TÀI LIỆU BDHSG PHẦN bđt và cực TRỊ đại số QUA đề các TỈNH

TRƯỜNG THCS NGUYỄN THÁI BÌNH – TUY AN – PHÚ YÊN

09.05.37.8118.

Bài 1: ( CHUYÊN LƯƠNG VĂN CHÁNH TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2009 – 2010)

a) Cho x, y, z, a, b, c là các số dương. Chứng minh rằng:

b) Từ đó suy ra :

xyz �3 (a + x)(b + y)(c + z)

3

abc +

3

3  3 3  3 3  3 3 �2 3 3

3

.

Bài 2: ( CHUYÊN LƯƠNG VĂN CHÁNH TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2010 – 2011)
1
1 1 1
� (  )
a) Cho 2 số dương a và b. Chứng minh rằng : a  b 4 a b
1 1 1
   2010.

x
y z
b) Cho 3 số dương x, y, z thỏa mãn
P

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

1
1
1


2x  y  z x  2 y  z x  y  2z

Bài 3: ( CHUYÊN LƯƠNG VĂN CHÁNH TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2011 – 2012)
2
1
�
2
2
a) Chứng minh rằng với mọi x, y > 0 : x  2y  3 xy  y  1 .

b) Cho 3 số dương a,b,c với abc = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
M

1
2

2



1
2

2

a  2b  3 b  2c  3



1
2

c  2a 2  3 .

Bài 4: ( HSG TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2012 – 2013)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  1  xy , trong đó x, y là các số thực thoả mãn điều kiện:
x 2013  y 2013  2 x1006 y1006 .
Bài 5: ( HSG TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2013 – 2014)
a
b
c
3


�
Cho 3 số dương a, b, c. Chứng minh rằng: b  c c  a a  b 2
Bài 6: ( CHUYÊN LƯƠNG VĂN CHÁNH TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2015 – 2016)
Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn x  y �3 .

a) Chứng minh rằng xy  y �4 .

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

P

2
6

3xy y  4 .

Bài 7: ( HSG TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2015 – 2016)
1
1
1


2
1

2
x
1

2
y
1

2

z
Cho ba số không âm x, y, z thỏa mãn
.
1
xyz �
64 .
Chứng minh rằng

Bài 8: ( HSG TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2016 – 2017)
2
2
Cho m, n là các số thực thay đổi sao cho m  n �5 . Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức: Q  m  n  mn  1 .
Hãy ln chiến thắng chính mình. 1


TRƯỜNG THCS NGUYỄN THÁI BÌNH – TUY AN – PHÚ YÊN

09.05.37.8118.

Bài 9: ( CHUYÊN LƯƠNG VĂN CHÁNH TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2017 – 2018)

a) Với

0
1
4
�x
2

3 , chứng minh rằng x ( 4 - 3 x)
.

4
b) Cho a, b, c là ba số dương nhỏ hơn 3 sao cho a + b + c = 3. Chứng minh rằng:
1
1
1
+
+
�3
a 2 ( 3b + 3c - 5) b 2 ( 3c + 3a - 5) c 2 ( 3a + 3b - 5)
.
Bài 10: ( HSG TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2017 – 2018)
Với a, b, c là các số thực dương, chứng minh rằng:
a
a

a) a  2b a  b ;
a
b
c


1
b  2c
c  2a
b) a  2b
.
Bài 11: ( CHUYÊN LƯƠNG VĂN CHÁNH TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2018 – 2019)

Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn x + y + z = 2.
�1 1 1 �
 2  9 xyz  �21�
�  �
x
y
z
�
Chứng minh rằng �
Đẳng thức xảy ra khi nào?

Bài 12: ( HSG TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2018 – 2019)

Với a, b, c là 3 số dương thỏa mãn điều kiện a  b  c  ab  bc  ca  6abc  0.
1 1 1
P 2  2  2.
a b c
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Bài 13: ( CHUYÊN LƯƠNG VĂN CHÁNH TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2019 – 2020)

Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab  bc  ca  1 . Chứng minh rằng

a b 2  1  b c 2  1  c a 2  1 �2 .
Dấu “=” xảy ra khi nào?
Bài 14: ( HSG TỈNH BÀ RỊA – VŨNG TÀU NĂM HỌC 2008 – 2009)
2
2
Tìm x, y để biểu thức F đạt giá trị nhỏ nhất: F  5x  2 y  2 xy  4 x  2 y  3

Bài 15: ( HSG TỈNH BẮC GIANG NĂM HỌC 2008 2009)
a)Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số .
b) Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác có chu vi b»ng 6.
Chøng minh r»ng: 3(a2 + b2 + c2) + 2abc  52.
Hãy ln chiến thắng chính mình. 2


TRƯỜNG THCS NGUYỄN THÁI BÌNH – TUY AN – PHÚ YÊN

09.05.37.8118.

