Nguyen ham va tich phan

<span class='text_page_counter'>(1)</span>NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN A. NGUYÊN HÀM ĐỊNH NGHĨA: Cho hàm số nguyên hàm của hàm số. y  f  x. y  f  x. y F  x  xác định trên K , hàm số được gọi là. trên K khi và chỉ khi:. x  K , ta có: F '  x   f  x  Kí hiệu:. f  x  dx F  x  .. 4 Ví dụ 1: Tìm nguyên hàm của hàm số sau: y  x  x. Ví dụ 2: Tìm nguyên hàm của hàm số sau: y 2sin x ĐỊNH LÍ 1: Nếu hàm số y F  x   c. y F  x . là nguyên hàm của hàm số. cũng là nguyên hàm của hàm số. Khi đó ta có:. f  x  dx F  x   c. ĐỊNH LÍ 2: Cho các hàm số. y  f  x.  u v  dx udx vdx. 2.. kvdx k vdx , với k. thì hàm số. .. với c là hằng số.. u u  x  , v v  x . 1.. y  f  x. xác định trên K . Khi đó ta có:. là hằng số.. Bảng nguyên hàm các hàm số thường gặp. Hàm số 1 k x 1 x 1 2 x sin x. Nguyên hàm xc kx  c 1  1 x c  1 ln x  c. x c  cos x  c. Hàm số. Nguyên hàm.  ax  b  . 1  ax  b   1  c a    1. 1 ax  b 1 2 ax  b sin  ax  b . 1 ln ax  b  c a 1 ax  b  c a 1  cos  ax  b   c a.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> cos x 1. tan x  c. sin 2 x 1.  cot x  c. 2. cos x ex. 1 sin  ax  b   c a 1 tan  ax  b   c a. cos  ax  b . sin x  c. 1 sin 2  ax  b  1 cos. ex  c. 1 x a c ln a Trong đó: c là hằng số. ax. 2.  ax  b . e axb a x . . 1 cot  ax  b   c a 1 ax b e c a 1 a x   c  ln a. PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM ◙ PHƯƠNG PHÁP 1 : Đổi biến số. Dấu hiệu nhận biết khi dùng phương pháp đổi biến số. 1.. f  x  g  x  dx , trong đó : g '  x   f  x  . Đặt t  g  x . 2.. f  u  x   v  x  dx , trong đó : u '  x  v  x  . Đặt t u  x . 3.. f  x, m f  x  dx , đặt t m f  x . 4.. f  ln. .  x, 5. f  x, 6. f  x, 7. f. . 1 x,  dx x  , đặt t ln x.  , đặt x a sin t hoặc x a cos t a x  a  dx x sin t , đặt x  a  dx , đặt x a tan t. a 2  x 2 dx 2. 2. 2. 2. ◙ PHƯƠNG PHÁP 2 : Từng phần Khi không có dấu hiệu nào của đổi biến số, ta dùng công thức từng phần. Công thức của từng phần :. udv uv  vdu. Một số dấu hiệu cơ bản khi dùng phương pháp từng phần..

<span class='text_page_counter'>(3)</span> 1.. f  x  sin  xdx , đặt. u  f  x   dv sin  xdx. 2.. f  x  cos  xdx , đặt. u  f  x   dv cos  xdx. u  f  x   x x f x e dx   3.  , đặt dv e dx. u e x  e x sin  xdx  4. , đặt dv sin  xdx. u e x  e x cos  xdx  5. , đặt dv cos  xdx. u ln  x  x  e ln x dx dv e x dx    6. , đặt. u ln x  f  x  ln xdx dv  f  x  dx  7. , đặt  B. TÍCH PHÂN b. Công thức Newton – leibnizt:. b. f  x  dx F  x  a F  b   F  a . a. b. b. udv  uv  a  vdu. Tích phân từng phần:. a b. Định lí quan trọng:. b. a. c. b. f  x  dx f  x  dx  f  x  dx a. b. a. c. với a  c  b. a. f  x  dx  f  x  dx a. b. C. BÀI TẬP ÁP DỤNG. BÀI TẬP VẬN DỤNG ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍNH CHẤT Các bài toán sau đòi hỏi HS phải thuộc bảng nguyên hàm và các tính chất của nguyên hàm để vận dụng vào giải bài tập. Ngoài ra những kiến thức bổ trợ để giải bài tập dạng này là: công thức lượng giác, hàm số mũ – hàm số logarit, bảng đạo hàm của các hàm số lượng giác, hàm số mũ – hàm số logarit..

<span class='text_page_counter'>(4)</span> Bài tập 1: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: 2 x4  3 f  x  x2 1. 4.. f  x  2 sin 2. 2.. x 2. 5.. x f  x . 2.  1 x. 2. 2. 3.. f  x   tan x  cot x . 2. 6..  e x  f  x  e  2   cos 2 x   8.. 1 2  3 x x. f  x  f  x . cos 2 x sin 2 x cos 2 x. x. 7.. f  x  2 sin 3 x cos 2 x. 2 f  x  1  x2 10..  f  x . 16.. 11.. . x1 x. 2. 17.. 19.. f  x  cos x. 21.. f  x  2sin 3 x cos 2 x. 20.. Bài tập 2: Tìm nguyên hàm. 3.. 5 x  3x  2. f  x . f  x  sin 7 x cos5 x cos x. x 1 3 x. 18.. f  x  tan 2 x. 1 sin 2 x cos 2 x. 21.. f  x  sin 3 x. f  x  e x  e x  1. 23.. f  x  e3 x 1. f  x  22.. F  x. f  x  2  x 2 , F  2  . f  x  2a x  3x. 12.. 2. 2. 1.. f  x . 9.. 2. của hàm số. 7 3. 2.. f  x  4 x 3  3x 2  2, F   1 3. f  x. thỏa mãn điều kiện:. f  x  4 x  x, F  4  0. x3  3x 2  3 x  1 1 f  x  , F  1  2 x  2x 1 3 4.. PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM  PHƯƠNG PHÁP 1: ĐỔI BIẾN SỐ Tính. I f  u  x   u '  x  dx. . Đặt. t u  x   dt u '  x  dx. , khi đó:. I f  u  x   u '  x  dx f  t  dt  PHƯƠNG PHÁP 2: TỪNG PHẦN Công thức:. I u  x  v '  x  dx u  x  v  x   u '  x  v  x  dx.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> I udv uv  vdu. Hay. Lưu ý: Dấu hiệu nhận biết cách đặt đã được nêu ở phần trên. HS cần nắm vững các dạng thường gặp để vận dụng vào việc giải bài tập. Bài tập 1: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:.  2x 1. . 2. 7.  1 xdx. 5.. 1. . x 1 x. 7.. 4.  5  x 2 dx. 3. 3x 2. x dx 2  4. x  5. . x 2. . . 2. dx. sin x dx 5 x.  5  2x. 3. dx. ln 3 x  x dx 8.. x 2  1dx. x 3. .  6. e. x. 1 dx 1. xe 9. . x 2 1. dx. tan x dx 2 x.  10. cos. 11.. dx  13. sin x. dx  14. cos x. 15.. e tan x dx 2  cos x 17.. cos 18. . ex. 16.. e. x. 3. dx. cot xdx.  12. cos e. . x. dx. x 3. x sin 2 xdx. Bài tập 2: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:. x 1.  4. 7.. 2.  5  sin xdx. x cos 2 xdx x ln xdx x.  10. cos. 2. x. dx. 13. 16.. 2. xdx. 2.  2 x  3 cos xdx. 3.. x sin 2 xdx. 6.. ln xdx. x. 5. 8.. x e cos xdx x. x 2. . xe dx ln. 2. xdx. sin 11. . xdx 2. 9.. ln x dx x. . ln  x 12. . 2. 14.. 3 x x e dx. x ln  x 15. . 17.. x lg xdx. 18..  1 dx 2.  1 dx. 2 x ln  x  1 dx.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> ln  x  1 dx x2.  19.. 20.. x. 2. cos 2 xdx. DÙNG ĐỊNH NGHĨA TÍNH TÍCH PHÂN Bước 1: Tìm nguyên hàm các hàm số dưới dấu tích phân. Bước 2: Dùng công thức newton – leibnizt tính các tích phân. Bài tập 1: Tính các tích phân sau: 1. 1..  0 4. 4.. x  x 2  1 dx. 1 x. x 1. x. 3. dx. 2x2  x  5 dx  x  3 7. 4 4. x 3 dx 2  x  3x  2 3 2. 2.. 8. . x 2  5x  3 dx  3 x 3. 1. x x  x 2  1 dx. 1. 2. 5. 10.. 16. 6.. 5. 2x  1. 1  x. dx. 2. 5. 2x  3 dx 2  x  3 x  2 8. 4. 1 dx 2  x  3 x  2 9. 4. 5. 5. 3 dx 2  x  6 x  9 11. 4. 2.  x 1    dx  x  3   1 13.. 4. 3 dx  5 x  3 5. 1. 12.. x 4. 2. 2x  1 dx  6x  9. 1. x3 dx 2  x  1 0. 14.. Bài tập 2: Tính các tích phân sau:. 1.. 4..  2.  2.  2. cos3x cos xdx. sin 2 x sin xdx. cos x sin 3xdx. 0.  2. sin 2 x cos5 xdx. cos. 0. cos 2 x dx 2 2  sin x cos x  6. 5.. 4.  e x  e 3  dx  cos 2 x   0 8.. Bài tập 3: Tính các tích phân sau:. 0. x. sin. xdx. 0.  4. 3..  3.  2.  3. 7.. 2.. 0. 6..  6. 2. 1 dx x cos2 x.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> 8. 1.. 1. x dx 1 x.  3. 4.. x. 2.. ln 2. e  1dx 5.. 0. 8. 1  x dx 3.. 0. 2. x. . 1 15. 1  x2. 1. x. 0. 3/2. dx. x. x. 1 . 6.. dx. dx. x. 1  x2. 1/2. Bài tập 4: Tính các tích phân sau: 1. 1.. 2. e.  x 2. e. ln x.  2. xdx. e. 2.. 0. 1 1 2 sin x. cos xdx 3.. 0. x. e x e e dx 0.  2. e dx  4. 1 x. 5.. etgx dx  cos 2 x 0. Bài tập 5: Tính các tích phân sau:  2. 1.. sin x dx  1  2cos x 0 1. 4.. e 0. e. 2.. . dx. x.  /2. 8.. dx. . x 1 3 x. e. x. sin e x dx. 0. . . cos x dx 3  sin x  /6. 6.. cos. xdx. 0. 2 ln 2. 9.. 4. . ln 2. dx ex  1.  2. 3. sin x dx 3 3  sin x  cos x 0. 10.. 3..  /2. dx x x  0 e e. 7.. 1. 5.. ln 2. 1. 1 dx  x ln x e 27. ex x. e2. cos3 x dx 3 3  sin x  cos x 0. 11.. Bài tập 6: Tính các tích phân sau:  /2.  /2 x. 1.. e cos xdx 0. 2.. 1. e. x ln  1  x  dx 2. 4.. 0. x sin 2 x dx  /4. 5..  ln x  0. 2. . 3.. x sin x dx  cos 2 x 0.  /2. dx 6.. x  sin x. 1  cos x dx.  /6.

