. 2. Chứng minh rằng : xy + 2 2 ≥8 . x +y 1. 2. 2. 2. (. 1. 1. ). 4. Giải: xy + 2 2 = 2 xy + 2 2 =2 2 xy + 2 2 ≥2 2 2 x +y x +y x +y x +2 xy + y ¿. 8 =8 .Đẳng thức xảy ra khi ( x + y )2. x= y=. 1 2 a2 b2 c 2 a c b + + ≥ + + b2 c 2 a2 c b a. Ví dụ 11: Chứng minh bất đẳng thức : Giải: a2 b2 a b a + 2 ≥ 2 . =2. 2 b c c b c. ;. b2 c 2 b c b + 2 ≥ 2 . . =2 . 2 c a a c a. Cộng từng vế ba bất đẳng thức trên ta có: a2 b 2 c 2 a c b 2 2+ 2 + 2 ≥2 + + c b a b c a 2 2 2 a b c a c b ⇒ 2 + 2+ 2 ≥ + + b c a c b a. (. ) (. ). Đẳng thức xảy ra khi a = b = c.. Ví dụ 12:Cho a > 0 và b > 0. Chứng minh rằng. 1 1 1 3 + + > . b+c c +a a+b a+ b+c. Giải:. ;. c 2 a2 c a c + 2 ≥ 2 . . =2 . 2 a b b a b.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> 1 1 1 1 1 1 3 + + > + + = b+c c +a a+b b+ c+ a c +a+ b a+b+c a+b +c 1 2. 1 1 1 1 + 3 +. ..+ 3 < .Với n là số tự nhiên và 3 3 4 n 4 1 1 1 1 = Giải: 3 < 3 = 2 . k k − k k ( k − 1 ) ( k −1 ) k ( k +1 ) ( n+1 ) − ( n − 1 ) 1 1 2 − = = Và : ( k − 1 ) k ( k +1 ) k ( k −1 ) k ( k +1 ) ( k −1 ) k ( k + 1 ) 1 1 1 1 1 1 1 = − Suy ra: 3 < 3 = 2 = 2 ( k − 1 ) k ( k +1 ) k k k − k k ( k − 1 ) ( k −1 ) k ( k +1 ) 1 1 1 1 1 1 1 − Suy ra: A < 2 1 . 2 − 2. 3 + 2 . 3 − 3 . 4 +. ..+ ( n −1 ) n n ( n+1 ) 1 1 1 1 ¿ − < 2 2 n ( n+1 ) 4. Ví dụ 13: Chứng minh: A= 3 +. [. ]. [. [. n ≥2. ]. ]. ==========o0o========== Bài tập áp dụng: 38.. 1 1. 1. n. Chứng minh:B = 1+ 2 + 3 +. ..+ n > 2 2 −1. Với n là số tự nhiên và. n ≥2. a b c d + + + a+b+ c b+c +d c+ d+ a d +a+ b (a,b,c,d >0) .Chứng minh rằng : 1<C<2 1 1 1 3 + + ≥ 40. Chứng minh P= . Trong đó x , y , z là 3 số dương và 1+xy 1+ yz 1+ xz 2 2 2 2 x + y +z ≤ 3. 39.. Bài 29:Cho C ¿. 47.. 1 1 1 n Chứng minh:B = 1+ 2 + 3 +. ..+ n > 2 2 −1. HƯỚNG DẪN: Với n là số tự nhiên. 1 1 1 1 1 1 1 1 B=1+ + + + +. ..+ + n− 1 +. ..+ n − n 2 3 4 5 8 2 +1 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1+ + + + +.. .+ + n +.. .+ n − n 2 4 4 8 8 2 2 2 n 1 1 1 2 1 1 n 1 n ¿ 1+ + + +. ..+ . n − n =1+ − n > 2 2 2 2 2 2 2 2 2. ( )( ( )(. )(. )(. ). ). 48. ¿ a b c d C> + + + a+ b+c +d b +c +d +a c+ d+ a+b d +a+ b+c ¿ ¿ a+d b+ a c+b d+ c C< + + + a+ b+c +d b +c +d +a c+ d+ a+b d +a+ b+c ¿ 9 49. Áp dụng BĐT 9 ta có P≥ 2 3+ ( x + y 2+ z 2 ). ===========o0o===========.