Bài 16: ( HSG TỈNH BẮC GIANG NĂM HỌC 2009 – 2010)
Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a + b + c = 1. Chứng minh rằng:
ab
bc
ca
1



c 1 a 1 b 1 4 .

Bài 17: ( HSG TỈNH BẮC GIANG NĂM HỌC 2012 – 2013)
Cho ba số dương a, b và c thoả mãn abc  1 . Chứng minh rằng:
1
1
1
1
 2
 2

�
2
2
2
a  2b  3 b  2c  3 c  2a  3 2 .
2

Bài 18: ( HSG TỈNH BẮC GIANG NĂM HỌC 2016 – 2017)

Cho a, b, c>0 thỏa mãn abc=1 . Chứng minh

1
1
1
3


�
ab  a  2
bc  b  2
ca  c  2 2

Bài 19: ( HSG TỈNH BẮC GIANG NĂM HỌC 2017 – 2018)

Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn x  y  z  xyz .

1  1  x2 1  1  y 2 1  1  z 2


�xyz

x
y
z
Chứng minh rằng:

Bài 20: ( HSG TỈNH BẮC GIANG NĂM HỌC 2018 – 2019)
Cho ba số không âm a, b, c thay đổi thỏa mãn điều kiện a  b  c  4. Tìm giá trị lớn nhất của
3
3
3
2
3
3
3
2
biểu thức P  a b  b c  c a  abc  ab  bc  ca  bca .

Bài 21: ( HSG TỈNH BÌNH ĐỊNH NĂM HỌC 2009 – 2010)
a)Tìm x. y để biểu thức P đạt giá trị nhỏ nhất: P = 3x2 + 11y2 – 2xy – 2x + 6y – 1 .
b)Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn hệ thức a + b + c = 6abc. Chứng minh rằng:
bc
ca
ab
 3
 3
�2
3
a  c  2b b  a  2c c  b  2a
c)Cho ba số thực  ,  ,  0 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
x

y
z
M


y  z z  x x  y . Với mọi x, y, z > 0.
Bài 22: ( HSG TỈNH BÌNH ĐỊNH NĂM HỌC 2011 – 2012)

Cho x, y là các số thực dương thõa mãn xy = 1 .
4
Chứng minh rằng : (x + y + 1)(x + y ) + x  y
2

2

�8

Bài 23: ( HSG TỈNH BÌNH ĐỊNH NĂM HỌC 2014 – 2015)
Cho 3 số thỏa điều kiện .
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
Bài 24: ( HSG TỈNH BÌNH ĐỊNH NĂM HỌC 2016 – 2017)
Cho x, y, z là ba số dương. Chứng minh rằng:
Hãy ln chiến thắng chính mình. 3


TRƯỜNG THCS NGUYỄN THÁI BÌNH – TUY AN – PHÚ YÊN

09.05.37.8118.

1

1
1
1 �1
1
1�
 2
 2
� � 

�
x  yz
y  xz z  xy 2 �xy yz zx �
2

Bài 25: ( HSG TỈNH BÌNH ĐỊNH NĂM HỌC 2017– 2018)


 và p, q, r
a)Cho a, b, c là ba số không âm thỏa mãn điều kiện
là ba số thỏa mãn p + q + r = 0. Chứng minh rằng: apq + bqr + crp �0.
b)Cho các số dương a, b thỏa mãn điều kiện a.b = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
a 2 + b 2 + c 2 �2 ab + bc + ca

 a + b + 1  a 2 + b 2 

+

4
a+b

M=
Bài 26: ( HSG TỈNH BÌNH ĐỊNH NĂM HỌC 2018– 2019)
Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn a + b + c = 3
3
3
3
Chứng minh rằng a b  1  b c  1  c a  1 �5

Bài 27: ( HSG TỈNH BÌNH PHƯỚC NĂM HỌC 2018– 2019)

Cho x, y là các số thực thỏa mãn x  y  1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:









P  2x4  x3 2y  1  y3 2x  1  2y4

Bài 28: ( HSG TĨNH GIA – THANH HÓA NĂM HỌC 2013– 2014)
Cho các số x,y,z thoả mÃn x+y+z =1
Tìm giá trị bÐ nhÊt cđa biĨu thøc : M =

x 2  xy  y 2  y 2  yz  z 2  z 2  zx  x 2

Bài 29: ( HSG TỈNH DAKLAK NĂM HỌC 2012– 2013)
Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn: a  b  c  3 .

a 1 b 1 c 1


�3
2
2
2
Chứng minh rằng: 1  b 1  c 1  a
Bài 30: ( HSG TỈNH ĐỒNG NAI NĂM HỌC 2016– 2017)

a) Cho a, b là hai số thực , x, y là hai số thực dương.
a2 b2  a  b 
 �
x y .
Chứng minh rằng: x y
2

b) Cho x, y là hai số thực dương sao cho x + y = 1.
x
y
4

�
2
2
Chứng minh rằng: 1  x 1  y 3 .

Bài 31: ( HSG TỈNH ĐỒNG NAI NĂM HỌC 2018– 2019)

a b c

b
c �
�a
   3 �4 �


�
�a  b b  c c  a �
Cho ba số thực dương a, b, c. Chứng minh: b c a
Bài 32: ( HSG TỈNH GIA LAI NĂM HỌC 2009– 2010)
Cho 3 số dương a, b, c . Chứng minh bất đẳng thức:
Hãy luôn chiến thắng chính mình. 4


TRƯỜNG THCS NGUYỄN THÁI BÌNH – TUY AN – PHÚ YÊN

09.05.37.8118.

2
2
2
ab
bc
ca


�


a

b
c
ab
bc
ca .
Bài 33: ( HSG TỈNH HÀ NAM NĂM HỌC 2012– 2013)
Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn: a  b  c  3 . Chứng minh rằng:
a 1 b 1 c 1


�3
1  b2 1  c2 1  a 2
Bài 34: ( HSG TỈNH HÀ TĨNH NĂM HỌC 2008– 2009)
C¸c sè thùc x,y,z tho¶ m·n: x 4 + y4 + z4 = 3. Tìm giá trị lớn nhất của biểu
thức :
P = x2(y + z) + y2(x + z) + z2(y + x) .

Bài 35: ( HSG TỈNH HÀ TĨNH NĂM HỌC 2010– 2011)
Cho a, b, c > 0 vµ abc = 1.
a3
b3
c3
3


�
1 b  1 c  1 c  1 a  1 a  1 b 4
Chøng minh r»ng 

Bài 36: ( HSG TỈNH HÀ TĨNH NĂM HỌC 2012– 2013)

Các số dương x, y, z thỏa mãn điều kiện: .Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
.
Bài 37: ( HSG TỈNH HÀ TĨNH NĂM HỌC 2014– 2015)
Cho a,b �� thỏa mãn:

(2  a)(1  b) 

9
2

4
4
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P  16  a  4 1  b

Bài 38: ( HSG TỈNH HẢI DƯƠNG NĂM HỌC 2009– 2010)

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:
A

( x  y  1) 2 xy  y  x

xy  y  x ( x  y  1) 2 (Với x; y là các số thực dương).

Bài 39: ( HSG TỈNH HẢI DƯƠNG NĂM HỌC 2013– 2014)

Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn 2ab  6bc  2ac  7abc . Tìm giá trị nhỏ nhất của
biểu thức

C

4ab
9ac
4bc


a  2b a  4c b  c

Bài 40: ( HSG TỈNH HẢI DƯƠNG NĂM HỌC 2014– 2015)
Cho các số dương x, y, z thay đổi thỏa mãn: xy  yz  zx  xyz . Tìm giá trị lớn nhất của biểu
thức:

M

1
1
1


4 x  3 y  z x  4 y  3 z 3x  y  4 z .

Bài 41: ( HSG TỈNH HẢI DƯƠNG NĂM HỌC 2016– 2017)
Hãy luôn chiến thắng chính mình. 5


TRƯỜNG THCS NGUYỄN THÁI BÌNH – TUY AN – PHÚ YÊN

09.05.37.8118.

2
2

2
Cho a, b, c là ba số thực dương thoả mãn a  b  c  3 .

a 2  3ab  b 2
Chứng minh rằng:

6a 2  8ab  11b 2

b 2  3bc  c2





6b 2  8bc  11c 2

c 2  3ca  a 2
6c 2  8ca  11a 2

�3
.

Bài 42: ( HSG TỈNH HẢI DƯƠNG NĂM HỌC 2018– 2019)
Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn xy  yz  xz  3 .
x2



x3  8

Chứng minh bất đẳng thức

y2
y3  8



z2
z3  8

�1
.

Bài 43: ( HSG TỈNH HẢI PHÒNG NĂM HỌC 2016– 2017)
Cho ba số thực a, b, c dương. Chứng minh rằng:

a3
a3   b  c

3



b3
b3   c  a 

3



c3
c3   a  b 

3

�1
.

Bài 44: ( HSG TỈNH HỊA BÌNH NĂM HỌC 2009– 2010)

Cho hai sè a, b tho¶ m·n a �1; b �4 , tìm giá trị nhỏ nhất của tổng:
A a

1
1
b
a
b

Bi 45: ( HSG TỈNH HỊA BÌNH NĂM HỌC 2013– 2014)
Cho m là số cố định, x và y là các số thay đổi. Tìm giá trị nhỏ nhất của:
P  ( x  3 y  1)2  (2 x  my  4)2

Bài 46: ( HSG TỈNH NGHỆ AN- BẢNG A NĂM HỌC 2010– 2011)

1 1 1
  4
x
y z
a) Cho x > 0, y > 0, z > 0 và

.
1
1
1


�1
2x
+
y
+
z
x

2y

z
x

y

2z
Chứng minh rằng:
2011
 y2011  z2011  3.
b) Cho x > 0, y > 0, z > 0 thỏa mãn x
2
2
2
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: M  x  y  z

Bài 47: ( HSG TỈNH NGHỆ AN- BẢNG B NĂM HỌC 2010– 2011)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

A

4x+3
x2  1

Bài 48: ( HSG HUYỆN NGHĨA ĐÀN TỈNH NGHỆ AN- BẢNG B NĂM HỌC 2011– 2012)
Cho a > 0, b > 0 và a + b . Tìm GTNN của biểu thức A = .

Bài 49: ( HSG TỈNH NGHỆ AN NĂM HỌC 2015– 2016)
Hãy ln chiến thắng chính mình. 6


TRƯỜNG THCS NGUYỄN THÁI BÌNH – TUY AN – PHÚ YÊN

09.05.37.8118.

a 1 b 1 c 1
 2
 2
�3
2
Cho a, b, c  0 thỏa mãn a  b  c  3 . Chứng minh rằng: b  1 c  1 a  1
Bài 50: ( HSG TỈNH NGHỆ AN NĂM HỌC 2016– 2017)
Cho các số dương a, b, c thỏa mãn ab  bc  ca  1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

P

2a
1  a2



b
1  b2



c
1  c2 .

Bài 51: ( HSG TỈNH NGHỆ AN NĂM HỌC 2018– 2019)

Cho a, b, c là các số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
4

4

4

�a � �b � �c �
P�
� �
� �
�.
�a  b � �b  c � �c  a �
Bài 52: ( HSG TỈNH HƯNG YÊN NĂM HỌC 2013– 2014)

Cho , chứng minh rằng :

Bài 53: ( HSG TỈNH HƯNG YÊN NĂM HỌC 2014– 2015)

Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn ab  ac  bc  3 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

T

19a  3 19b  3 19c  3


1  b2
1  c2
1  a2

Bài 54: ( THI VÀO LỚP 10 TỈNH HƯNG YÊN NĂM HỌC 2016– 2017)
Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn

a  b  c  1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P  2a 2  ab  2b 2  2b 2  bc  2c 2  2c 2  ca  2a 2

Bài 55: ( HSG TỈNH KOMTUM NĂM HỌC 2012– 2013)
Cho a, b, c là các độ dài ba cạnh của một tam giác và thỏa hệ thức a  b  c  1 . Chứng
1
a 2  b2  c2 
2.
minh rằng
Bài 56: ( HSG TỈNH LAI CHÂU NĂM HỌC 2014– 2015)
Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng

1
1
1
1 1 1


�  
abc bca cab a b c
Bài 57: ( HSG TỈNH LẠNG SƠN NĂM HỌC 2014– 2015)
Cho x, y dương thỏa mãn điều kiện: x  y �6 .

