Vận dụng quan điểm trực quan vào việc hình thành khái niệm và định lí hình học không gian (chương quan hệ vuông góc hìmh học lớp 11

TRƢỜNG ĐẠI HỌC VINH
KHOA TOÁN
----------------

VẬN DỤNG QUAN ĐIỂM TRỰC QUAN VÀO
VIỆC HÌNH THÀNH KHÁI NIỆM VÀ ĐỊNH
LÝ HÌNH HỌC KHƠNG GIAN
(CHƯƠNG QUAN HỆ VNG GĨC - HÌNH HỌC LỚP 11)

KHỐ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Ngành học: CỬ NHÂN SƯ PHẠM TOÁN
Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC TOÁN

Cán bộ hướng dẫn khoá luận: GS.TS. Đào Tam

THS. Thái Thị Hồng Lam


Lời cảm ơn
Để hồn thành luận văn này tơi xin chân thành cảm ơn:
- PGS.TS Đào Tam – Khoa toán – Trường đại học Vinh.
- Thạc sĩ Thái Thị Hồng Lam - Khoa toán – Trường đại học Vinh.
- Thầy giáo Nguyễn Văn Thịnh – Giáo viên trường THPT Triệu Sơn –
Thanh Hố.
- Các thầy cơ giáo trong Khoa tốn – Trường đại học Vinh cùng gia đình
và tồn thể bè bạn đã giúp đỡ tơi trong q trình học tập và hồn thành
luận văn .
Do thời gian ít, năng lực bản thân còn hạn chế, kinh nghiệm trong giảng
dạy cịn non yếu nên luận văn khơng tránh khỏi những thiếu sót. Tơi rất
mong nhận dược sự góp ý của các thầy cô giáo và các bạn. Tôi xin chân
thành cảm ơn.

Vinh, tháng 4 năm 2003.
Người thực hiện:
Vũ Đoàn Kết.


Mục lục.
Trang
Mở đầu
Chương I. Cơ sở lý luận

1
4

1. Khái niệm trực quan

4

2. Cơ sở khoa học.
3. Cơ sở lý luận dạy học
4. Cơ sở thực tiễn
*) Kết luận chương I

8
14
21
22

Chương II. Các biện pháp dạy học trực quan.
Phần 1. Cơ sở xây dựng các biện pháp trực quan.
1. Lý luận về hoạt động nhận thức.

2. Toán học là một khoa học trừu tượng.
3. Trình độ tư duy trừu tượng của học sinh còn thấp .
4. Mâu thuẫn trong nội bộ mơn tốn
.
5. Quan điểm đổi mới Phương pháp dạy học
.
Phần 2: Các biện pháp dạy học trực quan.

23
23
23
25
28
29
31

1- Sử dụng đồ dùng dạy học.
2- Sử dụng kiến thức đã biết (có trước) của học sinh.
3- Sử dụng phép tương tự .

33
39
46

4- Sử dụng phương tiện trực quan là phần mềm ứng dụng.

53

Chương III. Thực nghiệm sư phạm.
Kết luận.

Tài liệu tham khảo .

33

57
59
60


MỞ ĐẦU
I. Lí do chọn đề tài:
Để học tốt mơn tốn nói chung và mơn hình học khơng gian (lớp 11)
nói riêng thì người học cần nắm vững hệ thống các khái niệm và định lý toán
học.
Sách giáo khoa đã trình bày các khái niệm, các định lý và nêu cách
chứng minh một số định lý, song lại chưa chỉ ra con đường hình thành và
cách học khái niẹm và định lý ra sao để học sinh dễ tiếp thu.
Nhìn chung học sinh phổ thông học khái niệm và định lý tốn học một
cách máy móc, ghi nhớ nhưng chưa hiểu bản chất của khái niệm và định lý,
điều đó làm cho tư duy toán học cuả các em kém phát triển.
Giáo viên trung học phổ thông chưa khai thác và vận dụng tốt quy luật
của hoạt động nhận thức mà Lênin đã nêu ra: “Từ trực quan sinh động đến
tư duy trừu tượng, từ tư duy trừu tượng đến thực tiễn, đó là con đường biện
chứng của sự nhận thức chân lý, của nhận thức thực tại khách quan”. Vì thế
học sinh tiếp thu kiến thức một cách thụ động, ghi chép và học bài một cách
máy móc. Điều đó dẫn đến tư duy sáng tạo của các em bị hạn chế ghi nhớ
khơng lơgic.
Tốn học là một khoa học trừu tượng cao, song toán học lại nảy sinh
và phát triển từ những vấn đề cụ thể trong đời sống thực tiễn. Học sinh khi
học cũng sẽ tiếp thu tốt hơn nếu giáo viên biết sử dụng tốt mô hình trực

quan, hình vẽ, kiến thức có trước… và từ đó khái qt hố lên cho trường
hợp tổng qt và đi đến cái trừu tượng.
Xuất phát từ những lí do trên chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu là: “Vận
dụng quan điểm trực quan vào việc hình thành khái niệm và định lý hình học
khơng gian (Chương quan hệ vng góc trong khơng gian – lớp 11)”.


