Giải Tích :
12
CHƯƠNG III
Ngun hàm - Tích phân - Ứng dụng
§1.
Ngun hàm
§2.
Tích phân
§3.
Ứng dụng
BÀI GIẢNG :
§1.
I / NGUN HÀM VÀ TÍNH CHẤT:
Ngun Hàm
II/ PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUN HÀM:
1.Ngun hàm:
2.Tính chất của ngun hàm :
3.Sự tồn tại nguyên hàm:
4.Bảng nguyên hàm của
một số hàm số thường gặp:
1.Phương pháp đổi biến số:
2.
Phương pháp tính nguyên
hàm từng phần:
I / NGUN HÀM VÀ TÍNH CHẤT:
1.Ngun hàm:
Bài tốn nêu ra : Tìm hàm số F(x) sao cho F’(x) = f(x) nếu :
a ) f ( x ) = 3x
2
x ∈ ( −∞; +∞ )
1
π π
b) f ( x ) = 2
x∈− ; ÷
cos x
2 2
Kí hiệu K là khoảng hoặc đoạn , hoặc nửa khoảng của R .
Định nghĩa:
Cho hàm số f(x) xác định trên K .
Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu F’(x) = f(x) với
mọi x ∈ K.
Ví dụ 1:
a) Hàm số
F(x) = x
3
là một nguyên hàm của hàm số y = 3 x
2
3
2
trên (-∞ ; +∞) , vì F’(x) = (x )’ = 3 x với mọi
x ∈ (-∞ ; +∞)
b) Hàm số F(x) = tan x là một nguyên hàm của hàm số
1
π π
f ( x) = 2 x ∈ − ; ÷
cos x
2 2
Vì
1
F ' ( x ) = ( tan x ) ' = 2
cos x
Nêu thêm một số ví dụ khác:
2
c) Hàm số F(x) = 3x + 2 là một nguyên hàm của hàm số : f(x) = 6 x trên R
d) Hàm số F(x) = ln x là một nguyên hàm của hàm số :
f
(
1
x) =
x
, x ∈ ( 0; +∞ )
π π
x ∈ − ; ÷
2 2
Định lý 1:
Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì với mỗi hằng số C , hàm số
G(x) = F(x) + C cũng là một nguyên hàm của f(x) trên K .
Hãy tự chứng minh định lý này.
Định lý 2:
Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì mọi nguyên hàm của f(x) trên
K đều có dạng
F(x) + C , với C là một hằng số .
Chứng minh:
Giả sử G(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K , tức là G’(x) = f(x) mọi x ∈ K . Khi đó :
(G(x) – F(x))’ = G’(x) – F’(x) = f(x) – f(x) = 0 ,
x ∈ K.
Vậy: G(x) – F(x) là một hàm số không đổi trên K .
Ta có : G(x) – F(x) = C
Hay: G(x) = F(x) + C với mọi x ∈ K .
F(x) + C , C ∈ R được gọi là họ tất cả các nguyên hàm của f(x) trên K . Kí hiệu :
f
x
dx
=
F
x
+
C
(
)
(
)
∫
Chú ý :
Biểu thức f(x)dx là vi phân của nguyên hàm F(x) của f(x ), vì dF(x) = F’(x) dx = f(x) dx
Ví dụ 2 :
a) Với x ∈ (- ∞ ; + ∞ ) ,
2xdx
=
x
+
C
∫
b) Với x ∈ ( 0 ; + ∞ ) ,
1
dx
=
ln
x
+
C
∫x
c) Với x ∈ ( - ∞ ; + ∞ ) ,
2
cos
x
.
dx
=
sin
x
+
C
∫
2.Tính chất của nguyên hàm :
Tính chất 1:
f
'
x
dx
=
f
x
+
C
(
)
(
)
∫
Ví dụ 3:
Suy ra từ định nghĩa nguyên
hàm .
∫ ( cos x ) '.dx = ∫ ( − sin x ) .dx = cos x + C
Tính chất 2:
k
f
x
dx
=
k
f
x
dx
(
)
(
)
∫
∫
Chứng minh:
Gọi F(x) là một nguyên hàm của kf(x) , ta có :
Vì k ≠ 0 nên
f
(
kf(x) = F’(x)
1
1
x) =
F '( x ) =
F
k
k
(
'
x) ÷
Theo t/c 1 ta có :
'
1
1
k ∫ f ( x ) dx = k ∫ F ( x ) ÷dx = k F ( x ) + C1 ÷ = F ( x ) + kC1 ( C1 ∈ R )
k
k
= F ( x) + C
=
∫ k . f ( x ) dx
Tính chất 3:
∫ f ( x ) ± g ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx ± ∫ g ( x ) dx
Tự chứng minh t/c này.
Ví dụ 4:
Tìm ngun hàm của hàm số:
2
f ( x ) = 3sin x + , x ∈ ( 0; +∞ )
x
Giải:
Với x ∈ ( 0 ; + ∞) , ta có :
2
1
∫ 3sin x + x ÷ dx = 3∫ sin xdx + 2∫ x dx = −3cos x + 2ln x + C
3.Sự tồn tại của nguyên hàm:
Định lý 3:
Mọi hàm số f(x) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K .
Công nhận định lý này .
Ví dụ 5:
f
a) Hàm số
( x)
=x
2
3
Có ngun hàm trên ( 0 ; + ∞ )
∫
b) Hàm số
2
3
3
x .dx = .x
5
1
g ( x) =
sin 2 x
5
3
+C
Có nguyên hàm trên ( kπ ; (k+1)π ) , k∈Z
∫
1
.dx = − cot x + C
2
sin x
4. Bảng nguyên hàm của một số hàm số thường gặp :
∫ 0dx
∫ dx =
= C
x+C
1 α +1
∫ x dx = α + 1 x + C ( α ≠ −1)
α
∫
1
dx = ln x + C
x
∫e
x
dx = e + C
x
x
a
x
a
∫ dx = ln a + C ( 0 < a ≠ 1)
∫ cos x.dx = sin x + C
∫ sin x.dx = − cos x + C
1
∫ cos 2 x .dx = tan x + C
1
∫ sin 2 x .dx = − cot x + C
Tính:
Ví dụ 6:
2
1
a) ∫ 2 x +
÷dx , x ∈ ( 0; +∞ )
3
2
x
2
1
3
2 3
= 2 ∫ x dx + ∫ x dx =
x + 3x + C
3
−
2
b)
3
∫ ( 3cos x − 3 ) dx , x ∈ ( −∞; +∞ )
x −1
1 x
= 3∫ cos xdx − ∫ 3 dx
3
1 3x
= 3sin x −
+C
3 ln 3
3x −1
= 3sin x −
+C
ln 3
Chú ý: Từ đây yêu cầu tìm nguyên hàm của hàm số được hiểu là tìm ngun hàm
trên từng khoảng xác định của nó.
II/ PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM:
1.Phương pháp đổi biến số :
a) Cho :
∫ ( x − 1)
Đặt u = x – 1 . Hãy viết (x – 1 )
b) Cho :
∫
10
10
dx
dx , theo u và du
ln x
dx
x
t
Đặt x = e . Hãy viết biểu thức trong dấu ∫ , theo t và dt
Định lý 1:
Nếu
∫ f ( u ) du = F ( u ) + C
và u = u(x) là hàm số
có đạo hàm liên tục thì :
f
u
x
.
u
'
x
.
dx
=
F
u
x
+
C
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
∫
Chứng minh:
Theo cơng thức đạo hàm của hàm hợp , ta có : (F(u(x)))’ = F’(u).u’(x)
vì : F’(u) = f(u) = f(u(x))
⇒ (F(u(x)))’ = f(u(x)).u’(x)
Hệ quả:
Với u = ax + b ( a ≠ 0) , ta có
1
∫ f ( ax + b ) dx = a F ( ax + b ) + C
Ví dụ 7:
Giải:
Tính:
Vì
∫ sin ( 3 x − 1) .dx
∫ sin udu = − cos u + C
nên theo hệ quả ta có :
1
∫ sin ( 3x − 1) dx = − 3 cos ( 3x − 1) + C
Chú ý: Nếu tính nguyên hàm theo biến số mới
u ( u = u(x)) , thì sau khi tính ngun hàm ta phải trở lại biến x ban đầu bằng cách thay u bởi u(x) .
Ví dụ 8:
Giải:
Tính :
∫(
x
x + 1)
5
.dx
Đặt u = x + 1 , thì u’ = 1 và
u −1
∫ ( x + 1) 5 dx = ∫ u 5 du
1
1
= ∫ 4 − 5 ÷du = ∫ u −4 du − ∫ u −5 du
u
u
x
Khi đó :
u −1
dx = 5 du
5
u
( x + 1)
x
1 1
1 1
= − . 3 + . 4 +C
3 u
4 u
Thay u = x + 1 vào kết quả , có :
x
∫ ( x + 1)
1
1 1
dx =
.
.
− ÷+ C
3
( x + 1) 4 x + 1 3
1
5
2.Phương pháp tính ngun hàm từng phần:
Ta có: (x.cos x)’ = cos x – x.sin x
Hay: - x.sin x = (x.cos x)’ – cos x . Hãy tính :
∫ ( x.cos x ) '.dx
&
∫ cos x.dx
Từ đó tính :
∫ x.sin x.dx
Định lý 2:
Nếu hai hàm số u = u(x) và v = v(x) có đạo hàm liên tục trên K thì :
u
x
.
v
'
x
.
dx
=
u
x
.
v
x
+
u
'
x
.
v
x
.
dx
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
∫
∫
Chứng minh :
Theo cơng thức đạo hàm của tích , ta có :
(u.v)’ = u’.v + v’.u
Hay : u.v’ = (u.v)’ – u’.v nên có :
∫ u ( x ) .v ' ( x ) .dx = ∫ ( u ( x ) .v ( x ) ) '.dx − ∫ u ' ( x ) .v ( x ) .dx
∫ u ( x ) .v ' ( x ) .dx = u ( x ) .v ( x ) − ∫ u ' ( x ) .v ( x ) .dx
Vậy:
Chú ý : Cơng thức trên cịn được viết dưới dạng :
u
.
dv
=
u
.
v
−
v
.
du
∫
∫
Ví dụ 9 :
Tính:
Giải:
a) ∫ xe dx b) ∫ x.cos x.dx c)
x
ln
x
.
dx
∫
x
x
a) Đặt u = x và dv = e .dx , thì du = dx và v = e nên có :
∫ x.e dx = x.e − ∫ e .dx
x
x
x
= x.e − e + C
x
x
b) Đặt u = x và dv = cos x .dx , thì du = dx và v = sin x nên có :
∫ x.cos xdx = x.sin x − ∫ sin x.dx
c) Đặt u = ln x và dv = dx , thì
= x.sin x + cos x + C
1
du =
dx
x
và v = x . Do đó:
= x. ln x − x + C
ln
x
.
dx
=
x
.ln
x
−
dx
∫
∫
Bài củng cố : Cho P(x) là đa thức của x . Từ ví dụ 9 hãy lập bảng theo mẫu sau và điền u và
dv thích hợp vào ơ trống theo phương pháp tích phân từng phần .
x
P
x
.
e
∫ ( ) .dx
u
P ( x)
∫ P ( x ) .cos x.dx
P(x)
?????
cosx.dx
dv
x
e .dx
∫ P ( x ) .ln x.dx
?????
P(x)
?????
lnx.dx
?????
Bài tập về nhà: