slide bài giảng bai1 nguyen ham

Giải Tích :

12


CHƯƠNG III

Ngun hàm - Tích phân - Ứng dụng

§1.

Ngun hàm

§2.
Tích phân

§3.

Ứng dụng


BÀI GIẢNG :

§1.

I / NGUN HÀM VÀ TÍNH CHẤT:

Ngun Hàm

II/ PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUN HÀM:

1.Ngun hàm:

2.Tính chất của ngun hàm :

3.Sự tồn tại nguyên hàm:
4.Bảng nguyên hàm của
một số hàm số thường gặp:

1.Phương pháp đổi biến số:

2.

Phương pháp tính nguyên

hàm từng phần:


I / NGUN HÀM VÀ TÍNH CHẤT:
1.Ngun hàm:
Bài tốn nêu ra : Tìm hàm số F(x) sao cho F’(x) = f(x) nếu :

a ) f ( x ) = 3x

2

x ∈ ( −∞; +∞ )

1
 π π
b) f ( x ) = 2

x∈− ; ÷
cos x
 2 2

Kí hiệu K là khoảng hoặc đoạn , hoặc nửa khoảng của R .

Định nghĩa:
Cho hàm số f(x) xác định trên K .
Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu F’(x) = f(x) với
mọi x ∈ K.


Ví dụ 1:

a) Hàm số

F(x) = x

3

là một nguyên hàm của hàm số y = 3 x

2

3
2
trên (-∞ ; +∞) , vì F’(x) = (x )’ = 3 x với mọi

x ∈ (-∞ ; +∞)

b) Hàm số F(x) = tan x là một nguyên hàm của hàm số

1
 π π
f ( x) = 2 x ∈ − ; ÷
cos x
 2 2

Vì

1
F ' ( x ) = ( tan x ) ' = 2
cos x

Nêu thêm một số ví dụ khác:
2
c) Hàm số F(x) = 3x + 2 là một nguyên hàm của hàm số : f(x) = 6 x trên R

d) Hàm số F(x) = ln x là một nguyên hàm của hàm số :

f

(

1
x) =
x

, x ∈ ( 0; +∞ )

 π π
x ∈ − ; ÷
 2 2


Định lý 1:
Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì với mỗi hằng số C , hàm số
G(x) = F(x) + C cũng là một nguyên hàm của f(x) trên K .

Hãy tự chứng minh định lý này.
Định lý 2:

Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì mọi nguyên hàm của f(x) trên
K đều có dạng
F(x) + C , với C là một hằng số .


Chứng minh:
Giả sử G(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K , tức là G’(x) = f(x) mọi x ∈ K . Khi đó :
(G(x) – F(x))’ = G’(x) – F’(x) = f(x) – f(x) = 0 ,
x ∈ K.
Vậy: G(x) – F(x) là một hàm số không đổi trên K .
Ta có : G(x) – F(x) = C
Hay: G(x) = F(x) + C với mọi x ∈ K .

F(x) + C , C ∈ R được gọi là họ tất cả các nguyên hàm của f(x) trên K . Kí hiệu :

f
x
dx

=
F
x
+
C
(
)
(
)
∫


Chú ý :

Biểu thức f(x)dx là vi phân của nguyên hàm F(x) của f(x ), vì dF(x) = F’(x) dx = f(x) dx

Ví dụ 2 :

a) Với x ∈ (- ∞ ; + ∞ ) ,

2xdx
=
x
+
C
∫

b) Với x ∈ ( 0 ; + ∞ ) ,

1

dx
=
ln
x
+
C
∫x

c) Với x ∈ ( - ∞ ; + ∞ ) ,

2

cos
x
.
dx
=
sin
x
+
C
∫


2.Tính chất của nguyên hàm :
Tính chất 1:

f
'
x

dx
=
f
x
+
C
(
)
(
)
∫
Ví dụ 3:

Suy ra từ định nghĩa nguyên
hàm .

∫ ( cos x ) '.dx = ∫ ( − sin x ) .dx = cos x + C

Tính chất 2:

k
f
x
dx
=
k
f
x
dx
(

)
(
)
∫
∫


Chứng minh:
Gọi F(x) là một nguyên hàm của kf(x) , ta có :

Vì k ≠ 0 nên

f

(

kf(x) = F’(x)

1
1
x) =
F '( x ) = 
F
k
k

(

'


x) ÷


Theo t/c 1 ta có :
'

1

1

k ∫ f ( x ) dx = k ∫  F ( x ) ÷dx = k  F ( x ) + C1 ÷ = F ( x ) + kC1 ( C1 ∈ R )
k

k


= F ( x) + C

=

∫ k . f ( x ) dx


Tính chất 3:

∫ f ( x ) ± g ( x )  dx = ∫ f ( x ) dx ± ∫ g ( x ) dx
Tự chứng minh t/c này.

Ví dụ 4:
Tìm ngun hàm của hàm số:

2
f ( x ) = 3sin x + , x ∈ ( 0; +∞ )
x
Giải:

Với x ∈ ( 0 ; + ∞) , ta có :

2
1

∫  3sin x + x ÷ dx = 3∫ sin xdx + 2∫ x dx = −3cos x + 2ln x + C


3.Sự tồn tại của nguyên hàm:

Định lý 3:

Mọi hàm số f(x) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K .

Công nhận định lý này .


Ví dụ 5:

f

a) Hàm số

( x)

=x

2
3

Có ngun hàm trên ( 0 ; + ∞ )

∫
b) Hàm số

2
3

3
x .dx = .x
5
1
g ( x) =
sin 2 x

5
3

+C

Có nguyên hàm trên ( kπ ; (k+1)π ) , k∈Z

∫

1
.dx = − cot x + C
2
sin x


4. Bảng nguyên hàm của một số hàm số thường gặp :

∫ 0dx

∫ dx =

= C

x+C

1 α +1
∫ x dx = α + 1 x + C ( α ≠ −1)
α

∫

1
dx = ln x + C
x

∫e

x

dx = e + C
x

x
a
x
a
∫ dx = ln a + C ( 0 < a ≠ 1)

∫ cos x.dx = sin x + C

∫ sin x.dx = − cos x + C
1
∫ cos 2 x .dx = tan x + C

1
∫ sin 2 x .dx = − cot x + C


Tính:

Ví dụ 6:

 2
1 
a) ∫  2 x +
÷dx , x ∈ ( 0; +∞ )
3

2
x 

2

1
3

2 3
= 2 ∫ x dx + ∫ x dx =
x + 3x + C
3
−

2

b)

3

∫ ( 3cos x − 3 ) dx , x ∈ ( −∞; +∞ )
x −1

1 x
= 3∫ cos xdx − ∫ 3 dx
3

1 3x
= 3sin x −
+C

3 ln 3

3x −1
= 3sin x −
+C
ln 3
Chú ý: Từ đây yêu cầu tìm nguyên hàm của hàm số được hiểu là tìm ngun hàm
trên từng khoảng xác định của nó.


II/ PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM:
1.Phương pháp đổi biến số :

a) Cho :

∫ ( x − 1)

Đặt u = x – 1 . Hãy viết (x – 1 )

b) Cho :

∫

10

10

dx

dx , theo u và du

ln x
dx
x

t
Đặt x = e . Hãy viết biểu thức trong dấu ∫ , theo t và dt


Định lý 1:

Nếu

∫ f ( u ) du = F ( u ) + C

và u = u(x) là hàm số

có đạo hàm liên tục thì :

f
u
x
.
u
'
x
.
dx
=
F

u
x
+
C
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
∫
Chứng minh:
Theo cơng thức đạo hàm của hàm hợp , ta có : (F(u(x)))’ = F’(u).u’(x)

vì : F’(u) = f(u) = f(u(x))
⇒ (F(u(x)))’ = f(u(x)).u’(x)