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> Tiết 25-28 * Với a,b,c là số đo 3 cạnh tam giác ta cần nhớ các tính chất sau:  a,b,c là các số dương  Tổng 2 cạnh bất kì lớn hơn cạnh còn lại  Tỉ số giữa 1 cạnh với 2 cạnh còn lại bé hơn 1 Ví dụ 14:Với a,b,c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác .Chứng minh rằng : 1 1 1 1 1 1 + + ≥ + + a+b − c b+c −a a+c −b a b c. Giải: Vì a,b,c là độ dài 3 cạnh của tam giác nên a + b - c > 0; a + c - b > 0; b + c - a > 0 1 1 4 + ≥ ; a ,b> 0 ta được: a b a+ b 1 1 4 2 1 1 2 1 1 2 + ≥ = ,tươngtự: + ≥ ; a+b − c + c+a −b ≥ a . a+b − c b+c −a 2 b b b+c − a c+ a −b c 1 1 1 1 1 1 + + ≥2 + + Suy ra 2 hay a+b − c b+ c − a a+ c − b a b c 1 1 1 1 1 1 + + ≥ + + .(ĐPCM) a+b − c b+c −a a+c −b a b c. Áp dụng BĐT. (. ) (. ). Ví dụ 15:Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của tam giác . Chứng minh rằng : a b c + + <2 . b+c c +a a+b. Giải: Do a,b,c là độ dài 3 cạnh của tam giác nên a < b + c a a a+c <1 ⇒ < b+c b+ c a+b+ c c 2c < . a+b a+b+c. ⇒. tương tự. a a 2a b 2b <1 ⇒ < < ; ; b+c b+ c a+b+ c a+c a+ b+c. 51. 52.. Cộng từng vế 3 BĐT trên ta được ĐPCM. BÀI TẬP: Chứng minh rằng : (a + b -c)( a - b + c)(-a + b + c) abc.Với a,b,c là 3 cạnh tam giác Cho a,b,c là 3 cạnh của 1 tam giác . Chứng minh rằng a2 +b 2+ c 2<2 ( a+ b+c ) Cho a,b,c là 3 cạnh của 1 tam giác . Chứng minh rằng. 53.. Cho a,b,c là 3 cạnh của 1 tam giác .. 50.. a b c + + ≥3 b+c − a a+c −b a+b − c. Chứng minh rằng. 1 1 1 , , a+b b+ c a+ c. cũng là 3 cạnh của 1 tam giác. ==========o0o==========.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> 50. 51.. HƯỚNG DẪN : Do a,b,c là độ dài 3 cạnh của tam giác nên (a + b -c) > 0. Đặt x = a + b -c; y = a - b + c ; z = b + c - a. Áp dụng bài tập 28 ta có ĐPCM. Đẳng thức xáy ra khi và chỉ khi a = b = c.Hay tam giác đã cho là tam giác đều. Do a,b,c là độ dài 3 cạnh của tam giác nên a < b + c ⇒ a2 <ab+ ac tương tự b2 < bc+ab ; c 2< bc +ac Cộng từng vế 3 BĐT trên ta được. 52.. ĐPCM Đặt x = a + b -c; y = a - b + c ; z = b + c - a. Suy ra :. 53.. Ta cần chứng minh. x+ y y+z x+z + + ≥6 z x y. 1 1 1 + > a+c b+ c a+b. 1 1 1 + > . a+b b+c a+c 1 1 1 + > Dựa vào tính chất tổng 2 cạnh lớn hơn cạnh còn lại ,chứng minh : a+c b+ c a+b 1 1 1 1 1 1 + > + > bằng cách làm trội 2 lần liên tiếp.Tương tự : ; a+b a+c b +c a+b b+c a+c. ;. 1 1 1 + > a+b a+c b +c. =========o0o==========. ;.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> Tiết 29-32 Ví dụ 14:Cho a2 +b 2 ≤ 2 . Chứng minh rằng a+b ≤ 2 Giải: Giả sử : a+b >2 ⇒ ( a+ b )2=a2+ b2 +2 ab>4 mặt khác: a2 +b 2+2 ab ≤ 2 ( a2 +b2 ) ⇒2 ( a 2+ b2 ) >4 ⇒a2 +b 2>2 . Điều này trái với giả thiết a2 +b 2 ≤ 2 .Vậy a+b ≤ 2 . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = 1. Ví dụ 15: Cho 3 số dương a,b,c nhỏ hơn 2. Chứng minh rằng có ít nhất một trong các BĐT sau là sai: a(2 - a) > 1; b(2 - b) > 1; c(2 - c) > 1 Giải: Giả sử cả 3 BĐT trên đều đúng .Nhân theo vế 3 BĐT trên ta có: a(2 - a). b(2 - b). c(2 - c) > 1. Nhưng a(2 - a) = 1 - (a2 - 2a + 1) 1; tương tự: b(2 - b) 1: c(2 - c) 1. Mâu thuẫn với điều giả sử.Vậy có ít nhất một trong ba BĐT trên là sai. Bài tập áp dụng 54. Cho a + b + c > 0. abc > 0; ab + bc + ca > 0,Chứng minh rằng a > 0; b > 0; c > 0 55. Cho 3 số dương a , b,c .Chứng minh một trong 3 BĐT sau là sai: 1 a+ <2 .; b. 56. 57. 58. 59.. 1 b+ < 2 ; c. 1 c+ <2 a. Chứng minh không có các số dương a,b,c nào thoả mãn cả 3 BĐT sau: 4a(1 - b) > 1 ; 4b(1 - c) > 1 ; 4c(1 - a) > 1 Chứng minh không có các số a,b,c nào thoả mãn cả 3 BĐT sau: |b − c|>|a|; |c −a|>|b|; |a − b|>|c|; Cho ba số dương x,y,z và xyz = 1.Chứng minh nếu: 1 1 1 x+ y+ z> + + x y z. thì có một và chỉ một trong ba số x,y,z lớn hơn 1.. 54.. Cho 4 số dương a,b,c,d. Chứng minh không thể đồng thời xảy ra các BĐT sau: a + b < c + d ; (a + b)(c + d) < ab + cd; (a + b)cd < (c + d)ab HƯỚNG DẪN : Giả sử a ≤ 0 *Nếu a = 0 Suy ra abc = 0 vô lí *Nếu a < 0 Suy ra b + c > 0. Do abc > 0 ⇒ bc < 0 ⇒ ab + bc + ca < 0.Chứng minh tương tự với b,c.. 55.. Giả sử a+ <2 .; b+ < 2 ; c + < 2. 1 b. 1 b. 1 c. 1 c. 1 a. 1 a. Thì a+ +b+ + c+ <6 .Điều này không đúng. 56.. 57.. Giả sử: 4a(1 - b) > 1 ; 4b(1 - c) > 1 ; 4c(1 - a) > 1 Thì : 64(1 - a)(1 - b) (1 - c) > 1 (*) và (1 - a) > 0; (1 - b) > 0: (1 - c) > 0 Nhưng 4a(1 - a) 1; 4b(1 - b) 1; 4c(1 - c) 1 Khi đó: 64abc(1 - a)(1 - b)(1 - c) 1(**) (*) mâu thuẫn với (**) Giả sử cả 3 BĐT trên đều đúng .Ta có từ |b − c|>|a|;  ⇔ ( b − c )2> a2 ⇔ ( b − c )2 −a 2> 0 ⇔ ( b − c+ a ) ( b −c −a )> 0 |c −a|>|b|; ⇔ ( c − a )2> b2 ⇔ ( c −a )2 −b 2> 0 ⇔ ( c −a+ b ) ( c − a −b )> 0  |a − b|>|c|; ⇔ ( a− b )2 >c 2 ⇔ ( a − b )2 − c 2> 0 ⇔ ( a − b+c ) ( a −b − c )> 0  Nhân theo vế 3 BĐT này ta suy điều vô lý.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> Tiết 33-36 I. CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC CÓ ĐIỀU KIỆN:  Khi chứng minh các BĐT có điều kiện dạng: a1 +a 2+. . .+ an ≥ m ,ta thường dùng ẩn phụ để đưa bài toán về dạng đơn giản hơn để đánh giá trực tiếp.  Các bước như sau: 1. Dự đoán đẳng thức xảy ra khi nào 2. Đặt x 1=a1 −. m m m ; x =a − ; .. . x n =an − n 2 2 n n. Ví dụ 16: Cho a,b,c thoả mãn: a + b. c. 0.. 1 2. 2 2 2 Chứng minh: a +b ≥ c. Đặt:. c x=a − ; 2. Giải:. c y=b − .Vì a + b 2. Do đó x + y = a + b - c 2. 0.. 0 .Ta có: 2. ( c2 ) +( y+ c2 ) =x +cx + 14 c + y + cy+ 14 c. a2 +b 2= x +. 2. 2. 2. 2. 1 1 x 2 + y 2 +c ( x + y ) + c 2 ≥ c 2 2 2 3 Ví dụ 17: Cho a,b thoả mãn: a +b 3 ≤ 2 .. Chứng minh: a+b ≤ 2 Giải: 3. Đặt: x=a −1 ; y=b − 1 .Ta có:. y 2 3 2 2 2 + y +3 + 3 ( x + y ) +2 ≤ 0 2 4. [( ). ¿ ( x+ y ) x − 2. ]. y 3 + y 2 +3 > 0 ; 3 ( x2 + y 2 ) ≥ 0 2 4 ⇒ ( x+ y ) ≤ 0 ⇒ a+ b ≤2. [( ) x−. 