Tài liệu Chuyên đề dấu của tam thức bậc hai doc

Giải bài kỳ trớc
Bài 1. a) Giải phơng trình x
4
=3x
2
+10x+4
b) x
3
=6x
2
+1
Giải
a) Viết lại phơng trình đã cho dới dạng:



++=++++
+=+ + ++
4222 2
22 2 2
231042
()(32)104
xx xx x
xxx

2

Chọn để vế phải là một hằng đẳng thức, tức là

= + + =
++=
2
32
'25(32)(4 )0
238130
Thấy =1 thoả mãn ( Chú ý chỉ cần chọn một nghiệm )
Vậy ta có:

+= + +
+= +

+= +


+= +


22 2
22
2
2
(1)5105
(1)[5(1)]
15(1)
15(1)
xxx
xx
xx

xx
2

Đây là hai phơng trình bậc hai , từ đó giải đợc nghiệm


++

=


+

=


5145
2
5145
2
x
x

b) x
3
=6x
2
+1 x
3
-6x

2
-1=0 (xem dạng 6- phơng trình bậc 3)
Đặt

= = =+
6
2
33
a
xy y y

Khi đó phơng trình đã cho tơng đơng với phơng trình sau:

++=
=
=
32
3
3
(2)6(2)1
15 0
15
yy
y
y
0

Từ đó nghiệm của phơng trình là
=+
3

21x 5

Bài 2. Giải phơng trình a(ax
2
+bx+c)
2
+b(ax
2
+bx+c)+c=x
Đặt

++=
2
ax bx c y
Ta có hệ phơng trình sau:


+ +=


+ +=


2
2
ax bx c y
ay by c x

Đây là hệ phơng trình đối xứng loại I đã biết cách giải.
Chú ý: Tổng quát hơn khi gặp phơng trình dạng:f(f(x)=x, trong đó f(x) là một

hàm số nào đó thì đặt f(x)=y, ta sẽ có hệ đối xứng loại I:

=


=

()
()
f xy
f yx

Bài 3. (ĐH Ngoại thơng-2000).
Giải phơng trình (x
2
+3x-4)
2
+3(x
2
+3x-4)=x+4
Viết lại phơng trình dới dạng:
(x
2
+3x-4)
2
+3(x
2
+3x-4)-4=x
Đây là dạng cụ thể của bài 2. Đặt x
2

+3x-4=y, ta có hệ:


+=


+=


2
2
34
34
x xy
y yx

Từ hai phơng trình cho nhau, giải ra ta đợc
===0; 4; 1 5xx x


Bài 4.Giải hệ phơng trình
a)

3
3
22
22
xy
yx

=


=


b)
3
3
33
33
x y
yx

=


=



c)
0
3
4
1
8
xyz
xy yz zx
xyz

++=


++=



=



Giải
a)

3
3
22(1
22(2
xy
yx

=


=


)

)
0
Đây là phơng trình đối xứng loại II. Trừ hai phơng trình cho nhau ta đợc

33
22
2( )
()( 2)
xy yx
xyx xyy
xy
=
+++=
=
Thay x=y vào (1) ta đợc:

33
2( 1) 2 2xx xx
==
ở đây p=2, q=-2.
Đặt
2
2.2..
33
p
x t==t
, khi đó ta đợc phơng trình tơng đơng:

3
3

3
3
22
(2 . ) 2.2 . 2
33
22 2
8. . 4. 2
33 3
22
8. 6 3
33
33
43
22
tt
tt
tt
tt
=

=
=
=

Đặt
33
1
22
m= >m
nên phơng trình có nghiệm duy nhất

33
22
33
22
33
22
33
33
1
(1 1)
2
221
2. 2. . ( 1 1)
332
2
.( 1 1)
3
23327 3327
11
38 8
22 22
23319 3319
3
22 22
tmm mm
xt mm mm
xmmmm
=++
= = + +
= + +

=++



+

=+




Vậy nghiệm của hệ phơng trình đã cho là:

33
33
23319 3319
3
22 22
23319 3319
3
22 22
x
y


+

=+






+

=+








b) Giải tơng tự nh a).

c)
0
3
4
1
8
xyz
xy yz zx
xyz

++=


++=



=



áp dụng công thức Viet cho phơng trình bậc ba, khi đó x,y,z là nghiệm của phơng
trình bậc ba sau đây:

3
3
31
0
48
1
43
2
tt
tt
=
=

Vì

1
cos
23

=
nên nghiệm của phơng trình là (xem phơng pháp giải)

2
3
cos ; cos
93

tt



==

Tóm lại phơng trình có ba nghiệm là:

12 3
75
cos ; cos ; cos
99
tt t
9

== =

Từ đó nghiệm của hệ phơng trình là:

75
(cos ;cos ;cos )
99 9

cùng các hoán vị của bộ
ba số này.

Bài 5. Giải các phơng trình
a)
3
1
4x -3x=
2

b)
3
1
43
4
xx
+=

c)x
4
=4x+1
Giải
a),b) Xem cách giải trong phần phơng trình bậc ba.
c)Viết lại phơng trình đã cho dới dạng:

422 2

2241xx xx
2

++=+++


Chọn để vế phải là hằng đẳng thức tức là :

2
'42(1 )0

= + =
Nhận thấy =1 thoả mãn.
Viết lại phơng trình dới dạng:

42 2
22 2
2
2
2124
(1)[2(1)
12(1)
12(1)
xx xx
xx
xx
xx
++=++
+= +

+= +


+= +


2
]

Đây là các phơng trình bậc hai nên có thể giải dễ dàng.

Bài 7
Dấu của tam thức bậc hai
A. Tóm tắt lý thuyết
Chú ý ban đầu: Trớc khi xét một tam thức khi hệ số a chứa tham số, cần xét
riêng trờng hợp a=0. Chỉ khi a 0 các điều sau đây mới đợc thực hiện.
1.Định lý thuận về dấu của tam thức bậc hai
Cho tam thức f(x)=ax
2
+bx+c; trong đó a 0.
+) Nếu <0 thì a.f(x)>0 ; x R, tức là f(x) luôn cùng dấu với hệ số a.
+)Nếu =0 thì a.f(x) 0 x R, f(x) =0
2
b
x
a
=
, tức là f(x) luôn cùng dấu với
hệ số a với mọi
2

b
x
a


+) Nếu >0 thì f(x) =0 có hai nghiệm phân biệt x
1
,x
2
( giả sử x
1
<x
2
) và
*) af(x)<0 x (x
1
;x
2
)
*) a.f(x)>0 x (-;x
1
) (x
2
;+ ). Tức là trong khoảng hai nghiệm thì f(x) trái dấu
với hệ số a, ngoài khoảng hai nghiệm thì f(x) cùng dấu với hệ số a.
2. Định lý đảo về dấu của tam thức bậc hai
2.1 Định lý
Cho tam thức bậc hai f(x) =ax
2
+bx+c. Nếu có một số sao cho a.f( ) <0 thì

f(x) có hai nghiệm x
1
,x
2
và x
1
< <x
2
, tức là nằm giữa hai nghiệm của f(x).
2.2. So sánh nghiệm của phơng trình bậc hai với một số cho trớc.
Cho phơng trình bậc hai f(x) =ax
2
+bx+c=0 ( a 0) có hai nghiệm x
1
,x
2
và một
số . Khi đó
+)
12
.() 0xxaf

<< <

+)

>


>

<<



>

12
12
0
phơng trình có hai nghiệm x ,
.() 0
0
2
x
af
và x x
S

+)





>

>

<<



<

12
12
0
phơng trình có hai nghiệm x ,
.() 0
0
2
x
af
và x x
S

+)



>

+

>

12 12
0
(;)(;) [;]
.() 0
xx xx
af

2.3 So sánh nghiệm của phơng trình bậc hai với hai số cho trớc.
Cho phơng trình f(x) =ax
2
+bx+c=0 ( a 0) có hai nghiệm x
1
,x
2
và hai số ,
(giả sử < ). Khi đó
+)




<<<

<

12
a.f( )<0
( tức là cả hai số đều nằm trong khoảng hai nghiệm)

.( ) 0
xx
af
(Chú ý rằng khi đó phơng trình luôn có hai nghiệm, không cần điều kiện 0)
+)

<Phơng trình có hai nghiệm phân biệt và chỉ có một nghiệm thuộc ( ; ) ( ). ( ) 0ff

+)











<< >



>


<

12
0
a.f( )>0
(tức là cả hai nghiệm đều nằm trong khoản
g hai số) a.f( ) 0
0
2
0
2
xx
S
S

B. Phơng pháp giải và ví dụ minh hoạ
Dạng 1: Xét dấu một biểu thức và áp dụng để giải bất phơng trình hữu tỉ.
a) Xét dấu một biểu thức E.
+) Viết E dới dạng tích của các nhân tử là tam thức bậc hai và nhị thức bậc nhất.
+)Lập bảng xét dấu.
b)Giải bất phơng trình hữu tỉ.
+) Chuyển tất cả các hạng tử sang một vế
+)Rút gọn biểu thức có đợc
+) Xét dấu biểu thức đó
+)Dựa vào bảng xét dấu để chọn miền nghiệm