Mot so bat dang thuc nang cao

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (540.42 KB, 179 trang )

(1)Trường THPT Chuyên Tiền Giang Nguyễn Vũ Thanh.

(2) TRƯỜNG THPT CHUYÊN TIỀN GIANG TỔ HÀNH CHÁNH. ĐỀ TÀI: Người thực hiện : NGUYỄN VŨ THANH Năm học 2009-2010 1. www.VNMATH.com.

(3) www.VNMATH.com Trường THPT Chuyên Tiền Giang Nguyễn Vũ Thanh MỤC LỤC. ------I. PHẦN MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài 2. Mục tiêu nghiên cứu 3. Nhiệm vụ nghiên cứu 4. Phương pháp nghiên cứu 5. Một số kết quả đạt được. II. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU Chương I: BẤT ĐẲNG THỨC JENSEN Chương II: BẤT ĐẲNG THỨC BERNOULLI Chương III: BẤT ĐẲNG THỨC CHEBYSHEV( Tsêbưsep) Chương IV: BẤT ĐẲNG THỨC CÔSI MỞ RỘNG Chương V: BẤT ĐẲNG THỨC BUNHIACOPXKI MỞ RỘNG Chương VI: BẤT ĐẲNG THỨC SCHWARZ (SVACXO) Chương VII: MỘT MỞ RỘNG CỦA CÁC BẤT ĐẲNG THỨC SVACXO,TRÊBUSEP,BUNHIACOPSKI Chương VIII: SỬ DỤNG TÍNH CHẤT THỨ TỰ CỦA HAI DÃY BẤT ĐĂNG THỨC 2.

(4) www.VNMATH.com Trường THPT Chuyên Tiền Giang Nguyễn Vũ Thanh. I. PHẦN MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài: Từ khi tham dự các hội nghị Chuyên đề Bồi dưỡng học sinh giỏi THPT do trường Đại học Khoa học tự nhiên Hà nội tổ chức hàng năm từ 2002 đến nay,được học tập các chuyên đề do các giảng viên , các chuyên gia Toán của Bộ trình bày và được sự động viên của thầy Trương Thành Phú chuyên viên môn Toán của Sở Giáo dục và đào tạo Tiền Giang chúng tôi có một tâm huyết là sẽ cố gắng thực hiện hoàn chỉnh , cụ thể hoá các chuyên đề phù hợp với trình độ học sinh tỉnh nhà để đóng góp vào thành tích chung của Tỉnh trong các kỳ thi HSG cấp khu vực và cấp quốc gia. Trong những năm gần đây bộ môn Toán của tỉnh Tiền Giang đã có những tiến bộ và đạt được một số thành tích đáng kể trong các kỳ thi HSG khu vực. Nhưng gần đây Bộ đã thay đổi mạnh về quy chế thi HSG cấp Quốc gia đó là không còn phân chia hai bảng A,B như trước mà chỉ có một bảng thống nhất chung toàn quốc. Đề thi khó hơn và số lượng giải ít hơn gây khó khăn cho cả Giáo viên và học sinh môn Toán tỉnh nhà. Trong điều kiện khó khăn đó việc tìm tài liệu và viết các chuyên đề này là việc cần thiết trong tình hình hiện nay.Được sự ủng hộ của các thầy cô trong tổ Toán trường THPT Chuyên Tiền Giang chúng tôi thực hiện viết chuyên đề :” Một số Bất đẳng.

(5) thức nâng cao”. 2. Mục tiêu nghiên cứu: Nhằm hệ thống và phân loại kiến thức các bài tập có sử dụng một số bất đẳng thức nâng cao mà chỉ học sinh chuyên Toán mới được học như: Bất đẳng thức Côsi mở rộng , Bất đẳng thức Bunhiacopxki mở rộng , Bất đẳng thức Jensen , Bất đẳng thức Tsêbưsep , Bất đẳng thức Schwarz ,... .Giúp cho học sinh có hệ thống kiến thức và biết vận dụng vào việc giải các bài toán đại số đồng thời định hướng suy nghĩ tư duy toán học và khả năng vận dụng sáng tạo trong các bài toán mới. 3.

(6) www.VNMATH.com Trường THPT Chuyên Tiền Giang Nguyễn Vũ Thanh. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu: Trình bày nội dung các bất đẳng thức nâng cao sau đó chứng minh và hướng dẫn giải các bài tập áp dụng Tùy theo từng nội dung của Bất đẳng thức có sự liên hệ với các bất đẳng thức còn lại trong đó có sử dụng nhiều đến phương pháp đạo hàm để chứng minh bất đẳng thức mà trong các kỳ thi học sinh giỏi toán thường hay gặp. Vì đây là chuyên đề nâng cao về bất đẳng thức nên chúng tôi không trình bày các phương pháp chứng minh bất đẳng thức , coi như học sinh chuyên Toán phải nắm để làm cơ sở cho việc học chuyên đề này. Rèn luyện tư duy toán thông qua giải các bài tập về chứng minh bất đẳng thức và áp dụng tìm giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất đồng thời trao đổi và học tập kinh nghiệm với các thầy cô bộ môn Toán của tỉnh Tiền Giang. 4. Phương pháp nghiên cứu -Dựa vào các chuyên đề đã học ở Hà Nội và các tài liệu trong tất cả các đợt bồi dưỡng để trình bày hệ thống các Bất đẳng thức nâng cao thường gặp trong các kỳ thi học sinh giỏi Toán. -Hướng dẫn học sinh Đội tuyển tìm tài liệu có liên quan,phân loại bài tập,nhận xét cách giải, tạo tình huống có vấn đề để HS cùng trao đổi nghiên cứu. -Hệ thống và sắp xếp các dạng bài tập từ dễ đến khó và có các lời giải cụ thể. -Phương pháp phân tích:giúp học sinh nắm rõ bản chất vấn đề , lựa chọn phương pháp giải phù hợp đồng thời mở rộng và tương tự hoá bài toán. 5.Một số kết quả đạt được.

(7) 4.

(8) www.VNMATH.com Trường THPT Chuyên Tiền Giang Nguyễn Vũ Thanh. Giúp cho học sinh đội tuyển có thêm phương pháp và tài liệu cần thiết để giải các bài tập về Bất đẳng thức và áp dụng tìm giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất . Qua chuyên đề này giúp học sinh khắc sâu thêm kiến thức về Bất đẳng thức và đạo hàm. Giúp cho học sinh có thêm phương pháp để viết các chuyên đề nâng cao khác.. II.NỘI DUNG NGHIÊN CỨU 1.Các bài tập về Bất đẳng thức và áp dụng tìm giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất thường gặp trong các đề thi học sinh giỏi cấp Quốc Gia gần đây.Với mong muốn có một chuyên đề bất đẳng thức phong phú nên chúng tôi viết chuyên đề : ” Một số Bất đẳng thức nâng cao” để phục vụ giảng dạy cho học sinh Đội tuyển tỉnh nhà. 2. Đề tài được chia làm 8 chương: Chương I: BẤT ĐẲNG THỨC JENSEN Chương II: BẤT ĐẲNG THỨC BERNOULLI Chương III: BẤT ĐẲNG THỨC CHEBYSHEV( Tsêbưsep) Chương IV: BẤT ĐẲNG THỨC CÔSI MỞ RỘNG Chương V: BẤT ĐẲNG THỨC BUNHIACOPXKI MỞ RỘNG Chương VI: BẤT ĐẲNG THỨC SCHWARZ (SVACXO) Chương VII: MỘT MỞ RỘNG CỦA CÁC BẤT ĐẲNG THỨC SVACXO,TRÊBUSEP,BUNHIACOPSKI Chương VIII: SỬ DỤNG TÍNH CHẤT THỨ TỰ CỦA HAI DÃY BẤT ĐĂNG THỨC. Trong mỗi chương sau phần trình bày Bất đẳng thức là phần chứng minh và các bài tập áp dụng..

(9) Dù cố gắng nhiều nhưng đề tài không tránh khỏi sai sót , rất mong nhận được sự đóng góp từ các đồng nghiệp môn Toán của tỉnh nhà. Sau đây và trình bày phần nội dung của đề tài. 5.

(10) www.VNMATH.com Trường THPT Chuyên Tiền Giang Nguyễn Vũ Thanh. Chương I: BẤT ĐẲNG THỨC JENSEN I.1.Định lý 1: Cho hàm số y = f(x) có f //( x ) > 0 với ∀ x ∈ ( a ; b ) ( hàm số có đồ thị lõm trên (a;b)) Với c ∈ ( a ; b ) và y = f /( c )( x − c ) + f ( c ) là phương trình tiếp tuyến của (C) tại M(c,f(c) thì f ( x ) ≥ f / ( c )( x − c ) + f ( c ), ∀ x ∈ ( a ; b ) (1) (Đường cong ( C) luôn ở phía trên mọi tiếp tuyến tại M với c ∈ ( a ; b ) ) Chứng minh: Với c ∈ ( a ; b ) i/ Với x = c (1) xảy ra dấu bằng ii/ Với x < c : Áp dụng định lí Lagrange : f ( x ) − f(c )x− c =f/. (d),d∈ ( xc ;) f / tăng trên (a;b) nên f / ( d ) < f / ( c ) ⇒ f ( x ) − f ( c ) > ( x − c ) f / ( c ) (do x < c) iii/Tương tự với x > c ta cũng có f ( x ) − f ( c ) > ( x − c ) f / ( c ) Vậy f ( x ) ≥ f / ( c )( x − c ) + f ( c ), ∀ x ∈ ( a ; b ) Chú ý : Nếu f //( x ) < 0 ∀ x ∈ ( a ; b ) thì (1) đổi chiều ( đồ thị ( C) lồi trên (a;b)) I.2.Định lý 2:(BĐT Jensen) Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm cấp 2 trên (a ;b) a/ Nếu f //( x ) > 0 với ∀ x ∈ ( a ; b ) thì ∀ x i.

(11) ∈ ( a ; b ) , i = 1,2,..., n và α∀ i ∈ (0;1) thỏa. ∑n α i. =1 ta có : f ( α 1 x 1 + α 2 x 2 + ... + α n x n ) ≤ α 1 f ( x 1 ) + α 2 f ( x 2 ) + ... + α n f ( x n ) (2) i = 1. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x1=x2. = ... = xn b/ Nếu f //( x ) < 0 với ∀ x ∈ ( a ; b ) thì (2) đổi chiều. Chứng minh: 6.

(12) www.VNMATH.com Trường THPT Chuyên Tiền Giang Nguyễn Vũ Thanh. a/ Đặt c = ∑ n. α ixi. ∈(a;b) .Theo định lí 1 ta có f ( x ) ≥ f / ( c )( x − c ) + f ( c ), ∀ x ∈ ( a ; b ) i = 1. Thay x= x i. : f ( x i ) ≥ f / ( c )( x i − c ) + f ( c ) , ∀ x ∈ ( a ; b ) ⇒ α i f ( x i ) ≥ f / ( c ) α i x i − cf / ( c ) α i +α i. f(c) Lấy tổng ta được:. ∑ n α i f ( x i ) ≥ f / ( c ) ∑ n α i x i − cf / (c)∑n. α i. +f(c) ∑n. α ii=1i=1i = 1 i.

(13) = 1. Vì. c =∑ n. α ixi. và ∑ n. α i. =1 nên i = 1 i = 1. ∑ n α i f ( x i ) ≥ cf / ( c ) − cf / (c)+f(c)⇒∑ n. α if(xi)≥f(∑ n. α ixi. ).

(14) i=1i = 1 i =. 1 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x i. = c hay x1=x2. = ... = xn b/ Chứng minh tương tự Đặc biệt : Nếu α1=α2. = ... =αn=1n thì BĐT (2) thành : f ( α 1 + α 2 n + ... + α n ) ≤ f(α1)+f(α2 ) + ... + n 7f. (α n. ) (3) Chú ý : Bằng quy nạp ta CM được nếu (3) đúng với n=2 thì (3) đúng với mọi n tự nhiên lớn hơn 2.

