Luận văn Thạc sĩ Toán học: Nghiệm yếu của phương trình kiểu schrodinger kirchhoff chứa toán tử p-laplace phân thứ trên Rn

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

NITHSAVAD VONGSY

NGHIỆM YẾU CỦA PHƯƠNG TRÌNH
KIỂU SCHRODINGER KIRCHHOFF CHỨA TỐN TỬ
P-LAPLACE PHÂN THỨ TRÊN ℝN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2020


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

NITHSAVAD VONGSY

NGHIỆM YẾU CỦA PHƯƠNG TRÌNH
KIỂU SCHRODINGER KIRCHHOFF CHỨA TỐN TỬ
P-LAPLACE PHÂN THỨ TRÊN ℝN
Ngành: Tốn Giải tích
Mã số: 8460102

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Cán bộ hướng dẫn khoa học: TS. Nguyễn Văn Thin

THÁI NGUYÊN - 2020

LỜI CAM ĐOAN
Tơi xin cam đoan rằng nội dung trình bày trong luận văn này là trung thực
và không trùng lặp với đề tài khác. Tôi cũng xin cam đoan rằng mọi sự giúp đỡ
cho việc thực hiện luận văn này đã được cảm ơn và các thơng tin trích dẫn trong
luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc

Thái Nguyên, tháng 8 năm 2020
Người viết luận văn

Nithsavad
VONGSY
Vasia
VAYINGTUVUE

Xác nhận
của Trưởng khoa Toán

Xác nhận
của người hướng dẫn khoa học

i


Lời cảm ơn
Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Văn
Thìn. Thầy đã tận tình hướng dẫn, giải đáp những thắc mắc, giúp đỡ tơi
hồn thành luận văn này.
Một lần nữa tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc nhất đến thầy! Đồng thời, tôi
xin gửi lời cảm ơn đến Ban Chủ Nhiệm khoa Toán và các thầy cơ trong tổ

Bộ mơn Giải tích đã tạo điều kiện cho tôi được làm luận văn, đã quan tâm
và đơn đốc tơi trong q trình làm luận văn.
Thái Nguyên, tháng 86 năm 2020

Nithsavad VONGSY

ii


Mc lc
M u

1

1 Nghim yu ca phng trỡnh kiu Schră
odinger-Kirchhoff
cha toán tử p-Laplace phân thứ với đại lượng nhiễu

4

1.1

Giới thiệu bài toán và một số kết quả bổ trợ . . . . . . . .

4

1.2

Sự tồn tại nghiệm yu cho phng trỡnh kiu SchrăodingerKirchhoff khụng thun nht cha toán tử p-Laplace phân
thứ trong RN

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

2 Nghim yu ca phng trỡnh kiu Schră
odinger-Kirchhoff
cha toỏn t p-Laplace phân thứ, số mũ tới hạn và đại lượng
Hardy
2.1

29

Phương trình khụng suy bin kiu Schrăodinger-Kirchhoff dng
cha toỏn t p-Laplace phõn thứ và đại lượng Hardy . . . .

2.2

29

Phương trình suy bin kiu Schrăodinger-Kirchhoff dng cha
toỏn t p-Laplace phõn th và số mũ tới hạn . . . . . . . .

41

Kết luận

49

Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

50

iii


Mở đầu
1. Lý do chọn luận văn
Trong thời gian gần đây, các nhà toán học dành sự quan tâm nghiên cứu
các tốn tử khơng địa phương loại elliptic và ứng dụng trong tốn tối ưu,
tài chính, cơ học lượng tử, khoa học vật liệu. Toán tử Laplace thứ là một
dạng mở rộng của tốn tử Laplace, được định nghĩa thơng qua tích phân
kỳ dị và cũng cung cấp một mơ hình đơn giản để mơ tả các q trình Lévy
trong lý thuyết xác suất. Một mở rộng của toán tử Laplace thứ là toán từ

p-Laplave phân thứ.Với s ∈ (0, 1) và hàm u ∈ Ln (RN ), n > 2s, khi đó tốn
tử Laplace thứ (−∆)s u được định nghĩa bởi
(−∆)s u(x) = C(n, s) lim

ε→0
RN \B(x,ε)

u(x) − u(y)
dy),
|x − y|n+2s

1
, ς = (ς1 , ς ), ς ∈ Rn+1 . Ngồi định
1 − cos ς1
dς

|ς|n+2s

trong đó C(n, s) =
RN

nghĩa trên, tốn tử Laplace thứ (−∆)s cịn được định nghĩa thông qua phép
biến đổi Fourier [26], s- mở rộng điều hòa được giới thiệu bởi CaffarelliSilvestre [12]. Các bài tốn dạng Kirchhoff mơ tả một số hiện tượng vật lý,
cụ thể Kirchhoff nghiên cứu bài toán


L
∂ 2u
p0
E
∂u 2  ∂ 2 u
ρ 2 − +
dx
= 0,
∂t
h
2L
∂x
∂x2

(1.1)

0

một mở rộng phương truyền sóng D’Alambert, mơ tả sự thay đổi độ dài của
dây trong q trình dao động, trong đó ρ, p0 , h, E, L là các hằng số.

L

p0 E
Phương trình trên chứa đại lượng không địa phương +
h 2L

∂u
∂x
0

1

2

dx,


∂u 2
∂u 2
phụ thuộc vào trung bình
dx của động năng
trên [0, L]. Hơn
∂x
0 ∂x
nữa các bài toán dạng (1.1) được sử dụng trong nhiều mơ hình và hệ sinh
học, trong đó u được mơ tả như một q trình. Có nhiều bài toán kiểu
Kirchhoff đã được nghiên cứu cho các lớp tốn tử khác nhau. Có thể kể đến
như



L

| u|2 dx ∆u = h(x, u).

− a + b
Ω

Thời gian gần đây, nhiều tác giả nghiên cứu [4, 3, 37] một m rng ca bi
toỏn trờn cho phng trỡnh kiu Schrăodinger trong RN :

(−∆)s u + V (x)u = f (x, u) trên RN .
Một mở rộng của (−∆)s là toán tử p-Laplace phân thứ (−∆)sp được định
nghĩa (sai khác một hằng số) bởi

(−∆)sp u(x)

= 2 lim

ε→0
RN \B(x,ε)

|u(x) − u(y)|p−2 (u(x) − u(y))
dy.
|x − y|n+ps

Hiện nay bài toán về sự tồn tại nghiệm của phương trình chứa các tốn
tử khơng địa phương loại elliptic (trong đó có tốn tử Laplace phân thứ
và p-Laplace phân thứ) thu hút được sự quan tâm của nhiều nhà toán học
trên thế giới: Pucci (Đại học Degli Studi di Perugia, Italy), Giovanni (Đại
học Mediterranea’ di Reggio Calabria, Italy), Repovˇs (Đại học Ljubljana,

Slovenia), Servadei (Đại học Degli Studi di Urbino ‘Carlo Bo’, Italy), Radulescu (Viện Toán “Simion Stoilow”- Viện hàn lâm khoa học Romanian),
Zhang (Đại học Heilongjiang, Trung Quốc), Ambrosio (Đại học DegliStudidiUrbino‘Carlo Bo’, Italy), Wei (Đại học British Columbia, Canada), Fazly
(Đại học Alberta, Canada), Cabre (Đại học Politècnica de Catalunya, Tây
Ban Nha), Tan (Đại học Técnica Federico Santa María, Chile), Barrios (Đại
học Autónoma de Madrid, Tây Ban Nha),. . . .
Tiếp tục hướng nghiên cứu này, tụi s nghiờn cu bi toỏn kiu SchrăodingerKirchhoff cho phng trình p-Laplace phân thứ trong RN có dạng:


p
|u(x) − u(y)|
 (−∆)sp u = λw(x)|u|q−2 u + K(x)|u|p∗s −2 u.
M
dx
dy
|x − y|n+ps
R2n
2


Khi M không suy biến, tôi nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của bài toán chứa
số hạng kỳ dị Hardy sau đây trong RN :


p
|u(x) − u(y)|
|u|p−2 u
s


M

dx dy (−∆)p u − γ
|x − y|n+ps
|x|ps
R2n
∗

= λw(x)|u|q−2 u + K(x)|u|ps −2 u.
2. Phương pháp nghiên cứu
Đề tài sử dụng nghiên cứu cơ bản, sưu tầm và đọc tài liệu từ các tạp chí
tốn học trong nước và quốc tế liên quan đến tốn tử Laplace thứ. Qua đó,
tìm hiểu và nghiên cứu các vấn đề trong luận văn.
3. Mục đích của luận văn
Mục đích của luận văn là nghiên cứu nghiệm yu ca mt s lp phng
trỡnh Schrăodinger-Kirchhoff cha toỏn t p-Laplace phân thứ.
4. Nội dung của luận văn
Luận văn gồm 2 chương:
- Chương 1. Nghiệm yếu của phương trình kiểu Schrăodinger-Kirchhoff
cha toỏn t p-Laplace phõn th vi i lng nhiu.
- Chng 2. Nghim yu ca phng trỡnh kiu Schrăodinger-Kirchhoff
cha toỏn tử p-Laplace phân thứ, số mũ tới hạn và đại lượng Hardy.

3


Chng 1

Nghim yu ca phng trỡnh kiu
Schră
odinger-Kirchhoff cha toỏn t
p-Laplace phân thứ với đại lượng

nhiễu
1.1

Giới thiệu bài toán và một số kết quả bổ trợ

Trong chương này chúng ta nghiên cu phng trỡnh p-Laplace phõn th
kiu Schrăodinger-Kirchhoff nh sau

M [u]ps,p (−∆)sp u + V (x) |u|p−2 u = f (x, u) + g(x) trong RN ,
[u]ps,p

|u(x) − u(y)|p−2

:=
R2N

|x − y|N +ps

(1.1)

dxdy,

(1.2)

trong đó, 0 < s < 1 < p < ∞ với ps < N, (−∆)sp là toán tử p-Laplace phân
thứ có thể được định nghĩa dọc theo hàm ϕ ∈ C0∞ (RN ) là

(−∆)sp ϕ(x)

= 2 lim+

ε→0

|ϕ(x) − ϕ(y)|p−2 (ϕ(x) − ϕ(y))
|x − y|N +ps

RN \Bε (x)

dy

với x ∈ RN , trong đó Bε (x) := {y ∈ RN : |x − y| < ε, xem [20, 23] và các
tài liệu tham khảo trong đó để biết thêm chi tiết về toán tử p-Laplace phân
thứ. Hàm g = g(x) có thể được xem như một số hạng nhiễu loạn.
Khi p = 2 và M ≡ 1 thì phương trình (1.1) trở thành phương trình
4


Laplace phân thứ

(−∆)s u + V (x)u = f (x, u) + g(x) trong RN ,
có thể coi là dạng phõn th ca phng trỡnh Schrăodinger dng c in sau
õy

u + V (x)u = f (x, u) + g(x) trong RN .
Trong những năm gần đây, các phương trình Kirchhoff thuộc kiểu

|∇u|2 dx ∆u = h(x, u) trong Ω,

− a+b

(1.3)

Ω

trong đó Ω ⊂ RN là một miền trơn nhẵn, a > 0, b

0 và u thỏa mãn một
số điều kiện biên nhận được sự quan tâm lớn. Bài toán (1.3) liên quan đến
sự tương tự dừng của phương trình Kirchhoff
|∇u|2 dx ∆u = h(x, u),

utt − a + b

(1.4)

Ω

được đề xuất bởi Kirchhoff trong năm 1883 như là một mở rộng của phương
trình truyền sóng D’Alembert nổi tiếng