Quan hệ vng góc trong khơng gian - được chọn làm minh hoạ cho
những ý tưởng của đề tài vì chương này địi hỏi ở học sinh trí tưởng tượng
khơng gian phong phú, ở khả năng suy diễn linh hoạt, cơ bản và vững chắc.
Mặt khác khi học sinh bước vào chương này các em đã nắm vững vị trí
tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng trong không gian, đã có những
hiểu biét cần thiết về các phương pháp tìm tịi và chứng minh, hay các cách
thức hành động qua quá trình nghiên cứu quan hệ song song trong khơng
gian.
Bàn về chủ đề phương tiện trực quan, đã có một số tác giả như: PTS.
Bùi Gia Quang – phương tiện dạy học mơn tốn.(Tài liệu dùng cho hệ đào
tạo Cao học thạc sĩ – chuyên ngành: Phương pháp giảng dạy Tốn).
II. Mục đích nghiên cứu.
Mục đích nghiên cứu của luận văn này là xây dựng hệ thống các biện
pháp hình thành khái niệm và định lý ở chương quan hệ vng góc của hình
học khơng gian lớp 11 theo quan điểm trực quan.
III. Giả thuyết khoa học:
Nếu quan tâm đúng mức trong việc hình thành khái niệm và định lý về
quan hệ vng góc sẽ giúp học sinh hiểu và nắm được một cách vững chắc
kiến thức hình học khơng gian tạo điều kiện cho các em học hình học không
gian tốt hơn.
IV. Nhiệm vụ nghiên cứu.
1. Nghiên cứu khái niệm trực quan và các cấp độ của nó.
2. Vận dụng quan điểm trực quan vào việc hình thành khái niệm và định lí

hình học khơng gian.
3. Xây dựng các phương pháp hình thành khái niệm và định lý.
4. Tiến hành thực nghiệm sư phạm .
V. Phƣơng pháp nghiên cứu.


5.1- Nghiên cứu lý luận:
Nghiên cứu các tài liệu về lý luận, dạy học, phương pháp dạy học, tâm
lý học làm sáng tỏ nội dung của đề tài.
Đọc sách giáo khoa và tài liệu tham khảo về phương pháp dạy học
khái niệm và diịnh lý .
5.2- Điều tra và tìm hiểu:
- Tình hình dạy và học khái niệm, định lý hình học khơng gian ở trong
trường phổ thơng.
- Những khó khăn mà học sinh và giáo viên gặp phải khi dạy học hình học
khơng gian.
5.3- Làm các mơ hình trực quan giúp việc dạy học hình học khơng gian.
5.4- Thực nghiệm sư phạm.
VI. Cấu trúc của luận văn.
Mở đầu.
Chương I. Cơ sở lý luận.
Chương II. Các biện pháp dạy học trực quan.
Chương III. Thực nghiệm sư phạm.

Chƣơng I. CƠ SỞ LÍ LUẬN.
1. Khái niệm trực quan.
1.1 Trực quan.
a, Trực quan trong triết học.
Để khái quát con đường nhận thức, Lênin viết “ Từ trực quan sinh
động đến tư duy trừu tượng, và từ tư duy trừu tượng đến thực tiễn - đó là con

đường biện chứng của sự nhận thức chân lí, của sự nhận thức thực tại khách
quan”.
Trong đó “ Trực quan sinh động” được hiểu là giai đoạn đầu tiên của
quá trình nhận thức, gắn liền với thực tiễn. Trực quan sinh động là phản ánh
trực tiếp khách thể bằng các giác quan và diễn ra với các hình thức cơ bản kế
tiếp nhau như: cảm giác, tri giác và biểu tượng. Như vậy theo Triết học thì
trực quan rất quan trọng đối với việc nhận thức khách quan, nó là tài liệu, là
cơ sở đầu tiên khởi nguồn cho sự nhận thức của con người.
b, Trực quan trong Toán học.
Trong Tốn học, trực quan được hiểu là những mơ hình, giáo cụ, hình
vẽ, sơ đồ, bảng biểu, kiến thức cũ, những ví dụ cụ thể,…Chúng ta biết rằng
Tốn học là một khoa học trừu tượng nhưng khi học tập, giảng dạy và
nghiên cứu nó thì lại phải sử dụng các mô phỏng trực quan rất cụ thể và
không hề trừu tượng.
Ví dụ khái niệm về điểm, đường thẳng và mặt phẳng chẳng hạn, đó là
những khái niệm rất trừu tượng là những khái niệm cơ bản của tốn học
khơng được định nghĩa. Khi học tập mọi người đều phải công nhận một
chấm phấn là một điểm, một nét kẻ bằng phấn trên bảng đen là một đường
thẳng tuy trong toán học điều đó là hồn tồn khơng đúng.
Trong dạy học toán, vận dụng đúng đắn nguyên tắc trực quan là đảm
bảo sự chuyển từ “ trực quan sinh động sang tư duy trừu tượng”. Trực quan
có vai trị đặc biệt quan trọng vì mơn tốn địi hỏi phải đạt tới một trình độ
trừu tượng, khái quát cao hớno với cvác mơn học khác và vì trực quan nếu
sử dụng đúng thì sẽ góp phần vào việc phát triển tư duy trừu tượng cho học
sinh.
Mặt khác, do sự phát triển về cấu trúc và chức năng của bộ não cũng
như tâm sinh lí của học sinh nên tư duy của các em vẫn còn xuất phát từ