(15) I.3.BĐT Jensen dạng tổng quát ; Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm cấp 2 trên (a ;b) a/ Nếu f //( x ) > 0 với ∀ x ∈ ( a ; b ) thì ∀ x i ∈ ( a ; b ) , i = 1,2,..., n và α∀ i >0 ta có :. f ( α 1 x α 1 1 + + α α 2 x 2 2 + + ... ... + + α α n n x n ) ≤ α1f(x1)α+1α+2αf(2. x+2 ) ... ++ ... α + n. α nf(x n. ) (4).

(16) Trường THPT Chuyên Tiền Giang Nguyễn Vũ Thanh. b/ Nếu f //( x ) < 0 với ∀ x ∈ ( a ; b ) thì (4) đổi chiều. Chứng minh: Áp dụng BĐT Jensen với β i. =∑α αi k. 8. ,∀ i I.4. Chứng minh các BĐT cổ điển bằng cách áp dụng BĐT Jensen: a/BĐT CôSi : Cho n số dương 1 2 ta có. a + a + ... + a nn ≥n a a ... a n. , dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 12. a , a ,..., an 12 12. a = a = ... =.

(17) an Chứng minh: Xét hàm số f(x)=lnx với x > 0 Ta có f / ( x ) = 1 x , f // (x)=−x12 <0∀x > 0 .Áp dụng BĐT Jensen ta có : f ( a 1 ) + f ( a 2 ) + ... + 1 2 1 2 1 2 n1212. f(an)≤f (a+a+n+⇒+++≤ +++ ⇒≤ +++ ... a n ) ln a ln a n ... ln a n ln a a ... a ln n a a ... a n. ln aan ... a n. n Vậy a 1 + a 2.

(18) + ... + a nn ≥n a1a2. ... a n. , dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a1=a2. = = a b/BĐT Bunhiacopxki: Xét hàm số f ( x ) = x 2 có f //( x ) = 2 > 0 . Áp dụng BĐT Jensen dạng tổng quát (4) ta có: ( ) ... n. 1112. 2 2 2 α 1 α x α + + α α x + + ... ... + +. αα nnxn. 2+α2 2α2α1α2. α α11α22α2. α1α2αα12α2 2. α≤ x1x2.

(19) + ... + n x n + + ... + n. ⇔ x + x + ... + n x n ≤ ( + + ... + n )( x 1 + x 2 + ... + n x n2. ) www.VNMATH.com n.

(20) www.VNMATH.com Trường THPT Chuyên Tiền Giang Nguyễn Vũ Thanh. xi = aibi và α i. = bi 2. ta có : ( 1 1 2 2 ) 2 ( 2 1 9 2 2 Đặt. ab + ab + ... + ab n n ≤ a + a + ... + a n 2 )( b 1 2 + b 2 2 + ... + b n 2 ) Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi. x1=x2 = ... = x n. ⇔a1b1=ab22 = ... = ab nn. c/BĐT Holder.

(21) Cho a i > 0; b i. > 0 ( i = 1,2,..., n ) ; p > 0 , q > 0 và 1p+q1 =1 .Ta có : 1 1 ∑ n ab i 1 i ≤. 1 1 i=∑naippi=∑ n i = biq. q a p b q = ... = anpbnq. Chứng minh: Ta có p > 1 .Xét hàm số Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi : 1 1. f ( x ) = x p , x > 0. Ta có f // ( x ) = p ( p − 1) x p − 2 , ∀ x > 0. Áp dụng BĐT Jensen dạng tổng quát (4) ta có:.

(22) α1x1+α2x2 + ... +. α nx n p. α 1 p p 2 α 1 + α 2 + ... + α n ≤ 1x+α2. x + ... + α n xnp. α1+α2 + ... +. α n. ⇔ α 1 x 1 + α 2 x 2 + ... + α n x n ≤ ( α 1 + α 2 + ... + α n ) 1 11p(α1x1p+α2. x2 p + ... +. α n. x.

(23) np) p. ()() −. ⇔∑αixi≤∑αi1q. ∑ αixi p 1p.

(24) www.VNMATH.com Trường THPT Chuyên Tiền Giang Nguyễn Vũ Thanh 10 11. 1≤. 1 Chọn α i = b i. q;xi= ab i. 1−i. ∑ n ab i i i = 1∑naippi=∑ n i = biq. q. I.5.Bài tập áp dụng : Bài 1:Cho i 0, 1 q. Ta có. ∑nriin ri=1inx. ∑ x x > r > .CMR:. ≤.

(25) =. 1n Hướng dẫn :Xét hàm số f ( x ) = x r , x > 0 .Ta có f // ( x ) = r ( r − 1) x r − 2 , ∀ x > 0 Áp dụng BĐT Jensen ta có :. f ∑i∑i∑ir. ∑ rinn Chú ý : Nếu 0 < r < 1 thì BĐT đổi chiều Bài 2: Cho i 0,0;,. x. ≤fn(x). ⇒. n. x ≤x q∑niqip ∑n i pi. Hướng dẫn : Áp dụng bài 1 với ; i q. xx x > p ≥ q > p q ∈ N .CMR: =1n≤ =1. n r=qp.

(26) y = xi ta có :. p. ∑ni1i. qnpqii1p∑≤⇒ynyn ∑ni1qi1. xn q ∑n. ≤ i===xip=n. ⇒q∑ni1xiq=n≤ p ∑n. xi p i =1. n.

(27) www.VNMATH.com Trường THPT Chuyên Tiền Giang Nguyễn Vũ Thanh 11. > 0, ≥ > 0: 1. 1 11 ≤. Bài 3: Cho i 0 .CMR: n n iiiii. ∑xββ∑ x α α. Tổng quát : x αβ=n= n ∑n i=. 11ain 1n. a a ... a na> 1. +≥ + 12.

(28) 1 Hướng dẫn: Ta có. () n a1a2. ... a n = e ln n a 1 a 2. ... a n. = e 1 n (ln a 1 + ln a 2 + ... + ln a n. ). (1) ⇔ 1 n ∑ 1 + 1 1 e ln ai. 1 12. 1∑()(1. ∑ ).

(29) Xét hàm số. ≥+ e 1n (ln a + ln a + ... + ln a n. ). ⇔nfxi≥ fn xif(x ) = 1+ 1 e x. và x i = ln a i > 0 Bài 4: Cho abc , , > 0 .CMR: ( b + c )( a c + a )( b a + b ) c ≤ (a+b+ c ) a+b+ c. 23.

(30) (2) Hướng dẫn : (2) ⇔ a ln( b + c ) + b a ln( + c b + + ac ) + c ln( a + b )≤ ln[ 2 3 (a+b+ c )] Xét hàm số f ( x ) = ln( a + b + c − x ) . Áp dụng BĐT Jensen ta có: aa+b+cf(a)+ba+b+cf(b)+a+cb+cf(c)≤ f (a2a++bb2++ c c 2. ) ⇔ a ln( b + c ) + b a ln( + c b + + a c ) + c ln( a + b ) ≤ ln( a + b + c − a2a++bb2++ c c 2 ) ≤ ln[ 2 3 (a+b+ c )].

(31) (vì 2 ab + 2 bc + 2 ca a + b + c ≤23 ( a + b + c ) ⇔ 3( ab + bc + ca ) ≤ ( a+b+ c ) 2. ≥ ) Bài 5: Cho a i > 0, ∑ n ai = 1, k 1 .CMR: 1 i = 1. ∑n i= 1 aik. ≥n k + 1.

(32) www.VNMATH.com Trường THPT Chuyên Tiền Giang Nguyễn Vũ Thanh. HD:Xét hàm số f(x)=1x k. ,x > 0 Bài 6:Cho abc , , > 0, a + b + c = 1 .CMR: ( a + b ) 4 + ( b + c ) 4 + ( c + a ) 4. ≥ 16 27 HD: Xét hàm số f ( x ) = ( a + b + c − x ) 4 , x ∈ (0;1) Bài 7:Cho tam giác nhọn ABC.CMR: 2(sin A + sin B + sin C ) + (tan A + tan B + tan C ) ≥ 6 3 HD: Xét hàm số f ( x ) = 2sin x + tan x , x ∈ (0; π ) Bài 8:Cho tam giác ABC và k ≥ 2 .CMR: k + sin cos A A + k + sin cos B B + k + sin cos C C≤ 23k +3 1 HD: f ( x ) = sin xk+ cos x ,x ∈ (0; π ).

(33) Bài 9: Cho abc , , > 0, a+b+c=94 .Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : S= ( a + a 2 + 1) b ( b + b 2 + 1) c ( c + c 2 +1)a Giải: ln S = b ln( a + a 2 + 1) + c ln( b + b 2 + 1) + a ln( c + c 2 + 1) Xét hàm số f ( x ) = ln( x + x 2 + 1) , x > 0 có f // (x)=− x(x 2+. 1) 3. < 0, ∀ x > 0 Áp dụng BĐT Jensen dạng tổng quát (4) ta có: ba+b+cf(a)+a+()()() 12 c b + c f b + a + a b + c f c ≤ f ab + b c + ca a + b + c ⇒ ln 9 S ≤ f ( ab a + + bc b + + c ca ) ≤ f ( 1 3 ( a + b + c )) = f (34 )=.

(34) ln2 ⇒ S ≤ 94 2 4 Vậy max S = 94 2 khi a = b = c = 3⁄4.

(35) www.VNMATH.com Trường THPT Chuyên Tiền Giang Nguyễn Vũ Thanh. Bài 10: Cho p , q dương và. 1p+1q = 1 .CMR với mọi x , y dương ta có :. xy ≤xpp+ yqq .Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x p = y q HD: Xét hàm số f ( x ) = ln x , x > 0 Bài 11: Cho a i , b i > 0 (i=1,2,...,n).CMR: n aa 1 2 ... a n + n bb 1 2 ... b n ≤ n (a1+b1. )...( a n + b n ) HD: n aa 1 2 ... a n + n bb 1 2 ... b n ≤ n (a1+b1. )...( a n + b n )⇔1+n121122 1212 1212 1212. 13. ... ... ....

(36) 1 ... ... (1 )(1 )...(1 ) bb a a b n a ≤ n. aabaabab a bb b b b b a a a a a a ++n + nn. ⇔+nn≤n +++ n nn n. ⇔ ln. 1+n. bb 1 2 ... b n a 1 a 2 ... an ≤1 n. ln(1 + a b 1 1 ) + ln(1 + b a 2 2. ) + ... + ln(1 + ) Xét hàm số f ( x ) = ln(1 + e x ), x > 0,bna n. f ∑xin. ≤∑ f(xi.

(37) )n ,xi = ln b i a i. Chương II: BẤT ĐẲNG THỨC BERNOULLI II.1.Định lí: Cho x > -1 và α ∈ R .Ta có: a/ (1 + x ) α ≥ 1 + α x , với mọi α < 0 hoặc α > 1 b/ (1 + x ) α ≤ 1 + α x , với mọi 0 α< < 1 Chứng minh: Xét hàm số f ( x ) = (1 + x ) α với x > -1 Ta có f / ( x ) = α (1 + x ) α − 1 ; f // ( x ) = α ( α − 1)(1 + x ) α − 2.

(38) www.VNMATH.com Trường THPT Chuyên Tiền Giang Nguyễn Vũ Thanh. Phương trình tiếp tuyến với đường cong tại điểm M(0;1) là y xα= + 1 a/ Nếu α < 0 hoặc α > 1 thì f //( x ) > 0 với mọi x > -1 ⇒ (1 + x ) α ≥ α x + 1 , ∀ x > − 1 b/ Nếu 0 α< < 1 thì f //( x ) < 0 với mọi x > -1 ⇒ (1 + x ) α ≤ α x + 1 , ∀ x > − 1 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x=0 hoặc α = 0, α = 1 II.2.Hệ quả: Đặt t = x+1 > 0 và α > 1 ta có t α ≥ α t + 1 − α ,dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi t = 1 II.3.Bài tập áp dụng: Bài 1:CMR: n n + 3 + ( n + 1) n + 3 < ( n + 2) n + 3 , ∀ n ∈N Giải: Ta có : n n + 3 + ( n + 1) n + 3 < ( n + 2) n + 3. ⇔. n33. 14. nn+2 n. ++1. +1. < n +n +1 Áp dụng BĐT Bernoulli ta có : nn++12 3. ≥1+n. n+3=. 1+n1+1. n+.

(39) n++13 >1 + n n+ 1 n + 3. Bài 2: Cho n > 1 .CMR: n − 1 n > n n + 1 Giải : Ta có n − 1. n>n n+1⇔nn>(n + 1) n−1⇔. nn. n. 1+1 > n +1 Áp dụng BĐT Bernoulli ta có : nnn+11n11n 1 n 1. =. −+n. >−+= n 1 + 1 Bài 3 : Cho a > 0 và n > m.CMR : (1 + na ) m < (1 +.

(40) ma ) n n Giải: Áp dụng BĐT Bernoulli ta có : (1 + ma ) m >1+mn ma = 1 + na ⇒ (1 + na ) m < (1 + ma ) n Bài 4 : Cho a,b,c là các số tự nhiên thỏa a a ta có : a d + b d < c d.

(41) www.VNMATH.com Trường THPT Chuyên Tiền Giang Nguyễn Vũ Thanh. Giải: Ta có a d + b d < c d. ⇔. bc dab. >1. + d .Vì c > b nên c ≥ b + 1 Áp dụng BĐT Bernoulli ta có 15 cdbdd. daabbbbbb d. (vì 0 1 ≥. +1. =. 1+1. ≥1+>1+>1 +. <ba<⇒ab> ba d. ) Bài 5:Cho abcn , , , N∈ và a ≤ b < c ≤ n .CMR: a n + b n < cn Giải : Áp dụng BĐT Bernoulli ta có : bc n. n=. 1+c−bb.

(42) ≥ 1 + nc ( b −b ) >1+1≥1 + ba nn. Bài 6:Cho n là số nguyên dương .CMR : 1+1n. n<. 1. + n 1 1. +1 n +. Giải : Ta có +n1+1. 1+1n n+1⇔. n< nn+1 2n+1. n+⇔ < nn +n n+ + 1. + 11n. n+n. n+. 1 n<. n+2111.

(43) ⇔ n(n+ 2) ( n + 1) 2. n + 1. >n n+ 1 . Áp dụng BĐT Bernoulli ta có : n(n+ 2) ( n + 1) 2 n1+=. 1. n2. n1−(n 1 n + 1) +. >1 −1+ 1 = n + 1 Bài 7:Cho 0 < ,a b < 1 .CMR: a b b+ a > 1 Giải: Áp dụng BĐT Bernoulli ta có : 1ab = b. <1. 1a. b=. 1+1−aa.

(44) + b (1 a − a ) = a + b − ab a ⇒ a b. > a+ba − ab Tương tự : b a > a + b b − ab ⇒ a b + b a. > a+a b b+ − ab > 1.

(45) www.VNMATH.com Trường THPT Chuyên Tiền Giang Nguyễn Vũ Thanh. Bài 8:Cho x , y > 0 và α 2≥ .CMR:. x α + y α ≥ 12 α− ( x + y ) α Giải: Ta có x α + y α ≥ 2 1 −. α(x+y)α⇔. x 2 + x y 16. α+. x2+. y y α. ≥ 2 Áp dụng hệ quả BĐT Bernoulli ta có :. x2x+y. α≥α.x2+xy+1−α;. α. ≥α .x2+ y y + 1 α− Từ đó suy ra :. x2x+y y. α+. x2+. x2+yy.

(46) y α. ≥2α+2−. 2α = 2 +. (đpcm) Bài 9:Cho a,b,c,p > 0 và số nguyên dương n . CMR: a n + p + b n + p + c n + p ≥ 3 1 − ( n + p ) ( a + b + c ) n p (1) HD: (1) ⇔ a+3bb+c n+p+ a3 c np. +b+c +. ≥ 3 Áp dụng hệ quả BĐT Bernoulli ta có : a+3ba+c n+ p. ≥ ( n + p ). a + 3 ba +c +1−(n+. a3an+p+b+c. +.

(47) p ) ,... Bài 10:Cho a, b,c > 0.CMR: ba+c. 2+. c+ba. 2+. a+c. b 2. ≥ 2 3 2. (2) HD: (2) 2222 2 2. ≥3. Áp dụng hệ quả BĐT Bernoulli và BĐT: ⇔. b+ac. +. a+bc. +. a+c b b+ac+c+ba+a+c b ≥ 32 Bài 11:Cho tam giác ABC.CMR: a/.

(48) sin 2 A+sin 2 B + sin 2 C ≤3 23 2. (3).

(49) www.VNMATH.com Trường THPT Chuyên Tiền Giang Nguyễn Vũ Thanh. tan A 2. 22+. tan 2 2 2 17 B. +. 22 312C. ≥ −. HD: a/ b/ (3) ⇔. 2 2 3 sin A. +. + 23 sin A 2. ≤ 3 Áp dụng t α ≥ α t + 1 − α với α = 2 2 ; t = sin 2. A và sin 2 A + sin 2 B + sin 2. C≤ 94 b/ Áp dụng: tan A 2 + tan B 2 + tan C 2 ≥ 3. 2 3 sin B. 2. tan 2.

(50) Chương III:. BẤT ĐẲNG THỨC CHEBYSHEV( Tsêbưsep) III.1.BĐT CHEBYSHEV 1/Cho hai dãy n số a 1 , a 2 ,..., a n. và b 1 , b 2 ,..., b n. đều tăng hoặc đều giảm tức là : ba11≤≤ba22. ≤ ≤ ... ... ≤≤ba n n. hoặc ba11≥≥ba22. ≥ ≥ ... ... ≥ ≥ b a thì ta có : 1 1 2 2 1 2 1 2 n. n ab + ab + ... n + ab n n ≥ a+an + ... + a n . b + b + ... + b nn.

(51) Dấu bằng xảy ra khi a1=a2. = ... =an hoặc b1=b2. = ... = bn 2/Cho hai dãy n số và có một dãy tăng hoặvà một dãy giảm tức là : a , a ,..., a n b1,b2. ,..., b n 12 12 12. b a ≥ ≤ b a ≤ ... ≤a n ≥ ... ≥ b n. hoặc ba11≤≥ba22. ≤ ≥ ... ....

(52) ≤≥ba n n. thì ta có : ab 1 1 + ab 2 2 + ... + ab n n n ≤ a1+a2n + ... + a n . b 1 + b 2 + ... + b nn Dấu bằng xảy ra khi a1=a2. = ... =an hoặc b1=b2. = ... = bn Chứng minh:Ta CM cho trường hợp: ba11≤≤ba22. ≤ ≤ ... ... ≤≤ba n n.

(53) www.VNMATH.com Trường THPT Chuyên Tiền Giang Nguyễn Vũ Thanh. Gọi a =a1+a2. n + ... + a n. khi đó tồn tại k sao cho 1≤≤≤≤1 ≤ ≤ a (1) Ứng với k ở trên lấy b sao cho k 1 18. a ... a k a a k. + ... n. b≤b≤b k+. khi đó ta có b 1 ≤ ... ≤ b k ≤ b ≤ b k +1. ≤ ... ≤bn (2) Từ (1) và (2) suy ra ( a i − a )( b i −b) ≥ 0 với mọi i=1,2,...,n hay a i b i − ab i − ba i.

(54) + ab ≥ 0 với mọi i. Cộng n BĐT lại ta được : ∑ a i b i − a ∑ b i − b ∑ a i + nab ≥ 0 . Vì na = ∑ a i ⇒ nab = b ∑ ai ⇒ ∑ ab i i ≥ a ∑ b i = 1 n. ∑ai∑bi .Từ đó suy ra đpcm Dấu bằng chỉ xảy ra khi ta có ( a i − a )( b i −b) = 0 với mọi i , nếu (a i. ) không là dãy hằng thì a 1 < a < an khi đó b 1 = b = bn ,tức b1=b2. = ... = bn. III.2.Bài tập áp dụng : Bài 1:Cho a 1 , a 2 ,...,.

(55) a n. tùy ý .CMR: a 1 2 + a 2 2 + ... + a n 2. n≥ a1+a2 n + ... +a n. 2. HD: Giả sử a 1 ≤ a 2 ≤ ... ≤ an .Xét dãy b k. =a k. Bài 2:Cho a b+ ≥ 2 .CMR: a n + b n ≤ a n + 1 + b n + 1 với mọi số tự nhiên n Bài 3:Cho x,y > 0.CMR: ( x + y )( x 3 + y 3 )( x 7 + y 7 ) ≤ 4( x 11 + y 11 ) Bài 4:Cho m lẻ và a 1 + a 2 + ... +an ≥ n .CMR: ∑nakm≤∑ n. ak m + 1.

(56) k=1k = 1. HD:Giả sử a ≥ b thì a n ≥ b n Bài 5:Cho n số a 1 , a 2 ,..., a n. không âm .CMR với mọi số nguyên dương m ta có : a 1 m + a 2 m + ... m n12. ... n. mn+a≥ a+a+n +a HD: Giả sử 0 ≤ a 1 ≤ a 2 ≤ ... ≤ an thì 0≤a1m≤a2 m. ≤ ... ≤ am n Áp dụng BĐT Tsêbưsep và quy nạp Bài 6: Cho n số a 1 , a 2 ,..., a n.

(57) dương .CMR với mọi số nguyên dương k,l ta có :.

(58) www.VNMATH.com Trường THPT Chuyên Tiền Giang Nguyễn Vũ Thanh a 1 k + a 2 k + ... + k n l l l k + l k l n. na. a1+a2+nkl 19 ... + a ≤ a1+a2. + + ... + a n+n HD:Áp dụng BĐT Tsêbưsep cho hai dãy 1122ak≤ak. ≤ ... ≤ a n k a l ≤ a l ≤ .... ≤a nl. Bài 7:Cho tam giác ABC.CMR: ++++ ≥ π3 Bài 8:Cho a,b không âm có tổng bằng 2.CMR: a 3 + b 3 ≥ a 4 + b4 Bài 9:Cho a,b,c > 0 và số tự nhiên n.CMR: a/ aA bB cC a b c an+1+bn+1+cn +1.

(59) an+bn+ c n. ≥ a+3b + c a+b+. c b/ a a b b c c ≥ ( abc ) 3 .Hãy tổng quát bài toán Bài 10: Cho a,b tùy ý ,m và n là hai số tự nhiên có cùng tính chẵn lẻ.CMR: ( a m + b m )( a n + b n ) ≤ 2( a m + n + b m + n ). Bài 11:Cho tam giác ABC.CMR: a/ a cos A + a b + cos b + Bc + c cos C ≤ 12 b/ A sin A A + + B B sin B + B sin B B + + C C sin C + C sin C C + + A A sin A ≥ sin A + sin B + sin.

(60) C 3 Bài 12: a/ Cho a,b,c > 0 và a 2 + b 2 + c 2 ≥ 1 .CMR: b a + c + c b + 3 a + a c + 3 b ≥ 12 b/ Cho a,b,c,d > 0 và a 2 + b 2 + c 2 + d 2 ≥ 1 .CMR: a 3 b + c + d + a + b 3 c + d + a + c 3 b + d + a+d b3+. c ≥ 13 c/Hãy chứng minh bài toán tổng quát Bài 13:Cho a 1 , a 2 ,..., a n. là các cạnh của đa giác lồi n cạnh có chu vi là p.CMR:.

(61) www.VNMATH.com Trường THPT Chuyên Tiền Giang Nguyễn Vũ Thanh. ∑n i= 1. aip−2ai ≥ n −n 2. Chương IV: BẤT ĐẲNG THỨC CÔSI MỞ RỘNG IV.1.Chứng minh BĐT Côsi bằng phương pháp đạo hàm: a/ Bằng cách lập bảng biến thiên hàm số f(x) = ex - x-1 trên R ta chứng minh được BĐT: xe ≥ x + 1 (1) với mọi x R∈ , dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = 0 b/ BĐT Côsi :Cho các số dương 1 2 .Ta có a + a + ... n 20. + a n. ≥n a a ... a n. , dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 12.

