Khóa luận sức căng tại mặt phân cách của ngưng tụ BOSE EINSTEIN hai thành phần bị giới hạn bởi hai tường cứng với điều kiện biên robin

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA VẬT LÝ

VĂN THÚY HÀ

SỨC CĂNG TẠI MẶT PHÂN CÁCH CỦA NGƢNG TỤ
BOSE –EINSTEIN HAI THÀNH PHẦN BỊ GIỚI HẠN
BỞI HAI TƢỜNG CỨNG VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN ROBIN

Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

HÀ NỘI, 2018
-


TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA VẬT LÝ

VĂN THÚY HÀ

SỨC CĂNG TẠI MẶT PHÂN CÁCH CỦA NGƢNG TỤ
BOSE –EINSTEIN HAI THÀNH PHẦN BỊ GIỚI HẠN
BỞI HAI TƢỜNG CỨNG VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN ROBIN

Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: Th.S Hoàng Văn Quyết

HÀ NỘI, 2018

LỜI CẢM ƠN
Trƣớc khi trình bày nội dung chính của khóa luận, tơi xin bày tỏ lịng
biết ơn sâu sắc tới ThS. Hoàng Văn Quyết ngƣời đã định hƣớng chọn đề tài
và tận tình hƣớng dẫn để tơi có thể hồn thành khóa luận này. Tơi cũng xin
bày tỏ lịng biết ơn, các thầy cô giáo giảng dạy chuyên ngành Vật lý lý
thuyết và Vật lý Toán trƣờng Đại học sƣ phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tôi trong
suốt q trình học tập và làm khóa luận. Cuối cùng, tôi xin đƣợc gửi lời cảm
ơn chân thành tới gia đình và bạn bè đã động viên, giúp đỡ và tạo điều kiện
về mọi mặt trong quá trình học tập để tơi hồn thành khóa luận này.
Hà Nội, ngày 10 tháng 05 năm 2018
Sinh viên

Văn Thúy Hà


LỜI CAM ĐOAN
Dƣới sự hƣớng dẫn của ThS. Hoàng Văn Quyết khóa luận tốt nghiệp
chuyên ngành Vật lý lý thuyết với đề tài “ Sức căng tại mặt phân cách của
ngƣng tụ BOSE - EINSTEIN hai thành phần bị giới hạn bởi hai tƣờng cứng
với điều kiện biên Robin” đƣợc hồn thành bởi chính sự nhận thức của bản
thân, khơng trùng với bất cứ khóa luận nào khác.
Trong khi nghiên cứu khóa luận, tơi đã kế thừa những thành tựu của các
nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.
Hà Nội, ngày 10 tháng 05 năm 2018
Sinh viên

Văn Thúy Hà

MỤC LỤC
MỞ ĐẦU .......................................................................................................... 1
1. Lý do chọn đề tài......................................................................................... 1
2. Mục đích nghiên cứu .................................................................................. 2
3. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu .............................................................. 2
4. Nhiệm vụ nghiên cứu .................................................................................. 2
5. Phƣơng pháp nghiên cứu ............................................................................ 3
6. Đóng góp của đề tài .................................................................................... 3
CHƢƠNG 1. TỔNG QUAN CÁC NGHIÊN CỨU VỀ NGƢNG TỤ BOSEEINSTEIN ......................................................................................................... 4
1.1. Hệ hạt đồng nhất ........................................................................................ 4
1.2. Thống kê Bose – Einstein .......................................................................... 5
1.3. Tình hình nghiên cứu về ngƣng tụ Bose – Einstein ................................. 15
1.4. Thực nghiệm về ngƣng tụ Bose - Einstein ............................................... 18
1.4.1. Ngưng tụ Bose – Einstein đầu tiên của nguyên tố erbium .................... 18
1.4.2. Loại ánh sáng mới tạo đột phá về vật lý ............................................... 20
1.4.3. Kỹ thuật lưu trữ và khôi phục ánh sáng ................................................ 22
1.4.4. Các nhà Vật lý khẳng định sự tồn tại của trạng thái ngưng tụ polartion
......................................................................................................................... 24
1.4.5. Chất siêu dẫn mới ................................................................................. 27
1.4.6. Lần đầu tiên quan sát thấy hiệu ứng Hall ở một ngưng tụ Bose Einstein ............................................................................................................ 28
CHƢƠNG 2. TRẠNG THÁI CƠ BẢN CỦA NGƢNG TỤ BOSE-EINSTEIN
HAI THÀNH PHẦN PHÂN TÁCH YẾU ...................................................... 31
2.1. Phƣơng trình Gross-Pitaevskii ................................................................. 31
2.1.1. Phương trình Gross-Pitaevskii phụ thuộc thời gian ............................. 31
2.1.2 Phương trình Gross-Pitaevskii không phụ thuộc vào thời gian ............ 32


2.2. Gần đúng parabol kép (Double parabola approximation - DPA) .......... 35
2.3. Trạng thái cơ bản trong gần đúng parabol kép ....................................... 37

