Chuyên đề phương trình bậc nhất một ẩn lớp 8

CHUN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN
1. Phương trình một ẩn:
Phương trình một ẩn: là một phương trình với ẩn x có dạng A(x) = B(x) .
Trong đó, vế trái A(x) và vế phải B(x) là hai biểu thức của cùng một biến x.
VD : 2x + 1 = x là một phương trình ẩn x
 2t –5 = 3(4 –t) –7 là một phương trình ẩn t.
 x2 + 1 = x + 1;
2x5 = x3 + x;


1
= x – 2;
x

x +1 = 0;

x2 - x =100

2.Phương trình tương đương
Hai phương trình được gọi là tương đương với nhau nếu chúng có cùng một tập tập nghiệm.
Kí hiệu :Hai phuơng trình tương đương với nhau, ta dùng ký hiệu 
VD1 : * x –1= 0  x = 1
* x=2  x-2=0
VD2: Phương trình x + 1 = 0 có nghiệm là x = -1  S1 = {-1}
Phương trình 4x = -4 có nghiệm là x = -1  S2 = {-1}
Hãy so sánh 2 tập nghiệm của phương trình này?  S1 = S2
Kết luận hai phương trình này tương đương với nhau.
3.Phương trình bậc nhất một ẩn.
Phương trình dạng ax +b = 0, với a và b là hai số đã cho và a  0, được gọi là phương trình bậc nhất một
ẩn .
VD: 5x + 8 = 0: là phương trình bậc nhất một ẩn, trong đó a = 5; b = 8

-2x + 4 = 0: là phương trình bậc nhất một ẩn, trong đó a = -2; b= 4
-7x – 3 = 0: là phương trình bậc nhất một ẩn, trong đó a = -7; b = -3
4.Quy tắc biến đổi phương trình
Quy tắc chuyển vế : Trong phương trình ta có thể chuyển một hạng tử từ vế này sang vế kia và đổi dấu hạng
tử đó : Khi chuyển một số hạng từ vế này sang vế kia của một đẳng thức, ta phải đổi dấu số hạng đó : dấu (+)
đổi thành dấu (-) và dấu (-) đổi thành dấu (+)
VD: a)Cho phương trình: x – 2 = 0, chuyển hạng tử -2 từ vế trái sang vế phải và đổi dấu thành +2 ta được x
=2
2
2
2
b) Cho phương trình:
+ x = 0, chuyển hạng tử
từ vế trái sang vế phải và đổi dấu thành - ta
3
3
3
2
được x = 3
3
3
c) x – 4 = 0  x = 4
d) + x = 0  x = e) 0,5 – x = 0  x = 0,5
4
4
A
 Dấu ngoặc nhọn:  :có nghĩa là « VÀ », tức là : A và B đồng thời xảy ra ; nếu như chỉ có A, hoặc
B
chỉ có B xảy ra thì thu được Kết quả là Sai !
A

 Dấu ngoặc vuông :  : có nghĩa là « HOẶC », tức là : hoặc là A hoặc là B xảy ra thì đều có thể thu
B
được kết quả đúng ! Khơng nhất thiết cả A và B phải cùng xảy ra đồng thời.
c) Dấu :***Dấu tương đương  : để chỉ 2 phương trình tương đương với nhau, tức là chúng có cùng
tập nghiệm.
***Dấu suy ra  : để chỉ 2 phương trình khơng tương đương với nhau, tức là chúng khơng có
cùng tập nghiệm.
2.(3 x  1)( x  2) 3.( 2 x 2  1) 11 .3


VD1:
(1)
6
6
6
 2.(3x – 1)(x + 2) – 3.(2x2 + 1) = 11.3 (2)


*Do phương trình (1) có mẫu chung là 6 : là một số tự nhiên không chứa biến x, nên nó khơng có điều
kiện xác định để loại nghiệm, tức là mọi giá trị của x đều có khả năng làm nghiệm của nó.
* Xét phương trình (2) cũng vậy. Do nó khơng có mẫu nên mọi giá trị của x đều có khả năng là nghiệm
của nó.
Vậy hai phương trình (1) và (2) tương đương với nhau.
2( x  2)( x  2) x(2 x  3
VD2 :
(1)

