Tải bản đầy đủ (.pptx) (25 trang)

slide bài giảng bai1 nguyen ham

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (283.16 KB, 25 trang )

Giải Tích :

12


CHƯƠNG III

Ngun hàm - Tích phân - Ứng dụng

§1.

Ngun hàm

§2.
Tích phân

§3.

Ứng dụng


BÀI GIẢNG :

§1.

I / NGUN HÀM VÀ TÍNH CHẤT:

Ngun Hàm

II/ PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUN HÀM:


1.Ngun hàm:

2.Tính chất của ngun hàm :

3.Sự tồn tại nguyên hàm:
4.Bảng nguyên hàm của
một số hàm số thường gặp:

1.Phương pháp đổi biến số:

2.

Phương pháp tính nguyên

hàm từng phần:


I / NGUN HÀM VÀ TÍNH CHẤT:
1.Ngun hàm:
Bài tốn nêu ra : Tìm hàm số F(x) sao cho F’(x) = f(x) nếu :

a ) f ( x ) = 3x

2

x ∈ ( −∞; +∞ )

1
 π π
b) f ( x ) = 2

x∈− ; ÷
cos x
 2 2

Kí hiệu K là khoảng hoặc đoạn , hoặc nửa khoảng của R .

Định nghĩa:
Cho hàm số f(x) xác định trên K .
Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu F’(x) = f(x) với
mọi x ∈ K.


Ví dụ 1:

a) Hàm số

F(x) = x

3

là một nguyên hàm của hàm số y = 3 x

2

3
2
trên (-∞ ; +∞) , vì F’(x) = (x )’ = 3 x với mọi

x ∈ (-∞ ; +∞)


b) Hàm số F(x) = tan x là một nguyên hàm của hàm số

1
 π π
f ( x) = 2 x ∈ − ; ÷
cos x
 2 2



1
F ' ( x ) = ( tan x ) ' = 2
cos x

Nêu thêm một số ví dụ khác:
2
c) Hàm số F(x) = 3x + 2 là một nguyên hàm của hàm số : f(x) = 6 x trên R

d) Hàm số F(x) = ln x là một nguyên hàm của hàm số :

f

(

1
x) =
x

, x ∈ ( 0; +∞ )


 π π
x ∈ − ; ÷
 2 2


Định lý 1:
Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì với mỗi hằng số C , hàm số
G(x) = F(x) + C cũng là một nguyên hàm của f(x) trên K .

Hãy tự chứng minh định lý này.
Định lý 2:

Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì mọi nguyên hàm của f(x) trên
K đều có dạng
F(x) + C , với C là một hằng số .


Chứng minh:
Giả sử G(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K , tức là G’(x) = f(x) mọi x ∈ K . Khi đó :
(G(x) – F(x))’ = G’(x) – F’(x) = f(x) – f(x) = 0 ,
x ∈ K.
Vậy: G(x) – F(x) là một hàm số không đổi trên K .
Ta có : G(x) – F(x) = C
Hay: G(x) = F(x) + C với mọi x ∈ K .

F(x) + C , C ∈ R được gọi là họ tất cả các nguyên hàm của f(x) trên K . Kí hiệu :

f
x
dx

=
F
x
+
C
(
)
(
)



Chú ý :

Biểu thức f(x)dx là vi phân của nguyên hàm F(x) của f(x ), vì dF(x) = F’(x) dx = f(x) dx

Ví dụ 2 :

a) Với x ∈ (- ∞ ; + ∞ ) ,

2xdx
=
x
+
C


b) Với x ∈ ( 0 ; + ∞ ) ,

1

dx
=
ln
x
+
C
∫x

c) Với x ∈ ( - ∞ ; + ∞ ) ,

2

cos
x
.
dx
=
sin
x
+
C



2.Tính chất của nguyên hàm :
Tính chất 1:

f
'
x

dx
=
f
x
+
C
(
)
(
)

Ví dụ 3:

Suy ra từ định nghĩa nguyên
hàm .

