Dạng 48 tìm tỷ số diện tích hp biết đồ thị của hàm số

50 dạng tốn bám sát đề minh họa ơn thi TN năm 20212022

Dạng:

TÌM TỶ SỐ DIỆN TÍCH HP BIẾT ĐỒ THỊ HÀM SỐ

48

Ⓐ

Câu hỏi phát
triển

y  f  x
C
Câu 1: Cho hàm số bậc bốn
có đồ thị   như hình vẽ bên. Biết hàm số
y  f  x
x1 , x2 , x3
x3  x1  2
đạt cực trị tại các điểm
thỏa mãn
,
2
f  x1   f  x3   f  x2   0
C
d : x  x2
3
và   nhận đường thẳng
làm trục đối
S ,S ,S ,S

xứng. Gọi 1 2 3 4 là diện tích của các miền hình phẳng được đánh dấu
S1  S 2
như hình bên. Tỉ số S3  S 4 gần kết quả nào nhất

A. 0, 60 .

B. 0,55 .

C. 0, 65 .

D. 0, 70.

Lời giải
Chọn A
C
Nhận thấy kết quả bài tốn khơng đổi khi ta tịnh tiến đồ thị   sang bên
C
d : x  x2
trái sao cho đường thẳng
trùng với trục tung khi đó   là đồ thị
y  g  x
x  1, x2  0, x3  1
của hàm trùng phương
có ba điểm cực trị 1
. Suy
4
2
y  g  x   k  x  2x   c  k  0
ra

Lại có

f  x1   f  x3  

2
2
3
f  x2   0 � 2k  2c  c  0 � c  k
3
3
4

3
y  g  x   k  x4  2x2   k
4
Suy ra :
1

Khi đó:

3
28 2  17
S1  S2  k �
x 4  2 x 2  dx 
k
4
60
0

.

St&Bs-FB: Duong Hung-Zalo 0774860155—File Word xinh
lung linh

1

Word xinh


50 dạng tốn bám sát đề minh họa ơn thi TN năm 20212022

Ta lại có :

Suy ra

g  0   g  1  k � S1  S2  S3  S4  k .1  k

S3  S 4  k 

.

28 2  17
77  28 2
S  S 2 28 2  17
k
k� 1

�0, 604
60
60

S3  S 4 77  28 2

Câu 2: Cho hàm số bậc ba

y  f  x

 C

có đồ thị là đường cong
trong hình bên.
f  x
f  x1   f  x2   0
Hàm số
đạt cực trị tại hai điểm x1 , x2 thỏa
. Gọi A, B

 C  ; M , N , K là giao điểm của  C  với trục
là hai điểm cực trị của đồ thị
hồnh; S là diện tích của hình phẳng được gạch trong hình, S 2 là diện
tích tam giác NBK . Biết tứ giác MAKB nội tiếp đường trịn, khi đó tỉ số
S1
S2 bằng

2 6
A. 3 .

6
B. 2 .

5 3

C. 6 .
Lời giải

3 3
D. 4 .

Chọn D
Kết quả bài tốn khơng thay đổi khi ta tịnh tiến đồ thị đồ thị
trái sao cho điểm uốn trùng với gốc tọa độ O . (như hình dưới)

Do

f  x

là hàm số bậc ba, nhận gốc tọa độ là tâm đối xứng



� f ' x   k x2  a2
x


a
,
x

a
a

0

1
2
Đặt
, với



 C

sang

 O �N  .

với k  0

�1
�
� f  x   k � x3  a 2 x �
�3
�� xM   a 3, xK  a 3

St&Bs-FB: Duong Hung-Zalo 0774860155—File Word xinh
lung linh

2

Word xinh


50 dạng tốn bám sát đề minh họa ơn thi TN năm 20212022

Có MAKB nội tiếp đường trịn tâm O � OA  OM  a 3

3 2
�1 3
�
f  x1   OA2  x12 � f  a   a 2 � k �
 a  a 3 � a 2 � k  2
2a
�3
�
Có
� f  x 

3 2 �1 3
�
x  a2 x �
2 �
2a �3
�
0

0

3 2 �1 4 a 2 2 �
S1  �f  x  dx 
x 
x �
2 �
12

2
2
a
�
� a
a 3
S 2  S AMO 


3

9 2 2
a
8

1
1
6 2
f  a  .MO  a 2.a 3 
a
2
2
2

S1 3 3

S
4 .
2
Vậy

ax  b
cx  d có đồ thị  C  . Gọi giao điểm của hai đường tiệm cận
Câu 3: Cho hàm số
M x ;y
C
là I . Điểm 0  0 0  di động trên   , tiếp tuyến tại đó cắt hai tiệm cận
S1  S 2
1
2
SIAB  2
S ,S
IM
S
A
,
B
0

IAB
lần lượt tại
và
. Tìm giá trị
sao cho
(với 1 2
y

là 2 hình phẳng minh họa bên dưới)

A. 2 .

41
B. 20 .

169
C. 60 .
Lời giải

189
D. 60 .

Chọn B
Nhận thấy kết quả bài tốn khơng thay đổi khi ta tịnh tiến đồ thị
uur
C
theo IO . Khi đó hai tiệm cận của   là hai trục tọa độ.


y     0  � y�
 2
C
x
x .
Và hàm số của đồ thị   trở thành:



2
M 0  x0 ; y0  � d : y   2  x  x0  
 2 x
x0

x0
x0
x0
Gọi d là tiếp tuyến tại
� 2 �
Oy �d  B �
0; �
Ox �d  A  2 x0 ;0 
x0 �
�
Suy ra:
và
1
� SOAB  OA.OB  2 � 2a  2 �   1
2
St&Bs-FB: Duong Hung-Zalo 0774860155—File Word xinh
lung linh

3

 C

Word xinh


50 dạng tốn bám sát đề minh họa ơn thi TN năm 20212022

� 2 � �x0 2 �
1
1

2
�  c y  , d : y   2 x  , B �
0; �
, C� ; �
x
x0
x0
� x0 � �2 x0 �
x
1 �2 1 � 0 �2 1 �
3 1
� S1  x0 �  � �
dx  2 
�  �
2 �xo x0 � x0 �x0 x � x0 2
2

S2 

2 x0

�1 �

1

1

dx   2 x0  x0 
�
��

x
�x � 2

0

x0

Và



3
4 x02



1
2

S1  S 2
3
3
5
4
 1 � S1  S2  S IAB � 2  2  1  2 � x02  � y02 
S
4
5
x0 4 x0
Theo giả thiết  IAB

41
IM 02  x02  y02 
20 .
Vậy

y  f  x
Câu 4: Cho hàm số bậc ba
có đồ thị là đường cong ở hình bên dưới. Gọi
x1 , x2 lần lượt là hai điểm cực trị thỏa mãn x2  x1  2 và f  x1   3 f  x2   0.
Đường thẳng song song với trục Ox và qua điểm cực tiểu cắt đồ thị hàm
S1
số tại điểm thứ hai có hồnh độ x0 và x1  x0  1 . Tính tỉ số S2 ( S1 và S2 lần
lượt là diện tích hai hình phẳng được gạch ở hình bên dưới).

27
A. 8 .

5
B. 8 .

3
C. 8 .
Lời giải

3
.
D. 5

Chọn A
f  x   ax3  bx 2  cx  d

� f�
 x   3ax 2  2bx  c .
+) Gọi
, với a  0
+)
Theo
giả
thiết
ta
f�
 x1   f �
 x2   0 � f �
 x   3a  x  x1   x  x2   3a  x  x1   x  x1  2 
� f�
 x   3a  x  x1   6a  x  x1 

có

2

.

� f  x  �
f�
 x  dx  a  x  x1   3a  x  x1   C
3

+) Ta có

f  x1   3 f  x2 

2

.
 0 � f  x1   3 f  x1  2   0

St&Bs-FB: Duong Hung-Zalo 0774860155—File Word xinh
lung linh

4

Word xinh


50 dạng tốn bám sát đề minh họa ơn thi TN năm 20212022

� C  3  8a  12a  C   0 � 2C  12a  0 � C  6a

f  x   a  x  x1   3a  x  x1   6a
3

Do đó
+) S 2

là diện tích
f  x2   8a  12a  6a  2a
S1

+)

là

diện

.

2

tích

x  x0  x1  1, x  x2  x1  2 ,

hình

.

chữ

nhật

có

cạnh

bằng

3

và

và

hình phẳng giới hạn bởi các đường
3
2
y  f  x2   2a
f  x   a  x  x1   3a  x  x1   6a
và

nên suy ra
S1 

x1  2

x1  2

�
a xx 
�f  x   2a �
�dx  �
��
�
1

x1 1

x1 1

3

 3a  x  x1   4a �dx
�
2

x1  2

4
3
�
�
a  x  x1 
x  x1 

27 a
�
 3a
 4ax � 
3
4
�
�
� 4
�x1 1

.

S1 27

S
8 .

2
Vậy
y  f  x
Câu 5: Cho hàm số bậc bốn trùng phương
có đồ thị là đường cong trong
f x
hình bên. Biết hàm số   đạt cực trị tại ba điểm x1 , x2 , x3 ( x1  x2  x3 )
thỏa mãn x1  x3  4 . Gọi S1 và S 2 là diện tích của hai hình phẳng được

S1
gạch trong hình. Tỉ số S2 bằng

2
.
5
A.

7
.
16
B.

1
.
2
C.

7
.
15

D.

Lời giải
Chọn B
Rõ ràng kết quả bài tốn khơng đổi khi ta tịnh tiến đồ thị sang trái sao
cho x2  0 .

St&Bs-FB: Duong Hung-Zalo 0774860155—File Word xinh
lung linh

5

Word xinh


50 dạng tốn bám sát đề minh họa ơn thi TN năm 20212022

4
2
Gọi g ( x )  ax  bx  c , ta có hàm số g ( x) là chẵn và có 3 điểm cực trị
tương ứng là 2;0; 2

3
là các nghiệm của phương trình 4ax  2bx  0 .
4
2
Dựa vào đồ thị g ( x) , ta có g (0)  0 . Từ đó suy ra g ( x)  a ( x  8 x ) với a  0 .

Do tính đối xứng của hàm trùng phương nên diện tích hình chữ nhật
2 S  S 2  g (2) .4  64a

bằng 1
Ta có S1 là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số g ( x) , trục
0
0
224a
S1  �
g ( x ) dx  a �
x 4  8 x 2 dx 
15 . Suy ra
2
2
hoành, đường thẳng x  2, x  0 .
224a 512 a
S2  64a  2.

