Tín hiệu và hệ thống: Chương 4: Chuỗi Fourier

Department of Electrical Engineering
University of Arkansas

TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG
CHƯƠNG 4: Chuỗi Fourier


NỘI DUNG CHÍNH
• Mở đầu
• Chuỗi Fourier
• Các tính chất của chuỗi Fourier

• Hệ thống với các tín hiệu tuần hoàn


MỞ ĐẦU: Ý TƯỞNG
• Ý tưởng của chuỗi Fourier
Tích chập được dẫn giải ra từ sự phân tích tín hiệu thành tổng của một chuỗi
các hàm delta
❖ Mỗi hàm delta có một độ trễ nhất định trong miền thời gian
❖ Phân tích trên miền thời gian
+∞

න
−∞

+∞

𝑥 𝜏 𝛿 𝑡 − 𝜏 𝑑𝜏 = lim ෌−∞ 𝑥(𝑛𝛥)𝛿(𝑡 − 𝑛𝛥)𝛥
𝛥→0

MỞ ĐẦU: Ý TƯỞNG
•

Tín hiệu có thể phân tích được thành tổng của các hàm số khác không?
❖ Sao cho việc tính tốn trở nên đơn giản ?
-Câu trả lời là “Có thể”. Chúng ta có thể phân tích tín hiệu tuần hồn thành tổng
của một dãy các tín hiệu mũ phức => Chuỗi Fourier

𝑒 𝑗𝛺0 𝑡 = 𝑒 𝑗2𝜋𝑓0𝑡

f0=

𝛺0
2𝜋

❖Tại sao các tín mũ phức lại trở nên đặc biệt?
1. Mỗi tín hiệu mũ phức đều có một tần số duy nhất.
=>Phân tích theo tần số
2.Tín hiệu mũ phức là tuần hoàn


MỞ ĐẦU: ƠN TẬP
•

Tín hiệu mũ phức
𝑒 𝑗2𝜋𝑓𝑡 =cos(2𝜋𝑓t)+jsin(2𝜋𝑓t)

-Hàm mũ phức là đơn ánh với các hàm Sin
- Mỗi hàm Sin có một tần số duy nhất: f

•

Khái niệm tần số

- Tần số là phép đo sự thay đổi nhanh hay chậm của tin hiệu trong một đơn vị thời gian
•Tần số càng cao => Tín hiệu càng thay đổi nhanh


MỞ ĐẦU: TẬP TÍN HIỆU TRỰC GIAO
• Định nghĩa : Tập tín hiệu trực giao
- Một tập hợp các tín hiệu , { 𝜙0 𝑡 , 𝜙1 𝑡 , 𝜙2 𝑡 , … } được gọi là trực giao trong một khoảng (a,b)
nếu :
𝑏

𝐶,
න 𝜙𝑙 (t)𝜙𝑘∗ (t)= ቊ
0,

𝑙≠𝑘
𝑙=𝑘

𝑎

• Ví dụ :
- Tập tín hiệu : 𝜙𝑘 𝑡 = 𝑒 𝑗𝑘𝛺0 ,k=1,2,3,… là trực giao trên khoảng [0,T0],
trong đó

0 =

2
T0


NỘI DUNG CHÍNH
• Mở đầu
• Chuỗi Fourier
• Các tính chất của chuỗi Fourier

• Hệ thống với các tín hiệu tuần hoàn


CHUỖI FOURIER
•

Định nghĩa

- Đối với tín hiệu tuần hồn bất kỳ có chu kì cơ sở T0 , nó có thể được phân tích thành tổng
của một tập hợp các tín hiệu mũ phức :
+∞