2 x ( x  2)
2( x  2)
 2(x + 2)(x - 2) = x(2x + 3) (2)

 x0
x  0
* Dễ thấy phương trình (1) có ĐKXĐ là 
, tức là ngoại trừ hai giá trị

x  2  0
x  2
x = 0 và x=2 là không thể làm nghiệm của (1), ngoài ra tất cả các giá trị khác đều có khả năng là nghiệm
của (1).
*Cịn phương trình (2), do nó khơng có mẫu nên mọi giá trị của x đều có khả nang là nghiệm của nó.
Vậy hai phương trình (1) và (2) khơng có cùng tập nghiệm nên nó khơng tương đương, do đó ta phải dùng
dấu  .
d)Quy tắc nhân với một số :
Trong một phương trình ta có thể nhân cả hai vế với cùng một số khác 0.
A.B = C.B
(A,C # 0, B tùy ý)
1
VD : Cho phương trình: x = 3, nhân hai vế của phương trình với 2 ta được: x = 6
2
Trong một phương trình ta có thể chia cả hai vế cho cùng một số khác 0.
2
VD: Cho phương trình 3x = -2, chia hai vế của phương trình cho 3 ta được: x =
3
 Các quy tắc biến đổi trên là quy tắc biến đổi từ một phương trình thành một phương trình tương
đương với nó nhưng phương trình này đơn giản hơn.
5. Cách giải phương trình bậc nhất một ẩn
 Tổng quát , phương trình ax +b = 0( với a  0) được giải như sau :
ax + b = 0  a x = - b  x = -b/a
Vậy phương trình bậc nhất một ẩn
ax +b = 0 ln có một nghiệm duy nhất x = - b/a

VD: Giải phương trình 3x – 9 =0
 3x = 9 (Chuyển – 9 từ vê trái sang vế phải và đổi dấu thành 9)
( chia cả hai vế cho 3)
 x= 3
GIẢI PHƯƠNG TRÌNH ĐƯA VỀ DẠNG ax + b = 0
Các bước giải phương trình gồm:
B1: Quy đồng mẫu 2 vế.
B2: Nhân 2 vế với mẫu chung để khử mẫu.
B3: Chuyển các hạng tử chứa ẩn sang 1 vế, hằng số sang vế kia.
B4: Thu gọn và giải pt vừa nhận được.
VD: Giải phương trình
(3 x  1)( x  2) 2 x 2  1 11


3
2
2
Giải:
Phương trình đã cho tương đương:
2.(3 x  1)( x  2) 3.( 2 x 2  1) 11 .3


6
6
6
 2.(3x – 1)(x + 2) – 3.(2x2 + 1) = 11.3


 (6 x  2)( x  2)  (6 x 2  3)  33
 6 x 2  12 x  2 x  4  6 x 2  3  33

 6 x 2  12 x  2 x  6 x 2  33  4  3
 10 x  40
 x  10
Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là: S = {4}
 Chú ý: *Khi giải một phương trình ta thường tìm cách biến đổi phương trình đó về dạng đơn giản nhất ax
+b = 0 hay ax = - b
* Q trình giải có thể dẫn đến hệ số của ẩn bằng 0. Khi đó phương trình có thể vô nghiệm hoặc vô
số nghiệm
VD1: x+1 = x –1  x – x = -1 –1
 0.x = - 2 .Phương trình vơ nghiệm
VD2: x +1 = x+1
 x – x = 1- 1  0.x = 0. Phương trình có vơ số nghiệm. Hay nghiệm đúng với mọi x.
VD3: Giải phương trình: 0.x = x
Giải: Xét 2 trường hợp:
Trường hợp 1: Nếu x = 0, thì phương trình có dạng : 0.0 = 0 ln đúng. Do đó, phương trình
nhận giá trị x = 0 làm nghiệm.
Trường hợp 2: Nếu x # 0, thì phương trình có dạng: 0.x = x phương trình vơ nghiệm.
Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là: S ={0}