ngơn ngữ có hình tượng và có khi cả từ trực quan, cụ thể. Năng lực phân
tích, tổng hợp trừu tượng hố, khái qt hố cịn chưa cao.
Vì thế khi dạy học,đặc biệt là dạy hình học khơng gian chúng ta cần
quán triệt nguyên tắc dạy học trực quan trong dạy học toán học.
Vậy thực hiện nguyên tắc trực quan đó bằng những biện pháp
nào? Chúng ta có thể sử dụng các biện pháp sau:
1. Sử dụng thực tế xung quanh (mặt bảng, bức tường, cột nhà, mái nhà,
bút, thước,…)
2. Sử dụng những mơ hình, giáo cụ do giáo viên và học sinh tự làm .
3. Sử dụng ví dụ cụ thể, trình bày bảng đẹp, có thứ tự, viết chữ cẩn
thận, sử dụng đúng mức phấn màu…
4. Sử dụng hình vẽ, đồ thị, sơ đồ, bảng biểu…
5. Sử dụng những hiểu bết của học sinh (kiến thức cũ), những hiểu biết
này ở một giai đoạn nào đó là trừu tượng nhưng ở một giai đoạn khác
lại trở thành cụ thể. Chẳng hạn hình học phẳng là trừu tượng đối với
học sinh THCS nhưng đối với học sinh THPT hình học phẳng lại có thể
là “trực quan sinh động” để làm hiểu rõ một vấn đề của hình học khơng
gian trừu tượng.
c, Trực quan trong giáo dục học:
Trước đây, các nhà giáo dục học đã từng nói “ Giờ đây khi mà tơi
nhìn lại q khứ và tự hỏi: Thực ra tơi đã làm được gì cho nhân loại?
Thì tơi đã tìm thấy ngay điều sau đây: Tơi đã thiết lập được nguyên tắc
dạy học tối cao khi thừa nhận trực quan là nền tảng tuyệt đối của bất kỳ
quá trình nhận thức nào “ – Pextaloxi.
“Trẻ em suy nghĩ bằng hình vẽ, màu sắc, âm thanh, bằng các cảm
giác nói chung, do đó đối với trẻ em rất cần thiết việc dạy học trực
quan dựa trên những hình ảnh cụ thể, được các em cảm thụ một cách

trực tiếp, chứ không phải dựa trên khái niệm và lời nói trừu tượng”. –
K.Đ. Usinxki.
“Trong ý nghĩa nhận thức luận thì trực quan là cái dựa trên những
tri giác và biểu tượng cảm tính của học sinh, vì thế dạy học trực quan
khơng có ý nghĩa nhất thiết phải sử dụng tài liệu trực quan “đồ vật”,
nhưng trước hết phải xây dựng q trình dạy học sao cho ln luôn dựa
trên cảm giác, tri giác và chủ yếu trên các biểu tượng của học sinh” –
Rôzenblat.
Chúng ta nhận thấy sai lầm về phương pháp luận của Pextaloxi là
ông đã tuyệt đối hố phương pháp trực quan. Cịn K.Đ.Usinxki đã hiểu
rộng hơn về trực quan, song ông đã gián tiếp gắn liền “ tính trực quan”
với khả năng “nhìn thấy”.
Ở Rozenbat đã hiểu “trực quan” trong dạy học rộng hơn khả năng
trực tiếp tri giác bằng thị giác . Nhưng rồi chúng ta vẫn chưa có được
một định nghĩa thõa đáng về “trực quan”!?.
Trong khoa học giáo dục ngày nay trực quan được hiểu gồm có
hai thuộc tính đó là: tính đẳng cấu và tính đơn giản. Như vậy mơ hình
trực quan phải là một mơ hình đơn giản về mặt tri giác( Đơn giản dễ
hiểu đối với học sinh) và phản ánh một cách đẳng cấu những nét chủ
yếu của đối tượng (phản ánh đúng đắn và đầy đủ đối tượng cần nghiên
cứu).
1.2. Các cấp độ của trực quan(các loại trực quan).
Trong phạm vi của luận án tốt nghiệp này chúng ta chỉ xét 2 loại
trực quan cơ bản sau:
- Trực quan vật chất.
- Trực quan trừu tượng (trực quan phi vật chất).


Trong đó, trực quan vật chất là những vật dụng cụ thể như: mơ
hình, biểu tượng, giáo cụ tự làm, hình vẽ, bản đồ, bảng biểu, máy

