Tong hop DE THI HSG TOAN 7 1314

<span class='text_page_counter'>(1)</span>PHÒNG GD & ĐT THANH OAI Trường THCS Thanh Văn. Đề THI HỌC SINH GIỎI Năm học 2013-2014 MÔN TOÁN 7 (Thời gian 120 phút ). ĐỀ CHÍNH THỨC Câu 1. (5điểm ) 1. Cho c2=ab Chứng minh rằng: a; b;. a2 +c 2 a = 2 2 b +c b 2 2 b −a = 2 2 a +c. b− a a 213. 2. Ba phân số có tổng bằng 70. , các tử của chúng tỉ lệ vối 3;4;5, các mẫu của chúng. tỉ lệ vối 5;1;2 .Tìm ba phân số đó. Câu 2. (6 điểm ) 1. Cho đa thức: f(x) = x17- 2000x16 + 2000x15 - 2000x14 +….+ 2000x – 1 Tính giá trị của đa thức tại x = 1999. 2. Chứng minh rằng nếu m và n là các số tự nhiên thì số: A = (5m + n + 1) (3m – n + 4) là số chẵn. Câu 3.(2 điểm ). Tìm số tự nhiên x để phân số. 7 x −8 2 x −3. có giá trị lớn nhất.. Câu 4. (7 điểm ). 1. Cho tam giác ABC cân tại A, ∠ B = 500.Gọi K là điểm trong tam giác sao cho ∠KBC =100, ∠KCB = 300. a, Chứng minh BA=BK b, Tính số đo ∠ BAK 2. Cho ∠ xAy = 600 có tia phân giác Az. Từ điểm B trên Ax kẻ BH vuông góc với Ay tại H, kẻ BK vuông góc với Az và Bt song song với Ay ,Bt cắt Az tại C. Từ C kẻ CM vuông góc với Ay tại M. Chứng minh : a, K là trung điểm của AC b, Δ KMC là tam giác đều c, Cho BK = 2 cm . Tính các cạnh Δ AKM - Hết-.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM Môn: Toán 7( Năm 2013-2014) Câu 1 . (5đ) 2 2 2 2 2 a c a + c a + a. b a ( a+ b ) a = = = =. = 1.(2đ) a, Từ c =a.b 2 2 2 2 2 b ( a+ b ) b c b c +b a . b+b a2 +c 2 a b2 +c 2 b = ⇒ 2 2= b, Theo câu a ta có c2 +b 2 b a +c a b2 +c 2 b b2 +c 2 b b2 − a2 b −a = ⇒ −1= −1 ⇒ . .. . ⇒ = a a a2 +c 2 a a2 +c 2 a 2+ c2 213 2 .(3 đ) Gọi các phân số phải tìm là : a ; b ; c ta có : a+b+c = 70 3 4 5 Và a : b : c = 5 : 1 : 2 = 6 : 40 : 25 ………. 9 12 15 Suy ra a = 35 ; b= 7 ; c = 14. a c ⇒ = ⇒ c b. 2. 2. 2. Câu 2.(6điểm ) 1. (3đ) f(x) =x17 – 1999x16 – x16 + 1999x15 + x15 – 1999x14 - x14+…+1999x + x – 1 f(1999) = 199917 - 199917 - 199916 + 199916 + 199915 - 199915- 199914+…+19992+1999 – 1 = 1999 – 1 = 1998. 2.(3đ) Ta xét hiệu (5m + n +1) – (3m – n + 4) = ….. = 2m + 2n – 3 Với m, n N thì 2m + 2n - 3 là một số lẻ . Do đó trong hai số 5m + n +1 và 3m – n +4 phải có một số chẵn. Suy ra tích của chúng là một số chẵn .Vậy A là số chẵn. Câu 3 . (2 đ) 2(7 x − 8) 7 (2 x −3)+5. 7 x −8 7 5 .Đặt A= 2 x −3 = 2(2 x − 3) = 2(2 x − 3) = 2 + 2(2 x − 3). 5. Đặt B= 2(2 x −3) Thì A lớn nhất khi và chỉ khi B lớn nhất ……GTLN của A=6 khi và chỉ khi x=2 Câu 4;(7 đ) 1.(4đ) a,-vẽ tia phân giác ∠ ABK cắt CK ở I …. .Ta có Δ IBC cân nên IB=IC ….. ΔBIA =Δ CIA (ccc) …nên ∠BIA =¿ ∠CIA =120o Do đó Δ BIA=Δ BIK (gcg) ⇒ BA =BK b, ……..Từ phần a ta tính được ∠ BAK=70o 2.(3đ) V ẽ h ình , GT _ KL.