3. ]. BÀI TẬP: Bài 40: Đặt: x=a −1 ; y=b − 1 ; z=c −1 . Suy ra : x , y , z [ −1 ;1 ] ;x + y + z = 0. Ta có: a2 +b 2+ c 2=( − z )2 + z 2+3. Bài 41:. a=x+1 ⇒ b=1 − x 5 5 a +b =( 1+ x ) + ( 1− x ) =2+ 10 x 2 +10 x 4 5. 5. Bài 42: Đặt a=x+1 ⇒ b= y +1 ⇒ c=1 − x − y y 2 3 b2 + +6 2 4. ( ). a2 +b 2+ c 2+ab + bc+ca= x+. 3. 3. a +b =( x +1 ) + ( y+ 1 ) =.. . ( x+ y ) ( x 2 − xy+ y 2 +3 ) +3 ( x 2 + y 2 ) +2.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> Bài 43: Đặt c=a+x ⇒ d=b − x x 2 3 x2 + +3 ab 2 4 Bài 44: Cho a,b thoả mãn: a+b ≥ 2 . Chứng minh rằng: Đặt a = x + 1 ⇒ b = 1 - x.Ta có : 4 4 3 3 3 3 a +b − a −b =( x+1 ) x + ( x −1 ) x 2 2 2 x ( x +1 ) 2. 2. (. c + d + cd= a −b+. ). Bài 47: Cho a , b > 0.Thoả mãn a + b = 1. 2. 3. Chứng minh rằng: ab + 2 2 ≥ 14 . a +b Bài 48: Cho a + b + c + d = 1. Chứng minh rằng: ( a+ c ) ( b+ d )+ 2ac +2 bd ≤. 1 2. Bài 49: Cho a + b = 8 và b 3. 2 2 Chứng minh rằng: 27a + 10b > 945. II. MỘT CÁCH KHÁC CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC CÓ ĐIỀU KIỆN :  Dạng: Cho A ≥ B . Chứng minh C ≥ D  Ta chứng minh ( C − D )+ ( B − A ) ≥ 0  Từ ( B − A ) ≤0 ⇒ ( C − D ) ≥0 Ví dụ 18: Cho a + b. 2 2 1. Chứng minh rằng: a +b ≥. 1 2. Giải:. (a + b − 12 )+ (1 − a −b ) (a − a+ 14 )+(b − b+ 14 )=(a − 12 ) +( a − 12 ) ≥ 0 2. 2. 2. 2. 2. 2. 1 .Đẳng thức xảy ra khi a = b = 0,5 2 Ví dụ 19: Cho a,b thoả mãn: a+b ≥ 2 . Chứng minh rằng: a3 +b 3 ≤ a 4 +b4 .. Nhưng a + b. 2 2 1 nên a +b ≥. Giải:. ( a4 +b 4 ) − ( a3 +b3 ) +2 − ( a+b ) a3 ( a −1 ) +b 3 ( b − 1 ) − ( a −1 ) − ( b − 1 ) ( a −1 ) ( a 3 − 1 ) + ( b −1 ) ( b3 −1 ) ( a −1 )2 ( a2 +a+ 1 ) + ( b −1 )2 ( b2 +b+1 ) Do ( a 2+ a+1 ) >0 và ( b2 +b +1 ) >0 Nên ( a 4 +b 4 ) − ( a 3+ b3 ) +2 − ( a+ b ) ≥0 Mà a+b ≥ 2 Suy ra: a3 +b 3 ≤ a 4 +b4 .Đẳng thức xảy ra khi. a=b=1 Bài tập áp dụng Bài 50: Cho x , y là các số dương thoả mãn x 3+ y 4 ≤ x 2+ y 3 Chứng minh rằng: a) x 3+ y3 ≤ x2 + y 2 b) x 2+ y 3 ≤ x+ y 2 Bài 51:Chứng minh rằng: Nếu a+b +c ≥ 3 Thì a 4 +b4 + c 4 ≥ a3 +b3 +c 3 Bài 52: Cho x 2+ y 2 ≤ x + y . Chứng minh rằng: x+ y ≤ 2 Bài 53: Cho x 3+ y3 =x − y . Chứng minh rằng: x 2+ y 2 <1 Bài 54: Cho ab 1. Chứng minh rằng: a2 +b 2 ≥ a+b 2 2 Bài 55: Cho x + y ≤ x . Chứng minh rằng: y ( x +1 ) ≥− 1 ========o0o========.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> 2. III. ÁP DỤNG BĐT. a1 a2 a ( a1+ a2 +. ..+a n ) + + .. .+ n ≥ x1 x 2 x x 1 + x 2+ .. .+ x n 2. 2. 2. Bài 56: Cho các số dương x,y thoả mãn x + y = 1. 1. 2. Chứng minh rằng: xy + 2 2 ≥8 x +y Bài 57: Cho các số dương x,y,z,t thoả mãn x + y + z + t = 1. Chứng minh rằng: 1 1 1 1 + + + ≥16 x y z t. Bài 58: Cho các số dương a,b,c,d. Chứng minh rằng:. a+c b+d c+ a d+ b + + + ≥4 a+b b+ c c+ d d+ a. Bài 59: Cho các số dương x,y,z. Chứng minh rằng:. 1 1 1 1 1 1 + + ≥ + + x +3 y y +3 z z +3 x x+ 2 y + z y +2 z+ x z +2 x+ y. Bài 60: Cho các số dương a,b,c thoả mãn abc = ab + bc + ca. Chứng minh rằng:. 1 1 1 3 + + < a+2 b+3 c b+ 2c +3 a c+ 2 a+3 b 16.

<span class='text_page_counter'>(9)</span>

<span class='text_page_counter'>(10)</span> 1. Cho tam giác ABC . Gọi O là 1 điểm thuộc miền trong của tam giác . Gọi M,N,P,Q lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng OB,OC,AC,AB. a. Chứng minh rằng tứ giác MNPQ là hình bình hành . b. Để tứ giác là hình chử nhật thì điểm O nằm trên đường đặc biệt nào của tam giác ABC 2. Cho Cho hình bình hành ABCD ,đường chéo lớn AC. Tia Dx cắt AC, AB, BC lần lượt ở I,M,N. Vẽ CE vuông góc với AB, CF vuông góc với AD, BG vuông góc với AC. Gọi K là điểm đối xứng của D qua I. Chứng minh rằng : a. IM.IN = ID2 b.. KM DM = KN DN. c. AB.AE + AD.AF = AC2 3. Cho tam giác ABC ,trung tuyến CM, Qua điểm Q trên AB vẽ đường thẳng song song với CM, Đường thẳng d cắt BC tại R và cắt AC tại P. Chứng minh nếu QA.QB = QP.QR thì tam giác ABC vuông tại C 4. Cho tam giác ABC có 3 ∠ A + 2 ∠ B = 1800 . Tính số đo các cạnh của tam giác biết số đo ấy là 3 số tự nhiên liên tiếp 5. Cho hình bình hành ABCD . Trên cạnh CD và BC lấy M,N sao cho BM = DN. Gọi I là giao điểm của BM và DN. Chứng minh rằng IA là phân giác của góc DIB 6. Cho tam giác ABC (BC<AB). Từ C vẽ dường vuông góc với phân giác BE tại F và cắt AB tại K; vẽ trung tuyến BD cắt CK tại G . Chứng minh rằng DF đi qua trung điểm của GE 7. Cho hình thoi ABCD có góc A = 600 . Gọi M là 1 điểm thuộc cạnhAD. Đường thẳng CM cắt đường thẳng AB tại N. a. Chứng minh rằng AB2 = DM.BN. b. BM cắt DN tại P . Tính góc BPD 8. Cho tam giác ABC , M là điểm nằm trên cạnh BC. Chứng minh rằng MA.BC< MC.AB + MB.AC 9. Cho tam giác ABC cân tại A . Một điểm M thuộc cạnh BC. Kẻ MD vuông góc với AB, ME vuông góc với AC. Chứng minh rằng tổng MD + ME không phụ thuộc vào vị trí của điểm M trên cạnh BC 10. Cho hình bình hành ABCD (AB>AD). Từ C kẻ CE và CF lần lượt vuông góc với các đường thẳng AB,AD. Chứng minh rằng AB.AE + AD.AF = AC2 11. Cho Cho tam giác ABC với 3 đường phân giác AD,BE,CF. Chứng minh rằng DB EC FA . . =1 . DC EA FB 1 1 1 1 1 1 + + > + + b. . AD BE CF BC CA AB. a.. 12. Cho tam giác ABC vuông tại A. Đường cao AH, trung tuyến BM,phân giác CD cắt nhau tại 1 điểm. Chứng minh rằng : a.. BH CM AD . . =1 . HC MA BD. b. BH = AC 13. Cho hình bình hành ABCD có đường chéo AC lớnhơn đường chéo BD. Gọi E và F lần lượt là hình chiếu của B và Dxuống đường thẳng AC..