móc…Đối với loại trực quan này học sinh có thể trực tiếp quan sát, sử
dụng nghiên cứu và học tập. Còn trực quan trừu tượng là những ví dụ
cụ thể, những kiến thức, những kinh nghiệm mà học sinh đã có. Đối với
loại trực quan này nó khơng phải là những vật dụng nên học sinh
không thể quan sát trực tiếp mà học sinh phải liên tưởng một cách gián
tiếp. Để sử dụng được loại trực quan này thì học sinh phải nắm vững
kiến thức trước đó, phải nắm được những ví dụ những bài tập ở mức độ
trừu tượng thấp để làm trực quan cho mức độ trừu tượng cao hơn. Ví dụ
để xem kiến thức hình học phẳng là trực quan của kiến thức hình học
khơng gian thì học sinh phải nắm vững kiến thức của hình học phẳng.
Có như vậy hình học phẳng mới trở thành công cụ trực quan cho hình
học khơng gian được.
Như vậy, trong q trình dạy học, tuỳ vào từng đối tượng học
sinh như thế nào mà ta sử dụng loại trực quan nào cho phù hợp. Kết quả
của việc giảng dạy trực quan phụ thuộc vào việc lựa chọn và sử dụng
các phương tiện trực quan trong từng giai đoạn của q trình dạy học
tốn. Chẳng hạn, trong giai đoạn đầu tiên dạy hình học khơng gian cần
chú trọng sử dụng thực tế xung quanh và mơ hình để học sinh dễ tưởng
tượng trên hình vẽ, nhưng sau này khi học sinh đã quen đọc đúng hình
vẽ khơng gian thì khơng cần mơ hình nữa mà khi cần thiết sẽ vẽ riêng
một số yếu tố phẳng nào đó của hình khơng gian theo đúng hình dạng
lên mặt phẳng để học sinh dễ nhận thức, suy luận.
Việc không sử dụng phương tiện trực quan và việc lạm dụng trực
quan đều ảnh hưởng không tốt đến chất lượng học toán. Chúng ta cần
nhớ trực quan chỉ là phương tiện chứ khơng phải là mục đích. Trực


quan đóng vai trị phát triển tư duy của học sinh, Cho nên nếu học sinh
có thể nhận thức được vấn đề mà không cần đồ dùng trực quan (phương
tiện trực quan) thì lúc đó trực quan là hồn tồn không cần thiết. Khi sử

dụng trực quan ta không nên dừng quá lâu mà nhanh chóng chuyển
sang giai đoạn tư duy trừu tượng để phát triển tư duy cho học sinh lên
mức độ cao hơn.
2. Cơ sở khoa học.
2.1. Cơ sở sách giáo khoa:
- Về lý thuyết:
Chương quan hệ vuông góc là chương thứ 3 trong 6 chương của
SGK hình học lớp 11 (chỉnh lý năm 2000).
Quan hệ vng góc được trình bày trong 9 tiết lí thuyết và 7 tiết
bài tập. Bao gồm những chủ đề sau:
Đ1. Hai đường thẳng vng góc.
Đ2. Đường thẳng vng góc với mặt phẳng.
Đ3. Hai mặt phẳng vng góc.
Đ4. Khoảng cách.
Đ5. Góc.
Như vậy, chương này sách giáo khoa đã đưa ra 5 hệ thống khái
niệm mới được thể hiện đầy đủ qua hệ thống gồm 15 định nghĩa và các
tính chất được thể hiện qua 12 định lý, trong đó có 11 định lý được
chứng minh chi tiết.
- Về bài tập:
Sách giáo khoa đã đưa ra một hệ thống rất phong phú bao gồm 32
bài tập và 6 bài ôn tập chương với nội dung chủ yếu là các vấn đề sau:
+) Tính góc giữa 2 đường thẳng trong không gian.


+) Chứng minh 2 đường thẳng vng góc trong khơng gian.
+) chứng minh đường thẳng vng góc với mặt phẳng.
+) Chứng minh mặt phẳng vng góc với mặt phẳng
+) Chứng minh các đẳng thức hình học và bất đẳng thức hình học.
+) Tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng.

+) Tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.
+) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng song song.
+) Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song.
+) Tính khoảng cách giữa hai đường chéo nhau.
+) Tính góc giữa một đường và một mặt phẳng.
+) Tính góc giữa một mặt phẳng và một mặt phẳng.
+) Dựng thiết diện của khối đa diện.
+) Tìm quỹ tích.
+) Tính diện tích của thiết diện hoặc của hình chiếu thiết diện trên một
mặt phẳng nào đó.
+) Chứng minh nhiều đường đồng phẳng.
+) Chứng minh một đường di động luôn đi qua một điểm cố định.
2.2. Hệ thống định nghĩa SGK gồm có:
+) Định nghĩa 1: Góc giữa 2 đường thẳng cắt nhau.
Cho hai đường thẳng a, b cắt nhau tại O chúng tạo thành bốn góc.
Số đo của góc nhỏ nhất trong 4 góc đó được gọi là số đo góc hợp bởi 2
đương thẳng a, b hay đơn giản là góc giữa
hai đường thẳng a,b kí

(b, a ) .


Khi a  b thì (a, b) =00



hiệu là (a, b) hay




(
a
Khi a  b thì , b) = 90 0

.
(
a
Vậy: 0  , b)  900
0

+) Định nghĩa 2: Góc giữa hai đường thẳng a,b là góc giữa hai đường
thẳng cắt nhau a’,b’ lần lượt song song với a và b.
+) Định nghĩa 3: Hai đường thẳng gọi là vuông góc với nhau nếu góc
gữa chúng bằng 90 0.
+) Định nghĩa 4: Một đường thẳng  gọi là vng góc với mặt phẳng
(P) nếu nó vng góc với mọi đường thẳng của mặt phẳng đó.
+) Định nghĩa 5: Phép chiếu song song
lên mặt phẳng (P) theo phương l sẽ gọi
là phép chiếu vng góc lên mặt phẳng
(P) nếu l  mp(P). Cũng có thể gọi nó
đơn giản là phép chiếu lên mp(P).
Nếu (H’) là hình chiếu vng góc của hình (H) lên mp(P) thì ta cũng
nói gọn: (H’) là hình chiếu của (H) lên (P).
+) Định nghĩa 6: Mặt phẳng trung trực của một đoạn thẳng là mặt phẳng
vng góc với đoạn thẳng đó tại trung điểm của nó.
+) Định nghĩa 7: Phép đối xứng qua
mp() là phép cho tương ứng với mỗi
điểm M trong không gian với một điểm
M’ sao cho mp() là mặt phẳng trung
trực của đoạn MM’.

+) Định nghĩa 8: Hai mặt phẳng gọi là vng góc với nhau nếu một trong
hai mặt phẳng đó chứa một đường thẳng vng góc với mặt phẳng kia.
+) Định nghĩa 9:


Một hình lăng trụ được gọi là lăng trụ đứng nếu các cạnh bên của nó
vng góc với các mặt đáy.
Một hình lăng trụ đứng có đáy là miền đa giác đều được gọi là lăng trụ
đều.
Một hình lăng trụ đứng có đáy là hình bình hành được gọi là hình hộp
đứng.
Một hình hộp đứng có đáy là hình chữ nhật được gọi là hình hộp chữ
nhật.
Một hình hộp có tất cả các mặt đều là hình vng gọi là hình lập phương.
+) Định nghĩa 10: Hình chóp cụt được cắt ra từ một hình chóp đều gọi là
một hình chóp cụt đều.
+) Định nghĩa 11: Giả sử a, b là hai
đường thẳng chéo nhau, đường vng
góc chung của chúng cắt a và b lần
lượt tại M và N. Đoạn MN được gọi
là đoạn vng góc chung của a và b.
Độ dài đoạn thẳng MN được gọi là khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo
nhau a và b.
+) Định nghĩa 12: Góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) là góc giữa
đường thẳng a và hình chiếu a' của nó trên (P).
+) Định nghĩa 13: Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần
lượt vng góc với hai mặt phẳng đó.
+) Định nghĩa 14: Hình hợp bởi hai nửa mặt phẳng () và () có chung bờ a
gọi là nhị diện.
+) Định nghĩa 15: Hình hợp bởi ba tia ox, oy, oz không đồng phẳng được gọi

là một tam diện.
2.3. Hệ thống định lý trong SGK gồm có:


Định lý 1: Cho hai dường thẳng song song. Đường thẳng nào vng góc với
đường thẳng thứ nhất thì vng góc với đường thẳng thứ hai.
Định lý 2: Nếu đường thẳng  vng góc với hai đường thẳng a,b cắt nhau
nằm trong mặt phẳng (P) thì  vng góc với mọi đường thẳng c nằm trong
mặt phẳng (P).
Định lý 3: Qua một điểm O cho trước, có một mặt phẳng duy nhất vng
góc với một đường thẳng  cho trước.
Định lý 4: Qua một điểm O cho trước, có một và chỉ một đường thẳng vng
góc với một mặt phẳng (P) cho trước.
Định lý 5: (Định lý 3 đường vuông góc)
Cho đường thẳng a khơng vng góc với mặt phẳng (P).
Một đường thẳng b nằm trong mặt phẳng (P) vuông góc với đường thẳng a
khi và chỉ khi b vng góc với hình chiếu của a trên mặt phẳng (P).
Định lý 6: Tập hợp các điểm cách đều hai đầu của một đoạn thẳng là mặt
phẳng trung trực của đoạn thẳng đó.
Định lý 7: Nếu 2 mặt phẳng vng góc với nhau thì bất cứ đường thẳng nào
nằm trong mặt phẳng này và vng góc với giao tuyến thì vng góc với
mặt phẳng kia .
Định lý 8: Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) vng góc với nhau và A là điểm
nằm trên (P) Thì đường thẳng a đi qua A và vng góc với (Q) sẽ nằm trong
(P).
Định lý 9: Hai mặt phẳng cắt nhau và cùng vng góc với một mặt phẳng
thứ hai thì giao tuyến của hai mặt phẳng đó cùng vng góc với mặt phẳng
thứ ba.
Định lý 10: Qua một đường thẳng a khơng vng góc với mặt phẳng (P) có
một và chỉ một mặt phẳng (Q) vng góc với mặt phẳng (P).

Định lý 11: Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b, ln ln có duy nhất
một đường thẳng  cắt cả a và b, và vng góc với mỗi đường thẳng ấy.
Đường thẳng  đó được gọi là đường vng góc chung của a và b.
Định lý 12: Nếu một tam giác có diện tích S thì hình chiếu của nó có diện
tích S' bằng tích của S với cosin của góc  giữa mặt phẳng của tam giác và
mặt phẳng chiếu. S'=Scos
2.4. Cách trình bày của các tài liệu về quan hệ vng góc:
2.4.1. Quan hệ vng góc trong hình học Ơclit:


n

Trong khơng gian Ơclit E cho phẳng  với phương  và phẳng  với


phương  . Hai phẳng  và  gọi là trực giao, ký hiệu    nếu hai không






gian véc tơ  và  trực giao (tức mọi vectơ của  trực giao với mọi vectơ


của  ).