∫ ( cos x ) '.dx = ∫ ( − sin x ) .dx = cos x + C

Tính chất 2:

k
f
x
dx
=
k
f
x
dx
(

)
(
)




Chứng minh:
Gọi F(x) là một nguyên hàm của kf(x) , ta có :

Vì k ≠ 0 nên

f

(

kf(x) = F’(x)

1
1
x) =
F '( x ) = 
F
k
k

(

'



x) ÷


Theo t/c 1 ta có :
'

1

1

k ∫ f ( x ) dx = k ∫  F ( x ) ÷dx = k  F ( x ) + C1 ÷ = F ( x ) + kC1 ( C1 ∈ R )
k

k


= F ( x) + C

=

∫ k . f ( x ) dx


Tính chất 3:

∫ f ( x ) ± g ( x )  dx = ∫ f ( x ) dx ± ∫ g ( x ) dx
Tự chứng minh t/c này.



Ví dụ 4:
Tìm ngun hàm của hàm số:

2
f ( x ) = 3sin x + , x ∈ ( 0; +∞ )
x
Giải:

Với x ∈ ( 0 ; + ∞) , ta có :

2
1

∫  3sin x + x ÷ dx = 3∫ sin xdx + 2∫ x dx = −3cos x + 2ln x + C


3.Sự tồn tại của nguyên hàm:

Định lý 3:

Mọi hàm số f(x) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K .

Công nhận định lý này .


Ví dụ 5:

f

a) Hàm số


( x)

=x

2
3

Có ngun hàm trên ( 0 ; + ∞ )


b) Hàm số

2
3

3
x .dx = .x
5
1
g ( x) =
sin 2 x

5
3

+C

Có nguyên hàm trên ( kπ ; (k+1)π ) , k∈Z




1
.dx = − cot x + C
2
sin x


4. Bảng nguyên hàm của một số hàm số thường gặp :

∫ 0dx

∫ dx =

= C

x+C

1 α +1
∫ x dx = α + 1 x + C ( α ≠ −1)
α



1
dx = ln x + C
x

∫e


x

dx = e + C
x

x
a
x
a
∫ dx = ln a + C ( 0 < a ≠ 1)

∫ cos x.dx = sin x + C

∫ sin x.dx = − cos x + C
1
∫ cos 2 x .dx = tan x + C

1
∫ sin 2 x .dx = − cot x + C


Tính:

Ví dụ 6:

 2
1 
a) ∫  2 x +
÷dx , x ∈ ( 0; +∞ )
3

2
x 

2

1
3

2 3
= 2 ∫ x dx + ∫ x dx =
x + 3x + C
3


2

b)

3

∫ ( 3cos x − 3 ) dx , x ∈ ( −∞; +∞ )
x −1

1 x
= 3∫ cos xdx − ∫ 3 dx
3

1 3x
= 3sin x −
+C

3 ln 3

3x −1
= 3sin x −
+C
ln 3
Chú ý: Từ đây yêu cầu tìm nguyên hàm của hàm số được hiểu là tìm ngun hàm
trên từng khoảng xác định của nó.


II/ PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM:
1.Phương pháp đổi biến số :

a) Cho :

∫ ( x − 1)

Đặt u = x – 1 . Hãy viết (x – 1 )

b) Cho :



10

10

dx

dx , theo u và du


ln x
dx
x

t
Đặt x = e . Hãy viết biểu thức trong dấu ∫ , theo t và dt


Định lý 1:

Nếu

∫ f ( u ) du = F ( u ) + C

và u = u(x) là hàm số

có đạo hàm liên tục thì :

f
u
x
.
u
'
x
.
dx
=
F

u
x
+
C
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)

Chứng minh:
Theo cơng thức đạo hàm của hàm hợp , ta có : (F(u(x)))’ = F’(u).u’(x)

vì : F’(u) = f(u) = f(u(x))
⇒ (F(u(x)))’ = f(u(x)).u’(x)