<span class='text_page_counter'>(11)</span> a. tứ giác BEDF là hình gì? b. Gọi CH và CK lần lượt là Đường cao của tam giác ACB và ACD. 1. Chứng minh rằng. CH CK = . CB CD. 2. Hai tam giác CHK và ABC đồng dạng . 3. Chứng minh rằng : AB.AH + AD.AK = AC2 14. Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn, các đường cao AD,BE,CF cắt nhau tại H . Chứng minh rằng : a. Δ FHE đồng dạng Δ BHC. b. H là giao điểm các đường phân giác của tam giác FED 15. Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Cho biết AH = 3 và CH = 4. a. Tính AC và AB. b. Vẽ đường phân giác của góc A của tam giác ABC Tính diện tích tam giác ABD 16. Cho hình thang ABCD có AD//BC và BC = 10, AD = 6, AB = 4, CD = 6. Các đường phân giác ògóc A và B cắt nhau tại M. Các đường phân giác của góc C và D cắt nhau tại N. Tính MN. 17. Cho hình thang ABCD (AB//CD) điểm M nằm trong tứ giác ABCD, vẽ các hình bình hành MDPA,MCQB. Chứng minh rằng PQ//CD 18. Cho tứ giác lồi ABCD. Trên 2 cạnh AB và CD ta lần lượt lấy 2 điểm E và F sao cho : AE BE. =. CF . Chứng minh rằng nếu đường chéo AC đi qua Trung điểm I của đoạn DF. thẳng của FE thì AC chia đôi diện tích của tứ giác ABCD 19. Cho hình thoi ABCD biết góc A = 1200.Tia Ax tạo với tia AB 1 góc Bax bằng 150.và cắt cạnh BC tại M,cắt đường thẳng CD tại N. Chứng minh rằng :. 3 3 4 + = 2 . 2 2 AM AN AB. a. . 20. Cho hình vuông ABCD có M,N P,Q lần lượt là các Trung điểm của AB,BC,CD,DA. Đường thẳng AN lần lượt cắt DM,BP tại I,J. Đường thẳng CQ lần lượt cắt BP,DM tại H và K. Tứ giác ỊHK là hình gì? 21. Cho hình bình hành ABCD . Vẽ phân giác AM của góc A, vẽ phân giác Cắt nhau của góc C. Các phân giác góc A và C cắt BD lần lượt tại E và F. Chứng minh rằng diện tích 2 tứ giác FNAE và FEMC bằng nhau 22. Cho hình thang ABCD (AB//CD; AB<CD). Gọi M,N lần lượt là Trung điểm của BC và AD. Gọi I là Trung điểm của MN. Một đường thẳng bất kỳ qua I cắt 2 cạnh AB,CD lần lượt tại E và F. Chứng minh rằng hai tứ giác FDAE và FCBE có diện tích bằng nhau 23. Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn và 2 đường cao AM và BN cắt nhau tại H. Gọi D là điểm đối xứng với H qua Trung điểm I của BC. a. tứ giác BHCD là hình gì? b. Chứng minh 2 góc BDC và BAC bù nhau 24. Cho hình thang ABCD có 2 cạnh đáy dài 3 cm và 11 cm, góc của cạnh bên và cạnh đáy lớn bằng 450 .Tính diện tích hình thang 25. Cho tam giác ABC có 2 góc nhọn , BD và CE là 2 đường cao cắt nhau tại H. Chứng minh rằng : a. HD.HB = HE.HC. b. Δ HDE đồng dạng Δ HCB. c. BC2 = BH.BD + CH.CE 26. Cho hình thang cân ABCD với AB//CD. Gọi I,J,K,Vuông lần lượt là Trung điểm của AB,BC,CD,DA. a. Tứ giác ỊKL là hình gì? b. Cho biết diện tích ABCD bằng 20 cm2 . Tính diện tích tứ giác IJKL 27. Cho tam giác ABC (góc A = 900). D là điểm di động trên cạnh BC. Gọi E,F lần lượt là hình chiếu của điểm D lên AB,AC. a. Xác định vị trí của điểm D để tứ giác FAED là hình vuông ..

<span class='text_page_counter'>(12)</span> b. Xác định vị trí điểm D để tổng 3AD + 4FE đạt giá trị nhỏ nhất 28. Cho tam giác ABC cân tại Cạnh Kẻ đường phân giác AA1 của góc A và đường trung tuyến CC1 của tam giác . Biết rằng AA1 = 2CC1.Tính số đo góc ACB. 29. Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn và AD là đường phân giác. Chứng minh rằng : AD 2 < AB.AC 30. Trên 2 cạnh AB và BC của hình vuông ADBC lấy 2 điểm P và Q theo thứ tự sao cho BP = BQ. Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ B xuống CP. Chứng minh rằng góc DHQ = 900 31. Cho hình vuông ABCD có cạnh là a. Gọi M,N theo thứ tự là Trung điểm của các cạnh AB,BC. a. Tính theo a diện tích tứ giác AMND. b. Phân giác của góc CMD cắt BC tại P. Chứng minh DM = AM + CP 32. Cho tam giác ABC có góc A = 900., D là 1 điểm nằm giữa A và C. Qua C dựng CE BD tại E. Chứng minh a. Δ ADE đồng dạng Δ BDC. b.AB.CE + AE.BC = AC.BE 33. Cho tam giác ABC , gọi D là điểm thuộc cạnh BC. Chứng minh rằng : AB 2.CD + AC2.BD - AD2.BC = CD.BD.BC. ( Hệ thức Stewart). 34. Cho tứ giác ABCD . Gọi M,N,P,Q lần lượt là Trung điểm của AB,BC,CD,DA. AB+CD . 2 AB+CD b. Trong trường hợp NQ= 2. a. Chứng minh NQ ≤. thì tứ giác ABCD là hình gì? Trong trương hợp. này vẽ đường thẳng song song với AB cắt AD tại E, cắt MP tại O và cắt BC tại F. Chứng minh O là Trung điểm của FE 35. Cho hình vuông ABCD . Trên cạnhBC lấy điểm M bất kỳ . Gọi P là giao điểm của 2 đường thẳng AM và CD. Chứng minh rằng :. 1 1 1 = + 2 2 2 AB AM AP. 36. Cho hình vuông ABCD , điểm M thuộc cạnh BC, đường thẳng AM cắt DC tại K . Chứng minh :. 1 1 1 = + . 2 2 2 AB AM AK. 37. Cho tam giác ABC có trung tuyến, AD và BE vuông góc với nhau tại O . Cho AC = b,BC = a. Tính diện tích hình vuông có cạnh là AB 38. Cho tứ giác ABCD, gọi F,E là Trung điểm của AD,BC. a. Tìm điều kiện của tứ giác để : FE=. AB+CD . 2. b. Gọi M,N,P và Q theo thứ tự là Trung điểm của DF,EB,FA,EC. Chứng minh tứ giác MNPQ là hình bình hành.

<span class='text_page_counter'>(13)</span>