<span class='text_page_counter'>(3)</span>    a,  ABC cân tại B do CAB  ACB(MAC ) và BK là đường cao  BK là đường trung tuyến  K là trung điểm của AC b,  ABH =  BAK ( cạnh huyền + góc nhọn ) 1  BH = AK ( hai cạnh t. ư ) mà AK = 2 AC 1  BH = 2 AC 1 Ta có : BH = CM ( t/c cặp đoạn chắn ) mà CK = BH = 2 AC  CM = CK   MKC là. tam giác cân ( 1 )   Mặt khác : MCB = 900 và ACB = 300   MCK = 600 (2) Từ (1) và (2)   MKC là tam giác đều c) Vì  ABK vuông tại K mà góc KAB = 300 => AB = 2BK =2.2 = 4cm Vì  ABK vuông tại K nên theo Pitago ta có: AK =. AB 2  BK 2  16  4  12. 1 Mà KC = 2 AC => KC = AK = 12  KCM đều => KC = KM = 12. Theo phần b) AB = BC = 4 AH = BK = 2 HM = BC ( HBCM là hình chữ nhật) => AM = AH + HM = 6.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> PHÒNG GD&ĐT THANH CHƯƠNG. ĐỀ THI KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG MŨI NHỌN NĂM HỌC 2013-2014 - Môn thi: TOÁN 7 Thời gian: 120 phút (Không kể thời gian giao đề). ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề gồm 01 trang). Câu 1. a. Chứng minh: 52014 - 52013 + 52012 chia hết cho 105. b. Tìm số nguyên tố p sao cho p + 2 và p + 4 đều là số nguyên tố. Câu 2. Tìm x biết : a.. 3  2 x x  1. 1 1 1 2013 2012 2 1   ...    ...   2014 ). x = 1 2 2012 2013 b. ( 2 3. Câu 3. x 3  ; y 2 5x = 7z và x – 2y + z = 32. a. Tìm x; y; z biết 7 x  5 y 7 z  5t x z   3 x  7 y 3 z  7 t y t. b. Cho . Chứng minh:. c. Tìm giá trị nhỏ nhất của A =. x  2013  2014  x  x  2015. .. Câu 4. Cho tam giác ABC cân (AB = AC). Trên cạnh BC lấy điểm D trên tia đối tia CB lấy điểm E sao cho BD = CE. Các đường thẳng vuông góc với BC kẻ từ D và E cắt AB và AC lần lượt ở M và N. Gọi I là giao điểm của MN và BE. a. Biết AB < BC. Chứng minh: Â > 600. b. Chứng minh IM = IN c. Chứng minh đường thẳng vuông góc với MN tại I luôn đi qua 1 điểm cố định khi D thay đổi trên cạnh BC. …. Hết…. Họ và tên: ........................................................................Số báo danh.....................................................

<span class='text_page_counter'>(5)</span> PHÒNG GD&ĐT THANH CHƯƠNG. ĐÁP ÁN THI KSCL MŨI NHỌN NĂM HỌC 2013-2014 MÔN THI: TOÁN 7. Câu. Ý Nội dung a 52014 - 52013 + 52012 = 52011(53 – 52 +5) = 52011(125 – 25 + 5) = 52011.105 chia hết cho 105. Điểm 0.5 0.5. Câu 1. b. 0.25 0,25. *) Nếu p = 3k + 1 ta có: 2p + 1 = 2(3k + 1) + 1 = 6k + 3 = 3(2k +1) là hợp số ( trái gt) *) Nếu p = 3k + 2 ta có 2p + 4 = 2(3k + 2) + 2 = 6(k + 1) là hợp số ( trái gt). a. Vậy p = 3k, mặt khác p là số nguyên tố nên p =3 3 x 2 thì 3  2 x  x  1  2x – 3 = x +1  x = 4 Nếu Nếu. Câu 2. b. a. b Câu 3. x. 3 2 3  2 x  x  1  3 – 2x = x +1  3x = 2  x = 3 2 thì. 0.5 0.5 0,5. 2 Vậy x = 4 hoặc x = 3 1 1 1 2013 2012 2 1   ...    ...   2014 ).x = 1 2 2012 2013 (2 3 1 1 1 2012 2011 2 1   ...  1   1...  1  1 1  (2 3 2014 ).x = 2 3 2012 2013. 0,5. 1 1 1 2014 2014 2014 2014 2014   ...    ...     (2 3 2014 ).x = 2 3 2012 2013 2014. 0,25. 1 1 1 1 1 1 1 1   ...  2014(  ...    )  (2 3 2014 ).x = 2 3 2012 2013 2014  x = 2014 x 3 x y x y x z x z      Ta có y 2  3 2  21 14 (1); 5x = 7z  7 5  21 15 (2). 0.25. x y z x  2y  z 32    4 Từ (1) và (2) ta có: 21 14 15 = 21  28  15 8. 0.5. Tìm được: x = 84; y = 56; z = 60 7 x  5 y 7 z  5t  Đặt: 3 x  7 y 3 z  7t = k  7x + 5y = k(3x – 7y)  (3k – 7) x= (7k + 5)y . 0.25. x 7k  5  y 3k  7 (1). 0.25. 0,5 0,5. z 7k  5  Tương tự: 7z + 5t = k( 3z – 7t)  (3k – 7)z = (7k + 5)t  t 3k  7 (2) c. Từ (1) và (2) suy ra điều phải chứng minh x  2013  2014  x  x  2015 ( x  2013  2015  x )  x  2014. A=. =. 0.25.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> Ta có:. x  2013  2015  x  x  2013  2015  x 2. . Dấu “=” xảy ra khi:. 2013 x 2015 (1). Lại có:. x  2014 0. . Dấu “=” xảy ra khi x = 2014 (2). Từ (1) và (2) Ta có minA = 2. Dấu. 0.25 0.25. “=” xảy ra khi x = 2014 0.25. A E C I. N. M H D B. Câu 4. O. a. b. c. 0        Do AB < BC nên A  B. mà B C vì tam giác ABC cân Mà A  B  C 180 nên ta. có. 1.0. A  600 (HS có thể c/m bằng phản chứng) HS chứng minh được  BDM =  CEN suy ra EN = DM. 0.5. HS chứng minh được  IDM =  IEN suy ra IN = IM. 0.5. Kẻ AH vuông góc với BC. Gọi O là giao điểm của AH và đường thẳng vông góc với. 0.5. MN ở I . HS chứng minh được O là điểm cố định.. Lưu ý: - Học sinh giải cách khác mà đúng vẫn cho điểm tối đa. - Học sinh không vẽ hình hoặc vẽ hình sai cơ bản thì không chấm bài hình.. Phòng GD & ĐT Hiệp Hòa Trường THCS Xuân Cẩm. đề khảo sát chất lƯợng hsg NĂM HỌC 2013 - 2014 MÔN: TOÁN LỚP 7. 0,5.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> (Thời gian làm bài 120 phút ) ĐỀ CHÍNH THỨC Câu 1: (1,5 điểm): So sánh hợp lý:. a). 1 16. 200. ( ). và. 1 2. 1000. (). b) (-32)27 và (-18)39. Câu 2: (1,5 điểm): Tìm x biết: a) (2x-1)4 = 16 b) (2x+1)4 = (2x+1)6 c) ||x +3|−8|=20 2006 2 2008 Câu 3: (1,5 điểm): Tìm các số x, y, z biết : a) (3x - 5) +(y - 1) + (x - z) 2100 = 0 b). x y z = = 2 3 4. và x2 + y2 + z2 = 116. Câu 4: (1,5 điểm): Cho đa thức A = 11x4y3z2 + 20x2yz - (4xy2z - 10x2yz + 3x4y3z2) - (2008xyz2 + 8x4y3z2) a/ Xác định bậc của A. b/ Tính giá trị của A nếu 15x - 2y = 1004z. Câu 5: (1 điểm): Chứng minh rằng: M =. x y z t + + + x+ y + z x + y +t y + z+ t x + z +t. có giá trị không phải. là số tự nhiên.( x, y, z, t N ❑ ). Câu 6: (3 điểm): Cho tam giác ABC vuông cân tại A, M là trung điểm BC. Lấy điểm D bất kì thuộc cạnh BC. H và I thứ tự là hình chiếu của B và C xuống đường thẳng AD. Đường thẳng AM cắt CI tại N. Chứng minh rằng: a) BH = AI. b) BH2 + CI2 có giá trị không đổi. c) Đường thẳng DN vuông góc với AC. d) IM là phân giác của góc HIC. ------------------------------------Hết ------------------------------.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM câu 1: (1,5 điểm):. Đáp án a. 200. (161 ) 1 Cách 2: ( ) 16 ( 12 ) =( 12 ). 4 . 200. a) Cách 1:. =. 200. 5 .200. 2: (1,5 điểm):. ( 12 ). 200. >. 1000. 25 ¿ 27 = 2135 < 2156 = 24.39 = 1639 < 1839 ¿ ⇒ -3227 > -1839 ⇒ (-32)27 > (-18)39. (0,75điểm. a. a) (2x-1)4 = 16 .Tìm đúng x =1,5 ; x = -0,5. (0,25điểm). b. b) (2x+1)4 = (2x+1)6. Tìm đúng x = -0,5 ; x = 0; x = -1 c) ||x +3|−8|=20 ||x +3|−8|=20 ⇒ |x +3|−8=20 hoặc |x +3|−8=−20 ⇒ x *Nếu |x +3|−8=20 ⇒ |x +3|=28 = 25; x = - 31 *Nếu |x +3|−8=−20 ⇒ |x +3|=−12 : vô nghiệm a) (3x - 5)2006 +(y2 - 1)2008 + (x - z) 2100 = 0 ⇒ (3x - 5)2006 = 0; (y2 - 1)2008 = 0; (x - z) 2100 = 0 ⇒ 3x - 5 = 0; y2 - 1 = 0 ; x - z = 0. (0,5điểm). a. b. b). x=z= x y z = = 2 3 4. Từ giả thiết ⇒. a b. 5: (1 điểm):. >. Biểu điểm (0,75điểm). b) 3227 =. ⇒. 4: (1,5 điểm):. ( 12 ) =( 12 ) (321 ) =. 1000. b. c. 3: (1,5điểm):. 800. 5 ;y = -1;y = 1 3. (0,75điểm. (0,75điểm. và x2 + y2 + z2 = 116 2. 2. 2. 2. 2. 2. x y z x + y + z 116 = = = = =4 4 9 16 4+ 9+16 29. Tìm đúng: (x = 4; y = 6; z = 8 ); (x = - 4; y = - 6; z = - 8 ) a/ A = 30x2yz - 4xy2z - 2008xyz2 4. ⇒ A có bậc. (0,75điểm (0,75điểm. b/ A = 2xyz( 15x - 2y - 1004z ) ⇒ A = 0 nếu 15x - 2y = 1004z. (0,75điểm. x x x < < x + y + z +t x+ y+ z x + y y y y < < x + y + z +t x+ y+ t x + y z z z < < x + y + z +t y + z+ t z +t t t t < < x + y + z +t x+ z +t z +t. (0,25điểm). Ta có:. (0,25điểm) (0,25điểm).

<span class='text_page_counter'>(9)</span> x + y + z +t < M <¿ x + y + z +t x y z t ( + )+( + ) x+ y x+y z +t z +t ⇒. (0,25điểm). hay: 1 < M < 2 . Vậy M có giá trị không phải là số tự nhiên 6: (3 điểm):. a. (0,25điểm) (0,5điểm). a. AIC = BHA  BH = AI B. (0,25điểm). H D. M I N. A. C. b. b. BH2 + CI2 = BH2 + AH2 = AB2. (0,75điểm). c. c. AM, CI là 2 đường cao cắt nhau tại N  N là trực tâm  DN AC. (0,75điểm). d. d. BHM = AIM  HM = MI và ÐBMH = ÐIMA mà : Ð IMA + ÐBMI = 900  ÐBMH + ÐBMI = 900  HMI vuông cân  ÐHIM = 450 mà : ÐHIC = 900 ÐHIM =ÐMIC= 450  IM là phân giác ÐHIC. (0,25điểm). Chú ý - Học sinh giải cách khác mà đúng vẫn cho điểm tối đa. - Học sinh không vẽ hình hoặc vẽ hình sai cơ bản thì không chấm bài hình.. ------------------Hết-----------------. (0,25điểm) (0,25điểm) (0,25điểm).

<span class='text_page_counter'>(10)</span> PHÒNG GD – ĐT TƯ NGHĨA Trường THCS Nghĩa Điền. ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG MÔN TOÁN LỚP 7 - NĂM HỌC 2013 – 2014 Thời gian làm bài 150phút. ĐỀ CHÍNH THỨC. Bài 1: (5điểm) a) chứng minh rằng (817 – 279 – 913 ) b) Tìm x biết (2x – 1)4 = 81 Bài 2: (2điểm) Tìm các số x, y, z biết. ⋮. x y z = = 4 3 9. 405. và x – 3y + 4z = 62. x+ 2. Bài 3: (2điểm) Cho f(x) = x −1 a) Tìm x để vế phải có nghiã. b) Tính f(0) c) Tìm x Z để f(x) có giá trị nguyên Bài 4: (5điểm). 102011  1 A  2012 10  1 và a) so sánh các số sau :. 102012  1 B  2013 10 1 2 2 2 2 A     1.3 3.5 5.7 2011.2013 b) Tính tổng : Bài 5: (3điểm) Cho Δ ABC, Â > 900, đường cao AH, BÂH = 2 giác của góc B cắt AC ở E, tia phân giác của góc BAH cắt BE ở I. a) So sánh AB với EB b)Chứng minh Δ AIE là tam giác vuông cân.. ^ C. . Tia phân. Bài 6: (3điểm) Cho Δ ABC vuông tại A, đường phân giác BE. Kẻ EH (H BC), gọi K là giao điểmcủa AB và HE. Chứng minh rằng: a) Δ ABE = Δ HBE b) BE là đường trung trực của đoạn thẳng AH, c) BE CK ........................................HẾT.............................. BC.

<span class='text_page_counter'>(11)</span> ĐÁP ÁN THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG MÔN TOÁN LỚP 7 - NĂM HỌC 2013 – 2014 Bài 1: (5điểm) 7 9 13 a) 817 – 279 – 913 = ( 34 ) – ( 33 ) – ( 32 ) = 328 – 327 – 326 = 326( 32 – 3 – 1) = 326 . 5 = 322 . 34 .5 = 322 . 405 (2đ) 7 Do đó (81 – 279 – 913) ⋮ 405 (1đ) b) (2x – 1)4 = 81, (2x – 1)4 = 34 ⇒ 2x – 1 = 3 ⇒ x = 2 (2đ) x y z = = 4 3 9 x 3 y 4z = = = 4 9 36. Bài 2: (2điểm) có ⇒. ⇒ x= 8,. y = 6, z = 18. x+ 2 x −1. có nghĩa khi x – 1. b) f(0) = – 2 c) f(x) =. x+ 2 x −1. Bài 4:. (0,5đ) (1đ). =1+. 1 2. 0. ⇒. x. 1. (0,5đ) (0,5đ). 3 x −1. Để f(x) có giá trị nguyên thì x –1 x –1 x. (0,5đ). x+ 2 x −1. Bài 3: (2điểm) f(x) = a). x 3 y 4z = = 4 9 36 x −3 y +4 z 62 = = 2 (vì x – 3y + 4z = 62) 4 −9+36 31 ⇒. 3 4. Ư(3) = { 1;3 ; − 1; −3 } -1 0. -3 -2. (1đ) (5điểm). 2012. 10  10 9 10 A   1  10 2012  1 10 2012  1 a) Ta có : 10 2013  10 9 10 B  1  2013 2013 10 1 10 1 9 9 2012 2013  1 > 10  1 nên 10A>10B . Do đó A>B Vì 10 b) 2 2 2 2 A     1.3 3.5 5.7 2011.2013 1 1 1 1 1 1 1 1         3 3 5 5 7 2011 2013 1 2012 1   2013 2013. Bài 5 (3điểm) (vẽ hình đúng đạt 0,5đ). (1đ) (1đ) (1đ). (1đ) (1đ).

<span class='text_page_counter'>(12)</span> a) Δ ABE, Â > 900 nên Ê1 nhọn, ⇒ AB < EB (Quan hệ góc - đối diện trong 1 tam giác) (0,5đ). B. H I. C A. E. b) Có Â1 + C = 900 Â2 = Â3 = ½ BAH (AI là phân giác) C = ½ BAH (suy từ GT) Do đó Â2 = C ⇒ Â1 + Â2 = 900 ⇒ AI AC (1đ) 0 ⇒ Ê1 + I1 = 90 (1) Mà Ê1 = B1 + C (góc ngoài của Δ BEC), I1 = Â3 + B2 Vì B1 = B2 (BE là phân giác) Nên (1) ⇒ Ê1+ I1 = B1+ C+Â3+B (1đ) 0 = 2 B1 + 2C = 90 ⇒ B1 + C = 450 hay Ê1 = 450 Do đó Δ AIE là tam giác vuông cân.. Bài 6 (3điểm) (vẽ hình, ghi GT, GL đúng đạt 0,5đ) B. a) Δ ABE = (0,5đ) H. A. K. E. C. Δ HBE (cạnh huyền – góc nhọn). b) BE là đường trung trực của đoạn thẳng AH, Δ ABE = Δ HBE ⇒ BA = BH & EA = EH ⇒ B, E thuộc đường trung trực của đoạn thẳng AH BE là đường trung trực của đoạn thẳng AH (1đ) c) CA BK, KH BC , KH cắt CA tại E ⇒ E là trực tâm của Δ BKC, do đó BE là đường cao thứ ba hay BE CK (1đ).

<span class='text_page_counter'>(13)</span> TRƯỜNG THCS TRỰC TĨNH. ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 7 CẤP TRƯỜNG Môn: Toán Năm học: 2013-2014 Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề). ĐỀ CHÍNH THỨC. Phần I. Trắc nghiệm: (2 điểm) Em hãy chọn đáp án đúng và viết vào trong bài làm của mình. Câu 1: Cho một tam giác cân có độ dài hai cạnh là 3cm và 21cm. Chu vi của tam giác đó bằng: A. 39cm B. 27cm C. 45cm D. 46cm Câu 2:Khẳng định sau đúng hay sai? Tổng của hai đa thức không cùng bậc là một đa thức có bậc bằng bậc cao nhất của các đa thức hạng tử. A. Đúng B. Sai 1 Câu 3: Cho hàm số y = f(x) = 2x - 3 . Khi đó, ta có:. A. f(-2) > f(-1) > f(0);. B. f(-2) < f(-1) < f(0);. C. f(-2) > f(0) > f(-1);. Câu 4: Cho hàm số : y = f(x) = 2x2 + 5. Khẳng định nào sau đây là đúng? A. f(0) = 0 B. f(1) = -f(-1) C. f(2) = f(-2). D. f(-2) < f(0) < f(-1) D. f(0) = f(-1). II/ Tù luËn Bài 1: (3 điểm) Thực hiện phép tính a.. 5 . 415 . 9 9 − 4 . 320 . 89 . 5 . 210 . 619 − 7 .229 .27 6. b ¿ A=1+. 3 3 5 100 + 4 + 5 +. ..+ 100 3 2 2 2 2. Bài 2: (5 điểm) a. Tìm x, biết: 2(x-1) – 3(2x+2) – 4(2x+3) = 16; 1 21 :|2 x −1| = 2 22 2 x − y 3 y −2 z = c. Tìm x, y, z biết: 5 15. b. Tìm x, biết: 3. Bài 3: (1 điểm) Cho tỉ lệ thức. a c = b d. và x + z = 2y.. .. Chứng minh rằng : (a+2c)(b+d) = (a+c)(b+2d). Bài 4: (7 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A; K là trung điểm của BC. Trên tia đối của tia KA lấy D , sao cho KD = KA. a. Chứng minh: CD // AB. b. Gọi H là trung điểm của AC; BH cắt AD tại M; DH cắt BC tại N . Chứng minh rằng: ABH = CDH. c. Chứng minh: Δ HMN cân. Bài 5: (2 điểm): Chứng minh rằng số có dạng abcabc luôn chia hết cho 11. ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM.

<span class='text_page_counter'>(14)</span> ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 7 CẤP HUYỆN I/ TRẮC NGHIỆM( Mỗi câu ntrả lời đúng cho 0,5 điểm) Câu 1 2 3 4 Đáp án B A B C II/ TỰ LUẬN Bài 1. (3 điểm) 5 . 415 . 9 9 − 4 . 320 . 89 10 19 29 6 5 . 2 . 6 − 7 .2 .27. a. 5 . 415 . 9 9 − 4 . 320 . 89 5 .22 .15 .32 . 9 − 22 . 320 . 23 .9 = 5 . 210 . 619 − 7 .229 .27 6 5 . 210 . 219 . 319 −7 . 229 . 33 .6 229 .3 18 ( 5 .2 −3 2) ¿ 29 18 2 . 3 ( 5 . 3− 7 ) 10 −9 1 =− = 15 −7 8 3 3 5 100 A=1+ 3 + 4 + 5 +. ..+ 100 (1) 2 2 2 2 1 Nh©n c¶ hai vÕ cña A víi 2 1 1 3 4 5 100 A=1 − + 4 + 4 + 6 +.. .+ 101 (2) 2 2 2 2 2 2. 0,5 đ 0,5đ 0,5đ. 0,5®. b. Tõ (1) vµ (2) ta cã. 1 1 3 1 1 1 100 A − A=1 − + 3 + 4 + 5 +. . .+ 100 + 101 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 100 A=1+ 2 + 3 + 4 + 5 +. ..+ 100 + 101 2 2 2 2 2 2 99 100 A=2+ 99 + 100 2 2. 0,5đ 0,5đ. Bài 2: (5 điểm) Giải: a. Tìm x, biết: 2(x-1) – 3(2x+2) – 4(2x+3) = 16.. 2x – 2 – 6x – 6 – 8x – 12 = 16 -12x – 20 = 16 -12x = 16 + 20 = 36 x = 36 : (-12) = -3 b. Tìm x, biết: 3. 1 21 :|2 x −1| = 2 22. 1 . Ta có: (vì nếu x = ½ thì 2x – 1 = 0) 2 1 21 3 :|2 x −1| = 2 22 7 21 : (2x – 1) = 2 22 7 21 7 22 11 . = 2x – 1 = : = 2 22 2 21 3. Nếu x>. 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ. 0,25đ 0,25đ 0,25đ.

<span class='text_page_counter'>(15)</span> 11 14 +1= 3 3 14 7 1 x= :2= > 3 3 2 1 Nếu x< . Ta có: 2 1 21 3 :|2 x −1| = 2 22 7 21 : (1 - 2x) = 2 22 11 8 -2x = -1= 3 3 8 4 1 x= : (-2) = − < 3 3 2 7 4 Vậy x = hoặc x = − 3 3. 2x =. c. Tìm x, y, z biết :. 0,25đ 0,25đ. 0,25đ 0,25đ. 2 x − y 3 y −2 z = 5 15. và x + z = 2y. Từ x + z = 2y ta có: x – 2y + z = 0 hay 2x – 4y + 2z = 0 hay 2x – y – 3y + 2z = 0 hay 2x – y = 3y – 2z. 0,25đ 0,25đ. Vậy nếu:. 0,25đ. 2 x − y 3 y −2 z = 5 15. thì: 2x – y = 3y – 2z = 0 (vì 5  15). 1 y 2. Từ 2x – y = 0 suy ra: x =. Từ 3y – 2z = 0 và x + z = 2y.  x + z + y – 2z = 0 hay. +y–z=0. 2 1 z. suy ra: x = z. 3 3 1 2 Vậy các giá trị x, y, z cần tìm là: {x = z; y = z ; với z  R } 3 3 1 3 hoặc {x = y; y  R; z = y} hoặc {x  R; y = 2x; z = 3x} 2 2 a c = Bài 3: (1 điểm) Cho tỉ lệ thức . Chứng minh rằng : (a+2c)(b+d) = (a+c)(b+2d) b d. hay. 3 y 2. 1 y 2. Ta có:. - z = 0 hay y =. (a+2c)(b+d) = (a+c)(b+2d) ab + ad + 2cb + 2cd = ab + 2ad + cb + 2cd cb = ad suy ra:. a c = b d. 0,25đ 0,25đ 0,5đ. 0,75đ 0,25đ. Bài 4: (4,5 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A; K là trung điểm của BC. Trên tia đối của tia KA lấy D, sao cho KD = KA. a. Chứng minh: CD // AB. b. Gọi H là trung điểm của AC; BH cắt AD tại M; DH cắt BC tại N . Chứng minh rằng: ABH = CDH. c. Chứng minh: Δ HMN cân. Giải:.

<span class='text_page_counter'>(16)</span> D. B K N. M A. H. C. a/ Chứng minh CD song song với AB. Xét 2 tam giác: ABK và DCK có: BK = CK (gt) ^ A=C ^ BK K D (đối đỉnh) AK = DK (gt)  ABK = DCK (c-g-c) ^ C +A C ^ B=90 0  A C ^ D= A C ^ B+ B C ^ D=900 ^ K ; mà A B  D C^ K=D B ^ D=900=B ^  AC A C  AB // CD (AB  AC và CD  AC). b. Chứng minh rằng: ABH = CDH Xét 2 tam giác vuông: ABH và CDH có: BA = CD (do ABK = DCK) AH = CH (gt)  ABH = CDH (c-g-c) c. Chứng minh: Δ HMN cân. Xét 2 tam giác vuông: ABC và CDA có: ^ D=900=B ^ AB = CD; A C A C ; AC cạnh chung:  ABC = CDA (c-g-c) ^ ^  A C B=C A D ^ A=N H ^ C (vì ABH = CDH) mà: AH = CH (gt) và M H  AMH = CNH (g-c-g)  MH = NH. Vậy HMN cân tại H Bài 5: (2 điểm): Chứng minh rằng số có dạng abcabc luôn chia hết cho 11. Giải: abcabc = a.105 + b.104 + c.103 + a.102 + b.10 + c Ta có: = a.102(103 + 1) + b.10(103 + 1) + c(103 + 1) = (103 + 1)( a.102 + b.10 + c) = (1000 + 1)( a.102 + b.10 + c) = 1001( a.102 + b.10 + c) = 11.91( a.102 + b.10 + c) ⋮ 11 Vậy abcabc ⋮ 11 …………….. Hết…………….. Equation Chapter 1 Section 1 PHÒNG GD & ĐT HƯƠNG SƠN. Trường THCS sơn Tiến. ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC: 2013 - 2014 Môn thi: TOÁN 7 Thời gian: 120 phút (Không kể thời gian giao đề). ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề gồm 1 trang). 0,50đ 0,50đ 0,50đ 0,50đ 0,50đ 0,50đ 0,50đ 0,50đ 0,50đ 0,50đ 0,50đ 0,50đ 0,75đ 0,75đ. 0,25đ 0,50đ 0,50đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ.

<span class='text_page_counter'>(17)</span> Câu 1. 3 3  11 12  1,5  1  0, 75 5 5 5  0, 265  0,5   2,5   1, 25 11 12 3 a. Thực hiện phép tính: b. chứng minh : 1.2+2.3+3.4+ …+ n(n+1) 3 0,375  0,3 . \* MERGEFORMAT. Câu 2. x  2010  x  2012  x  2014 2. a. Tìm x biết : b. Tìm x; y  Z biết: xy  2 x  y 5 Câu 3. a. Tìm đa thức bậc hai biết f(x) - f(x-1) = x. Từ đó áp dụng tính tổng S = 1+2+3+ ....+ n. 2bz  3cy 3cx  az ay  2bx x y z     a 2b 3c b. Cho Chứng minh: a 2b 3c .. Câu 4. Cho m, n. N* và p là số nguyên tố thoả mãn:. p m−1. =. m+n (1) p. Chứng minh rằng : p2 = n + 2 Câu 5. o  Cho tam giác ABC ( BAC  90 ), đường cao AH. Gọi E; F lần lượt là điểm đối xứng của H qua AB; AC, đường thẳng EF cắt AB; AC lần lượt tại M và N. Chứng minh rằng: a. AE = AF;  b. HA là phân giác của MHN ; c. CM // EH; BN // FH. Câu 6. Cho ba số dương 0 a b c 1 chứng minh rằng:. a b c   2 bc  1 ac  1 ab  1. ..............Hết.......... Họ và tên: ...................................................Số báo danh:................................. ĐÁP ÁN. Môn thi: TOÁN 7 Câu. Ý. Câu 1. a.. 4 điểm. 2 điểm. Nội dung 3 3 3 3 3 3 3      8 10 11 12  2 3 4 53 5 5 5 5 5 5       A = 100 10 11 12 2 3 4. Điểm.

<span class='text_page_counter'>(18)</span> 1 1 1 1  1 1 1 3     3     3(165  132  120  110 ) 3  8 10 11 12    2 3 4   1320   53  66  60  55  53  1 1 1  1 1 1  5( ) 5  5     5    100 660 100  10 11 12  2 3 4 263 263 3. 3. 3 3 3945 3  1881 1320   1320       53 49 5  1749  1225 5  5948 5 29740  5. 660 3300 A= 100 b. 2 điểm a. 1,5 điểm. = [1.2.(3 - 0) + 2.3.(4 - 1) + 3.4(5 – 2) + …..+ n(n + 1)( (n+2) – (n – 1))] : 3 = [ 1.2.3 – 1.2.3 + 2.3.4 – 2.3.4 +……+ n( n+1)(n+2)] : 3 = n(n+ 1)(n+2) :3 b) ta có x  2010  x  2012  x  2014  x  2010  2014  x  x  2012 2 Mà. Câu 2. b.. 3 điểm. 1,5.điểm. a. 2 điểm Câu 3 4 điểm. x  2010  x  2012  x  2014 2. (*). nên (*) xảy ra dấu “=”.  x  2012 0  x 2012  2010  x  2014  Suy ra: Ta có: xy + 2x - y = 5  x(y+2) - (y+2) = 3 3. 1. -1. -3. x-1. 1. 3. -3. -1. x. 2. 4. -2. 0. y. 1. -1. -3. -5. 1. 1đ. f  x  ax 2  bx  c. 0.5. (a 0). 0,5. 2. Ta có :. 1. 1. y+2. f  x  1 a  x  1  b  x  1  c. 1. 0,5đ.  (y+2)(x-1) = 3.1 =1.3 = (-1).(-3) = (-3).(-1). Đa thức bậc hai cần tìm có dạng:. 1. .. a  1 2 2a 1     b  1 2 f  x   f  x  1 2ax  a  b  x b  a 0. 0,5. 1 1 f  x   x2  x  c 2 2 Vậy đa thức cần tìm là: (c là hằng số tùy ý).. Áp dụng: + Với x = 1 ta có :. 0,5. 1  f  1  f  0  . 1f 2  f 1 ..     + Với x = 2 ta có : …………………………………. + Với x = n ta có :. n  f  n   f  n  1 .. 0.5. n  n  1 n n   c  c   S = 1+2+3+…+n = f  n   f  0  = 2 2 2 . 2.

<span class='text_page_counter'>(19)</span> b. 2 điểm. 2bz  3cy 3cx  az ay  2bx    a 2b 3c. 0,5 0.5. 2abz  3acy 6bcx  2abz 3acy  6bcx   a2 4b 2 9c 2 2abz  3acy  6bcx  2abz  3acy  6bcx  0 a 2  4b 2  9c 2. 0,5. z y   2bz - 3cy = 0  3c 2b (1) x z x y z     3cx - az = 0  a 3c (2); Từ (1) và (2) suy ra: a 2b 3c + Nếu m + n chia hết cho p  p (m  1) do p là số nguyên tố và m, n  m = 2 hoặc m = p +1 khi đó từ (1) ta có p2 = n + 2 + Nếu m + n không chia hết cho p , từ ( 1)  (m + n)(m – 1) = p2 Do p là số nguyên tố và m, n N*  m – 1 = p2 và m + n =1  m = p2 +1 và n = - p2 < 0 (loại) Vậy p2 = n + 2. Câu 4 2đ điểm Câu 5. 0,5. Hình vẽ. N*. 1đ. 0.25. F. 4,5. 1đ. A. điểm N M E. B. C H. a. 1. Vì AB là trung trực của EH nên ta có: AE = AH (1). 0.25. điểm. Vì AC là trung trực của HF nên ta có: AH = AF (2). 0.25. Từ (1) và (2) suy ra: AE = AF. 0. 5. .  AB nên MB là phân giác EMH  MB là phân giác ngoài góc M của. b. 1,5. Vì M. điểm. tam giác MNH Vì N.   AC nên NC là phân giác FNH.  NC là phân giác ngoài góc N của. 0.25 0.25. tam giác MNH Do MB; NC cắt nhau tại A nên HA là phân giác trong góc H của tam giác  HMN hay HA là phân giác của MHN .. 0.25 0.25.

<span class='text_page_counter'>(20)</span> c. 2 điểm.  Ta có AH  BC (gt) mà HM là phân giác MHN  HB là phân giác ngoài góc. 0.25. H của tam giác HMN MB là phân giác ngoài góc M của tam giác HMN (cmt)  NB là phân giác. 0.25. trong góc N của tam giác HMN  BN  AC ( Hai đường phân giác của hai góc kề bù thì vuông góc với nhau).. 0.25.  BN // HF ( cùng vuông góc với AC) Chứng minh tương tự ta có: EH // CM Vì 0 a b c 1 nên: Câu 6 2,5 điểm. 1 1 c c    ab  1 a  b ab  1 a  b (1) a a b b   Tương tự: bc  1 b  c (2) ; ac  1 a  c (3) a b c a b c      Do đó: bc  1 ac  1 ab  1 b  c a  c a  b (4) a b c 2a 2b 2c 2(a  b  c)       2 a b c Mà b  c a  c a  ba a  b b c a cb  c a  b  c (5)   2 Từ (4) và (5) suy ra: bc  1 ac  1 ab  1 (đpcm) ( a  1)(b  1) 0  ab 1 a  b . Lưu ý: Học sinh làm cách khác đúng thì vẫn cho điểm tối đa. Học sinh không vẽ hình hoặc vẽ hình sai thì không chấm bài hình.. PHÒNG GD& ĐT THANH OAI TRƯỜNG THCS BÌNH MINH. ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Năm học 2013-2014 MÔN TOÁN 7 Thời gian (120 phút).

<span class='text_page_counter'>(21)</span> ĐỀ CHÍNH THỨC Câu 1 (5 điểm) a c  Cho tỉ lệ thức b d với a; b; c; d 0; a b; c d . Chứng minh: b d cd c  và  a) b  a d  c a  b a  a b   b)  c  d . 2013. . a 2013  b 2013 c 2013  d 2013. Câu 2 (6 điểm) 1)Tìm x thỏa mãn một trong các điều kiện sau: x 2 x a) 3  3 810 x  3  x  7 4 x. b) 2) Chứng minh đa thức sau không có nghiệm C  x10  x5  x2  x  1. Câu 3 (2 điểm) a  b ab. a) Chứng minh với mọi a,b  Q ta có b) Áp dụng tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: B x 2  x 8. Câu 4 (7 điểm) 1) Cho tam giác cân ABC, AB = AC. Trên tia đối của các tia BC và CB lấy theo thứ tự hai điểm D và E sao cho BD=CE a) Chứng minh tam giác ADE cân. b) Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh AM là tia phân giác của góc DAE. c) Từ B và C kẻ BH  AD; CK  AE . Chứng minh BH = CK. d) Chứng minh AM;BH;CK gặp nhau tại một điểm 2) Cho tam giác ABC có AB = AC; góc A bằng 1000. Điểm M nằm trong tam giác ABC sao cho góc MBC bằng 100; góc MCB bằng 200. Tình số đo góc AMB. ……………………. Hết…………………. ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM.

<span class='text_page_counter'>(22)</span> Câu Câu1(5đ) 1). Nội dung a c a c b a d  c   1  1     b d b c Từ b d Kết luận a c c d cd     Từ b d a b a  b. Điểm 1,5 đ 1,5 đ. 2) Từ. a c a b a b     b d c d c d  a   c. 2013. b   d. 2013.  a b   c d . 2đ 2013. a 2013  b 2013  2013 c  d 2013. Câu 2(6đ) 1) a) 3x (32  1) 810  3x 81 34  x 4 b)- lập luận có x>0 - Với x>0 ta có x+3+x+7 =4x……..<=>x=5 2) Xét đa thức C = x10 – x5 + x2 – x + 1 - Nếu x = 0 => C = 1 > 0 - Nếu x < 0 => x10 + x2 + 1 > 0; - x5 – x > 0 => C > 0 - Nếu 0< x < 1 ta có C = x10 + x2 (1 – x3) + ( 1 – x) > 0 - Nếu x  1 ta có C = x5 ( x5 – 1) + x(x – 1) + 1 > 0 - Vậy C > 0 với mọi x => kết luận Câu 3(2đ) a) Chứng minh đúng BĐT b) Ta có B = x  2  8  x 6 dấu bằng xảy ra khi (x – 2)(8 – x) 0  2 x  8 Vậy Min B = 6 khi 2 x  8 Câu 4(6đ) Vẽ hình ghi giả thiết, kết luận đúng 1a) Chứng minh  ABD =  ACE (c.g.c) => Kết luận 1b) Chứng minh  MAD =  MAE (c.c.c) => Kết luận 1c) Chứng minh  BHD =  CKE (cạnh huyền. góc nhọn) => Kết luận 1d) Gọi giao của BH và CK là O. Chứng minh AO là tia phân giác của góc DAE. Mà AM là tia phân giác của góc DAE ( cmt) => Kết luận 2) Trên tia đối của tia CA lấy điểm E sao cho CE = CB => góc BEC = góc BEC = 700 - Chứng minh  ABM =  ABE (c.g.c) => góc AMB = góc AEB = 700. 2đ 0,5đ 1,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 1đ 1đ 0,5đ 1,5đ 2đ 1đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ.

<span class='text_page_counter'>(23)</span>

<span class='text_page_counter'>(24)</span>