skkn hệ thống bài tập giúp làm quen và giải các bài toán giới hạn trong toán 11

BÁO CÁO KẾT QUẢ
NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN
1. Lời giới thiệu
Trong chương trình Toán THPT, mà cụ thể là phân môn Đại số 11, các em
học sinh đã được tiếp cận với giới hạn của dãy số và giới hạn của hàm sớ cũng
như cách giải của nó. Tuy nhiên trong thực tế các bài toán tìm giới hạn của dãy
số và giới hạn của hàm số rất phong phú và đa dạng. Đặc biệt, trong các đề thi
Đại học - Cao đẳng – Trung cấp chuyên nghiệp các em sẽ gặp một lớp các bài
toán về giới hạn của dãy số và giới hạn của hàm số mà trong đó có khơng ít các
em biết phương pháp giải nhưng trình bày còn lủng củng, chưa được gọn gàng
sáng sủa, thậm chí còn mắc một số sai lầm không đáng có trong quá trình tính
giới hạn của dãy sớ và giới hạn của hàm số dẫn đến kết quả sai.
Trong quá trình dạy học môn toán THPT tôi nhận thấy học sinh rất gặp rất
nhiều khó khăn trong việc tính giới hạn của dãy số và giới hạn của hàm số. Hầu
hết các em không phân biệt được các dạng của giới hạn của dãy số và giới hạn
của hàm số. Điều này vô cùng quan trọng vì trong mỗi dạng lại có cách giải
khác nhau, nếu khơng phân biệt rõ sẽ dẫn đến giải sai và cho kết quả sai. Để
giúp học sinh hiểu và tính được giới hạn của dãy số và giới hạn của hàm số tớt
hơn tơi nghĩ phải có biện pháp giúp học sinh làm sao có thể hiểu tường tận từng
vấn đề từ đó có thể hiểu sâu hơn và tính được giới hạn của dãy số, giới hạn của
hàm số một cách nhanh chóng dễ dàng hơn mà khơng phạm phải những sai lầm
đáng tiếc. Là một giáo viên tôi rất trăn trở với vấn đề này, tơi ln có suy nghĩ
làm thế nào để có thể làm cho học sinh hiểu tường tận và cặn kẽ hơn về giới hạn
của dãy số và giới hạn của hàm số. Vì vậy lúc nào tôi cũng cố gắng tìm tòi các
biện pháp giúp học sinh có thể hiểu được các dạng toán tìm giới hạn của dãy số
và giới hạn của hàm số đơn giản dễ hiểu nhằm giúp học sinh có hứng thú từ đó
học nợi dung về giới hạn tớt hơn. Qua tìm hiểu tôi nhận thấy: “Hệ thống bài tập
giới hạn” có thể giúp cho học sinh có mợt cách nhìn mới hơn về giới hạn. Giúp
học sinh hiểu sâu hơn về giới hạn từ đó có thể giải được các bài toán tìm giới
hạn mợt cách nhanh chóng, khơng những thế cách trình bày còn gọn gàng hơn,
chặt chẽ, dễ hiểu hơn, nhất là không tính sai kết quả. Đây là sai lầm mà học sinh

thường dễ gặp phải, và cũng làm mất điểm của học sinh trong quá trình làm bài
thi.
Trong qúa trình tìm hiểu nguồn thông tin trên mạng tơi cũng thấy có rất nhiều
thầy cơ giáo ít nhiều suy nghĩ về vấn đề này thông qua rất nhiều đề tài liên quan
đến giới hạn với nhiều cách tiếp cận khác nhau, và cách đề cập đến vấn đề này
cũng khác nhau. Tên một số đề tài sáng kiến kinh nghiệm tôi đã biết: Phương
pháp giải bài tập giới hạn hàm số lớp 11; Một số sai lầm thường gặp và các
phương pháp tìm giới hạn;... Với các đề tài này các tác giả đều đề cập đến đối
tượng nghiên cứu là học sinh hệ THPT. Còn với đối tượng là học sinh hệ GDNN
- GDTX với ý thức tổ chức kỷ luật yếu, học lực yếu thì việc áp dụng các sáng
1


kiến trên đới với học sinh là rất khó vì bản thân học sinh có trình đợ về các mơn
văn hóa thường yếu, ý thức lại chưa cao, lại đang trong đợ tuổi ham chơi. Vì vậy
để các em có thể tiếp thu tốt nội dung bài học cũng như có thể ghi nhớ bài học từ
đó vận dụng tớt vào việc giải bài tập, tôi thấy việc mình phải có phương pháp
phù hợp cũng như lựa chọn những nợi dung kiến thức phù hợp với đối tượng
học sinh. Vì vậy trong quá trình giảng dạy đại số 11 tôi đã “Hệ thống bài tập
giới hạn” từ đó học sinh có thể tiếp cận với nợi dung kiến thức về giới hạn một
cách đơn giản nhất, dễ hiểu nhất để có thể làm được các dạng bài tập của
chương nhằm tạo hứng thú trong học tập từ đó đạt kết quả học tập tớt góp phần
đạt thành tích cao trong năm học. Tôi nhận thấy việc “Hệ thống bài tập giới
hạn” sẽ giúp các em tiến bợ hơn, có ý thức hơn từ đó tiếp thu bài học dễ dàng
hơn, phù hợp hơn với đối tượng học sinh hệ GDTX.
2. Tên sáng kiến
“Hệ thống bài tập giúp làm quen và giải các bài toán giới hạn trong
toán 11”
3. Tác giả sáng kiến
- Họ và tên: LÊ THỊ MINH LÝ

- Địa chỉ tác giả sáng kiến: Trung tâm GDNN - GDTX Tam Dương
- Số điện thoại: 0987357077 E_mail:
4. Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến
- Họ và tên: LÊ THỊ MINH LÝ giáo viên trung tâm GDNN - GDTX Tam
Dương
5. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến
Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Áp dụng vào học đại số ở lớp 10a 1, 10a2 trung
tâm GDNN – GDTX Tam Dương
6. Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử
Ngày 10/3/2020
7. Mô tả bản chất của sáng kiến:
A. Lý do chọn đề tài:
Giới hạn là một nội dung quan trọng trong toán giải tích 11, 12 và các
môn học khác như vật lí...dựa trên các kiến thức về giới hạn người ta xây dựng
ra những kiến thức khác như tính liên tục của hàm số, đạo hàm và tích phân,
trong vật lí giới hạn tham gia giải các bài toán về chuyển động...Tuy nhiên sau
khi học xong chương giới hạn toán 11 thì khơng có nhiều học sinh hiểu và giải
tốt các bài toán về giới hạn. Các em lúng túng, khơng tự tin, thường mắc phải
các sai sót về trình bày và về lí luận. Theo tôi nhận thấy sở dĩ học sinh như vậy
là do hệ thống bài tập đi với lí thuyết đôi khi chưa hợp lí, chưa phù hợp với đối
tượng học sinh. Bài tập đưa ra ở các mục trước ít có liên hệ để hình thành kiến
thức ở mục sau. Do vậy hiệu quả của hệ thống bài tập trong sách giáo khoa chưa
2