(62) a , a ,..., an 12 12. a = a = ... = an Chứng minh: Gọi T =1n. ∑a k n = 1 k. .Áp dụng (1) ta có : eaT k. − 1. ≥akT ,k = 1,2,..., n Nhân n BĐT trên lại ta được n Ta n.

(63) ∏ n k n ∏kn. ∏ak Dấu bằng xảy ra. e∑ k. −. ≥T a 1. ⇒T≥a⇒T ≥. ⇔aT=a T = ... = a T n = 1 ⇔ a = a = ... = a n. c/ BĐT Côsi mở rộng: Cho và Ta có BĐT 12 12. x , x ,..., x n > 0.

(64) p1,p2. ,..., p n > 0 12 12 12 pp12 pn. ≤ 1 1 1 x . x ... x n. xp + xp 2 2 ++ nn 2. ... xp p + p ... p. p + p + ... + p n. ++ n. .Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x1=x2.

(65) = ... = x n Đặc biệt nếu p 1 = p 2 = ... = p n = 1 thì ta được BĐT CôSi. Chứng minh:.

(66) www.VNMATH.com Trường THPT Chuyên Tiền Giang Nguyễn Vũ Thanh ∑n. xkp k. Đặt. T = k = 1∑n. p k. . Áp dụng (1) ta có : k. 21 x k T ≤exTk−1⇒xk pk≤. Tpk .e ( xTk − 1) p k. = 1. Nhân n BĐT trên lại ta được :.

(67) n∏k≤∑nk∑ k. ∑n k. ⇒∏k ≤ ∑ IV.2.Bài tập áp dụng : Bài 1:CMR với mọi số dương a , b ta có : 2 x nnxkpT1p.. e1 T− 1. pn xkp. T 1. p k. k = 11. abb a. ≤ a+b.

(68) +ab. Giải : Áp dụng BĐT CôSi mở rộng ta có: baaa+bba+ b. ≤ a ab + b + a ab + b = a 2 + ab b ≤ ab ≤ a+2 b ⇒. abb a. ≤ a+2 b a+ b. .Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a=b Bài 2:Với x > 0 .CMR: 1+1x +. x<. 1.

(69) 1x +1 x + 1. Giải: Áp dụng BĐT CôSi mở rộng ta có: 111. 1. 1+1x. x .1 ≤. x. (1 + x )+ 1.1 x + 1 =. x. x++12. x+=. 1. + x 1+1 x +. 1.Vì + 1 x ≠1 nên dấu bằng không xảy ra. Chú ý :Có thể chứng minh cách khác bằng cách áp dụng định lí Lagrange như sau:.

(70) www.VNMATH.com Trường THPT Chuyên Tiền Giang Nguyễn Vũ Thanh. Xét hàm số f ( x ) = x ln(1 + 1 x ) = x ( ln( x + 1) − ln x. ) Ta có f / ( x ) = ln( x + 1) − ln x − 1x + 1 Hàm số g(t) = lnt liên tục trên [x ;x+1] có đạo hàm trên (x;x+1) nên ∃ x ∈ ( xx ; + 1): ln( x + 1) 1 − ln x =g/. (c ) =1c> 1x + 1 suy ra f tăng trên ( 0; +∞ ) Vậy f(x) > f(x+1) từ đó suy ra đpcm. Bài 3:Cho x ∈ (0;2) . CMR :. 1.

(71) − 2x 2x. < 94 Giải: Áp dụng BĐT CôSi mở rộng ta có: 2 222 2. 22 +. 1−2x .. .94=. 1−2x. 1. +12 ≤ 2x (1 − 2 x 2 x ) + + 2 2(1 + 12 ) x xx. 1= suy ra 1 −2x.

(72) 2x. < 49 .Vì 1−2x ≠1 +12 nên dấu bằng không xảy ra. Bài 4:Cho các số dương x1,x2,x3. và các số y 1 , y 2 , y 3. thỏa hệ :. y 1 2 3 = a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 y = a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23. x y = a 31 x 1 + a 32 x 2 + a 33. x a 1( a j + a + a = i = 1,2,3) + a j + a j = 1( j = 1,2,3) CMR: 123123 3. trong đó a ij.

(73) > 0 thỏa : i1 i2 i3 1233. xxx ≤ yyy.

(74) www.VNMATH.com Trường THPT Chuyên Tiền Giang Nguyễn Vũ Thanh. Giải: Áp dụng BĐT CôSi mở rộng ta có: x 1 a i1 . x 2 a i2. . x 3 a i3 ≤. a i1 x a 1 i1 + + a a i2 i2 x 2 +. + a a i3 i3 x 3. i1 i2 i3. 23 a+a+ a = a i1 x 1 + a i2 x 2 + a i3 x 3. = y i. với i =1,2,3 Nhân 3 BĐT trên lại ta được: xa+a+a.xa+a+a.xa+a+a≤. yy23 ⇒ 123123 1 11 21 31 2 11 21 31 3 13 23 33.

(75) 1. y xxx ≤ yyy Bài 5:Cho n số dương x1x2. x thỏa x1+x2. + + x = . Tìm giá trị lớn nhất của 112 2. , ,..., n. ... n. 1xaxa ... x n a n (ai > 0) Giải:Đặt. a=∑ n. ak; b k. =ak = 1.

(76) ka thì. ∑n k=k 1. b 1 .Áp dụng BĐT CôSi mở rộng ta có: =. 1112 22b12. 1212. b. 12xa.xa. b nnn. n n n .... ax. n. ≤ b a x + b a x + ... + a b x=a 1 ( x + x + ... + x ) = 1a ⇒x1a1a1a1.ax22aa22. ... a x 1 naa1 n.

(77) ≤1 aa⇒x1a1.x2 a2. ... x nan. ≤ a 1 a 1 . a 2 a 2 ... a n an. aa. ∑ Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 1 2 12. Vậy max =. xi = 1 xa=ax = ... =xnan = a1.

(78) ⇔xi =aia;∀ix1a1x2 a 2. ... xn an a1a1.a2a 2. ... a nan. a a. khi. xi =aia ;∀ i.

(79) www.VNMATH.com Trường THPT Chuyên Tiền Giang Nguyễn Vũ Thanh. Bài 6: Cho p , q dương và. 1p+1q = 1 .CMR với mọi x , y dương ta có :. xy ≤xpp+ yqq .Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x p = y q Giải : Áp dụng BĐT CôSi mở rộng ta có:. 1 1 xy = ( x p ) p .( y q) q. ≤. xpp+yqq. 1p+ 1q. = xpp+ y q. q Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi.

(80) x p = y q Tổng quát : Với p 1 , p 2. ,..., p n > 0 và ∑n k= 1. 1p k. 24. =1 thì x 1 x 2 ... x n = ( x 1 p 1 ) p 1 1 ( x 2 p2. )p1 2. ... ( x npn )p1n ≤x1p1p1+x2p 2. p2. + ... + x npnp n.

(81) Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi : x1p1=x2p 2. = ... = xn pn. Bài 7:Cho p , q > 0 và p+q =1.CMR với mọi (0; 2 ) 11. x. ∈π ta có p tan p x + q cot q x ≥ 1 Hướng dẫn: Áp dụng bài 6 Bài 8 : (BĐT Holder ) Cho x i > 0; y i. > 0 ( i = 1,2,..., n ) ; p > 0 , q > 0 và 1p+q1 =1 .Ta có :.

(82) www.VNMATH.com Trường THPT Chuyên Tiền Giang Nguyễn Vũ Thanh. 11∑nxiyi1≤. 1. 1 i=∑nxipi=p∑ n i = yiq. q x p y q = ... = x n p. y nq. Chứng minh:Đặt Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi : 1 1. A=(∑xip)1p;B=(∑ yi q. ) 1q. Áp dụng bài 6 ta có :. xi.yi1.xi1.∑. 25.

(83) 1.∑1.. ∑ 1 Suy ra A B ≤ p p y i. AqqB. x i p y i q AB p A p q B q p ⇒≤+=+ 1q 1= 11∑nxiyi1≤. 1 1 i=∑nxipi=p∑ n i = yiq. q Chú ý :Nếu p = q =2 ta được BĐT Bunhiacopxki Bài 9: (BĐT Mincopxki) Cho các số không âm a 1 , a 2 ,..., a n ;b1,b2 ,..., b n. và p > 1 ta có BĐT:. ∑(ai1. +. xy i i.

(84) +bi)p p ≤(∑aip )1p+. (∑ bi p ) 1 p Chứng minh: Đặt q = p p− 1 >1 ta có 1p+1q =1 .Áp dụng BĐT Holder ta có :.

(85) www.VNMATH.com Trường THPT Chuyên Tiền Giang Nguyễn Vũ Thanh ∑(ai+bi)p=∑ai(ai+bi)p−1+∑. bi(ai+ bi ) p − 1 ≤ ( ∑ a i p ) 1 p ( ∑ ( a i + b i ) ( p − 1) q ) q 1 + ( ∑ b i 1 ∑. ∑∑∑ 26 p. )p((ai+ bi ) (− 1). ) 1q ≤ p. p 1 ii. (aip)1p+(1bip).

(86) −. (a+. b ) p. p pq. ⇒. ∑(ai+bi). p 1 − p p− 1 ≤(∑aip)1p+. (∑ bi p. )1p⇒ ∑(ai()1() 1+bi)p p ≤∑aipp+.

(87) ∑ bi. p 1 p Chương V: BẤT ĐẲNG THỨC BUNHIACOPXKI MỞ RỘNG V.1. BẤT ĐẲNG THỨC BUNHIACOPXKI MỞ RỘNG Cho m dãy số thực không âm: a 1 , a 2 ,..., a n ; b 1 , b 2 ,..., b n ;...; c 1 , c 2 ,..., c n. Ta có: ( a 1 . b 1 ... c 1 + a 2 . b 2 ... c 2 + ... + a n . b n ... c n ) m. ≤ ( a 1 m + a 2 m + ... + a n m )( b 1 m + b 2 m + ... + b n m )...( c 1 m + c 2 m + ... + cn m. ) Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a 1 : b 1 :...: c 1 = a 2 : b 2 :...: c 2. = ... = an:bn :...: cn ( Nếu m chẵn thì không vần giả thiết a i. ,b i.

(88) ,c i. không âm ) Chứng minh: Giả sử A = ( a 1 m + a 2 m + ... + a n m ) m 1 ≠ 0 ; B = ( b 1 m + b 2 m + ... + b n m ) m 1. ≠0;C=(c1m+c2 m + ... + c n m. ) m1. ≠ 0 (Vì nếu một trong các số A,B,C bằng 0 thì BĐT đúng ) Đặt i x = a i A ; y i = b i B ;...; z i =ciC ( i = 1,2,..., n ) .Khi đó ∑ n x i m = ∑ n y i m = ... = ∑ n. z im =1i=1i=1i = 1. Theo BĐT Côsi cho m số không âm x i m , y i m ,..., z i m ( i=1,2,...,n) ta có:.

(89) www.VNMATH.com Trường THPT Chuyên Tiền Giang Nguyễn Vũ Thanh. xyz i i i ≤ xim+yi m. + zim. m ( i=1,2,...,n). ⇒ ∑ n x i y i ... z 1 i=1111. 27. m=i≤. ∑ i ... m. 1nxim+∑nyi==im++∑n. zi mmi. = = ⇒ a 1 AB b 1 ... C c 1 + a AB 2 b 2 ... c C 2 + ... + a AB n b n ... c C n ≤ 1 ⇒ ab 1 1 ... c 1 + ab 2 2 ... c 2. + ... + ab n n ... c n ≤ AB ... C.