CHƢƠNG 3. SỨC CĂNG MẶT NGOÀI CỦA NGƢNG TỤ BOSEEINSTEIN HAI THÀNH PHẦN BỊ GIỚI HẠN BỞI HAI TƢỜNG CỨNG
TRONG GẦN ĐÚNG PARABOL KÉP ........................................................ 42
3.1. Khái niệm về sức căng mặt ngoài ............................................................ 42
3.2. Suất căng mặt ngoài của ngƣng tụ Bose-Einstenin hai thành phần bị giới
hạn bởi hai tƣờng cứng.................................................................................... 46
KẾT LUẬN ..................................................................................................... 50
TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................... 51


MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài
Vào đầu thế kỉ XVII, các môn khoa học tự nhiên nổi lên nhƣ các ngành
nghiên cứu riêng độc lập với nhau, vật lý học giao nhau với nhiều lĩnh vực
nghiên cứu, các phát hiện mới trong vật lý thƣờng giải thích những cơ chế cơ
bản của các môn khoa học khác đồng thời mở ra những hƣớng nghiên cứu
mới trong đó có trạng thái ngƣng tụ Bose - Einstein (BEC). Xuất phát từ ý
tƣởng của nhà lý thuyết Ấn Độ Satyendra Nath Bose về một phân bố lƣợng
tử cho các photon đƣợc đƣa ra năm 1924 để giải thích phổ phát xạ và hấp thụ
của vật đen tuyệt đối. Năm 1925 nhà vật lí ngƣời Đức Albert Einstein đƣa ra
dự đốn về BEC cho các ngun tử với spin tồn phần có giá trị nguyên đó là:
khi làm lạnh các nguyên tử, bƣớc sóng của chúng tăng lên đến mức có thể so
sánh với kích thƣớc khơng gian giữa các ngun tử, các bó sóng nguyên tử sẽ
chồng chất lên nhau, các nguyên tử mất nhận dạng các nhân, tạo nên một
trạng thái lƣợng tử vĩ mơ hay nói cách khác một siêu nguyên tử tức là một
BEC. BEC đƣợc đề xuất nhƣ một cơ chế chính để giải thích các hiện tƣợng
lƣợng tử vĩ mô nhƣ siêu chảy và siêu dẫn. Mãi tới năm 1980 kỹ thuật laser
phát triển đủ để làm siêu lạnh các nguyên tử đến nhiệt độ rất thấp thì BEC
mới thực hiện đƣợc và đến năm 1995 mới quan sát đƣợc bằng thực nghiệm,
một loạt tính chất quan trọng chƣa từng biết đến trƣớc đây đã đƣợc phát hiện.

Trạng thái vật chất này hồn tồn mới trong đó các hạt bị giam chung trong
trạng thái ở năng lƣợng thấp nhất, không giống với trạng thái vật chất nào mà
con ngƣời đƣợc biết. BEC đƣợc tạo thành thuần túy từ hiệu ứng lƣợng tử dựa
trên thống kê Bose - Einstein vì thế nó đƣợc coi là vật chất lƣợng tử với các
tính chất rất đặc biệt: là 1 chất lỏng lƣợng tử với tính kết hợp rất cao nhƣ các
tia laser. Từ các tính chất cơ bản của BEC ngƣời ta có thể suy ra nhiều loại

1


linh kiện thiết bị tinh vi, chế tạo các chíp nguyên tử, thực hiện các chức năng
đa dạng trong giao thoa kế, máy kĩ thuật tồn ảnh, kính hiển vi đầu dị xét và
xử lí thơng tin lƣợng tử. Đây là lĩnh vực khoa học hay và có hƣớng phát triển
mạnh mẽ, chúng ta có thể quan sát đƣợc nhiều hiệu ứng vật lý mà các dạng
vật chất khác không có, nó mang ý nghĩa quan trọng trong ngành vật lý.
Nhận thức đƣợc việc tìm hiểu về BEC đối với sinh viên là điều cần thiết,
mặt khác muốn tổng hợp kiến thức từ nhiều tài liệu khác nhau nhằm tích lũy
kiến thức cho bản thân. Do điều kiện về thời gian, kinh phí và kiến thức cịn
hạn hẹp nên đối với sinh viên chỉ có thể tìm hiểu một khía cạnh nhỏ của BEC
vì vậy em chọn và nghiên cứu đề tài “ Sức căng tại mặt phân cách của
ngưng tụ BOSE - EINSTEIN hai thành phần bị giới hạn bởi hai tường
cứng với điều kiện biên Robin”.

2. Mục đích nghiên cứu
Trên cơ sở lý thuyết về ngƣng tụ Bose - Einstein nghiên cứu sức căng tại
mặt phân cách của ngƣng tụ Bose - Einstein hai thành phần bị giới hạn bởi
hai tƣờng cứng với điều kiện biên robin.

3. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu
Đối tƣợng: các tính chất ở bề mặt tiếp giáp, tính nhiệt động, tính thống kê

của hệ BEC hai thành phần.
Phạm vi: chỉ nghiên cứu trƣờng hợp hai chất lỏng không trộn lẫn nhau.

4. Nhiệm vụ nghiên cứu
Trình bày tổng quan đƣợc các nghiên cứu lý thuyết và thực nghiệm về
BEC.
Trình bày hệ phƣơng trình Gross – Pitaevskii.
2


Trình bày về phƣơng pháp gần đúng Parabol kép.
Áp dụng phƣơng pháp gần đúng Parabol kép để nghiên cứu sức căng tại
mặt phân cách của ngƣng tụ Bose - Einstein hai thành phần bị giới hạn bởi hai
tƣờng cứng.

5. Phƣơng pháp nghiên cứu
Đọc sách và tra cứu tài liệụ.
Đàm thoại và trao đổi với giảng viên.
Trong khuôn khổ lý thuyết Gross - Pitaevskii áp dụng phƣơng pháp gần
đúng Parabol kép.

6. Đóng góp của đề tài
Làm tài liệu tham khảo cho sinh viên.

3


CHƢƠNG 1.
TỔNG QUAN CÁC NGHIÊN CỨU VỀ NGƢNG TỤ BOSE-EINSTEIN
1.1. Hệ hạt đồng nhất

Chúng ta hãy nghiên cứu một hệ N hạt chuyển động phi tƣơng đối tính.
Trong trƣờng hợp này tốn tử Hamilton có thể viết dƣới dạng
N
Pˆ i2 ˆ
ˆ
ˆ
 V (r1 , r2 ,..., rN )  W,
H 
2
m
i 1
i

(1.1)

trong đó Vˆ là tốn tử thế năng tƣơng tác giữa các hạt, nó là hàm của tọa độ
ˆ là toán tử đặc trƣng cho tƣơng tác spin – quỹ đạo, tƣơng
của tất cả các hạt, W

tác giữa các spin của các hạt và thế năng của trƣờng ngoài…
Phƣơng trình Schrodinger cho trạng thái của hệ có dạng
 

 Hˆ  (1,2,..., N , t )  0,
i
 t


(1.2)

với toán tử Hamilton (1.1) là hàm của thời gian, của tọa độ không gian và spin
của các hạt 1, 2, 3,…, N.
Nếu các hạt có các đặc trƣng nhƣ điện tích, khối lƣợng, spin,…khơng
phân biệt đƣợc với nhau thì chúng ta có một hệ N hạt đồng nhất. Trong một
hệ nhƣ thế, làm thế nào có thể phân biệt đƣợc hai hạt với nhau? Trong vật lý
học cổ điển đối với trƣờng hợp tƣơng tự ngƣời ta có thể phân biệt các hạt theo
các trạng thái của chúng, nghĩa là nêu ra các tọa độ và xung lƣợng của từng
hạt. Nhƣng biện pháp này không thể áp dụng đƣợc trong cơ học lƣợng tử.
Chẳng hạn hai electron ở thời điểm đầu có thể phân biệt đƣợc bằng cách đặt
chúng ở hai hố thế khác nhau, cách nhau bởi một rào thế, thì do hiệu ứng
đƣờng hầm, theo thời gian, các electron có thể trao đổi các trạng thái cho
nhau và việc phân biệt hai electron với nhau sẽ mất hết ý nghĩa.
4


Tính khơng phân biệt đƣợc các hạt đồng nhất theo các trạng thái trong cơ
học lƣợng tử dẫn tới nguyên lý về tính đồng nhất: Trong hệ các hạt đồng nhất
chỉ tồn tại những trạng thái không thay đổi khi đổi chỗ các hạt đồng nhất cho
nhau.
Dựa vào tính chất nội tại của các hạt ngƣời ta chia hệ hạt đồng nhất thành
hai nhóm cụ thể là:
+ Hệ fermion: hệ này bao gồm các hạt fermion, đó là các hạt có spin bán
1 3 
nguyên  , ,...  ; ví dụ nhƣ electron, các nucleon,… Hệ này bị chi phối bởi
2 2 

nguyên lý loại trừ Pauli: “Hai fermion cùng loại khơng bao giờ đƣợc tìm thấy
ở tại cùng một vị trí”. Nguyên lý này đƣợc rút ra từ tính phản đối xứng của
hàm sóng trên các fermion.
+ Hệ boson: hệ này bao gồm các hạt boson, đó là các hạt có spin ngun; ví

dụ nhƣ photon,  - meson, K - meson… Hệ này không bị chi phối bởi ngun
lý loại trừ Pauli, các boson có thể tìm thấy ở cùng một vị trí.
Do hệ boson tuân theo thống kê Bose – Einstein nên ngƣời ta đã áp dụng
thống kê Bose – Einstein tìm đƣợc tính chất điển hình của boson là ngƣng tụ
Bose – Einstein trong đó nhiều hạt giống nhau đóng vai trị nhƣ nhau nhƣ một
hạt, điều mà các fermion nằm tại các vị trí khác nhau không làm đƣợc.
1.2. Thống kê Bose – Einstein
Đối với các hệ hạt đồng nhất, chúng ta không cần biết cụ thể hạt nào ở
trạng thái nào mà chỉ cần biết trong mỗi trạng thái đơn hạt có bao nhiêu hạt.
Xuất phát từ cơng thức chính tắc lƣợng tử

5


Wk 

1
  Ek 
exp 
 gk ,
N!
  

(1.3)

trong đó g k là độ suy biến.
Nếu hệ gồm các hạt khơng tƣơng tác thì ta có
(1.4)



Ek   nl l ,
l 0

ở đây,  l là năng lƣợng của một hạt riêng lẻ, nl là số chứa đầy tức là số hạt có
cùng năng lƣợng  l .
Số hạt trong hệ có thể nhận giá trị từ 0   với xác suất khác nhau. Độ
suy biến g k trong (1.3) sẽ tìm đƣợc bằng cách tính số các trạng thái khác nhau
về phƣơng diện Vật lý ứng với cùng một giá trị Ek đó chính là số mới vì số
hạt trong hệ khơng phải là bất biến nên tƣơng tự nhƣ trƣờng hợp thống kê cổ
điển thay thế cho phân bố chính tắc lƣợng tử ta có thể áp dụng phân bố chính
tắc lớn lƣợng tử hay phân bố Gibbs suy rộng.
Phân bố chính tắc lớn lƣợng tử có dạng

W (n0 , n1...) 


1


exp    N   nl l  g k
N!
l 0



(1.5)



trong đó N   nl ,  thế nhiệt động lớn,  là thế hóa.
l 0

Sở dĩ có thừa số

1
xuất hiện trong cơng thức (1.5) là vì có kể đến tính
N!

đồng nhất của các hạt và tính khơng phân biệt của các trạng thái mà ta thu
đƣợc do hoán vị các hạt.
Ta kí hiệu
6


(1.6)

gk
 G (n0 , n1 ,...).
N!

Khi đó (1.5) đƣợc viết lại nhƣ sau



    nl (    l ) 
l 0
W(n0 , n1...)  exp 
 G (n0 , n1 ,...).







(1.7)

Từ đây ta có hai nhận xét về công thức (1.7) nhƣ sau:
Một là vế phải của (1.7) có thể coi là hàm của các nl nên ta có thể đốn
nhận cơng thức đó nhƣ là xác suất để cho có n0 hạt nằm trên mức  0 , nl hạt
nằm trên mức  l , đó là xác suất chứa đầy. Do đó nhờ cơng thức này ta có thể
tìm đƣợc số hạt trung bình nằm trên các mức năng lƣợng
nl  ...nl W(n 0 , n1,...)
n0

n1




    nl (    l ) 
l 0
  ...nl exp 
 G (n0 , n1 ,...).

n0 n1





(1.8)

Hai là đại lƣợng G(n0 , n1,...) xuất hiện vì ta kể đến khả năng xuất hiện các
trạng thái Vật lý mới hoán vị (về tọa độ) các hạt. Đối với hệ boson và hệ
fermion, tức là hệ đƣợc mơ tả bằng hàm sóng đối xứng và phản đối xứng, thì
các phép hốn vị đều khơng đƣa đến một trạng thái Vật lý mới nào cả, bởi vì
khi đó hàm sóng của hệ sẽ chỉ hoặc khơng đổi dấu, hoặc đổi dấu nghĩa là diễn
tả cùng một trạng thái lƣợng tử. Do đó đối với các hạt boson và hạt fermion
ta có

7


G (n0 , n1 ,...) 

(1.9)

1
.
n0 !n1!...

Tìm g k
Trong phân bố Maxwell – Boltzmann tất cả các phép hoán vị khả dĩ của
tọa độ của các hạt có cùng một năng lƣợng  l . Do đó số tổng cộng các trạng
thái khác nhau về phƣơng diện Vật lý sẽ bằng số hoán vị tổng cộng N ! chia
cho số hốn vị trong các nhóm có cùng năng lƣợng tức là chia cho n0 !n1 !...
Khi đó
gk 

(1.10)

N!
,
n0 !n1 !...

thay giá trị của g k vào (1.6) ta thu đƣợc (1.9). Để tính trị trung bình của các
số chứa đầy (số hạt trung bình nằm trên mức năng lƣợng khác nhau) ta gắn
cho đại lƣợng  trong công thức (1.7) chỉ số l , tức là ta sẽ coi hệ ta xét hình
nhƣ khơng phải chỉ có một thế hóa học  mà ta có cả một tập hợp thế hóa
học l . Và cuối phép tính ta cho l   .
Tiến hành phép thay thế nhƣ trên ta có thể viết điều kiện chuẩn hóa nhƣ
sau

 

...W(n , n ,...)  exp   Z  1,
0

n0

(1.11)

1

n1

với

 


(
)
n




l
l
l


Z   ...exp  l 0
G (n0 , n1 ,...),

n0 n1





8

(1.12)


   ln Z .

nghĩa là

(1.13)

Khi đó đạo hàm của  theo l dựa vào (1.12) và (1.13)



   nl ( l   l ) 


1 Z


l 0
 
  ...nk .exp 
G (n0 , n1 ,...).
l
Z l

n0 n1







(1.14
)

Nếu trong biểu thức (1.14) ta đặt l   thì theo (1.8) vế phải của cơng
thức (1.14) có nghĩa là giá trị trung bình của số chứa đầy nl tức là ta thu đƣợc
nl  


 .
l

(1.15)

Đối với hệ hạt Boson, số hạt trên các mức có thể có trị số bất kì (từ
0   ) và G(n0 , n1,...)  1 do đó theo (1.11) ta có

 

n
(


)


l
l
l

  
 l   l
l 0

Z   ...exp 
    exp 

n0 n1
 

 l 0 n 0



 
 n
 
(1.16)



1
 
,





l 0
l
1  exp  l

  

khi đó


    
    ln 1  exp  l l .
  
l 0



Theo (1.15) ta tìm đƣợc phân bố của các số chứa đầy trung bình

9

(1.17)


1
,
l   
exp 
 1




nl 

(1.18)

ta có (1.18) là cơng thức của thống kê Bose – Einstein. Thế hóa học  trong
công thức (1.18) đƣợc xác định từ điều kiện


n
l 0

l

(1.19)

 N.

Đối với khí lí tƣởng, theo cơng thức của thống kê Bose – Einstein, số hạt
trung bình có năng lƣợng trong khoảng từ     d bằng

dn( ) 

dN ( )
,
   
exp 
 1
  

(1.20)

trong đó dN ( ) là số các mức năng lƣợng trong khoảng     d .
Tìm dN ( )

Theo quan điểm lƣợng tử, các hạt Boson chứa trong thể tích V có thể xem
nhƣ các sóng dừng De Broglie. Vì vậy có thể xác định dN ( ) bằng cách áp
dụng công thức

k 2V
dN (k )  2 dk ,
2
cho ta số các sóng dừng có chiều dài (mô đun) của véctơ k từ k  k  dk
(1.21)

k 2dk
dN (k ) 
V.
2 2
Theo hệ thức De Broglie giữa xung lƣợng p và véc tơ sóng k

10


(1.22)

p  k.

khi đó (1.21) có thể đƣợc viết dƣới dạng

dN ( p) 

(1.23)

p 2 dp

V.
2 2 3

Đối với các hạt phi tƣơng đối tính tức là hạt có vận tốc

p2
thì  
2m

suy ra

p 2  2m ,
p 2 dp  2m3 d  .
do đó (1.23) có dạng

2m3V
 d .
dN ( ) 
2 2 3
Vì các hạt có thể có các định hƣớng spin khác nhau nên số trạng thái khả
dĩ ứng với cùng một giá trị của spin s của hạt g  2s  1. Do đó, số các mức
năng lƣợng trong khoảng     d là

2m3Vg
 d .
dN ( ) 
2 2 3

(1.24)

Theo (1.20) số hạt trung bình có năng lƣợng trong khoảng     d là
2m3Vg
dn( ) 
2 2 3

 d
.
   
exp 
 1
  

Vì số hạt tồn phần là N nên ta có phƣơng trình sau

11

(1.25)






2m3Vg
N   dn( ) 
2 2 3 0
0



(1.26)

d .
1

 

e kT

Phƣơng trình này về nguyên tắc cho ta xác định thế hóa học  . Ta xét
một số tính chất tổng quát của thế hóa học  đối với khí Bose lí tƣởng. Đầu
tiên ta chứng minh rằng

  0.

(1.27)

Thực vậy, số hạt trung bình dn( ) chỉ có thể là một số dƣơng, do đó, theo
(1.25), điều kiện đó chỉ thỏa mãn khi mẫu số ở (1.25) ln luôn dƣơng (nghĩa
   
là khi   0 , để cho exp 
 luôn luôn lớn hơn 1 với mọi giá trị của  ).




Tiếp theo chúng ta có thể chứng minh rằng,  giảm dần khi nhiệt độ tăng
lên. Thực vậy, áp dụng qui tắc lấy đạo hàm các hàm ẩn vào (1.26) ta có:
N


  T
N
T


 
 
0 kT d 0 T  kT  d
 e 1
e 1  





 
 

d
 

d
 

 0 kT




e 1

0
 e kT  1 

T



 



1 (   )e
0 kT 2    2
kT
 e  1









kT



(   )e kT



 d

 

 

0



1
e
0 kT    2  d
kT
 e  1


kT

1
T




0

12

e


e


 
kT


 1


2

 d
.

 

e kT
 
kT


 1


2

 d

(1.28)


Nhƣng do (1.26) nên     0 , do đó biểu thức dƣới dấu tích phân ở vế
phải (1.28) luôn luôn dƣơng với mọi giá trị của  , vì vậy


 0 . Từ các tính
T


 0 của hàm  ta thấy khi nhiệt độ giảm thì  tăng (từ giá
T

chất   0 và

trị âm tăng đến giá trị lớn hơn “nhƣng vẫn là âm”) và tới nhiệt độ T0 nào đó 
sẽ đạt giá trị cực đại bằng không ( max  0 ).
Xác định nhiệt độ T0
Chọn   0 và T  T0 . Khi đó phƣơng trình (1.26) trở thành




2m3Vg
N   dn( ) 
2 2 3 0

0

Đặt x 





d .



e kT0  1

suy ra

kT0



m3/2Vg
x
N
kT
kT
0
0
0 e x  1dx
2 2 3


3/2

m Vg (kT0 )
2 2 3

3/2 

e
0

3/2

x



(1.29)

x
(mkT0 ) Vg
x
dx 
dx.
x

2 3
e
1
1


2
0



x
dx  2.31, nên từ (1.29) và0  kT0 , ta đƣợc
e

1
0

Mà ta biết 

x

2/3

0

(2 4 )1/3 2  N 
T0  
  .
k (2.31g )2/3 mk  V 

(1.30)

Đối với tất cả các khí boson quen thuộc thì nhiệt độ đó là rất nhỏ. Chẳng
hạn nhƣ đối với 4He, ngay cả với khối lƣợng riêng của chất lỏng Hêli vào cỡ

120kg/m3 ta đƣợc T0  2,19K . Tuy nhiên, sự tồn tại nhiệt độ T  0 có ý nghĩa
13


rất quan trọng. Để hiểu ý nghĩa của nó ta xét khoảng nhiệt độ 0  T  T0. Khi
giảm nhiệt độ xuống tới T0 thì thế hóa học  tăng tới giá trị max  0 , mà

 0 nên  khơng thể giảm nữa, do đó trong khoảng nhiệt độ 0  T  T0 thì
T

  0.
Với nhiệt độ T  T0 số hạt có năng lƣợng là


2m3Vg
N (  0) 
2 2 3 0






e kT

(m kT )3/2Vg
x
d 
dx  N '.
x


2 3
e
1

2
0
1

(1.31)

So sánh (1.29) và (1.31) ta thấy
3/2

3/2

T 
N' T 
N (  0)  N   hay
  .
T
N
 0
 T0 

Vì số hạt tồn phần trong hệ là khơng đổi, nên kết quả trên phải đƣợc
đoán nhận Vật lý một cách đặc biệt. Khi T  T0 thì N '  N chỉ ra rằng số hạt
tồn phần N chỉ có một phần số hạt N ' có thể phân bố theo các mức năng
lƣợng một cách tƣơng ứng với công thức (1.20), tức là

m3/2Vg
N'
 d
 d
dn( ) 
.

3/2
2 3
(2.31)0
 
 
2
exp    1
exp    1
 
 

(1.32)

Các hạt còn lại N  N ' , cần phải đƣợc phân bố nhƣ thế nào đó khác đi,
chẳng hạn nhƣ tất cả số đó nằm trên mức năng lƣợng thấp nhất, nghĩa là
chúng hình nhƣ nằm ở một pha khác mà ngƣời ta quy ƣớc gọi là pha ngưng
tụ.
Nhƣ vậy ở các nhiệt độ thấp hơn T0 , một phần các hạt của khí bose sẽ
nằm ở mức năng lƣợng thấp nhất (năng lƣợng khơng) và các hạt cịn lại sẽ
14


đƣợc phân bố trên các mức khác theo định luật

1
e

 /

1

. Hiện tƣợng mà ta vừa

mơ tả, trong đó một số hạt của khí bose chuyển xuống mức “năng lƣợng
khơng” và hai phần của khí bose phân bố khác nhau theo năng lƣợng đƣợc
gọi là sự ngưng tụ Bose. Ở nhiệt độ không tuyệt đối ( T  0 ) tất cả các hạt
boson sẽ nằm ở mức khơng.
1.3. Tình hình nghiên cứu về ngƣng tụ Bose – Einstein
Ngƣng tụ Bose – Einstein là một trạng thái vật chất của khí boson lỗng bị
làm lạnh đến nhiệt độ rất gần độ không tuyệt đối (hay rất gần giá trị 0 K hay 0

273 C). Dƣới những điều kiện này, một tỉ lệ lớn các boson tồn tại ở trạng thái
lƣợng tử thấp nhất, tại điểm mà các hiệu ứng lƣợng tử trở lên rõ rệt ở mức vĩ
mô. Những hiệu ứng này đƣợc gọi là hiện tƣợng lƣợng tử mức vĩ mơ. Hiện
tƣợng này đƣợc dự đốn bởi Einstein vào năm 1925 cho các ngun tử với
spin tồn phần có những giá trị nguyên. Dự đoán này dựu trên ý tƣởng về một
phân bố lƣợng tử cho các photon đƣợc đƣa ra bởi Bose trƣớc đó một năm để
giải thích phổ phát xạ và hấp thụ của các vật đen tuyệt đối. Einstein sau đó
mở rộng ý tƣởng của Bose cho hệ hạt vật chất. Những nỗ lực của Bose và
Einstein cho kết quả về khái niệm khí bose trong khuôn khổ lý thuyết thống
kê Bose – Einstein, miêu tả phân bố thống kê của những hạt đồng nhất với
spin nguyên, mà sau này Paul Dirac gọi là các boson. Các hạt boson bao gồm
photon cũng nhƣ các nguyên tử Heli-4 đƣợc phép tồn tại ở cùng trạng thái

lƣợng tử nhƣ nhau. Einstein chứng minh rằng khi làm lạnh các nguyên tử
boson đến nhiệt độ rất thấp thì hệ này tích tụ lại (hay ngƣng tụ) trong trạng
thái lƣợng tử thấp nhất có thể và tạo lên trạng thái mới của vật chất.

15


Cho đến nay, trên khắp thế giới có tổng cộng 13 nguyên tố đã đƣợc làm
cho ngƣng tụ. Mƣời trong số những ngƣng tụ này đã đƣợc tạo ra bởi mƣời
nhóm nghiên cứu quốc tế khác nhau.
Năm 1938, Fritz London đề xuất trạng thái BEC nhƣ là một cơ chế giải
thích cho tính siêu chảy của 4He cũng nhƣ tính siêu dẫn ở nhiệt độ thấp của
một số vật liệu.
Năm 1995, khí ngƣng tụ đầu tiên đã đƣợc tạo ra bởi nhóm của Eric
Cornell và Carl Wieman ở phịng thí nghiệm JILA thuộc Viện Công nghệ
Tiêu chuẩn Quốc gia (NIST) tại Đại học Colorada ở Boulder, khi họ làm lạnh
khí nguyên tử Rubidi đến nhiệt độ 170 nanokelvin (nk). Cũng trong thời gian
này, Wolfgang Ketterle ở Học viện Công nghệ Massachusetts tạo ra đƣợc
ngƣng tụ Bose – Einstein đối với nguyên tử Natri và duy trì đƣợc hệ 2000
nguyên tử này trong thời gian lâu cho phép nghiên cứu những tính chất của
hệ. Vì vậy mà Cornell, Wieman, Ketterle đƣợc nhận giải Nobel Vật lý năm
2001.
Các hạt trong Vật lý đƣợc chia ra làm hai lớp cơ bản: lớp các boson và lớp
các fermion. Boson là những hạt với “spin nguyên” (0, 1, 2,...), fermion là các
hạt với “spin bán nguyên” (1/2, 3/2,...). Các hạt boson tuân theo thống kê
Bose – Einstein, còn các hạt fermion tuân theo thống kê Fermi – Dirac. Ngồi
ra các hạt fermion cịn tn theo ngun lí ngoại trừ Pauli, “hai hạt fermion
khơng thể cùng tồn tại trên một trạng thái lƣợng tử”.
Ở nhiệt độ phịng khí boson và khí fermi đều phản ứng rất giống nhau,
giống hạt cổ điển tuân thủ theo gần đúng thống kê Maxwell - Boltzman (bởi

cả thống kê Bose – Einstein và thống kê Fermi – Dirac đều tiệm cận đến
thống kê Maxwell - Boltzman). Có thể khẳng định rằng ở nhiệt độ thấp khí
boson có tính chất khác hẳn khí fermi (chẳng hạn nhƣ khí điện tử tự do trong

16


kim loại). Thật vậy, vì các hạt boson khơng chịu sự chi phối của nguyên lý
cấm Pauli nên ở nhiệt độ khơng tuyệt đối tất cả các hạt đều có năng lƣợng

  0 , do đó trạng thái cơ bản của tất cả chất khí là trạng thái có E  0 . Cịn
đối với khí fermion thì khác, ở nhiệt độ T  0K các hạt lần lƣợt chiếm các
trạng thái có năng lƣợng từ 0 đến mức fermion, do đó năng lƣợng của cả hệ
khác khơng

 E  0 .

Việc áp dụng thống kê Bose – Einstein vào hệ hạt có spin ngun hay spin
bằng khơng (ví dụ nhƣ các photon, các mezon, các nguyên tử trong đó các
electron và nucleon là chẵn, …) đƣợc gọi là các hạt boson hay khí boson.

Hình 1.1: Trạng thái ngưng tụ Bose-Einstein của các boson, trong trường hợp
này là các nguyên tử Rubidi. Hình vẽ là phân bố tốc độ chuyển động của các
nguyên tử theo từng vị trí. Màu đỏ chỉ nguyên tử chuyển động nhanh, màu
xanh và trắng chỉ nguyên tử chuyển động chậm. Bên trái là trước khi xuất
hiện ngưng tụ Bose – Einstein. Ở giữa là ngay sau khi ngưng tụ. Bên phải là
trạng thái ngưng tụ xuất hiện rõ hơn. Ở trạng thái ngưng tụ, rất nhiều ngun
tử có cùng vận tốc và vị trí (cùng trạng thái lượng tử) nằm ở đỉnh màu trắng.
(Ảnh: Wikipedia)
17

Ngƣng tụ Bose – Einstein theo quan điểm vĩ mô là tập hợp các hạt có spin
nguyên (các boson) trong trạng thái cơ bản tại nhiệt độ thấp và mật độ cao, đã
đƣợc quan sát trong một vài hệ Vật lý. Bao gồm khí nguyên tử lạnh và vật lý
chất rắn chuẩn hạt. Tuy nhiên, đối với khí boson là phổ biến nhất. Bức xạ của
vật đen (bức xạ trong trạng thái cân bằng nhiệt trong một hố thế) không diễn
ra sự chuyển pha, bởi vì thế hóa của các photon bị triệt tiêu và khi nhiệt độ
giảm, các photon không xuất hiện trong hố thế. Các nghiên cứu về mặt lý
thuyết đã coi số photon bảo toàn trong các quá trình nhiệt, tiếp theo sử dụng
tán xạ Compton cho khí điện tử, hoặc tán xạ photon – photon trong mơ hình
cộng hƣởng phi tuyến để tìm điều kiện tạo thành ngƣng tụ Bose – Einstein.
Trong một số thí nghiệm gần đây, ngƣời ta đã tiến hành nghiên cứu với khí
photon hai chiều trong trạng thái lấp đầy của các vi hốc. Ở đây, ngƣời ta đã
mô tả lại ngƣng tụ Bose – Einstein cho các photon. Dạng của vi hốc quyết
định cả thế giam cầm và sự không ảnh hƣởng bởi khối lƣợng các photon, làm
cho hệ tƣơng đƣơng với một hệ khí hai chiều. Khi tăng mật độ của photon, ta
thấy dấu hiệu của ngƣng tụ Bose – Einstein, năng lƣợng photon phân bố chủ
yếu ở trạng thái cơ bản, chuyển pha xuất hiện phụ thuộc vào cả giá trị khả dĩ
và dạng hình học của hốc thế đƣợc dự đoán từ trƣớc
1.4. Thực nghiệm về ngƣng tụ Bose - Einstein
1.4.1. Ngưng tụ Bose – Einstein đầu tiên của nguyên tố erbium
Các chất khí lƣợng tử siêu lạnh có những tính chất đặc biệt mang lại một
hệ lí tƣởng để nghiên cứu những hiện tƣợng Vật lý cơ bản. Với việc chọn
Erbium, đội nghiên cứu đứng đầu là Francesca Ferlaino thuộc Viện Vật lý
Thực Nghiệm, Đại học Innsbruck, đã chọn một ngun tố rất lạ, đó là vì
những tính chất đặc biệt của nó mang lại những khả năng mới và hấp dẫn để
nghiên cứu những những câu hỏi cơ bản trong lĩnh vực Vật lý lƣợng tử.
18

“Erbium tƣơng đối nặng và có từ tính mạnh. Những tính chất này dẫn tới
một trạng thái lƣỡng cực cực độ của các hệ lƣợng tử”, Ferlaino cho biết.
Cùng với nhóm nghiên cứu của mình, bà đã tìm ra một phƣơng pháp đơn
giản đến bất ngờ để làm lạnh nguyên tố phức tạp này bằng phƣơng tiện laser
và kĩ thuật làm lạnh bay hơi. Ở những nhiệt độ gần độ không tuyệt đối, một
đám mây gồm khoảng 70.000 nguyên tử erbium tạo ra một ngƣng tụ Bose –
Einstein từ tính. Trong một ngƣng tụ, các hạt mất đi tính chất cá lẻ của chúng
và đồng bộ hóa thành trạng thái của chúng. “Những thí nghiệm với Erbium
cho phép chúng tơi thu đƣợc kiến thức sâu sắc mới về những quá trình tƣơng
tác phức tạp của những hệ tƣơng quan mạnh và đặc biệt chúng mang lại
những điểm xuất phát mới để nghiên cứu từ tính lƣợng tử với những nguyên
tử lạnh”, Ferancesca Ferlaino nói.
Cesium, Strontium và Erbium là ba nguyên tố hóa học mà các nhà Vật lý
ở Innsbruck đã cho ngƣng tụ thành công trong vài năm trở lại đây. Một đột
phá quan trọng đã đƣợc thực hiện bởi Rudolf Grimm và nhóm nghiên cứu của
ơng hồi năm 2002 khi họ thu đƣợc sự ngƣng tụ của Sesium, dẫn tới vô số
những kết quả khoa học trong những năm sau đó. Một ngƣời nhận tài trợ
START khác, Florian Schreck, một thành viên thuộc nhóm nghiên cứu của
Rudolf Grimm, là ngƣời đầu tiên hiện thực hóa một ngƣng tụ của Strontium
hồi năm 2009. Và nay Francesca Ferlaino lập tiếp kì công này với nguyên tố
Erbium.
Cho đến nay, trên khắp thế giới có tổng cộng 13 nguyên tố đã đƣợc làm
cho ngƣng tụ. Mƣời trong số những ngƣng tụ này đã đƣợc tạo ra bởi mƣời
nhóm nghiên cứu quốc tế khác nhau. Vào năm 2001, Eric Cornell, Wolfgang
Ketterle và Carl Wieman đã giành giải Nobel Vật lý cho việc tạo ra ngƣng tụ
Bose – Einstein đầu tiên. Ngƣng tụ mới của Erbium, lần đầu tiên đƣợc tạo ra
19