PHƯƠNG TRÌNH TÍCH
Trong một tích, nếu có một thừa số bằng 0 thì tích bằng 0. Ngược lại, nếu tích bằng 0 thì ít nhất một trong
các thừa số của tích bằng 0
a.b = 0 <=> a = 0 hoặc b = 0. (a,b là hai số)
Phương trình tích có dạng:
A(x).B(x) = 0
 A(x) = 0 hoặc B(x) = 0
VD: Giải phương trình
(2x-3)(x+1) = 0
Giải :
(2x-3)(x+1) = 0

3

2 x  3  0
2 x  3
x




2
 x  1
 x 1  0
 x  1

3
Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là: S={-1; }
2
PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN Ở MẪU THỨC
Khi biến đổi phương trình mà làm mất mẫu chứa ẩn của phương trình thì phương trình nhận được có thể
khơng tương đương với phương trình đã cho. Bởi vậy khi giải phương trình chứa ẩn ở mẫu ta phải chú ý đến
một yếu tố đặc biệt quan trọng đó là điều kiện xác định của phương trình. Tìm điều kiện xác định của
phương trình là tìm tất cả các giái trị của ẩn làm cho các mẫu thức trong phương trình đều khác 0
VD1:Tìm điều kiện xác định của mỗi phương trình sau :
2x  1
2
1
a)
1
b)
 1

x2
x 1
x2
Giải:
a) ĐKXĐ: x –2 # 0  x # 2
x  1  0
x  1

b)ĐKXĐ: 
x  2  0
 x  2
****Cách giải
Bước 1: Tìm ĐKXĐ của phương trình.
Bước 2: Quy đồng mẫu hai vế của pt rồi khử mẫu.


Bước 3: Giải phương trình vừa nhận được.
Bước 4: (Kết luận) Tìm các giá trị thoả mãn ĐKXĐ.
2x  3
x2
VD: Giải pt chứa ẩn ở mẫu
=
x
2( x  2)
Giải:

x  2
ĐKXĐ: 
x  0
+Bước 2 Quy đồng khử mẫu hai vế của phương trình:

2( x  2)( x  2) x(2 x  3
 2(x + 2)(x - 2) = x(2x + 3)

2 x ( x  2)
2( x  2)
+Bước 3 : Giải phương trình
8
2(x + 2)(x - 2) = x(2x + 3)
x=3

+Bước 1 : Tìm ĐKXĐ của phương trình

8
+Bước 4 : x = -8/3 thoả mãn ĐKXĐ của phương trình . Vẫy S = {- }
3
1
1
VD2: Giải phương trình: x 
 1
x 1
x 1
Giải: -ĐKXĐ: x  1  0  x  1
Khi đó phương trình tương đương:
x.( x  1)
1
1.( x  1)
1




x 1
x 1
x 1
x 1
 x.( x  1)  1  1.( x  1)  1
 x2  x 1  x 11
 x 2  x  x  1  1  1
 x 2  2 x  1
 x 2  2x  1  0
 ( x  1) 2  0  x  1  0  x  1 (Khơng thỏa mãn)
Vậy phương trình đã cho vơ nghiệm.
VD3: Giải phương trình:

x
x
2x


2  x  3  2 x  2  x  1 x  3 

Giải:Phương trình đã cho tương đương:
x
x
2x
1


2( x  3) 2( x  1) ( x  1)( x  3)
x  3  0
x3


-ĐKXĐ: 
Khi đó:
x 1  0
 x  1
x ( x  1)
x ( x  3)
2 .2 x
(1) 


2( x  3)( x  1) 2.( x  1)( x  3) 2.( x  1)( x  3)
 x ( x  1)  x ( x  3)  2.2 x
 x 2  x  x 2  3x  4 x
 x 2  x  x 2  3x  4 x  0
 2x 2  6x  0
 x0
 x  0 (Thỏa mãn)
 2 x ( x  3)  0  

x  3  0
 x  3 (Khơng thỏa mãn)
Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là: S={0}.


1
1
 x 2  2 (1)
x
x

Giải: ĐKXĐ : x  0
x.x 2 1.x x 2 .x 2
1
(1)  2  2 
 2
2
x
x
x
x
2
2
2
 x..x  x  x .x  1

VD4: x 

 x 4  x  x 4  1  x  1 (Thỏa mãn)
Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là: S = {1}.

PHƯƠNG TRÌNH CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
1. Nhắc lại về giá trị tuyệt đối
 a n Õu a  0
Giá trị tuyệt đối của số a được định nghĩa:
a 
  a n Õu a  0
VD1: 12 = 12



;

2
2
2
= - ( ) =
3
3
3

;

0 =0

VD2: Bỏ dấu giá trị tuyệt đối và rút gọn các biểu thức:
a) A = x  3 + x – 2 khi x > 3
b) B = 4x + 5 + 2x khi x > 0
nên x  3 = x – 3.

Giải:a) Khi x > 3 ta có x – 3 > 0

Vậy: A = x – 3 + x – 2 = 2x – 5
2x = - (-2x) = 2x.
b) Khi x > 0 ta có – 2x < 0 nên
Vậy: B = 4x + 5 + 2x = 6x + 5.
VD3: Rút gọn các biểu thức :a) C = 3x + 7x – 4 khi x < 0

b) D = 5 – 4x + x  6 khi x < 6

Giải:a) Khi x < 0  - 3x > 0 nên 3x = - 3x

Vậy C = - 3x + 7x – 4  4 x  4
b) Khi x < 6  x – 6 < 0 nên

x  6 = - (x – 6) = 6 – x

Vậy D = 5 – 4x + 6 – x = 11 – 5x
2. Giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối.
VD1: Giải phương trình:

3x

=x+4

Giải: Điều kiện: x  4  0  x  4 (Do vế trái luôn luôn  0).

 3x  x  4
 3x  x  4
 2x  4
 x2
 x2
3x  x  4  




( Thỏa)
3
x



x

4
3
x


x

4
3
x

x


4
4
x


4
x


1









Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là: S = {- 1; 2}.
VD2: Giải phương trình: x  3 = 9 – 2x

9
 x hay x  4,5 .Ta có:
2
 x  3  9  2x
 x  2x  9  3
 3x  12
 x4
 x  4 (Chọn)
x  3  9  2x  




(Loại)
 x  3  9  2 x
 x  2 x  9  3  x  6
x  6
x  3   9  2x 

Giải : Điều kiện: 9  2 x  0  9  2 x 

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là: S = {4}

BÀI TẬP VẬN DỤNG

Bài 1. Tìm giá trị của k sao cho:
a. Phương trình: 2x + k = x – 1

có nghiệm x = – 2.

b. Phương trình: (2x + 1)(9x + 2k) – 5(x + 2) = 40

có nghiệm x = 2


c. Phương trình: 2(2x + 1) + 18 = 3(x + 2)(2x + k)

có nghiệm x = 1

d. Phương trình: 5(m + 3x)(x + 1) – 4(1 + 2x) = 80

có nghiệm x = 2

Bài 2. Tìm các giá trị của m, a và b để các cặp phương trình sau đây tương đương:
a. mx2 – (m + 1)x + 1 = 0

và

(x – 1)(2x – 1) = 0

b. (x – 3)(ax + 2) = 0

và

(2x + b)(x + 1) = 0

Bài 3. Giải các phương trình sau bằng cách đưa về dạng ax + b = 0:
1. a) 3x – 2 = 2x – 3

b) 3 – 4y + 24 + 6y = y + 27 + 3y

c) 7 – 2x = 22 – 3x

d) 8x – 3 = 5x + 12

e) x – 12 + 4x = 25 + 2x – 1

f) x + 2x + 3x – 19 = 3x + 5

g) 11 + 8x – 3 = 5x – 3 + x

h) 4 – 2x + 15 = 9x + 4 – 2x

2. a) 5 – (x – 6) = 4(3 – 2x)
c) 7 – (2x + 4) = – (x + 4)

b) 2x(x + 2)2 – 8x2 = 2(x – 2)(x2 + 2x + 4)
d) (x – 2)3 + (3x – 1)(3x + 1) = (x + 1)3

e) (x + 1)(2x – 3) = (2x – 1)(x + 5)f) (x – 1)3 – x(x + 1)2 = 5x(2 – x) – 11(x + 2)
g) (x – 1) – (2x – 1) = 9 – x

h) (x – 3)(x + 4) – 2(3x – 2) = (x – 4)2

i) x(x + 3)2 – 3x = (x + 2)3 + 1

j) (x + 1)(x2 – x + 1) – 2x = x(x + 1)(x – 1)

3. a) 1,2 – (x – 0,8) = –2(0,9 + x)

b) 3,6 – 0,5(2x + 1) = x – 0,25(2 – 4x)

c) 2,3x – 2(0,7 + 2x) = 3,6 – 1,7x d) 0,1 – 2(0,5t – 0,1) = 2(t – 2,5) – 0,7
e) 3 + 2,25x +2,6 = 2x + 5 + 0,4x f) 5x + 3,48 – 2,35x = 5,38 – 2,9x + 10,42
4. a)

5x  2 5  3x

3
2

3
13
c) 2 x    5    x 


5

 5



b)

10 x  3
6  8x
 1
12
9

d)

7
20 x  1,5
x  5(x  9) 
8
6
5x  6
3

e)

7x  1
16  x
 2x 
6
5

f) 4(0,5  1,5x)  

g)

3x  2 3x  1 5


  2x
2
6
3

h)

x4
x x2
x4 
5
3
2

i)

4x  3 6x  2 5x  4


3
5
7
3

k)

5x  2 8x  1 4x  2



5
6
3
5

m)

2x  1 x  2 x  7


5
3
15

n)

1
1
1
(x  3)  3  (x  1)  (x  2)
4
2
3

p)

x 2x  1 x

 x
3

6
6

q)

2x
1  2x
 0,5x 
 0,25
5
4


r)

3x  11 x 3x  5 5x  3
 

11
3
7
9

s)

9x  0,7 5x  1,5 7x  1,1 5(0,4  2x)



4

7
6
6

t)

2x  8 3x  1 9x  2 3x  1



6
4
8
12

u)

x  5 2x  3 6x  1 2x  1



4
3
3
12

v)
5. a)

5x  1 2x  3 x  8 x




10
6
15
30

4  3x
x3
7x 
5 
2  x 1
15
5

2x 

w)

3(x  30)
1 7x 2(10 x  2)
5(x  1)  2 7x  1 2(2x  1)


 5 b) x 
 24 

6
4

7
15
2 10
5
1
2

c) 14 

2(x  3) 3x 2(x  7)


5
2
3

d)

x  1 3(2x  1) 2x  3(x  1) 7  12 x



3
4
6
12

e)

3(2x  1) 3x  1

2(3x  2)

1 
4
10
5

f) x 

g)

3(x  3) 4x  10,5 3(x  1)


6
4
10
5

h)

3
7
10 x  3
(2x  1) 
(1  2x) 
17
34
2

2(3x  1)  1
2(3x  1) 3x  2
5

4
5
10

Bài 4. Tìm giá trị của x sao cho các biểu thức A và B cho sau đây có giá trị bằng nhau:
a) A = (x – 3)(x + 4) – 2(3x – 2)

và

B = (x – 4)2

b) A = (x + 2)(x – 2) + 3x2

và

B = (2x + 1)2 + 2x

c) A = (x – 1)(x2 + x + 1) – 2x

và

B = x(x – 1)(x + 1)

d) A = (x + 1)3 – (x – 2)3

và

B = (3x –1)(3x +1).