cao. Vì vậy tôi nghiên cứu bài tập về giới hạn. Bắt đầu từ những bài trong lí
thuyết cho đến các bài toán. Tôi sử dụng các phương pháp so sánh, phương pháp
tổng hợp từ đó hệ thớng sắp xếp và phân thành từng dạng có phương pháp giải
đơn giản và cụ thể nhằm hạn chế khó khăn của học sinh khi học chương giới
hạn. Chính vì tầm quan trọng và thực tế khó khăn của học sinh như thế nên tôi

quyết định chọn đề tài: “Hệ thống bài tập giúp làm quen và giải các bài toán
giới hạn trong toán 11”
B. Nội dung đề tài:
PHẦN I: GIỚI HẠN DÃY SỐ:
I. KIẾN THỨC CƠ BẢN:
1. Dãy số có giới hạn 0:
1.1. Định nghĩa 1: Ta nói rằng dãy sớ (un) có giới hạn 0 nếu với mổi sớ dương
nhỏ tùy ý cho trước, mọi số hạng của dãy số, kể từ mợt sớ hạng nào đó trở đi,
đều có giá trị tụt đới nhỏ hơn sớ dương đó.
Kí hiệu:

lim  un   0

hoặc

lim un  0

hoặc un � 0

1.2. Một vài giới hạn đặc biệt
1
n
n =0(k �N * ) ; limq =0( q  1 )
;
Định lí: Cho hai dãy số (u n) và (vn).Nếu |un| �vn với mọi n và lim vn=0 thì
lim un=0
lim

1
n k =0 (k �N * )

lim k

2. Dãy số có giới hạn hữu hạn
2.1. Định nghĩa:
Ta nói dãy sớ (un) có giới hạn là số thực L nếu
Kí hiệu:

lim  un   0

hoặc

lim  un  L   0.

lim un  0

2.2. Một vài giới hạn đặc biệt.

hoặc un � 0
limc  c

2.3. Một số định lý .
Định lý 1: Giả sử lim(un)=L khi đó
a)

lim un  L

và

lim3 un  3 L

b) Nếu un �0 với mọi n thì L �0 và

lim un  L

Định lý 2: Nếu lim(un)=L , lim(vn)=M thì :
a)

lim un �vn   L �M

3


b)

lim un.vn   L .M

lim
c)

un L

, M �0
vn M

2.4. Tổng của cấp số nhân lùi vơ hạn có cơng bội q ,với

q 1
:

S

u1
1 q

3. Dãy số có giới hạn vơ cực:
3.1. Định nghĩa:
Ta nói dãy sớ (un) có giới hạn là �nếu với mổi số dương bất kỳ, mọi sớ
hạng của dãy sớ, kể từ sớ hạng nào đó trở đi, đều lớn hơn sớ dương đó.
Kí hiệu: lim(un)= � hay limun= � hay un � �
Ta nói dãy sớ (un) có giới hạn là �nếu với mổi sớ âm bất kỳ, mọi số hạng
của dãy số, kể từ sớ hạng nào đó trở đi, đều nhỏ hơn sớ dương đó.
Kí hiệu: lim(un)= � hay limun= � hay un � �
3.2. Một vài giới hạn đặc biệt
k
*
lim n = �(k �N )

*

limnk= �(k �N )
3.3. Định lý:
Tính chất 1: Nếu

limun  ��

và

limvn  ��

thì

lim(unvn)

được cho trong

bảng sau:
limun

limvn

lim(unvn)

+

+

+

+

–

–

–

+

–

–

–

+

Tính chất 2: Nếu

limun  ��

và

limvn  L �0

thì

lim(unvn)

bảng sau:
limun

L

lim(unvn)

+

+

+

4

được cho trong


Tính chất 3: Nếu

–

–

–

+

–

–

–

+
và vn  0 hoặc vn  0 kể từ một số hạng

limun  L �0 limvn  0

lim

nào đó trở đi thì

+

,

un
vn

được cho trong bảng sau:
lim

un
vn

L

vn

+

+

+

+

–

–

–

+

–

–

–

+

II. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN:

1. Giới hạn của dãy số (un) với

un 

P  n
Q  n

với P, Q là các đa thức:

1.1. Nếu bậc P = bậc Q , hệ sớ của n có sớ mũ cao nhất của P là a 0, hệ sớ của n
có sớ mũ cao nhất của Q là b0 thì chia cả tử và mẫu cho n với số mũ lớn nhất và
a
lim un   0
b0 .
đi đến kết quả:

1.2. Nếu bậc P nhỏ hơn bậc Q , thì chia cả tử và mẫu cho n với số mũ lớn nhất
và đi đến kết quả : lim(un) = 0.
1.3. Nếu k = bậc P > bậc Q, thì chia cả tử và mẫu cho n với số mũ lớn nhất và đi
đến kết quả : lim(un)= �.

2. Giới hạn của dãy số dạng:

un 

f  n
g n

, f và g là các biển thức chứa căn.

2.1. Rút nk ra đơn giản và đi đến kết quả với k chọn thích hợp.
2.2. Nhân tử và mẫu với biểu thức liên hợp.
Ghi chú: Những cách biến đổi trên không là duy nhất và cũng không phải bài
nào cũng giải được tuy nhiên đa số các bài trong chương trình nếu có những đặc
5


điểm trên đều có thể giải được
III. CÁC VÍ DỤ:
Bài 1. Dự đoán giới hạn của dãy số (un)và chỉ ra kết quả dự đoán đó đúng qua
mợt vài kiểm chứng cụ thể
1

1
2
a) un= n

3
b) un= n

giải
a) Dự đoán

lim

1
0
n2

1
Kiểm chứng: với số dương 100 ta thấy kể từ số hạng thứ 11 mọi sớ hạng trong
1
dãy sớ đều có |un|< 100
1
với số dương 10000 ta thấy kể từ số hạng thứ 101 mọi sớ hạng trong dãy sớ đều
1
có |un|< 10000

b) Dự đoán

lim

1
3

n

0

Kiểm chứng:
1
với số dương 100 ta thấy kể từ số hạng thứ 1000001 mọi số hạng trong dãy sớ
1
đều có |un|< 100
1
với sớ dương 999 ta thấy kể từ số hạng thứ 9993+1 mọi số hạng trong dãy sớ
1
đều có |un|< 999