15
15 .
S1 224 7


S
512
16 .
2
Vậy
y  f  x
 C  là đường cong trong hình bên.
Câu 6: Cho hàm số bậc ba
có đồ thị
f x

Biết hàm số   đạt cực trị tại hai điểm x1 , x2 thỏa mãn x2  x1  2 và
�x1  x2 �
f�
�
� 3
� 2 �
. Gọi d là đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị
 C  . Diện tích hình phẳng giới hạn bởi  C  và d ( phần được tô đậm
trong hình) bằng

St&Bs-FB: Duong Hung-Zalo 0774860155—File Word xinh
lung linh

6

Word xinh


50 dạng tốn bám sát đề minh họa ơn thi TN năm 20212022

A. 1 .

B. 2 .

1
C. 4 .
Lời giải

1
D. 2 .

Chọn D
Tịnh tiến điểm uốn về gốc tọa độ, ta được đồ thị mới như hình vẽ

f  x
Vì
là hàm bậc ba, nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng nên
3
f  x   ax  cx
.
f x  x3  3x
Chọn x1  1, x2  1, khi đó  
.
1
f  x   x 3x2  3  2 x
3
Ta lại có
, suy ra d : y  2x .





0





1

1
S  2�x 3x2  3 dx 
3
2.
1
Diện tích hình phẳng cần tìm là
f  x   ax3  bx 2  cx  d
d : g  x   mx  n
Câu 7: Cho hàm số bậc ba
và đường thẳng
có đồ thị như hình vẽ. Gọi S1 , S2 , S3 lần lượt là diện tích của các phần giới
S2
hạn như hình bên. Nếu S1  4 thì tỷ số S3 bằng.

3
A. 2 .

B. 1.

C. 2.

1
D. 2 .

Lời giải:
Chọn B
St&Bs-FB: Duong Hung-Zalo 0774860155—File Word xinh
lung linh

7

Word xinh


50 dạng tốn bám sát đề minh họa ơn thi TN năm 20212022

f x  g  x   k .x  x  2   x  2 
 Dựa vào đồ thị như hình vẽ, ta có:  
.
g  x  x  3
0

S1  S2  �
kx  x  2   x  2  dx  4k
2

S 2  S3 

 g  0  g  2  .2   3  5 .2  8
2

2

S2
1
S

4
�
S


4
�
S

8

4

4
S
1
2
3
3
Vì
. Vậy
.
4
2
 Cm  , với m là tham số thực. Giả sử
Câu 8: Cho hàm số y  x  3 x  m có đồ thị
 Cm  cắt trục Ox tại bốn điểm phân biệt như hình vẽ

Gọi S1 , S 2 , S3 là diện tích các miền gạch chéo được cho trên hình vẽ. Giá
trị của m để S1  S3  S 2 là
5
5
5
5



A. 4 .
B. 4 .
C. 2 .
D. 2 .
Lời giải
Chọn A
4
2
Gọi x1 là nghiệm dương lớn nhất của phương trình x  3x  m  0 , ta có

m   x14  3 x12  1

.
x1

Vì S1  S3  S 2 và S1  S3 nên S2  2S3 hay
x1

�f  x  dx  0
0

.

x1

x1
�x 5
� x5

�x14
�
3
4
2
2
3


x

mx
f
x
d
x

x

3
x

m
d
x
1

x
 


 �5
�   x1  mx1 1 �  x1  m �
�
�
�
�0
�5
�.
0
5
Mà 0
�x14
�
x14
x1 �  x12  m � 0
 x12  m  0  2 
5
�
�
�
5
Do đó,
.
4
x1
 x12  x14  3 x12  0
4
2
1
2



� 4 x1  10 x1  0 �
5
Từ
và
, ta có phương trình
5
x12 
2.
5
m   x14  3 x12  4
Vậy
.

St&Bs-FB: Duong Hung-Zalo 0774860155—File Word xinh
lung linh

8

Word xinh


50 dạng tốn bám sát đề minh họa ơn thi TN năm 20212022

Câu 9: Cho parabol
đường thẳng

 P1  : y   x 2  4 cắt trục hoành tại
d : y  a  0  a  4  . Xét parabol  P2 

hai điểm A , B và
đi qua A , B và co

đỉnh thuộc đường thẳng y  a . Gọi S1 là diện tích hình phẳng giới
 P
P
hạn bởi 1 và d . S 2 là diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2 và
trục hoành. Biết S1  S 2 (tham khảo hình vẽ bên).

3
2
Tính T  a  8a  48a .
A. T  99 .
B. T  64 .

C. T  32 .

D. T  72 .

Lời giải
Chọn B

� A  2;0  B  2;0 
 P
- Gọi A , B là các giao điểm của 1 và trục Ox
,
� AB  4 .





� M  4  a; a
 P
- Gọi M , N là giao điểm của 1 và đường thẳng d
,
N 4  a ; a � MN  2 4  a
.





a 2
x a
4
- Nhận thấy:
là parabol có phương trình
.
- Áp dụng cơng thức tính diện tích hình phẳng ta được:
y

 P2 

4

4

3

4�
4
S1  2�4  y .dy   �
 4  y 2 �
�   4  a 4  a
3
�
�a 3
a
.

