Rèn luyện năng lực huy động kiến thức cho học sinh trong dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề luận văn thạc sỹ toán học

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƢỜNG ĐẠI HỌC VINH

ĐẶNG NGỌC THU

RÈN LUYỆN NĂNG LỰC HUY ĐỘNG KIẾN THỨC
CHO HỌC SINH TRONG DẠY HỌC
PHÁT HIỆN VÀ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

NGHỆ AN, 2012


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƢỜNG ĐẠI HỌC VINH

ĐẶNG NGỌC THU

RÈN LUYỆN NĂNG LỰC HUY ĐỘNG KIẾN THỨC
CHO HỌC SINH TRONG DẠY HỌC
PHÁT HIỆN VÀ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

Chuyên ngành: Lý luận và Phƣơng pháp dạy học bộ mơn Tốn
Mã số: 60.14.10

Người hướng dẫn khoa học
TS. NGUYỄN VĂN THUẬN

NGHỆ AN, 2012


LỜI CẢM ƠN
Tơi xin bày tỏ lịng kính trọng và biết ơn sâu sắc đến
Tiến sĩ Nguyễn Vău Thuận cùng quý thầy cô giảng dạy chuyên ngành
Lý luận và Phương pháp dạy học bộ mơn Tốn Trường Đại Học Vinh, những
người đã nhiệt tình truyền thụ cho chúng tơi những kiến thức vô cùng quý báu
và hướng dẫn cho chúng tơi phương pháp nghiên cứu khoa học. Đó là những
tri thức, những hành trang giúp chúng tôi ngày càng trưởng thành trong công
tác và trong cuộc sống.
Tôi cũng xin chân thành cảm ơn quý thầy cô trường Đai Học Sài Gịn đã
tạo điều kiện thuận lợi cho chúng tơi trong suốt thời gian học tập tại cơ sở của
trường.
Tôi cũng xin chân thành cảm ơn bạn bè, đồng nghiệp và gia đình ln
chia sẻ động viên và giúp đỡ tơi trong q trình học tập và nghiên cứu.
Tuy đã có nhiều cố gắng, nhưng luận văn không tránh khỏi những thiếu
sót, tơi rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của q thầy cơ và bạn
đọc.
Nghệ An, 2012
Tác giả
Đặng Ngọc Thu


DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT
TRONG LUẬN VĂN

Viết tắt
HĐ
HĐKT

PP
PPDH
GV
THPT

Viết đầy đủ
Hoạt động
Huy động kiến thức
Phương pháp
Phương pháp dạy học
Giáo viên
Trung học phổ thông

HS

Học sinh

PT

Phổ thông

SGK
GDTX

Sách giáo khoa
Giáo dục Thường xuyên


MỤC LỤC
MỞ ĐẦU

CHƢƠNG I: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

Trang
1
55

1.1 Một số vấn đề cơ bản về năng lực HĐKT

5

1.2 Một số dạng biểu hiện cơ bản của năng lực HĐKT
1.3 Phát triển năng lực HĐKT cho HS thông qua việc vận dụng
phương pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề

11
25

11
25

1.4 Một số tri thức định hướng năng lực huy động kiến thức

30

30

1.5 Một số khó khăn, trở ngại trong khi dạy và học các kiến thức
về phương pháp tọa độ trong không gian

32

1.6 Thực trạng về việc hình thành và bồi dưỡng năng lực HĐKT
Trong dạy học tốn hiện nay thơng qua chủ đề " Phương pháp
tọa độ trong không gian"

34

1.7 Kết luận chương 1

35
37

CHƢƠNG II: RÈN LUYỆN NĂNG LỰC HUY ĐỘNG KIẾN
THỨC CHO HỌC SINH TRONG DẠY HỌC PHÁT HIỆN VÀ
GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ THÔNG QUA CHỦ ĐỀ PHƢƠNG
PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

32

2.1 Các định hướng xây dựng và thực hiện các phương thức Sư
phạm

37

2.2 Một số phương thức rèn luyện năng lực huy động kiến thức
chủ đề phương pháp tọa độ trong không gian

38

2.3 Kết luận chương 2

CHƢƠNG III: THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM

35

cho học
38

77
7878

77

3.1 Mục đích thực nghiệm

78

78

3.2 Nội dung thực nghiệm

78

78

3.3 Tổ chức thực nghiệm

78

78

3.4 Kết luận về thực nghiệm sư phạm

87

87

3.5 Kết luận về thực nghiệm sư phạm
KẾT LUẬN

88
9090

88

TÀI LIỆU THAM KHẢO

91
91


1

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
1. Trong xu thế hội nhập và phát triển thì Giáo dục & Đào tạo lại càng
được Đảng và nhà nước đặc biệt quan tâm, điều đó đã thể hiện rõ trong luật
giáo dục Việt Nam năm 2005, tại chương 2, điều 23 đã viết: “Mục tiêu của
giáo dục Trung học Phổ thông nhằm giúp học sinh củng cố và phát triển
những kết quả của giáo dục Trung học cơ sở, hoàn thiện học vấn phổ thông
và những hiểu biết thông thường về kỹ thuật và hướng nghiệp để tiếp tục học

Đại học, Cao đẳng, Trung học chuyên nghiệp, học nghề hoặc đi vào cuộc
sống lao động”.
Để đạt được mục tiêu đó thì GV là người được giao phó trọng trách
tiếp thu những kiến thức, những phương pháp dạy học tiến tiến, hiện đại;
Những hiểu biết của mình để truyền đạt, giáo dục cho học sinh phát triển tồn
diện về đạo đức, trí tuệ, thể chất, thẩm mỹ và các kỹ năng cơ bản.
Người GV phải thực sự tâm huyết với nghề, phải luôn biết trăn trở để
tìm ra những giải pháp tích cực, có hiệu quả cao trong giảng dạy đồng thời
giáo dục cho học sinh phát huy ý thức tổ chức quá trình tự học, tự tìm tịi
khám phá tri thức để tự hoàn thiện bản thân. Và một trong những vấn đề mà
giáo dục đang quan tâm nữa là làm sao để học sinh phải biết vận dụng kiến
thức đã có của mình vào thực tiễn. Để làm được điều đó thì trước hết phải
đào tạo cho họ có trình độ và một năng lực nhất định, và năng lực đó cần phải
được bồi dưỡng thường xuyên.
2. Hiện nay năng lực HĐKT trong dạy học toán ở các trường THPT
chưa được quan tâm đúng mức, học sinh còn gặp một số khó khăn trong việc
phát hiện cách giải quyết vấn đề. Dạy tốn khơng chỉ đơn thuần là dạy kiến
thức mà còn dạy cho học sinh cách huy động kiến thức sao cho phù hợp để
khi đứng trước một vấn đề các em có thể biết cách lựa chọn tri thức phù hợp
và đúng đắn. Song áp dụng như thế nào cịn phụ thuộc vào năng lực HĐKT
của chính các em. Với yêu cầu đổi mới dạy học toán ở trường THPT hiện nay


2

địi hỏi học sinh phải hoạt động tích cực để tự chiếm lĩnh tri thức cho bản
thân.
Phương pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề giúp học sinh vừa
nắm được tri thức mới, vừa nắm được phương pháp chiếm lĩnh tri thức đó,
phát triển tư duy tích cực, sáng tạo; Đồng thời chuẩn bị cho học sinh một năng

lực thích ứng với xã hội, phát hiện kịp thời và giải quyết hợp lý các vấn đề nảy
sinh trong học tập, trong cuộc sống cá nhân, gia đình và xã hội.
3. Chúng tôi quan niệm các năng lực huy động kiến thức để giải quyết
vấn đề tuỳ mức độ khác nhau được vận dụng trong nhiều phương pháp dạy
học tích cực, dạy học theo quan điểm phát hiện. Từ nhu cầu thực tế đó nên
cũng đã có một số cơng trình nghiên cứu về năng lực huy động kiến thức và
cách huy động kiến thức có hiệu quả, nhưng để làm sáng tỏ vào chủ đề cụ thể
“Rèn luyện năng lực huy động kiến thức trong dạy học phương pháp tọa độ
trong khơng gian” thì chưa được nghiên cứu.
Vì những lí do nói trên chúng tơi lựa chọn đề tài nghiên cứu:
Rèn luyện năng lực huy động kiến thức cho học sinh trong dạy học
phát hiện và giải quyết vấn đề ở trường THPT thể hiện qua chủ đề:
“Phương pháp tọa độ trong khơng gian”.
2. Mục đích nghiên cứu
2.1. Nhằm phát triển năng lực huy động kiến thức của học sinh.
2.2. Đề xuất một số phương thức rèn luyện năng lực huy động kiến
thức đã có của học sinh thơng qua dạy học giải tốn chủ đề “Phương pháp
tọa độ trong không gian”.
3. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu
3.1. Nghiên cứu cơ sở lý luận về năng lực huy động kiến thức, các
dạng năng lực huy động kiến thức.
3.2. Nghiên cứu một số phương thức tăng cường năng lực huy động
kiến thức của học sinh bằng phương pháp dạỵ học phát hiện và giải quyết vấn
đề theo chủ đề “Phương pháp tọa độ trong không gian”.


3

3.3. Tổ chức thực nghiệm nhằm đánh giá tính khả thi của các phương
thức đã đề xuất.

4. Giả thuyết khoa học
Có thể đề xuất một số phương thức nhằm phát triển năng lực huy động
kiến thức trong dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề của học sinh ở trường
THPT thể hiện qua chủ đề kiến thức “Phương pháp tọa độ trong khơng gian”
nói riêng vào dạy học mơn tốn nói chung sẽ góp phần đạt được mục tiêu
chương trình sách giáo khoa.
5. Nhiệm vụ nghiên cứu
5.1. Nghiên cứu cơ sở lý luận về năng lực huy động kiến thức, các
dạng năng lực huy động kiến thức.
5.2. Tổ chức điều tra thực trạng của việc rèn luyện năng lực huy động
kiến thức của học sinh trong dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề theo chủ
đề “Phương pháp tọa độ trong không gian”.
5.3. Nghiên cứu việc đề xuất một số phương thức nhằm xây dựng và
phát triển bài toán theo một chuỗi các bài toán liên quan.
5.4. Tổ chức thực nghiệm sư phạm nhằm đánh giá mức độ khả thi của
các phương thức đã được đề xuất.
6. Phƣơng pháp nghiên cứu
6.1. Nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu sách, báo, tạp chí về khoa học
tốn học, giáo dục học, tâm lý học... liên quan đến đề tài.
6.2. Quan sát: Dự giờ, quan sát việc dạy của giáo viên, việc học của
học sinh, thăm dò các ý kiến của giáo viên về các vấn đề nghiên cứu liên
quan.
6.3. Thực nghiệm sư phạm: Tổ chức thực nghiệm kiểm chứng thông
qua các lớp học thực nghiệm và các lớp học đối chứng trên cùng một lớp đối
tượng.
6.4. Xử lý số liệu thực tiễn và thực nghiệm bằng phương pháp thống kê
toán học.