Bài 2. Dãy sớ (un) có giới hạn là 0 hay không? Vì sao?
1

1
2
a) un= n +1

b) un= n
giải

a)

lim

1
 1�0
n2

1
1
Vì với số dương 2 ta thấy mọi sớ hạng trong dãy sớ đều có |un|> 2

6


b)

1

lim

n

 3 �0

Vì với số dương 1 ta thấy mọi sớ hạng trong dãy sớ đều có |un|>1
Lưu ý: Nhóm bài tập này ta tiến hành cho học sinh luyện tập sau khi học
định nghĩa dãy số có giới hạn 0, nó giúp học sinh nắm và hiểu rõ hơn định
nghĩa đồng thời giúp cho học sinh thấy được một số dãy số đặc biệt có giới
hạn 0
Bài 3. Xác định giới hạn của các dãy số sau?
a)
d)

lim

1

n4

lim

b)

c)

n

1
3

1
n5

lim

n

e)

lim

1
n

n

�

1�
lim � �
2�
�

f)

�3 �
lim � �
�4 �

Giải
1
k
a) và b) là những dãy số có dạng un= n nên có giới hạn là 0
1
k
c) và d) là những dãy sớ có dạng un= n nên có giới hạn là 0

n

e) và f) là những dãy sớ có dạng un= q với |q|<1 nên có giới hạn là 0
Lưu ý: Nhóm bài tập này ta tiến hành cho học sinh luyện tập sau khi học
một vài dãy số có giới hạn 0 đặc biệt, nó giúp học sinh nắm và ghi nhớ dãy
số có giới hạn 0 đặc biệt
Bài 4. Tìm giới hạn các dãy sớ sau. Có nhận xét gì về giá trị các số hạng trong
dãy số khi n tăng
1
3
a) un= n

1
3

b) un= n

4

Giải
a)

lim(

�1
�
1
1
lim �
(  3)  3� lim  0
 3)  3
n
�n
�
n
vì

Nhận xét: giá trị của các số hạng trong dãy số hội tụ dân về 3 khi n tăng
b)

lim(

1
3

n

 4)  4

�1
�
1
lim�
(
 4)  (4)� lim
0
3
3
n
n
�
�
vì

Nhận xét: giá trị của các số hạng trong dãy số hội tụ dân về -4 khi n tăng
Lưu ý: Nhóm bài tập này ta tiến hành cho học sinh luyện tập sau khi học
định nghĩa dãy số có giới hạn hữu hạn, nó giúp học sinh nắm và hiểu rõ hơn
định nghĩa
7

Bài 5. Tìm giới hạn các dãy số sau.
�1
1�
lim �  4 �
3
�n n �
b)

�1
�
lim � 2  1�
n
�
�
a)

2
n
lim
1
1
n
d)

c)

lim

2
n

3

e)

lim

1
3
n

f)

lim

1
3
n

Giải
�1
�
lim � 2  1�
 0  1 1
n
�
�
a)

�1

1�
lim �  4 �
 0 0 0
3
n
n
�
�
b)

c)

lim

2
n

 2.0  0

2
n  3 0  3
lim
1 1 0
1
n
d)
3

e)
f)

lim

lim

1
 3
n

0 3 

3

1
 3  0 3  3
n

Bài 6. Tìm giới hạn các dãy số sau.
a)

lim

1
2
n 1

b)

lim

sinn
3

n 1

Giải
1
1
1
1
 2
lim 2  0
lim 2
0
n
n 1
a) n  1 n và
suy ra
2

sinn

b)

3

n 1



1
3

n và

lim

1
3

n

0

suy ra

lim

sinn
3

n 1

0

Lưu ý: Nhóm bài tập này ta tiến hành cho học sinh luyện tập sau khi học
các tính chất của giới hạn hữu hạn giúp học sinh ghi nhớ và nắm được cách
vận dụng các tính chất này
Bài 7. Dự đoán giới hạn của dãy số (un)và chỉ ra kết quả dự đoán đó đúng qua
mợt vài kiểm chứng cụ thể

8


b) un=  n

a) un=n3
giải
3
a) Dự đoán limn  �

Kiểm chứng: Với số dương 1000 ta thấy kể từ số hạng thứ 11 mọi sớ hạng
trong dãy sớ đều có un>1000
với số dương 1000000 ta thấy kể từ số hạng thứ 101 mọi sớ hạng trong dãy sớ
đều có un>1000000





lim  n  �

b) Dự đoán

Kiểm chứng: Với số âm -100 ta thấy kể từ số hạng thứ 11 mọi sớ hạng trong
dãy sớ đều có un<-100
với sớ âm -1000000 ta thấy kể từ số hạng thứ 1001 mọi số hạng trong dãy sớ đều
có un < -1000000
Lưu ý: nhóm bài tập này ta tiến hành cho học sinh luyện tập sau khi học
định nghĩa dãy số có giới hạn vơ cực, nó giúp học sinh nắm và hiểu rõ hơn
định nghĩa đồng thời giúp cho học sinh thấy được một số dãy số đặc biệt có

giới hạn vơ cực
Bài 8. Xác định giới hạn của các dãy số sau?
n

3
b) lim n

4
a) limn

c)

�3 �
lim� �
2�
�

Giải
a) Là dãy sớ có dạng un=nk nên có giới hạn là �
k
b) Là dãy sớ có dạng un= n nên có giới hạn là �

n

c) Là dãy sớ có dạng un= q với q>1 nên có giới hạn là �
Lưu ý: Nhóm bài tập này ta tiến hành cho học sinh luyện tập sau khi học
một vài dãy số có giới hạn vơ cực đặc biệt, nó giúp học sinh nắm và ghi nhớ
dãy số có giới hạn vơ cực đặc biệt
Bài 9. Tìm giới hạn các dãy số sau.
a)



lim 3.n3
lim

d)



b)



lim n3  n2

1

lim

n

�
2�
�
3�
�
�

e)



c)
1
n

�
2�
� �
3�
�

Giải

9

lim

1
n  n2
4


a)
b)
c)







lim n3  n2  �

lim
lim

d)
lim

e)



lim 3.n3  �

1
0
n  n2
4

1
n

�
2�
�
3�

�
�

 �

1
n

�
2�
� �
3�
�

 �

Lưu ý: Nhóm bài tập này ta tiến hành cho học sinh luyện tập sau khi học
các tính chất của giới hạn vơ cực giúp học sinh ghi nhớ và nắm được cách
vận dụng các tính chất này
Bài 10. Tìm giới hạn các dãy số sau.
a)

lim

3n 2 + 2n + 5
7n 2 + n - 8

� 1 �
lim � 2 �
�n  1 �

d)

b)
e)

lim

n 2 + 1 + 4n
3n - 2

�
1  2n �
lim � n �
1 2 �
�

c)
f)

lim



n 2 + 2n + 3 - n



� n3 �
lim � 2 �
�n  1 �

Giải

2
5 �
2 �
2
5
n
3
+
+
3+ + 2
� n
2
2 �
3n + 2n + 5
n �
�
n n =3
lim
=
lim
=
lim
1 8
7
� 1 8 �
7n 2 + n - 8
7+ - 2

n2 �
7+ - 2 �
n n
� n n �
a)
.
�
�
1
1
n� 1+ 2 + 4 �
1+
+4
�
�
2
2
n
n + 1 + 4n
1+ 4 5
n
�
�
lim
= lim
= lim
=
=
2
3n - 2

3
3
� 2�
3n�
3- �
n
� n�
b)
.

10



lim  n + 2n + 3 - n  = lim
c)
2

2

= lim

n + 2n + 3 - n
2

2

n + 2n + 3 + n

 lim

n 2 + 2n + 3 - n



n 2 + 2n + 3 + n

n 2 + 2n + 3 + n
2n + 3

2

n + 2n + 3 + n

= lim


.

� 3�
n�
2+ �
� n�
�
�
2 3
n � 1+ + 2 + 1 �
�
�
n n

�
�

3
2
n
= lim
=
=1
1+ 1
2
3
1+ + 2 + 1
n n
2+

�1 �
�1 �
n2 � 2 �
�2 �
n �
� 1 �
�n �  lim �
lim � 2

lim
0
�
1 �
� 1 �

2 �
�n  1 �
n �
1 2 �
1 2 �
�
� n �
� n � .
d)
n
�
1� �
�
�
�2 � 1 �
�
1  2n �
�
� 1
lim �
 lim � �
n �
n
�
1

2
1� �
�
�

�
�
� � 1 �
�
�
�2 � �
�
e)

�
� 1
� n3 �
lim � 2 � lim �
�n  1 �
�1  13
�n n
f)

�
�
� �
�
�

Lưu ý: Nhóm bài tập này ta tiến hành cho học sinh luyện tập cách tìm giới
hạn dãy số khi gặp các trường hợp vô định, giáo viên cần hướng dẩn và cho
học sinh ghi nhớ các cách biến đổi thường dung cho từng dạng
BÀI TẬP TỰ GIẢI
Bài 1. Tính các giới hạn sau:
3n 2 + 5n + 4

;
2 - n2
2n 5 - 6n + 9
4)lim
;
1- 3n5

6 + 3n - n 2
;
3n 2 + 5
� 2n 3
1- 5n 2 �
5)lim � 2
+
;
�
�2n + 3 5n +1 �

1)lim

2)lim

2n 3 - 4n 2 + 3n+7
;
n3 -7n + 5
� n3
3n 2 �
6)lim � 2
;
�

�n +1 3n+1 �
3)lim

2. Tính các giới hạn:


4)lim 

1)lim



n2 + n - n ;

2)lim



n 2 +1 - n 2 - 1 ;

3n2 +1 - n 2 - 1
;
n

5)lim( n 2 + n - n 2 +1 );

11

3)lim

2n 2 +1 - n 2 +1
;
n+1

6 )lim n - 1( n+ 2 - n );

Bài


PHẦN II. GIỚI HẠN HÀM SỐ:
I. KIẾN THỨC CƠ BẢN:
1. Định nghĩa giới hạn của hàm số:
1.1. Định nghĩa giới hạn hữu hạn của hàm số tại 1 điểm:
x
Giả sử (a; b) là một khoảng chứa điểm 0 và f là một hàm số xác định trên tập
(a; b) \{x0}

x0

(hoặc tại

limxn  x0

ta đều có

. Ta nói hàm sớ f có giới hạn là sớ thực L khi x dần tới

x0

điểm

(xn)

) nếu với mọi dãy số

lim f (xn)  L

Ta viết:

trong tập

(a; b) \{x0}

mà

.
lim f (x)  L

x� x0

hoặc

f (x) � L khi x � x0

1.2. Định nghĩa giới hạn vô cực: Được định nghĩa tương tự như trên.
1.3. Định nghĩa giới hạn của hàm số tại vô cực: Gỉả sử hàm số f xác định trên
khoảng (a;�) . Ta nói rằng hàm sớ có giới hạn là sớ thực L khi x dần rới + nếu
với mọi dãy số
lim f (xn)  L

(xn)

limxn  �
trong (a; �) mà
, ta đều có:

. Ta viết:

lim f (x)  L

x��

Các giới hạn khác được định nghĩa tương tự.
1.4. Định nghĩa giới hạn bên phải, bên trái: Giả sử hàm số f xác định trên
khoảng (x0;b) (x0 �R) . Ta nói hàm sớ f có giới hạn bên phải là sớ thực L khi x
dần tới x0 (hoặc tại điểm x0 ) nếu với mọi dãy số (xn) trong (x0;b) mà limxn  x0 ,
ta đều có

lim f (xn)  L

. Ta viết:

lim f (x)  L

x� x0

Giới hạn bên trái. (tương tự) Ta viết:

lim f (x)  L

x� x0

Nhận xét:


lim f (x)  L � lim f (x)  lim f (x)  L
x�x0

x� x0

x�x0

2. Một số hàm số có giới hạn đặc biệt:
Với

x0 �R

, ta có:

a)

lim c  c

x�x0

(c: hằng sớ)

b)

lim x  x0

x�x0

Với mọi sớ ngun dương k ta có:


lim xk  �

x��



�
� nế
u k chẵ
n
lim xk  �
� nế
u k lẻ
x��
�

3. Một số định lí về giới hạn
3.1. Một số định lí về giới hạn hữu hạn
12



lim

1

x�� xk

0

;

lim

1

x�� xk

0


Định lí 1: Giả sử

lim f (x)  L

lim g(x)  M

x� x0

x� x0

(L, M  R).

�f (x)  g(x)�

�
lim �
LM

x� x0

a)

�f (x)  g(x)�
�
lim �
LM

b)

x� x0

c)

x� x0

d)

x� x0

�f (x)g(x)�
�
lim �
 LM
lim

f (x) L

g(x) M

Định lí 2: Giả sử

Đặc biệt,

�
� cL
lim �
cf (x)�

x� x0

(M  0 )

lim f (x)  L

x� x0

lim f (x)  L

a)

x� x0

b)

x� x0

lim 3 f (x)  3 L

c) Nếu f (x) �0,x�J \{x0}, trong đó J là mợt khoảng nào đó chứa x0 , thì
L �0 và
lim

x� x0

f (x)  L

3.2. Một số định lí về giới hạn vơ cực
Định lí: Nếu

lim f (x)  �

x� x0

Qui tắc 1: Nếu

thì

lim f ( x)  ��

x� x0

lim

x� x0

và

1
0
f (x)

lim g(x)  L

x� x0

thì:

lim f (x)

L

+

+

+

+

–

–

–

+

–

–

–

+

x� x0

�f (x)g(x)�
�
lim �

x� x0

13


Qui tắc 2: Nếu

lim f (x)  L �0

lim g(x)  0

x� x0

x� x0

và

g(x)  0

x�J \{x0}

, trong đó J là mợt khoảng nào đó chứa

x0

lim

hoặc

với

thì:

f ( x)
g(x)

L

g(x)

+

+

+

+

–

–

–

+

–

–

–

+

x� x0

g(x)  0

II. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỐN:
Khi tìm giới hạn hàm số ta thường gặp các dạng sau:
1. Giới hạn của hàm số dạng:

f  x �0 �

��
x�a g x
�0 �

lim

Nếu f(x) , g(x) là các hàm đa thức thì phân tích ra thừa số.
Nếu f(x) , g(x) là các biểu thức chứa căn thì nhân tử và mẫu cho các biểu thức
liên hợp.
Sau đó rút gọn tử, mẩu
f  x ���
���
x�� g x
� �
2. Giới hạn của hàm số dạng:
lim

Chia tử và mẫu cho xk với k là số mũ lớn nhất của x.
Chú ý: Nếu x � � thì coi như x>0, nếu x � � thì coi như x<0 khi đưa x ra
hoặc vào khỏi căn bậc chẵn.
3. Giới hạn của hàm số dạng:

lim� f  x  g x �
x���
�

- 
 ��

Đưa x mũ lớn nhất ra làm thừa số chung hoặc nhân lượng liên hợp

4. Giới hạn của hàm số dạng:

lim�
f  x .g x �
�  0.� .
x���

Nhân trọn f(x) và g(x) để đưa về 3 dạng trên
III. CÁC VÍ DỤ:

14


Bài 1. Tìm giới hạn các hàm số sau:
2

a)

lim(x +1)

b)

x �-1

lim
x �1

x2  3
x 1

lim
x �1

c)

3

 x  1

lim

2

d)

x ��

1
x

giải
a) Xét hàm số f(x)=x2+1. Với mọi dãy số (xn) và limxn=-1
2

2

ta có f(xn)= (xn) +1 suy ra lim f(xn)=(-1) +1=2 Vậy

lim(x 2 +1)= 2
x �-1

x2  3
b) Xét hàm số f(x)= x  1 . Với mọi dãy số (xn), xn �-1 với mọi n và limxn=1, ta
xn2  3
12  3
x2  3
2
lim
2
có f(x )= xn  1 suy ra lim f(x )= 1  1
Vậy x�1 x  1
n

n

3
x  1
c) Xét hàm số f(x)= 
. Với mọi dãy số (xn) , xn �1 với mọi n và limx n=1,
2

3
2
ta có f(xn)= ( xn  1) . vì lim3=3, lim(xn-1)2=0 và (xn-1)2>0 với mọi n suy ra
limf(xn)= + �
lim

Vậy

x �1

3

 x  1

2

 �

1
d) Xét hàm số f(x)= x . Với mọi dãy số (xn) , xn �0 với mọi n và limxn=- �,

1
0
ta có limf(xn)=0. Vậy x�� x
lim

Lưu ý: Nhóm bài tập này ta tiến hành cho học sinh luyện tập sau khi học
định nghĩa giới hạn hàm số, nó giúp học sinh nắm và hiểu rõ hơn định
nghĩa đồng thời giúp cho học sinh thấy được mối liên hệ giữa tính chất
hàm số và tính chất dãy số
Bài 2. Xác định giới hạn của các dãy số sau?
a)
e)

lim4

b)

x�3

lim x4

x��

c)

lim x

x�3

c)

lim x4

d)

x��

1
3
d) x�� x

1
5
e) x�� x

lim

lim x5

x��

lim x5

x��

lim

Giải
a)
e)

lim4  4
x�3

lim x4  �

x��

b)

lim x  3

x�3

f)

c)

lim x4  �

x��

lim x5  �

x��

15

g)

lim

x��

d)

1
0
x3

lim x5  �

x��

h)

lim

x��

1
0
x5


Lưu ý: Nhóm bài tập này ta tiến hành cho học sinh luyện tập sau khi học
một vài hàm số có giới hạn đặc biệt, nó giúp học sinh nắm và ghi nhớ hàm
số có giới hạn đặc biệt
Bài 3. Tìm giới hạn các hàm số sau.
x2  3
a) x�1 x  1
lim

b)

lim  x 3  x 

x ��

c)

lim  x  2   3 x  4 
x �2

Giải
x 2  3 12  3

2

a) x�1 x  1 1  1
lim

lim  x3  x   �

b)
c)

x ��

lim  x  2   3 x  4    2  2   3.2  4   0
x �2

Lưu ý: Nhóm bài tập này ta tiến hành cho học sinh luyện tập sau khi học
các tính chất của giới hạn hữu hạn giúp học sinh ghi nhớ và nắm được cách
vận dụng các tính chất này
Bài 4. Tìm giới hạn các hàm số sau.
x 2 - 3x + 2
lim
a) x�2 x - 2

e)

x+1 - 2

lim

b)

�3x 2 -1 �

lim
�
x���
�2x  1 �

f)

x �3

lim

3x - 3

 x3  2 x2  1

x��

�3x-1 �
lim �
�
x���
2x  1 �
c)

g)

lim



x �+�

x+1 - x



�2x x  3 �
lim �
�
x���x 2  x  1 �
�
�
d)

h)

lim+  x - 2 

x �2

x
x -4
2

Giải
0
a) dạng 0

 x - 2   x - 1 = lim x - 1 = 2 - 1= 1
x 2 - 3x + 2

lim
= lim
 
x �2
x �2
x �2
x-2
x-2
.Chia tử và mẫu cho (x-2).
0
b) dạng 0
lim
x �3

x +1 - 2
3x - 3

= lim
x �3



 x +1 + 2  3x + 3 = lim  x +1 - 4   3x + 3   1
 3x - 3   x + 1 + 2  2
 3x - 3 x +1 + 2  3x + 3 
x +1 - 2

x �3

�

c) dạng �

16

2


� 1�
� 1�
x�
3 �
3 �
�
x�
x� 3
�3x-1 �
�
�
lim
lim
 lim

� x �
x ���

�
x
�

�

� 1�
� 1� 2
�2x  1 �
x�
2 �
2 �
�
� x�
� x�

�
d) dạng �
�2 x 3 �
� 1 3 �
x2 �
 2�
2
 �
�
x
x �
x x2 �
�2x x  3 �
�
�
lim �
 lim
0
� lim
x ���x 2  x  1 � x �� 2 � 1

1 � x ��� 1 1 �
�
�
x �
1  2 �
1  2 �
�
� x x �
� x x �

�
e) dạng �
� 1�
� 1�
x2 �
3 �
3 �
�
�3x 2 -1 �
x�
x�
�
�
lim
lim
 lim
0
� x �
x ���


�
x
�

�
2 1 �
�2 1 �
2�
�2x  1 �
x � 2�
� 2�
�x x �
�x x �

f) dạng � �
lim

x

3

x��

 2 x 2  1  lim x 3 (1 
x ��

2 1
 )  �
x x3

g) dạng � �
lim



x �+�



x+1 - x  lim

x ��

1
0
x 1  x

h) dạng 0. �
lim  x - 2 

x �2+

x
x(x  2) 2
x(x  2)
 lim
 lim
0
2
2

x �2
x - 4 x �2
x 4
x2

Lưu ý: Nhóm bài tập này ta tiến hành cho học sinh luyện tập cách tìm giới
hạn dãy số khi gặp các trường hợp vô định, giáo viên cần hướng dẩn và cho
học sinh ghi nhớ các cách biến đổi thường dung cho từng dạng
BÀI TẬP TỰ GIẢI
Tính các gới hạn
Bài 1: (Tính trực tiếp)
a.

lim(x 2 + 2x+1)
x �-1

x +1
d. x �1 2x - 1 ;
lim

b.

lim(x + 2 x +1)
x �1

x 2 + x+1
5
e. x�-1 2x + 3
lim

0
Bài 2: (Tính giới hạn dạng 0 của hàm phân thức đại số)

17

c.

lim  3 - 4x 
x �3

2


x2 - 1
;
x-1

a)lim
x �1

x-3
;
x �3 x 2 + 2x - 15

b)lim

x4 - 1
d)lim 2
;
x �1 x + 2x - 3

x2 - x

e)lim

Bài 3: (Tìm giới hạn dạng

0
0

2

;

2

của hàm phân thức đại số chứa căn thức bậc hai)

x+4 - 2
;
x

b)lim

x+3 - 2
;
x -1

c)lim

d)lim

x - 2x - 1
;
x 2 - 12x + 11

e)lim

x-2 -2
;
x -6

f) lim

x �1

 x - 2

8x 3 - 1
f )lim 2
;
1
x � 6x - 5x + 1

a)lim
x �0

x 2 - 3x + 2

x �2

;

x -1

x �1

c )lim

x �1

x �6

2- x-2
;
x �7
x 2 - 49
x2 + 5 - 3
;
x-2

x �2

0
Bài 4: (Tìm giới hạn dạng 0 của hàm phân thức đại số chứa căn thức bậc ba và

bậc cao)
3

a)lim

x �2

3

d)lim

x �1 3

3

4x - 2
;
x-2

x �0

3

x -1

;

x - 2 +1

2x - 1 - 3 x

e )lim

c )lim
x �1

3

;

x -1

x �1

3

1- x -1
;
x

b )lim

f )lim
x �1

2x - 1 - 1
;
x -1

2- x -1
x -1

�
Bài 5: (Tính giới hạn dạng � của hàm số )

-6x 5 +7x 3 - 4x + 3
;
x �+� 8x 5 - 5x 4 + 2x 2 - 1

b ) lim

a) lim

4x - 1

d) lim

x ��

4x 2 + 3

x �+ �

2x + x +1

2x 2 + x - 1

e) lim

;

x + x 2 +1

x ��

x x2 - 1

;

c ) lim

;

x ��

x + x2 + x
2

3x - x +1

;

5x + 3 1 - x
;
x ��
1- x

f ) lim

Bài 6: (Tính giới hạn dạng � � của hàm số)
a) lim



x �+�

d) lim



x ��



x+1 - x ;

b) lim



x �+�





e ) lim  x 4  2x 2  3 ;

2x 2 + 1 + x ;

c) lim  x 3 - 2x - 1  ;

x2 + x + 1 - x ;

x ��

x ��

f ) lim x
x ��



Bài 7: (Giới hạn một bên)
a) lim+

x+2 x

x �0

b) lim +
x � -1

x- x

;

b) limx �2

x 2 + 3x + 2
5

x +x

4 - x2

4

;

e) lim +
x � -2 

2- x

;

3x + 6
x+2

c) limx �3

;

f) lim x � -2 

Bài 8: (Tính giới hạn dạng 0.� của hàm số)

18

x 2 - 7x + 12
9 - x2
3x + 6
x+2

;

;



4x 2 + 9 + 2x ;


a) lim+  x - 2 

x
;
x -4

d) lim  x +1

2x +1
;
3
x + x+2

x �2

x �- �

2

Bài 9: Cho hàm số
Tìm

b) lim +  x 3 +1

x
;
x -1

e) lim  1 - 2x 

3x +1
;
x 3 +1

x � -1

x �+�

x�1

x�1

limf  x , limf
 x v�limf  x


x�3

2x 3 + x
f) lim x 5 2
.

x �- �
x - x +3

.

(nếu có).

� 9 x2
�
�
f  x  �
1
� 2
�x 9
Bài 10: Cho hàm số

Tìm

x �+�

x-1
;
x3 + x

�
x3
khi x<-1
f  x  � 2
2x  3 khi x �1
�

limf  x , limf
 x v�limf  x


x�1

c) lim  x + 2 

2

x�3

x�3

khi -3�x<3
khi x  3
khi x  3

.

(nếu có).

PHẦN III: HÀM SỐ LIÊN TỤC
I. KIẾN THỨC CƠ BẢN:
1. Hàm số liên tục
1.1. Định nghĩa: Giả sử hàm số f xác định trên
được gọi là liên tục tại điểm
Hàm số không liên tục tại

x0

x0

nếu:

(a; b)

và

x0 �(a; b)

. Hàm số f

lim f (x)  f (x0)

x� x0

đgl gián đoạn tại

x0

.

1.2. Định nghĩa:
a) Gỉa sử hàm số f xác định trên tập J, trong đó J là mợt khoảng hoặc hợp của
nhiều khoảng. Ta nói rằng hàm số f liên tục trên J nếu nó liên tục tại mọi điểm
tḥc J.
[a; b]

b) Hàm số f xác định trên đoạn
liên tục trên khoảng

(a; b)

được gọi là liên tục trên đoạn

lim f (x)  f (a)

và: x�a



,

[a; b]

nếu nó

lim f (x)  f (b)

x�b

Chú ý: Tính liên tục của hàm số trên các nửa khoảng
cũng được định nghĩa tương tự.

[a; b) , (a; b] , [a; �) , (�; b]

2. Tính chất của hàm số liên tục
Định lí: Giả sử hàm sớ f liên tục trên đoạn [a;b] . Nếu f (a) �f (b) thì với số M nằm

giữa f (a), f (b) , tồn tại ít nhất điểm c�(a; b) sao cho f (c)  M
Ý nghĩa hình học: Nếu hàm sớ f liên tục trên [a;b] và M nằm giữa f (a), f (b) thì
đường thẳng y  M cắt đồ thị của hàm số y  f (x) ít nhất tại 1 điểm có hoành đợ
c�(a; b) .

19


Hệ quả: Nếu hàm số f liên tục trên
điểm c�(a; b) sao cho f (c)  0

[a; b]

và

f (a). f (b)  0

thì tồn tại ít nhất mợt

Ý nghĩa hình học: Nếu hàm số f liên tục trên [a;b] và f (a). f (b)  0 thì đồ thị hàm
số y  f (x) cắt trục hoành ít nhất tại mợt điểm có hoành đợ c�(a; b) .
II. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN:
1. Hàm số liên tục tại điểm:
Để xét tính liên tục của hàm số y=f(x) tại điểm xo ta thực hiện các bước sau:
- Tính f(x0)
- Tính

lim f (x)

x�x0

- So sánh

lim f (x) lim f (x)

( trong nhiều trường hợp ta cần tính

x� x0



, x�x0

)

lim f (x) vớ
i f  x0 

x�x0

- Rút ra kết luận
2. Hàm số liên tục trên một khoảng: y=f(x) liên tục tại mọi điểm tḥc
khoảng đó
Để xét tính liên tục của hàm sớ y=f(x) trên một khoảng ta thực hiện như sau:
* Xét

x �x0 (hayx  x0 ,x  x0 )

* Xét tại

x  x0

- Tính f(x0)
- Tính

lim f (x)

x� x0

- So sánh

lim f (x) lim f (x)

( trong nhiều trường hợp ta cần tính

x� x0



, x�x0

)

lim f (x) vớ
i f  x0 

x�x0

- Rút ra kết luận
* Kết luận chung về hàm số có liên tục trên khoảng hay đó hay khơng

3. Chứng minh phương trình f(x) = 0 có nghiệm:
Để chứng minh phương trình có ít nhất mợt nghiệm trên khoảng (a,b) ta làm như
sau :
- Đặt y = f(x)  hàm số liên tục trên (a;b)
- Tính f(a), f(b)  f(a). f(b)<0
- Kết luận về sự có nghiệm của phương trình
III. CÁC VÍ DỤ:
Bài 1. Xét tính liên tục của các hàm số sau lại x0=1 :

20


�2 x  1
, khi x �1
�
f ( x)  � x
�
1, khi x  1
�
a.

�x 2  x  2
, khi x �1
�
f ( x)  � x-1
�
3, khi x  1
�
b.

Bài giải.
a. Ta có
f(1)=1.

Do đó

Limf(x)  f (1) 1
x 1

.

Vậy f(x) liên tục tại x0=1
b. Ta có
f(1)=3.
x2  x  2
Limf(x) Lim
... 3
x 1
x 1
x 1

Do đó .
Vậy f(x) liên tục tại x0=1
�x 2  2 x
, khi x �0
�
f ( x)  � x
�
2a  1 , khi x  0 .
�

Bài 2. Cho hàm số

Giá trị của a là bằng bao nhiêu để hàm số liên tục tại x0=0.
Bài giải.
Ta có
f(0)=2a+1
.
Hàm sớ f(x) liên tục lại x0=0 khi và chỉ khi
�x 2  16
, khi x �4
�
f ( x)  � x  4
�
2a  1 , khi x  4 .
�
Bài 3. Cho hàm số

Giá trị của a là bằng bao nhiêu để hàm số liên tục tại x0=4.
Bài giải.
Ta có
f(4)=2a+1

21


Hàm số f(x) liên tục lại x0=4 khi và chỉ khi
�x 2  x  2
, khi x �1
�
f ( x)  � x  1

� a  1 , khi x  1
�
Bài 4. Cho hàm số
.

Giá trị của a là bằng bao nhiêu để hàm số liên tục tại x0=-1.
Bài giải.
Ta có
f(1)=a+1
Hàm sớ f(x) liên tục lại x0=-1 khi và chỉ khi
BÀI TẬP TỰ GIẢI
Bài 1: xét tính liên tục của hàm số tại điểm đã chỉ ra:
�x2  3x  2
x 1
v�ix �2
�
a)f  x  x3  x  3 v� g x  2 t�i�i�m x0 �R b)f  x  � x  2
t�i�i�m x0 =2;
x 1
�1
v�ix=2
�
3

�x3  1
v�ix �1
�
c)f  x  �x  1
t�i�i�m x0 =1;
�2

v�ix=1
�
e)f  x |x | t�
i�
i�
m x=0;

�1
� v�ix �0
d)f  x  �x
t�i�i�m x0 =0;
�
�0 v�ix=1

�
1 1 x
v�
i x �0
�
� x
f)f  x  �
�1
v�
i x=0
�
�2

�x2  1 v�ix �1
�
g)f  x  �1

t�
i �i�
m x0 =-1;
v�
i
x=
-1
�
�2
�x2  1v�ix �1
i)f  x  �
t�
i �i�
m x0 =1;
x

1
v�
i
x>
1
�
2
�
v�ix<0
�x
m)f  x  �
t�
i �i�
m x0 =0;

1 x v�ix �0
�

t�
i�
i�
m x0 =0;

�x2  4
v�ix �-2
�
h)f  x  �x  2
t�
i �i�
m x0 =-2.
�4
v�ix=-2
�
�x2  4v�ix  2
k)f  x  �
t�
i �i�
m x0 =2;
2x

1
v�
i
x
�

2
�
2
�4  3x v�ix �-2
n) f  x  �3
t�
i �i�
m x0 =-2.
v�ix>-2
�x

2: xét tính liên tục của hàm số tại x0=1
x  a v�
i x=1
�
�2
a)f  x  �x  1
;
v�
i x �1
�
�x  1

�x3  x2  2x  2
�
b)f  x  �
x1
�
3x


a
�

22

v�
i x �1
.
v�
i x=1

Bài


Bài 3: xét tính liên tục của hàm số tại x=0và x=3
a
v�
i x=0
�
�2
�x  x  6
f  x  � 2
v�
i x2  3x �0 .
�x  3x
b
v�
i x=3
�
�

Bài 4: Tìm a để hàm số liên tục tại x=0
�x  a khi x  0
a)f  x   � 2
;
x

1
khi
x
�
0
�

Bài 5: Cho hàm số

khi x  0
�x  2a
b)f  x   � 2
.
x

x

1
khi
x
�
0
�

�x 2  3x  2
khi x �1
�
f  x   � x 1
�
a
khi x  1 .
�

a) Tìm a để hàm số liển tục trái tại x=1;
b) Tìm a để hàm số liển tục phải tại x=1;
c) Tìm a để hàm số liển tục trên R.
Bài 6: Xét tính liên tục của các hàm số sau đây trên tập xác định của nó
�x2  x khi x  1
a)f  x  �
;
ax+
1
khi
x
�
1
�

�a2x2
v�ix �2
�x2
v�ix<1
�

b)f  x  �
; c)f  x  �
;
1

a
x
v�
i
x>
2
2ax+
3
v�
i
x
�
1


�
�

�x2  3x  2
�x2 v�i0 �x �1
�2x  a v�i0 �x<1
v�ix<2
� 2
d)f  x  � x  2x
; e)f  x  �

; f)f  x  � 2
.
�2-x v�i1�ax  2 v�i1 �x �2
�mx+m+1 v�ix �2
�
�2 2x  1  2x  2
�
�
x 1
f(x)  �
x
�
mx2 
�
2
�
Bài 7: Xét tính liên tục của hàm số

khi x >1
khi x �1

trên R.

Phần IV: Kết luận:
Giới hạn là một nội dung quan trọng trong chương trình đại số lớp 11
không những thế giới hạn chiếm một vị trí quan trọng trong chương trình toán
phổ thông. Nhưng đối với học sinh thì đây lại là mợt mảng tương đới khó, đây
cũng là phần mà nhiều thầy cô giáo quan tâm. Theo như tơi nhận thấy đới với
các bài toán có liên quan đến phần giới hạn trong khi giảng dạy giáo viên cần:

- Nhắc lại các công thức đã học.
- Nêu lại các định nghĩa và các giới hạn đặc biệt.
- Nêu lại phương pháp giải đối với từng dạng bài toán
Trên đây là một vài ngiên cứu của tôi trong việc áp dụng “Hệ thống bài tập
giúp làm quen và giải các bài toán giới hạn trong toán 11”. Tôi đã nghiên
23


cứu và áp dụng vào thực tế giảng dạy ở lớp 11a 1, 11a2 , 11a3 tại trung tâm
GDNN - GDTX Tam Dương.
Trước khi áp dụng ngiên cứu tôi đã cho học sinh làm một bài kiểm tra kết
quả như sau:
Lớp

Sĩ
số

11a1

Điểm dưới 5 Điểm 5 đến 6

Điểm 7 đến 8

Điểm 9 đến 10

SL

%

SL

%

SL

%

SL

%

38

18

47,4

14

36,8

6

15,8

0

0

11a2

40

23

57,5

12

30

5

12,5

0

0

11a3

39

20

51,3

14

35,9

5

12,8

0

0

Sau khi áp dụng “Hệ thống bài tập giúp làm quen và giải các bài toán
giới hạn trong tốn 11” vào giảng tơi tiếp tục kiểm tra được kết quả như sau:
Điểm dưới 5 Điểm 5 đến 6

Điểm 7 đến 8

SL

%

SL

%

SL

%

SL

%

38

10

26,3

17

44,7

10

26,3

1

2,7

11a2

40

12

30

19

47,5

9

22,5

0

0

11a3

39

10

25,6

18

46,2

11

28,2

0

0

Lớp

Sĩ
số

11a1

Điểm 9 đến 10

Kết quả trên cho thấy tác động của việc áp dụng “Hệ thống bài tập giúp
làm quen và giải các bài toán giới hạn trong tốn 11”. vào nợi dung bài học
đã giúp các em học sinh tiếp thu nhanh chóng và hiểu sâu hơn về giới hạn. Nâng
cao trình độ tư duy toán học, gây niềm say mê học toán. Từ đó tránh được một
số sai lầm do không nhận diện được dạng bài tập.
Điều đó cho thấy người thầy cần phải có tư duy tìm tòi các biện pháp phù
hợp với đối tượng học sinh, giúp học sinh tiếp cận kiến thức mới dễ dàng hơn.
Đây chính là động lực để tôi tiếp tục tìm tòi các biện pháp cũng như sáng tạo
hơn nữa để có thể làm bài dạy sinh đợng hơn, dễ hiểu hơn giúp cho học sinh
hiểu và nắm bắt bài học một cách dễ dàng hơn, sâu hơn.
Đề tài SKKN này chỉ đề cập đến khía cạnh tổng hợp các dạng bài tập về
giới hạn nhằm giúp học sinh củng cố, khắc sâu kiến thức về giới hạn từ đó làm
tớt bài tập.
Hy vọng rằng qua đề tài SKKN này sẽ giúp ích cho nhiều học sinh trong
việc học tập về nội dung chương IV: Giới hạn, hiểu sâu và làm nền cho việc
nghiên cứu sang các lĩnh vực khác.

24


Trong quá trình trình bày không tránh khỏi những thiếu sót, rất mong được
sự quan tâm đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo và bạn đọc để đề tài được

hoàn thiện hơn.
Về khả năng áp dụng của sáng kiến: Việc áp dụng “Hệ thống bài tập
giúp làm quen và giải các bài toán giới hạn trong toán 11” giúp học sinh đạt
kết quả tốt hơn trong việc tiếp thu kiến thức về giới hạn. Cách làm này có thể áp
dụng cho tất cả các lớp học sinh trong trường THPT, GDTX .
8. Những thông tin cần được bảo mật
Khơng có
9. Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến
Điều kiện cơ sở vật chất trường học bình thường cũng có thể áp dụng
phương pháp này.
10. Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng
sáng kiến theo ý kiến của tác giả và theo ý kiến của tổ chức, cá nhân đã
tham gia áp dụng sáng kiến lần đầu, kể cả áp dụng thử (nếu có) theo các nội
dung sau:
10.1. Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng sáng
kiến theo ý kiến của tác giả:
Học sinh có hứng thú học hơn, tích cực làm bài tập hơn.
10.2. Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng sáng
kiến theo ý kiến của tổ chức, cá nhân:
11. Danh sách những tổ chức/cá nhân đã tham gia áp dụng thử hoặc áp
dụng sáng kiến lần đầu (nếu có):
Sớ
TT

Tên tổ
chức/cá nhân

Địa chỉ

Phạm vi/Lĩnh vực

1

Lớp 11a1

Trung tâm GDNN –GDTX
Tam Dương

Giáo dục

2

Lớp 11a2

Trung tâm GDNN –GDTX
Tam Dương

Giáo dục

3

Lớp 11a3

Trung tâm GDNN –GDTX
Tam Dương

Giáo dục

áp dụng sáng kiến

Tam Dương, ngày.....tháng năm. 2019. Tam Dương, ngày 12 tháng 4năm.2020.
25