Đề thi thử THPT môn toán theo cấu trúc đề minh họa có lời giải chi tiết và đáp án (đề 2)

ĐỀ THI THỬ CHUẨN CẤU
KỲ THI TỐT NGHIỆP TRUNG HỌC PHỔ THƠNG
TRÚC MINH HỌA
Bài thi: TỐN
ĐỀ SỐ 02
Thời gian làm bài: 90 phút không kể thời gian phát đề
(Đề thi có 08 trang)
Họ, tên thí sinh: …………………………………………………
Số báo danh: …………………………………………………….
Câu 1: Tập hợp M có 12 phần tử. Số tập con gồm 2 phần tử của M là
2
B. C12 .

A. 122.

10
C. A12 .

2
D. A12 .

Câu 2: Cho cấp số cộng ( un ) có u4 = −12 và u14 = 18. Giá trị cơng sai của cấp số cộng đó là

A. d = 4.
B. d = −3.
C. d = 3.
D. d = −2.
Câu 3: Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng (P). Có bao nhiêu mặt phẳng chứa a và vng góc với (P)?
A. Khơng có
B. Có một
C. Có vơ số

D. Có một hoặc vơ số
Câu 4: Cho hàm số f ( x ) có bảng biến thiên như hình vẽ.
x

−∞

f '( x)

+

f ( x)

0

+∞

3

1
−

0

+
+∞

−1

−∞

−3

Điểm cực đại của hàm số đã cho là:
A. x = −3.

B. x = 3.

Câu 5: Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y =

C. x = −1.
2x +1
l là
x −1

1
C. y = .
2
Câu 6: Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình bên?
A. y = −1.

A. y = − x 4 + 2 x 2 .

D. x = 1.

B. y = 1.

D. y = 2.

B. y = x 2 − 2 x + 1.
Trang 1

C. y = x 3 − 3x + 1.

D. y = − x 3 + 3x + 1.

Câu 7: Cho hàm số bậc bốn y = f ( x ) có đồ thị là đường cong trong hình bên.

Số nghiệm của phương trình f ( x ) = −
A. 2.

1
là
2

B. 3.

D. x = 1.

C. 4.

Câu 8: Cho hai số phức z1 = 5i và z2 = 2020 + i. Phần thực của số z1 z2 bằng
A. −5.

B. 5.

C. −10100.

D. 10100.

C. e 4 − e.

D.

1

3 x +1
Câu 9: ∫ e dx bằng
0

A. e3 − e.

B.

1 4
( e + e) .
3

1 4
( e − e) .
3

Câu 10: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( P ) : x − 2 y + z − 5 = 0 . Điểm nào dưới đây
thuộc ( P ) ?

A. M ( 1;1;6 ) .

B. N ( −5;0;0 ) .

C. P ( 0;0 − 5 ) .

D. Q ( 2; −1;5 ) .

Câu 11: Cho hình hộp ABCD.EFGH . Gọi I , J lần lượt là tâm của hình bình hành ABCD và EFGH . Khẳng
định nào sau đây là sai?
A. ( ABCD ) // ( EFGH ) .

B. ( ABJ ) // ( GHI ) .

C. ( ACGE ) // ( BDHF ) .

D. ( ABFE ) // ( DCGH ) .

Câu 12: Cho khối chóp có diện tích đáy B = 6a 2 và chiều cao h = 2a. Thể tích khối chóp đã cho bằng:
A. 12a 3 .

B. 2a 3 .

C. 4a 3 .

D. 6a 3 .

Câu 13: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

x e +1
+ C.
e +1

1
A. ∫ dx = ln x + C .

x

B.

e x +1
C. ∫ e dx =
+ C.
x +1

1
D. ∫ cos 2 xdx = sin 2 x + C.
2

x

e
∫ x dx =

Trang 2


r r r
r
r
r
Câu 14: Trong không gian Oxyz, cho a = ( −2; 2;0 ) , b = ( 2; 2;0 ) , c = ( 2; 2; 2 ) . Giá trị của a + b + c bằng
A. 2 6.
Câu 15: Phương trình 3x

B. 11.

2

−2 x

A. x = 0; x = 2.

C. 2 11.

D. 6.

C. x = 0; x = −2.

D. x = 1; x = −3.

= 1 có nghiệm là
B. x = −1; x = 3.

Câu 16: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d :
phương của đường thẳng d ?
uu
r
A. u2 = ( 1; −2;3) .

x − 3 y +1 z − 5
=
=
. Vectơ sau đây là một vectơ chỉ
2
−2
3

uu
r
B. u4 = ( −2; −4;6 ) .
ur
D. u1 = ( 3; −1;5 ) .

uu
r
C. u3 = ( 2;6; −4 ) .

Câu 17: Trog mặt phẳng Oxy, số phức z = −2 + 4i được biểu diễn bởi điểm nào trong các điểm ở hình vẽ duới
đây?

A. Điểm C.

B. Điểm D.

Câu 18: Cho hàm số f ( x ) liên tục trên ¡ và thỏa mãn

C. Điểm A.
1

∫
0

A. I = 8.

B. I = 12.

D. Điểm B.

3

3

1

0

f ( x ) dx = 2; ∫ f ( x ) dx = 6. Tính I = ∫ f ( x ) dx .
C. I = 4.

D. I = 36.

Câu 19: Khối nón có chiều cao h = 4 và đường kính đáy bằng 6. Thể tích khối nón bằng
A. 12π .

B. 144π .

C. 48π .

D. 24π .

Câu 20: Cho khối hộp hình chữ nhật có ba kích thước 2; 4;6. Thể tích của khối hộp đã cho bằng
A. 8.

B. 16.

C. 48.

D. 12.

Câu 21: Cho hai số phức z1 = 1 − 2i và z2 = 2 + i. Số phức z1 + z2 bằng
A. −3 − i.

B. 3 + i.

C. 3 − i.

D. −3 + i.

2
2
2
Câu 22: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu ( S ) : x + y + z − 4 x + 2 y − 6 z + 1 = 0 . Tọa độ tâm I của mặt
cầu là

Trang 3


A. I ( 4; −2;6 ) .

B. I ( 2; −1;3) .

C. I ( −4; 2; −6 ) .

D. I ( −2;1; −3) .

Câu 23: Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên như sau:
x'

−∞

−1
+

y'

0
−

0

y

+∞

1
−

+

0

+∞

2

+∞

−∞

−∞

4

Hàm số nghịch biến trong khoảng nào?
A. ( 0;1) .

B. ( −1;1) .

C. ( 4; +∞ ) .

D. ( −∞; 2 ) .

C. x = 23.

D. x = 1.

Câu 24: Nghiệm của phương trình log 2 ( x + 9 ) = 5 là
A. x = 41.

B. x = 16.

Câu 25: Cho x, y > 0 và α , β ∈ ¡ . Khẳng định nào sau đây sai ?
A. ( xα ) = xαβ .

B. xα + yα = ( x + y ) .

C. xα .x β = xα + β .

D. ( xy ) = xα . yα .

β

α

α

Câu 26: Cho hình trụ có bán kính đáy r = 2 và chiều cao h = 5. Diện tích xung quanh của hình trụ đã cho bằng
A. 28π .

C. 10π .

B. 20.

D. 20π .

Câu 27: Trong không gian Oxyz, cho các điểm A ( 1;0; 2 ) , B ( 1; 2;1) , C ( 3; 2;0 ) và D ( 1;1;3) . Đường thẳng đi
qua A và vuông góc với mặt phẳng ( BCD ) có phương trình là

x = 1− t

A.  y = 4t .
 z = 2 + 2t

Câu 28: Rút gọn biểu thức P =
A. P = a 4 .

∫

0

A. −8.

a

3 +1

.a 2−

(a )
2 −2

x = 1− t

C.  y = 2 − 4t .
 z = 2 − 2t


f ( x ) dx = 2 và

1

2 +2

với a > 0.

∫ g ( x ) dx = 5 . Tính
0

B. 12.

x = 2 + t

D.  y = 4 + 4t .
 z = 4 + 2t


3

B. P = a 3 .
1

Câu 29: Cho

x = 1+ t

.
B.  y = 4
 z = 2 + 2t


C. P = a 5 .

D. P = a.

1

∫ ( f ( x ) − 2 g ( x ) ) dx .
0

C. 1.

D. −3.

2
Câu 30: Cho f ( x ) = 3x + (1 − 2m) x + 2m với m là tham số. Tìm m để F ( x) là một nguyên hàm của f ( x) và
F (0) = 3, F (1) = −3 .

Trang 4


5
A. m = − .
2

B. m =

15
.
2

2
Câu 31: Nghiệm của bất phương trình log 2 x ≥ log 2

A. x > 0 .

C. m = −

15

.
2

1
D. m = − .
2

x
+ 4 là:
4
C. 0 < x ≤

B. x ≥ 4 .

 1
D.  0;  ∪ [ 4; +∞ ) .
 2

1
.
2

Câu 32: Một em bé có bộ 6 thẻ chữ, trên mỗi thẻ có ghi một chữ cái, trong đó có 3 thẻ chữ T, một thẻ chữ N,
một thẻ chữ H và một thẻ chữ P. Em bé đó xếp ngẫu nhiên 6 thẻ đó thành một hàng ngang. Tính xác suất em bé
xếp được thành dãy TNTHPT.
A.

1
.
120

B.

Câu 33: Tính
2
A. x +

1
.
720

C.

1
.
6

B.

x 2 cos 2 x
+
+ C.
2
2

D.

1
.
20

∫ ( x − sin 2 x ) dx.

cos 2 x
+ C.
2

x2
C.
+ cos 2 x + C.
2

x2
D.
+ sin x + C.
2

Câu 34: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện ( 1 + i ) z − 1 − 3i = 0. Tìm phần ảo của số phức w = 1 − iz + z.
B. −i.