∂ 2u
ρ
−
∂t

p0
E
+
λ
2L

L
0

∂u 2
dx
∂x

∂ 2u
= h(x, u).
∂x2

Mơ hình Kirchhoff có tính đến những thay đổi độ dài của dây được tạo
ra bởi các dao động ngang. Ở đây, L là độ dài của dây, h là diện tích của
tiết diện ngang, E là mơđun Young của vật liệu, ρ là khối lượng riêng và

p0 là pha ban đầu. Trong [2], đã chỉ ra bài tốn (1.4) trong một vài mơ
hình vật lý, trong đó u mơ tả một q trình phụ thuộc vào mức trung bình
của chính nó. Bài tốn khơng địa phương cũng tìm thấy sự ứng dụng của
nó trong các hệ thống sinh học. Một ứng dụng khác của bài toán (1.3) có
thể được sử dụng để mơ tả sự tăng trưởng và di chuyển của một loài cụ
thể. Chuyển động được mơ hình hóa bằng số hạng tích phân, được giả định
là phụ thuộc năng lượng của toàn bộ hệ thống với u là mật độ tập hợp
của nó. Ngồi ra, sự chuyển động của một lồi cụ thể có thể phải chịu ảnh
hưởng của mật độ dân số trong miền, dẫn đến các phương trình của kiểu
ut − ψ( Ω udx)∆u = h(x, u).
5


Mặt khác, gần đây, một sự chú ý lớn đã được tập trung vào nghiên cứu
các toán tử phân thứ và tốn tử khơng địa phương của kiểu elliptic. Kiểu

tốn tử này phát sinh một cách khá tự nhiên trong nhiều ứng dụng khác
nhau, chẳng hạn như cơ học liên tục, hiện tượng chuyển pha, động lực tập
hợp, mặt cực tiểu và lý thuyết trò chơi, được xem là kết quả điển hình của
các quá trình Lévy [3].
Trong bối cảnh c hc lng t phõn th, phng trỡnh Schrăodinger phõn
th phi tuyến đã được Laskin [28] đề xuất như kết quả của việc mở rộng
tích phân đường Feynman, từ quá trình Brownian sang Lévy như các đường
cơ học lượng tử. Trong những năm qua, đã có rất nhiều tác giả quan tõm
nghiờn cu phng trỡnh Schrăodinger phõn th

()s u + V (x)u = f (x, u) trong RN ,
trong đó phi tuyến f thỏa mãn một số điều kiện tổng quát [16, 21]. Trong
[18], Fiscella và Valdinoci đã đề xuất một mơ hình biến thiên Kirchhoff trong
các miền bị chặn của RN , trong đó có tính đến dạng khơng địa phương của
lực căng phát sinh từ các phép đo không địa phương của độ dài phân thứ của
dây. Trong [29] Nyamoradi đã nghiên cứu một số lớp phương trình không
địa phương Kirchhoff trong một miền bị chặn Ω và đạt được ba nghiệm
bằng cách sử dụng ba định lý điểm tới hạn. Puuci và Saldi [34] đã thiết lập
sự tồn tại các nghiệm không tầm thường cho một vấn đề giá trị riêng kiểu
Kirchhoff trong RN bao gồm đại lượng phi tuyến tới hạn và Laplace phân
thứ.
Đầu tiên chúng ta đưa ra các giả thiết về hàm Kirchhoff M.

(M1 ) M ∈ C(R+
M (t) a > 0, trong đó a > 0 là hằng
0 ) thỏa mãn inf t∈R+
0
số.
t
(M2 ) tồn tại θ ∈ [1, N/(N − sp)) sao cho θM (t) = θ 0 M (τ )dτ M (t)t

với mọi t ∈ R+
0.
Một ví dụ điển hình của M được đưa ra bởi M (t) = a + btm với m > 0,
a > 0, b 0 với mọi t 0. Khi M thuộc kiểu này, bài toán (1.1) được cho
là không suy biến nếu a > 0 và b
0, trong khi nó được gọi là suy biến
nếu a = 0 và b > 0. Lưu ý rằng trong [18, 29, 34], trong quá trình xét sự
tồn tại của các nghiệm cho các vấn đề phân thứ kiểu Kirchhoff, những tác
6


giả giả định rằng M là một hàm tăng trên R+
0 . Tuy nhiên, ở đây, chúng ta
giả sử M thỏa mãn (M2 ). Giả thiết dưới (M2 ), chúng ta cũng có thể phân
phối các trường hợp trong đó M không đơn điệu như

M (t) = (1 + t)k + (1 + t)−1 cho t ∈ R+
0 , với 0 < k < 1. Ở đây, 0 < k + 1
và (M2 ) được thỏa mãn, với điều kiện k ∈ (0, 1) là nhỏ bé θ = k + 1 <
N/(N − sp).
Sau đó, trên hàm thế vị V, chúng ta giả thiết
(V1 ) V ∈ C(RN ) thỏa mãn inf x∈RN V (x) V0 > 0, trong đó V0 > 0 là một
hằng số.
(V2 ) tồn tại h > 0 sao cho lim|y|→∞ meas ({x ∈ Bh (y) : V(x) ≤ c}) = 0 với
mọi c > 0,
Như đã lưu ý BR (x) ký hiệu là hình cầu mở của RN tâm x và bán kính
R > 0, ta viết BR thay cho BR (0).
Điều kiện (V2 ), yếu hơn so với tính cưỡng chế như giả thiết: V (x) → ∞ là
|x| → ∞, ban đầu dược Bartsch và Wang giới thiệu trong [9] để khắc phục
sự thiếu của tính compact của phép nhúng.

Trong [9], các điều kiện (V1 ) và (V2 ) đã được sử dụng để nghiên cứu sự tồn
tại và tính nhiều nghiệm ca cỏc phng trỡnh Schrăodinger phi tuyn tớnh.
Ta gi s f thỏa mãn một số điều kiện sau:
(f1 ) f : RN × R → R là hàm Carathéodory và tồn tại q, với θp < q < p∗s ,
a1 > 0 sao cho |f (x, t)| ≤ a1 (1 + |t|q−1 ) với mỗi x ∈ RN và với mọi t ∈ R,
t
(f2 ) Tồn tại µ > θp sao cho µF (x, t) = µ 0 f (x, τ )dτ ≤ f (x, t)t với mọi
x ∈ RN và với mọi t ∈ R,
(f3 ) (x, t) = o(|t|p−1 ) là t → 0, đều cho x ∈ RN ,
(f4 ) inf x∈RN ,|t|=1 F (x, t) > 0.
Trước khi đi vào nghiên cứu kết quả chính, chúng ta nhắc lại một số ký
hiệu được sử dụng trong phần này.
Định nghĩa 1.1.1. Không gian Sobolev phân thứ W s,p (RN ) được xác định
bởi

W s,p (RN ) = u ∈ Lp (RN ) : [u]s,p < ∞ ,

7


trong đó [u]s,p ký hiệu chuẩn Galiarlo được cho trong (1.2), nghĩa là

|u(x) − u(y)|p

[u]s,p =

|x − y|N +ps

R2N

1/p

,

dxdy

và W s,p (RN ) được trang bị chuẩn

u

W s,p (RN )

=

p
Lp (RN )

u

Như đã biết, W s,p RN = (W s,p RN , ·

+ [u]ps,p
W s,p (RN ) )

1/p

.
là không gian Banach

lồi đều.