2

�
ax 3
�a 2
�  2�

 ax �  8a
S2  2�

x

a
.d
x
�
�
�
4

�
� 12
�0 3 .
0�
2

4
8a
3
�  4  a 4  a 
�  4  a   4a 2
S

S
1
2
3
3
- Theo giả thiết:
� a 3  8a 2  48a  64 .

y  f  x
C
Cho hàm số bậc bốn
có đồ thị   như hình vẽ bên. Biết hàm
y  f  x
số
đạt cực trị tại các điểm x1 , x2 , x3 thỏa mãn x3  x1  2 ,
2
f  x1   f  x3   f  x2   0

C
3
và   nhận đường thẳng d : x  x2 làm trục đối

Câu 10:

St&Bs-FB: Duong Hung-Zalo 0774860155—File Word xinh
lung linh

9

Word xinh


50 dạng tốn bám sát đề minh họa ơn thi TN năm 20212022

xứng. Gọi S1 , S2 , S3 , S4 là diện tích của các miền hình phẳng được đánh dấu
S1  S 2
như hình bên. Tỉ số S3  S 4 gần kết quả nào nhất

A. 0, 60 .

B. 0,55 .

C. 0, 65 .

D. 0, 70.

Lời giải
Chọn A

C
Nhận thấy kết quả bài tốn khơng đổi khi ta tịnh tiến đồ thị   sang bên
C
trái sao cho đường thẳng d : x  x2 trùng với trục tung khi đó   là đồ thị

y  g  x
của hàm trùng phương
có ba điểm cực trị x1  1, x2  0, x3  1 . Suy
y  g  x   k  x4  2x2   c  k  0
ra

f  x1   f  x3  

Lại có

2
2
3
f  x2   0 � 2k  2c  c  0 � c  k
3
3
4

3
y  g  x   k  x4  2x2   k
4
Suy ra :
1

Khi đó:

3
28 2  17
S1  S2  k �
x 4  2 x 2  dx 
k
4
60
0

Ta lại có :

Suy ra

Ⓑ
Câu 1:

.

g  0   g  1  k � S1  S 2  S3  S 4  k .1  k
.

S3  S 4  k 

28 2  17
77  28 2
S  S2 28 2  17
k
k� 1


�0, 604
60
60
S3  S4 77  28 2

Bài tập rèn
lụn

Diện tích hình phẳng trong hình vẽ sau là:

St&Bs-FB: Duong Hung-Zalo 0774860155—File Word xinh
lung linh

10

Word xinh


50 dạng tốn bám sát đề minh họa ơn thi TN năm 20212022

y
2

O

2

4

22

A. 3 .

x

16
C. 3 .
Lời giải

B. 2 .

10
D. 3 .

Chọn D .
Dựa vào hình vẽ, diện tích hình phẳng giới hạn sẽ là.
2

4

0

2





S  �xdx  � x  x  2 dx 
Câu 2:

10
3

.

Trong Cơng viên Tốn học có những mảnh đất mang hình dáng khác nhau. Mỗi mảnh được
trồng một lồi hoa và nó được tạo thành bởi một trong những đường cong đẹp trong toán
học. Ở đó có một mảnh đất mang tên Bernoulli, nó được tạo thành từ đường Lemmiscate có
16 y 2  x 2  25  x 2 
phương trình trong hệ tọa độ Oxy là
như hình vẽ bên. Tính diện tích S
của mảnh đất Bernoulli biết rằng mỗi đơn vị trong hệ tọa độ Oxy tương ứng với chiều dài
1 mét.

.

y

x

A.

S

125
4

m 
2

.

B.

S

250
3

m 
2

.
C.
Lời giải

S

125
3

m 
2

.

D.

S

125
m2 

6
.

Vì tính đối xứng trụ nên diện tích của mảnh đất tương ứng với 4 lần diện tích của mảnh đất
thuộc góc phần tư thứ nhất của hệ trục tọa độ Oxy .
1
y  � x 5  x2
4
Từ giả thuyết bài tốn, ta có
.

Góc phần tư thứ nhất

y

1
x 25  x 2 ; x � 0;5
4
.

St&Bs-FB: Duong Hung-Zalo 0774860155—File Word xinh
lung linh

11

Word xinh

50 dạng tốn bám sát đề minh họa ơn thi TN năm 20212022
5

S( I )

Nên
Câu 3:

1
125
125 3
 �
x 25  x 2 dx 
�S 
(m )
40
12
3

.

x
x
Cho hai hàm số y  a , y  b với a , b là 2 số thực dương khác 1 , lần lượt có đồ thị là

 C1 

và

 C2 

như hình bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng?.

A. 0  a  1  b .

B. 0  b  1  a .

C. 0  b  a  1 .
Lời giải

D. 0  a  b  1 .

x
Vì hàm số y  b nghịch biến nên 0  b  1 .
x
Vì hàm số y  a đồng biến nên a  1 .

Câu 4:

Trong hệ trục tọa độ Oxy , cho parabol

 0  a  b  . Gọi
;

 P : y  x2

và hai đường thẳng y  a , y  b

S1 là diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol  P  và đường thẳng y  a

 S2 

là diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol
kiện nào sau đây của a và b thì S1  S 2 ?

3
A. b  4a .

3
B. b  2a .

 P

và đường thẳng y  b . Với điều

3
C. b  3a .
Lời giải

Phương trình hồnh độ giao điểm của parabol

 P  : y  x2

3
D. b  6a .

với đường thẳng y  b là

x2  b � x  � b .

St&Bs-FB: Duong Hung-Zalo 0774860155—File Word xinh
lung linh

12

Word xinh


50 dạng tốn bám sát đề minh họa ơn thi TN năm 20212022

Phương trình hồnh độ giao điểm của parabol

 P  : y  x2

với đường thẳng y  a là

x2  a � x  � a .
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol

 P : y  x2

và đường thẳng y  b là

b

�
� x3 �
b b � 4b b


2
bx  �  2 �
b b
S  2�
b

x
d
x
�


�
�
3 �
3 �0
�
�
� 3 .
0
b

2

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol

 P : y  x2

và đường thẳng y  a là

a

�
� x3 �
a a � 4a a

2
ax  �  2 �
a
a

S1  2 �
a

x
d
x
�


�
�
3 �0
3 �
�
�
� 3 .
0
a

2

Do đó S  2S1
Câu 5:

Cho hàm số
1

�f  x  dx 

3

�

f  x
14
3

4b b
4a a
 2.
�
3
3

 b

3

2

 a

3

� b  3 2 a � b  3 4a .

liên tục có đồ thị như hình bên dưới. Biết

. Tính

F  2   F  5 

F�
 x   f  x  , x � 5; 2

và

.

.

A.



145
6 .

B.



89
6 .

145
C. 6 .
Lời giải

89
D. 6 .

.

St&Bs-FB: Duong Hung-Zalo 0774860155—File Word xinh
lung linh

13

Word xinh


50 dạng tốn bám sát đề minh họa ơn thi TN năm 20212022
2

Ta có

F�
 x   f  x  , x � 5; 2

2

3

5

5

nên

�f  x  dx  F  x 

5

1

2

3

1

2
5

 F  2   F  5 

�f  x  dx  �f  x  dx  �f  x  dx  �f  x  dx  9 
14 2 43

Ta lại có

Câu 6:

S1

14 2 43

Gọi S là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
giá trị của S bằng.
A.
C.

Sđvdt
 ln 2  1

.

Sđvdt
 ln 4  1

.

B.
D.

Sđvdt
 ln 4  1

Sđvdt

 ln 2  1

14 21 145


3 2
6

S2

 H : y 

.

.
x 1
x  1 và các trục tọa độ. Khi đó

.
.

Lời giải

.
H
Phương trình hồnh độ giao điểm  

Giao điểm

H

x 1
 0 � x 1
và trục Ox là: x  1
.

 0; 1 .
và trục Oy là:

Vậy diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
1

 H : y 

x 1
x  1 và các trục tọa độ là:

1

1
x 1
� 2 �
S  � dx  �
1
dx   x  2 ln  x  1   2 ln 2  1  ln 4  1
�
�
0
x 1
x 1 �

0
0�
.

Câu 7:

Cho ( H ) là hình phẳng giới hạn bởi parabol

y

3 2
x
2
và đường Elip có phương trình

x2
 y2  1
4
. Diện tích của ( H ) bằng

St&Bs-FB: Duong Hung-Zalo 0774860155—File Word xinh
lung linh

14

Word xinh


50 dạng tốn bám sát đề minh họa ơn thi TN năm 20212022

2  3
6
A.

 3
4
C.
Lời giải

2
B. 3

3
D. 4

x2
x2
2
�
y

�
1

 y 1
4 .
Ta có 4
Phương trình hồnh độ giao điểm của đường cong nửa trên của Elip và Parabol là
�
x2  1

x  1
�
� �2
��
x2
3 2
4
�
x 1
1

x
x 
�
�
4
2
3
� 3x 4  x 2  4  0
.
(
H
)
Suy ra diện tích hình phẳng
cần tính là
� x2
1
3 2�
3
S( H )  �

x �
dx  1
�1 
4  x 2 dx 
�
�
�
4
2
2 1
3 .
1 �
�
1

I

1

I
Xét

�4  x

1


6

2

dx

, đặt x  2sin t ta được

1
2


6

4  4sin
�




2

t 2 cos tdt 

6


6

2cos
�




2

tdt

6



sin 2t �6
 �
 1  cos 2t  dt  �
t
3
�
� 

2 �   
�

3 2 .
6
6

Do đó
Câu 8:

S( H ) 


3
3 2  3



3 2
3
6
.

Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi parbol

A  1; 1

 P ,

tiếp tuyến với

 P

tại điểm

và đường thẳng x  2 . Tính S .

St&Bs-FB: Duong Hung-Zalo 0774860155—File Word xinh
lung linh

15

Word xinh


50 dạng tốn bám sát đề minh họa ơn thi TN năm 20212022

.
A. S  1 .

Parbol

S

B.

 P  qua O

4
3.

C.
Lời giải

S

2
3.

D.

S

1
3.

2
nên có dạng: y  ax . Vì đồ thị hàm số qua A(1; 1) nên a  1 .

2
 2 x � y �
(1)  2 .
Xét hàm số y   x ta có: y �

Phương trình tiếp tuyến của
2

Vậy
Câu 9:

 P  tại

1
2
�
�
S �
(

2
x


1)


x
d
x

�
�
3



1



A là: y  2( x  1)  1 � y  2 x  1 .

.

S S
Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y  sin x , y  cos x và 1 , 2 là diện tích của các
phần được gạch chéo như hình vẽ. Tính

S12  S22

?