4

7. Dự kiến đóng góp của luận văn
7.1. Về mặt lý luận
- Xác định được vai trò và sự cần thiết phải rèn luyện năng lực huy
động kiến thức đã có của học sinh ở trường phổ thơng.
- Thấy được một số dạng biểu hiện cơ bản của năng lực HĐKT.
- Xác định được các phương thức dạy học nhằm phát triển năng lực
HĐKT của Học sinh.
7.2. Về mặt thực tiễn
- Đóng góp vào q trình hình thành và phát triển tri thức ở học sinh.
- Luận văn có thể làm tài liệu tham khảo cho sinh viên, giáo viên các
trường THPT.
8. Dự kiến cấu trúc của luận văn
Ngoài phần Mở đầu và Kết luận, nội dung luận văn gồm 3 chương:
Chương 1: Cơ sở lý luận và thực tiển.
Chương 2: Rèn luyện năng lực huy động kiến thức cho học sinh trong
day học phát hiện và giải quyết vấn đề thể hiện qua chủ đề phương pháp tọa độ
trong không gian.
Chương 3: Thực nghiệm sư phạm


5

Chƣơng 1
CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1 . Một số vấn đề cơ bản về năng lực HĐK T
1.1.1. Khái niệm về năng lực, năng lực HĐKT
Một số công trình nghiên cứu về tâm lý học và giáo dục học chỉ ra rằng
qua quá trình hoạt động học sinh dần hình thành tri thức, kĩ năng, kĩ xảo cho
bản thân. Và từ những nền tản đó họ bắt đầu phát triển những khả năng của

mình ở mức độ từ thấp đến cao. Cho đến một lúc nào đó sự phát triển bên
trong đủ khả năng giải quyết những vấn đề xuất hiện trong học tập và trong
cuộc sống thì lúc đó học sinh sẽ có những năng lực nhất định.
Vậy thế nào là năng lực? Khái niệm này cho đến nay vẫn có nhiều
cách hiểu và cách diễn đạt khác nhau, dưới đây là một số cách hiểu về năng
lực. Theo từ điển Tiếng Việt thì: “Năng lực là phẩm chất tâm lý tạo ra cho
con người hoàn thành một loại hoạt động nào đó với chất lượng cao”.
Năng lực là một khái niệm tích hợp ở chỗ nó bao hàm cả những nội
dung, những hoạt động cần thực hiện và những tình huống trong đó diễn ra
các hoạt động. Garard và Roegies đã định nghĩa: “Năng lực là một t ích hợp
những kĩ năng cho phép nhận biết một tình huống và đáp ứng với tình huống
đó tương đối thích hợp và một cách tự nhiên”.
Cịn ở Việt Nam tác giả Trần Đình Châu quan niệm: “Năng lực là
những đặc điểm cá nhân của con người đáp ứng yêu cầu của một loại hoạt
động nhất định và là điều kiện cần thiết để hoàn thành xuất sắc một số loại
hoạt động đó”. Tác giả Phạm Minh Hạc thì cho rằng: “Năng lực là một tổ hợp
đặc điểm tâm lí của con người, tổ hợp này vận hành theo một mục đích nhất
định tạo ra kết quả của một hoạt động nào đấy”.
Cho dù cách tiếp cận khác nhau nhưng ta thấy năng lực biểu hiện bởi
các đặc trưng:


6

- Cấu trúc của năng lực là tổ hợp nhiều kĩ năng thực hiện những hoạt
động thành phần có quan hệ chặt chẽ với nhau.
- Năng lực tồn tại và phát triển thơng qua hoạt động; nói đến năng lực
tức là gắn với khả năng hoàn thành một hoạt động nào đó của cá nhân.
- Năng lực chỉ nảy sinh trong hoạt động giải quyết những yêu cầu mới
mẽ và do đó nó gắn liền với tính sáng tạo tư duy có khác nhau về mức độ.

- Năng lực có thể rèn luyện và phát triển được.
- Với các cá nhân khác nhau có các năng lực khác nhau.
Ở mỗi người có những loại năng lực khác nhau và hai người khác nhau
thì có những năng lực khác nhau và tố chất ở họ khác nhau.
G.Polia nói: “Tất cả những tư liệu, yếu tố phụ, các định lý... sử dụng
trong q trình giải bài tốn được lấy từ đâu? Người giải đã tích lũy được
kiến thức đó trong trí nhớ, giờ đây rút ra và vận dụng một cách thích hợp để
giải bài toán. Chúng ta gọi việc nhớ lại có chọn lọc các tri thức như vậy là sự
huy động, việc làm cho chúng thích ứng với bài tốn đang giải là sự tổ chức”.
Như vậy ta có thể hiểu “huy động” là việc nhớ lại có chọn lọc các kiến
thức mà mình đã có thích ứng với một vấn đề đặt ra mà mình cần giải quyết
trong vốn tri thức của bản thân.
Năng lực huy động kiến thức là gì? Chúng ta có thể hiểu nó như sau:
Năng lực huy động kiến thức là một tổ hợp những đặc điểm tâm lý của con
người, đáp ứng việc nhớ lại có chọn lọc những kiến thức mà mình đã có thích
ứng với một vấn đề đặt ra trong vốn tri thức của bản thân. Tốn học là một
mơn khoa học có tính logic, hệ thống và kế thừa rất cao. Mọi kiến thức toán
học đều xây dựng chặt chẽ và có cơ sở rất rõ ràng. Tri thức trước chuẩn bị
cho tri thức sau, tri thức sau dựa vào tri thức trước, chúng liên kết lại với
nhau như những mắt xích.
Một kiến thức tốn học mới hay một bài tập tốn đ ược đưa ra thì nó
ln nằm trong hệ thống tốn học đó, nó khơng thể tách rời, khơng tự sinh ra
một cách độc lập mà có những cơ sở nhất định nằm trong hệ thống kiến thức


7

đã có trước đó. Để giải quyết được vấn đề chúng ta nhất thiết phải dựa vào
những kiến thức cũ. Song để coi kiến thức nào là phù hợp với vấn đề đặt ra,
kiến thức cũ sẽ sử dụng thế nào, đó chính là năng lực huy động kiến thức. Tất

cả chúng ta - những người thầy luôn phải đưa ra những lời khun kịp thời và
có ích để khuyến khích học sinh tìm tịi phát hiện. Có thể bắt đầu từ những
câu hỏi của G.Polya như “Ta đã gặp bài toán này lần nào chưa? Hay là ta đã
gặp nó dưới một dạng hơi khác”. Cịn người giải tốn phải biết sắp xếp, lưu
trữ kiến thức trong đầu sao cho hợp lý để khi cần huy động được chính xác,
đầy đủ và phải biết giữ trong trí nhớ cái bản chất của những kiến thức toán
học dưới dạng định lý đã chứng minh.
Như vậy có thể khẳng định: Khơng HĐKT thì khơng thể giải được bài
tập tốn và cao hơn nữa là không thể kiến tạo tri thức cho bản thân.
Ta có thể minh họa thơng qua ví dụ sau:
Ví dụ 1: Cho 4 điểm A, B, C, D. Chứng minh rằng:
2

