SKKN TAM THUC BAC 2

<span class='text_page_counter'>(1)</span>A. PHẦN MỞ ĐẦU I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI: Việc giải phương trình, bất phương trình, hệ bất phương trình trong chương trình học lớp 10 nói riêng và lớp 11,12, ôn thi đại học nói chung rất phức tạp, tuy nhiên ta có thể đưa về tam thức bậc hai hoặc sử dụng dấu của tam thức bậc hai để giải bài toán sẽ đơn giản hơn nhiều, vì những lí do đó tôi soạn chuyên đề Tam thức bậc hai và một số ứng dụng. II. MỤC ĐÍCH VÀ NHIỆM VỤ CỦA ĐỀ TÀI Mục đích viết chuyên đề này nhằm giúp cho các em học sinh có thể xét dấu được tam thức bậc hai, giải được một số phương trình, bất phương trình, hệ bất phương trình bằng cách sử dụng dấu của tam thức bậc hai hoặc đưa về tam thức bậc hai để giải. Ưu điểm: Định lí về dấu của tam thức bậc hai ngắn gọn dễ hiểu dễ nhớ. Khuyết điểm: Các dạng toán rất đa dạng nên học sinh dễ nhằm lẫn. III. PHẠM VI NGHIÊN CỨU: Đại số và giải tích 10 nâng cao: Chương IV- bài 6, 7, 8. B. PHẦN NỘI DUNG I. CƠ SỞ LÍ LUẬN: 1/ Định nghĩa tam thức bậc hai: Tam thức bậc hai (đối với x) là biểu thức dạng ax2+bx+c trong đó a, b, c là những số cho trước với a  0. 2/ Định lí về dấu của tam thức bậc hai: Cho tam thức bậc hai f(x)=ax2+bx+c (a 0) '  0  -Nếu  <0  thì f(x) cùng dấu với a với mọi x thuộc  . b.   0  2a . -Nếu  = 0  thì f(x) cùng dấu với a với mọi x   0 -Nếu  >0  thì f(x) có hai nghiệm x1 và x2 (x1<x2). Khi đó f(x) trái dấu '. '. với hệ số a với mọi x nằm trong khoảng(x1;x2) ( tức là x1 < x < x2) và f(x) cùng dấu x ;x với a với mọi x nằm ngoài đoạn  1 2  ( tức là x < x1 hoặc x < x2)..  b2  4ac  ' (b' )2  ac.   Với Ví dụ 1: f(x)= x2-x+1>0 x   vì tam thức f(x) có  = - 3 < 0 và a = 1 > 0 Có thể ghi kết quả trong bảng xét dấu sau: x 2 x -x+1. -. + +.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> Ví dụ 2: Xét dấu tam thức bậc hai f(x)= -x2-2x+3 Giải Vì a=-1<0 và tam thức f(x) có hai nghiệm x1=-3 ; x2= 1 ( dễ thấy x1 < x2) nên   ;  3   1;   f(x) < 0 (cùng dấu với a) khi x  và f(x) > 0 (trái dấu với a) khi   3;1 x  .. Có thể ghi kết quả trong bảng xét dấu sau: x -x -2x+3. -. 2. -3 0. -. 1 0. +. + -. Ví dụ 3: Xét dấu tam thức bậc hai f(x)= x2-2x+1 Giải 2 f(x)= x -2x+1 > 0 x 1 vì tam thức f(x) có  =0 và nghiệm kép x = 1, a = 1 > 0 Có thể ghi kết quả trong bảng xét dấu sau: x 2 x -2x+1. -. 1 0. +. + +. Bài tập áp dụng: Xét dấu các tam thức sau: 1/ f(x)= -2x2 - 2x + 1 2/ f(x)= 9x2 - 12x + 4 3/f(x)= x2 - 2x + 5 4/f(x)= - x2 - 4x 5/f(x)= x2 - 3 6/f(x)= - x2 + 1 7/ f(x)= 3x2 + 2x 3/ Một số ứng dụng: 1/ Tìm tham số m để tam thức bậc hai không đổi dấu trên  a  0 x  R,ax 2  bx  c  0     0 a  0 x  R,ax 2  bx  c  0     0 Cách giải: dựa vào nhân xét :. Ví dụ 1: Với những giá trị nào của m thì đa thức f(x) = (2-m)x2 - 2x + 1 luôn dương với mọi x thuộc  Giải.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> - Với m = 2 thì f(x)= -2x+1 lấy cả những giá trị âm. Do đó m = 2 không thỏa mãn điều kiện đề bài. ' - Với m 2, f(x) là tam thức bậc hai với  m  1 . Do đó:. a  0 2  m  0 m  2 x , f  x   0   '    m 1 m  1  0 m  1   0. Vậy với m < 1 thì tam thức luôn dương Bài tập áp dụng: Với những giá trị nào của m thì các đa thức sau luôn âm với mọi x thuộc  1/f(x) = (m-1)x2 + (2m+1)x + m + 1 2/f(x) = - x2 + 2m 2 x - 2m2 - 1 3/f(x) = (m-2)x2 - 2(m-3)x + m - 1 Với những giá trị nào của m thì các đa thức sau luôn dương với mọi x thuộc  1/f(x) = (m2+2)x2 - 2(m+1)x + 1 1/f(x) = (m+1)x2 + 2(m+2)x + m + 3 2/Giải bất phương trình bậc hai, bất phương trình tích và bất phương trình chứa ẩn dưới mẫu. Cách giải: - Đối với bất phương trình bậc hai ta xét dấu vế trái và dựa vào dấu bất phương trình kết luận nghiệm - Đối với bất phương trình tích xét dấu các nhân tử rồi nhân các dấu đó lại với nhau, dựa vào dấu của bất phương trình rồi kết luận nghiệm. - Đối với bất phương trình chứa ẩn dưới mẫu ta phải đưa về dạng P x.  P x  P  x P  x  0;   0; 0; 0   Q x  Q x Q x Q x   , rồi mới xét dấu vế trái và dựa vào dấu. bất phương trình kết luận nghiệm Ví dụ 2: Giải các bất phương trình sau: 1/ - x2 + 2x + 3 < 0 2/ x2 + 2x + 1 > 0 3/ - x2 + 2x – 6 > 0 2 x 2  16 x  27 2 2 4/ x  7 x  10. 5/ (4 - 2x)(x2 + 7x + 12 ) < 0 Giải.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> 1/ - x2 + 2x + 3 < 0 Ta có: - x2 + 2x + 3 = 0 có hai nghiệm x1=-1, x2=3, a=-1<0 Bảng xét dấu: x vt. -. -1 0. -. 3 0. +. Vậy nghiệm của bất phương trình là: S= . + -.  ;  1   3;  . 2/ x2 + 2x + 1 > 0 Ta có: x2 + 2x + 1 =0 có nghiệm kép x = -1, a=1>0 Bảng xét dấu: x vt. -. -1 0. +. + +. Vậy nghiệm của bất phương trình là: S=  \{-1} 3/ - x2 + 2x – 6 > 0 Ta có: - x2 + 2x – 6 = 0 vô nghiệm, a=-1<0 Bảng xét dấu: x vt. -. + -. Vậy: bất phương trình vô nghiệm S=  2 x 2  16 x  27 2 2 4/ x  7 x  10. Bất phương trình trở thành: 2 x 2  16 x  27  2 x 2  7 x  10 2 x 2  16 x  27  2x  7  2  0  0  2 0 2 2 x  7 x  10 x  7 x  10 x  7 x  10. . . Bảng xét dấu 7 2. x - -2x+7. +. 2 |. +. 0. -. 5 |. + -.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> x2-7x+10 vt. + +. 0 ||. -. | 0. +. 0 ||. + + +. 2 0 | 0. + -.  7  2; 2    5;   Vậy nghiệm của bất phương trình là: S=  . 5/ (4 - 2x)(x2 + 7x + 12) < 0 Bảng xét dấu x 4-2x 2 x +7x+12 vt. -. -4 + + +. | 0 0. + -. Vậy nghiệm của bất phương trình là: S= . -3 | 0 0.  4;  3   2;  . Bài tập áp dụng: Giải các bất phương trình sau: 1/- 3x2 + 2x + 3 < 0 2/ 9x2 + 12x + 4 > 0 3/ - 2x2 + x – 1 > 0 4/- 3x2 + 2x < 0 5/ x2 – 4 > 0 6/ - 2x2 – 1 > 0 x 2  16 x  27 0 2 7/ x  7 x  1. 8/ (4 + x)(- x2 + 7x + 6) < 0 x 2  1x  7 3 2 9/ x  x  1 1 1  2 2 10/ x  x  1 x  7 x  10. 3/Giải hê bất phương trình . Cách giải: Giải từng bất phương trình sau đó giao nghiệm lại. Ví dụ 3: Giải hệ bất phương trình sau 3 x 2  7 x  2  0  2   2 x  x  3  0. Giải. 1    ; 3    2;    Bất phương trình thứ nhất có tập nghiệm là S1= . + + -.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> 3    1; 2   Bất phương trình thứ hai có tập nghiệm là S2=  1  S S1  S2   1;  3  Tập nghiệm của hệ là. Ví dụ 4: Tìm các giá trị của m để bất phương trình sau vô nghiệm (m-2)x2+2(m+1)x+2m > 0 Giải 2 Đặt f(x)=(m-2)x +2(m+1)x+2m Để bất phương trình vô nghiệm khi và chỉ khi f(x) 0 x   Với m = 2 ta có f(x)=6x+4. Khi đó f(x) nhận cả các giá trị dương Giá trị m=2 không thỏa mãn điều kiện đòi hỏi Với m 2 ta có:  m  2  m 3  10   m 3  10 hoặc m 3  10 Vậy bất phương trình vô nghiệm khi và chỉ khi m 3  10 a  0 f  x  0, x  R   '    0. m  2  0   2  m  6m  1 0. Bài tập áp dụng Bài 1: Giải các hệ bất phương trình sau. 3 x  3  3 x  4  2 a/  x  7 x  10 0. b/. 2 3 x  3  0  2  x  7 x  10 0.  x 2  3  0  2 ( x  7 x  10)  2 x  1 0 c/ . Bài 2:Tìm các giá trị của m để phương trình sau có nghiệm a/ (m-5)x2 - 4mx + m – 2 = 0 b/ (m+1)x2 + 2(m-1)x + 2m – 3 = 0 c/ x2 + (m-2)x - 2m + 3 = 0 Bài 3 Chứng minh rằng các phương trình sau vô nghiệm dù m lấy bất kì giá trị nào a/ x2 - 2(m+1)x + 2m2 + m + 3 = 0 b/ (m2 + 1)x2 + 2(m+2)mx + 6 = 0 Bài 4:Tìm các giá trị của m để bất phương trình (m-1)x2 - 2(m+1)x + 3(m-2)> 0 nghiệm đúng x   Bài 5: Tìm các giá trị của m để hệ bất phương trình sau có nghiệm.

<span class='text_page_counter'>(7)</span>  m  1 x 3  2  x  2 x  15  0. 4/Giải một số phương trình và bất phương trình quy về bậc hai a/ Phương trình và bất phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối  g  x  0  g  x  0  hoặc  f x g x  f  x   g  x  Dạng 1: |f(x)|=g(x)       f  x  0  f  x   0  hoặc  f x g x   f  x   g  x  Dạng 2: |f(x)|>g(x)       f  x  0  f  x   0  hoặc  f x g x   f  x   g  x  Dạng 3: |f(x)|<g(x)     . b/ Phương trình và bất phương trình chứa ẩn trong dấu căn bậc hai Dạng 4:.  g  x  0 f  x  g  x    2  f  x  g  x . Dạng 5:.  f  x  0  f  x  g  x    g  x  0  2  f  x  g  x .  f  x  0  g  x  0 f  x  g  x    hoặc  2  g  x  0  f  x  g  x  Dạng 6:. Ví dụ 5: Giải các phương trình sau: 1/ | x - 8x + 15| = x - 3 2. 2 2/ 3x  24 x  22 2 x  1. Giải 2. 1/ | x - 8x + 15| = x - 3  x  3 0  x  3 0  2  I  hoặc  2  II   x -8x+15=x-3 x -8x+15=-x+3  x 3  x 3  x 3  Hpt  I  trởthành :  2    x 3    x 6  x -9x+18=0   x 6   x 3  x 3  x 3  Hpt  II  trởthành :  2    x 3    x 4  x -7x+12=0   x 4  Vaäy phöông trình coù 3 nghieäm S  3; 4;6.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> 2 / 3 x 2  24 x  22 2 x  1 1  2 x  1 0  x   2   2 2 3 x  24 x  22 4 x  4 x  1  x 2  20 x  21 0 . 1   x  2   x  1  x 21    x 21. Vaäy phöông trình coùnghieäm x 21. Ví dụ 6: Giải các bất phương trình sau: 1/ | x2 + 3x - 4| > x - 8 2 2/ x  4 x  x  3 2 3/ x  2 x  15  x  3. Giải 1/ | x2 + 3x - 4| > x - 8 2  x 2  3x  4  0  x  3 x  4 0  2  I  hoặc  2  II   x  3 x  4  x  8  x  3x  4  x  8  x  4  x 1 Heä pt  I    2  x  4  x 1  S1   ;  4    1;    x  2 x  4  0 x.  4  x  1  4  x  1 Heä pt  II    2    4  x  1  S2   4;1  6  x  2  x  4 x  12  0 Vaäy baát phöông trình coù nghieäm S S1  S2  2 2/ x  4 x  x  3.  x 2  4 x 0  x  3 0   I  hoặc  2  II  2 x  3  0 x  4x  x  6x  9  x 0  x 4 Heä baát phöông trình  I     x 0  S1   ; 0  x  3.  x 3 9  9  Heä baát phöông trình  II    9  x   S2  ;   2 2   x  2 9  Vaäy baát phöông trình coù nghieäm S S1  S2   ; 0    ;   2  2 3/ x  2 x  15  x  3.  x 2  2 x  15 0   x  3  0   x 2  2 x  15  x 2  6 x  9 .  x  3  x 5   5 x  6 x  3  x  6. Vaäy baát phöông trình coù nghieäm S  5;6 .

<span class='text_page_counter'>(9)</span> Bài tập áp dụng Bài 1:Giải các phương trình và bất phương trình sau: 1/ | x2 + x - 5| = |x - 1| 2/ | x - 1| = 2x - 1 3/ | x2 + 2x - 1| > x2 - 1 4/ | - x2 + 2x + 4| < 2x2 - 3x + 1 2 5/ 2 x  1  1  x 2 6/ x  5 x  14 2 x  1 7/ 2 x  1 2 x  3. Bài 2:Tìm tập xác định của mỗi hàm số sau: 1/ y  | x 2  3 x  4 |  x  8 2/. x2  x 1 | 2 x  1|  x  2. 3/. 1 1  2 x  7x  5 x  2x  5 2. 4/ y . x 2  5 x  14  x  3. Bài 3:Tìm m sao cho phương trình: x4 + (1-2m)x2 + m2 – 1 = 0 a/ Vô nghiệm b/ Có hai nghiệm phân biệt c/ Có bốn nghiệm phân biệt Bài 4: Tìm các giá trị của a sao cho phương trình: (a-1)x4 - ax2 + a2 – 1 = 0 có ba nghiệm phân biệt. Bài 5: Cho phương trình x4 + 4x3 + (3m+4)x2 + 2(3m+4)x + 6(m+1) = 0 a/Tìm m để phương trình vô nghiệm b/ Tìm m để phương trình có bốn nghiệm phân biệt c/ Tìm m để phương trình có đúng ba nghiệm phân biệt d/Tìm m để phương trình có đúng hai nghiệm phân biệt e/Tìm m để phương trình có đúng một nghiệm . II.THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ: Khi học sinh học ứng dụng dấu của tam thức bậc hai để giải phương trình, bất phương trình , hệ bất phương trình nhiều em học sinh đã lúng túng hoặc xét dấu sai các tam thức bậc hai, hoặc kết luận nghiệm của bất phương trình sai. III. ĐỀ XUẤT GIẢI PHÁP:.

<span class='text_page_counter'>(10)</span> Để các em học sinh dễ hiểu, dễ nhớ ứng dụng được dấu của tam thức bậc hai một cách thành thạo khi dạy phần này tôi sẽ đua ra các lỗi thường mắc phải của các em thường thì minh họa ví dụ. Cụ thể như sau: 1-. Đối với các bất phương trình có vế trái là tam thức bậc hai vô nghiệm, các em thường kết luận sai nghiệm.. VD: Giải bất phương trình x2+x+4>0 Sai: x2+x+4>0 Ta có x2+x+4=0 vô nghiệm nên bất phương trình vô nghiệm S=  Đúng Ta có x2+x+4=0 vô nghiệm và a=1>0 nên x2+x+4>0 với mọi x thuộc  Vậy bất phương trình vô số nghiệm S=  Hướng khắc phục:Sau khi tìm nghiệm vế trái các em lập bảng xét dấu và so sánh với dấu của bất phương trình nếu giống nhau thì kết luận vô số nghiệm, còn nếu khác nhau thì bất phương trình mới vô nghiệm. 2. Đối với các bất phương trình chứa ẩn dưới mẫu các em thường xét dấu khi P  x.  P  x  P  x P  x  0  0, 0, 0   Q x  Q x Q x Q x  . chưa đưa bất phương trình về dạng   VD : Giaûi baát phöông trình Sai :. x 2  3x  4 1 x 2  5x  6. x 2  3x  4 1 x 2  5x  6. Bảng xét dấu x - -1 2 3 x -3x-4 + 0 | | 2 x -5x+6 + | + 0 0 vt + 0 || + ||  Vậy nghiệm của bất phương trình là S = (-1;2) (3;4) 2. + -. 4 0 | 0. + + + +. Đúng x 2  3x  4  x 2  5x  6 x 2  3x  4 x 2  3x  4 2 x  10 1  2  1 0  0 2 0 2 2 x  5x  6 x  5x  6 x  5x  6 x  5x  6. . . Bảng xét dấu x 2x-10 2 x -5x+6 vt. - + -. 2 | 0 ||. +. 3 | 0 ||. + -. 5 0 | 0. + + + +.

<span class='text_page_counter'>(11)</span>  ;2 .  (3;5) Vậy nghiệm của bất phương trình là S =  Hướng khắc phục: Các bất phương trình chứa ẩn ở mẫu số ta phải chuyển vế P  x Q x. 0. sao cho vế phải bằng 0 tức là có dạng rồi mới xét dấu vế trái. 3- Khi giải các phương trình chứa ẩn trong dấu căn bậc hai các em thường đặt sai điều kiện. 2 Ví dụ: Giải phương trình: x  3x  4  x  2. Sai. 2  x  3 x  4 0 x  3x  4 x  2   2  2  x  3 x  4 x  4 x  4 2. Vaäy phöông trình coùnghieäm x  Đúng.  x  4  x 1   8  x  7  nhaän . 8 7.  x  2 0 x  3x  4 x  2   2  2  x  3x  4 x  4 x  4 2.  x 2   8  x  7  loại . Vaäy phöông trình voâ nghieäm. Hướng khắc phục : Các em học thuộc công thức, nếu lở không nhớ điều kiện thi ta giải bằng phương trình hệ quả, sau khi tìm được nghiệm ta phải thử lại phương trình ban đầu rồi mới kết luận nghiệm.. C. PHẦN KẾT LUẬN Kết quả thu được: thông qua kiểm tra bài cũ, thông qua kiểm tra 15 phút, 45 phút. như sau: Lớp 10T1. Trên trung bình 90,6%. Dưới trung bình 9,4%. 10T2. 93,75%. 6,25%. Tôi vừa trình bày chuyên đề Dấu của tam thức bậc hai và một số ứng dụng, tuy nhiên do tính chất đa dạng của môn học nên khó tránh khỏi những thiếu sót, mong quý đồng nghiệp góp ý để chuyên đề của tôi ngày càng hoàn thiện hơn. Tân An, Ngày 10 tháng 11 năm 2012 Người thực hiện VÕ THỊ MỘNG HẰNG.

<span class='text_page_counter'>(12)</span> Mục lục Lí do chọn đề tài Mục đích và nhiệm vụ của đề tài Phạm vi nghiên cứu Cơ sở lí luận Thực trạng vấn đề Đề xuất giải pháp Kết luận. Trang 1 1 1 9 9 10. Tài liệu nghiên cứu SGK đại số 10 nâng cao SGV đại số 10 nâng cao Phương pháp giải toán tam thức bậc hai. tác giả: Ths. Lê Hồng Đức( chủ biên) NGƯT. Đào Thiện Khải Lê Bích Ngọc Lê Hữu Trí Nhà xuất bản: ĐH sư phạm.

<span class='text_page_counter'>(13)</span>