DE HSG TOAN 8

<span class='text_page_counter'>(1)</span>PHÒNG GD&ĐT XUYÊN MỘC TRƯỜNG THCS BƯNG RIỀNG. ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 8 MÔN TOÁN Thời gian 120 phút. ĐỀ BÀI : Bài 1: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên x thì biểu thức A = x5 – x luôn chia hết cho 30 Bài 2: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử 1/ a(x2 +1) – x(a2 + 1) 2/ 6x3 + 13x2 + 4x – 3 3/ ( x2 + x)2 – 2(x2 + x) – 15 Bài 3 : a/ Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức B =. 3. 2. 4 x − 6 x +8 x 2 x −1. nhận giá trị nguyên. b/ Tìm giá trị của a và b để biểu thức C = a2 – 4ab + 5b2 -2b – 6 đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó. Bài 4 : Chứng minh rằng : (x – 1)(x – 3 )( x – 4 )(x – 6 ) +10 1 Bài 5 : Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a . Gọi M , N theo thứ tự là trung điểm của AB và BC. a/ Tính diện tích tứ giác AMND b/ Phân giác góc CDM cắt BC tại E, Chứng minh DM = AM + CE Bài 6 : Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. BD , CE là hai đường cao của tam giác cắt nhau tại điểm H. Chứng minh rằng : a/ HD.HB = HE.HC Δ HCB b/ Δ HDE c/ BH.BD + CH.CE = BC2 HẾT ĐÁP ÁN – BIỂU ĐIỂM ĐỀ THI HSG TOAN 8 BÀI 1: (2đ) A = x5 – x = x( x4 - 1 ) = x( x2 – 1 )( x2 + 1) = (x – 1 ) x ( x + 1)( x2 + 1) Vì (x – 1 ) x ( x + 1) là 3 số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho cả 2 và 3 => A ⋮ 6 (1) +/ Nếu x ⋮ 5 => A ⋮ 5 +/ Nếu x : 5 dư 1 thì ( x – 1) ⋮ 5 => A ⋮ 5 +/ Nếu x : 5 dư 4 thì ( x + 1) ⋮ 5 => A ⋮ 5 2 +/ Nếu x : 5 dư 2 hoặc 3 thì x : 5 dư 4 => ( x2 + 1) ⋮ 5 => A ⋮ 5 Vậy A ⋮ 5 với mọi x (2) Ta có UCLN ( 5;6) = 1 nên kết hợp (1) và (2) => A ⋮ (5.6) =30 A ⋮ 30 với mọi x Bài 2 : (3đ) 1/ a(x2 +1) – x(a2 + 1) = ax2 + a – a2 – x = ax2 –a2x +a – x = = ax(x – a ) – ( x – a ) = ( x – a ) ( ax – 1 ) 3 2 2/ 6x + 13x + 4x – 3 = 6x3 + 6x2 + 7x2 + 7x – 3x – 3 = 6x2( x + 1) + 7x( x + 1) – 3( x + 1) = ( x + 1)( 6x2 + 7x – 3 ) = ( x + 1)( 6x2 + 9x – 2x – 3 ) = ( x + 1 )( 3x( 2x + 3) – ( 2x + 3) = (x + 1)( 2x +3)( 3x – 1 ) 3/ ( x2 + x)2 – 2(x2 + x) – 15 = ( x2 + x)2 – 2(x2 + x) + 1 – 16 = ( x2 + x – 1 )2 – 42 = ( x2 + x – 5 )( x2 + x + 3 ).

<span class='text_page_counter'>(2)</span> 3. 2. 4 x − 6 x +8 x Bài 3 : (4đ) a/ Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức B = nhận giá trị nguyên 2 x −1 4 x 3 − 6 x2 +8 x 4 x 3 − 2 x 2 − 4 x2 +2 x+ 6 x −3+ 3 3 = =2 x 2 −2 x+3+ B= 2 x −1 2x−1 2 x −1 Để B nhận giá trị nguyên thì 3 ⋮ (2x – 1) Hay ( 2x – 1 ) U(3) = { -1;1;-3;3}. Suy ra x { 0;1; -1; 2} b/ Tìm giá trị của a và b để biểu thức C = a2 – 4ab + 5b2 -2b – 6 đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó. C = a2 – 4ab + 4b2 + b2 – 2b + 1 – 7 = ( a -2b)2 + ( b – 1)2 – 7 –7 Vậy : Tại a – 2b = 0 và b – 1 = 0 ⇔ a = 2 và b = 1 thì MinC = -7 Bài 4 : ( 2đ) Chứng minh rằng : (x – 1)(x – 3 )( x – 4 )(x – 6 ) +10 1 Ta có (x – 1)(x – 3 )( x – 4 )(x – 6 ) +10 = (x – 1)(x – 6 )( x – 4 )(x – 3 ) +10 = x2 -7x + 6 )( x2 – 7 x + 12) + 10 = ( x2 – 7x + 9 – 3 )( x2 – 7x +9 + 3) + 10 = = ( x2 – 7x + 9)2 – 32 + 10 = ( x2 – 7x + 9)2 + 1 Vì ( x2 – 7x + 9)2 0 ,với mọi x 2 2 Nên ( x – 7x + 9) + 1 1 , với mọi x Bài 5 : ( 4đ) a/ SAMND = SABCD – S Δ BMN - S Δ NCD Ta có Δ BMN vuông tại B có BM = BN = Suy ra. a 2. = CN. Δ NCD vuông tại C có DC = a 1aa 1 a a2 a 5 a2 − . a. =a 2 − − = SAMND = a2 − 222 2 2 8 4 8. b/ Chứng ming DM = AM + CE Trên tia đối của tia CB lấy điểm K sao cho CK = AM Dễ dàng chứng minh được Δ ADM = Δ CDK ( c.g.c) Suy ra AM = CK và DM = DK (1) Và góc ADM = góc CDK Ta có : ∠ ADE = ∠ ADM + ∠ MDE = = ∠ EDC + ∠ CDK = ∠ EDK ( Vì ∠ MDE = ∠ EDC theo GT) ∠ Mặt khác ADE = ∠ DEK ( so le trong ) = > ∠ EDK = ∠ DEK Vậy Δ DKE cân tại K => DK = KE = CK + CE ( 2) Từ (1) và (2) suy ra DM = AM + CE Bài 5 : ( 5đ) a/ HD.HB = HE.HC : Chứng minh 2 Δ vuông : Δ BHE và Δ CHD đông dạng ( ∠ E = ∠ D = 900; ∠ EBH = ∠ DCH cũng phụ với ∠ A ) HE HB = => HD.HB = HE.HC HD HC HE HB HE HD = ⇒ = Δ HCB : Từ b/ Δ HDE HD HC HB HC Δ HDE và ∠ EHD = ∠ CHB (đối đỉnh) =>. =>. Δ HCB. c/ vì H là giao điểm hai đường cao BD và CE nên H là trực tam của tam giác. => AH là đường cao thứ ba. Gọi F là giao điểm của AH với BC Ta có AF BC Δ BHF đồng dạng. Δ BCD (. Δ. vuông cùng góc nhọn B) =>. Δ BCE (. Δ vuông có cùng góc BCE) =>. BF.BC (*) Δ CHF đồng dạng. CF.BC (**). BH BF = BC BD. Hay BH.BD =. CH CF = CB CE. Hay CH.CE =.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> Cộng theo vế (*), (**) : BH.BD + CH.CE = BC(BF + CF) = BC2.

<span class='text_page_counter'>(4)</span>