Hệ quả:

Với u = ax + b ( a ≠ 0) , ta có

1
∫ f ( ax + b ) dx = a F ( ax + b ) + C
Ví dụ 7:

Giải:

Tính:

Vì

∫ sin ( 3 x − 1) .dx

∫ sin udu = − cos u + C

nên theo hệ quả ta có :

1
∫ sin ( 3x − 1) dx = − 3 cos ( 3x − 1) + C
Chú ý: Nếu tính nguyên hàm theo biến số mới
u ( u = u(x)) , thì sau khi tính ngun hàm ta phải trở lại biến x ban đầu bằng cách thay u bởi u(x) .


Ví dụ 8:
Giải:

Tính :

∫(

x
x + 1)

5

.dx

Đặt u = x + 1 , thì u’ = 1 và

u −1
∫ ( x + 1) 5 dx = ∫ u 5 du
1 
 1
= ∫  4 − 5 ÷du = ∫ u −4 du − ∫ u −5 du
u 
u
x

Khi đó :

u −1
dx = 5 du
5
u
( x + 1)
x

1 1
1 1
= − . 3 + . 4 +C
3 u
4 u
Thay u = x + 1 vào kết quả , có :

x

∫ ( x + 1)

1
1 1
dx =
.
.
− ÷+ C
3 
( x + 1)  4 x + 1 3 
1

5


2.Phương pháp tính ngun hàm từng phần:
Ta có: (x.cos x)’ = cos x – x.sin x
Hay: - x.sin x = (x.cos x)’ – cos x . Hãy tính :

∫ ( x.cos x ) '.dx

&

∫ cos x.dx

Từ đó tính :

∫ x.sin x.dx

Định lý 2:

Nếu hai hàm số u = u(x) và v = v(x) có đạo hàm liên tục trên K thì :

u
x
.
v
'
x
.
dx
=
u
x
.
v
x
+
u
'
x
.
v
x
.
dx
(
)
(

)
(
)
(
)
(
)
(
)
∫
∫


Chứng minh :
Theo cơng thức đạo hàm của tích , ta có :
(u.v)’ = u’.v + v’.u
Hay : u.v’ = (u.v)’ – u’.v nên có :

∫ u ( x ) .v ' ( x ) .dx = ∫ ( u ( x ) .v ( x ) ) '.dx − ∫ u ' ( x ) .v ( x ) .dx
∫ u ( x ) .v ' ( x ) .dx = u ( x ) .v ( x ) − ∫ u ' ( x ) .v ( x ) .dx
Vậy:

Chú ý : Cơng thức trên cịn được viết dưới dạng :

u
.
dv
=
u
.

v
−
v
.
du
∫
∫


Ví dụ 9 :

Tính:

Giải:

a) ∫ xe dx b) ∫ x.cos x.dx c)
x

ln
x
.
dx
∫

x
x
a) Đặt u = x và dv = e .dx , thì du = dx và v = e nên có :

∫ x.e dx = x.e − ∫ e .dx
x

x

x

= x.e − e + C
x

x

b) Đặt u = x và dv = cos x .dx , thì du = dx và v = sin x nên có :

∫ x.cos xdx = x.sin x − ∫ sin x.dx
c) Đặt u = ln x và dv = dx , thì

= x.sin x + cos x + C
1
du =
dx
x

và v = x . Do đó:

= x. ln x − x + C
ln
x
.
dx
=
x

.ln
x
−
dx
∫
∫


Bài củng cố : Cho P(x) là đa thức của x . Từ ví dụ 9 hãy lập bảng theo mẫu sau và điền u và
dv thích hợp vào ơ trống theo phương pháp tích phân từng phần .

x
P
x
.
e
∫ ( ) .dx

u

P ( x)

∫ P ( x ) .cos x.dx
P(x)
?????

cosx.dx

dv

x

e .dx

∫ P ( x ) .ln x.dx

?????

P(x)
?????

lnx.dx
?????


Bài tập về nhà: