On thi vao lop 10 tp HCM

<span class='text_page_counter'>(1)</span>BÀI TẬP ÔN TẬP MÔN TOÁN 9 NĂM 2013. 1. Dạng toán giải phương trình và hệ phương trình. 1.1 Giải các phương trình và hệ phương trình sau:. a) 8x2 − 2x − 1 = 0.. ( 2x + 3y = 3 b) 5x − 6y = 12. c) x4 − 2x2 − 3 = 0.. 1.2 Giải các phương trình và hệ phương trình sau: ( 4x + y = −1 a) 2x2 − 3x − 2 = 0. b) c) 4x4 − 13x2 + 3 = 0. 6x − 2y = 9 1.3 Giải các phương trình và hệ phương trình sau: ( 5x + 7y = 3 a) 3x2 − 2x − 1 = 0. b) c) x4 + 5x2 − 36 = 0. 5x − 4y = −8 1.4 Giải các phương trình và hệ phương trình sau: ( 2x − 3y = 7 a) 2x2 − x − 3 = 0. b) c) x4 + x2 − 12 = 0. 3x + 2y = 4. 2. √ d) 3x2 − 6 2x + 2 = 0.. √ d) 2x2 − 2 2x − 1 = 0.. d) 3x2 + 5x +. √. 3 − 3 = 0.. √ d) x2 − 2 2x − 7 = 0.. Dạng toán vẽ đồ thị và tìm tọa độ giao điểm. 2.1 a) Vẽ đồ thị (P ) của hàm số y =. x2 và đường thẳng (D) : y = x + 4 trên cùng một hệ trục 2. toạ độ. b) Tìm toạ độ giao điểm của (P ) và (D) bằng phép tính. 2.2 a) Vẽ đồ thị (P ) của hàm số y = −. x2 1 và đường thẳng (D) : y = x − 1 trên cùng một hệ 2 2. trục toạ độ. b) Tìm toạ độ giao điểm của (P ) và (D) bằng phép tính. 2.3 a) Vẽ đồ thị (P ) của hàm số y = −x2 và đường thẳng (D) : y = −2x − 3 trên cùng một hệ trục toạ độ. b) Tìm toạ độ giao điểm của (P ) và (D) bằng phép tính. 2.4 1 1 a) Vẽ đồ thị (P ) của hàm số y = x2 và đường thẳng (D) : y = − x + 2 trên cùng một hệ 4 2 trục toạ độ. b) Tìm toạ độ giao điểm của (P ) và (D) bằng phép tính. 1.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> 3. Dạng toán căn bậc hai. Rút gọn các biểu thức sau: p p p p √ √ √ √ 3.2 A = p6 − 11 − p6 + 11. 3.1 A = p3 + 5 − p3 − 5. √ √ √ √ 3.3 A = 7 + 13 − 7 − 13. 3.4 A = 8 +√4 3 − 8 − 4 3. p p √ √ 6+2 5 3.5 A = 9 − 4 5 − 9 + 4 5. 3.6 A = √ . 1 p p 5 +√ p p √ √ √ 3.8 A = 4 + 7 − 4 − 7. 3.7 A = q16 − 6 7 − 16 + 6 7. p p √ √ √ √ √ 3.9 A = 3 +√ 13 + 48. 3.10 A = 3 − 5.( 10 − 2).(3 + 5). √ √ √ 3+ 5 3− 5 2+ 2 2− 2 √ + √ . 3.11 A = 3.12 A = √ −√ . 3− 5 3+ 5 2+1 2−1 r q p p p p √ √ √ √ 3.14 A = 4 + 15 − 4 − 15 − 2 3 − 5. 3.13 A = 13 + 30 2 + 9 + 4 2. √ √ √ √ p √ 8 41 p 3.15 A = p 3.16 A = ( 10 + 2)(6 − 5) 3 + 5. √ √ . 45 + 4 41 + 45 − 4 41 r !2 r !2 q q p p √ √ √ √ 5 3 2+ 3+ 3− 5− 2− 3+ 3+ 5− 3.17 A = 5 + . 2 2 s√ s √ 3 3−4 3+4 √ √ . + 3.18 A = 2 3 +p 1 5−2 3 √ √ p √ √ 3.19 B = (2 − 3) 26 + 15 3 − (2 + 3) 26 − 15 3.. 4. Dạng toán rút gọn một biểu thức có chứa ẩn. Rút gọn các biểu thức sau: √ 1 1 2 x √ + √ với x > 0, x 6= 1. 4.1 A = − x + x√ x − 1 x√− x a2 + a 2a + a √ 4.2 A = − √ + 1, với a > 0. a− √ a+1 a √ x+2 x+1 x−1 √ 4.3 A = +√ − x, với x ≥ 0, x 6= 1. x + 1√ x−1 a + b − 2 ab 1 √ √ , với a ≥ 0, b ≥ 0, a 6= b. :√ 4.4 A = √ a − b a + b     √ 2 2 4.5 A = √ + 1−x : √ + 1 với −1 < x < 1. 2  1+   √x √ 1 −x x+ x x− x 4.6 A = √ +1 . √ − 1 với x ≥ 0, x 6= 1. x + 1 x − 1  √    a 1 1 2 √ 4.7 A = √ − : √ + , với a > 0, a 6= 1. 1 a − 1 a −√ a  a + 1 a√−   √ x x−1 x x+1 3− x √ − √ 4.8 A = : 1− √ , với x > 0, x 6= 1. x− x x+ x √ x+1 1 1 x 4.9 A = √ − √ + , với x ≥ 0, x 6= 1. 2 x−2 2 x+2 1−x. 2.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> 4.10 4.11 4.12 4.13 4.14 4.15 4.16 4.17 4.18 4.19 4.20 4.21 4.22 4.23. 5. √ √ √ x+3 2 x+1 2 x−9 √ √ , với x ≥ 0, x 6= 4, x 6= 9. −√ + A= x√ − 5 x + 6 √ x − 2 3 − x  x2 − 2x + 1 x−2 x+2 √ A= − , với x ≥ 0, x 6= 1. x − 1√ x +√2 x + 1√ 2 √ √ ( a + b)2 − 4 ab a b + b a √ √ A= − , với a > 0, b > 0, a 6= b. √ a − b ab √ √ √ x+3 x−1 4 x−4 −√ + , với x ≥ 0, x 6= 4. A= √ 4 − x x − 2 x + 2 √ √ x+1 x−1 2 A= √ − √ −√ , với x ≥ 0, x 6= 1. 2 x−2 2 x+2 x−1 √ √ ! √ √ √ √ a+ b−1 a− b b b √ √ √ + √ , với a > 0, b > 0, a 6= b. + A= a + ab 2 ab a− b a+ b √ !   √ b − ab a b a+b √ A= a+ √ : √ +√ − √ , với a > 0, b > 0, a 6= b. a+ b ab + b ab − a ab √ 2  √  √ x 1 x−1 x+1 √ − √ A= −√ , với x > 0, x 6= 1. x −√1  2√ 2 x √ x +1 2(x − 2 x + 1) x x−1 x x+1 √ − √ , với x > 0, x 6= 1. : A= x − 1 √ x +√ x  x− x x+2 x x−1 1 √ √ √ A= , với x > 0, x 6= 1. − + : 2 x − 1 x + √ x + 1 1 −√ x x √ a+2 a−2 a √ A= − , với a > 0, a 6= 1. :√ a−1 a+ 1 a + 2 a + 1 2 2 1 √ √ − √ A= : 2 √ , với x > 0, x 6= 1. x√ x + x + x √x + x√+ 1 x − x x+1 2 x x+3 √ A= −√ +√ , với x > 0, x 6= 2, x 6= 4. x − 3 x + 2 x − 2 x−1   √ √ 3x 1 3 x (x − 1)( x − 1) √ √ − √ +√ , với x > 0, x 6= 1. A= : x+ x+1 x x−1 x−1 x+ x+1. Dạng toán phương trình bậc 2 có chứa tham số. ~ Tìm m để các biểu thức sau đạt giá trị nhỏ nhất: 5.1 A = m2 + 4m − 2. 5.2 B = m2 − 3m + 3. 5.3 C = 4m2 + 4m − 4. 5.4 D = 9m2 + 12m − 5. 5.5 E = 3m2 − 2m − 6. ~ Tìm m để các biểu thức sau đạt giá trị lớn nhất: 5.6 A = −m2 + 2m − 2. 5.7 B = −m2 − 4m + 3. 5.8 C = −4m2 + 4m + 2. 5.9 D = −9m2 − 6m + 5. 5.10 E = −2m2 + 3m − 1. 5.11 Cho phương trình x2 − 2mx + m − 2 = 0, với m là tham số. a) Chứng minh rằng phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m.. 3.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> b) Gọi x1 , x2 là các nghiệm của phương trình. Tìm m để biểu thức sau đạt giá trị nhỏ nhất M=. x21. −24 + x22 − 6x1 x2. 5.12 Cho phương trình x2 − 4x + m + 1 = 0, với m là tham số. a) Tìm m để phương trình có nghiệm. b) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x1 , x2 thỏa: x21 + x22 = 10. 5.13 Cho phương trình 3x2 − mx + 2 = 0, với m là tham số. a) Tìm m để phương trình có nghiệm. b) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x1 , x2 thỏa: 3x1 .x2 = 2x1 − 2x2 . 5.14 Cho phương trình x2 − 4x − m2 − 3m = 0, với m là tham số. a) Chứng minh phương trình có 2 nghiệm phân biệt ∀m. b) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x1 , x2 thỏa: x21 + x22 = 4x1 + 4x2 . 5.15 Cho phương trình 2x2 + 6x + m = 0, với m là tham số. a) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt. b) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x1 , x2 thỏa:. x 1 x2 + ≥ 2. x2 x1. 5.16 Cho phương trình x2 − 2(m − 1)x − 3 − 3m = 0, với m là tham số. a) Chứng minh phương trình luôn có nghiệm ∀m. b) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x1 , x2 thỏa: x21 + x22 ≥ 10. c) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x1 , x2 thỏa: (4x1 + 1)(4x2 + 1) = 18. 5.17 Cho phương trình x2 − 2mx + 2m − 1 = 0, với m là tham số. a) Chứng minh phương trình luôn có nghiệm ∀m. b) Tìm m để phương trình có một nghiệm là 2. c) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x1 , x2 thỏa: 2(x21 + x22 ) − 5x1 x2 = 27. 5.18 Cho phương trình 2x2 + (2m − 1)x + m − 1 = 0, với m là tham số. a) Chứng minh phương trình luôn có nghiệm ∀m. b) Tìm m để phương trình có nghiệm là −1. c) Gọi x1 , x2 là 2 nghiệm của phương trình, tìm hệ thức liên hệ giữa 2 nghiệm không phụ thuộc m. 5.19 Cho phương trình x2 − (m − 3)x − 2m = 0, với m là tham số. a) Giải phương trình khi m = −2. b) Chứng minh phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt ∀m. 4.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> c) Tìm hệ thức liên hệ giữa 2 nghiệm x1 , x2 không phụ thuộc m. 5.20 Cho phương trình 2x2 + (2m − 1)x + m − 1 = 0, với m là tham số a) Giải phương trình khi m = 2. b) Chứng minh phương trình luôn có nghiệm ∀m. c) Tìm hệ thức liên hệ giữa 2 nghiệm x1 , x2 không phụ thuộc m. 5.21 Cho phương trình x2 − 2(m − 1)x + m2 = 0, với m là tham số. a) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt. b) Tìm m để phương trình có một nghiệm là −2. c) Gọi x1 , x2 là 2 nghiệm của phương trình. CMR: (x1 − x2 )2 + 4(x1 + x2 ) + 4 = 0. 5.22 Cho phương trình x2 − 2(m + 1)x + m − 4 = 0, với m là tham số. a) Giải phương trình khi m = −2. b) Chứng minh phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt ∀m. c) Gọi x1 , x2 là 2 nghiệm của phương trình. CMR: A = x1 (1 − x2 ) + x2 (1 − x1 ) không phụ thuộc m. 5.23 Cho phương trình x2 − (m − 1)x + 1 = 0, với m là tham số. a) Tìm m để phương trình có nghiệm. b) Với điều kiện của câu a), tìm m để biểu thức sau đạt giá trị nhỏ nhất A = 3x21 +5x1 x2 +3x22 . 5.24 Cho phương trình x2 − (2m − 3)x + 1 − m = 0, với m là tham số a) Tìm m để phương trình có nghiệm. b) Với điều kiện của câu a), tìm m để biểu thức sau đạt giá trị lớn nhất: A = x21 + x22 + 3x1 x2 (x1 + x2 ). 5.25 Cho phương trình x2 − 2mx + m2 − m + 1 = 0 với m là tham số và x là ẩn số. a) Giải phương trình khi m = 1. b) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt x1 , x2 . c) Với điều kiện của câu b) hãy tìm m để biểu thức A = x1 x2 − x1 − x2 đạt giá trị nhỏ nhất. 5.26 Cho phương trình x2 − (3m + 1)x + 2m2 + m − 1 = 0 với m là tham số và x là ẩn số. a) Chứng minh phương trình trên luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m. b) Gọi x1 , x2 là 2 nghiệm của phương trình trên. Tìm m để biểu thức sau đạt giá trị lớn nhất: A = x21 + x22 − 3x1 x2 .. 5.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> 6. Dạng toán hình học. 6.1 Cho 4ABC có ba góc nhọn (AB < AC). Đường tròn đường kính BC cắt AB và AC theo thứ tự tại E và F . Biết BF cắt CE tại H và AH cắt BC tại D. a) Chứng minh tứ giác BEF C nội tiếp và AH ⊥ BC. b) Chứng minh: AE.AB = AF.AC. c) Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp 4ABC và K là trung điểm của BC. Tính tỉ số. OK BC. khi tứ giác BHOC nội tiếp. d) Cho HF = 3 cm, HB = 4 cm, CE = 8 cm và HC > HE. Tính HC. 6.2 Từ một điểm M bên ngoài đường tròn (O) vẽ cát tuyến M CD không đi qua tâm O và hai tiếp tuyến M A, M B đến đường tròn (O), ở đây A, B là các tiếp điểm và C nằm giữa M, D. a) Chứng minh M A2 = M C.M D. b) Gọi I là trung điểm của CD. Chứng minh rằng 5 điểm M, A, O, I, B cùng nằm trên một đường tròn. c) Gọi H là giao điểm của AB và M O. Chứng minh tứ giác CHOD nội tiếp được đường \ tròn. Suy ra AB là đường phân giác của CHD. d) Gọi K là giao điểm của các tiếp tuyến tại C và D của đường tròn (O). Chứng minh A, B, K thẳng hàng. 6.3 Cho 4ABC (AB < AC) có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O) có tâm O, bán kính R. Gọi H là giao điểm của 3 đường cao AD, BE, CF của 4ABC. Gọi S là diện tích của 4ABC. a) Chứng minh rằng AEHF và AEDB là các tứ giác nội tiếp đường tròn. b) Vẽ đường kính AK của đường tròn (O). Chứng minh 4ABD và 4AKC đồng dạng với AB.BC.CA . nhau. Suy ra AB.AC = 2R.AD và S = 4R c) Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh tứ giác EF DM nội tiếp được đường tròn. d) Chứng minh rằng OC vuông góc với DE và (DE + EF + F D).R = 2S. 6.4 Cho đường tròn tâm O đường kính AB = 2R. Gọi M là một điểm bất kỳ thuộc đường tròn (O) khác A và B. Các tiếp tuyến của (O) tại A và M cắt nhau tại E. Vẽ M P vuông góc với AB (P thuộc AB), vẽ M Q vuông góc với AE (Q thuộc AE) a) Chứng minh rằng AEM O là tứ giác nội tiếp đường tròn và AP M Q là hình chữ nhật. b) Gọi I là trung điểm của P Q. Chứng minh O, E, I thẳng hàng. c) Gọi K là giao điểm của EB và M P . Chứng minh 4EAO và 4M P B đồng dạng. Suy ra K là trung điểm của M P . d) Đặt AP = x. Tính M P theo R và x. Tìm vị trí của M trên (O) để hình chữ nhật AP M Q có diện tích lớn nhất.. 6.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> 6.5 Cho đường tròn tâm O có tâm O, đường kính BC. Lấy điểm A trên đường tròn tâm O sao cho AB > AC. Từ A vẽ AH vuông góc với BC (H thuộc BC). Từ H vẽ HE vuông góc với AB và HF vuông góc với AC (E thuộc AB, F thuộc AC). a) Chứng minh rằng AEHF là hình chữ nhật và OA vuông góc với EF . b) Đường thẳng EF cắt đường tròn (O) tại P và Q (E nằm giữa P và F ). Chứng minh AP 2 = AE.AB. Suy ra AP H là tam giác cân. c) Gọi D là giao điểm của P Q và BC. K là giao điểm của AD và đường tròn (O) (K khác A). Chứng minh AEF K là tứ giác nội tiếp. d) Gọi I là giao điểm KF và BC. Chứng minh IH 2 = IC.ID. 6.6 Cho đường tròn (O) có tâm O và điểm M nằm ngoài đường tròn (O). Đường thẳng M O cắt đường tròn (O) tại E và F (M E < M F ). Vẽ cát tuyến M AB và tiếp tuyến M C của đường tròn (O) sao cho C là tiếp điểm, A nằm giữa hai điểm M và B, A và C nằm khác phía đối với đường thẳng M O. a) Chứng minh rằng: M A.M B = M E.M F . b) Gọi H là hình chiếu vuông góc của điểm C lên đường thẳng M O. Chứng minh tứ giác AHOB nội tiếp. c) Trên nửa mặt phẳng bờ OM có chứa điểm A, vẽ nửa đường tròn đường kính M F , nửa đường tròn này cắt tiếp tuyến tại E của (O) ở K. Gọi S là giao điểm của hai đường thẳng CO và KF . Chứng minh M S ⊥ KC. d) Gọi P và Q lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác EF S và ABS và T là trung điểm của KS. Chứng minh ba điểm P, Q, T thẳng hàng. 6.7 Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB = 2R. C là trung điểm của AO. Đường thẳng Cx vuông góc với AB tại C, Cx cắt nửa đường tròn tại I. Cho K là điểm bất kì trên CI (K khác với C và I). Tia AK cắt (O) tại M và cắt Cx tại N . Tia BM cắt Cx tại D. a) CMR: 4 điểm A, C, M, D cùng nằm trên một đường tròn. b) CMR: 4M N K cân. c) Tính diện tích 4ABD khi K là trung điểm CI. 6.8 Cho nửa đường tròn tâm O đường kính BC, một điểm A di động trên nửa đường tròn. Kẻ AH vuông góc với BC tại H. Đường tròn tâm I đường kính AH cắt nửa đường tròn tâm O tại điểm thứ hai là G, cắt AB và AC tại D và E. a) CMR: Tứ giác BDEC nội tiếp. b) Các tiếp tuyến tại D và E của (I lần lượt cắt BC tại M và N . CMR: M, N lần lượt là trung điểm của BH, CH. c) CMR: DE ⊥ AO. Từ đó suy ra AG, DE, BC đồng quy. 6.9 Cho đường tròn (O; R), đường thẳng d cắt (O) tại hai điểm C và D. Từ một điểm M tuỳ ý trên d kẻ hai tiếp tuyến M A, M B với A, B là hai tiếp điểm của đường tròn (O). Gọi I là trung điểm của CD. a) CMR: 5 điểm M, I, A, O, B cùng nằm trên một đường tròn. 7.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> b) Gọi H là trực tâm của 4M AB. Tứ giác OAHB là hình gì ? c) Khi M di động trên d. CMR: đường thẳng AB luôn đi qua một điểm cố định. d) Đường thẳng qua C vuông góc với OA cắt AB, AD lần lượt tại E, K. CMR: EC = EK. 6.10 Cho đường tròn (O) và một điểm A nằm ngoài đường tròn. Từ A kẻ 2 tiếp tuyến AB, AC và cát tuyến AM N với đường tròn (B, C, M, N nằm trên đường tròn và AM < AN ). Gọi E là trung điểm của dây M N , I là giao điểm thứ hai của đường thẳng CE với đường tròn. a) CMR: Bốn điểm A, O, E, C cùng nằm trên một đường tròn. [ = BIC. [ b) CMR: AOC c) CMR: BI//M N . d) Xác định vị trí cát tuyến AM N để diện tích 4AIN lớn nhất. 6.11 Từ một điểm M ngoài đường tròn (O; R) vẽ hai tiếp tuyến M A, M B (A, B là các tiếp điểm). Một đường thẳng qua M cắt (O) tại C và D. Gọi I là trung điểm của CD. Gọi E, F, K lần lượt là giao điểm của AB với M O, M D, IO. a) CMR: OE.OM = OI.OK = R2 . b) CMR: Tứ giác BOIA nội tiếp. \ < CBD. \ CMR: DEC \ = 2DAC. \ c) Khi CAD √ d) Cho M O = 2R, CD = R 3. Tính diện tích của 4M AK. 6.12 Từ một điểm M ngoài (O; R), vẽ hai tiếp tuyến M A, M B (A, B là các tiếp diểm). Gọi I là trung điểm của M A và K là giao điểm của BI với đường tròn (O). Tia M K cắt (O; R) tại C. a) CMR: 4M IK v 4BIM . b) CMR: BC//M A. c) Gọi H là trực tâm của 4M AB. CMR : Khoảng cách HA không phụ thuộc vào vị trí của M. d) Xác định vị trí của M để tứ giác AM BC là hình bình hành. 6.13 Cho hai đường tròn (O) và (O0 ) cắt nhau tại A, B. Tiếp tuyến tại A của (O) cắt (O0 ) tại E, tiếp tuyến tại A của (O0 ) cắt (O) tại F . Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp 4EF A. a) CMR: Tứ giác OAO0 I là hình bình hành và OO0 //BI. b) CMR: Tứ giác OBIO0 nội tiếp. c) Kéo dài AB về phía B một đoạn CB = AB. CMR tứ giác AECF nội tiếp. 6.14 Cho 2 đường tròn (O; R) và (O0 ; R0 ) cắt nhau tại hai điểm A; B. Kẻ tiếp tuyến chung của hai đường tròn (tiếp điểm là D và E ). Biết DE cắt tia AB tại M . a) CMR: 4M DB v 4M DA. b) CMR: M là trung điểm của DE. 8.

<span class='text_page_counter'>(9)</span> c) Gọi N là điểm đối xứng của B qua M . CMR: tứ giác ADN E nội tiếp. d) Qua D kẻ đường thẳng song song với AE, qua E kẻ đường thẳng song song với AD. Hai đường thẳng này cắt nhau tại S. CM: SB ≤ R + R0 . 6.15 Cho 4ABC nội tiếp đường tròn (O) có AC > AB. Gọi D là điểm chính giữa cung nhỏ BC. P là giao điểm của AB và CD. Tiếp tuyến của đường tròn tại C cắt tiếp tuyến tại D và AD tại E và Q. a) CMR: Tứ giác P ACQ nội tiếp. b) CMR: DE//P Q. c) Gọi F là giao điểm của AD và BC. CMR: 1 1 1 = + CE CQ CF 6.16 Cho 4ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm O bán kính R. Các tia phân giác [ ACB [ lần lượt cắt đường tròn tại E, F. của các góc ABC, a) CMR: OF ⊥ AB và OE ⊥ AC. b) Gọi M là giao điểm của OF và AB; N là giao điểm của OE và AC. CMR: Tứ giác AM ON nội tiếp và tính diện tích hình tròn ngoại tiếp tứ giác. c) Gọi I là giao điểm của BE và CF ; D là điểm đối xứng của I qua BC. CMR: ID ⊥ M N . [ = 60◦ . d) CMR: Nếu D nằm trên (O) thì BAC 6.17 Cho đường tròn (O) đường kính AC. Trên đoạn OC lấy điểm B và vẽ đường tròn tâm O0 đường kính BC. Gọi M là trung điểm của đoạn AB. Từ M vẽ dây cung DE vuông góc với AB; DC cắt đường tròn tâm O0 tại I. a) Tứ giác ADBE là hình gì ? b) CMR: Tứ giác DM BI nội tiếp. c) CMR: B, I, E thẳng hàng và M I = M D. d) CMR: M C.DB = M I.DC.. 9.

<span class='text_page_counter'>(10)</span> 6.18 Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. Gọi E là một điểm bất kỳ trên cạnh BC. Qua B vẽ đường thẳng vuông góc với tia DE tại H, đường thẳng này cắt tia DC tại F . a) CMR: Năm điểm A, B, H, C, D cùng nằm trên một đường tròn. b) CMR: DE.HE = BE.CE. c) Tính độ dài đoạn thẳng DH theo a khi E là trung điểm của BC. \. d) CMR: HC là tia phân giác của DHF 6.19 Một hình vuông ABCD nội tiếp trong đường tròn (O; R). Điểm M di động trên cung ABC, M không trùng với A, B và C, M D cắt AC tại H. a) CMR: M D.M H = M A.M C. b) CMR: DE.HE = BE.CE. c) 4M DC và 4M AH bằng nhau khi M ở một vị trí đặc biệt M 0 . Xác định điểm M 0 . Khi đó M 0 D cắt AC tại H 0 . Đường thẳng qua M 0 và vuông góc với AC cắt AC tại I. Chứng minh rằng I là trung điểm của H 0 C. 6.20 Từ điểm M ở ngoài đường tròn (O) vẽ cát tuyến M CD không đi qua tâm O và hai tiếp tuyến M A và M B đến đường tròn (O), ở đây A, B là các tiếp điểm và C nằm giữa M, D. a) CMR: M A2 = M C.M D. b) Gọi I là trung điểm của CD. CMR: 5 điểm M, A, O, I, B cùng nằm trên một đường tròn. c) Gọi H là giao điểm của AB và M O. CMR: Tứ giác CHOD nội tiếp được đường tròn. \ Suy ra AB là phân giác của CHD. d) Gọi K là giao điểm của các tiếp tuyến tại C và D của đường tròn (O). CMR: 3 điểm A, B, K thẳng hàng. 6.21 Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R. Từ A và B lần lượt kẻ hai tiếp tuyến Ax và By với nửa đường tròn. Qua điểm M thuộc nửa đường tròn (M khác A và B) kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt các tiếp tuyến Ax và By lần lượt tại C và D. a) CMR: Tứ giác AOM C nội tiếp. \ = 90◦ . b) CMR: CD = CA + DB và COD c) CMR: AC.BD = R2 . \ = 60◦ . Chứng tỏ 4BDM là tam giác đều và tính diện tích của hình quạt tròn d) Khi BAM chắn cung M B của nửa đường tròn đã cho theo R. 6.22 Cho hình vuông ABCD cạnh a, lấy điểm M bất kỳ thuộc cạnh BC (M khác B, C). Qua B kẻ đường thẳng vuông góc với đường thẳng DM tại H, kéo dài BH cắt đường thẳng DC tại K. a) Chứng minh: BHCD là tứ giác nội tiếp. b) Chứng minh: KM ⊥ DB. c) Chứng minh: KC.KD = KH.KB. 10.

<span class='text_page_counter'>(11)</span> d) Kí hiệu SABM , SDCM là diện tích của tam giác ABM , tam giác DCM . CMR: (SABM + 2 2 SDCM ) không đổi. Xác định vị trí của M trên BC để SABM + SDCM đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó theo a. 6.23 Cho điểm A ở ngoài đường tròn (O, R). Gọi AB, AC là hai tiếp tuyến của đường tròn (B và C là hai tiếp điểm). Từ A vẽ một tia cắt đường tròn tại E và F (E nằm giữa A và F ). a) CMR: 4AEC v 4ACF . Suy ra AC 2 = AE.AF . b) Gọi I là trung điểm của EF . Chứng minh 5 điểm A, B, O, I, C cùng nằm trên một đường tròn. c) Từ E vẽ đường thẳng vuông góc với OB cắt BC tại M . Chứng minh tứ giác EM IC nội tiếp được trong đưởng tròn. Suy ra tứ giác M IF B là hình thang. √ d) Giả sử cho OA = R 2. Tính theo R phần diện tích tứ giác ABOC nằm ở ngoài hình tròn (O). 6.24 Cho điểm A ở ngoài đường tròn (O, R). Gọi AB, AC là hai tiếp tuyến của đường tròn (B và C là hai tiếp điểm). Từ A vẽ một tia cắt đường tròn tại E và F (E nằm giữa A và F ). a) CMR: 4AEC v 4ACF . Suy ra AC 2 = AE.AF . b) Gọi I là trung điểm của EF . Chứng minh 5 điểm A, B, O, I, C cùng nằm trên một đường tròn. c) Từ E vẽ đường thẳng vuông góc với OB cắt BC tại M . Chứng minh tứ giác EM IC nội tiếp được trong đưởng tròn. Suy ra tứ giác M IF B là hình thang. √ d) Giả sử cho OA = R 2. Tính theo R phần diện tích tứ giác ABOC nằm ở ngoài hình tròn (O). 6.25 Cho 4ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O và có các đường cao BD và CE. Đường thẳng DE cắt đường tròn (O) tại hai điểm M và N . a) Chứng minh: Tứ giác BEDC nội tiếp. \ = ACB. [ b) Chứng minh: DEA c) Chứng minh: DE song song với tiếp tuyến tai A của đường tròn (O). \ d) Chứng minh: OA là phân giác của góc M AN . Chứng tỏ: AM 2 = AE.AB. 6.26 Cho đường tròn (O) đường kính AC. Trên đoạn OC lấy điểm B và vẽ đường tròn tâm O0 đường kính BC. Gọi M là trung điểm của đoạn AB. Từ M vẽ dây cung DE vuông góc với AB; DB cắt đường tròn tâm O0 tại I. a) Tứ giác ADBE là hình gì ? b) Chứng minh: Tứ giác DM BI nội tiếp. c) Chứng minh: M I = M D. d) Chứng minh: M C.DB = M I.DC. 6.27 Cho 4ABC vuông tại A. Trên cạnh AC lấy điểm M sao cho AM > M C. Dựng đường tròn tâm O đường kính M C; đường tròn này cắt BC tại E. Đường thẳng BM cắt (O) tại D và đường thẳng AD cắt (O) tại S. 11.

<span class='text_page_counter'>(12)</span> a) Chứng minh: Tứ giác ADCB nội tiếp. \ b) Chứng minh: M E là phân giác của AED. \ = ASM \. c) Chứng minh: ACD d) Chứng minh: ba đường thẳng BA, EM, CD đồng quy. 6.28 Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn và AB < AC nội tiếp trong đường tròn tâm O. Kẻ đường cao AD và đường kính AA0 . Gọi E, F theo thứ tự là chân đường vuông góc kẻ từ B và C xuống đường kính AA0 . a) Chứng minh: Tứ giác AEDB nội tiếp. b) Chứng minh: DB.A0 A = AD.A0 C. c) Chứng minh: DE ⊥ AC. d) Gọi M là trung điểm BC. Chứng minh M D = M E = M F .. 12.

<span class='text_page_counter'>(13)</span>