P  3x  2y 
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

6 8

x y

Bài 58: ( HSG TỈNH LẠNG SƠN NĂM HỌC 2015– 2016)

1
1
1
2


�
2
2

2
2
2
2
Cho a, b, c là 3 số thực dương thỏa mãn: a  b  4 c  b  4 a  c  4 3
Hãy ln chiến thắng chính mình. 7


TRƯỜNG THCS NGUYỄN THÁI BÌNH – TUY AN – PHÚ YÊN

09.05.37.8118.

3
ab  bc  ca �
4
Chứng minh rằng:
Bài 59: ( HSG TỈNH LONG AN NĂM HỌC 2018– 2019)

Cho ba số dương x, y,z thỏa mãn điều kiện: xy  yz  zx  673 .
x
x
x
1
 2
 2
�
2
Chứng minh rằng: x  yz  2019 y  zx  2019 z  xy  2019 x  y  z

Bài 60: ( HSG TỈNH NINH BÌNH NĂM HỌC 2011 – 2012)

2
Tìm GTLN của y  x 9  x .

Bài 61: ( HSG TỈNH NINH BÌNH NĂM HỌC 2014 – 2015)
Cho ba số thực khơng âm x,y,z thỏa mãn x+y+z=3.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
A=
Bài 62: ( HSG TỈNH PHÚ THỌ NĂM HỌC 2008 – 2009)
a) Chøng minh r»ng nếu các số x, y, z có tổng là một số không âm thì
x y3 z 3 3xyz.
1
mn
2 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
b) Cho m, n là các số thỏa mÃn điều kiện
thức
2
2
2 2
m n
mn
P
 2
.
2 2
mn
m  n2
3

Bài 63: ( HSG TỈNH PHÚ TH NM HC 2009 2010)
Cho các số dơng x, y, z thoả mÃn điều kiện: xy + yz + zx = 670. Chøng
x

y
z
1
 2
 2
�
2
minh r»ng x  yz  2010 y  zx  2010 z  xy  2010 x  y  z

Bài 64: ( HSG TỈNH PHÚ THỌ NĂM HỌC 2012 – 2013)

ab
bc
ca
abc


�
6
Cho a,b,c là các số thực dương. CMR: a  3b  2c b  3c  2a c  3a  2b

Bài 65: ( HSG TỈNH PHÚ THỌ NĂM HỌC 2013 – 2014)
Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn x  y  z  3 .
2x2  y2  z 2 2 y 2  z 2  x2 2z 2  x2  y 2


�4 xyz.
4

yz

4

zx
4

xy
Chứng minh rằng

Bài 66: ( HSG TỈNH PHÚ THỌ NĂM HỌC 2014 – 2015)
Cho các số thực dương x,y,z thỏa mãn
Chứng minh rằng

Bài 67: ( HSG TỈNH PHÚ THỌ NĂM HỌC 2015 – 2016)
Hãy ln chiến thắng chính mình. 8


TRƯỜNG THCS NGUYỄN THÁI BÌNH – TUY AN – PHÚ YÊN

09.05.37.8118.

Cho các số thực phân biệt . Chứng minh rằng
.
Bài 68: ( HSG TỈNH PHÚ THỌ NĂM HỌC 2017 – 2018)
Chứng minh rằng
tam giác.