Định nghĩa 1.1.2. Gọi W là bao đóng của C0∞ (RN ), với chuẩn

u

W

= [u]ps,p + [u]pp,V

1/p

,

u

p
p,V

V (x) |u(x)|p dx.

=

(1.5)

RN

Hiển nhiên W cũng là không gian Banach lồi đều.
Định nghĩa 1.1.3. Phần tử u ∈ W được gọi là một nghiệm (yếu) của bài
toán (1.1) nếu

|u(x) − u(y)|p−2 (u(x) − u(y))(ϕ(x) − ϕ(y))

M ([u]ps,p )

|x − y|N +ps

R2N

dxdy

V (x) |u(x)|p−2 u(x)ϕ(x)dx

+
RN

=

f (x, u)ϕ(x)dx +
RN

g(x)ϕ(x)dx
RN

với mọi ϕ ∈ W.
Trước hết,tôi phát biểu và chứng minh một số tính chất cơ bản của không
gian Sobolev phân thứ sẽ được sử dụng trong luận văn. Cho 0 < s < 1 <

p < ∞ là số thực, với sp < N, p∗s số mũ tới hạn Sobolev thứ xác định bởi
p∗s = N p/(N − sp). Khi đó, phép nhúng W s,p (RN ) → Lν (RN ) là liên tục
với mọi ν ∈ [p, p∗s ] theo Định lý 6.7 trong [14].
Bổ đề 1.1.4. Giả sử (V1 ) được thỏa mãn. Nếu ν ∈ [p, p∗s ] thì phép nhúng

W → W s,p (RN ) → Lν (RN )
là liên tục, ta có min{1, V0 } u

p
W s,p (RN )

≤ u

p
W

với mọi u ∈ W. Đặc biệt,

tồn tại hằng số Cν > 0 sao cho

u

Lν (RN )

≤ Cν u

W
8

với mọi u ∈ W.

(1.6)

Nếu ν ∈ [1, p∗s ) thì phép nhúng W → → Lν (BR ) là compact với mọi R > 0.
Chứng minh. Rõ ràng các phép nhúng W → W s,p (RN ) → Lν (RN ) là liên

≤ u pW đúng với mọi u ∈ W.
Điều này dễ dàng được suy ra từ định nghĩa của · W và (V1 ). Do đó, (1.6)
đúng. Cố định R > 0 và lưu ý rằng
tục và bất đẳng thức min{1, V0 } u

u

p
Lp (BR )

p
W s,p (RN )

|u(x) − u(y)|p

+

|x − y|N +ps

BR ×BR

1/p

dxdy

là một chuẩn trên W s,p (BR ) và phép nhúng W → W s,p (BR ) là liên tục.
Theo [14, Hệ quả 7.2], phép nhúng W s,p (BR ) → → Lν (BR ) là compact. Do

đó, ta có phép nhúng W → → Lν (BR ) là compact theo phần đầu tiền của
bổ đề.
Định lý 1.1.5. Giả sử (V1 ) − (V2 ) được thỏa mãn. Cho ν ∈ [p, p∗s ) và giả
sử {vj }j là dãy con bị chặn trong W. Khi đó tồn tại v ∈ W ∩ Lν (RN ) sao
cho với mọi j ta đều có vj → v mạnh trong Lν (RN ) khi j → ∞.
Chứng minh. Cố định c > 0 và đặt Ac (y) := {x ∈ RN : V (x) ≤ c} ∩

Bh (y), trong đó h > 0 là số độc lập của c được cho bởi (V2 ). Đầu tiên
chúng ta xét trường hợp ν = p. Vì {vj }j là một dãy bị chặn trong W với
mọi j, tồn tại hằng số dương C và v ∈ W sao cho vj
v yếu trong W và
vj W + v W ≤ C. Hơn nữa, theo Bổ đề 1.1.4 ta có vj Lp∗s (RN ) ≤ Cp∗s C.
Theo định lý nhúng trên miền bị chặn, vj → v mạnh trong Lp (BR ) với mỗi
|vj (x) − v(x)|p dx, đầu

R > 0, xem [14, Hệ quả 7.2]. Để uớc lượng
RN \BR
∞

tiên chúng ta chọn {yj }j ⊂ RN sao cho RN =

Bh (yi ) và mỗi x ∈ RN
i=1

được bị phủ nhiều nhất bởi 2

N

hình cầu như vậy. Đặt Ch (yi ) := {x ∈ RN :

V (x) > c} ∩ Bh (yi ), ta có
∞
p

|vj (x) − v(x)|p dx

|vj (x) − v(x)| dx ≤
RN \BR

|yi |≥R−h
∞

Bh (yi )

|vj (x) − v(x)|p dx

=
|yi |≥R−h

9

Ch (yi )


|vj (x) − v(x)|p dx .