Hai phẳng  và  gọi là bù trực giao nếu  và  bù trực giao trong


En

Tính chất:
1) Hai phẳng trực giao có khơng quá một điểm chung. Hai
phẳng bù trực giao có một điểm chung duy nhất.
2) Nếu  trực giao với  và  bù trực giao với  thì  và  là
hai cái phẳng song song.
3) Hai phẳng cùng bù trực giao với phẳng thứ 3 thì song song
với nhau (và có cùng số chiều)
4) Qua một điểm đã cho có duy nhất một phẳng bù trực giao
với một phẳng đã cho.
2.4.2 . SGK lớp 7:


Định nghĩa: ở hình bên hai đường thẳng
^
xx' và yy' cắt nhau ở O. Nếu góc xOy
là góc
^

^

^

vng thì xOy ' , x' Oy' và x' Oy đều là góc

vng. Trong trường hợp đó hai đường thẳng
xx' và yy' được gọi là hai đường thẳng vuông và được ký hiệu xx'yy'.
Định lý: " Qua một điểm O nằm trên (hoặc nằm ngồi) đường thẳng a, có
một và chỉ một đường thẳng vng góc với a".
2.4.3 Sách giáo khoa lớp 9:
+) Hai đường thẳng a và b trong không gian được gọi là vng góc với nhau
nếu góc tạo bởi chúng bằng 900, kí hiệu ab.
+) Một đường thẳng a được gọi là vng góc với mặt phẳng (P) nếu nó
vng góc mọi đường thẳng trong mặt phẳng (P), kí hiệu a(P).
+) Hai mặt phẳng (P), (Q) được gọi là vuông góc với nhau nếu một trong hai
mặt phẳng đó chứa một đường thẳng vng góc với mặt phẳng kia. Kí hiệu
(P)(Q).
2.4.4 Sách giáo khoa lớp 11:
+) Hai đường thẳng được gọi là vng góc với nhau nếu góc giữa chúng


bằng 900. Ta kí hiệu: ab. Vậy ab  (a, b) =900.
+) Đường thẳng  gọi là vng góc với mặt phẳng (P) nếu nó vng góc với
mọi đường thẳng của mặt phẳng đó.
Kí hiệu:  (P) hay (P) 
+) Hai mặt phẳng gọi là vng góc với nhau nếu một trong hai mặt phẳng đó
chứa một đường thẳng vng góc với mặt kia. Để kí hiệu hai mặt phẳng (P)
và (Q) vng góc với nhau ta viết (P)(Q) hay (Q)(P).


3. Cơ sở lí luận dạy học:
Trong q trình dạy học mơn tốn chúng ta gặp 3 tình huống sau đây:
- Dạy học những khái niệm và định nghĩa.
- Dạy học những định lý và chứng minh.
- Dạy giải các bài tập tốn

Trong tồn bộ q trình đó các hoạt động cơ bản cần chú trọng là:
- Hoạt động "nhận dạng" và "thể hiện".
- Hoạt động toán học phức hợp.
- Hoạt động trí tuệ và các thao tác tư duy.
- Hoạt động ngơn ngữ.
3.1 Dạy học khái niệm tốn học.
Việc hình thành hệ thống các tốn học là rất cần thiết và hết sức quan
trọng vì nó tạo nền tảng của tồn bộ kiến thức tốn học của học sinh, là tiền
đề hình thành khả năng vận dụng hiệu qủa các kiến thức đã học, và góp phần
phát triển năng lực trí tuệ và thế giới quan duy vật biện chứng.
* Việc dạy học khái niệm cần làm cho học sinh từng bước đạt được các yêu
cầu sau:
1- Nắm vững các tính chất, đặc trưng cho một khái niệm.
2- Biết nhận dạng khái niệm và thể hiện khái niệm.
3- Biết phát biểu rõ ràng, chính xác định nghĩa của một số khái niệm.
4- Biết vận dụng khái niệm trong những tình huống cụ thể trong hoạt động
giải tốn và ứng dụng vào thực tiễn.
5- Nắm được mối quan hệ của khái niệm với các khái niệm khác trong một
hệ thống các khái niệm.
* Để hình thành một khái niệm mới người ta thường dẫn dắt học sinh đi theo
hai con đường, đó là con đường quy nạp và con đường suy diễn.


+) Quy nạp: Là xuất phát từ một số trường hợp cụ thể (trực quan- như mơ
hình, hình vẽ, thí dụ cụ thể,...) sau đó khái qt hố để tìm các dấu hiệu đặc
trưng của khái niệm, rồi từ đó đi đến định nghĩa nó.
Ví dụ: Để hình thành khái niệm phương trình mũ, ta có thể lấy một số ví dụ
cụ thể về phương trình mũ:
Các phương trình sau gọi là phương trình mũ:
2 x  3 x 1

5

x 2 2

 10

(1)
x2 2

( x 2  1) x 1  2 x 2

(2)
(3)

? Từ các ví dụ trên em nào có thể đưa ra khái niệm phương trình mũ?
- Nhận xét: + Ở phương trình (1), (2) có chứa ẩn ở số mũ của luỹ thừa.
+ Ở phương trình (3) có chứa ẩn số ở cả số mũ và cơ số.
Vậy đặc điểm chung của 3 phương trình trên là đều chứa ẩn ở số mũ
của luỹ thừa.
Từ nhận xét đó ta đi đến định nghĩa: "Phương trình mũ là phương
trình chứa ẩn số ở số mũ của luỹ thừa”
+) Suy diễn: Là xuất phát từ một hay một số khái niệm mà học sinh đã biết
để hình thành định nghĩa của một khái niệm mới.
VD: Khái niệm phép vị tự được định nghĩa thông qua khái niệm phép biến
hình. "cho mọt điểm O và số k  0, phép biến hình biến một điểm M bất kỳ
thành điểm M' sao cho OM '  k OM gọi là phép vị tự tâm O tỉ số k".
OM '  kOM

- Các hoạt động tương thích với khái niệm là định nghĩa và phân chia khái
niệm.

- Quy trình dạy học khái niệm thường là: nhận dạng, thể hiện, vận dụng và
sắp xếp khái niệm mới và hệ thống khái niệm đã có.


- Để cũng cố và khắc sâu khái niệm người ta thường tổ chức cho học sinh
tham gia tập luyện các hoạt động sau:
+ Hoạt động nhận dạng và thể hiện khái niệm.
+ Hoạt động ngơn ngữ.
+ Khái qt hố, đặc biệt hoá, hệ thống hoá khái niệm...
Chú ý: Trong q trình dạy học khái niệm tốn học ở trường phổ thông,
không phải khái niệm nào cũng được định nghĩa một cách tường minh qua
các khái niệm khác. Vì hai lý do sau:
+ Thứ nhất có những khái niệm là khái niệm xuất phát (khái niệm ban
đầu) của khoa học tốn học. Ví như khái niệm "điểm" , "đường thẳng", "mặt
phẳng",...
Chúng ta định nghĩa hình vng thơng qua khái niệm hình thoi.
định nghĩa hình thoi thơng qua khái niệm hình bình hành.
định nghĩa hình bình hành thơng qua khái niệm hình thang.
định nghĩa hình thang thơng qua khái niệm hình tứ giác.
định nghĩa tứ giác thông qua khái niệm đoạn thẳng.
định nghĩa đoạn thẳng thông qua khái niệm điểm.
Nhưng không thể định nghĩa "điểm" thông qua một khái niệm khác

A.

được.
+ Thứ hai, do đặc điểm tâm sinh lý và mức độ phát triển tư duy của
học sinh, nên nhiều khái niệm ta khơng cần phải tìm hiểu rõ ngọn nguồn của
nó. Vì nếu tìm như vậy chỉ làm cho các em rối thêm mà thơi, cịn nếu khơng

giải thích cặn kẽ nó cũng khơng ảnh hưởng gì đến việc tiếp thu kiến thức
của các em.
3.2. Dạy học định lý:
Khi có trong tay hệ thống những khái niệm cần thiết, học sinh sẽ được
trang bị thêm những kiến thức cơ bản của tốn học đó, những định lí, tính
chất và cách chứng minh chúng. Việc học định lí và chứng minh định lí rất
quan trọng vì nó góp phần phát triển ở học sinh khả năng suy luận và chứng
minh, góp phần phát triển năng lực trí tuệ cho các em.
Chính vì thế, khi dạy học định lí phải từng bước gúp các em đạt được
các yêu cầu sau:
1- Nắm được nội dung các định lí và những mối liên hệ gữa chúng.
Sau đó rèn luyện khả năng vận dụng chúng vào việc giải toán.
2- Làm cho học sinh thấy được sự cần thiết phải chứng minh chặt chẽ,
suy luận chính xác.
3- Phát triển tư duy, năng lực chứng minh toán học ở các em.
* Để tiếp cận với một định lí mới ta có hai con đường:
+ Suy đốn : là tạo ra tình huống có vấn đề để giúp học sinh dự đoán,
phát hiện ra định lí, từ đó tìm cách chứng minh, phát biểu và cũng cố định lí.
Trong đó, việc tạo ra tình huống có vấn đề để học sinh suy nghĩ và
đưa ra dự đoán là khâu đầu tiên rất quan trọng, giáo viên phải có được
những tình huống hợp lí, những câu hỏi gợi mở tối ưu hướng vào định lí
giúp học sinh tự phát hiện ra định lí.
VD. Để hình thành định lí hàm số sin chúng ta phải có thể cho học sinh phát
hiện ra định lí xuất phát từ những trường hợp đặc biệt:
+ Trong  đều ABC ta có :

BC
AC
AB

a
2a




 2R
0
sin A sin B sin C sin 60
3

+ Trong  vng ABC, vng tại A ta cũng có:


BC
BC

 BC  2 R (R- bán kính đường trịn ngoại tiếp ABC)
sin A sin 90 0
AC
BC . sin B

 BC  2 R
sin B
sin B
AB
BC. sin C

 BC  2 R
sin C

sin C

Vậy

BC
AC
AB


 2R
sin A sin B sin C

+ Trong  ABC bất kì thì kết luận trên có cịn đúng nữa khơng?

* Dự đốn trong ABC bất kỳ ta có :

a
b
c


 2 R và chúng
sin A sin B sin C

ta tìm cách chứng minh dự đốn trên là đúng - đó chính là nội dung định lí
hàm số sin.
+ Suy diễn : Giáo viên hướng đẫn học sinh dùng suy luận lơgic dẫn đến định
lí.
Tuỳ theo từng định lí và trình độ của học sinh mà ta phải chọn con
đường nào cho phù hợp.