𝑥 𝑡 = ෍ 𝑐𝑛 𝑒 𝑗𝑛𝛺0 𝑡
−∞

cn , n = 0, 1, 2,..... là các hệ số chuỗi Fourier
cn= ‫ 𝑒)𝑡(𝑥 > 𝑇<׬‬−𝑗𝑛𝛺0𝑡 𝑑𝑡
0

2𝜋
𝛺0=

𝑇0


CHUỖI FOURIER
•

Chuỗi Fourier
+∞

x(t)=෌𝑛=−∞ 𝑐𝑛 𝑒 𝑗𝑛𝛺0𝑡
-Tín hiệu tuần hồn được phân tích thành tổng có trọng số của một tập hợp các các hàm mũ phức
trực giao.
-Tần số của hàm số mũ phức thứ-n là : n0
T
• Chu kì của hàm số mũ phức thứ -n là : Tn = 0

cn , n = 0, 1, 2,.....

n

-Giá trị của hệ số
, phụ thuộc vào x(t)
•Nếu x(t) khác nhau thì cn cũng khác nhau
•Đây là quan hệ đơn ánh giữa x(t) và cn
s(t)

. . . , 𝑐−2 , 𝑐−1 , 𝑐0 , 𝑐1 , 𝑐2 , . . .

Một tín hiệu tuần hồn, nó có thể được biểu diễn dưới dạng s(t), dưới dạng cn

CHUỖI FOURIER
•

Ví dụ
− K , −1  t  0
x (t ) = 
K , 0  t  1


CHUỖI FOURIER
•

Biên độ và pha

- Các hệ số của chuỗi Fourier thường là các số phức :

𝑐𝑛 = 𝑎𝑛 + 𝑗𝑏𝑛 = ȁ𝑐𝑛 ȁ𝑒 𝑗𝜃𝑛
- Phổ biên độ : Biên độ như là một hàm số của :

ห𝑐𝑛 ȁ =

𝑎𝑛2 + 𝑏𝑛2

- Pha : Pha như là một hàm số của:

𝑏𝑛
𝜃𝑛 = a tan
𝑎𝑛

n0

n0


CHUỖI FOURIER: MIỀN TẦN SỐ
• Tín hiệu được biểu diễn trên miền tần số: Phổ (line spectrum)

- Mỗi cn có một tần số riêng n0
- Tín hiệu được phân tích trên miền tần số
- cn được gọi là tín hiệu điều hịa s(t) tại tần số n 0
- Mỗi tín hiệu có nhiều tần số
•Cơng suất của các hài tại các tần số khác nhau xác định sự thay đổi nhanh hay chậm của tín hiệu


CHUỖI FOURIER: MIỀN TẦN SỐ
• Ví dụ : Tiếng nốt nhạc đàn Piano


CHUỖI FOURIER
• Ví dụ
-Tìm chuỗi Fourier của : s(t)= exp(j𝛺0 t)


CHUỖI FOURIER
• Ví dụ
-Tìm chuỗi Fourier của : s(t)=B+Acos(𝛺0 t+𝜃)


CHUỖI FOURIER

• Ví dụ

0, − 𝑇Τ2 < 𝑡 < − 𝜏Τ2
Tìm chuỗi Fourier của : s (t)=ቐ 𝐾, − 𝜏Τ2 < 𝑡 < 𝜏Τ2
0, 𝜏Τ2 < 𝑡 < 𝑇Τ2

Miền tần số


CHUỖI FOURIER: ĐIỀU KIỆN DIRICHLET
• Bất kỳ một tín hiệu tuần hồn nào cũng có thể phân tích thành chuỗi Fourier,
điều này có đúng khơng ?

- Chỉ có những tín hiệu thỏa mãn điều kiện Dirichlet mới có chuỗi Fourier
•

Điều kiện Dirichlet
1. x(t) khả tích tuyệt đối trong một chu kì
න

𝑥(𝑡) 𝑑𝑡 < ∞

<𝑇>

2. x(t) chỉ có một số hữu hạn các điểm cực đại và cực tiểu ( trong một chu kỳ)
3. x(t) chỉ có một số hữu hạn các điểm không liên tục ( trong một chu kỳ)


MỤC LỤC: NỘI DUNG CHÍNH
• Mở đầu

• Chuỗi Fourier
• Các tính chất của chuỗi Fourier

• Hệ thống với các tín hiệu tuần hoàn


CÁC TÍNH CHẤT: TUYẾN TÍNH
•

Tính chất tuyến tính
-Hai tín hiệu tuần hồn với chu kì giống nhau
+∞

T0=

2𝜋
𝛺0
+∞

𝑥(𝑡) = ෍ 𝑎𝑛 𝑒 𝑗𝑛𝛺0𝑡

𝑦(𝑡) = ෍ 𝛽𝑛 𝑒 𝑗𝑛𝛺0𝑡

𝑛=−∞

𝑛=−∞

- Chuỗi Fourier của xếp chồng của hai tín hiệu là
+∞

k1x(t)+k2y(t)=෍

𝑛=−∞

ቀ𝑘1 𝑎𝑛 + 𝑘2 𝛽𝑛 )𝑒 𝑗𝑛𝛺0𝑡

If
𝑥(𝑡) ⇔ 𝛼𝑛

𝑦(𝑡) ⇔ 𝛽𝑛

then
k1x(t)+k2y(t)= 𝑘1 𝑎𝑛 + 𝑘2 𝛽𝑛


CÁC TÍNH CHẤT : ĐỐI XỨNG
• Tín hiệu đối xứng

- Một tín hiệu là đối xứng chẵn nếu : x(t) = x(-t)
- Một tín hiệu là đối xứng lẻ nếu : x(t) = - x(-t)
- Tính đối xứng làm đơn giản hóa việc tính tốn hệ số của chuỗi Fourier


CÁC TÍNH CHẤT : ĐỐI XỨNG
• Chuỗi Fourier của tín hiệu đối xứng chẵn
-Nếu tín hiệu là đối xứng chẵn thì :
+∞
x(t)=෌𝑛=−∞𝑎𝑛 cos(𝑛𝛺0 𝑡)

•

𝑇0 Τ2
an=‫׬‬0
𝑥(𝑡)cos(𝑛𝛺0 𝑡)𝑑𝑡

Chuỗi Fourier của tín hiệu đối xứng lẻ

- Nếu tín hiệu là đối xứng lẻ thì :

+∞
x(t)=෌𝑛=1𝑏𝑛 𝑠𝑖𝑛(𝑛𝛺0 𝑡)

𝑇0 Τ2
b=‫׬‬0
𝑥(𝑡)sin(𝑛𝛺0 𝑡)𝑑𝑡


CÁC TÍNH CHẤT : ĐỐI XỨNG
•

Ví dụ :

𝐴−
x(t)=൞4𝐴
𝑇

4𝐴
𝑡, 0
𝑇

< 𝑡 < 𝑇 Τ2

𝑡 − 3𝐴, 𝑇Τ2 < 𝑡 < 𝑇


CÁC TÍNH CHẤT: SỰ DỊCH THỜI GIAN
•

Dịch thời gian

-Cho x(t) có dạng chuỗi Fourier cn, thì x(t-t0) có chuỗi cn𝑒 −𝑗𝑛𝛺0𝑡

Nếu
*Chứng minh:

x(t) ↔ cn,

thì x(t-tn)

↔

cn𝑒 −𝑗𝑛𝛺0 𝑡


CÁC TÍNH CHẤT: ĐỊNH LÝ PARSEVAL
• Nhắc lại : Cơng suất của tín hiệu tuần hồn

P=
• Định lý Parseval’s
Nếu

thì

1 𝑇
‫׬‬
𝑇 0

𝑥(𝑡) 2 𝑑𝑡

x(t) ↔ 𝛼𝑚
1
𝑇

𝑇

+∞

න 𝑥(𝑡) 2 𝑑𝑡 = ෌𝑚=−∞ 𝛼𝑚

2

0

*Chứng minh

Cơng suất của tín hiệu có thể được tính toán trong miền tần số


CÁC TÍNH CHẤT: ĐỊNH LÝ PARSEVAL
• Ví dụ :
Hãy sử dụng định lí Parseval để tìm cơng suất của:

x(t ) = A sin( 0t )