Hệ quả:

Với u = ax + b ( a ≠ 0) , ta có

1
∫ f ( ax + b ) dx = a F ( ax + b ) + C
Ví dụ 7:


Giải:

Tính:



∫ sin ( 3 x − 1) .dx

∫ sin udu = − cos u + C

nên theo hệ quả ta có :

1
∫ sin ( 3x − 1) dx = − 3 cos ( 3x − 1) + C
Chú ý: Nếu tính nguyên hàm theo biến số mới
u ( u = u(x)) , thì sau khi tính ngun hàm ta phải trở lại biến x ban đầu bằng cách thay u bởi u(x) .


Ví dụ 8:
Giải:

Tính :

∫(

x
x + 1)

5


.dx

Đặt u = x + 1 , thì u’ = 1 và

u −1
∫ ( x + 1) 5 dx = ∫ u 5 du
1 
 1
= ∫  4 − 5 ÷du = ∫ u −4 du − ∫ u −5 du
u 
u
x

Khi đó :

u −1
dx = 5 du
5
u
( x + 1)
x

1 1
1 1
= − . 3 + . 4 +C
3 u
4 u
Thay u = x + 1 vào kết quả , có :

x


∫ ( x + 1)

1
1 1
dx =
.
.
− ÷+ C
3 
( x + 1)  4 x + 1 3 
1

5


2.Phương pháp tính ngun hàm từng phần:
Ta có: (x.cos x)’ = cos x – x.sin x
Hay: - x.sin x = (x.cos x)’ – cos x . Hãy tính :

∫ ( x.cos x ) '.dx

&

∫ cos x.dx

Từ đó tính :

∫ x.sin x.dx


Định lý 2:

Nếu hai hàm số u = u(x) và v = v(x) có đạo hàm liên tục trên K thì :

u
x
.
v
'
x
.
dx
=
u
x
.
v
x
+
u
'
x
.
v
x
.
dx
(
)
(

)
(
)
(
)
(
)
(
)




Chứng minh :
Theo cơng thức đạo hàm của tích , ta có :
(u.v)’ = u’.v + v’.u
Hay : u.v’ = (u.v)’ – u’.v nên có :

∫ u ( x ) .v ' ( x ) .dx = ∫ ( u ( x ) .v ( x ) ) '.dx − ∫ u ' ( x ) .v ( x ) .dx
∫ u ( x ) .v ' ( x ) .dx = u ( x ) .v ( x ) − ∫ u ' ( x ) .v ( x ) .dx
Vậy:

Chú ý : Cơng thức trên cịn được viết dưới dạng :

u
.
dv
=
u
.

v

v
.
du




Ví dụ 9 :

Tính:

Giải:

a) ∫ xe dx b) ∫ x.cos x.dx c)
x

ln
x
.
dx


x
x
a) Đặt u = x và dv = e .dx , thì du = dx và v = e nên có :

∫ x.e dx = x.e − ∫ e .dx
x


x

x

= x.e − e + C
x

x

b) Đặt u = x và dv = cos x .dx , thì du = dx và v = sin x nên có :

∫ x.cos xdx = x.sin x − ∫ sin x.dx
c) Đặt u = ln x và dv = dx , thì

= x.sin x + cos x + C
1
du =
dx
x

và v = x . Do đó:

= x. ln x − x + C
ln
x
.
dx
=
x

.ln
x

dx




Bài củng cố : Cho P(x) là đa thức của x . Từ ví dụ 9 hãy lập bảng theo mẫu sau và điền u và
dv thích hợp vào ơ trống theo phương pháp tích phân từng phần .

x
P
x
.
e
∫ ( ) .dx

u

P ( x)

∫ P ( x ) .cos x.dx
P(x)
?????

cosx.dx

dv


x

e .dx

∫ P ( x ) .ln x.dx

?????

P(x)
?????

lnx.dx
?????


Bài tập về nhà:


×