Chương III. §5. Ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng

<span class='text_page_counter'>(1)</span>Ứng dụng của tích phân – Diện tích miền phẳng Trong mp cho miền D giới hạn bởi a  x b   f1( x)  y  f 2 ( x ) Từ định nghĩa tp xác định ta suy ra b. S ( D)   f 2 ( x)  f1( x)  dx a. y=f2(x). b. a. y=f1(x).

<span class='text_page_counter'>(2)</span> Ứng dụng của tích phân – Diện tích miền phẳng Ví dụ: Tính dt miền D giới hạn bởi y=x và y=5x-x2. 4. 0. 2. . S ( D)   (5 x  x )  x dx 32  3.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> Ứng dụng của tích phân – Diện tích miền phẳng Ta có thể dùng MatLab để giải Ví dụ trên như sau Tìm giao điểm tức là cận tp bằng cách giải hpt: f1=y-x f2 = y-5*x+x^2 [x y] =solve(f1,f2) Ta sẽ được ma trận với 2 nghiệm của hpt x=0, 4 và y=0, 4. Tức là ta có cận tp 0≤x ≤4 Để tính S(D), ta đi dùng lệnh f=f1-f2 S=abs(int(f,0,4)).

<span class='text_page_counter'>(4)</span> Ứng dụng của tích phân – Diện tích miền phẳng Ví dụ: Tính dt miền D giới hạn bởi y2=2x và 2y=x2 4 x2  S ( D)   2 x   dx  3   2 0  2.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> Ứng dụng của tích phân – Diện tích miền phẳng Ví dụ: Tính dt miền D giới hạn bởi x2+y2=8, 2x=y2, x>0 2 y 4 2 S ( D)    8  y   dy 2    3 2  2  2.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> Ứng dụng của tích phân – Thể tích vật thể tròn xoay a  x b Miền phẳng D giới hạn bởi  0  y  f ( x ) Quay quanh trục Ox tạo thành vật thể tròn xoay n. V    f 2 ( M k )xk i 1. D quay quanh trục Oy b. V y 2  xf ( x) dx a.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> Ứng dụng của tích phân – Thể tích vật thể tròn xoay Ví dụ 1: Tính thể tích vật thể tạo ra khi quay miền D giới hạn bởi 2y=x2, 2x+2y-3=0 quanh trục Ox 2. 4 x   dx Vx      x   4    3   2  272   25 1  3.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> Ứng dụng của tích phân – Thể tích vật thể tròn xoay Ví dụ: Tính thể tích vật thể tạo ra khi quay miền D giới  2x  1, y e x  1, x 0 quanh trục Ox hạn bởi y e. 0.   ln 2. Vx   (e. x. 2.  1)  (e.  2x.  1). 2. . 11 dx   4.

<span class='text_page_counter'>(9)</span> Ứng dụng của tích phân – Thể tích vật thể tròn xoay Ví dụ: Tính thể tích vật thể tạo ra khi quay miền D giới  2x x hạn bởi y e  1, y e  1, x 0 quanh trục Oy 0. . Vx 2  x (e  ln 2. 1 2 (ln 2  ) 4 2. x.  1)  (e.  2x. .  1) dx.

<span class='text_page_counter'>(10)</span> Ứng dụng của tích phân – Thể tích vật thể tròn xoay Ví dụ: Tính thể tích vật thể tạo ra khi quay miền D giới hạn bởi y=x2+1, y=5 quay quanh a. Trục Oy. b. Đt y=5. a. Quay quanh trục Oy: 2. V y 2  x 5  ( x 2  1) dx 0. . . 8 b. Quay quanh đt y=5 Ta đổi hệ trục tọa độ để trục quay trùng với 1 trong 2 2 trục tọa độ 256 2 2  V X  ( X  4) dX  15 0.

<span class='text_page_counter'>(11)</span> Ứng dụng của tích phân – Diện tích mặt tròn xoay Phần đường cong y=f(x) với a≤x≤b quay quanh trục Ox sẽ tạo thành 1 mặt cong. b. b. a. a. S 2 ydl 2 y 1  y2 dx Khi quay quanh trục Oy, ta đổi vai trò của x và y bằng cách tính x=x(y) từ pt y=f(x).

<span class='text_page_counter'>(12)</span> Ứng dụng của tích phân – Diện tích mặt tròn xoay Ví dụ: Tính dt mặt tròn xoay tạo ra khi quay ellipse x2  y 2 1 quanh trục Ox 4 Đường ellipse cũng nhận Ox là trục đối xứng nên ta cũng chỉ cần lấy nửa phía trên hoặc dưới quay như khi tính thể tích vật thể tròn xoay.

<span class='text_page_counter'>(13)</span> Ứng dụng của tích phân – Diện tích mặt tròn xoay Áp dụng công thức trên cho nửa trên ellipse tức là đường cong : y  1  x 2 / 4,  2  x 2 2 4  x 2 16  3 x 2 S x 2  dx   16  3x 2 dx 2 2 2 4  x2 2. 8 2 2  3 3.

<span class='text_page_counter'>(14)</span> Ứng dụng của tích phân – Diện tích mặt tròn xoay Ví dụ: Tính dt mặt tròn xoay tạo ra khi quay cung x y  ( x  12),1  x 12 quanh trục Ox 6 x  12 x 3x  12 y    6 12 x 12 x 12 x  4 x  4. S x 2 . 1 4 x 4 x.  143  2   ln12   32 . dx.

<span class='text_page_counter'>(15)</span> Ứng dụng của tích phân – Diện tích mặt tròn xoay Ví dụ: Tính dt mặt tròn xoay tạo ra khi quay cung x 4  y 2 ,  2  y 2 quanh trục Oy. 2. S y 2  x 1  x2 dy 2.   65ln 17  124 17 16. . .

<span class='text_page_counter'>(16)</span> Ứng dụng của tích phân – Độ dài cung Cho phần đường cong y=f(x), a≤x≤b. Độ dài phần này là b 2  L   1  y dx a. Ví dụ: Tính độ dài phần parabol y=x2 nằm dưới đt y=1 Phần parabol nằm dưới đt y=1 ứng với -1≤x≤1 1. ln( 5  2) L   1  4 x dx   5 2 1 2.

<span class='text_page_counter'>(17)</span> Ứng dụng của tích phân – Độ dài cung Ví dụ: Tính độ dài phần đường cong y 2  8 ( x  1)2 27 nằm trong parabol y2=2x , với x≤1 8( x  1)2 35 3 129 2x   x 27 8 2 2(1  x) y 3 3 L 2. 1.  35 3 129 8. 35 dx 27. 35 3 129  27  27 4.

<span class='text_page_counter'>(18)</span>