A. −1.

D. −2i.

C. 2.

Câu 35: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm I ( 1;1;1) và A ( 1; 2;3) . Phương trình mặt cầu có tâm I và đi qua
A là
A. ( x + 1) + ( y + 1) + ( z + 1) = 29.

B. ( x − 1) + ( y − 1) + ( z − 1) = 25.

C. ( x − 1) + ( y − 1) + ( z − 1) = 5.

D. ( x + 1) + ( y + 1) + ( z + 1) = 5.

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2 x 2 −3 x − 7

1
Câu 36: Số nghiệm nguyên của bất phương trình  ÷
 3
A. 7.
Câu 37: Hàm số y =

B. 6.
2
3x + 1
2

A. ( −1;1) .

> 32 x − 21 là
C. vô số.

D. 8.

nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
B. ( −∞;0 ) .

C. ( −∞; +∞ ) .

D. ( 0; +∞ ) .

Câu 38: Cho hàm số f ( x ) . Biết hàm số f ' ( x ) có đồ thị như hình dưới đây. Trên

[ −4;3] ,

hàm số

g ( x ) = 2 f ( x ) + ( 1 − x ) đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm nào?
2

Trang 5


A. x = −1.

B. x = 3.

C. x = −4.

D. x = −3.

Câu 39: Người ta muốn xây bể chứa nước dạng hình hộp chữ nhật khơng nắp có thể tích 200 m3 . Đáy bể là
hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng. Giá thuê công nhân xây bể là 300.000 đồng/ m 2 . Chi phí thuê
công nhân thấp nhất là
A. 36 triệu đồng.

B. 51 triệu đồng.

C. 75 triệu đồng.

D. 46 triệu đồng.

Câu 40: Trong không gian Oxyz, đường thẳng đi qua điểm M ( 1; 2; 2 ) , song song với mặt phẳng
x −1 y − 2 z − 3

=
=
( P ) : x − y + z + 3 = 0 đồng thời cắt đường thẳng d :
có phương trình là
1
1
1

x = 1− t

A.  y = 2 + t .
z = 2


x = 1+ t

B.  y = 2 − t .
z = 2


Câu 41: Cho số phức z = a + bi ( a, b ∈ ¡

x = 1− t

C.  y = 2 − t .
z = 2 − t


)

thỏa mãn

x = 1− t

D.  y = 2 − t .
z = 2


z = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

A= z+2 +2 z−2 .
B. 7

A. 10 2.

C.10

D. 5 2

Câu 42: Cho hàm số f ( x ) xác định và có đạo hàm f ' ( x ) liên tục trên đoạn [ 1;3] và f ( x ) ≠ 0 với mọi
x ∈ [ 1;3] ,

đồng

thời

f ' ( x ) + ( 1 + f ( x ) ) = ( f ( x ) )

2

2

( x − 1) 

2

và

f ( 1) = −1.

Biết

rằng

3

∫ f ( x ) dx = a ln 3 + b, a, b ∈ ¢. Tính tổng S = a + b .
2

1

A. S = −1.
Câu

43:

B. S = 2.
Có

bao

nhiêu

bộ

C. S = 0.

( x; y )

với

x, y

nguyên

D. S = −4.
và

1 ≤ x, y ≤ 2020

thỏa

mãn

 2y 
 2x +1 
÷ ≤ ( 2 x + 3 y − xy − 6 ) log 2 
÷?
 x−3 
 y+2

( xy + 2 x + 4 y + 8 ) log 3 
A. 4034.

B. 2 .

C. 2017 .

D. 2017 × 2020 .

4
2 2
Câu 44: Đường cong y = x − 2m x + 1 có ba điểm cực trị A,B,C lập thành một tam giác đều. Giá trị của m là:

Trang 6


A. ± 3 .

B. ± 6 3 .

C. ± 5 2 .

D. ± 5 7 .

Câu 45: Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác đều, SA ⊥ ( ABC ) . Mặt phẳng ( SBC ) cách A một
khoảng bằng a và hợp với mặt phẳng ( ABC ) góc 300 . Thể tích của khối chóp S . ABC bằng
A.

8a 3

.
9

B.

3a 3
.
12

C.

4a 3
9

D.

8a 3
.
3

Câu 46: Cho hàm số f ( x ) liên tục trên ¡ , có đồ thị như hình vẽ.

 8x 
Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số a để hàm số y = f  2 ÷+ a − 1 có giá trị lớn nhất khơng
 x +1 
vượt quá 20?
A. 41.

B. 31.

C. 35.

D. 29.

Câu 47: Cho f ( x ) là hàm đa thức bậc 3 có đồ thị như hình vẽ. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm M có
hồnh độ bằng −2 cắt đồ thị tại điểm thứ hai N ( 1;1) cắt Ox tại điểm có hồnh độ bằng 4. Biết diện tích phần
9
. Tích phân
gạch chéo là
16

A.

31
18

1

∫ f ( x ) dx

bằng

−1

B.

13
6

C.

19
9

x
Câu 48: Tổng tất cả các giá trị của tham số m để phương trình 3

D.
2

− 2 x +1− 2 x − m

7
3

= log x2 − 2 x +3 ( 2 x − m + 2 ) có đúng

ba nghiệm phân biệt là
Trang 7


A. 3
B. 0
C. 2
D. 1
Câu 49: Cho các số phức z1 = 1 + 3i, z2 = −5 − 3i . Tìm điểm M ( x; y ) biểu diễn số phức z3 , biết rằng trong mặt
phẳng phức điểm M nằm trên đường thẳng x − 2 y + 1 = 0 và mô đun số phức w = 3 z3 − z2 − 2 z1 đạt giá trị nhỏ
nhất.
3 1
A. M  ; ÷

5 5

 3 1
B. M  − ; − ÷
 5 5

3 1
C. M  ; − ÷
5 5

 3 1
D. M  − ; ÷
 5 5

Câu 50: Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A ( 2; −2; 4 ) , B ( −3;3; −1) , C ( −1; −1; −1) và mặt phẳng

( P ) : 2 x − y + 2 z + 8 = 0.

Xét điểm M

thay đổi thuộc

( P) ,

tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

T = 2 MA + MB − MC .
2

2

2

A. 102

B. 35

C. 105

D. 30

---------------- HẾT --------------BẢNG ĐÁP ÁN
1-B

2-C

3-B

4-D

5-D

6-D

7-A

8-A

9-D

10-A

11-C

12-C

13-C

14-C

15-A

16-A

17-A

18-A

19-D

20-C

21-C

22-B

23-A

24-C

25-B

26-D

27-D

28-C

29-A

30-C

31-D

32-A

33-B

34-A

35-C

36-A

37-D

38-A

39-B

40-D

41-D

42-A

43-A

44-B

45-A

46-B

47-B

48-A

49-D

50-A

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
Câu 1: Chọn B.
Số tập con thỏa mãn đề bài chính là số cách chọn 2 phần tử lấy trong tập hợp M có 12 phần tử. Số tập con gồm
2
2 phần tử của tập hợp M là C12 .
Câu 2: Chọn C.
Ta có u14 = u1 + 13d = u4 + 10d = 18 ⇒ d = 3.
Vậy công sai của cấp số cộng là d = 3.

Câu 3: Chọn B.
Sử dụng tính chất của hai mặt phẳng vng góc.

Câu 4: Chọn D.
Trang 8


Hàm số đạt cực đại tại điểm x mà f ' ( x ) đổi dấu từ dương sang âm.
Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt cực đại tại x = 1.
Câu 5: Chọn D.
1
2x +1
x = 2. Suy ra đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là y = 2.
= lim
Ta có xlim
→±∞ x − 1
x →±∞
1
1−
x
2+

Câu 6: Chọn D.
Đường cong có dạng của đồ thị hàm số bậc 3 với hệ số a < 0 nên chỉ có hàm số y = − x 3 + 3x + 1 thỏa yêu cầu
bài toán.
Câu 7: Chọn A.
Số nghiệm của phương trình f ( x ) = −

1
1

bằng số nghiệm của đồ thị hàm số y = f ( x ) và đường thẳng y = − .
2
2

Dựa vào đồ thị ta thấy: đồ thị hàm số y = f ( x ) và đường thẳng y = −
Nên phương trình f ( x ) = −

1
cắt nhau tại 2 điểm.
2

1
có 2 nghiệm.
2

Câu 8: Chọn A.
Ta có: z1 z2 = 5i ( 2020 + i ) = −5 + 10100i ⇒ Phần thực của số phức z1 z2 là −5.
Câu 9: Chọn D.
1

3 x +1
Ta có ∫ e dx =
0

1

1 1
1 3 x +1
1
e d ( 3x + 1) = e3 x +1 = ( e 4 − e ) .

∫
0 3
30
3

Câu 10: Chọn A.
Ta có 1 − 2.1 + 6 − 5 = 0 nên M ( 1;1;6 ) thuộc mặt phẳng ( P ) .
Câu 11: Chọn C.

Ta có ( ACGE ) ∩ ( BDHF ) = IJ nên khẳng định C sai.
Trang 9


Câu 12: Chọn C.
1
1 2
3
Ta có V = B.h = 6a .2a = 4a .
3
3
Câu 13: Chọn C.
x
Ta có ∫ e dx =

e x +1
+ C sai vì ∫ e x dx = e x + C.
x +1

Câu 14: Chọn C.
r r r

Ta có: a + b + c = ( 2;6; 2 ) .
r r r
Vậy a + b + c = 2 11.
Câu 15: Chọn A.
x
Ta có 3

2

−2 x

= 1 ⇔ 3x

2

−2 x

x = 0
= 30 ⇔ x 2 − 2 x = 0 ⇔ 
.
x = 2

Câu 16: Chọn A.
uu
r
Ta thấy đường thẳng d có một vectơ chỉ phương có tọa độ u2 = ( 1; −2;3) .
Câu 17: Chọn A.
Số phức z = −2 + 4i được biểu diễn bởi điểm C ( −2; 4 ) .
Câu 18: Chọn A.
3

1

3

0

0

1

Ta có I = ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx = 2 + 6 = 8.
Câu 19: Chọn D.
1 2
1
3
Khối nón có bán kính bằng 3 nên có thể tích là V = π r h = .π .3 .4 = 12π .
3
3
Câu 20: Chọn C.
Thể tích của khối hộp đã cho bằng 2.4.6 = 48.
Câu 21: Chọn C.
Ta có z1 + z2 = 1 − 2i + 2 + i = 3 − i.
Thầy cơ có nhu cầu mua trọn bộ đề thi thử theo minh họa mới năm 2021 mơn Tốn vui lòng liên hệ số điên
thoại 096.458.1881
Câu 22: Chọn B.
Từ phương trình mặt cầu suy ra tâm của mặt cầu là I ( 2; −1;3) .
Câu 23: Chọn A.
Trang 10

Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng ( 0;1) .
Câu 24: Chọn C.
Điều kiện: x > −9
5
Ta có: log 2 ( x + 9 ) = 5 ⇔ x + 9 = 2 ⇔ x = 23.

Câu 25: Chọn B.
Theo tính chất của lũy thừa thì đẳng thức xα + yα = ( x + y ) sai.
α

Câu 26: Chọn D.
Theo công thức tính diện tích xung quanh hình trụ S xq = 2π rh = 2π .2.5 = 20π .
Câu 27: Chọn D.
Đường thẳng đi qua A và vng góc với mặt phẳng ( BCD ) nhận vectơ pháp tuyến của ( BCD ) là vectơ chỉ
phương.
uuur
uuur
Ta có BC = ( 2;0; −1) , BD = ( 0; −1; 2 ) .
uu
r r
uuur uuur
⇒ ud = n =  BC , BD  = ( −1; −4; −2 ) .
Khi đó ta loại phương án A và B
1 = 2 + t
t = −1


Thay điểm A ( 1;02 ) vào phương trình ở phương án D ta có 0 = 4 + 4t ⇔ t = −1.
 2 = 4 + 2t

t = −1


Suy ra đường thẳng có phương trình tham số ở phương án C đi qua điểm A nên D là phương án đúng.
Câu 28: Chọn C.
Ta có P =

a

3 +1

.a 2−

(a )
2 −2

3

2 +2

a
=
(
a

3 +1+ 2 − 3

a3
= −2 = a 5 .
2 − 2 )( 2 + 2 )

a

Câu 29: Chọn A.
1

Ta có

∫(
0

1

1

0

0

f ( x ) − 2 g ( x ) ) dx = ∫ f ( x ) dx − 2 ∫ g ( x ) dx = 2 − 2.5 = −8.

Câu 30: Chọn C.
x
2
3
Ta có: F ( x) = ∫ f ( x)dx = ∫ 3 x + (1 − 2m) x + 2m  dx = x + (1 − 2m). + 2mx + C
2
C = 3
C = 3
 F (0) = 3



<=> 
<=> 
Ta có: 
1
−15
 F (1) = −3
1 + (1 − 2m). 2 + 2m + C = −3
m = 2
Trang 11


Câu 31: Chọn D.
Điều kiện: x > 0 .
BPT <=> log 2 x ≥ log 2 x − log 2 4 + 4 = log 2 x + 2
2

x ≥ 4
 log 2 x ≥ 2
<=> (log 2 x − 2)(log 2 x + 1) ≥ 0 <=> 
<=> 
.
x ≤ 1
log
x
≤
−
1
 2


2
 1
Vậy x ∈  0;  ∪ [ 4; +∞ ) .
 2
Câu 32: Chọn A.
Xem ba chữ T riêng biệt ta có: n ( Ω ) = 6!.
Gọi A là biến cố “xếp ngẫu nhiên 6 thẻ đó thành dãy TNTHPT”, suy ra n ( A ) = 3!
(số hoán vị của T – T – T và N, H, P cố định).
Vậy xác suất của biến cố A : P ( A ) =

3!
1
=
.
6! 120

Câu 33: Chọn B.
Ta có

∫ ( x − sin 2 x ) dx = ∫ xdx − ∫ sin 2 xdx =

x 2 cos 2 x
+
+ C.
2
2

Câu 34: Chọn A.
Ta có ( 1 + i ) z − 1 − 3i = 0 ⇔ z =

1 + 3i
⇔ z = 2 + i ⇒ z = 2 − i.
1+ i

Do đó w = 1 − iz + z = 1 − i ( 2 − i ) + 2 + i = 2 − i.
Vậy phần ảo của số phức w = 1 − iz + z là −1.
Câu 35: Chọn C.
Ta có R = IA =

( 1 − 1)

2

+ ( 2 − 1) + ( 3 − 1) = 5.
2

2

Vậy phương trình mặt cầu tâm I và đi qua điểm A có phương trình là

( x − xI )

2

+ ( y − yI ) + ( z − z I ) = R 2 ⇒ ( x − 1) + ( y − 1) + ( z − 1) = 5.
2

2

2

2

2

Câu 36: Chọn A.
2 x2 −3 x − 7

1
Ta có  ÷
3

(

− 2 x 2 −3 x − 7

> 32 x −21 ⇔ 3

) > 32 x −21

⇔ − ( 2 x 2 − 3 x − 7 ) > 2 x − 21 ⇔ −2 x 2 + 3 x + 7 > 2 x − 21
Trang 12


⇔ −2 x 2 + x + 28 > 0 ⇔ −

7
< x < 4.
2

Do x ∈ ¢ nên x ∈ { −3; −2; −1;0;1; 2;3} .
Vậy bất phương trình đã cho có 7 nghiệm nguyên.
Câu 37: Chọn D.
Tập xác định D = ¡ .
y'=

−12 x

( 3x

2

+ 1)

2

.

Ta có y ' < 0 ⇔ x > 0 nên hàm số y =

2
3x + 1
2

nghịch biến trên khoảng ( 0; +∞ ) .

Câu 38: Chọn A.
Xét hàm số g ( x ) = 2 f ( x ) + ( 1 − x ) trên [ −4;3] .
2

Ta có: g ' ( x ) = 2. f ' ( x ) − 2 ( 1 − x ) .
g ' ( x ) = 0 ⇔ f ' ( x ) = 1 − x. Trên đồ thị hàm số f ' ( x ) ta vẽ thêm đường thẳng y = 1 − x.

 x = −4

Từ đồ thị ta thấy f ' ( x ) = 1 − x ⇔  x = −1.
 x = 3
Bảng biến thiên của hàm số g ( x ) như sau:

Trang 13


g ( x ) = g ( −1) ⇔ x = −1.
Vậy min
[ −4;3]
Câu 39: Chọn B.
Gọi chiều rộng, chiều dài của đáy lần lượt là x và 2 x, chiều cao là y.
Diện tích các mặt bên và mặt đáy là S = 6 xy + 2 x 2
2
Thể tích là V = 2 x y = 200 ⇒ xy =

S=

100
.
x

600
300 300
300 300 2

+ 2x2 =
+
+ 2x2 ≥ 3 3
.
.2 x = 30 3 180
x
x
x
x
x

Vậy chi phí thấp nhất là T = 30 3 180.3000000 = 51 triệu.
Câu 40: Chọn D.
x = 1+ t

Phương trình tham số của đường thẳng d :  y = 2 + t
z = 3 + t

Gọi  là đường thẳng cần tìm. Theo đề bài d cắt  nên gọi I = ∆ ∩ d => I ∈ d suy ra I (1 + t ; 2 + t ;3 + t ) .
uuu
r
r
Ta có MI = (t ; t ; t + 1) ; mặt phẳng ( P ) có VTPT là n = (1; −1;1) .
uuu
r r
uuu
rr
 song song với mặt phẳng ( P ) nên MI ⊥ n <=> MI .n = 0 <=> 1.t + (−1).t + 1.(1 + t ) = 0 <=> t = −1
uuu
r

=> MI = (−1; −1;0) là 1 VTCP của đường thẳng  và  đi qua điểm M (1; 2; 2).
x = 1− t '

Vật PTTS của đường thẳng  cần tìm là  y = 2 − t ' .
z = 2

Câu 41: Chọn D.
Ta có:
| z + 2 |2 = (a + 2) 2 + b 2 ;| z − 2 |2 = ( a − 2) 2 + b 2
=>| z + 2 |2 + | z − 2 |2 = 2(a 2 + b 2 ) + 8 = 2 | z |2 +8 = 10
2
2
2
2
2
2
Ta có: A = (| z + 2 | +2 | z − 2 |) ≤ (1 + 2 )(| z + 2 | + | z − 2 | ) = 50 .

Trang 14


Vì A ≥ 0 nên từ đó suy ra A ≤ 50 = 5 2 .
Vậy giá trị lớn nhất của A là 5 2 .
Câu 42: Chọn A.
2
2
2
Ta có: f '( x )(1 + f ( x)) = [( f ( x )) ( x − 1)] <=>

Lấy nguyên hàm 2 vế ta được

<=> ∫

∫

f '( x)(1 + f ( x )) 2
= ( x − 1) 2.
4
f ( x)

f '( x)(1 + f ( x)) 2
dx = ∫ ( x − 1) 2 dx
4
f ( x)

(1 + 2 f ( x) + f 2 ( x)) f '( x)
dx = ∫ ( x − 1) 2 dx
f 4 ( x)

 1
1
1 
( x − 1)3
<=> ∫  4
+2 3
+ 2
d
(
f
(
x

))
=
+C
÷
f ( x) f ( x) 
3
 f ( x)
1
1
1
( x − 1)3
<=> − 3
− 2
−
=
+C
3 f ( x) f ( x) f ( x )
3
<=> −

1 + 3 f ( x) + 3 f 2 ( x) ( x − 1)3
=
+C
3 f 3 ( x)
3

Mà f (1) = −1 => −
=> −

1− 3 + 3

1
= C => C = .
−3
3

1 + 3 f ( x) + 3 f 2 ( x) ( x − 1)3 1
=
+
3 f 3 ( x)
3
3

<=>

1 + 3 f ( x ) + 3 f 2 ( x) 1
( x − 1)3
+
=
−
3 f 3 ( x)
3
3

<=>

(1 + f ( x ))3
= −( x − 1)3
f 3 ( x)
3


1 
3
<=>  1 +
÷ = (1 − x)
f ( x) 

−1
<=> f ( x ) = .
x
3

Vậy

∫
1

3

f ( x)dx = ∫
1

3
−1
dx = − ln | x | = − ln 3 . Suy ra a = −1; b = 0 hay a + b = −1 .
1
x

Câu 43: Chọn A
 x, y ∈ N *: x, y ≤ 2020

 x, y ∈ N *: x, y ≤ 2020

<=> 
.
2y
Điều kiện  2 x + 1
>
0,
>
0
x
>
3,
y
>
0

 x −3
y+2

 y−2 
 x+4 
+ 1÷+ ( x + 4)( y + 2) log 3 
+ 1 ÷ ≤ 0(*).
BPT cho có dạng ( x − 3)( y − 2) log 2 
 x−2 
 y+2 
Trang 15

2
 x+4 
+ 1÷+ 3( x + 4) log 3 ≤ 0 , rõ ràng BPT này nghiệm đúng với mọi
Xét y = 1 thì (*) thành −( x − 3) log 2 
3
 x−3 
2
 x+4 
+ 1÷ > log 2 (0 + 1) = 0,3( x + 4) > 0, log 3 < 0.
x > 3 vì −( x − 3) < 0;log 2 
3
 x −3 
Như vậy trường hợp này cho ta đúng 2017 bộ ( x; y ) = ( x;1) với 4 ≤ x ≤ 2020, x ∈ ¥ .
Xét y = 2 thì (*) thành 4( x + 4) log 3 1 ≤ 0, BPT này cũng luôn đúng với mọi x mà 4 ≤ x ≤ 2020, x ∈ ¥ .
Trường hợp này cho ta 2017 cặp ( x; y ) nữa.
Với y > 2, x > 3 thì VT(*) > 0 nên (*) khơng xảy ra
Vậy có đúng 4034 bộ số ( x; y ) thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 44: Chọn B.
ĐTHS có 3 điểm cực trị <=> ab = −2m 2 < 0 <=> m ≠ 0.
uuur
 AB = (m; −m 4 )
 A(0;1)
x = 0

 uuur
3
2
=>  B( m;1 − m 4 ) =>  AC = (−m; − m 4 ) .
Ta có: y ' = 4 x − 4m x = 0 => 
 x = ±m

C (− m;1 − m 4 )
 uuur

 BC = (−2m;0)
 AB 2 = AC 2 = m 2 + m8
=>  2
=> m2 + m8 = 4m2 => m6 = 3 => m = 6 3.
2
 BC = 4m
Câu 45: Chọn A.

Gọi I là trung điểm của BC suy ra góc giữa mp ( SBC ) và mp ( ABC ) là SIA = 300.
H là hình chiếu vng góc của A trên SI suy ra d ( A, ( SBC ) ) = AH = a.
Xét tam giác AHI vuông tại H suy ra AI =

AH
= 2a.
sin 300
Trang 16


3
4a
⇒x=
.
Giả sử tam giác đều ABC có cạnh bằng x, mà AI là đường cao suy ra 2a = x
2
3
2

Diện tích tam giác đều ABC là S ABC

3 4a 2 3
 4a 
=
=
.
÷.
3
 3 4

0
Xét tam giác SAI vng tại A suy ra SA = AI .tan 30 =

2a
.
3

1
1 4 a 2 3 2 a 8a 3
V
=
.
S
.
SA
=
.
.
=

.
Vậy S . ABC
ABC
3
3
3
9
3
Câu 46: Chọn B.
Đặt t =

8x
.
x +1
2

Ta có: t ' =

−8 x 2 + 8

( x 2 + 1)

2

; t ' = 0 ⇔ x = ±1.

Bảng biến thiên:

⇒ t ∈ [ −4; 4] .
Xét hàm số: h ( t ) = f ( t ) + a − 1, t ∈ [ −4; 4] , ta có: h ' ( t ) = f ' ( t ) .

t = −4 ∈ [ −4; 4]

h ' ( t ) = 0 ⇔ f ' ( t ) = 0 ⇔ t = −2 ∈ [ −4; 4] .

t = 2 ∈ [ −4; 4]
max h ( t ) = Max { a + 5 ; a − 5 } .
[ −4;4]

 a + 5 ≤ 20
 −20 ≤ a + 5 ≤ 20
−25 ≤ a ≤ 15
⇔
⇔
⇔ −15 ≤ a ≤ 15 .
Yêu cầu bài toán ⇔ 
 −20 ≤ a − 5 ≤ 20
−15 ≤ a ≤ 25
 a − 5 ≤ 20
Vậy có tất cả 31 giá trị nguyên của tham số a thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 47: Chọn B.