(90) ⇒ ( ab 1 1 ... c 1 + ab 2 2 ... c 2 + ... + ab n n ... c n ) m ≤ ( a 1 m + a 2 m + ... + a n m )( b 1 m + b 2 m + ... + b n m )...( c 1 m + c 2 m + ... + c nm. ). Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x i. hay a i : b i :...: c i = A : B :...: C tức là 1 1 1222. =y i. =...= z i a : b :...: c = a : b :...: c = ... = an:bn :...: cn V.2.BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 1:CMR nếu x,y,z là 3 số không âm thì ta có : xnym+ynzm+znxm≤xn+m+yn+m+zn+. m với m , n là 2 số tự nhiên Giải : Áp dụng BĐT Bunhiacopxki mở rộng ta có :. ( xy n m + yz n m + zx n m ) n + m = ( x ... xy . ... y + y ... yz . ... z + z ... zx . ... x ) n + m ≤ ( x n + m + y n + m + z n + m ) ... (yn+m+zn+m+.

(91) x n+ m. ) ⇒ ( xy n m + yz n m + zx n m ) n + m ≤ ( x n + m + y n + m +. z n+ m. ) n+ m. Suy ra x n y m + y n z m + z n x m ≤ x n + m + y n + m + z n + m Bài 2 :Cho các số dương x,y,z và a,b,c thỏa a x + b y + c z =1 .CMR: a/ x2+y2+z2≥(3a2+3b2+ 3 c 2 )3. b/ xn+yn+zn≥(n+1an+n+1bn+ n+1. c n)n + 1.

(92) www.VNMATH.com Trường THPT Chuyên Tiền Giang Nguyễn Vũ Thanh. Giải :Áp dụng BĐT Bunhiacopxki mở rộng ta có : a/ (3a2+3b2+3c2) 3. =. 3. x23ax3 ax+3 y23by3 28. by+3z 23cz33. ( 2 2 2 )( )( ) 222cz. ≤x+y+zax+by+czax+by+cz =x+y+ z Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi : a x : x 2 = b y : y 2 = c z : z 2. ⇒1y=1x33 ab, 1z= 1x ac 1=ax+by+cz=ax+bx3ab+cx3 ac=1x.

(93) ( a + 3 ab 2 + 3. ac 2) Khi đó : x=3 a(3a2+3b2+ 3c 2. ) y=3 b(3a2+3b2+3c 2. ) z=3 c(3a2+3b2+ 3c 2. ) b/ (n+1an+n+1bn+n+1. c n. )n + 1. = 1 11.

(94) 1 11n+. x n n + a x ... n +. ax+n +. y n n + b y ... n +. by+n+1z n n + 1 c z ... n+1cz 1n nnnnnnn. +. ≤ ( x + y + z )( a x + b y + c z ) =x+y+ z Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi : ax:xn=by:yn=cz:z n. ⇒1y=1xn+1a b,1z= 1x n + 1.

(95) ac.

(96) www.VNMATH.com Trường THPT Chuyên Tiền Giang Nguyễn Vũ Thanh. Khi đó :. x=n+1an(n+1an+n+1bn+ n + 1. cn ) y=n+1bn(n+1an+n+1bn+n + 1. c n) z=n+1cn(n+1an+n+1bn+ n + 1. c n) Bài 3:Cho các số dương a 1. ,a 2. ,...,a n. .CMR:. 29 a 1 + a 2 n + ... + a n.

(97) k. ≤ a1k+a2k + ... n +a nk. Giải: Áp dụng BĐT Bunhiacopxki mở rộng ta có : ( a 1 + a 2 + ... + a n ) k = ( a 1 1...1 + a 2 1...1 + ... + a n. 1...1. ) k. ≤ ( a 1 k + a 2 k + ... + a n k )( 1 k + 1 k + ... + 1 k ) k − 1. ≤nk− 1 (a1k+a2. k + ... + a nk. ) ⇒ k. ≤ a1k+a2k. a 1 + a 2 n + ... + a n.

(98) + ... n kn. Dấu đẳng thức xảy ra khi và khi a 1. +a =a 2. = ...= a n. . Bài 4:Cho các số dương p , q , x , y , z .CMR với mọi số nguyên dương n ta có :. x n py + qz + pz y + n qx + z n px + qy ≥ xn−1+y n − 1 + nz − 1 p + q Giải: • Với n = 1 Áp dụng BĐT Svacxo ta có: py x + qz + pz y + qx + z px + qy = x 2 pxy + qxz + pyz y + 2 qyx + pzx z 2 + qzy ≥ ( p + ( q x )( + xy y + + yz z ) 2 + zx ) ≥ p3+ q • Với n > 1 Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có :.

(99) www.VNMATH.com Trường THPT Chuyên Tiền Giang Nguyễn Vũ Thanh (xn−1+yn−1+. z n − 1. )2 =. 2 ( ) 30 x n − py + qz x n py + qz + y n − 2 ( pz + qx ) y. n. pz + qx + z n −. 2 ( px + qy ) nz 2. px + qy. ≤. 2(+)+2(+)+2(+) ++++. + (111 )2. ( 2 2 2 ) ( 2 2 2 ) n x n − py qz y n − pz qx z n −.

(100) px qy py x qz pz y n n qx px z qy ⇒xn−+yn−+ z n −. nnn≤ −y+yn−z+zn−x+qxn−z+yn−x+zn −. y py x + qz + pz y + qx + z px + qy ≤ ( p + q )( x n − 1 + y n − 1 + z n − 1). x n py + qz + pz + + + Áp dụng bài 1 ta có 22211 22211. y n n qx px z qy. pxn.

(101) xn−y+yn−z+zn−x≤xn−+yn −. + z n − 1. xn−z+yn−x+zn−y≤xn−+yn −. + z n − 1. Do đó :. x n py + qz + pz y + n qx + px z + n qy ≥ xn−1+y n − 1 + nz − 1 p + q Bài 5:CMR nếu a,b,c là ba số dương và n là số nguyên dương thì ta có :. ba+nc+cb+na+ac+nb ≥ 32 a+b+c 1n −. 3.

(102) Giải: • Với n =1 Áp dụng BĐT Svacxo ta có: b a + c + c + b a + a + c b = ab a + 2 ac + bc b + 2 ba + ca c + 2 cb ≥ ( a + b + c ) 2 2( ab + bc + ca )≥ 32 • Với n ≥ 2 . Áp dụng BĐT Bunhiacopxki mở rộng ta có :.

(103) www.VNMATH.com Trường THPT Chuyên Tiền Giang Nguyễn Vũ Thanh. (a+b+c ) n. = n b a + c . n b + c .1...1 + n c b + a . n c + a .1...1 + n ac +b .n. a+ b .1...1 31 n. ≤. ba+nc+cb+na+a+. [ ( + ) + ( + ) + ( + )(1 ] + 1 + 1) 2 1 2 1. c n. b bccaab nnnn.

(104) −. ⇒(a+b+c )n−≤2 ba+nc+c+n+ n. +bac ab n −. ⇒3 2(a+3 b+ c) n −. ≤ba+nc+c+n+ n. +bc aab 3 Bài 6: a/Cho a i , bi.

(105) > 0 .CMR: n ( a 1 + b 1 )( a 2 + b 2 )...( a n + b n ) ≥ n aa 1 2 ... a n +n bb 1 2 ... b n b/Cho a i. > 0 .CMR: (1 + a 1 )(1 + a 2 )...(1 + a n ) ≥ ( 1 + n. a1a2 ... an. ) n. c/Cho a i. >0 .CMR: (1 + na a 1 2 )(1 + na a 2 3 n )...(1 + na a n 1. )≥. 1. + 1n Hướng dẫn: a/ Áp dụng BĐT Bunhiacopxki mở rộng ta có :.

(106) ( n aa 1 2 ... a n + n bb 1 2 ... b n ) n = ( n a 1 n a 2 ... n a n + nb1nb2. ... n bn )n ≤ )n. (na1)n+(nb1)n. (na2)n+(nb2. .... (nan)n. + (n. bn )n. ≤ ( a 1 + b 1 )( a 2 + b 2 )...( a n + bn ) ⇒ n ( a 1 + b 1 )( a 2 + b 2 )...( a n + b n ) ≥ n aa 1 2 ... a n +n bb 1 2 ... b n.

(107) www.VNMATH.com Trường THPT Chuyên Tiền Giang Nguyễn Vũ Thanh. b/Áp dụng a/ bằng cách thay b1=b2. = ... =bn =1 c/ Áp dụng b/ Bài 7:Cho a,b,c,x,y,z > 0 và ax+by+cz = 1.CMR: x n + y n + z n ≥ ( n − 1 a n + n − 1 b n + n − 1 c n )1 − n. ;∀n ≥ 2 Giải: Ta có: 1 = ( ax + by + cz )n = ( n − 1 a n − 1 a ... n − 1 ax . + n − 1 b n − 1 b ... n − 1 by . +. n − 1 c n − 1 c ... n − 1 cz .. ) n ≤(n−1an+n−1bn+n−1 cn)n − 1. (xn+yn+z. n)⇒ x n + y n + z n ≥ ( n − 1 a n + n − 1 b n + n − 1 c n )1 − n.

(108) ;∀n ≥ 2 Bài 8 :Cho các số dương a,b,c,p,q,r,d,x,y,z thỏa điều kiện ax n + by n + cz n = d .CMR:. xpm+yqm+zrm ≥ mn. d1 (n+mampn+n+m. bmqn+ n+ m. cmr n )1 +. m n với m , n nguyên dương Giải:a/ n+ m. ampn= n + m ax n ... n + m ax. n . n + m x p m ... n+ m. px m n+mbmqn= n + m by n ... n + m. by.

(109) n. . n + m y q m ... ... . ... 32 qn+ m. y m n+mcmrn= n + m cz n n + m. cz nn+mzrmn+ m. z r m. Áp dụng BĐT Bunhiacopxki mở rộng ta có :.

(110) www.VNMATH.com Trường THPT Chuyên Tiền Giang Nguyễn Vũ Thanh (n+mampn+n+ m bmqn+n+m cmrn)n+ m. ≤ ( ax n + by n + cz. n) m. xpm+yqm+ z r m. 33. n. ≤d m. xpm+yqm+ z r m. n. ⇒xpm+yqm+zrm ≥ mn.

(111) d1 (n+mampn+n+m. bmqn+ n+ m. cmr. n )1 + m n Chương VI:. BẤT ĐẲNG THỨC SCHWARZ (SVACXO) VI.1. BẤT ĐẲNG THỨC SCHWARZ (SVACXO) Cho 1 2 > 0,ta có BĐT :. ∑n ai2. ≥. ∑n 1 2 i i= 1. bi 1. b , b ,..., b.

(112) n i= n ii. a .Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi ∑ b=aibi=ajb j. i,j∈ { 1,2,..., n } Chứng minh:Áp dụng BĐT Bunhiacopxi cho hai dãy b1,b2. ,..., bn và a1b1,a2b2. ,..., a nb n. ta có: ∑bi.ai2b i. ≤∑bi .∑ai2bi⇒∑ ai2bi≥(∑ ai.

(113) )2∑ i. . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi i j , { 1,2,..., } i j b ab=ab ij∈ n. VI.2.Bài tập áp dụng Bài 1:a/Cho a 1 , a 2 ,..., a n. > 0 .CMR:. ∑n 2 i= 1. 1ai. ≥n∑n aii = 1.

(114) www.VNMATH.com Trường THPT Chuyên Tiền Giang Nguyễn Vũ Thanh. b/ Cho ( b i. ) là một hoán vị của ( a i. ) .CMR:. ∑ai2 bi 34. ≥∑ ai Bài 2:Cho a,b,c là ba cạnh tam giác .CMR : a/ b+ac2−a+a+bc2−b+a+c b2−. c ≥a+ b+ c b/ a 2 pb + qc + b 2 pc + qa + pa c + 2 qb ≥ a+b+ cp+ q với p,q> 0 c/ b + a c − a + a + b c − b +.

(115) a+c b− c ≥ 3 d/ 2 b + a 2 c − a + 2 a + b 2 c − b + 2a+c2 b− c ≥ 1 HD : c/VT= ab ( + a c 2 − a ) + ba ( b 2 + c − b ) + ca ( c 2 + b − c ) ≥ 2 ab + 2 bc ( a + + b + c ) 2. 2 ca − a 2 − b 2 − c 2. ≥ 3 d/ Tương tự c/ Bài 3:Cho các số dương a,b,c,d.CMR: a/ b+ac+c+ba+a+c b.

(116) ≥ 32 b/ pb a + qc + pc b + qa + pa c + qb ≥ p3+ q ( với p,q >0 ) c/ b + a c + c + b d + d c + a + a d + b ≥ 2 2 HD: Viết ba+c= ab ( a + c ) ,... Bài 4:Cho tam giác ABC có đường tròn nội tiếp tiếp xúc với các cạnh tại M,N,P. CMR: S MNP ≤ 1 4 S ABC.

(117) www.VNMATH.com Trường THPT Chuyên Tiền Giang Nguyễn Vũ Thanh. HD: S MNP ≤ 1 4 S ABC ⇔ S S APN ABC 35. ⇔ ( p bc − a ) 2 + ( p ac − b ) 2 + ( p ab − c ) 2≥. 34 Mà + S S BPM APN + S S CMN APN. ≥ 34 ( p − a ) 2 bc + ( p ac − b ) 2 + ( p ab − c ) 2 ≥ ab (3 p + − 2 p ) 2 bc + ca ≥ 1 4 ab ( a + + bc b + + c ca ) 2≥. 34 Bài 6:Cho a,b,c,d dương.CMR: a/ 3+2+3+2+3+ 2≥ 2+2. +23 b/ abcabcabbcca.

(118) b+2ac+3d+c+2db+3a+d+2ca+3b+ a+2d b+3 c ≥ 23 c/ b+ac++bd+c+bd++ca+dc++ad+b+ ad++ b+a c ≥ 83 3 HD: a/ Viết aa2ba(aa 4. 2 b ,... b/ Viết += +) a2b2c3da(ba 2c3 d ,... c/ Viết ++=.

(119) ++) a+bb+c+d= ( a + b ( a )( +bb+) c2+d ) ,... Bài 7:Cho x1,x2. ,..., xn > 0 và xi1,xi2. ,..., xi n. là hoán vị của (x i. ) .CMR :. ∑nx 2 k=11 kxi k. ≥1 n (∑kn=. x k. ).

(120) HD: n 2 ∑nk=1xk2xi k (∑k≥k. 1∑n i ∑nkk1. ∑=2i 1. x )= x k. =x= ≥ 1n ( k n 1. x k. ) ( theo BĐT Bunhiacopxki) =. 3 Bài 8:a/ Cho x,y,z > 0 và xy+yz+zx = 1 . CMR: yx+z+zy+3x+xz3+ y.

(121) ≥ 12.

(122) www.VNMATH.com Trường THPT Chuyên Tiền Giang Nguyễn Vũ Thanh. b/ Cho x,y,z,t > 0 và xy+yz+zt+tx = 1 . CMR: x 3 y + z + t + y 3 z + x + t + z 3 t + x + y + x + 36 t 3 y + z ≥ 13 c/ Cho x i. > 0 và xx 1 2 + xx 2 3 + ... + xx n 1. = 1 ,. S =∑ n xii = 1. CMR:. ∑n 3. 1 i= 1. xiSai n 1 HD:a/ Viết.

(123) −≥ − 3yxzx(yx 4. z ) ,... và x 2 + y 2 + z 2 ≥ xy + yz + zx b/ Viết += + x3yztx 4. x(yzt ) ,... và 3( x 2 + y 2 + z 2 + t 2 ) ≥ 2( xy + xz + xt + yz + yt + zt ) c/ ++= ++ VT. =∑ ai(Sa 4. a). (∑ a2)2S2∑ai2. ∑S≤n∑a⇒S−∑a≤n−∑a2 i−i. ≥.

(124) − i Mà 2 2 2 i i. 2 ( 1) 2i. ⇒ VT ≥ n 1 − 1 ∑ a i ≥ n 1− 1 ( vì ∑ ai 2 ≥ 1 ) Bài 9:Cho a,b,c > 1.CMR: a/ ba−21+a b −2. 1 ≥ 8 b/ log b a 2 a + b + log c b 2 c + b + log a + a cc2≥ a+9 b+ c HD: log b a + log c b + log a c≥3 ( BĐT Côsi ) Bài 10:Cho a,b,c > 0 và abc=1.CMR:.

(125) a3(b1+c)+b3(c1+a)+c3 (a1 + b )≥ 32 HD:Đặt x=1a,y=b1 ,z = 1c và x2y+z+zy+2x+z2x+ y ≥x+2y+ z ≥ 32.

(126) www.VNMATH.com Trường THPT Chuyên Tiền Giang Nguyễn Vũ Thanh. Bài 11: Cho n số dương a 1 , a 2 ,..., a n. và. ∑n i. =1 .CMR: ∑nai= 1 i= 1. 37 i. ai nn HD: a 2−≥ 2 − 1 VT. =∑ n. ∑ i= 1.

(127) ai 22ai−ai2≥2∑(2. ∑2∑2 1− (Vì 2 2 ai)ai−ai=2− 1ai 1 2 1n≥n − = 2 n 1n. ∑ai≥1 ⇒∑ai ≥ n) 222. 2 Bài 12:Cho tam giác ABC.CMR: 2. HD: h a bc + ca h b + h c ab ≥ 9Rr 22222.

(128) 922222. (Vì h a bc + ca h b + h c ab ≥ ( h a + h b + h c ) ab + bc + ca ≥ a (9 r ) +b+ c≥ rR 1ha+h1b+1hc = 1r và a 2 + b 2 + c 2 = 4 R 2 (sin 2 A + sin 2 B + sin 2 C ) ) Bài 13:Cho hình hộp chữ nhật có α , β , γ là góc của đường chéo với các cạnh có kích thước a,b,c.CMR: cos 4 α a + cos b 4 β + cos c 4 γ ≥ a+1b + c HD: cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ = 1 Bài 14: a 1 , a 2 ,..., a n. là các cạnh của một đa giác n cạnh chu vi là p.CMR:. ∑n i= 1. aipai nn HD:Viết −2≥.

(129) − 2 ai2p−2ai= aiai(p−2 ai ) và ∑ a i 2 ≥1. n∑ ai =pn Bài 15:Cho ba số dương a,b,c có abc=1.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : P = ab 2 bc + ac 2 + ba 2 ca + bc 2 + ca 2 ab + cb 2 HD: Đặt x=1a,y=1b ,z = 1c.

(130) www.VNMATH.com Trường THPT Chuyên Tiền Giang Nguyễn Vũ Thanh. Bài 16: Cho ba số dương a,b,c có a 2 + b 2 + c 2 = 1 .Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : A =a+2ab3+3c+b+23 33 23 b HD:Viết 38 b c + a + c+ca + a3a+2b+3c= a(a+a24 b+3 c ) ,.... Bài 17: Cho 1 2 và. ∑n i. = .CMR:. ∑n − i ≤ − 1) i i 1.

(131) HD: a , a ,..., an ∈ (0;1) a 1 1an( n= 1 =. n −1. =∑ n i = 1. 1 − ai1 ≥. (∑ 2. Bài 18:Cho 12. 1−ai)n x , x ,..., xn dương và.

(132) S =∑ x i , a là số thực tùy ý .CMR : x1x2. x nS a + x 2 + x 3 + ... + x n a x 1 x 3 x a x 1 x 2 x − 1. nSaS HD: Viết + + + + ... + n + ... +++n + ... + n ≥ (+) − x 1 2 a + x 2 + x 3 + ... + x n = x1(a+x1S− x 1. ) ,... Bài 19:Cho tam giác ABC.CMR: tan A tan B 2 3 2 + tan C 2 tan + tan A 2 3 B 2 + tan C 2 tan + tan A 2 3 C 2 + tan B ≥.

(133) 122 HD:Áp dụng tan A 2 tan B 2 + tan B 2 tan C 2 + tan C 2 tan A 2 = 1 Bài 20:Cho tam giác ABC .Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : M = 2 + cos2 1 A + 2 + cos2 1 B + 2− cos2 1 C HD: M ≥ 6 + cos2 A + cos2 9 B − cos2 C ≥ 7 + 1 2 cos 2 (9 6A−B)−2 cos( A − B ) 2. ≥ 5 Bài 21:Cho tam giác ABC .CMR:. cos C + 1 2.

(134) www.VNMATH.com Trường THPT Chuyên Tiền Giang Nguyễn Vũ Thanh. a/ ab + bc + ca ≥ 4 3 S b/ 36 r 2 ≤ ab + bc + ca ≤ 9 R 2 c/ 2( l a + l b + l c ) ≤ 3( a + b + c ) d/ 2≤1+1+1≤ 1 abc. HD: a/ 39. Rlllr ab = sin 2 S C b/. ab + bc + ca = 4 R 2 (sin A sin B + sin B sin C + sin C sin A ) = 4 R 2 sin A sin B sin C ( sin 1 A + sin 1 B + sin 1 C ) ≥ 4 R 2 sin 9sin A + A sin sin B B + sin sin C C = 4R 2. .18sin A 2 sin B 2 sin.

(135) C2. và r = 4 R sin A 2 sin B 2 sin C2 c/ Áp dụng 2 bc cos A la =b+c2 =2 b+ bc c p(p−a )≤ p(p− a) d/Áp dụng 1la+1lb+1lc≥ la9+lb + l c. và 1ha+h1b+1hc = 1r Bài 23:Tam giác ABC nhọn có đặc điểm gì nếu nó thỏa mãn điều kiện:.

(136) tan sin 2 A 2 A + tan sin 2 B 2 B + tan 2C. sin C2 = 18 HD:Áp dụng tan A + tan B + tan C ≥ 3 3 ;sin A 2 + sin B 2 + sin C2 ≤ 23 Bài 24:Cho tam giác ABC có diện tích là S .CMR: a 8 cos 2 A 2 + cos b 2 8 B 2 + cos c 28C2. ≥ 495 . S 4. HD:Áp dụng a 4 + b 4 + c 4 ≥ 16 S 2 và cos 2 A 2 + cos 2 B 2 + cos 2. C2 ≤ 94.

(137) www.VNMATH.com Trường THPT Chuyên Tiền Giang Nguyễn Vũ Thanh. Bài 25: Cho a,b,c > 0 và ax+by=c.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức T =x2a+ y2b Bài 26:Cho a,b,c > 0 và a+b+c=1 Tìm giá trị nhỏ nhất của M 1a2b2c2. 40 1 ab bc 1 + ca 1 HD:Viết 222. =++ ++ M =a1+b+ c + 9 9 ab + 99 bc + 9 9 ca Bài 27:Cho a 1 , a 2 ,..., a n. dương .CMR: a 1 a 2 + a 3 + a 3 a 2 + a 4 + ....

(138) +aa1+a2≥ a 1 + a 2 + ... + a 2( a 1 2 + a 2. 2 + ... + a 2. ) HD:Viết nn n a12a2+a3= a1(aa21. + a 3. ) ,... Bài 28:Cho tam giác ABC .Gọi O 1. ,O 2. ,O 3. lần lượt là tâm các đường tròn bang tiếp góc A,B,C .Gọi S 1. ,S 2. ,S 3. lần lượt là diện tích các tam giác O.

(139) 1. BC,O 2. CA,O 3. AB .CMR: S 1+S2+S3 ≥ 3 S HD:Áp dụng r a. = pS− a ; 2( S 1 + S 2 + S 3. ) = ar a + br b + cr c Chương VII:. MỘT MỞ RỘNG CỦA CÁC BẤT ĐẲNG THỨC SVACXO,TRÊBUSEP,BUNHIACOPSKI VII.1.Nội dung BĐT: Cho c 1 , c 2 ,..., c n. > 0; a c 1 1 ≥ a c 2 2 ≥ ... ≥ a c n n ; b c 1 1 ≥ b c 2 2 ≥ ... ≥ b c n.

(140) n. .Ta có BĐT: ab 1 1 c 1 + ab c 2 2 2 + .... + ab c n n n ≥ ( a 1 + a 2 + c ... 1 + + c a 2 n + )( b ... 1+. +cbn2 + ... + b n. ) (1) Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a 1 c 1 = a c 2 2 = ... = a c nn. hoặc b 1 c 1 = b c 2 2 = ... = bcn n.

(141) www.VNMATH.com Trường THPT Chuyên Tiền Giang Nguyễn Vũ Thanh. CM: Trước hết ta CMR nếu c 1 , c 2 ,..., c n > 0 ; a 1 c 1 41 ≥ a 2c2. a ≥ ... ≥ n c n. thì a1+a2c1+c2. + ... + a k + ... + ck≥ ancn (2) với mọi k=1,2,...,n Thật vậy đặt n nac =m ta có a i ≥ mc i ⇒ ∑ a i ≥ m ∑ ci. ⇒∑∑ acii Ta CM (1) bằng quy nạp .Với n=2 11221212 122112211212.

(142) ≥ m ab c + ab c ≥ ( a + a )( b c + c + b ) ⇔ ( ac − ac )( bc − bc )≥ 0(BĐT đúng )Giả sử (1) đúng với n=k khi đó c 1 , c 2 ,..., c n > 0; a c 1 1 ≥ a c 2 2 ≥ ... ≥ a k + 1 c k + 1 ; b c 1 1 ≥ b c 2 2. ≥ ... ≥ b k +1ck + 1. . Ta có ab 1 1 c 1 + ab 2 2 c 2 + ... + a c 1 1 b 1 ≥ ( a 1 + a 2 + ... + a )( b 1 + b 2 + ... + b c 1 + c 2 + ... + c) + ac 111b Theo (2) ta có 1 2 12 k+k+kkk+k +.

(143) k+k +k. a + a + ... c + c + ... +ak+ ck≥ a k + 1c k + 1. và b 1 + b 2 + ... +bc1+c2 + ... + c≥ bc (3) Vì (1) đúng với n=2 nên từ (3) ta có kk kk + 1 + 1. ( ∑ k a i )( ∑ k i ) ( ∑ k + 1 i )(. ∑k +.

(144) 1 i)i=1i=1k+1k+1i=1i = 1∑kcik + 1. ∑k + 1 ii=1i = 1. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 1 2 12. b+ac b ≥ ac b a c = a c = ... = a c nn. hoặc b 1 c 1 = b c 2 2 = ... = bcn n. VII.2..Một số BĐT được suy ra từ (1) VII.2.1.BĐT Svacxo: Với a i = b i ∀i thì ta có BĐT Svacxo :.

(145) ∑ ai2ci≥. (∑∑ acii) 2 (4) VII.2.2.BĐT Bunhiacopxki.

(146) www.VNMATH.com Trường THPT Chuyên Tiền Giang Nguyễn Vũ Thanh. Nếu đặt x i = a i c i ;yi =ci thì (4) thành ∑ x i 2 ∑ y ≥ ∑ x y VII.2.3.Với a i. 42 2i(ii. )21∑2 i≥ 1. ∑ i. 2. VII.2.4. BĐT Trebusep Với c i. =b i. và c i. = n ta có BĐT : nan a = 1 ta có ∑aibi≥1n. ∑ai∑.

(147) bi. VII.3.Bài tập áp dụng Bài 1:Cho a,b,c > 0.CMR : a 3 a 2 + ab + b 2 + b 2 + bc b 3 + c 2 + c 2 + ca c 3 + a 2≥. a+3 b+ c HD:Viết a 3 a 2 + ab + b 2 = aa ( a 4. 2 + ab + b 2) ,... Bài 2:Cho M ở trong tam giác ABC.Kẻ MA 1. ,MB 1. ,MC 1. lần lượt vuông góc với BC,CA,AB.Tìm giá trị nhỏ nhất của T = BC MA 1 + MB CA 1 + AB MC.

(148) 1. HD:Viết BC MA 1 = BC 2. BC . MA 1 Bài 3:Cho 1 2 dương và. = a∑ n ai i. .CMR:. ∑n i= 1. Si ai nn HD:Viết a , a ,..., a n. S = 1. −≥ − 1.

(149) ai2S−ai= aiai(S− ai ) ,... Bài 4:Cho G là trọng tâm tam giác ABC.GA,GB,GC lần lượt cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại điểm thứ hai A 1. ,B 1. ,C 1. .CMR: GA + GB + GC ≤ GA 1 + GB 1 + GC 1. HD:Cách 1:Gọi M,N,P lần lượt là trung điểm của BC,CA,AB .Ta có MA . MA 1 = MB . MC = a 2. 4.

(150) www.VNMATH.com Trường THPT Chuyên Tiền Giang Nguyễn Vũ Thanh. ⇒ 3 2 GA ( GA 1 − 1 2 GA ) =a 4 2 ⇒ GA 1. =12 GA + 6 a GA 2 .BĐT cần CM tương đương với: ⇒ 3 a GA 2 + 3 b GB 2 + 3 GC c 2. ≥ GA + GB + GC Giả sử a ≥ b ≥ c ⇒ GA ≤ GB ≤ GC Xét hai dãy: 222. 43 1 1 1 a GA ≥ GB b ≥ GC c ; 3 GA ≥ GB 3 ≥ GC 3 ⇒ 3 a GA 2 + 3 b GB 2 + 3 GC c 2 ≥ GA a 2 + + GB b 2 + + c 2 GC = 3( GA GA 2 + + GB GB 2 + + GC GC.

(151) 2) ≥ GA + GB + GC Cách 2 (Áp dụng BĐT Trêbưsep)Ta CM: a 2 GA + GB b 2 + GC c 2. ≥ 3( GA + GB + GC ) Áp dụng hai dãy cùng chiều a2≤b2≤. c 2. 1 GA ≤ GB 1 ≤ GC 1 Ta có : 1a2+b23+ c 2. . GA + GB 1 3 + GC 1 a2≤. GA + GB b 2 3 + GC c 2. ⇒ GA a 2 + GB b 2 + GC c 2.

(152) ≥13 ( a 2 + b 2 + c 2 )( GA 1 + GB 1 + GC 1 ) ≥ 3( a 2 + b 2 + c 2. ). GA + GB 1 + GC Mà 1 3 ( a 2 + b 2 + c 2 ) = GA 2 + GB 2 + GC 2 ≥13 ( GA + GB + GC 2) Bài 5:Cho 0 ≤ x 1 ≤ x 2 ≤ ... ≤ x n ; 0 ≤ y 1 ≤ y 2 ≤ ... ≤ y n ;...;0 ≤ z 1 ≤ z 2 ≤ ... ≤zn .CMR: ( 1 n ∑ x k )( 1 n ∑ y k )...( 1 n ∑ z k ) ≤ 1 n (∑xky k ... z k. ) Bài 6 : Cho tam giác ABC .CMR: ahb+hc+hcb3+ha+ha+ chb ≤ R.

(153) 2 r.

(154) www.VNMATH.com Trường THPT Chuyên Tiền Giang Nguyễn Vũ Thanh. HD: Áp dụng BĐT Trêbưsep cho hai dãy ah≤bhc1bhhhh 44. ≤≥c1≥ ca1 a b. Ta có: +++ ahb+hc+hcb+ha+hac +hb≤13 (a+b+c )( hb1+hc+hc1 +ha+ ha1+ h b. ) Áp dung ah . a = bh . b = ch . c = 2 S,1x+1y≥x+4 y (x,y >.

(155) 0) và sin A + sin B + sin C≤ 32 3 Bài 7:Cho 1 2 thỏa ∑ x ≥ và S = x∑ i .CMR:. ∑ Sx 3xn 1 1 HD:Viết x , x ,..., x n >0 i21 i−≥i − xi34S−xi= xixi(S− xi ). Chương VIII: SỬ DỤNG TÍNH CHẤT THỨ TỰ CỦA HAI DÃY BẤT ĐĂNG THỨC.

(156) VIII.1.Tính chất thứ tự của hai dãy bất đẳng thức: VIII.1.1.Cho hai dãy cùng chiều a1≤a2. ≤ ... ≤an và b1≤b2. ≤ ... ≤ bn Ta có BĐT : ∑ n ab k k = 1 k ≥ ∑ n ab k k = 1 i k ≥∑nk = 1. ab kn+1 − k. trong đó i 1 , i 2 ,..., i n. là hoán vị của 1,2,...,n Chứng minh :Dùng quy nạp ta CM ∑ n ab k k ≥ ∑ n. ab k (1). k = 1 k = 1 i.

(157) k. Với n=2 ta có : ab 1 1 + ab 2 2 − ab 1 2 − ab 2 1 = a 1 ( b 1 − b 2 ) − a 2 ( b 1 − b 2 ) = ( a 1 − a 1 )( b 1 − b 1. )≥0 ⇒ ab 1 1 + ab 2 2 ≥ ab 1 2 + ab 2 1. Giả sử (1) đúng với n-1 ta CM (1) đúng với n.Giả sử 1≠i1 và i k =1 .Ta có :. ∑n kik = 1. ab k. = ( ab 1 i 1 + ab k 1 ) + ( ab 2 i2. + ... + ab n i n. ).

(158) www.VNMATH.com Trường THPT Chuyên Tiền Giang Nguyễn Vũ Thanh. Mà a1≤ak; b1 ≤bi1. ⇒ ab 1 i 1. + ab k 1≤. ab 1 1 + ab k i 1 do đó ∑nki≤k=1ki1i2. n i (theo giả thiết quy nạp ) 45 ab k. ab 1 1 + ( ab + ab 2 + ... + ab n ). ≤∑k n = 1. ab kk. Áp dụng (1) cho hai dãy a 1 ≤ a 2 ≤ ... ≤ an và bn≤−b.

(159) n −. 1 ≤ ... ≤−b1 ta có − ∑ n ab k k = 1 n + 1 − k ≥ − ∑ n ab k k = 1 i k ⇒ ∑ n k = 1 1 1ki≥∑n k knk. (2).Từ (1) và (2) suy ra đpcm. Tổng quát :Hai dãy (a n. ab k =. ab +−. ) và (b n. ) có sắp thứ tự giống nhau nếu a i ≤ a j ⇔ b i ≤ b j ;∀i, j thì ta cũng có ∑ n ab k k = 1 k ≥ ∑ n ab k k = 1 i k. ≥∑ n k = 1. ab kn+1 − k.

(160) VIII.1.2.Cho hai dãy ngược chiều a1≤a2. ≤ ... ≤an và b1≥b2. ≥ ... ≥ bn Ta có BĐT : ∑ n ab k k ≤ ∑ n ab k i ≤ ∑ n. ab kn+1 − k. trong đó 1 2 là hoán vị của 1,2,...,n k = 1 k = 1 k = 1. i , i ,..., i n. Tổng quát :Hai dãy (a n k. ) và (b n. ) có sắp thứ tự ngược nhau nếu a i ≤ a j ⇔ b i ≥ b j ;∀i, j thì ta.

(161) cũng có: ∑ n ab k k = 1 k ≤ ∑ n ab k k = 1 i k. ≤∑ n k = 1. ab kn+1 − k. VIII.2.Bài tập áp dụng Bài 1: Cho a, b, c tùy ý .CMR : a/ a 4 + b 4 ≥ ab 3 + ab3 b/ a 4 + b 4 + c 4 ≥ ab 3 + bc 3 + ca3 HD:Xét hai dãy thứ tự giống nhau ( abc , , ) và ( a 3 , b 3 , c 3 ) Bài 2:Cho a,b,c >0 .CMR: ab 3 + bc 3 + ca 3 ≥ abc 2 + bca 2 + cab 2 HD: Xét hai dãy thứ tự ngược nhau ( a 2,b2,c2) và ( 1 a , b 1 , 1 c ) Bài 3: Cho a,b,c >0 CMR: a+b+c ≤12 (a2+cb2+b2+ac2+c2+ ba2) ≤ bc a 3 + ca b3+. ab c 3.

(162) www.VNMATH.com Trường THPT Chuyên Tiền Giang Nguyễn Vũ Thanh. HD: Giả sử 0 < a ≤ b ≤ c Xét hai dãy cùng chiều a 2 ≤ b 2 ≤ c 2 và 1c≤b1≤1a ta có a+b+c ≤ac2+ba2+ cb2 (1) và a+b+c ≤a2b+bc2+ ca2 (2) Cộng (1) và (2) rồi chia cho 2 ta được a+b+c ≤ 1 2 ( a 2 + c b 2 + b 2 + a 46 c 2 + c 2 + b a 2) (3) Xét hai dãy cùng chiều a 3 ≤ b 3 ≤ c 3 và 1 bc ≤ ac 1 ≤ ab 1 ta có a 3 bc + ac b 3 + ab c 3 ≥ ab a 3 + bc b 3 + ac c 3 = a 2 b + b c 2 + ca3 (4) và a 3 bc + ac b 3 + ab c 3 ≥ ac a 3 + ab b 3 + bc c 3 = a c 2 + b a 2 + cb3.

(163) (5) Từ (4) và (5) suy ra a 3 bc + b 3 ac + c 3 ab ≥ 1 2 (a2+b2c+b2+c2a+c2+b a 2) (6). Từ (3) và (6) suy ra đpcm. Bài 4:Cho a,b,c > 0 .CMR: a8+b8+. c 8 abc 3 3 3. ≥1a+b1+ 1c HD:BĐT cần CM tương đương với : a 5 bc 3 3 + ac b 3 5 3 + ab c 3 5 3. ≥1a+b1+ 1c Xét hai dãy a 5 ≤ b 5 ≤ c 5 và 1 bc 3 3 ≤ 1 ac 3 3 ≤ 1 ab 33. ta có a 5 bc 3 3 + ac b 3 5 3 + ab c 3 5 3 ≥ a 2 b 3 + b c 3 2 + 2c. a 3. (1) Lại áp dụng BĐT dãy thứ tự với hai dãy a 2 ≤ b 2 ≤ c2 và.

(164) 1c3≤b13 ≤ a3 1 ta được a2b3+bc32+ca23. ≥1a+b 1+ 1c (2) .Từ (1) và (2) suy ra đpcm.

(165) www.VNMATH.com Trường THPT Chuyên Tiền Giang Nguyễn Vũ Thanh. Bài 5 :Cho a,b,c > 0.CMR: a2c3+ba23+bc 2 3. ≥ 1 ab + 1 bc + 1 ca HD: Xét hai dãy thứ tự ngược nhau ( a 2 , b 2 , c 2 ) và ( a 1 3 , b 1 3 , c13 ) ta có a2c3+ba23+cb23. ≥ 1 a + 1 b + 1 c ≥ 1 ab + 1 bc + 1 ca Bài 6 : Cho tam giác ABC có h a , h b , h c , r là độ dài các đường cao và bán kính đường tròn nội tiếp tam giác .CMR: hb2ha3+hc2hb3+ha2 hc3. ≥ 1r HD:Áp dụng h a. =2aS ; 1 r = h 1 a 47 + h 1 b + 1 h.

(166) c. BĐT cần CM tương đương với a3b2+bc23+ac 3 2. ≥a+b+ c Áp dụng hai dãy thứ tự ngược nhau ( a 3 , b 3 , c 3 ) và ( a 1 2 , b 1 2 , c 12 ) c. ta có đpcm Bài 7: Cho tam giác ABC có m a , m b , m , R là độ dài các đường trung tuyến và bán kính đường tròn ngoại tiếp của tam giác.CMR: mbma2+mcmb2+mamc2 ≥ R2 HD:Áp dụng 1+1+1abc≥ a+9b. + cmmmmmm và ma+mb+mc.

(167) ≤ 9 2R Bài 8 :Cho ba số dương a,b,c .CMR: ba+2c+cb+2a+a212 (22222)c+b≥a+ba+b+bb2 HD : Áp dụng hai dãy thứ tự giống nhau ( a 2 , b 2 , c 2 ) và + + c c + cc+ a+ a (b1+c,c+1a, a1+ b ) Bài 9:Cho tam giác ABC có các cạnh a,b,c và p là nửa chu vi.CMR: p ab − c + p bc − a + p ac − b ≥ 4 p HD:Đặt x=a+b-c , y=b+c-a , z=c+a-b (x,y,z > 0 ).

(168) www.VNMATH.com Trường THPT Chuyên Tiền Giang Nguyễn Vũ Thanh. BĐT cần CM tương đương với : ( x + y )( x x + z ) + ( y + z )( y y + x ) + ( z + x )( z 48 z +. y ) ≥ 4( x + y + z ) ⇔ yz x + zx y + xy z ≥x+y+z .Giả sử x ≥ y ≥ z > 0 .Xét hai dãy 1x≤1y≤1z và yz ≤ zx ≤ xy Bài 10:Cho n số dương a 1 , a 2 ,..., a n. tùy ý .CMR: a 1 a 1 a 2 a 2 ... a n a n ≥ a 1 a 2. a 2 a 3 ... a n a1. ≥ a1an a2 an −. 1 ....

(169) a n a 1 HD: Áp dụng hai dãy thứ tự giống nhau ( a k ) và (l n a k. ) Bài 11: Giả sử x1≥x2. ≥ ... ≥xn và y ≥ y ≥ ... ≥ yn .CMR nếu z 1 , z 2 ,..., z n. là một hoán vị bất kì của các số 1 2 thì 12. y , y ,..., yn ∑n(xi−yi)2. ≤∑n ( x i−zi.

(170) 2) (Thi Quốc tế lần 17) i = 1 i = 1. HD:Áp dụng BĐT dãy thứ tự ta có ∑nxiyi≥∑n. x izi. .Ta có ∑ n 2 i. ≥∑n zi 2. do đó i = 1 i = 1 i1i 1 22222 1 y== ∑ n ( x i − y i ) = ∑ n x i − 2 ∑ n xy i i + ∑ n y i ≤ ∑ n x i − 2. ∑n xz i i. +∑n i. ≤∑n xi−yii1i1i1i1i1i 1 i2. (đpcm) ====== i.

(171) = 1. Bài 12: Cho (a k. z () =. ) là một dãy số nguyên dương phân biệt (k=1,2,...,n).CMR vói mọi n nguyên dương ta có: ∑knak=1k2. ≥∑k n = 1. 1k (Thi Quốc tế lần 20) HD:Giả sử ( i 1 , i 2 ,..., i n. ) là hoán vị của (1,2,...,n) sao cho ai1<ai 2. < ... <ai n. .Xét hai dãy thứ tự ngược nhau a 1 < a 2 < ... <.

(172) ain. và 112>212 > ... > n 1 2. ta có: ∑knak=1k≥∑ n k =. aik Bằng quy nạp ta CM được với mọi k 21 kii 2. a ≥ k k ∈ { 1,2,..., n } .Vậy ∑aki. na k=1k2≥∑nk=1 i kk2. ≥. ∑k n = 1. 1k.

(173) Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a k. = k với mọi k..

(174) www.VNMATH.com Trường THPT Chuyên Tiền Giang Nguyễn Vũ Thanh. Bài 13:Cho a,b,c là độ dài ba cạnh tam giác .CMR: aba 2 ( − b ) + bcb 2 ( − c ) + cac 2 ( − a ) ≥ 0 (Thi QT lần 24 ) HD:Xét hai dãy có thứ tự ngược nhau (bc,ac,ab) và (a2+bc,b2+ac,c2+ab) ta được: bc ( a 2 + bc ) + ac ( b 2 + ac ) + ab ( c 2 + ab ) ≤ bc ( b 2 + ac ) + ac ( c 2 + ab ) + ab ( a 2 + bc ) ⇔ abc 2 + bc 2 2 + abc 2 + ac 2 2 + abc 2 + ab 2 2 ≤ bc 3 + abc 2 + ac 3 + abc 2 + ab 3 + abc 2 ⇔ ab 2 2 + bc 2 2 + ca 2 2 ≤ ab 3 + bc 3 + ca 3 ⇔ aba 2 ( − b ) + bcb 2 ( − c ) + cac 2 ( − a ) ≥ 0 Bài 14: Tồn tại hay không 4 hoán vị ( i ) ;( i );( i );( i ) của 49 { 1,2,...,50 } sao cho 50 50 11. abcd ∑ ab i i = 2. ∑ cd iik=k =. HD:Đối với hai hoán vị bất kì ( i );( i ) của ∑ 50 có giá trị lớn nhất là 1. và giá trị nhỏ nhất là , mà 2x22100 > 42925.Vậy không tồn tại. a b { 1,2,...,50 } tổng.

(175) ab = i i k ∑ 50. k 2. = 42925 ∑ 50. k (50 − k ) = 22100 k = 1 k = 1. Bài 15:Cho a,b,c > 0 và m,n là hai số nguyên dương.CMR: a m b n + b m c n + c m a n ≤ a m + n + b m + n + c m + n HD: Xét hai dãy có thứ tự giống nhau ( a m , b m , c m ) và ( a n , b n , c n ) Bài 16:Cho n số dương a1,a2 ,..., a k. và hai số nguyên dương m,n tùy ý .CMR: a 1 m a 2 n + a 2 m a 3 n + ... + a k m a 1 n ≤ a 1 m + n + a 2. m + n + ... + ak m+n. HD: Xét hai dãy có thứ tự giống nhau ( a 1 m , a 2 m ,..., a k m. ) và (a1n,a2.

(176) n ,..., a k. n ) Bài 17: p,q là hai số dương tùy ý , là n số dương tùy ý .CMR với mọi số tự nhiên ta luôn có : a1,a2. ,..., a nk≥2kkkkk1k 112n− 1n 12 2334n 112. − − ... ank. − 1 pa a + qa + pa a + qa + ... + pa a + qa + pa a + qa ≥ a+a ++p+ q.

(177) www.VNMATH.com Trường THPT Chuyên Tiền Giang Nguyễn Vũ Thanh. HD: Gọi S là vế trái của BĐT trên.Ta có a 1 k − 1 = a 1 k pa 2 + qa 3. 50. .a1k − 2 ( pa 2. + qa 3. ), ... Áp dụng BĐT Bunhiacopxki cho hai bộ số ta được : ( a 1 k − 1 + a 2 k − 1 + ... + a n k − 1 ) 2 ≤ S k − 2 ( pa 3 + qa 4 ) + ... + a n k. a 1 k − 2 ( pa 2 + qa 3 ) + a 2. −2. ( pa 1 + qa 2 ) (1) Vế phải của (1) bằng pa ( 1 k − 2 a 2 + a 2 k − 2 a 3 + ... a n k − 2 a 1 ) + qa ( 1 k − 2 a 3 + a 2 k − 2 a 4 + ... + a4k −2. a2) Áp dụng kết quả bài 16 ta được a 1 k − 2 a 2 + a 2 k − 2 a 3 + ... a n k − 2 a 1 ≤ a 1 k−1+a2 k −1.

(178) + ... + a n k− 1 và a 1 k − 2 a 3 + a 2 k − 2 a 4 + ... + a 4 k − 2 a 2 ≤ a 1 k − 1 + a 2 k −1. + ... + an k− 1 Từ (1) suy ra ( a 1 k − 1 + a 2 k − 1 + ... + a n k − 1 ) 2 ≤ S ( p + q )( a 1 k − 1 + a 2 k−1. + ... + ank. − 1 ) suy ra đpcm. Bài 18: a,b,c,d là bốn số dương tùy ý. CMR với mọi số nguyên dương n ta đều có: anb+c+d+a+bcn+d+a+cnb+d+a+dbn+ c ≥ an−1+bn−1+3 cn−1. + d n−1 HD:Giải tương tự bài 17 Bài 19:Cho n số dương 1 2 và gọi s= a + a + + a . CMR với mọi số nguyên dương k ta đều có : a , a ,..., a n.

(179) 12. ... nkk11−1+−22. k++−nn ≥ k−1+2k −1. +− + k−1n. HD: Giải tương tự bài 17 ... s a a s a a ... saaaan 1 a.

(180)

Mot so bat dang thuc nang cao

Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về