Baøi 5. Giải các phương trình sau:
a)

(2 x  1) 2 ( x  1) 2 7 x 2  14 x  5


5
3
15

b)

7x 1
16  x
 2x 
6
5

( x  2) 2 (2 x  3)(2 x  3) ( x  4) 2


0
c)
3
8
6

Baøi 6. Giải các phương trình sau:
a) x 

x 1
1  2x
3x 
5  1
3
3
5

2x 

b)

1  2x 3x  1
x 1
2x 
6
3  2
2 
3
2
5

3x  1 

Baøi 7. Giải các phương trình sau:
a)

x  23 x  23 x  23 x  23



24
25
26
27

b)

x2
 x3
 x4
 x5

 1  
 1  
 1  
 1

 98
  97
  96
  95


c)

x 1 x  2 x  3 x  4




2004 2003 2002 2001

d)

201  x 203  x 205  x


3 0
99
97
95


e)

x  45 x  47 x  55 x  53



55
53
45
47

f)

x 1 x  2 x  3 x  4




9
8
7
6

g)

x2 x4 x6 x8



98
96
94
92

h)

2x
1 x
x
1 

2002
2003 2004

i)

x 2  10 x  29 x 2  10 x  27 x 2  10 x  1971 x 2  10 x  1973



1971
1973
29
27

Bài 8. Giải các phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối sau:
a) 9  x  2 x

e) 5 x  3 x  2

b) x  6  2 x  9

g ) 2,5 x  x  12

c) 2 x  3  2 x  3

h) 5 x  3 x  2  0

d ) 4  2 x  4 x

i ) 2 x  x  5 x  3  0

k ) 3  x  x 2  x ( x  4)  0
m)  x  1  x  21  x 2  13  0
2

Bài 9. Giải các phương trình chứa ẩn ở mẫu sau:
3x 2  7x  10
0
x

b)

4x  17
0
2x 2  1

c)

(x 2  2x)  (3x  6)
0
x2

x2  x  6
0
x3

e)

2x  5
3
x5

f)

5
 2x  1
3x  2

x2  6
3
g)
x
x
2

h)

4
x2 0
x2

1. a)
d)

2. a)

2x  1
1
1 
x 1
x 1
1
x

c) x   x 2 

1
x2

b)

1
3x
3
x2
x2

d)

1
x8

8
7x x7

e)

1
x3
3
x2
2x

f)

5x
6
1  
2x  2
x 1

i)

5x  2 2x  1
x2  x  3

 1
2  2x
2
1 x

j)

5  2x (x  1)(x  1) (x  2)(1  3x)


3
3x  1
9x  3

2
x5

1

x  3 x 1

b)

x3 x2

2
x 1
x

c)

x6
x

x4 x2

d) 1 

e)

x3 x2
1

3
x2 x4
5

f)

3. a)

2x  5 3x  5

0
x2
x 1

x3 x2

 1
x2 x4


g)

3x  2 6x  1

x  7 2x  3

h)

x  1 x  1 2(x 2  2)


x2 x2
x2  4

i)

2x  1 5(x  1)

x 1
x 1

j)

x 1
x
5x  2


x  2 x  2 4  x2

k)

x2
3
2(x  11)

 2
2x x2
x 4

l)

x 1 x2  x  2 x 1


x2

x 1
x 1
x 1

m)

x 1 x 1
4

 2
x 1 x 1 x 1

n)

3
15
7


2
4(x  5) 50  2x
6(x  5)

o)

8x 2
2x
1  8x



2
3(1  4x ) 6x  3 4  8x

p)

13
1
6

 2
(x  3)(2x  7) 2x  7 x  9

4. a)

1
5
15


x  1 x  2 (x  1)(2  x)

b) 1 

c)

6
4
8



x  1 x  3 (x  1)(3  x)

d)

x2 1
2
 
x  2 x x( x  2)

e)

1
3
5


2x  3 x(2x  3) x

f)

x 3  (x  1) 3
7x  1
x


(4x  3)(x  5) 4x  3 x  5

g)

3x  1 2x  5

4

 1
x 1
x3
(x  1)(x  3)

h)

13
1
6


(x  3)(2x  7) 2x  7 (x  3)(x  3)

i)

3x
x
3x


x  2 x  5 (x  2)(5  x)

j)

3
2
1



(x  1)(x  2) (x  3)(x  1) (x  2)(x  3)

x
5x
2


3  x (x  2)(3  x) x  2

Baøi 10. Giải các phương trình chứa ẩn ở mẫu sau:
a)

x 1 x 1
16

 2
x 1 x 1 x 1

b)

12
x 1 x  7


0
x 4 x2 x2

c)

12
1
 1
3
x2
8 x

d)

x  25
x5
5 x
 2
 2
2
2x  50 x  5x 2x  10 x

e)

4
2x  5 2x


x  2x  3 x  3 x  1

f)

3
1

7


x  x  2 x 1 x  2

g)

2
x 1 x  3


 x  6x  8 x  2 x  4

h)

3
1

2
x 1
x  x  x 1 1 x

i)

x2
2
1
 2

x  2 x  2x x

j)

5
x3

0
 x  5x  6 2  x

k)

x
2x
x
 2

2x  2 x  2x  3 6  2x

l)

1
3x 2
2x
 3
 2
x 1 x 1 x  x 1

b)

1

1
2
 2
 2
x  3x  2 x  5x  6 x  4x  3

2

2

2

2

2

3

2



2

Baøi 11. Giải các phương trình sau:
a)

4
3
2



 25x  20 x  3 5x  1 5x  3
2

2


c)

x 1
7
5x
1
1
1
1
 2
 2


 2

d) 2 1
2
18
2x  4x 8x 4x  8x 8x  16
x  9x  20 x  11x  30 x  13x  42

Baøi 12. Tìm các giá trị của a sao cho mỗi biểu thức sau có giá trị bằng 2.

2a 2  3a  2
a)
a2  4

b)

3a  1 a  3

3a  1 a  3

Bài 13. Tìm x sao cho giá trị của hai biểu thức

6x  1
2x  5
và
bằng nhau.
3x  2
x3

Bài 14. Tìm y sao cho giá trị của hai biểu thức

y  5 y 1
8
và
bằng nhau.

y 1 y  3
(y  1)(y  3)

Baøi 15. Giải các phương trình tích sau:

1. a) (3x – 2)(4x + 5) = 0

b) (2,3x – 6,9)(0,1x + 2) = 0

c) (4x + 2)(x2 + 1) = 0

d) (2x + 7)(x – 5)(5x + 1) = 0

e) (x – 1)(2x + 7)(x2 + 2) = 0

f) (4x – 10)(24 + 5x) = 0

g) (3,5 – 7x)(0,1x + 2,3) = 0

h) (5x + 2)(x – 7) = 0

i) 15(x + 9)(x – 3) (x + 21) = 0

j) (x2 + 1)(x2 – 4x + 4) = 0

2(x  3) 4x  3 
k) (3x – 2) 

= 0

l) (3,3 – 11x) 



7

5



7x  2 2(1  3x 

= 0
3 
 5

2. a) (3x + 2)(x2 – 1) = (9x2 – 4)(x + 1) b)x(x + 3)(x – 3) – (x + 2)(x2 – 2x + 4) = 0
c) 2x(x – 3) + 5(x – 3) = 0

d) (3x – 1)(x2 + 2) = (3x – 1)(7x – 10)

e) (x + 2)(3 – 4x) = x2 + 4x + 4

f) x(2x – 7) – 4x + 14 = 0

g) 3x – 15 = 2x(x – 5)

h)

(2x + 1)(3x – 2) = (5x – 8)(2x + 1)

i) 0,5x(x – 3) = (x – 3)(1,5x – 1) j) (2x2 + 1)(4x – 3) = (x – 12)(2x2 + 1)
k) x(2x – 9) = 3x(x – 5)

l) (x – 1)(5x + 3) = (3x – 8)(x – 1)

m) 2x(x – 1) = x2 - 1

n) (2 – 3x)(x + 11) = (3x – 2)(2 – 5x)
2

o)

3
1
x  1  x(3x  7)
7
7

3
3
1
p)  x     x   x    0

q)

1
1

 2    2 (x 2  1)
x
x


r) (2x  3)



4



4 

2

3x  8 
 3x  8 
 1  (x  5)
 1
 2  7x 
 2  7x 

s) (x + 2)(x – 3)(17x2 – 17x + 8) = (x + 2)(x – 3)(x2 – 17x +33)
3. a) (2x – 5)2 – (x + 2)2 = 0

b) (3x2 + 10x – 8)2 = (5x2 – 2x + 10)2

c) (x2 – 2x + 1) – 4 = 0

d) 4x2 + 4x + 1 = x2

e) (x + 1)2 = 4(x2 – 2x + 1)2

f) (x2 – 9)2 – 9(x – 3)2 = 0

g) 9(x – 3)2 = 4(x + 2)2

h) (4x2 – 3x – 18)2 = (4x2 + 3x)2

i) (2x – 1)2 = 49

j) (5x – 3)2 – (4x – 7)2 = 0

k) (2x + 7)2 = 9(x + 2)2

l) 4(2x + 7)2 = 9(x + 3)2

m) (x2 – 16)2 – (x – 4)2 = 0

n) (5x2 – 2x + 10)2 = (3x2 + 10x – 8)2

o)

1
x  32  1 x  52  0
9
25
2

2x
3x
q)   1    1
 3


 2


2

4. a) 3x2 + 2x – 1 = 0

2

3x 1
x 2
p)       
 5

3

5

3

2

1
1
r)  x  1     x  1  
x
x



2

b) x2 – 5x + 6 = 0

c) x2 – 3x + 2 = 0

d) 2x2 – 6x + 1 = 0

e) 4x2 – 12x + 5 = 0

f) 2x2 + 5x + 3 = 0

g) x2 + x – 2 = 0

h) x2 – 4x + 3 = 0

i) 2x2 + 5x – 3 = 0

j) x2 + 6x – 16 = 0

5. a) 3x2 + 12x – 66 = 0

2

b) 9x2 – 30x + 225 = 0

c) x2 + 3x – 10 = 0

d) 3x2 – 7x + 1 = 0

e) 3x2 – 7x + 8 = 0

f) 4x2 – 12x + 9 = 0

g) 3x2 + 7x + 2 = 0

h) x2 – 4x + 1 = 0

i) 2x2 – 6x + 1 = 0

j) 3x2 + 4x – 4 = 0

Baøi 16. Cho phương trình (ẩn x): 4x2 – 25 + k2 + 4kx = 0
a) Giải phương trình với k = 0

b) Giải phương trình với k = – 3

c) Tìm các giá trị của k để phương trình nhận x = – 2 làm nghiệm.
Bài 17. Cho phương trình (ẩn x): x3 + ax2 – 4x – 4 = 0
a) Xác định m để phương trình có một nghiệm x = 1.
b) Với giá trị m vừa tìm được, tìm các nghiệm cịn lại của phương trình.
Bài 18. Cho phương trình (ẩn x): x3 – (m2 – m + 7)x – 3(m2 – m – 2) = 0
c) Xác định a để phương trình có một nghiệm x = – 2.
d) Với giá trị a vừa tìm được, tìm các nghiệm cịn lại của phương trình.
Bài 19 : Tìm các giá trị của m sao cho phương trình :
a)12 – 2(1- x)2 = 4(x – m) – (x – 3 )(2x +5) có nghiệm x = 3 .
b)(9x + 1)( x – 2m) = (3x +2)(3x – 5) có nghiệm x = 1.
Bài 20 : Cho phương trình ẩn x : 9x2 – 25 – k2 – 2kx = 0

a)Giải phương trình với k = 0
b)Tìm các giá trị của k sao cho phương trình nhận x = - 1 làm nghiệm số.