+
Ac (yi )

Khi đó

1
c

|vj (x) − v(x)|p dx ≤
Ch (yi )

V (x) |vj (x) − v(x)|p dx,
Bh (yi )

|vj (x) − v(x)|p dx ≤ |vj − v|p
Ah (yi )

≤ vj − v

L

p∗
s
p

1
(Ac (yi ))

p∗
s
∗ −p
p
s
L

(A

c (yi ))
p
(p∗0 −p)/p∗s
(
meas
(A
(y
)))
.
∗
c
i
p
L s (Ac (yi ))

Do đó, từ (p∗s − p)/p∗s = sp/N,

|vj (x) − v(x)|p dx ≤
RN \B R

|yi |≥R−h

1
c

V (x) |vj (x) − v(x)|p dx
Bh (yi )
p

∗
Lps (Bh (yi ))

+ sup (meas(Ac (yi )))sp/N vj − v
|yi |>R−h

≤
|yi |≥R−h

1
c

V (x) |vj (x) − v(x)|p dx
Bh (yi )

+ Cpp∗s sup (meas(Ac (yi )))sp/N vj − v
|yi |>R−h

N

≤

2
c
+

p
W s,p (Bh (yi ))

V (x) |vj (x) − v(x)|p dx

RN \BR−2h
2N Cpp∗s sup (meas(Ac (yi )))sp/N
|yi |>R−h

vj − v

p
W s,p (RN \BR−2h )

2N +p C p
≤
+ 2N +p sup (meas(Ac (yi )))sp/N (Cp∗s C)p .
c
|yi |>R−h
Bây giờ, chúng ta chọn c > 0 đủ lớn để 4 · 2N +p C p < ε · c. Với mỗi c cố
định, tồn tại Rc > 0 sao cho

2N +p

ε
sup (meas(Ac (yi )))sp/N (Cp∗s C)p < ,
4
|yi |>Rc −h

vì

sup (meas(Ac (yi )))sp/N → 0 khi R → ∞.
|yi |>R−h

Với mỗi Rc ,

|vj (x) − v(x)|p dx → 0 khi j → ∞.
BRc
10


Do đó, vj → v mạnh trong Lp (RN ).
Với p < ν < p∗s , tồn tại σ ∈ (0, 1) sao cho

σ 1−σ
1
= +
và vj − v
ν
p
p∗s

ν
N
L (R )

≤ vj − v

σ
Lv (RN )

vj − v

1−σ

∗
Lps (RN )

→0

∗

khi j → ∞, vì {vj }j bị chặn trong Lps (RN ). Suy ra điều phải chứng minh.

Để chứng minh sự tồn tại của các nghiệm đối xứng cầu của phương trình
(1.24), chúng ta cần định lý nhúng sau đây của Lions trong [35].
Định lý 1.1.6. [35] Giả sử N ≥ 2. Khi đó, với mỗi p < α < p∗s , phép nhúng

Wrs,p (RN ) → → Lα (RN ),
là compact, trong đó

Wrs,p (RN ) = {u ∈ W s,p (RN ) : u(x) = u(|x|) với mọi x ∈ RN }.
Đặc biệt, tồn tại hằng số Cν > 0 sao cho với bất kỳ p ≤ ν ≤ p∗s

u

Lν (RN )

≤ Cν u

W s,p (RN )

với mọi u ∈ W s,p (RN ).

(1.7)

Sau đây là Định lý Vượt núi được sử dụng để chứng minh sự tồn tại của
nghiệm yếu của các bài toán trong luận văn này.
Định lý 1.1.7. [36] Cho X là một không gian Banach thực và I ∈ C 1 (X, R)
thỏa mãn điều kiện Palais-Smale. Giả sử I(0) = 0 và
(a) Tồn tại hai số hằng α0 , β0 > 0 sao cho I(u) ≥ α0 với mọi u = β0 .
(b) Tồn tại u1 ∈ X : u1 ≥ β0 sao cho I(u1 ) ≤ 0.
Khi đó I nhận ít nhất một giá trị tới hạn c ≥ α0 . Hơn nữa, c có thể đặc
trưng bởi

c = inf max I(γ(t)),
γ∈Γ t∈[0,1]

trong đó Γ = {γ ∈ C([0, 1], X) : γ(0) = 0, y(1) = u1 }.

11


1.2

S tn ti nghim yu cho phng trỡnh kiu Schră
odingerKirchhoff khơng thuần nhất chứa tốn tử p-Laplace phân
thứ trong RN

Với u ∈ W, đặt

I(u) = J(u) − H(u), trong đó
1
J(u) =
M ([u]ps,p ) + u pp,V , H(u) =

p

F (x, u)dx.
RN

Rõ ràng, hàm năng lượng I : W → R liên kết với bài tốn (1.1) hồn tồn
xác định trên W.
Bổ đề 1.2.1. Giả sử (M1 ) và (V1 ) được thỏa mãn. Khi đó J : W → R
thuộc lớp C 1 (W ) và

J (u), v = M

|u(x) − u(y)|p−2 (u(x) − u(y))(v(x) − v(y))

[u]ps,p

|x − y|N +ps

R2N

dxdy

(1.8)

V (x) |u(x)|p−2 u(x)v(x)dx,

+
R2N

với mọi u, v ∈ W. Hơn nữa, J là nửa liên tục dưới yếu trong W.

Chứng minh. Ta đặt p = p/(p − 1) là số mũ Hăolder liờn hp ca p. D
thy rng J l hm khả vi Gâteaux trong W và (1.8) đúng với mọi u, v ∈ W.
Bây giờ, giả sử {un }n ⊂ W và u ∈ W thỏa mãn un → u mạnh trong W
khi n → ∞. Khơng mất tính tổng quát, chúng ta có thể giả sử un → u hầu
khắp nơi trong RN . Khi đó dãy

|un (x) − un (y)|p−2 (un (x) − un (y))

bị chặn trong Lp (R2N ),

(N +ps)/p

|x − y|

n

và hầu khắp nơi trong R2N

Un (x, y) :=

|un (x) − un (y)|p−2 (un (x) − un (y))

|x − y|(N +ps)/p
|u(x) − u(y)|p−2 (u(x) − u(y)
−→ Un (x, y) :=
.
|x − y|(N +ps)/p
12

Do đó, theo bổ đề Brezis-Lieb (xem [8]) ta có

|Un (x, y) − U(x, y)|p dxdy

lim

n→∞

R2N

|un (x) − un (y)|p

= lim

n→∞

|x − y|N +ps

R2N

−

|u(x) − u(y)|p
|x − y|N +ps

(1.9)

dx dy.

Vì un → u mạnh trong W nên

|un (x) − un (y)|p

lim

n→∞

|x − y|N +ps

R2N

−

|u(x) − u(y)|p
|x − y|N +ps

=0

Hơn nữa, do tính liên tục của M nên

lim M [un ]ps,p = M [u]ps,p .

(1.10)

n→∞

Từ (1.9) suy ra

|Un (x, y) − Un (x, y)|p dxdy = 0.

lim

n→∞

(1.11)

R2N

Tương tự

V (x) |un (x)|p−2 un (x) − |u(x)|p−2 u(x)

lim

n→∞

p

dx = 0.

(1.12)

RN

Kết hợp (1.10)-(1.12) với bt ng thc Hăolder, ta cú

J (un ) J (u)

W

=

sup
ϕ∈W, ϕ

| J (un ) − J (u), ϕ | → 0

W =1

khi n → ∞. Do đó, J ∈ C 1 (W, R). Cuối cùng, chú ý rằng ánh xạ v → [v]ps,p
là nửa liên tục dưới đối với tôpô yếu của W s,p (RN ) và M không giảm, liên
p
tục trên R+
0 , vì thế v → M [u]s,p nửa liên tục dưới đối với tôpô yếu của

W s,p (RN ). Thật vậy, chúng ta xét hàm ψ : W s,p (RN ) → R như sau:
|v(x) − v(y)|p |x − y|−N −sp dxdy.

ψ(v) =
R2N

Dễ thấy ψ ∈ C 1 (W s,p (RN )) và ψ là một hàm lồi trong W s,p (RN ). Theo
Hệ quả 3.8 trong [10], ta có ψ(v) ≤ lim inf n→∞ ψ(vn ). Do đó, dễ dàng thấy
rằng J là nửa liên tục dưới yếu trong W (xem [39, Bổ đề 3.3]).

13


Bổ đề 1.2.2. Giả sử (V1 ) − (V2 ), (f1 ) và (f3 ) được thỏa mãn. Khi đó, hàm

H thuộc lớp C 1 (W ) và với mỗi u ∈ W cố định ta có
f (x, u(x))v(x)dx với mọi v ∈ W,

H (u), v =
RN

và H (u) ∈ W . Hơn nữa, nếu vn

v yếu trong W thì H (u), vn hội tụ
đến H (u), v khi n → ∞ và hàm H liên tục yếu trong W.
Chứng minh. Hàm H là khả vi Gâteaux trong W. Khi đó, ta chỉ cần chứng
minh H liên tục yếu trong W và lớp C 1 (W ). Trước hết, cố định (un )n ⊂ W
và u ∈ W sao cho un

u trong W khi n → ∞. Khi đó, theo Định lý 1.1.5,
khơng mất tính tổng qt, ta có thể giả sử un → u mạnh trong La (RN ) với
p ≤ a < p∗s và hầu khắp nơi trong RN . Từ (f1 ) và (f3 ) suy ra tồn tại hai
hằng số dương C1 , C2 sao cho
|f (x, t)| ≤ C1 |t|p−1 + C2 |t|q−1 với hầu hết x ∈ RN và mọi t ∈ R. (1.13)
Xét không gian Banach Lp (RN ) ∩ Lq (RN ) và Lp (RN ) + Lq (RN ), xác định
bởi

u

p∧q

= max

u

p∨q

= inf

u
u1

p,
p

u

,

q

+ u2

q

: u1 ∈ Lp (RN ), u2 ∈ Lq (RN ), u = u1 + u2 ,

tương ứng. Khi đó, theo (1.13) và Định lý A.4 trong [38] khi n → ∞

f (x, un ) → f (x, u) trong Lp (RN ) + Lq (RN ),
vì un → u trong Lp (RN ) ∩ Lq (RN ).

≤ 1. Khi đó v ∈ Lp (RN ) ∩ Lq (RN ) và
tồn tại hằng số dương L sao cho v pq L. Do ú, theo bt ng thc
Hăolder ta có

Tiếp theo, giả sử v ∈ W và v

W

| H (un ), v − H (u), v | ≤

|f (x, un ) − f (x, u)| · |v| dx
RN

≤ f (x, un ) − f (x, u)

v

p ∨q

≤ L f (x, un ) − f (x, u)

p ∨q

p∧q

.

Vì vậy khi n → ∞ thì

H (un ) − H (u)

W

≤ L f (x, un ) − f (x, u)

14

p ∨q

→0


nên H thuộc lớp C 1 (W ).
Để chứng minh H liên tục yếu trong W ta cần lưu ý rằng

|F (x, t)| ≤ c1 |t|p + c2 |t|q với hầu hết x ∈ RN và với mọi t ∈ R
theo (1.13), trong đó c1 = C1 /p và c2 = C2 /q. Suy ra un → u trong

Lp (RN ) ∩ Lq (RN ) và hầu khắp nơi trong RN . Khi đó tồn tại h ∈ L1 (RN )
sao cho với hầu hết x ∈ RN ta đều có
|F (x, un )| ≤ h
và

F (x, un (x)) → F (x, u(x)) hầu khắp nơi trong RN .
Do đó, theo định lý hội tụ bị chặn Lebesgue ta có

lim

n→∞

F (x, un )dx =
RN

F (x, u)dx.
RN

Ngoài ra, theo bất đẳng thc Hăolder ta cú

lim

n

g(x)un dx =
RN

g(x)dx.
RN

Vy, H liờn tc yu trong W.
Kết hợp Bổ đề 1.2.1 với Bổ đề 1.2.2 ta suy ra I ∈ C 1 (W ) và I là nửa liên
tục yếu trong W. Để chứng minh Định lý 1.2.7, ta cần ra một số kết quả
sau.
Bổ đề 1.2.3. Giả sử (M1 ), (V1 ), (f1 ) và (f3 ) được thỏa mãn. Khi đó tồn tại
các hằng số ρ0 , α0 , δ0 > 0 sao cho I(u) ≥ α0 với mọi u ∈ W, với u
và với mọi g ∈ Lp (RN ), g

Lp (RN )

W

= ρ0

≤ δ0 .

Chứng minh. Điều kiện (f3 ) suy ra với mỗi ε > 0, tồn tại δ = δ(ε) > 0

sao cho

|f (x, t)| ≤ pε |t|p−1 với mọi x ∈ RN và |t| ≤ δ.
Theo (f1 ), với hầu hết x ∈ RN và |t| ≥ δ, ta có

|f (x, t)| ≤ a1 +

15

a1
q−1
|t|
.
δ p−1


Hai bất đẳng thức trên kéo theo
a1
|f (x, t)| ≤ pε |t|q−1 + a1 + p−1 |t|q−1 với mọi x ∈ RN và mọi t ∈ R
δ
Hơn nữa, ta có

|F (x, t)| ≤ ε |t|p + Cε |t|q với mọi x ∈ RN và mọi t ∈ R,
trong đó Cε = (a1 + a1 /δ p−1 )/q. Do đó, sử dng bt ng thc Hăolder, (1.5)
v (1.6), ta cú

1
M [u]ps,p + u pp,V −
F (x, u)dx −
g(x)dx

p
RN
RN
min{1, a}
u pW − ε u pLp (RN ) − Cε u qLq (RN ) − g Lp (RN ) u Lp (RN )
≥
p
min{1, a}
≥
u pW − εCpp u pW − Cε Cqq u qW − Cpp g Lp (RN ) u W
p
min{1, a}
p−1
p
≥ u W
− εCpp u W
− Cε Cqq u q−1
W − Cp g Lp (RN ) .
p

I(u) =

Lấy ε = min{1, a}/2pCpp và đặt

η(t) =

min{1, a} p−1
t − Cε Cqq tq−1 với mọi t ∈ R+
0.
2p

Ta có tồn tại ρ0 > 0 sao cho maxt∈R+0 η(t) = η(ρ0 ) > 0 vì q > p > 1. Lấy

δ0 := η(ρ0 )/2Cpp . Khi đó I(u) ≥ α0 = ρ0 η(ρ0 )/2 > 0 với mọi u ∈ W, với
u W = ρ0 và với mọi g ∈ Lp (RN ), với g Lp (RN ) ≤ δ0 .
Bổ đề 1.2.4. Giả sử các điều kiện (M1 ), (M2 ), (V1 ), (f1 ) − (f4 ) được thỏa
mãn. Khi đó tồn tại hàm v ∈ C0∞ (RN ), với v

W

> ρ0 sao cho I(u) < 0,

trong đó ρ0 > 0 là số đã cho trong Bổ đề 1.2.3.
Chứng minh. Lấy (x, ζ) ∈ RN × R bất kỳ. Đặt

k(t) := F (x, t−1 ζ)tµ với mọi t ≥ 1.
Theo (f2 ), ta có

ζ
tµ + F (x, t−1 ζ)µtµ−1
2
t
= tµ−1 [µF (x, t−1 ζ) − t−1 ζf (x, t−1 ζ)]

k (t) = f (x, t−1 ζ) −

≤ 0.
16

Do đó k khơng tăng trong [1, ∞). Vì vậy, ta có k(1) ≥ k(|ζ|), với |ζ|

1

bất kỳ, nghĩa là

F (x, ζ) ≥ F (x, |ζ|−1 ζ) |ζ|µ ≥ cF |ζ|µ ,

(1.14)

trong đó cF = inf x∈RN ,|ζ|=1 F (x, ζ) > 0 theo (f4 ). Giả thiết (f3 ) kéo theo sự
tồn tại của σ ∈ (0, 1) sao cho

|f (x, ζ)ζ|
≤ 1 với mọi x ∈ RN và 0 < |ζ| ≤ σ,
p
|ζ|
ngoài ra, từ (f1 ), với hầu hết x ∈ RN và mọi ζ, với ζ ≤ |ζ| ≤ 1, tồn tại

m1 > 0 sao cho

|f (x, ζ)ζ| p
2a1
≤ p−1 := m1 .
|ζ|
ζ
Như vậy, hai bất đẳng thức trên kéo theo
f (x, ζ)ζ ≥ −(m1 + 1) |ζ|p với hầu hết x ∈ RN và 0 ≤ |ζ| ≤ 1.
Do đó

1
F (x, ζ) ≥ − (m1 + 1) |ζ|p với hầu hết x ∈ RN và 0 ≤ |ζ| ≤ 1,
p
do F (x, ζ) =

1
0 f (x, tζ)ζdt.

(1.15)

Kết hợp với (1.14) và (1.15), vì µ > θp ≥ p > 1

do (f2 ) và (M2 ), ta có

F (x, ζ) ≥ cF |ζ|µ − CF |ζ|p với hầu hết x ∈ RN và mọi ζ ∈ R,

(1.16)

trong đó CF = cF + (m1 + 1)/p. Theo giả thiết (M2 ),

M (ξ) ≤ M (1)ξ θ với mọi ξ ≥ 1.

(1.17)

Do đó, theo (1.16) và (1.17), (f (2)) và (M2 ), ta có
1
I(tu) =
M [u]ps,p + tp u pp,V −
F (x, tu)dx − t
g(x)udx

p
RN
RN
1
p
≤
M (1)tθp [u]θp
u pp,V − cF tµ u µLµ (RN ) + CF tp u pLp (RN )
s,p + t
p

−t

g(x)udx
RN

≤

max{1, M (1)} θp
t − cF tµ u
p
−

g(x)udx → −∞
RN

17

µ
Lµ (RN )

+ C F tp u

p
Lp (RN )


với u ∈ C0∞ (RN ) thỏa mãn u

= 1 vì µ > θp ≥ p > 1. Khi t → ∞, chọn
v = t0 u, với t0 > 0 đủ lớn, ta được kết quả cần chứng minh.
W

Định nghĩa 1.2.5. Ta nói rằng I thỏa mãn điều kiện (P S) trong W nếu
bất kỳ dãy {un }n ⊂ W thỏa mãn {I(un )}n bị chặn, I (un ) → 0 khi n → ∞,
đều tồn tại một dãy con hội tụ mạnh trong W.
Bổ đề 1.2.6. Giả sử (M1 ) − (M2 ), (V1 ) và (f1 ) − (f3 ) được thỏa mãn. Khi
đó, I thỏa mãn điều kiện (P S).
Chứng minh. Giả sử {un }n là một dãy (P S) trong W. Khi đó, tồn tại
hằng số C > 0 sao cho | I (un ), un | ≤ C un

W

và |I(un )| ≤ C. Do đó,

theo (M1 ) − (M2 ), (f2 ), (1.5) và (1.6), từ µ > θp ≥ p > 1, (f2 ) và (M2 ) ta
có

C + C un

W

1
I (un ), un
µ
1
1
1 1
= M [un ]ps,p − M [un ]ps,p [un ]ps,p +
−
u pp,V
p
µ
p µ
1
µ−1
−
(µF (x, un ) − f (x, un )un )dx −
g(x)un dx
µ RN
µ
RN
1 1
1
1
−
M [un ]ps,p [un ]ps,p +
−
u pp,V − κ u W
≥

pθ µ
p µ
1
1
1 1
≥ min
−
a, −
· un pW − κ un W ,
pθ µ
p µ
≥ I(un ) −

trong đó κ = Cp g

Lp (RN ) .

Do đó, {un }n bị chặn trong W. Áp dụng Định

lý 1.1.5 và Bổ đề 1.1.4, khơng mất tính tổng quát, ta có thể giả sử

un

u trong W,

un → u hầu khắp nơi trong RN ,

un → u trong Lp (RN ) và trong Lp (RN )

(1.18)

|un | ≤ h hầu khắp nơi trong R với h ∈ Lp (RN ) ∩ Lq (RN ) nào đó.
Giả sử ϕ ∈ W là cố định và Bϕ là phiếm hàm tuyến tính trên W được xác
định bởi

|ϕ(x) − ϕ(y)|p−2 (ϕ(x) − ϕ(y))

Bϕ (v) =
R2N

|x − y|N +ps

(v(x) − v(y))dxdy

với mọi v W. Rừ rng, theo Bt ng thc Hăolder, B cũng liên tục và

|Bϕ (v)| ≤ ϕ

p−1
W

v
18

W

với mọi v ∈ W.


Do đó, theo (1.18) ta có

lim M [un ]ps,p − M [u]ps,p

n→∞

vì M [un ]ps,p − M [u]ps,p

n

Bu (un − u) = 0,

(1.19)

bị chặn trong R.

Tiếp theo, từ (f1 ) và (f3 ), suy ra tồn tại hằng số Cf > 0 sao cho

|f (x, t)| ≤ |t|p−1 + Cf |t|q−1 với hầu hết x ∈ RN và t ∈ R.
p dng bt ng thc Hăolder, ta c

|(f (x, un ) − f (x, u))(un − u)| dx
RN

|un |p−1 + |u|p−1 + Cf |un |q−1 + |u|q−1

≤

|un − u| dx

RN

≤

un

p−1
Lp (RN )

+ Cf

un

+ u

q−1
Lp (RN )

p−1
Lp (RN )

+ u

un − u

q−1
Lp (RN )

Lp (RN )

un − u

Lp (RN ) .

Khi đó, từ (1.18) suy ra

(f (x, un ) − f (x, u))(un − u)dx = 0.

lim

n→∞

(1.20)

RN

Rõ ràng, I (un ) − I (u), un − u → 0 khi n → ∞ vì un

u trong W và

I (un ) → 0 trong W . Do đó, từ (1.18)-(1.20), khi n → ∞
o(1) = I (un ) − I (u), un − u = M [un ]ps,p Bun (un − u)
− M [un ]ps,p Bu (un − u) + (M [un ]ps,p − M [un ]ps,p )Bu (un − u)
V (x) |un |p−2 un − |u|p−2 u (un − u)dx

+
RN

−

(f (x, un ) − f (x, u))(un − u)dx

RN

= M [un ]ps,p [Bun (un − u) − Bu (un − u)]
V (x) |un |p−2 un − |u|p−2 u (un − u)dx + o(1),

+
RN

nghĩa là

lim M [un ]ps,p [Bun (un − u) − Bu (un − u)]

n→∞

V (x) |un |p−2 un − |u|p−2 u (un − u)dx = 0.

+
RN

19


Vì M [un ]ps,p [Bun (un − u) − Bu (un − u)] ≥ 0 và

V (x) |un |p−2 un − |u|p−2 u (un − u) ≥ 0
với mọi n ∈ N, từ (M1 ) và (V1 ), ta có

lim Bun (un − u) − Bu (un − u) = 0,

n→∞

(1.21)

V (x) |un |p−2 un − |un |p−2 u (un − u)dx = 0.

lim

n→∞

RN

Theo Bất đẳng thức Simon, ta có

p−2
p−2


cp (|ξ| ξ − |η| η) · (ξ − η)
|ξ − η|p ≤ Cp [(|ξ|p−2 ξ − |η|p−2 η) · (ξ − η)]p/2


 ×(|ξ|p + |η|p )(2−p)/2

với p ≥ 2
với 1 < p < 2,

với mọi ξ, η ∈ RN , trong đó cp , Cp là các hằng số dương chỉ phụ thuộc vào

p.
Giả sử p ≥ 2. Khi đó theo (M1 ) và (1.21), khi n → ∞ ta có

|un (x) − un (y) − u(x) + u(y)|p |x − y|−(N +ps) dxdy

[un − u]ps,p =

R2N

[|un (x) − un (y)|p−2 un (x) − un (y) − |u(x) + u(y)|p−2

≤ cp
R2N

× (u(x) + u(y))](un (x) − un (y) − u(x)
+ u(y)) |x − y|−(N +ps) dxdy
= cp [Bun (un − u) − Bu (un − u)] = o(1).
Tương tự, theo (V1 ) và (1.21) khi n → ∞ ta có

un − u

p
p,V

V (x) |un |p−2 un − |u|p−2 u (un − u)dx = o(1).

≤ cp

Tóm lại, un − u

RN

→ 0 khi n → ∞.
Cuối cùng, ta xét trường hợp 1 < p < 2. Theo (1.18), tồn tại κ > 0 sao
cho [un ]s,p ≤ κ với mọi n ∈ N. p dng Bt ng thc Simon, Bt ng
thc Hăolder và (1.21) khi n → ∞ ta được
W

[un − u]ps,p ≤ Cp [Bun (un − u) − Bu (un − u)]p/2 [un ]ps,p + [u]ps,p

(2−p)/2

p(2−p)/2
≤ Cp [Bun (un − u) − Bu (un − u)]p/2 [un ]p(2−p)/2
+ [u]s,p
s,p

≤ C [Bun (un − u) − Bu (un − u)]p/2 = o(1),
(1.22)
20