Trang 17


Dựa vào giả thiết đường thẳng đi qua hai điểm M ( −2; 2 ) và P ( 4;0 ) . Suy ra d : x + 3 y − 4 = 0 ⇒ y =

−1
4
x+ .
3

3

3
2
2
Từ giả thiết ta có hàm số f ( x ) = ax + bx + cx + d ⇒ f ' ( x ) = 3ax + 2bx + c. Chú ý đồ thị hàm số tiếp xúc
đường thẳng d tại x = −2.

1

1 = −8a + 4b − 2c
a=

12
0 = a + b + c


1
1
1
1

⇒ y = x 3 + x 2 − x + 1.
1 ⇒ b =

4
12
4
3
12a − 4b + c = − 3 

1


 d = 1
c = − 3

1

Từ đó

∫ f ( x ) dx =

−1

13
.
6

Câu 48: Chọn A.
Phương trình tương đương 3
⇔ 3x

2

x 2 − 2 x + 3− ( 2 x − m + 2 )

=

ln ( 2 x − m + 2 )
ln ( x 2 − 2 x + 3)

.

.ln ( x 2 − 2 x + 3) = 32 x − m + 2.ln ( 2 x − m + 2 ) ( *) .

−2 x +3

t
Xét hàm đặc trưng f ( t ) = 3 .ln t , t ≥ 2 là hàm số đồng biến nên từ phương trình ( *) suy ra

⇔ x 2 − 2 x + 3 = 2 x − m + 2 ⇔ g ( x ) = x 2 − 2 x − 2 x − m + 1 = 0.
2
2 x − 4 khi x ≥ m
 x − 4 x + 2m + 2 khi x ≥ m
⇒ g '( x) = 
Có g ( x ) =  2
.
khi x ≤ m
khi x ≤ m
2 x
 x − 2m + 1

 x = 2 khi x ≥ m
Và g ' ( x ) = 0 ⇔ 
 x = 0 khi x ≤ m
Xét các trường hợp sau:
Trường hợp 1: m ≤ 0 ta có bảng biến thiên của g ( x ) như sau:

Phương trình chỉ có tối đa 2 nghiệm nên khơng có m thỏa mãn.
Trường hợp 2: m ≥ 2 tương tự.

Trang 18


Trường hợp 3: 0 < m < 2, bảng biến thiên g ( x ) như sau:


m = 1
( m − 1) 2 = 0


1
Phương trình có 3 nghiệm khi  −2m + 1 = 0 > 2m − 3 ⇔  m = .

2
 −2 m + 1 < 0 = 2 m − 3

3

m =

2
Câu 49: Chọn D.
Trắc nghiệm: Thay tọa độ điểm M vào vế trái phương trình đường thẳng kết quả bằng 0 thỏa ta được đáp án A.
Tự luận:
Ta có w = 3 z3 − z2 − 2 z1 = 3 z3 + 3 − 3i = 3 ( z3 + 1 − i ) → w = 3 z3 + 1 − i = 3 AM với A ( −1;3)
M ( x; y ) biểu diễn số phức z3 nằm trên đường thẳng d : x − 2 y + 1 = 0 và A ( −1;3) ∉ d .
Khi đó w = 3 z3 + 1 − i = 3 AM đạt giá trị nhỏ nhất khi AM ngắn nhất ⇔ AM ⊥ d
AM ⊥ d nên AM có phương trình: 2 x + y + 1 = 0.

 3 1

Khi đó M = AM ∩ d nên M  − ; ÷.
 5 5
Câu 50: Chọn A.
uu
r uur uur r
Gọi I là điểm thỏa mãn: 2 IA + IB − IC = 0
uuu
r uur
uuu
r uur
uuur uur r
⇔ 2 OA − OI + OB − OI − OC − OI = 0

(

) (

) (

)

uur uuu
r 1 uuur 1 uuur
⇔ OI = OA + OB − OC = ( 1;0; 4 )
2
2
⇔ I ( 1;0; 4 ) .
Khi đó, với mọi điểm M ( x; y; z ) ∈ ( P ) , ta ln có
uuu
r uu

r 2 uuu
r uur 2 uuu
r uur
T = 2 MI + IA + MI + IB − MI + IC

(

) (

) (

)

2

uuu
r2
uuu
r uu
r uur uur
uu
r 2 uur2 uur 2
= 2 MI + 2MI . 2 IA + IB − IC + 2 IA + IB − IC

(

)

Trang 19

= 2 MI 2 + 2 IA2 + IB 2 − IC 2 .
Ta tính được 2 IA2 + IB 2 − IC 2 = 30.
Do đó, T đạt GTNN ⇔ MI đạt GTNN ⇔ MI ⊥ ( P ) .
Lúc này, IM = d ( I , ( P ) ) =

2.1 − 0 + 2.4 + 8
2 + ( −1) + 2
2

2

2

= 6.

2
Vậy Tmin = 2.6 + 30 = 102.

Trang 20