<span class='text_page_counter'>(8)</span>  /2. x. 7.. 2. e. sin xdx 8.. 0.  1  ln x . e. 10.. sin xdx 11.. 0. e. dx 9.. 1.  /2 x. 2. ln x dx. 1/ e. 1. e2. x ln  1  x  dx.  ln. 12.. 0.  1. e. 2. x. . 1   dx ln x . Bài tập 7: Tính các tích phân sau: 1. a. 1.. x. 2. 2. 2. a  x dx.  a  0 2.. 0. 1. 4.. 2 /2. e. 3.. 3. x. 2. 5.. x 1. 2. 4 x. 6.. 1. 1 2. dx 8.. dx. x. 4  ln 2 x. 1. 1. 1 dx  9  x2 0.  2 x  3dx. 0. 3. 7.. . 1  x2 dx x2. x. 2. 1 2. 2 2 x 1  x dx. 9.. 0. x 1. 1 dx  2x  5 1. 2. 4  x2. dx. ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍNH DIỆN TÍCH – THỂ TÍCH 1. DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong. y  f  x. và hai đường thẳng. x a; x b được tính bởi công thức: b. S  f  x  dx a. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường cong. y  f  x  ; y g  x . và hai đường. thẳng x a; x b được tính bởi công thức: b. S  f  x   g  x  dx a. 2. THỂ TÍCH VẬT THỂ Thể tích vật thể giới hạn bởi đường cong. y  f  x. khi quay quanh trục Ox được tính theo công thức:. và hai đường thẳng x a; x b.

<span class='text_page_counter'>(9)</span> b. VOx  f 2  x  dx a. Thể tích vật thể giới hạn bởi 2 đường cong. y  f  x  ; y g  x . và các đường thẳng. x a; x b khi quay quanh trục Ox được tính bởi công thức: b. VOx   f 2  x   g 2  x   dx a. Thể tích vật thể giới hạn bởi đường cong. x  f  y. và hai đường thẳng y c; y d. khi quay quanh trục Oy được tính theo công thức: d. VOy  f 2  y  dy c. Thể tích vật thể giới hạn bởi 2 đường cong. x  f  y  ; x g  y . và các đường thẳng. y c; y d khi quay quanh trục Oy được tính bởi công thức: d. VOy   f 2  y   g 2  y   dy c. Bài tập 8: Tính diện tích hình phẳng (D) được giới hạn bởi các đồ thị sau: 2 1. y  x  2 x, x  1, x 2, Ox. 2. 3. y  x  4 x, x  1, x  3 5.. y. ln x , y 0, x 1, x 2 x2. x 2. y  xe , y 0, x  1, x 2.  y tgx, x 0, x  , y 0 3 4. x 1, x e, y 0, y  6.. x 2  3x  1 y , x 0, x 1, y 0 x 1 7.. 8.. ln x 2 x. y sin 2 x cos3 x, y 0, x 0, x . Bài tập 9: Tính diện tích hình phẳng (D) được giới hạn bởi các đồ thị sau: 5. 1. 2.. y  x  1 , y e x , x 0, x 1. y. 1 1   ,y  2 ,x  ,x  2 sin x cos x 6 3.  2.

<span class='text_page_counter'>(10)</span> 3.. y 2  sin x, y 1  cos 2 x, x   0;  . x2  C :y  2 x  1 và các 4. Tìm b  0 sao cho diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị.  đường thẳng y 1, x 0, x b bằng 4 . Bài tập 10: Tính diện tích hình phẳng (D) được giới hạn bởi các đồ thị sau: 2 2 1. y  x  2 x, y  x  4 x. 2 2. y  x  2 x và y  3 x. 2 3. y  2 y  x 0 và x  y 0. 2 4. y  x  5 0 và x  y  3 0. 5.. y  x2  4 x  3. và y  x  3. x2 x2 y y  4 4 2 4 và 6.. Bài tập 11:.   D  y tgx, y 0, x 0, x   3  1. Cho hình phẳng D giới hạn bởi: a) Tính diện tích hình phẳng D . b) Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra khi D quay quanh trục Ox . P  : y 2 8 x  D 2. Cho hình phẳng giới hạn bởi: và x 2 . Tính thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng.  D. quanh trục Ox .. 3. Tính thể tích khối tròn xoay khi quay quanh Ox hình phẳng D giới hạn bởi các 2 1 x 1; x 2; y  ; y  x x. đường: 2 2 4. Cho hình phẳng D giới hạn bởi: y 4  x và y  x  2 . Quay D xung quanh Ox. ta được một vật thể, tính thể tích của vật thể này. Bài tập 12:.   D  y tg 2 x, y 0, x 0, x   4  1. Cho hình phẳng D giới hạn bởi:.

<span class='text_page_counter'>(11)</span> a) Tính diện tích hình phẳng D . b) Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra khi D quay quanh trục Ox . 2. Tính VOx , biết. D  y  x ln x, y 0, x 1, x e.   x3 D  y  , y  x 2  3   3. Tính VOx , biết.   D  y 0; y  1  sin 4 x  cos 4 x ; x 0; x   2  4. Tính VOx , biết D  x 2  y 5 0; x  y  3 0 V Ox 5. Tính , biết D  y 2 x 2 ; y 2 x  4 V Ox 6. Tính , biết 2 2 D  y  x  4 x  6; y  x  2 x  6  V 7. Tính Ox , biết. . D  y x2 ; y  x V 8. Tính Ox , biết. . TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG GIỚI HẠN BỞI CÁC ĐƯỜNG SAU x 1. y  x e ; Ox; x 1; x 2. 6.. 2. y ln x; x 1; x 2; Ox. y tgx; y 0; x 0; x .  4. 2 3 2 7. y x ; y 0; x 1; y sin x. 3 3. y  x  1; Ox; Oy; x 1. 8. y 0; x 0; x . 2 4. y 1  x ; y 0. x 2. 9. y xe ; y 0; x 0; x 1. 5. y cos x; y 0; x 0; x . 2 10. y  x  2 x; Ox. TÍNH CÁC TÍCH PHÂN SAU e. ln 3 x dx 3  x 1 1.. 1. e. 2.. x ln xdx 1. 3.. x ln  x 0. 2.  1 dx.

<span class='text_page_counter'>(12)</span>  /2. e 2. x ln xdx. 4.. 5.. 1. 0. ln  x. 2.  x  dx. 1. 8.. x tan. 6.. 1. 2. xdx. ln x. x. 9..  /4.  /2.  /2 x. xe dx. 11.. 0. dx. 5. 1. 1. x cos xdx. 10.. 2. 1. .  x  x  ln xdx.  /3. 2. 7.. e.  x  cos x  sin xdx. e. 12.. 0. x. cos xdx. 0. TÍNH CÁC TÍCH PHÂN SAU  /2. 1. 1.. 3x xe dx. 2.. 0.  /2. x sin 2 xdx. 4. 7.. 5.. 0.  /6.  x  1 cos xdx 0. x ln xdx.  1  x  ln xdx 2. 6.. 0. 4 x ln xdx. x ln  3  x  dx 0. x cos xdx 2. 16.. 11.. 0. ln x. x. 5. dx 14.. sin. xdx. 17.. 0. x sin x cos  x  1. 2. xdx. ln x.  x  1. 1/ e. 20.. x cos. 2. xdx 15.. 0. 2. xdx 18.. 1. e dx 23. dx 2. 26.. 2.  2 x  sin xdx. 0. 2. x  1 dx. 0.  x ln x . e. x.  /3. x  sin x dx 2 x. sin xdx. 0.  cos 0. 2. x  2cos e. 2x. 0. e. 25.. 2. 0. 1. 22.. 12..  x 1.  /4. . 19.. 0. x ln.  1 e x dx.  /2. 2 x cos xdx. e. 2. 2. 1.  /2. 1. . 9..  x.  /2. . 13.. 1. 2 2. 8.. 0. e. 1. 10.. 3.. e. 3. 1.  2  x  sin 3xdx. 2. ln  1  x  dx 2 x 1 21.. .  /2. dx. 1. 24.. cos x ln  1  cos x  dx 0. 1. 1. 2 x tan xdx.  x  2  e. 0. 27.. 0. 2x. dx.

<span class='text_page_counter'>(13)</span> e. 1. x ln  1  x  dx 2. 28. 31.. 0. ln x dx  x 29. 1. 2. 3.  2 x  7  ln  x  1 dx. ln  x. 0. 32.. 2. 2.  x  dx.  /2.  x  cos x  sin xdx 3. 30.. 0.

<span class='text_page_counter'>(14)</span>