3a  b
3b  c 3c  a �
 2


�9
a  ab b  bc c 2  ca �
�
� với a, b, c là độ dài ba cạnh của một

 a  b  c �
�2

Bài 69: ( HSG TỈNH QUẢNG BÌNH NĂM HỌC 2013 – 2014)

1 1 1
  1
Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a b c
.
1
 a  1  b  1  c  1 �  a  1  b  1  c  1
8
Chứng minh rằng:
.
Bài 70: ( HSG TỈNH QUẢNG BÌNH NĂM HỌC 2015 – 2016)

Cho a, b  0 thỏa mãn a  b �2 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau:

M

1
1

2
a  b b  a2

Bài 71: ( HSG TỈNH QUẢNG BÌNH NĂM HỌC 2018 – 2019)
Cho ba số thực dương thỏa mãn x  y  z  2  xyz .
Chứng minh rằng:

x  y  z  6 �2



xy  yz  zx



Bài 72: ( HSG TỈNH QUẢNG NAM NĂM HỌC 2012 – 2013)

Cho ba số thực dương a, b, c.Chứng minh rằng:
Đẳng thức xảy ra khi nào?
Bài 73: ( HSG TỈNH QUẢNG NAM NĂM HỌC 2013 – 2014)
Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn a2 + b2 + c2 = 1.
Chứng minh rằng abc + 2(1 + a + b + c + ab + ac + bc) ≥ 0.

Bài 74: ( HSG TỈNH QUẢNG NAM NĂM HỌC 2017 – 2018)
a b c a c b
     �7
1
�
a
,
b
,

c
�
2.
a
,
b
,
c
b
c a c b a
Cho ba số thực
thỏa
Chứng minh :
.
Bài 75: ( HSG TỈNH QUẢNG NGÃI NĂM HỌC 2008 – 2009)

Cho x + y = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức x3 + y3.
Bài 76: ( HSG TỈNH QUẢNG NGÃI NĂM HỌC 2013 – 2014)
1
1
1


2
Cho a,b,c là 3 số dương thoả mãn 1  a 1  b 1  c
. Tìm giá trị lớn nhất

của Q=abc
Bài 77: ( HSG TỈNH QUẢNG NGÃI NĂM HỌC 2016 – 2017)
Hãy ln chiến thắng chính mình. 9

TRƯỜNG THCS NGUYỄN THÁI BÌNH – TUY AN – PHÚ YÊN

Cho a, b, c  0 . Chứng minh rằng

09.05.37.8118.

a
b
c


2
bc
ca
ab
.

Bài 78: ( HSG TỈNH QUẢNG NINH NĂM HỌC 2005 – 2006)
Chøng minh r»ng:

+  80 víi a  3, b 3.

Dấu bằng xảy ra khi nào ?

Bi 79: ( HSG TỈNH QUẢNG NINH NĂM HỌC 2012 – 2013)
Cho a , b là hai số dương thỏa mãn a + b = 1
2
2

1 � 1� � 1� 1

a


b

�
� �
� 2
2
a
b
a
�
�
�
� b
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức T =

Bài 80: ( HSG TP QUY NHƠN NĂM HỌC 2013 – 2014)
Cho x + y = 2 . CMR :x5 + y5 ≥ 2.
Bài 81: ( HSG TỈNH THÁI BÌNH NĂM HỌC 2012 – 2013)
Cho đa thức P(x) = ax2 + bx + c . Biết P(x) > 0 với mọi x thuộc R và a > 0.

5a  3b  2c
1
Chứng minh rằng: a  b  c

Bài 82: ( HSG TỈNH THÁI NGUYÊN NĂM HỌC 2012 – 2013)

Cho a �R thỏa mãn a5 – a3 + a = 2. Chứng minh rằng : 3 < a6 < 4
Bài 83: ( HSG TỈNH THANH HÓA NĂM HỌC 2010 – 2011)
2
2
2
2
2
2
Cho ba số dương a, b, c thoả mãn: a  b  b  c  c  a  2011.
a2
b2
c2
1 2011


�
.
b

c
c

a
a

b
2
2
Chứng minh rằng:

Bài 84: ( HSG TỈNH THANH HÓA NĂM HỌC 2013 – 2014)
Cho x, y là các số thực dương thoả mãn x + y = 1.
B 31 3  1
x  y xy .
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Bài 85: ( HSG TỈNH THANH HÓA NĂM HỌC 2014 – 2015)

�a b � �a b �
2 �  � c � 2  2 � 6.
a � Tìm giá trị nhỏ nhất
Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn �b a � �b
bc
ca
4ab
P


.
a
(2
b

c
)
b
(2
a

c

)
c
(
a

b
)
của biểu thức
Bài 86: ( HSG TỈNH THANH HÓA NĂM HỌC 2016 – 2017)

Cho các số thực a, b, c thỏa mãn : 0 �a, b, c �2 và a  b  c  5 . Tìm giá trị nhỏ nhất của
biểu thức : A  a  b  c .
Hãy ln chiến thắng chính mình. 10


TRƯỜNG THCS NGUYỄN THÁI BÌNH – TUY AN – PHÚ YÊN

09.05.37.8118.

Bài 87: ( HSG TỈNH THANH HÓA NĂM HỌC 2017 – 2018)
Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn x �z. Chứng minh rằng
xz
y2
x  2z 5


� .
2
y  yz xz  yz x  z 2
Bài 88: ( HSG TỈNH THANH HÓA NĂM HỌC 2018 – 2019)

Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn x  y  z  1  0.
x3 y 3
P
2
x  yz   y  xz   z  xy 

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
Bài 89: ( HSG TP HỒ CHÍ MINH NĂM HỌC 2016 – 2017)
2y
x

1
Cho 2 số thực dương x, y thỏa điều kiện 1 x 1 y . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = xy2

Bài 90: ( HSG TỈNH TRÀ VINH NĂM HỌC 2017 – 2018)

Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn a + b + c = 1. Tìm giá trị lớn nhất của
P=

ab

c  ab

bc

a  bc

ca
b  ca

Bài 91: ( HSG TỈNH VĨNH PHÚC NĂM HỌC 2007 – 2008)

Cho các số thực dương a, b, c thoả mãn abc  2. Chứng minh rằng

a 3  b3  c3 �a b  c  b c  a  c a  b .
Bài 92: ( HSG TỈNH VĨNH PHÚC NĂM HỌC 2008 – 2009)
Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn abc  2 . Chứng minh rằng
a3  b 3  c3 �a b  c  b c  a  c a  b
Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?
Bài 93: ( HSG TỈNH VĨNH PHÚC NĂM HỌC 2009 – 2010)
Chứng minh rằng:
1
1
1
1


 3
a  b b  c c  a 2 abc

 abc
�

3

abc



2

(a  b)(b  c )(c  a)

với mọi a, b, c  0

Bài 94: ( HSG TỈNH VĨNH PHÚC NĂM HỌC 2010 – 2011)

Cho a, b, c là ba số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
a  3c
4b
8c
P


a  2b  c a  b  2c a  b  3c .
Bài 95: ( HSG TỈNH VĨNH PHÚC NĂM HỌC 2011 – 2012)
Cho a, b, c, d là các số thực thỏa mãn điều kiện:
Hãy ln chiến thắng chính mình. 11


TRƯỜNG THCS NGUYỄN THÁI BÌNH – TUY AN – PHÚ YÊN

09.05.37.8118.

abc  bcd  cda  dab  a  b  c  d  2012 . Chứng minh rằng:

a

2

 1  b 2  1  c 2  1  d 2  1 �2012

.

Bài 96: ( HSG TP VĨNH YÊN NĂM HỌC 2012 – 2013)
Cho a, b, c là các số dương. Chứng minh rằng
a
b
c


�1
a) b  2c c  2a a  2b
.

a  b  2c 
b)

3b 2  6c 2



b  c  2a 
3c 2  6a 2



c  a  2b 
3a 2  6b 2

�a  b  c
.

Bài 97: ( HSG TỈNH YÊN BÁI NĂM HỌC 2003 – 2004)
Cho biểu thức M = a2 + b2 biết rằng a và b là nghiệm của phương trình 5a2 + 5b2 + 8ab = 18.
Tìm những giá trị của a và b để :
a) M đạt giá trị lớn nhất
b) M đạt giá trị nhỏ nhất

Bài 98: ( HSG TỈNH YÊN BÁI NĂM HỌC 2006 – 2007)
(m  n) 2
A 3
m  n3
Cho 1 ≤ m ≤ 2 và 1 ≤ n ≤ 2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

Bài 99: ( HSG TỈNH YÊN BÁI NĂM HỌC 2011 – 2012)
Cho x, y, z là ba số dương thỏa mãn xyz = 1. Chứng minh rằng \f(x,y+1 + \f(y,z+1 + \f(z,x+1 ≥
\f(3,2

Hãy ln chiến thắng chính mình. 12