2

2

2

AB  CD khi và chỉ khi AC + BD = AD + BC

Bài toán đề cập mối quan hệ vng góc giữa các cạnh của một tứ diện.
Hãy huy động những định lý đã biết, tính chất đã biết về quan hệ giữa các
cạnh của tứ diện, về các phép tốn trên vectơ, về quan hệ vng góc:

AB  BC  AC

(1)

AB  AC  CB

(2)

AB2 + AC2 = BC2

(3)

AB  CD  AB .CD = 0

(4)

Để chọn lọc những kiến thức thích hợp, trước hết ta hãy loại (3) vì
chúng đề cập đến định lý Pytago cho tam giác vng mà ở bài tốn này hai
cạnh vng góc với nhau khơng cùng thuộc một tam giác.
Từ dữ kiện bài tốn ta có:
AC2 + BD2 = AD2 + BC2
2

2

2

 AC - AD = BC - BD

2


8

 ( AC  AD)( AC  AD ) =( BC  BD)( BC  BD )

 2 DC AI  2 DC BI (Với I là trung điểm CD)
 2DC( AI  BI )  0


AB  CD

 AB  .CD = 0 (đpcm)

1.1.2. Vai trò và sự cần thiết phải rèn luyện năng lực HĐKT trong
dạy học toán
Ta đã biết năng lực định hướng là tìm tịi cách thức giải quyết vấn đề,
tìm tịi lời giải các bài toán được xác định trên cơ sở các khả năng của học
sinh như: khả năng phát hiện các đối tượng và quan hệ trong mối liên hệ
tương tự; Khả năng phát hiện ý tưởng nhờ nắm quan hệ giữa kết quả và
nguyên nhân; Khả năng nhìn nhận một vấn đề theo nhiều quan điểm khác
nhau; Khả năng nhận dạng và thể hiện các phương pháp. Nhưng năng lực
HĐKT còn đòi hỏi ở mức độ cụ thể cao hơn so với năng lực định hướng và
nó bao trùm lên năng lực định hướng.
Năng lực HĐKT không phải là điều bất biến, một bài tốn nếu đặt vào
thời điểm này có thể không giải được, hoặc giải được, chứng minh được một
cách rất máy móc, dài dịng, nhưng đặt trong thời điểm khác (có thể khơng xa
lắm), nếu có năng lực huy động kiến thức tốt, học sinh có thể giải quyết vấn
đề một cách rất độc đáo, hay.
Ví dụ 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho bốn điểm
S(3; 1; -2), A(5; 3; -1), B(2; 3; -4), C(1; 2; 0)
Chứng minh rằng hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều và ba
mặt bên là các tam giác vng cân
Với bài tốn này nếu ra cho học sinh lớp 9 chắc chắn các em sẽ liên
tưởng đến tri thức cội nguồn: Tam giác ABC đều khi và chỉ khi ba cạnh của
tam giác bằng nhau hay ba góc của tam giác bằng nhau và bằng 60 0. Còn tam

giác vng cân là tam giác có hai canh bằng nhau và một góc vng. Hướng


9

suy nghĩ đó hồn tồn đúng và nó phù hợp trong một chừng mực khi kiến
thức về tọa độ trong không gian các em chưa được trang bị. Đối với học sinh
lớp 12 sẽ giải quyết bài toán này bằng phương pháp tọa độ như sau:
Xác định tọa độ các vectơ:

SA  (2; 2;1)
SB  (  1; 2 ;2 )

SC  (  2 ;1;  2 )
Vận dụng điều kiện vng góc và tính độ dài các cạnh:

SA.SB  SB.SC  SA.SC  0 và SA = SB = SC = 3
Ta suy ra được:  ASB,  ASC,  BSC vuông cân tại S.
Mặt khác AB = BC = CA = 3 2
Suy ra tam giác ABC là tam giác đều (đpcm)
Như vậy nếu biết HĐKT cộng năng lực giải quyết vấn đề tốt thì cách
giải sẽ gọn gàng hơn nhiều. Học sinh mà liên tưởng kém thì bài tốn sẽ trở
nên khó khăn hoặc là giải rất dài dịng. Trong q trình giải một bài tốn cụ
thể nào đó, người giải chỉ cần sử dụng một phần kiến thức mà mình đã có.
Cần sử dụng kiến thức nào, cần xem xét những mối liên hệ nào điều đó phụ
thuộc vào khả năng chọn lọc của người giải. Do vậy việc thu nhận, lưu trữ
kiến thức một cách khoa học cũng là một yếu tố quan trọng cho việc HĐKT,
mỗi một dạng toán, một đơn vị kiến thức nếu biết cách sắp xếp theo một trật
tự thích hợp như chúng ta phân loại sách trên giá thì khi cần đến có thể dễ
dàng huy động nó.

Trong các thành phần của cấu trúc năng lực toán học, cần thiết phải rèn
luyện cho học sinh năng lực liên tưởng, năng lực HĐKT và đặc biệt là ứng
dụng kiến thức vào giải quyết các bài toán, chẳng hạn khi giải một phương
trình bậc hai đối với tan và cot thì học sinh phải liên tưởng ngay đến việc đặt


10

ẩn phụ để đưa về giải phương trình bậc hai đối với ẩn phụ đó. Việc rèn luyện
các năng lực cũng như HĐKT làm sao cho đúng mà hiệu quả là việc làm
thường xuyên của giáo viên đối với học sinh hoặc chính bản thân học sinh.
Khi bồi dưỡng năng lực HĐKT cần yêu cầu các em phải tìm và hiểu
sâu sắc kiến thức cội nguồn của vấn đề. Việc làm này vừa có tác dụng củng
cố, vừa có tác dụng kiểm tra khả năng tư duy của học sinh để trong trường
hợp nếu hiểu sai bản chất sẽ được uốn nắn và bổ sung kịp thời.
Ví dụ 3: Cho đường thẳng d1 đi qua điểm M1(0; 0; 1) và có vtcp
u1  (0;1;0) , đường thẳng d2 đi qua điểm M 2 (0; 0; -1) và có vtcp u2  (0;1;0) .

Tìm tập hợp các điểm M nằm trong mỗi mặt phẳng tọa độ cà cách đều d1, d2.
Với M (x; y; z) bất kỳ, ta có

MM1  ( x ;  y ;1  z ) và MM 2    x ;  y ;  1  z 
  MM1 , u1    z 1;0;  x 



  MM 2 , u2    0;  1  z ; y 




 MM 1 , u1 
2

h  d ( M , d )  
  z 1  x 2
1
1

u1


 MM 2 , u2 

2

h2  d ( M , d 2 )  
  z  1  y 2

u2

M cách đều d1 và d2  h1 = h2
2

2

2

2

 (z – 1) + x = (z + 1) + y

2

2

 x – 2z = y + 2z
2

2

 x – y = 4z (1)

Vậy tập hợp các điểm M cách đều d1 và d2 nghiệm đúng phương trình:
x2 – y2 = 4z
Lời giải thiếu các trường hợp của M khi M nằm trên mỗi mặt phẳng tọa
độ.
Trường hợp 1


11

M  mp(Oxy), khi đó z = 0 nên từ (1) ta được y =  x
Vậy quỹ tích của điểm M là hai đường thẳng y = x, y = -x nằm trong
mp(Oxy)
Trường hợp 2
M  mp(Oyz), khi đó x = 0 nên từ (1) ta được y2 = - 4z
Vậy quỹ tích của điểm M là parabol y2 = - 4z nằm trong mp(Oyz)
Trường hợp 3
M  mp(Oxz), khi đó y = 0 nên từ (1) ta được x 2 = 4z
Vậy quỹ tích của điểm M là parabol x2 = 4z nằm trong mp(Oxz)
Cái sai ở đây là tri thức cội nguồn nắm không vững dẫn đến là xét thiếu

các trường hợp. Hoặc đôi khi hiểu một cách máy móc, áp dụng vấn đề khơng
linh hoạt cũng dẫn đến việc HĐKT sai.
HĐKT là một trong những nhân tố quan trọng của hoạt động tốn học
nó giải quyết những mâu thuẫn trong q trình giải tốn cũng như những nhu
cầu của toán học. Việc bồi dưỡng năng lực HĐKT là nhiệm vụ quan trọng
trong dạy, học tốn. Nó đóng góp vào q trình đổi mới phương pháp dạy học
hiện nay.
HĐKT có thể xem là một chuỗi các hoạt động như: HĐ lựa chọn các
cơng cụ thích hợp, HĐ dự đoán vấn đề, HĐ qui lạ về quen nhờ biến đổi đối
tượng, HĐ chuyển đổi ngôn ngữ. Nếu thành thạo các HĐ này chính là đã làm
tốt năng lực HĐKT học sinh sẽ hiểu sâu sắc kiến thức toán học ở trường phổ
thông, thấy được mối quan hệ biện chứng giữa những nội dung kiến thức của
từng chương, mục trong SGK, đóng góp vào sự phát triển tư duy logic, tư duy
biện chứng, khả năng kiến tạo tri thức cho bản thân.
1.2. Một số dạng biểu hiện cơ bản của năng lực HĐKT
1.2.1 Năng lực dự đoán vấn đề
Khi kiểm tra một tình huống hoặc tiến hành theo dõi liên tục trong một
quãng thời gian, sau đó đưa ra ý kiến nhận xét về những gì có khả năng xảy
ra thì ta đã làm cơng việc dự đốn. Để có dự đốn mang tính chuẩn xác cao,


12

cần phải xem xét các bằng chứng một cách cẩn thận trước khi đưa ra điều dự
đốn của mình.
Theo Đào Văn Trung mơ tả: “Dự đốn là một phương pháp tư tưởng
được ứng dụng rộng rãi trong nghiên cứu khoa học. Đó là căn cứ vào các
nguyên lý và sự thật đã biết để nêu lên những hiện tượng và quy luật chưa
biết. Hay, dự đoán là sự nhảy vọt từ giả thuyết sang kết luận”.
Dự đốn có vai trị quan trọng như thế trong khoa học, trong cuộc sống,

vậy liệu có cách nào học được dự đốn hay khơng? Theo G.Polia thì “...trừ
những người được trời phú cho năng khiếu tự nhiên, còn lại chúng ta cần phải
học tập để có được năng khiếu dự đốn đó. Q trình dự đốn có kết quả khi
phán đốn mà chúng ta đưa ra gần với chân lý nhất, cần nghiên cứu dự đốn
của mình, so sánh chúng với các sự kiện, đổi dạng chúng đi nếu cần, và như
vậy sẽ có kinh nghiệm phong phú và sâu sắc về các dự đốn sai và các dự
đốn đúng. Những dự đốn có thể rất táo bạo nhưng phải có căn cứ dựa trên
những qui tắc, kinh nghiệm nhất định chứ không phải là đốn mị, càng
khơng phải là nghĩ liều”.
Để có năng lực dự đốn, phát hiện vấn đề thì điều kiện tiên quyết là
học sinh phải giải thật nhiều dạng toán, phải biết tích luỹ kinh nghiệm. Họ
cần phải được rèn luyện các năng lực thành tố như: Năng lực xem xét các đối
tượng Toán học, năng lực tư duy biện chứng; năng lực so sánh, phân tích,
tổng hợp, đặc biệt hoá, tổng quát hoá; năng lực liên tưởng các đối tượng,
quan hệ đã biết với các đối tượng tương tự, quan hệ tương tự. Chúng ta hãy
thử làm một điều dự đốn trong ví dụ sau:
Ví dụ 4: Dạy học định lí cosin trong tam giác (Hình học 10)
Khi tính các yếu tố trong tam giác bất kì thì định lí Pitago xem ra phải
chịu “bất lực”, lúc này chúng ta mong mỏi có một định lí hay một cơng thức
nào đó để có thể giải quyết được nó. Bây giờ ta sẽ đi tìm kiếm, rồi dự đốn để
tìm ra mối liên hệ giữa cạnh và các góc trong tam giác.


13

Đặc biệt hoá là một năng lực của tư duy, đơi khi nó giúp ta định hướng
được cách giải quyết vấn đề. Trước hết ta xét các trường hợp của góc A lần
lượt là: 900, 1200, 600, 300.
Gọi H là chân đường cao xuất phát từ đỉnh B.
Trường hợp 1: Tam giác ABC có Aˆ = 1200

Khi đó có thể đưa về định lí Pitago trong tam giác vng và đi tới công thức:
a2 = BC2 = BH2 + HC2
= (AB.sin600)2 + (AB.cos602+AC)2= c2 + b2+bc (1)
Trường hợp 2: Tam giác ABC có Aˆ = 600. Đưa về định lí Pitago,
ta có:
a2 = BC2 = AH2 + HC2 = (AB.sin600) 2 + (AC-AH)2
=c2 + b2 -bc (2)
Trường hợp 3: Tam giác ABC có Aˆ =300. Ta áp dụng Pitago cho tam
giác vng thì:
a2= BC2 = AH2 +HC2 = (AB.sin300) +(AC-AH)2
= c2 + b2- bc 3(3)
Tam giác ABC có Aˆ = 900: a2 = c2 + b2 (4) (a là cạnh huyền ABC)
Từ (1), (2), (3), (4) hãy dự đoán xem với tam giác ABC bất kì thì:
a2= c2 + b2 - bc (*), trong đó  là đại lượng nào phụ thuộc vào góc
A?
Học sinh có thể dự đốn với ô trống là sinA, cosA..., chẳng hạn:
+) Nếu ô trống là sinA thì Aˆ = 900, (*) trở thành a2 = c2 + b2 - bc (sai).
+) Nếu ô trống là cosA thì Aˆ =900, (*) trở thành a2 = c2 + b2 (đúng).
Nhưng Aˆ = 300 (*) trở thành a2 = c2 + b2 - bc

3
không đúng với (3).
2

Vậy phải điều chỉnh lại (*) để khi cho Aˆ = 300 thì (*) trùng với (3),
chẳng hạn cho ơ trống là 2cosA.
2
2
2
Dự đoán cuối cùng là: a = c + b - 2bc.cosA (**)

Giáo viên đề nghị học sinh chứng minh công thức (**).


14

Như vậy chúng ta đã hồn thành xong cơng việc trong đó có sự gợi ý,
dẫn dắt của giáo viên và sự nổ lực của học sinh để có thể có những sáng tạo
nho nhỏ mà dần dần thắp sáng niềm say mê tốn học ở học sinh.
Ví dụ 5: Cho hai điểm A(-1; 3; 2) , B(2, 3, -1) và mặt phẳng

  : 2x – y - 3z + 5 = 0.
Tìm điểm C thuộc mặt phẳng   sao cho tam giác ABC là tam giác
đều
Phân tích
- C thuộc mặt phẳng   .
- Xác định tọa đô điểm C sao cho tam giác ABC là tam giác đều
Dự đoán
CA = CB = BC và tọa độ điểm C nghiệm đúng phương trình mặt
phẳng   .
Ta sẽ tìm C để làm rõ luận điểm này:
Với E, F lần lượt là trung điểm của các đoạn AB, CD theo thứ tự đó
nên:
IA  IB  2 IE (1)

IC  ID  2 IF 2

Từ (1) và (2)  IA  IB  IC  ID  2( IF  IE )
Giả thuyết: IA  IB  IC  ID  0  IF  IE  0
Vậy I là trung điểm của EF (đpcm)

Tất cả những người giải toán đều phải xây dựng các phỏng đoán hay đề
ra giả thiết và đó chính là năng lực dự đốn vấn đề của họ. Như vậy thì điều
kiện cần để có một năng lực dự đốn tốt là người giải tốn phải khơng ngừng
tích lũy vốn tri thức, biết nhìn nhận vấn đề theo nhiều góc độ và khi họ cọ sát
nhiều với dạng tốn khác nhau sẽ có thêm những kinh nghiệm quí báu cho
bản thân.


15

1.2.2. Năng lực chuyển đổi ngôn ngữ
Đứng trước một vấn đề, học sinh có thể gặp khó khăn khi tìm cách giải
quyết hoặc là muốn có nhiều cách giải quyết khác nhau. Một trong những
phương án có thể đáp ứng được nhu cầu đó là năng lực chuyển đổi ngơn ngữ
của bài tốn.
Năng lực chuyển đổi ngơn ngữ là một trong những năng lực quan trọng
để huy động kiến thức đối với việc giải tốn. Nó được thể hiện qua các HĐ
như:
- HĐ chuyển đổi ngơn ngữ nhìn nhận một nội dung tốn học theo mối
liên hệ liên mơn: đại số hố, hình học hố, lượng giác hố...
- HĐ chuyển đổi ngơn ngữ trong nội tại hình học: từ phương pháp tổng
hợp sang phương pháp giải tích (gồm có phương pháp véctơ và phương pháp
toạ độ), hoặc phương pháp biến hình.
Ví dụ sau đây cho thấy sự cần thiết phải chuyển đổi ngơn ngữ từ đại số
sang hình học hay ta nói là phương pháp hình học hố.
2008

2008

2008

x
+y +z =3 (1)
2009
2009
2009
Ví dụ 6: Giải hệ phương trình: x +y +z =3 (2) với x, y, z >0
x2010+y2010+z2010=3 (3)

Đa số học sinh sẽ thấy ngợp hoặc lúng túng khi đứng trước bài tốn
này, vì thơng thường các em liên tưởng đến phương pháp đánh giá, nhưng
việc đánh giá lại gặp khó khăn. Để hướng dẫn học sinh hoạt động nhận thức
phát hiện cách giải, GV có thể yêu cầu học sinh xét ý nghĩa hình học của các
biểu thức ở vế trái của hệ PT trên và nhận thấy nó là bình phương vơ hướng
của một véctơ, chẳng hạn: x 2008=x1004.2= (x1004) 2 để các em biết dịch chuyển
ngôn ngữ, sử dụng phương pháp véctơ vào giải tốn:


Xét trong khơng gian Oxyz: X (x1004, y1004, z1004); Y (x1005,y1005,z 1005)
X  3
Hãy để ý (1),(3)  
;
Y

3



(2)  X .Y  3

16

Vậy: X .Y  X Y  COS ( X , Y ) 1. Do đó X  Y
Hay: x2008=x2009; y2009=y2008; z2010=z2009.
Vậy (x, y, z)=(1, 1, 1) là nghiệm duy nhất của hệ. Ta đã giải xong bài
toán một cách nhẹ nhàng. Nhận thấy số mũ của hệ phương trình là các số tự
nhiên liên tiếp nhau nên nếu khái qt hố một chút sẽ có bài tốn sau:

 x 2n  y2n  z 2n  3
 2n 1 2n 1 2n 1
x  y  z 3
Giải hệ phương trình: 
 x 2n  2  y2n  2  z 2n  2 =3

Trong một số trường hợp cần phải chuyển hóa hình thức của đối tượng
cho phù hợp với nội dung để phát hiện cách huy động kiến thức đúng đắn
trong HĐ nhận thức, việc chuyển hố đó có khi phải nhờ đến HĐ lượng giác
hố. Ta xét ví dụ.

2

2x+ x y= y
2
Ví dụ 7: Giải hệ phương trình: 2y+ y z =z 
2z +z2x = x


2x
 y  1  x2


2y

z 
1 y2


2z
x 

1 z2

Đặt x = tan, khi này hình thức bài tốn đã được thay đổi hệ PT đã cho
sẽ được biểu thị dưới dạng lượng giác sau:

y = tan2
z = tan4
x = tan8
Ta có tan8 = tan  tan8 - tan =
7=n  =

sin7
=0
cos8cos

n
n
. Vậy x= tan
...
7

7

Vấn đề đặt ra là làm sao biết được bài tốn lại có cách giải như thế?
Nói chung chúng ta khơng có một chìa khố vạn năng để mở ra tất cả cách


17

giải cho các loại bài toán mà nhiều khi muốn giải được nó cần phải sử dụng
kinh nghiệm, phải có vốn kiến thức, phải có năng lực tư duy.
Việc chuyển đổi ngơn ngữ có thực hiện được hay khơng cịn phụ thuộc
vào kỹ năng phân tích bài tốn tức là bài tốn đó có thể chuyển sang được
ngơn ngữ nào, nếu là bài tốn hình học thì làm sao để chuyển sang được ngôn
ngữ véctơ hoặc toạ độ. Tuy nhiên khơng phải bài tốn nào cũng chuyển đổi
được ngơn ngữ. Một trong các dấu hiệu để xác định xem một bài tốn hình
học có giải được bằng phương pháp véc tơ một cách thuận lợi hay không là
khả năng diễn đạt các khái niệm, các mối liên hệ giữa các yếu tố đã cho và
các yếu tố cần tìm ra ngơn ngữ véctơ. Nếu sự “phiên dịch” khơng gặp khó
khăn lớn thì việc sử dụng véctơ để giải bài tốn đó là có cơ sở.
Năng lực chuyển đổi ngơn ngữ giúp học sinh có thêm những định
hướng, những đường lối cho việc tìm tịi nhiều phương pháp, cách giải khác
nhau. Ta sẽ lấy ví dụ để minh hoạ cho điều đó.
Ví dụ 8: Cho hình lập phương ABCD.A’ B’C’D’. Gọi I, J lần lượt là
trung điểm của A’D’ và BB’. Chứng minh rằng: I J  AC’.
Cách1: (Phương pháp vectơ)
     
  
Đặt AB = a ; AD = b ; AA’ = c . Ta có a , b , c đơi một vng góc
và






 a  =  b  =  c  = a > 0.
     

D’

C’

I
   
Theo qui tắc hình hộp: AC’ = a + b + c

A’

B’

 ’

’  1   1  
’ ’
Ta có: IJ = IA + A B + B I =- b + a - c 
2 
 2

1
1

AC ’ = - a2+ a2- a2 =0.
2
2
Do đó IJ  AC’ 

J
C

D
A

B
Hình 1.1


18

Cách 2:(Phương pháp toạ độ)
Khơng mất tính tổng qt ta cho cạnh lập phương bằng 1. Chọn hệ toạ
độ Đề các vng góc có gốc là A và các trục Ax, Ay, Az lần lượt chứa các
cạnh AB, AD, AC. Khi đó toạ độ các đỉnh: A(0,0,0) ; B(1,0,0); C(0,1,0);
A’(0,0,1); B’(1,0,1); C’(1,1,1) ; D’(0,1,1).
Ta có: I(0,



1
1
1 1
,1) ; J(1,0, )  IJ =(1,- ,- ); AC’ =(1,1,1)

2
2
2 2

 


1 1
Do đó: IJ .AC’ = 1- - = 0  IJ  AC’  IJ  AC’ 
2 2
1.2.3. Năng lực qui lạ về quen nhờ biến đổi về dạng tƣơng tự
Tương tự là một kiểu giống nhau nào đó, trong toán học hai bài toán
được gọi là tương tự nhau nếu hoặc chúng có cùng phương pháp giải; hoặc
cùng giả thiết; hoặc cùng kết luận; hoặc được đề cập đến những vấn đề giống
nhau, những đối tượng có tính chất giống nhau. Khai thác chức năng của bài
tập tương tự là một trong những việc làm quan trọng trong dạy học bởi nó có
vai trị khắc sâu kiến thức đã học, rèn luyện kỹ năng, kỹ xảo.
Biến đổi về dạng tương tự là một HĐ biến đổi đối tượng, HĐ này thể
hiện trong tiến trình người giải tốn phải làm bộc lộ đối tượng của HĐ (các
khái niệm toán học, các qui luật về mối liên hệ giữa các đối tượng tốn học,
các quan hệ giữa chúng). Những HĐ đó là để biến đổi cấu trúc, nội dung và
hình thức của đối tượng, sao cho các tri thức mới tương thích với các tri thức
đã có; từ chủ thể xâm nhập vào đối tượng, hiểu và giải thích chúng, vận dụng
chúng với tư cách là sản phẩm của HĐ nhận thức. Để sự tìm tịi được thuận
lợi, nhiều khi cũng cần có những thủ thuật để biến cái khó thành cái dễ, biến
ý đồ thành những việc cụ thể.
Việc biến đổi đối tượng sẽ dẫn đến những bài toán tương tự. Có rất
nhiều dạng tương tự, ví dụ sau đây thể hiện một sự biến đổi để đưa về dạng
tương tự đã biết:

19

Ví dụ 9: Trong khơng gian Oxyz cho bốn điểm A(0 ; -1; 0), B(0; 0; 2),
C(1; 0; 0), D(-1; 1; -2). Chứng tỏ rằng A, B, C, D là bốn đỉnh của một tứ
diện.
Với bài toán này nếu dùng ý tưởng của hình học khơng gian để chứng
minh thì ta nhận thấy “ABCD là một tứ diện khi và chỉ khi bốn điểm đã cho
không đồng phẳng” từ việc hình thành ý tưởng trong cách giải học sinh dễ
dàng định hướng cách giải quyết vấn đề. Câu hỏi đặt ra: Các thao tác, thứ tự
cần làm là gì?
Trước tiên ta thiết lập phương trình mặt phẳng (ABC):
Mặt phẳng (ABC) có dạng phương trình theo đoạn chắn
x y
z

 1 hay 2x - 2y + z – 2 = 0 (1)
1 1 2

Thế tọa độ điểm D(-1; 1; -2) vào phương trình (1) ta được:
-8 = 0 (Vơ lý)
Vậy D khơng thuộc mp(ABC) hay ABCD là một tứ diện
Biến đổi về dạng tương tự thực chất là đi tìm những điểm tiếp xúc của
bài tốn với kiến thức đã có thể hiện ở các góc độ khác nhau. Việc biến đổi
đó có thể thực hiện nhờ biến đổi hình thức để tương thích với tri thức đã có
của học sinh hoặc là biến đổi nội dung để có thể tìm ra mối liên hệ giữa bài
tốn phẳng với bài tốn khơng gian. Việc làm này thể hiện ở việc xét cái
tương tự giữa những vấn đề trong không gian đối với những vấn đề trong mặt
phẳng: cái tương tự với mặt phẳng là đường thẳng, mặt cầu là đường tròn, cái
tương tự tứ diện là tam giác... Khi nghiên cứu một đối tượng cần phải xem

xét nó trong mối liên hệ với các đối tượng khác và cần xét kĩ cái chưa biết để
huy động những kiến thức gần nhất với bài tốn đang giải hoặc ít ra là đã giải
bài tốn tương tự.
Ví dụ 10: Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với Oz, vng
góc với mặt phẳng (Q): x + y + z = 0 và tiếp xúc với mặt cầu (S):
x2 + y2 + z 2 - 2x + 2y - 4z - 3 = 0


20

Trước khi giải quyết bài tốn này ta có thể giải bài tốn tương tự sau:
“Trong khơng gian Oxyz cho hai điểm A(2; -2; 0), B(4; 2; -2). Viết phương
trình mặt phẳng (P) vng góc với AB và cách điểm M(1; -1; 0) một khoảng
bằng 3”.
Trong quá trình giải các bài tốn, bằng HĐ phân tích có định hướng cần
“nhìn thấy” mối liên hệ giữa các bài tốn khơng những về tính chất của kết
luận, về cơng cụ sử dụng để giải bài toán mà cần phát hiện được mối liên hệ
cấu trúc của bài tốn: “Nhìn thấy” một bài toán là bộ phận của bài toán khác
hay kết luận của bài tốn cần chứng minh có thể suy ra từ bài tốn đã biết.
Ví dụ 11: Trong khơng gian Oxyz cho điểm A(1; 1; 0), B(-1; 2; 7) và
mặt phẳng (P): -2x + 3y –z + 7 = 0. Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua
A, B và vng góc với mặt phẳng (P)
Lời giải
Ta có: AB =(-2; 1; 7)
Mặt phẳng (P) có pháp vecto n = (-2; 3; -1)
Vì mặt phẳng đi qua A, B và vng góc với mặt phẳng (P) nên ( Q)
nhận n , AB làm cặp vecto chi phương
 (Q) có một vectơ pháp tuyến là n '  n ; AB    22;16; 4   2 11;8; 2 



Vậy phương trình mặt phẳng (Q) là: 11(x - 1) + 8(y - 1) + 2(z - 0) = 0
Hay 11x +8y +2z -19 = 0
x  t

Ví dụ 12: Trong không gian Oxyz cho đường thẳng d:  y   3  2t và
 z 1  t


mặt phẳng (  ): -2x + 3y –z + 7 = 0. Viết phương trình mặt phẳng (  ) đi qua
d và vng góc với mặt phẳng (  )
Lời giải
Vì mặt phẳng (  ) đi qua d và vng góc với mặt phẳng (  ) nên (  ) đi
qua A (0; -3; 1) và có vectơ pháp tuyến