Trong “phương pháp dạy học mơn tốn” của hai tác giả: Nguyễn Bá
Kim và Vũ Dương Thụy đã đưa ra sơ đồ minh hoạ hai con đường này như

sau:

-

Trong dạy học định lý thì hoạt động lơgic đặc trưng là chứng

minh toán

học theo các cách: Trực tiếp, gián tiếp, phản chứng, quy nạp

tốn học.

Ngồi ra cịn hoạt động ngơn ngữ: Thay đổi hình thức phát

biểu định lí, hình vẽ, kí hiệu toán học nhằm rèn luyện năng lực diễn đạt.
- Quy trình dạy học định lí thường là: Nhận dạng (hay phát hiện), chứng
minh, hệ thống hoá, củng cố, vận dụng định lí ( đặc biệt hố, khái qt hố,
lật ngược vấn đề,...).
Trong đó, để củng cố và khắc sâu định lí, chúng ta phải tổ chức cho
học sinh rèn luyện các hoạt động sau:
- Hoạt động nhận dạng và thể hiện định lí.
- Hoạt động ngơn ngữ.
- Hoạt động khái quát hoá, đặc biệt hoá, hệ thống hoá định lí...
3.3. Các hoạt động cơ bản cần chú trọng trong hoạt động dạy học tốn nói
chung và trong dạy học khái niệm, định lí tốn học nói riêng.

Trong q trình dạy tốn chúng ta phải cho học sinh thực hiện và
luyện tập những hoạt động và hoạt động thành phần tương thích với nội
dung và mục đích dạy học - nghĩa là việc nắm vững nội dung là điều kiện
hoặc kết quả của hoạt động đó.
1. Hoạt động "nhận dạng" và "thể hiện".
"Nhận dạng " và "thể hiện " là hai dạng hoạt động theo chiều hưóng
trái ngược nhau liên hệ với một khái niệm, một định lí hay một
phương pháp.
- Nhận dạng một khái niệm - là tạo ra một đối tượng cho trước có đặc
trưng của một khái niệm nào đó hay khơng?
- Thể hiện một khái niệm - là tạo ra một đối tượng có các đặc trưng
của khái niệm đó. (Có thể địi hỏi đối tượng phải thoả mãn một số yêu
cầu khác nữa).
-Nhận dạng một định lí - là phát hiện xem một tình huống cho trước
có phù hợp, ăn khớp với một định lí nào đó hay khơng?
- Thể hiện một định lí - là xây dựng một tình huống phù hợp, ăn khớp
với một định lí cho trước.
2. Hoạt động tốn học phức hợp.
Đó là những hoạt động như chứng minh, định nghĩa, tìm tập hợp điểm,
dựng hình,...Những hoạt động này giúp học sinh nắm vững kiến thức toán
học và phát triển năng lực giải tốn.
3. Hoạt động trí tuệ phổ biến và các thao tác tư duy.
Đó là các hoạt động như phân chia các trường hợp của một tình huống,
lật ngược vấn đề, xét tính giải được (có nghiệm, vô nghiệm, nghiệm duy
nhất, nhiều nghiệm) và hoạt động tư duy làm các thao tác tư duy gồm: Phân
tích, tổng hựop, so sánh, tương tự hoá, trừu tưọng hoá, khái qt hố,...
4. Những hoạt động ngơn ngữ.

+ Hoạt động ngôn ngữ khi dạy học khái niệm:
- Cần diễn đạt định nghĩa một cách chính xác.
- Phát biểu định nghĩa bằng nhiều cách tương đương.
- Sử dụng các kí hiệu tốn học để mơ tả định nghĩa tốn học.
+ Hoạt động ngơn ngữ khi dạy học các định lí:
- Cần phải phát biểu chính xác định lí tốn học.
- Phát biểu định lí đó bằng nhiều cách tương đương.
- Sử dụng các kí hiệu tốn học để thể hiện các định lí.
*) Để tiến hành các hoạt động tốn học và hoạt động có hiệu quả cao thì
chúng ta phải gây động cơ và phân bậc hoạt động. Cụ thể là:
+ Mỗi nội dung dạy học thưòng có nhiều hoạt động tương thích, mỗi
hoạt động lại có mục đích riêng của nó, nên cần sàng lọc những hoạt động
đã phát hiện để tập trung vào một số mục đích nhất định. Sau khi đã đạt
được, coi chúng là phương tiện để đạt những mục đích cịn lại, Vì vậy địi
hỏi học sinh phải có ý thức về hệ thống mục đích cần đạt và tạo được động
lực bên trong để thúc đẩy bản thân tiến trình hoạt động. Vì thế việc gọi động
cơ phải được xuyên suốt quá trình dạy học: Từ lúc mở đầu, qua trung gian
cho tới khi kết thúc, đồng thời bảo đảm tính hướng đích của nó.
+ Điều quan trọng là xác định được mức độ yêu cầu của từng hoạt động
mà học sinh phải đạt ở giai đoạn nào trong toàn bộ giờ học. Do đó cần phân
bậc chúng để làm căn cứ điều khiển quá trình học tập.
4. Cơ sở thực tiễn:
Sau khi tham khảo, tìm hiểu thực trạng giảng dạy ở một số trường phổ
thông như trường Tây Hiếu (Nghĩa Đàn- Nghệ An), trường Triệu Sơn 4,
trường bán công(Triệu Sơn Thanh Hố). Tơi nhận thấy: