Bài giảng lý thuyết xác suất và thống kê toán bài 1 biến cố và xác suất

Bài 1: Biến cố và xác suất

BÀI 1

BIẾN CỐ VÀ XÁC SUẤT

Hướng dẫn học
Đây là bài học mở đầu cho môn học, gồm các khái niệm cơ bản, các ký hiệu quan trọng
sẽ dùng cho tất cả các bài sau. Với mỗi khái niệm hoặc định nghĩa đều có các ví dụ cụ thể
và chi tiết để giải thích, minh họa. Vì vậy người học cần theo dõi các ví dụ và làm các bài
tập để hiểu rõ và nắm chắc khái niệm cũng như cách thức tính tốn. Càng về sau các ví dụ
sẽ nâng cao dần và các ví dụ sau sẽ sử dụng kết quả của ví dụ trước, vì vậy khơng được
bỏ qua ví dụ nào trong quá trình học tập.
Bài này giới thiệu về một số khái niệm cơ bản của lí thuyết xác suất như phép thử, biến cố
và xác suất của biến cố. Đồng thời hướng dẫn các phương pháp tính xác suất của biến cố
và cách xác định mối quan hệ giữa các biến cố. Ngồi ra, hai ngun lí xác suất cũng
được nêu ra trong bài.
Để học tốt bài này, sinh viên cần tham khảo các phương pháp học sau:
 Học đúng lịch trình của mơn học theo tuần, làm các bài luyện tập đầy đủ và tham gia
thảo luận trên diễn đàn.
 Đọc tài liệu: Giáo trình Lý thuyết xác suất và thống kê toán của NXB Đại học KTQD.
 Sinh viên làm việc theo nhóm và trao đổi với giảng viên trực tiếp tại lớp học hoặc
qua email.
 Tham khảo các thông tin từ trang Web môn học.
Nội dung
 Các khái niệm cơ bản: phép thử, kết cục, biến cố, xác suất.
 Tính xác suất theo định nghĩa cổ điển: định nghĩa, phương pháp liệt kê, phương pháp
sử dụng đại số tổ hợp.
 Tính xác suất theo định nghĩa thống kê.
 Nguyên lý xác suất lớn và nhỏ.
 Mối quan hệ giữa các biến cố: tổng, tích, độc lập, xung khắc, nhóm đầy đủ, đối lập.

Mục tiêu
Sau khi học xong bài này, sinh viên cần đảm bảo được các yêu cầu sau:
 Hiểu rõ các khái niệm, đặt biến cố, phân biệt các loại biến cố.
 Hiểu khái niệm xác suất, điều kiện quy ước của xác suất.
 Tính xác suất khi liệt kê được biến cố, liệt kê dạng bảng, sử dụng đại số tổ hợp.
 Hiểu khái niệm tần suất, nguyên lý xác suất nhỏ và lớn.
 Biết cách biễu diễn một biến cố qua tổng hoặc tích của các biến cố khác và xác định
được mối quan hệ giữa các biến cố trong tổng hoặc tích.

TXTOKT02_Bai1_v1.0014109205

1


Bài 1: Biến cố và xác suất

Tình huống dẫn nhập
Xác suất để người chơi trúng thưởng
Tình huống về xác suất trong kinh tế thơng thường khá phức tạp và có rất nhiều trường hợp
riêng. Vì vậy tại đây ta xét một tình huống về trị chơi có thưởng trên truyền hình, xét về khía
cạnh nào đó thì đây cũng là tình huống kinh tế vì phần thưởng là lợi ích kinh tế mà người chơi
đạt được còn người tổ chức trò chơi mất đi.
Một người tham gia trò chơi trên truyền hình, chẳng hạn chương trình “Hãy chọn giá đúng”. Có
hai bàn ký hiệu là A và B, mỗi bàn có 5 cái hộp giống hệt nhau. Người chơi được biết trong số 5
hộp của bàn A chỉ có 3 hộp bên trong có phần thưởng; trong số 5 hộp tại bàn B chỉ có 2 hộp bên
trong có phần thưởng, nhưng khơng biết cụ thể là hộp nào.
Tình huống 1: Người chơi phải chọn một bàn và từ đó lấy một hộp, và sẽ nhận được phần
thưởng bên trong hộp (nếu có).
1. Người chơi có chắc chắn mình sẽ được phần thưởng khơng? Có chắc chắn

mình sẽ khơng được gì hay khơng?
2. Nếu muốn có được phần thưởng thì người chơi nên chọn bàn A hay bàn B?
3. Nếu lệ phí tham gia trị chơi là 10 nghìn và phần thưởng có trị giá là 500
nghìn thì số tiền được/mất của người chơi và chủ trị chơi có những trường
hợp nào và khả năng là bao nhiêu?

Tình huống 2: Người chơi được lấy từ bàn A ra hai hộp, để riêng ra rồi mới mở. Hãy đánh giá khả
năng người chơi: Được hai phần thưởng, được một phần thưởng, khơng được phần thưởng nào.

Hãy tìm các tình huống tương tự như trò chơi này trong đời sống kinh tế xã hội?

2

TXTOKT02_Bai1_v1.0014109205


Bài 1: Biến cố và xác suất

Môn học nghiên cứu những hiện tượng có tính ngẫu nhiên trong kinh tế – xã hội. Hiện
tượng có tính ngẫu nhiên xuất hiện thường xuyên quanh ta, do đó ta sẽ xuất phát từ
những hiện tượng đơn giản thường gặp trong cuộc sống.
Để xây dựng các lý thuyết và tìm hiểu các ví dụ tính tốn, trước hết ta bắt đầu với
những khái niệm cơ bản nhất, là phép thử, biến cố.
1.1.

Phép thử và biến cố

1.1.1.

Khái niệm

Trong tự nhiên và xã hội, mỗi hiện tượng đều gắn liền với một nhóm các điều kiện cơ
bản và các hiện tượng đó chỉ có thể xảy ra khi nhóm các điều kiện cơ bản gắn liền với
nó được thực hiện. Vì vậy, khi muốn nghiên cứu một hiện tượng ta cần thực hiện
nhóm các điều kiện cơ bản ấy.
Định nghĩa 1.1 – Phép thử: Phép thử là việc thực hiện một nhóm các điều kiện cơ
bản xác định để quan sát một hiện tượng nào đó có xảy ra hay khơng. Hiện tượng có
thể xảy ra hoặc không xảy ra trong kết quả của phép thử được gọi là biến cố.
Khi thực hiện một phép thử, các kết quả có thể xảy ra gọi là kết cục, và biến cố là một
tập hợp các kết cục mà người nghiên cứu quan tâm. Việc “thực hiện nhóm các điều
kiện” khơng nhất thiết là chính người nghiên cứu phải làm thử, mà có thể ghi nhận lại
thơng tin từ người khác đã thử.
Ví dụ 1.1. Một người đi học quan tâm đến kết quả làm bài kiểm tra trắc nghiệm của
chính mình thế nào, có thể thực hiện phép thử thông qua việc làm một bài tập gồm hai
câu trắc nghiệm. Việc làm bài tập là một phép thử. Khi làm bài có thể có các kết cục
xảy ra: không làm đúng câu nào, làm đúng một câu, làm đúng cả hai câu. Khi đó các
hiện tượng có thể xảy ra đó gọi là biến cố. Ta có các biến cố: biến cố khơng làm đúng
câu nào, biến cố làm đúng được một câu, biến cố làm đúng cả hai câu.
Trong trường hợp trên, người đó quan tâm đến hiện tượng của chính mình nên phải tự
làm bài. Nếu như người đó khơng phải người đi học, và chỉ quan tâm đến việc học
viên làm bài thế nào, thì có thể quan sát kết quả của một sinh viên khác, cũng có thể
cho một phép thử.
Ví dụ 1.2. Một người quan tâm đến việc đầu tư vào một mã chứng khoán, và lợi
nhuận trên một cổ phần sau đúng 1 năm. Người đó khơng nhất thiết phải đầu tư thực
sự, mà có thể theo dõi giá cổ phiếu đó trên các sàn giao dịch. Khi đó phép thử chính là
ghi nhận lại thơng tin xảy ra sau đúng 1 năm. Có rất nhiều kết cục có thể xảy ra vì giá
cổ phiếu có thể có rất nhiều giá trị có thể có. Người quan tâm có thể xét các biến cố:
có lãi (giá sau 1 năm tăng lên so với giá mua vào), hòa (giá như cũ), lỗ (giá giảm).
Biến cố có lãi có thể xét thành nhiều biến cố nhỏ hơn như: lãi trên 1 nghìn đồng/cổ
phần, lãi trên 10 nghìn đồng/cổ phần…

Với bài đầu tiên, để đơn giản và dễ dàng trong tính tốn, ta xét hai ví dụ cơ bản sau:
Ví dụ 1.3. Quan tâm đến việc gieo đồng xu sẽ xảy ra những hiện tượng gì, một người
gieo một đồng xu cân đối, đồng chất, trên một mặt phẳng cứng. Việc gieo đồng xu đó
một lần là thực hiện một phép thử. Với phép thử gieo đồng xu đó, sự kiện “xuất hiện
mặt sấp”, “xuất hiện mặt ngửa”… là các biến cố.
Ví dụ 1.4. Gieo một con xúc sắc cân đối, đồng chất, trên một mặt phẳng cứng là thực
hiện một phép thử. Những sự kiện “xuất hiện mặt có i chấm”, với i = 1,..., 6 là những
biến cố.
TXTOKT02_Bai1_v1.0014109205

3


Bài 1: Biến cố và xác suất

1.1.2.

Các loại biến cố

Biến cố là hiện tượng do ta xác định, có tính chủ quan, trong khi đó kết quả của phép
thử là khách quan, do đó có các trường hợp khác nhau.
Trong thực tế khi thực hiện một phép thử, có thể xảy ra các loại biến cố sau:
 Biến cố chắc chắn: là biến cố nhất định sẽ xảy ra khi phép thử được thực hiện, ký
hiệu là  (đọc là ômêga) hoặc ký hiệu là U.
 Biến cố không thể có: là biến cố nhất định khơng xảy ra khi phép thử được thực
hiện, ký hiệu là  (đọc là rỗng) hoặc ký hiệu là V.
 Biến cố ngẫu nhiên: là biến cố có thể xảy ra hoặc khơng xảy ra khi phép thử được
thực hiện. Thường ký hiệu các biến cố ngẫu nhiên bởi các chữ in hoa: A, B, C...
Trường hợp có nhiều biến cố thì có thể đánh số như A1, A2…
Ví dụ 1.3 (tiếp). Trong phép thử gieo một lần đồng xu, thì:





Biến cố : “xuất hiện mặt sấp hoặc mặt ngửa” là biến cố chắc chắn.






Biến cố : “xuất hiện mặt có số chấm nhỏ hơn 7” là biến cố chắc chắn.

Biến cố : “xuất hiện mặt sấp và mặt ngửa” là biến cố không thể.

Biến cố S: “xuất hiện mặt sấp” là biến cố ngẫu nhiên.
Ví dụ 1.4 (tiếp). Trong phép thử gieo một con xúc sắc, thì:

1.2.

Biến cố : “xuất hiện mặt có số chấm lớn hơn 7” là biến cố không thể.
Biến cố A: “xuất hiện mặt có 2 chấm” là biến cố ngẫu nhiên.
Biến cố B: “xuất hiện mặt có số chấm chẵn” là biến cố ngẫu nhiên.

Xác suất của biến cố

Trong kinh tế, việc nhận thức tính ngẫu nhiên của hiện tượng khơng q khó, tuy
nhiên việc quan trọng khơng kém là phải đo lường được sự ngẫu nhiên đó để ra quyết
định. Với các phương án đầu tư, nhà đầu tư khơng chỉ nhận ra rằng việc “có lãi” là

biến cố ngẫu nhiên (có thể có lãi hoặc khơng có lãi) mà cịn quan tâm đến “khả năng
có lãi” và muốn chọn phương án nào có “khả năng có lãi” cao hơn. Khơng chỉ là “khả
năng có lãi” mà cịn là “khả năng có lãi cao”. Khi đó xuất hiện vấn đề đo lường khả
năng xảy ra của biến cố ngẫu nhiên.
Nhận thấy việc đo lường “khả năng” cần phải xét một cách khách quan, nghĩa là
không phải nhận định hồn tồn chủ quan của một người nào đó. Với những ví dụ đơn
giản, phép thử là dễ thực hiện hoặc dễ suy luận, việc nhận thức về con số khách quan
có thể cảm nhận được, vì vậy ta xét từ những ví dụ đơn giản. Bằng trực giác ta có thể
nhận thấy, khả năng xảy ra của các biến cố khác nhau là không như nhau.
Chẳng hạn, ta nhận thấy khả năng để “xuất hiện mặt sấp” (S) khi gieo một đồng xu sẽ
lớn hơn khả năng để “xuất hiện mặt 2 chấm” (A2) khi gieo một con xúc sắc. Hơn nữa,
khi lặp đi lặp lại nhiều lần cùng một phép thử trong những điều kiện như nhau người
ta thấy tính chất ngẫu nhiên của biến cố mất dần đi và khả năng xảy ra của biến cố sẽ
được thể hiện theo những qui luật nhất định. Từ đây cho thấy, có thể đo được khả
năng khách quan xuất hiện một biến cố nào đó trong phép thử.
4

TXTOKT02_Bai1_v1.0014109205


Bài 1: Biến cố và xác suất

Định nghĩa 1.2 – Xác suất: Xác xuất của một biến cố là một con số đặc trưng khả
năng khách quan xuất hiện biến cố đó khi thực hiện phép thử.
 Ký hiệu: xác suất của biến cố A là P(A).
Vì con số đo khả năng có thể có nhiều dạng thể hiện, chẳng hạn trong đời thường
ta vẫn nói “khả năng 80%”, “khả năng 10 trên 10”; “khả năng là 5 ăn 5 thua”, cần
chuẩn hóa đại lượng này để thống nhất trong tính tốn.
 Quy ước: Xác suất phải là con số nằm trong đoạn từ 0 đến 1, xác suất càng lớn thì
khả năng xảy ra của biến cố càng nhiều.

0  P(A)  1
(1.1)
Theo cách hiểu trên, khi xác suất của A lớn hơn xác suất của B: P(A) > P(B) thì ta nói
khả năng xảy ra của A lớn hơn khả năng xảy ra của B, hay A dễ xảy ra hơn B và B
khó xảy ra hơn A. Nếu P(A) = P(B) thì nói khả năng xảy ra của A và B là như nhau.
Ta có thể mơ tả các khái niệm qua một sơ đồ hình học như trong hình 1.1.

A

B


Hình 1.1. Mơ tả biến cố

Trong hình 1.1, tồn bộ khả năng có thể có chính là biến cố chắc chắn , được mơ tả
bởi hình chữ nhật, biến cố A được thể hiện như một tập hợp trong . Nếu diện tích
của hình chữ nhật  bằng 1, thể hiện xác suất biến cố chắc chắn bằng 1, thì diện tích
hình (gần) trịn A thể hiện xác suất xảy ra biến cố A. Trong hình vẽ có thể thấy xác
suất xảy ra biến cố A là lớn hơn xác suất xảy ra biến cố B.
Có thể nói cụ thể hơn, nếu chấm hồn tồn ngẫu nhiên một điểm bất kỳ trong phạm vi
hình chữ nhật  thì khả năng chấm vào trong hình trịn A sẽ lớn hơn khả năng chấm
vào trong hình trịn B.
Như vậy nếu những câu nói về khả năng đúng là con số khách quan, thì:
 “Khả năng 80%” chuyển đổi thành xác suất bằng 0,8
 “Khả năng 10 trên 10” chuyển đổi thành xác suất bằng 1
 “Khả năng là 5 ăn 5 thua” chuyển đổi thành xác suất bằng một nửa, hay 0,5
Cũng từ đó có thể thấy:
 Xác suất của biến cố chắc chắn bằng 1: P() = 1
 Xác st của biến cố khơng thể có bằng 0: P() = 0
 Xác suất của biến cố ngẫu nhiên nằm trong khoảng 0 đến 1: 0 < P(A) < 1

Vấn đề đặt ra là làm sao để tính được các xác suất khách quan đó, con số phải có tính
logic, hợp lý và được mọi người cơng nhận. Các phần sau sẽ trình bày về các định
nghĩa, hay các cách thức để tính xác suất.
TXTOKT02_Bai1_v1.0014109205

5


Bài 1: Biến cố và xác suất

1.3.

Định nghĩa cổ điển về xác suất

Cách tính xác suất theo suy luận cổ điển được đề cập đến từ hơn 300 năm trước, tính
bằng cách đếm xem có tổng cộng bao nhiêu trường hợp có thể xảy ra, trong số đó có
bao nhiêu trường hợp có hiện tượng mà ta nghiên cứu để tính khả năng. Cách suy luận
này được đưa thành một công thức, và được gọi là định nghĩa cổ điển hay công thức
cổ điển.
1.3.1.

Định nghĩa cổ điển

Định nghĩa 1.3 – Công thức cổ điển: Xác suất xuất hiện biến cố A trong một phép
thử là tỉ số giữa số kết cục thuận lợi cho A và tổng số các kết cục duy nhất đồng khả
năng có thể xảy ra khi thực hiện phép thử đó.
Nếu ký hiệu: n là tổng số các kết cục duy nhất đồng khả năng;
m là số kết cục thuận lợi cho A (kết cục làm cho A xảy ra);
P(A) là xác suất của biến cố A.
Thì cơng thức tính xác suất là:

m
(1.2)
n
Trong định nghĩa trên có một điều lưu ý: các kết cục là các trường hợp có thể xảy ra
khi thực hiện phép thử. Các kết cục đồng khả năng nghĩa là các trường hợp đó có khả
năng xảy ra là như nhau, khơng trường hợp nào dễ hoặc khó xảy ra hơn trường hợp
khác. Chẳng hạn nếu đồng xu đối xứng đồng chất và mỏng thì khi gieo khả năng xuất
hiện mặt sấp và mặt ngửa là như nhau, kết cục “mặt sấp” và kết cục “mặt ngửa” là
đồng khả năng. Tuy nhiên nếu đồng xu không đồng chất, một mặt nặng hơn mặt kia
thì hai kết cục trên là khơng đồng khả năng, và định nghĩa này không áp dụng được.
P ( A) 

1.3.2.

Phương pháp liệt kê

Để áp dụng định nghĩa cổ điển, cần phải biết số kết cục đồng khả năng và số kết cục
thuận lợi. Trong nhiều trường hợp ta có thể liệt kê được các kết cục này để tính xác suất.
Ví dụ 1.5. Gieo đồng xu đối xứng đồng chất 2 lần, tính xác suất để:

(a) Xuất hiện 2 mặt sấp.
(b) Xuất hiện 1 mặt sấp, 1 mặt ngửa.
(c) Có xuất hiện mặt sấp.
(d) Khơng xuất hiện mặt ngửa.
Giải:
Liệt kê tất cả các trường hợp có thể xảy ra khi gieo đồng xu hai lần: Sấp – Sấp; Sấp –
Ngửa; Ngửa – Sấp; Ngửa – Ngửa. Khi đó số kết cục duy nhất đồng khả năng là 4, hay
n = 4.
(a) Đặt A là biến cố “xuất hiện 2 mặt sấp”, ta có mA = 1 vì chỉ có một trường hợp thỏa

mãn biến cố A. Do đó:
P ( A) 

6

mA 1
  0, 25
4
n
TXTOKT02_Bai1_v1.0014109205


Bài 1: Biến cố và xác suất

(b) Đặt B là biến cố “xuất hiện 1 mặt sấp, 1 mặt ngửa”, ta có: mB = 2 vì có hai trường
hợp thỏa mãn biến cố B, đó là Sấp – Ngửa và Ngửa – Sấp. Do đó:
(c) Đặt C là biến cố “có xuất hiện mặt sấp” có nghĩa là “có xuất hiện ít nhất một mặt
sấp”, ta có: mB = 3 vì có ba trường hợp thỏa mãn biến cố C, gồm trường hợp có 1
mặt sấp và trường hợp có 2 mặt sấp.
P (C ) 

mC 3
  0, 75
4
n

(d) Đặt D là biến cố “không xuất hiện mặt ngửa”, có nghĩa hai mặt xuất hiện đều là
sấp, ta thấy biến cố D hoàn toàn giống biến cố A, do đó mD = 1 và:
mD 1
  0, 25  P( A)

4
n
Ví dụ 1.6. Gieo một con xúc sắc cân đối, đồng chất. Tính xác suất để:
(a) Xuất hiện mặt 6 chấm.
(b) Xuất hiện mặt có số chấm là bội của 3.
P( D) 

Giải:
Khi gieo 1 con xúc sắc thì có 6 kết cục xảy ra là xuất hiện 1 chấm, 2 chấm, 3 chấm, 4
chấm, 5 chấm và 6 chấm. Trong đó, mỗi kết cục là duy nhất và các kết cục này đều có khả
năng xảy ra như nhau. Vì vậy, có tất cả là 6 kết cục duy nhất đồng khả năng hay n = 6.

(a) Đặt A là biến cố “xuất hiện mặt 6 chấm”.
Biến cố A xảy ra chỉ khi xuất hiện 6 chấm hay số kết cục thuận lợi cho A là mA = 1.
Vậy: P ( A) 

1
6

(b) Đặt B là biến cố “xuất hiện mặt có số chấm là bội số của 3” (hay chia hết cho 3)
Biến cố B xảy ra khi xuất hiện 3 chấm hoặc 6 chấm hay số kết cục thuận lợi cho
cho B là mB = 2.
2 1

6 3
Ví dụ 1.7. Cho bảng thơng tin về ngành học của nhân viên tại một công ty kinh doanh
như sau (con số trong bảng là số lượng người):
Vậy: P ( B) 

Ngành học

Có học ngoại ngữ

Khơng học ngoại ngữ

Có học kinh tế

25

7

Khơng học về kinh tế

15

3

Tính xác suất để chọn ngẫu nhiên một người thì người đó:
(a) Có học về kinh tế (Biến cố A).
(b) Có học về kinh tế và ngoại ngữ (Biến cố B).
(c) Có học ít nhất một ngành (Biến cố C).
(d) Không học ngành nào (Biến cố D).

TXTOKT02_Bai1_v1.0014109205

7


Bài 1: Biến cố và xác suất

Giải:
Để biết số kết cục duy nhất đồng khả năng, cộng toàn bộ số người trong cơng ty, ta có:
n = 25 + 15 + 7 + 3 = 50
Đề bài đã đặt tên biến cố, do đó tại đây ta khơng cần đặt lại.
(a) Số người có học về kinh tế là: mA = 25 + 7 = 32
Xác suất người được chọn có học về kinh tế:
P ( A) 

mA 32

 0, 64
n 50

(b) Số người có học về kinh tế và ngoại ngữ: mB = 25
Xác suất người được chọn có học về kinh tế và ngoại ngữ:
P( B) 

mB 25

 0,5
n 50

(c) Số người có học ít nhất một ngành: mC = 25 + 15 + 7 = 47
Xác suất người được chọn có học ít nhất một ngành:
P (C ) 

mC 47

 0,94
50

n

(d) Số người không học ngành nào: mD = 3
Xác suất người được chọn không học ngành nào:
P( D) 

mD
3

 0, 06
n
50

Nhận thấy hai biến cố C và D có tính chất “ngược nhau”, và tổng xác suất của chúng
bằng 1.
1.3.3.

Phương pháp dùng tổ hợp

Trong nhiều trường hợp, để tính số kết cục duy nhất đồng khả năng và số kết cục
thuận lợi, không dễ để liệt kê các trường hợp hoặc tổng hợp dưới dạng bảng như trong
các ví dụ trên. Khi đó ta phải sử dụng cơng thức tổ hợp để tính số phần tử. Thường
công thức tổ hợp được dùng khi từ một số phần tử chọn lấy hơn một phần tử.
Công thức tổ hợp
Từ một bộ n phần tử, chọn ra cùng lúc k phần tử (0  k  n), thì số trường hợp sẽ là tổ
hợp chập k của n, ký hiệu là Cnk và được tính bằng cơng thức:
Cnk 

n!
k !(n  k )!

(1.3)

Trong đó dấu ! là ký hiệu cho giai thừa: n !  n(n  1)(n  2)...2.1
Cơng thức trên có vẻ rắc rối, với k nhỏ có thể dùng cách sau: Tổ hợp chập k của n là
phân số mà trên là k số lùi dần từ n, và dưới là k số lùi từ k về 1.
Chẳng hạn:
C102 

8

10  9
2 1

3
C20


20 19  18
100  99  98  97
4
C100

3  2 1
4  3  2 1

TXTOKT02_Bai1_v1.0014109205


Bài 1: Biến cố và xác suất

Một số trường hợp đặc biệt:
: từ n phần tử chỉ có 1 cách chọn 0 phần tử, là khơng chọn gì cả.

Cn1  n : từ n phần tử có n cách chọn 1 phần tử.
Cnn  1 : từ n phần tử có 1 cách chọn n phần tử, là chọn tất cả.
Ví dụ 1.8. Một hộp có 10 sản phẩm, trong đó có 6 chính phẩm và 4 phế phẩm.

(a) Lấy ngẫu nhiên từ hộp ra một sản phẩm, tính xác suất để lấy được chính phẩm.
(b) Lấy ngẫu nhiên đồng thời từ hộp ra hai sản phẩm, tính xác suất để lấy được hai
chính phẩm.
(c) Lấy ngẫu nhiên đồng thời từ hộp ra hai sản phẩm, tính xác suất để lấy được một
chính phẩm và một phế phẩm.
Giải:

(a) Đặt A là biến cố “lấy ra 1 sản phẩm thì được chính phẩm”.
Khi lấy ngẫu nhiên từ hộp ra một sản phẩm ta có thể lấy được bất kì sản phẩm nào
trong số 10 sản phẩm. Vì vậy, có tất cả là 10 kết cục duy nhất đồng khả năng hay
n = 10.
Biến cố A xảy ra khi ta lấy được một trong số 6 chính phẩm nên số kết cục thuận
lợi cho A là mA = 6.
Vậy: P ( A) 

6 3
  0, 6
10 5

(b) Đặt B là biến cố “lấy ra 2 sản phẩm thì được 2 chính phẩm”.
Khi lấy ngẫu nhiên từ hộp ra hai sản phẩm, ta có thể lấy được bất kì 2 sản phẩm
trong số 10 sản phẩm tức là số kết cục duy nhất đồng khả năng trong phép thử

bằng số tổ hợp chập 2 của 10 phần tử hay: n  C102
Biến cố B xảy ra khi 2 sản phẩm được chọn bất kì trong 6 chính phẩm tức là số kết
cục thuận lợi cho B bằng số tổ hợp chập 2 của 6 phần tử hay mB  C62
65
C
15 1
Vậy: P ( B ) 
 2 1 
  0,333
9
10

C
45 3
2 1
2
6
2
10

(c) Đặt C là biến cố “lấy ra 2 sản phẩm thì được 1 chính phẩm 1 phế phẩm”
Dễ thấy số kết cục đồng khả năng vẫn là n  C102  45
Số kết cục thuận lợi được tính là số trường hợp: trong 6 chính phẩm lấy ra được 1
chính phẩm và trong 4 phế phẩm lấy ra được 1 phế phẩm.
Vì vậy: mC  C61C41  6  4  24
Vậy: P (C ) 

TXTOKT02_Bai1_v1.0014109205

C61C41 24 8


  0,533
C102
45 15

9


Bài 1: Biến cố và xác suất

Ví dụ 1.9. Một cơng ty cần tuyển 4 người. Có 20 người nộp đơn trong đó có 8 nam và
12 nữ. Giả sử khả năng trúng tuyển của 20 người là như nhau, tính xác suất để:

(a) Có 2 nam trúng tuyển.
(b) Có ít nhất 3 nữ trúng tuyển.
Giải:
Phép thử là chọn ngẫu nhiên 4 người trong 20 người nên số kết cục duy nhất đồng
khả năng là:

n  C204 

20  19  18  17
 4845
4  3 2 1

(a) Đặt A là biến cố “có 2 nam trúng tuyển” cũng chính là “có 2 nam trúng tuyển và
hai nữ trúng tuyển”, do đó biến cố A xảy ra khi chọn 2 nam trong số 8 nam và
chọn 2 nữ trong số 12 nữ nên số kết cục thuận lợi cho A là:
mA  C82C122 
Vậy: P ( A) 

8  7 12 11

 28  66  1848
2 1 2 1

C82C122 1848

 0,381
C204
4845

(b) Đặt B là biến cố “có ít nhất 3 nữ trúng tuyển”.
Biến cố B cũng chính là “có 3 nữ trúng tuyển hoặc có 4 nữ trúng tuyển”, xảy ra
khi chọn 3 nữ trong số 12 nữ và chọn 1 nam trong số 8 nam, hoặc chọn 4 nữ trong
số 12. Do đó:
mB  C123 C81  C124 

12 1110
12 1110  9
8 
 220  8  495  2255
3  2 1
4  3  2 1

2255
 0, 465
4845
Ví dụ 1.10 (Tình huống dẫn nhập). Có hai bàn là A và B, bàn A có 5 hộp và trong
đó có 3 hộp có phần thưởng; bàn B có 5 hộp và trong đó có 2 hộp bên trong có

phần thưởng.
(a) Người chơi chọn một bàn và lấy một hộp, thì nên chọn bàn nào? Khi đó được/mất
của người chơi là thế nào nếu lệ phí chơi là 10 nghìn và phần thưởng 500 nghìn?
(b) Từ bàn A lấy ra hai hộp, đánh giá khả năng: được hai phần thưởng, được một phần
thưởng, không được phần thưởng nào.
Giải:
(a) Khi phải chọn một bàn, khả năng được phần thưởng khi chọn bàn A và khi chọn
bàn B là:
Vậy: P( B) 



3
P(Có phần thưởng khi chọn bàn A) =  0, 6
5

 P(Có phần thưởng khi chọn bàn B) =
Dễ thấy khả năng có thưởng khi chọn bàn A lớn hơn khi chọn bàn B, nên người
chơi nên chọn bàn A. Lưu ý rằng khi chọn bàn A người chơi chỉ “dễ có thưởng

10

TXTOKT02_Bai1_v1.0014109205


Bài 1: Biến cố và xác suất

hơn”, chứ không “chắc chắn có thưởng”. Trong vấn đề ra quyết định, khi khơng có
phương án chắc chắn hồn tồn thì cần chọn phương án có xác suất có lợi lớn hơn.
Khi đã chọn bàn A, người chơi có khả năng được phần thưởng với xác suất là 0,6

và dễ thấy xác suất không được phần thưởng sẽ là 0,4. Khi được phần thưởng thì
lợi ích của người chơi là: 500 – 10 = 490 (nghìn) vì đã bỏ lệ phí tham gia. Khi
khơng có được phần thưởng thì lợi ích của người chơi là – 10 (nghìn). Vậy lợi ích
của người chơi là:


Được 490 nghìn với xác suất 0,6



Mất 10 nghìn với xác suất 0,4

Đối với chủ trị chơi, lợi ích là ngược lại, chủ trị chơi sẽ mất 490 nghìn với xác
suất là 0,6 và được 10 nghìn với xác suất là 0,4.
Cách phân tích như trên sẽ được đề cập kĩ hơn trong bài 3.
(b) Với bàn A, người chơi chọn hai hộp, khi đó theo cách tính tổ hợp, xác suất xảy ra
các trường hợp: được 2 phần thưởng, được 1 phần thưởng, không được phần
thưởng là:
C32 3
P(Được 2 phần thưởng) = 2   0,3
C5 10
P(Được 1 phần thưởng) =

C31C21 3  2

 0, 6
10
C52

P(Khơng có phần thưởng) =

C22 1
  0,1
C52 10

Có thể nhận thấy khi lấy ra hai hộp, chỉ có thể có ba trường hợp trên, khơng cịn
trường hợp nào khác, và tổng xác suất của chúng bằng 1. Tính chất này sẽ được
khái quát ở bài giảng sau.
Nếu lấy hai hộp từ bàn A, với lệ phí chơi là 10 nghìn đồng, giá trị mỗi phần
thưởng là 500 nghìn đồng thì các trường hợp về lợi ích của người chơi này là: 990
nghìn (= 500 + 500 – 10 khi được 2 phần thưởng); 490 nghìn (= 500 – 10 khi được
1 phần thưởng); – 10 nghìn (khi khơng có phần thưởng). Do đó ta có thể viết về lợi
ích của người chơi:


Được 990 nghìn với xác suất 0,3



Được 490 nghìn với xác suất 0,6



Mất 10 nghìn với xác suất 0,1

Mặc dù có rủi ro mất 10 nghìn đồng, nhưng “xem ra” chơi trị chơi này có lợi, vì
người chơi khi mất thì mất ít và khả năng mất là nhỏ, cịn được thì được nhiều và
khả năng được là lớn. Trường hợp dễ xảy ra nhất (vì có xác suất lớn nhất) là được
490 nghìn, tiếp theo đó là trường hợp được 990 nghìn, khả năng mất tiền là ít nhất
(nhưng vẫn có thể xảy ra).

Nhiều bài toán, vấn đề trong kinh tế có dạng tương tự, với những giá trị được/mất
khác nhau và xác suất xảy ra khác nhau. Khi đó người ra quyết định phải lựa chọn
và đánh giá lựa chọn của mình. Những phân tích kĩ hơn sẽ được nghiên cứu ở sau.
TXTOKT02_Bai1_v1.0014109205

11


Bài 1: Biến cố và xác suất

1.3.4.

Ưu nhược điểm của định nghĩa cổ điển về xác suất

Ưu điểm:

 Để tìm xác suất của biến cố ta không cần phải tiến hành phép thử thực sự mà phép
thử chỉ tiến hành một cách giả định.
 Nếu các yêu cầu của phép thử được đáp ứng thì cho phép tìm được một cách chính
xác giá trị của xác suất.
Nhược điểm:
 Địi hỏi số kết cục duy nhất đồng khả năng có thể xảy ra trong phép thử phải là
hữu hạn.
 Đòi hỏi các kết cục phải là duy nhất và đồng khả năng.
Tuy nhiên, trong thực tế có nhiều phép thử mà trong đó các kết cục có thể là vơ hạn.
Và nhiều khi không thể biễu diễn kết quả của phép thử dưới dạng tập hợp các kết cục
duy nhất và đồng khả năng. Trong những trường hợp này, để tính xác suất của biến
cố, không áp dụng được định nghĩa cổ điển. Vì vậy, ngồi định nghĩa cổ điển về xác
suất, trong thực tế người ta còn sử dụng định nghĩa xác suất theo quan điểm thống kê.
1.4.

Định nghĩa thống kê

Định nghĩa thống kê về xác suất không dựa trên suy luận logic trực tiếp mà dựa trên
thực nghiệm. Ta thấy trong nhiều trường hợp suy luận trực tiếp không có được kết
quả, chẳng hạn nếu tung một đồng xu khơng đối xứng đồng chất, thì xác suất xuất
hiện mặt sấp khơng cịn là 0,5 nhưng khi đó bằng bao nhiêu thì khơng thể suy luận
trực tiếp. Trong trường hợp đó ta cần dựa vào thực nghiệm. Dựa trên thực nghiệm ta
có khái niệm tần suất.
1.4.1.

Tần suất

Giả sử tiến hành n phép thử cùng loại, trong mỗi phép thử có thể xuất hiện hoặc không
xuất hiện biến cố A. Trong thực tế, ta thường quan tâm đến tỉ lệ xuất hiện A trong n
phép thử này.
Định nghĩa 1.4 – Tần suất: Tần suất xuất hiện biến cố A trong n phép thử là tỉ số
giữa số phép thử trong đó biến cố A xuất hiện và tổng số phép thử được thực hiện.
Nếu ký hiệu:
n là tổng số phép thử được thực hiện;
k là số phép thử trong đó xuất hiện biến cố A;
f(A) là tần suất xuất hiện biến cố A trong n phép thử thì:
k
f ( A) 
(1.4)
n
Ví dụ 1.11. Khi gieo một đồng xu cân đối và đồng chất trên một mặt phẳng cứng
nhiều lần, người ta thu được kết quả sau:
Số lần gieo

Số lần sấp

Tần suất xuất hiện mặt sấp

(n)

(k)

(f)

Buffon

4040

2048

0,5080

Pearson

12000

6019

0,5016

Pearson

24000

12012

0,5005

Người thí nghiệm

12

TXTOKT02_Bai1_v1.0014109205


Bài 1: Biến cố và xác suất

Qua ví dụ trên, ta có thể thấy rằng khi số lần gieo càng lớn thì tần suất xuất hiện mặt
sấp sẽ dao động ngày càng ít hơn xung quanh giá trị khơng đổi là 0,5. Điều này cho
phép hi vọng, khi số lần gieo tăng lên vơ hạn thì tần suất xuất hiện mặt sấp sẽ hội tụ về
giá trị 0,5. Giá trị khơng đổi này chính là xác suất để xuất hiện mặt sấp khi tung một
đồng xu.
Người ta nhận thấy, nếu tiến hành một số khá lớn cùng một phép thử thì tần suất dao
động rất ít xung quanh một giá trị nào đó. Đây chính là tính ổn định của tần suất và
tính ổn định này là cơ sở để người ta đưa ra định nghĩa thống kê về xác suất.
1.4.2.

Định nghĩa theo thống kê

Định nghĩa 1.5 – Xác suất tính theo thống kê: Xác suất xuất hiện biến cố A trong
một phép thử là một số p không đổi mà tần suất f xuất hiện biến cố đó trong n phép
thử sẽ dao động rất ít xung quanh nó khi số phép thử tăng lên vơ hạn.
Cơng thức tính xác suất theo định nghĩa thống kê:

P (A)  lim f (A)
n 

(1.5)

Trong thực tế, khi n đủ lớn, có thể lấy tần suất f(A) thay thế cho P(A).
Ví dụ 1.12. Xác suất một trẻ sơ sinh sinh ra là con trai bằng bao nhiêu?
Có người lập luận rằng trẻ sinh ra có hai trường hợp là trai và gái, do đó xác suất sinh
con trai là 1/2 hay 0,5. Cách lập luận này là sai vì trai và gái sinh ra với khả năng
khơng như sau.
Khi đó tiến hành thống kê. Chẳng hạn thống kê toàn bộ trẻ sinh ra trong một năm
được kết quả:
Số trẻ sinh ra: 1.200.000 (một triệu hai trăm nghìn)
Số con trai: 616.200 (sáu trăm mười sáu nghìn hai trăm)
616200
 0,5135
1200000
Nếu khơng thể có thêm thơng tin nào khác, có thể chấp nhận xác suất sinh con trai là
xấp xỉ 0,5135 hay 51,35%. Khi có thêm thơng tin, có thể tăng số phép thử thì kết quả
sẽ chính xác hơn.
Thì tần suất sinh con trai là: f 

1.4.3.

Ưu nhược điểm của định nghĩa thống kê về xác suất

Ưu điểm: Khơng địi hỏi các điều kiện áp dụng như đối với định nghĩa cổ điển.
Nhược điểm:

 Chỉ áp dụng được đối với các hiện tượng ngẫu nhiên mà tần suất của nó có tính ổn định.

 Phải thực hiện một số đủ lớn các phép thử để có thể xác định được giá trị tương
đối chính xác của xác suất.
Trong nhiều trường hợp số lượng phép thử trong thống kê rất hạn chế do khơng có đủ
phép thử, người ta buộc phải sử dụng con số lớn nhất có thể. Chẳng hạn quan tâm đến
xác suất bão vào một khu vực nào đó, thơng tin khí tượng ghi nhận được lâu nhất mới
chỉ có 100 năm gần đây, và có 12 năm bão vào khu vực đó; khi đó tần suất bằng 0,12
và vì khơng thể có thêm thơng tin nào nữa, có thể cho rằng xác suất bão vào khu vực
đó là xấp xỉ 0,12.
TXTOKT02_Bai1_v1.0014109205

13


Bài 1: Biến cố và xác suất

1.5.

Nguyên lý xác suất nhỏ và xác suất lớn

Nguyên lý xác suất nhỏ: Nếu một biến cố có xác suất rất nhỏ (gần bằng 0) thì thực tế
có thể cho rằng, trong một phép thử biến cố đó sẽ khơng xảy ra.
Ngun lý xác suất lớn: Nếu một biến có xác suất rất lớn (gần bằng 1) thì thực tế có
thể cho rằng, trong một phép thử biến cố đó sẽ xảy ra.
Nguyên lý này là cơ sở cho hai bài toán thống kê ở các bài giảng cuối cùng. Có thể mơ
tả việc sử dụng nguyên lý này trong ví dụ sau.
Ví dụ 1.13. Một nhà sản xuất khẳng định sản phẩm của mình “nói chung là tồn đồ
tốt”, tức là xác suất có một sản phẩm hỏng là rất nhỏ. Theo nguyên lý xác suất nhỏ,
nếu thực hiện một phép thử thì biến cố “sản phẩm hỏng” sẽ không xảy ra. Nếu chỉ
chọn duy nhất một sản phẩm (thực hiện một phép thử) và thấy sản phẩm đó là hỏng,
tức là vi phạm nguyên lý xác suất nhỏ, khi đó có thể cho rằng sự khẳng định của nhà

sản xuất là không đúng, ta khơng tin tưởng vào khẳng định đó.
Trong ví dụ trên, lưu ý hai điều:

 Trong nguyên lý nói chữ “có thể cho rằng” chứ khơng phải nhất định cho rằng,
chắc chắn cho rằng, do đó ngay nguyên lý này cũng chỉ có tính “phổ qt” chứ
khơng “tồn bộ”, và vì vậy hồn tồn chỉ dựa vào ngun lý này cũng có thể có sai
lầm. Chẳng hạn trong ví dụ trên, trong 1 triệu sản phẩm chỉ có 1 sản phẩm hỏng,
xác suất cực kỳ nhỏ, nhưng ngẫu nhiên ta chỉ chọn một lần lại chọn đúng, và vì thế
phủ nhận nhà sản xuất, thì ta cũng có thể có sai lầm.
 Nguyên lý chỉ đề cập “trong một phép thử” chứ không phải thực hiện thật nhiều
phép thử. Chẳng hạn trong ví dụ trên, nếu ta kiểm tra liên tiếp thật nhiều sản phẩm
cho đến khi tìm được sản phẩm hỏng để bác bỏ sự khẳng định của nhà sản xuất, thì
đó khơng phải dựa trên suy luận của nguyên lý xác suất nhỏ.
Trong thực tế, việc xem xét một mức xác suất được coi là rất nhỏ hoặc rất lớn sẽ tùy thuộc
vào từng bài toán cụ thể. Xác suất để một chiếc xe buýt đến bến muộn là 0,05 có thể được
coi là rất nhỏ nhưng xác suất để chiếc xe đó bị cháy rụi là 0,05 thì lại là quá lớn.
1.6.

Mối quan hệ giữa các biến cố

Tình huống dẫn nhập và các bài tốn đặt ra ở trên có cấu trúc tương đối đơn giản, chỉ
cịn có một sự kiện xảy ra trong một bối cảnh đơn nhất. Trong thực tế các biến cố
phức tạp hơn, có thể là kết hợp của hai hoặc nhiều sự kiện, trong những bối cảnh khác
nhau. Khi đó việc tính các xác suất trở nên khó khăn hơn. Để tính được xác suất của
biến cố phức tạp, ta phân tách thành các biến cố đơn giản hơn và tính tốn trên từng
phần đơn giản đó, rồi kết hợp lại để có được kết quả cuối.
Ví dụ 1.14. Sử dụng ví dụ 1.7: Trong cơng ty có người học Kinh tế, có người học
Ngoại ngữ, có người học cả hai và cũng có người khơng học ngành nào trong hai
ngành trên. Khi đó nếu xét các biến cố A là “có học về Kinh tế”; B là “có học về
Ngoại ngữ” thì khi đề cập đến các biến cố “có học cả hai ngành”, “có học ít nhất một

ngành”, “chỉ học đúng một ngành”, “không học ngành nào trong hai ngành” có thể
được mơ tả qua biến cố A và B hay không? Khi chọn ngẫu nhiên lần lượt hai người,
tùy thuộc và người thứ nhất có học ngành nào hay không mà muốn chọn người thứ hai
phải học ngành khác, thì mơ tả và tính xác suất biến cố “người thứ hai học Kinh tế khi
14

TXTOKT02_Bai1_v1.0014109205


Bài 1: Biến cố và xác suất

người thứ nhất học Ngoại ngữ” hay biến cố “người thứ hai không học ngành giống
của người thứ nhất” sẽ được thể hiện thế nào?
Để hiểu được sự phân tách và kết hợp các biến cố như trên, ta xét việc mô tả mối quan
hệ giữa các biến cố, để chuẩn bị cho bài giảng sau.
1.6.1.

Tích các biến cố

Khi tổng hợp hai biến cố, cần xét trường hợp các biến cố này và biến cố kia cùng đồng
thời xảy ra, khi đó ta có khái niệm biến cố tích (hay cịn gọi là giao của hai biến cố).
Định nghĩa 1.6 – Biến cố tích: Biến cố C được gọi là tích của hai biến cố A và B, ký
hiệu là C = A.B nếu C xảy ra khi cả hai biến cố A và B cùng xảy ra.

Có thể mơ tả trên hình vẽ như trong hình 1.2.

A

B

C = A.B



Hình 1.2. Tích hai biến cố

Trong hình 1.2, biến cố A được tương ứng với hình trịn bên trái, biến cố B tương ứng
với hình trịn bên phải, thì tích của A và B là phần giao nhau, hình cái lá giữa hai hình
trịn đó. C xảy ra khi cả A và B đồng thời xảy ra.
Ví dụ 1.15. Một người đầu tư vào hai dự án.

Đặt A là biến cố “dự án thứ nhất có lãi”;
B là biến cố “dự án thứ hai có lãi”;
C là biến cố “cả hai dự án cùng có lãi”.
Ta thấy, biến cố C xảy ra khi cả hai biến cố A và B cùng xảy ra. Vì vậy: C = A.B
Mở rộng: Biến cố A được gọi là tích của n biến cố A1, A2… An, ký hiệu là
n

A   Ai nếu A xảy ra khi tất cả các biến cố A1, A2… An cùng xảy ra.
i 1

Ví dụ 1.16. Nhà đầu tư đánh giá n dự án.

Đặt: Ai là biến cố “dự án thứ i có lãi”, i = 1, 2, 3…
A là biến cố “cả n dự án cùng có lãi”.
Ta thấy, biến cố A xảy ra khi cả n biến cố A1, A2… An cùng xảy ra.
n

Vì vậy: A   Ai
i 1

Định nghĩa 1.7 – Tính độc lập: Hai biến cố A và B được gọi là độc lập với nhau nếu
việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố này không làm thay đổi xác suất xảy ra của
biến cố kia và ngược lại.

TXTOKT02_Bai1_v1.0014109205

15


Bài 1: Biến cố và xác suất

Trong trường hợp việc biến cố này xảy ra hay không xảy ra làm thay đổi xác suất xảy
ra của biến cố kia thì hai biến cố đó được gọi là phụ thuộc nhau.
Ví dụ 1.17. Một hộp đựng 10 sản phẩm trong đó có 6 chính phẩm và 4 phế phẩm.
Người ta lần lượt lấy ra 2 sản phẩm theo hai phương thức:
(a) lấy có hồn lại (nghĩa là lấy ra một sản phẩm rồi bỏ sản phẩm đó trở lại hộp, rồi
lấy sản phẩm thứ hai).
(b) lấy khơng hồn lại (nghĩa là lấy ra một sản phẩm, giữ bên ngoài hộp, rồi lấy sản
phẩm thứ hai).
Đặt: A là biến cố “Lấy được chính phẩm ở lần thứ nhất”.
B là biến cố “Lấy được chính phẩm ở lần thứ hai” .
Ta sẽ xem xét mối quan hệ độc lập và phụ thuộc giữa hai biến cố A và B trong hai
phương thức lấy này.
(a) Trong phương thức lấy có hồn lại: Do sản phẩm lấy lần đầu được bỏ trở lại hộp
mới tiếp tục lấy sản phẩm thứ hai nên việc lần thứ nhất có lấy được chính phẩm
hay khơng sẽ khơng làm thay đổi khả năng lấy được chính phẩm ở lần thứ hai. Có
nghĩa là, việc xảy ra hay khơng xảy ra của biến cố A không làm thay đổi xác suất
xảy ra của biến cố B. Cũng vậy, việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố B không
làm thay đổi xác suất xảy ra của biến cố A. Vì vậy, trong trường hợp này A và B

là độc lập với nhau.
(b) Phương thức lấy khơng hồn lại: Do sản phẩm lấy lần đầu không được bỏ trở lại
hộp và tiếp tục lấy sản phẩm thứ hai nên việc lần thứ nhất có lấy được chính phẩm
hay khơng sẽ làm thay đổi khả năng lấy được chính phẩm ở lần thứ hai. Có nghĩa
là, việc xảy ra hay khơng xảy ra của biến cố A sẽ làm thay đổi xác suất xảy ra của
biến cố B. Vì vậy, trong trường hợp này A và B là phụ thuộc nhau.
Mở rộng: Các biến cố A1, A2… An được gọi là độc lập toàn phần với nhau nếu mỗi
biến cố bất kỳ trong n biến cố trên độc lập với một tổ hợp bất kỳ của các biến cố cịn lại.
Ví dụ 1.18. Tung một đồng xu n lần, gọi Ai = (Đồng xu xuất hiện mặt ngửa ở lần tung
thứ i), i = 1,2… n khi đó các biến cố A1, A2… An độc lập toàn phần với nhau.
1.6.2.

Tổng các biến cố

Định nghĩa 1.8 – Biến cố tổng: Biến cố C được gọi là tổng của hai biến cố A và B,
ký hiệu là C = A + B, nếu C xảy ra khi có ít nhất một trong hai biến cố A hoặc B xảy ra.
Có thể minh họa biến cố tổng trong hình 1.3.

A

B

C=A+B



Hình 1.3. Tổng hai biến cố

16

TXTOKT02_Bai1_v1.0014109205


Bài 1: Biến cố và xác suất

Trong hình 1.3, biến cố tổng C gồm tồn bộ phần hình số 8 do A và B bao phủ. Như
vậy có thể thấy C gồm phần chỉ có A mà khơng có B, chỉ có B mà khơng có A, và
phần chung của A và B.
Lưu ý: cụm từ “A hoặc B” dễ bị nhầm lẫn là “chỉ là A hoặc chỉ là B”. Ở đây phải hiểu
“A hoặc B” là ít nhất một trong hai.
Ví dụ 1.19. Một người đi chào hàng ở hai nơi (và chỉ ở hai nơi, khơng có nơi nào
khác nữa).
Đặt: A là biến cố “nơi thứ nhất đặt hàng”
B là biến cố “nơi thứ hai đặt hàng”
C là biến cố “có đơn đặt hàng”
Ta thấy, biến cố C xảy ra khi có ít nhất một trong hai biến cố A hoặc B xảy ra.
Vì vậy: C = A + B
Mở rộng: Biến cố A được gọi là tổng của n biến cố A1, A2… An, ký hiệu là
n

A   Ai nếu A xảy ra khi có ít nhất một trong n biến cố xảy ra.
i 1

Ví dụ 1.20. Người đi chào hàng ở n nơi.
Đặt: Ai là biến cố “nơi thứ i đặt hàng” với i = 1, 2,.., n
A là biến cố “có nơi đặt hàng” hay “có ít nhất một nơi đặt hàng”
Ta thấy, A xảy ra khi có ít nhất 1 trong n biến cố A1, A2… An xảy ra.
n

Vì vậy: A   Ai

i 1

Định nghĩa 1.9 – Tính xung khắc: Hai biến cố A và B được gọi là xung khắc với
nhau nếu chúng không thể cùng xảy ra trong một phép thử.
Trong trường hợp chúng có thể cùng xảy ra trong một phép thử thì gọi là hai biến cố
khơng xung khắc. Khi A và B xung khắc thì biến cố tích của chúng là khơng thể xảy ra:

A và B xung khắc  A.B = 
Có thể mơ tả hai biến cố xung khắc trong hình 1.4.
Trong hình 1.4, hai hình trịn A và B khơng có điểm chung, phần giao giữa chúng
bằng rỗng.

A

B

A.B = 



Hình 1.4. Hai biến cố xung khắc

Ví dụ 1.21: Khi gieo một con xúc sắc thì biến cố A là “xuất hiện mặt một chấm” và
biến cố B là “xuất hiện mặt hai chấm” là xung khắc với nhau, vì chúng khơng thể
cùng xảy ra trong phép thử này.
TXTOKT02_Bai1_v1.0014109205

17

Bài 1: Biến cố và xác suất

Ví dụ 1.22. Với kết quả cuối cùng về lợi nhuận của một dự án đầu tư thì biến cố “có
lãi” và biến cố “bị lỗ” là hai biến cố xung khắc, vì với một dự án khơng thể cùng vừa
có lãi vừa là bị lỗ.

Tuy nhiên nếu với hai dự án đầu tư khác nhau, biến cố “dự án thứ nhất có lãi” và biến
cố “dự án thứ hai bị lỗ” là không xung khắc, vì chúng có thể cùng xảy ra.
Mở rộng: Nhóm các biến cố A1, A2… An được gọi là xung khắc từng đôi nếu bất kỳ
hai biến cố trong n biến cố đều xung khắc với nhau.
Ví dụ 1.23. Gieo một con xúc sắc cân đối và đồng chất.

Đặt Ai là biến cố “xuất hiện mặt i chấm”, với i = 1,2,…,6 khi đó các biến cố A1;
A2;…; A6 được gọi là xung khắc từng đơi vì 2 biến cố bất kì trong 6 biến cố này đều
xung khắc với nhau.
Định nghĩa 1.10 – Nhóm đầy đủ: Các biến cố A1, A2… An được gọi là một nhóm đầy
đủ các biến cố nếu trong kết quả của một phép thử sẽ xảy ra một và chỉ một trong các
biến cố đó.

Về mặt khái niệm, các biến cố A1, A2… An tạo nên một nhóm đầy đủ nếu chúng xung
n

khắc từng đôi và tổng của chúng là một biến cố chắc chắn (  Ai   ).
i 1

Nói một cách đơn giản hơn, một nhóm biến cố là đầy đủ nếu chúng lấp đầy toàn bộ
các trường hợp và khơng có phần nào trùng lặp nhau.
Có thể minh họa nhóm đầy đủ các biến cố trong hình 1.5.
A1

A2

A3

A4

A1

A2

A3

A1

A2

A3

A4

A5

(a)

(b)

(c)

Hình 1.5. Minh họa nhóm đầy đủ và khơng phải nhóm đầy đủ

Trong hình 1.5, hình (a) các biến cố A1, A2, A3, A4 tạo thành nhóm đầy đủ, chúng
riêng biệt nhau và lấp đầy tồn bộ mọi khoảng trống. Hình (b) các biến cố A1, A2, A3
khơng tạo thành nhóm đầy đủ vì chúng khơng lấp đầy tồn bộ. Hình (c) A1, A2, A3,
A4, A5 khơng tạo thành nhóm đầy đủ vì tuy chúng lấp đầy tồn bộ nhưng lại có phần
trùng nhau.
Ví dụ 1.24. Với kết quả cuối cùng về lợi nhuận của một dự án đầu tư:
 Các biến cố: “có lãi”, “hịa vốn”, “bị lỗ” tạo thành nhóm đầy đủ.
 Các biến cố: “có lãi”, “hịa vốn” khơng tạo thành nhóm đầy đủ.
 Các biến cố: “có lãi”, “hịa vốn”, “bị lỗ”, “lãi trên 1 tỷ” khơng tạo thành nhóm đầy đủ.
 Các biến cố: “có lãi”, “khơng có lãi” tạo thành nhóm đầy đủ.
18

TXTOKT02_Bai1_v1.0014109205


Bài 1: Biến cố và xác suất

Ví dụ 1.25. Gieo một con xúc sắc cân đối và đồng chất.
Đặt Ai là biến cố “xuất hiện mặt i chấm”, với i = 1, 2,…, 6
Ta thấy, trong kết quả của phép thử sẽ xảy ra một và chỉ một trong 6 biến cố A1, A2… A6.
Vì vậy, nhóm biến cố A1, A2… A6 tạo thành một nhóm đầy đủ các biến cố.
Định nghĩa 1.11 – Biến cố đối lập: Hai biến cố gọi là đối lập với nhau nếu chúng tạo
nên một nhóm đầy đủ các biến cố.

A

Ā


Hình 1.6. Hai biến cố đối lập

Ký hiệu biến cố đối lập của A là Ā.
Hay nói cách khác: hai biến cố đối lập là khi thực hiện một phép thử thì sẽ xảy ra một
và chỉ một trong hai biến cố đó.
Như vậy A.Ā =  và A + Ā = .
Có thể minh họa hai biến cố đối lập qua hình 1.6. Trong hình này biến cố đối lập của
A là tồn bộ phần bên ngồi hình trịn A.
Ví dụ 1.26. Với một người đi thi, biến cố đối lập của “đỗ” là biến cố “trượt”.
Tuy nhiên với nhiều người đi thi, biến cố đối lập của “tất cả cùng đỗ” không phải là
“tất cả cùng trượt”.
Biến cố đối lập của “tất cả cùng đỗ” là “có ít nhất một người trượt” (hay “không phải
tất cả cùng đỗ”).
Đây là chỗ hay nhầm lẫn của sinh viên về biến cố đối lập.
Ví dụ 1.27. Với kết quả lợi nhuận của một dự án đầu tư, biến cố đối lập của “có lãi” là
“khơng có lãi”, hoặc “hịa vốn hoặc lỗ”.
Khi đầu tư vào 4 dự án, biến cố đối lập của “tất cả các dự án cùng có lãi” là “có ít nhất
một dự án khơng có lãi”.
Ví dụ 1.28. Với thơng tin về người lao động tại một công ty như trong ví dụ 1.7,
người lao động có thể học về Kinh tế hoặc khơng, có thể học Ngoại ngữ hoặc khơng.
Khi chọn ngẫu nhiên một người lao động:
Đặt A là biến cố “có học về Kinh tế”;
Đặt B là biến cố “có học về Ngoại ngữ”.
Khi đó ta có bảng:
Ngành học

Có học ngoại ngữ (B)

Khơng học ngoại ngữ (B)

Có học kinh tế (A)

A.B
(25 người)

A.B
(7 người)

Không học về kinh tế (Ā)

A.B
(15 người)

A.B
(3 người)

TXTOKT02_Bai1_v1.0014109205

19


Bài 1: Biến cố và xác suất

Khi đó mơ tả các biến cố như sau:
 Biến cố Ā là “không học về kinh tế”
 Biến cố B là “không học về ngoại ngữ”
 Biến cố A.B là “học cả hai ngành”
 Biến cố A + B là “học ít nhất một ngành”
 Biến cố A.B là “không học ngành nào”
 Biến cố “chỉ học kinh tế” là A.B
 Biến cố “chỉ học ngoại ngữ” là A.B

 Biến cố “chỉ học đúng một ngành” là A.B + A.B

Cũng nhận thấy các mối quan hệ như sau:
 A và B không xung khắc.
 A.B và A.B xung khắc; A.B và A.B xung khắc.
 Các biến cố: A.B, A.B , A.B , A.B tạo thành nhóm đầy đủ.
 A + B = A.B + A.B + A.B (biến cố tổng “A hoặc B” gồm: “cả A và B” + “chỉ có
A” + “chỉ có B”).

20

TXTOKT02_Bai1_v1.0014109205


Bài 1: Biến cố và xác suất

Tóm lược cuối bài
 Để quan sát một hiện tượng nào đó có xảy ra hay không ta cần thực hiện phép thử. Hiện
tượng có thể xảy ra hoặc khơng xảy ra trong kết quả của phép thử được gọi là biến cố.
 Khả năng xảy ra biến cố trong phép thử gọi là xác suất của biến cố đó.
 Đối với các biến cố giản đơn có thể tìm xác suất bằng định nghĩa cổ điển với điều kiện là các
kết cục của phép thử phải là hữu hạn và đồng khả năng. Với phương pháp liệt kê, ta đếm số
lượng các phần tử và tính xác suất theo cơng thức cổ điển. Với trường hợp lấy nhiều phần tử,
phải áp dụng công thức tổ hợp để tính số kết cục.
 Khi các kết cục của phép thử là không đồng khả năng hoặc khơng hữu hạn thì có thể dùng
định nghĩa thống kê về xác suất nếu có thể tiến hành một số lớn các phép thử.
 Một biến cố phức hợp thường được biễu diễn thơng qua tích hoặc tổng của các biến cố giản
đơn. Khi một biến cố được biểu diễn qua tích của các biến khác thì cần xem xét tính độc lập
và phụ thuộc giữa các biến cố đó. Khi một biến cố được biểu diễn qua tổng của các biến cố
khác thì cần xem xét tính xung khắc, khơng xung khắc của các biến cố đó.

TXTOKT02_Bai1_v1.0014109205

21


Bài 1: Biến cố và xác suất

Câu hỏi ôn tập
1. Thế nào là phép thử, thế nào là kết cục và biến cố?
2. Thế nào là xác suất? Xác suất có lớn hơn 1 hoặc nhỏ hơn 0 được khơng?
3. Xác suất là khách quan hay chủ quan?
4. Công thức tính xác suất theo định nghĩa cổ điển như thế nào?
5. Để tính xác suất theo định nghĩa cổ điển cần lưu ý điều kiện gì?
6. Cơng thức và cách tính tổ hợp như thế nào?
7. Tại sao phải dùng định nghĩa thống kê về xác suất trong nhiều trường hợp?
8. Tần suất là gì?
9. Nguyên lý xác suất nhỏ và lớn cho biết điều gì?
10. Thế nào là tích của hai biến cố, là tích của nhiều biến cố?
11. Thế nào là tổng của hai biến cố, là tổng của nhiều biến cố?
12. Thế nào là hai biến cố độc lập?
13. Thế nào là hai biến cố xung khắc?
14. Thế nào là nhóm đầy đủ các biến cố?
15. Hai biến cố đối lập là gi?

22

TXTOKT02_Bai1_v1.0014109205