.

y
S2

S1

x

2
2
2
2
A. S1  S2  10  2 2 . B. S1  S2  10  2 2 .

C.

S12  S22  11  2 2

. D.

S12  S22  1  12 2

.
Lời giải

Ta có:
cos x  0 � x 


 k ,  k ��
2

.

� �
� sin �x  � 0 � x    k ,  k ��
� 4�
sin x  cos x
4
.



5
x
x
x
S1 S 2
2,
4,
4 .
Dựa vào hình vẽ ta có ,
giới hạn bởi các giá trị
St&Bs-FB: Duong Hung-Zalo 0774860155—File Word xinh
lung linh

16

Word xinh


50 dạng tốn bám sát đề minh họa ơn thi TN năm 20212022

S1 


4

 cos x  sin x  dx  1 
�




Vậy
Suy ra:

2 S2 

;

2



S12  S 22  1  2

  2 2
2

2

5
4

 sin x  cos x  dx  2
�


4

2

.

 11  2 2

.

2
M  3;5
Câu 10: Ở hình bên, ta có parabol y  x  2 x  2 , tiếp tuyến với nó tại điểm
. Diện tích
phần gạch chéo là:

.
A. 10 .

Đặt

f1  x   x 2  2 x  2

tại điểm
Đặt

B. 9 .

M  3;5 

. Ta có

f1�
 x  2x  2

có phương trình

f2  x   4 x  7

D. 15 .

C. 12 .
Lời giải
,

f1�
 3  4

. Tiếp tuyến của parabol đã cho

y  5  4  x  3 � y  4 x  7
.

. Diện tích phải tìm là:

3

3

0

0

 x 2  2 x  2    4 x  7  dx
�f1  x   f 2  x  dx  �

.

3

� x  3 3 �
2
2
�9
�
 x  3  dx  �
 x  6 x  9  dx  �
� 3 �
�
�0
0
0
.

3

3

y  f  x
y f�
 x  cắt trục Ox tại ba điểm có hồnh độ
Câu 11: Cho hàm số
có đồ thị hàm số
a  b  c như hình vẽ

St&Bs-FB: Duong Hung-Zalo 0774860155—File Word xinh
lung linh

17

Word xinh


50 dạng tốn bám sát đề minh họa ơn thi TN năm 20212022

 1 : f  c   f  a   f  b  .

 2 : f  c   f  b  f  a  .
 3 : f  a   f  b   f  c  .
 4 : f  a   f  b  .
Trong các mệnh đề trên, có bao nhiêu mệnh đề đúng?
A. 4 .

B. 1 .

D. 3 .

C. 2 .
Lời giải

f�
 x  và trục hoành nằm bên dưới và bên
Gọi S1 , S 2 là diện tích hình phẳng giới hạn bởi
b

trên Ox . Khi đó
Tương tự

b

S1  �
f�
f�
 x  dx   �
 x  dx
a

a

S2  f  c   f  a 

. Quan sát đồ thị

� f  c  f  b  f  a   f  b 

Vậy

 1

và

 4

b

f�
 x

ta có S 2  S1  0

f  c  f  a   f  b

.

đúng.

 H

Câu 12: Cho hình phẳng
yk

do đó

  f  x a  f  a  f  b

 0  k  16 

2
giới hạn bởi các đường y  x , y  0 , x  0 , x  4 . Đường thẳng

chia hình

Tìm k để S1  S 2
A. k  8 .

H

thành hai phần có diện tích S1 , S2 .

B. k  4 .

C. k  5 .
Lời giải

D. k  3 .

2
Hoành độ giao điểm của đồ thị hai hàm số y  x và y  k là x  k .
4

S1 
Do đó diện tích

x
�

k

2

 k  dx

4

, diện tích

S2  �
x 2 dx  S1
0

.

St&Bs-FB: Duong Hung-Zalo 0774860155—File Word xinh
lung linh

18

Word xinh


50 dạng tốn bám sát đề minh họa ơn thi TN năm 20212022
4

4

4

�x3
� 32
1 2
� �
x  k  dx  �
x dx � �  kx � 

3
20
�3
�k
k
Ta có S1  S 2
2

�

64
k3
32
 4k 
 k3 
3 �
3
3
3 � 16  6k  k

 k

3

6

 k

2

 16  0

�k  2  2 3
k� 0;4 
�
� �k  2  2 3 � k  4
�
�
�k  2

H

Câu 13: Cho
bằng:

 H
là hình phẳng giới hạn bởi y  x , y  x  2 và trục hoành. Diện tích của

10
A. 3 .

16
B. 3 .

7
C. 3 .
Lời giải

8
D. 3 .

Phương trình hồnh độ giao điểm của đồ thị hàm số y  x và y  x  2 :
�
�x �2
�x �2
��
2 � �2
�x   x  2 
x  x2
�x  5 x  4  0 � x  4 .
Diện tích hình phẳng

 H

là
4

3 2
2

� 32
�
2

x
2x
x2
�
2
4
2
4


  2x �
�3
�
S  �xdx  �x   x  2  dx  �xdx  � x  x  2 dx
3
2
�
�
�
�2
0
0
2
0
2







10
3 .

Câu 14: Cho hình phẳng

 H

giới hạn bởi đồ thị hàm số

y

x 1
x  2 và hai đường thẳng y  2 ,

y   x  1 -2017] Cho đồ thị hàm số y  f  x  cắt trục Ox tại 3 điểm có hồnh độ
x1 ; x2 ; x3
x  x2  x3
với 1
.

St&Bs-FB: Duong Hung-Zalo 0774860155—File Word xinh
lung linh

19

Word xinh

50 dạng tốn bám sát đề minh họa ơn thi TN năm 20212022

.
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
S
A.
S
C.

Vì
S

Câu 15:

y

x3

x2

�f  x  dx  �f  x  dx

x1

x2

x2

x3

x1

x2

�f  x  dx  �f  x  dx

f  x   0, x � x1; x2 
x2

x3

x1

x2

�f  x  dx  �f  x  dx

H
Cho

y  f  x

và

S
.

S
D.
Lời giải

f  x   0, x � x2 ; x3 

�f  x  dx

.

x2

x3

x1

x2

�f  x  dx  �f  x  dx

.

nên chọn đáp án

.

là hình phẳng giới hạn bởi parabol

1
4  x2
2

x3

x1

B.

.

và trục hoành là?

y

3 2
x
2
và nửa đường elip có phương trình

và trục hồnh. Gọi S là diện tích của, biết

S

a  b 3
c
. Tính

P  abc .

A. P  9 .

B. P  12 .

C. P  15 .
Lời giải

D. P  17 .

Phương trình hồnh độ giao điểm của parabol và nửa đường elip là:
� 3x 4  x 2  4  0 � x  �1

3x 2  4  x 2

� 3x3 1 1 2
�
2
�1 3 2
�
2
1
2
�
� 2 � 3  S �

2

4

x
d
x
S  2�
x

d
x

4

x
d
x
�
�
1�
�
�
� 2
� �6 0 21
�6
�
� �
0
1 2
�
�
�
�
�
�
Vậy
St&Bs-FB: Duong Hung-Zalo 0774860155—File Word xinh
lung linh

20

Word xinh


50 dạng tốn bám sát đề minh họa ơn thi TN năm 20212022

12
S1  �4  x 2 dx
21
Trong đó
.
Đặt x  2sin t � dx  2cos tdt .

�t 
6.
Đổi cận x  1
x  2�t 


2.


2


2



1
�2
S1  2 �
cos tdt  �
 1  cos2t  dt  �
t

sin
2
t
�
�    3


� 2
�
6
6
3
4 .
6
Vậy
2

�4  3 �
4  3
S  2�
� 12 �
�
�

�
6
Suy ra
.
�a  4
�
b  1
�
�
c 6 � P  abc 9
Vậy �
.

Câu 16: Cho các số p, q thỏa mãn các điều kiện: p  1 , q  1 ,
1 1
 1
p 1
p q
và các số dương a, b . Xét hàm số: y  x

 x  0  có đồ thị là  C  . Gọi  S1 
giới hạn bởi

 S2 

 C ,

là diện tích hình phẳng

trục hồnh, đường thẳng x  a , Gọi

là diện tích hình phẳng giới hạn bởi

 C  , trục tung,

 S  là diện tích hình phẳng giới
đường thẳng y  b , Gọi
hạn bởi trục hoành, trục tung và hai đường thẳng x  a ,
y  b . Khi so sánh S1  S2 và S ta nhận được bất đẳng
thức nào trong các bất đẳng thức dưới đây?

a p 1 b q 1
a p 1 b q 1

�ab

�ab
p

1
q

1
p

1
q

1
B.

C.
Lời giải

a p bq
 �ab
p
q
A.

a p bq
 �ab
p
q
D.

Ta có: S �S1  S2 .
b

a

S1  �
x
0

a

p 1

�x p � a p
d

x

 �p �  p
� �0

� 1 1 �
b
b
� p11 � � y p 1 � �y q � b q
� � � 
S2  �
y
dy  �
�
� �
� �1
�q �0 q
0�
� �
1 �
�
�p  1 �0

;
1
p
1
1
1 


 q
p 1
p 1 1  1 1
p q
Vì:
.

St&Bs-FB: Duong Hung-Zalo 0774860155—File Word xinh
lung linh

.

21

Word xinh


50 dạng tốn bám sát đề minh họa ơn thi TN năm 20212022

a p bq
 �ab
Vậy p q
.
y  f  x
y f�
 x  như hình vẽ. Đặt g  x   2 f  x   x 2 .
Câu 17: Cho hàm số
. Đồ thị của hàm số
Mệnh đề nào dưới đây đúng?

.
A.

g  1  g  3  g  3

.B.

g  3  g  3  g  1

C.

g  1  g  3  g  3

.D.

g  3  g  3  g  1

Ta có

.

.
Lời giải

g�
 x  2 f �
 x  2x � g�
 x   0 � x � 3;1;3

Từ đồ thị của

y f�
 x

.

ta có bảng biến thiên.

.

g  3  g  1
Suy ra
.
Kết hợp với bảng biến thiên ta có:
1

3

g�
 x  dx
  g � x   dx  �
�

3

�

1

3

3

1

1

g�
g�
 x  dx  �
 x  dx � g  3  g  1  g  3  g  1 � g  3  g  3
�

Vậy ta có

g  3  g  3  g  1

.

.

4
2
C 
C 
Câu 18: Cho hàm số y  x  3 x  m có đồ thị m , với m là tham số thực. Giả sử m cắt trục
Ox tại bốn điểm phân biệt như hình vẽ

St&Bs-FB: Duong Hung-Zalo 0774860155—File Word xinh
lung linh

22

Word xinh


50 dạng tốn bám sát đề minh họa ơn thi TN năm 20212022

Gọi S1 , S 2 , S3 là diện tích các miền gạch chéo được cho trên hình vẽ. Giá trị của m để
S1  S3  S 2 là

A.



5
2

5
B. 4

C.
Lời giải



5
D. 2

5

4

4
2
4
2
Gọi x1 là nghiệm dương lớn nhất của phương trình x  3x  m  0 , ta có m   x1  3 x1

 1 .
x1

Vì S1  S3  S 2 và S1  S3 nên S2  2S3 hay
x1

f  x  dx  0
�
0

.

x1

x1

�x 5
� x5
�x14
�
3
2

3


x

mx
1
f
x
d
x

x

3
x

m
d
x

x
 

 �5
�   x1  mx1 1 �  x1  m �
�
�
�
�0

�5
�.
0
5
Mà 0
4

2

�x 4
�
x14
x1 �1  x12  m � 0
 x12  m  0  2 
5
�
�
�
5
Do đó,
.
x14
5
 x12  x14  3 x12  0
x12 
4
2
1
2




4
x

10
x

0
�
1
1
�
2.
Từ
và
, ta có phương trỡnh 5

Vy

m x14 3x12



5
4.

ỵ Dng 12: Cõu hỏi liên hệ giữa giá trị hàm và diện tích hình phẳng

f  x

Câu 19: Cho hàm số

Hỏi phương trình
A. 2 .

y f�
 x  như trong hình vẽ bên.
có đạo hàm trên �, đồ thị hàm số
f  x  0

có tất cả bao nhiêu nghiệm biết
B. 0 .
C. 1 .
Lời giải

f  a  0

?
D. 3 .

.
Ta có.
Mặt khác.
b

c

f�
f�

 x  dx  �
 x  dx � f  x 
�
a

b

b
a

  f  x b � f  b  f  a   f  c  f  b � f  a  f  c
c

.
Mà

f  a  0

nên phương trình vô nghiệm.

St&Bs-FB: Duong Hung-Zalo 0774860155—File Word xinh
lung linh

23

Word xinh


Câu 20: Gọi

h t

50 dạng toán bám sát đề minh họa ôn thi TN năm 20212022

là mức nước ở bồn chứa sau khi bơm nước được t giây. Biết rằng

13
t 8
5
và lúc đầu bồn khơng có nước. Tìm mức nước ở bồn sau khi bơm nước
được 10 giây.
h ' t  

A. 4, 76cm .

B. 4, 75cm .
10

Mực nước sau 10 giây là

13

�
5

C. 4, 78cm .
Lời giải

D. 4, 77cm .

t  8dt �4, 77cm

.

0

y  f  x
y f�
 x  có đồ thị như hình vẽ. Biết phương trình
Câu 21: Cho hàm số
. Hàm số
f�
 x   0 có bốn nghiệm phân biệt a , 0 , b , c với a  0  b  c .

A.
C.

f  b  f  a  f  c
f  a  f  c  f  b

Bảng biến thiên của

.B.
.D.

f  a  f  b  f  c
f  c  f  a   f  b

y  f  x

.

.
Lời giải

:

f  c  f  b
Do đó ta có
y  f  x
Ta gọi S1 , S2 , S3 lần lượt là các phần diện tích giới hạn bởi đồ thị hàm số
và trục
hồnh như hình bên.

St&Bs-FB: Duong Hung-Zalo 0774860155—File Word xinh
lung linh

24

Word xinh


50 dạng tốn bám sát đề minh họa ơn thi TN năm 20212022

b

0

c

S2  S1  S3 �  �
f�
f�
f�
 x  dx  �
 x  dx  �
 x  dx �  f  x  0  f  x  a  f  x 
0

a

b

0

b

c
b

� f  0  f  b   f  0  f  a   f  c   f  b 
� f  a  f  c
Từ và suy ra

f  a  f  c  f  b

.

Câu 22: Một bác thợ xây bơm nước vào bể chứa nước. Gọi
giây. Cho

h '  t   3at 2  bt

h t

là thể tích nước bơm được sau t

và ban đầu bể khơng có nước. Sau 5 giây thì thể tích nước trong

3
3
bể là 150m , sau 10 giây thì thể tích nước trong bể là 1100m . Tính thể tích của nước trong
bể sau khi bơm được 20 giây.
3
A. 8400m .

B.

4200m3

3
C. 600m .

.

3
D. 2200m .

Lời giải

Ta có:

h t  �
h '  t  dt  �
 3at 2  bt  dt  at 3  b

t2
C
2
.

t2
h  0   0 � C  0 � h  t   at  b
2.
Do ban đầu hồ không có nước nên
3

Lúc 5 giây

h  5   a.53  b.

52
 150
2
.

102
h  10   a.10  b.
 1100
2

Lúc 10 giây
.
3

Suy ra

a  1, b  2 � h  t   t 3  t 2 � h  20   203  202  8400m3

.

y  f  x
y f�
 x  cắt trục Ox tại ba điểm có hồnh độ a  b  c
Câu 23: Cho hàm số
có đồ thị
như hình vẽ. mệnh đề nào dưới đây là đúng?

St&Bs-FB: Duong Hung-Zalo 0774860155—File Word xinh
lung linh

25

Word xinh