Rèn kĩ năng giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình cho học sinh lớp 9 trường THCS long giang

TÓM TẮT ĐỀ TÀI

TÊN ĐỀ TÀI: “Rèn kĩ năng giải bài tốn bằng cách lập hệ phương trình cho học sinh
lớp 9 trường THCS Long Giang”.
Họ và tên:
Đơn vị:
I.

Lý do chọn đề tài:

-

Yêu cầu đối với học sinh trong thời đại mới.

-

Vai trị của mơn tốn trong truờng phố thơng.
- Thực trạng quá trình học tập của học sinh khi học phần “ Giải bài toán bằng cách lập hệ

phuơng trình”.
- Nhằm góp phần giúp học sinh có một định huớng cụ thế qua từng dạng toán cơ bản, tạo
điều kiện giúp học sinh học tập có hiệu quả hom, tự tin hơn khi gặp một số bài toán giải bằng
cách lập hệ phuơng trình nên tơi quyết định chọn đề tài: “ Rèn kĩ năng giải bài toán bằng cách
lập hệ phuơng trình cho học sinh lóp 9 truờng THCS Long Giang”.
II. Đổi tượng - Phương pháp nghiên cứu:
-

Đối tượng nghiên cứu: học sinh lóp 9 ị , 9 2 trường THCS Long Giang.

-

Phương pháp nghiên cứu:
+ Nghiên cứu tài liệu.
+ Phương pháp điều tra.
+ Giả thuyết khoa học.

III. Đề tài đưa ra giải pháp mới:
Rèn kĩ năng giải bài tốn bằng cách lập hệ phương trình thơng qua bước phân tích bài tốn,
nhằm giúp cho học sinh tìm được các phương trình một cách dễ dàng hơn.
IV. Hiệu quả áp dụng:
Neu học sinh nắm vững bước phân tích bài tốn thì các em khơng cịn lúng túng khi gặp loại
bài này nữa, từ đó các em có niềm tin, say mê, hứng thú trong học toán, tạo cho các em tính
tự tin, độc lập suy nghĩ, phát triển tư duy logic và suy luận toán học .
V. Phạm vi áp dụng: Những bài toán giải bằng cách lập hệ phương trình đối với học sinh lóp 9
trường THCS Long Giang.

-

1

-


(Q.Ền kí ntítui **■Ếiiaĩ bài ỈM Ín hà tui edeti láu ké uhưtínti
trình”

A- MỞ ĐẦU
1/ Lý do chọn đề tài:
Đe nắm vững và vận dụng được các kiến thức đã học vào thực tiễn đời sống thì bất cứ
mơn học nào cũng địi hỏi học sinh phải có sự nỗ lực cố gắng trong học tập, chịu khó suy nghĩ
tìm tịi, có tính kiên trì, nhẫn lại khơng nản lịng khi gặp khó khăn trong học tập cũng như trong

cuộc sống sau này. Có như vậy thì các em mới làm chủ được tri thức khoa học và công nghệ
hiện đại, có kỹ năng thực hành giỏi và có tác phong công nghiệp, vận dụng được các kiến thức
đã học vào thực tế một cách linh hoạt, sáng tạo là người cơng dân tốt sống có kỷ luật, người lao
động có kỹ thuật nhìn nhận được đâu là đúng, đâu là sai có chân lý rõ ràng.
Trong trường phố thơng mơn tốn chiếm một vị trí khá quan trọng vì nó giúp các em
tính tốn nhanh, tư duy giỏi, suy luận, lập luận họp lý lơgic, khơng những thế nó cịn hỗ trợ cho
các em học tốt các mơn học khác như: vật lý, hóa học, sinh vật, kỹ thuật, địa lý ... “Dù các bạn
có phục vụ ngành nào, trong cơng tác nào thì kiến thức và phương pháp tốn học cũng cần cho
các bạn ...” (Phạm Văn Đồng)
Mơn tốn là mơn học giúp cho học sinh phát triển tư duy do tính trừu tượng, địi hỏi học
sinh phải biết phán đoán, lập luận, suy luận chặt chẽ, là mơn học “thế thao của trí tuệ”. Đe nắm
được kiến thức và vận dụng được các kiến thức đã học địi hỏi các em phải biết phân tích, tìm
tịi, phán đốn ... qua đó nó đã rèn luyện cho các em trí thơng minh sáng tạo.
Trong q trình học tập của học sinh ở trường phố thơng, nó địi hỏi tư duy rất tích cực
của học sinh.
Đe giúp các em học tập mơn tốn có kết quả tốt, có rất nhiều tài liệu sách báo đề cập tới.
Giáo viên không chỉ nắm được kiến thức, mà điều cần thiết là phải biết vận dụng các phương
pháp giảng dạy một cách linh hoạt, truyền thụ kiến thức cho học sinh dễ hiểu nhất.
Chương trình tốn rất rộng, các em được lĩnh hội nhiều kiến thức, các kiến thức lại có
mối quan hệ chặt chẽ với nhau. Do vậy khi học, các em khơng những nắm chắc lý thuyết cơ
bản, mà cịn phải biết tự diễn đạt theo ý hiếu của mình, từ đó biết vận dụng đế giải từng loại
tốn. Qua cách giải các bài toán rút ra phương pháp chung đế giải mỗi dạng bài, trên cơ sở đó
tìm ra các lời giải khác hay hon, ngắn gọn hơn.
Tuy nhiên, trong thực tế một số ít giáo viên chúng ta chỉ chú trọng việc truyền thụ kiến
thức đầy đủ theo từng bước, chưa chú ý nhiều đến tính chủ động sáng tạo của học sinh.
Thơng qua q trình giảng dạy mơn tốn lóp 9, đồng thời qua q trình kiếm tra đánh
giá sự tiếp thu của học sinh và sự vận dụng kiến thức đế giải bài toán bằng cách lập hệ phương
trình của bộ mơn đại số lóp 9. Tôi nhận thấy học sinh vận dụng các kiến thức toán học trong
phần giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình cịn nhiều hạn chế và thiếu sót.
Đặc biệt là các em rất lúng túng không biết giải bài toán như thế nào? Bắt đầu từ đâu?

-

2

-


(Q.Ền kí ntítui **■Ếiiaĩ bài ỈM Ín hà tui edeti láu ké uhưtínti
trình”

Hoặc khi đã có một số ý tưởng đế giải bài tốn thì cách lập luận khơng rõ ràng, mạch
lạc, lời giải khi trình bày chưa thấy được mối tương quan, liên hệ giữa các đối tượng có trong
bài. Mặc dù cũng có vài học sinh tìm được các phương trình, giải hệ phương trình tìm đúng kết
quả của bài tốn nhưng nhìn chung chưa khoa học và chuẩn xác.
Do vậy việc hướng dẫn giúp các em có kỹ năng lập các phưcmg trình để giải tốn, ngồi
việc nắm lý thuyết thì các em phải biết vận dụng thực hành, từ đó phát triển khả năng tư duy,
đồng thời tạo hứng thú cho học sinh khi học nhằm nâng cao chất lượng học tập.
Mặt khác, giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình là nội dung kế thừa của lớp 8. Chỉ
khác chăng đó là q trình giải phương trình bậc nhất hay giải hệ phương trình mà thơi. Vì thế,
nếu học sinh nắm vững các bước cơ bản và có kĩ năng giải tốt dạng bài tốn bằng cách lập
phương trình ở lớp 8 sẽ tạo đà, đặt nền tảng vững chắc, giúp học sinh dễ dàng giải các dạng tốn
này ở lóp 9.
Nhằm góp phần giúp học sinh có một định hướng cụ thế qua từng dạng toán cơ bản, tạo
điều kiện giúp học sinh học tập có hiệu quả hơn, tự tin hơn khi gặp một số bài tốn dạng này
nên tơi quyết định chọn đề tài: “Rèn kĩ năng giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình” cho
HS lớp 9.
2/ Đối tượng nghiên cứu:
Học sinh lớp 9 trường THCS Long Giang, năm học 2009-2010
3/ Phạm vi nghiên cứu:
Do thời gian nghiên cứu có hạn nên tơi chỉ áp dụng sáng kiến này đối với 2 lóp 9i, 9 2

trường THCS Long Giang.
4/ Phương pháp nghiên cứu:
a/ Nghiên cứu tài liệu: thu thập kinh nghiệm từ tạp chí giáo dục, từ các sách tham khảo,
tài liệu chuyên môn. b/ Phương pháp điều tra:
Tham khảo ý kiến cũng như phương pháp giảng dạy của đồng nghiệp thông qua các buối
sinh hoạt chuyên môn, dự giờ thăm lóp.
Trị chuyện với học sinh về việc giải bài tốn bằng cách lập hệ phương trình.
Điều tra khảo sát kết quả học tập của học sinh Thực nghiệm dạy ở lóp 9 ị , 9 2 trường
THCS Long Giang.
Đánh giá kết quả học tập của học sinh sau khi dạy thực nghiệm thông qua kết quả kiếm tra
một tiết và bài thi khảo sát chất lượng giữa HKn c/ Giả thuyết khoa học:
Đe có thế học tốt dạng tốn này thì học sinh phải nắm vững các kiến thức liên quan. Từ
những bài toán thực tế giáo viên giúp học sinh thất được toán học gắn liền với đời sống thực tế,
tốn học khơng phải là những con số khơ khan, khơng biết nói. Nhờ vào tán học giúp chúng ta
giải được các bài tón thực tế, đáp ứng được nhu cầu phát triển chung của xã hội; giúp ta định
hướng được các cơng việc cần làm, tìm được lời giải tối ưu, mang lại hiệu quả thiết thực cho
-

3

-


(Q.Ền kí ntítui **■Ếiiaĩ bài ỈM Ín hà tui edeti láu ké uhưtínti
trình”

cuộc sống.

Bản thân giáo viên phải tích cực chuẩn bị các bài tập thật phong phú và đa dạng, đưa học
sinh vào các tình huống có vấn đề, muốn tìm được đáp số của bài tốn đặt ra cần thấy được các

mối liên hệ giữa các đối tượng có trong bài, tích cực suy nghĩ, tích cực trao đối với nhóm hoặc
với giáo viên nhằm tìm được kết quả sau cùng. Khắng định cho học sinh thấy được nếu tiếp thu
tốt các kiến thức tốn học ta có thế học tốt các môn khoa học tự nhiên và khoa học xã hội từ
những bài tốn có liên quan đến hóa học, vật lý hay các câu đố vui dân gian,...

B- NỘI DUNG
•

1/ Cơ sở lí luận:
Mục tiêu giáo dục trong giai đoạn hiện nay là phải đào tạo ra con người có trí tuệ phát
triển, giàu tính sáng tạo và nhân văn cao. Đe đào tạo ra lớp người như vậy thì nghị quyết trung
ương IV khóa VII năm 1993 đã xác định: “áp dụng phương pháp giáo dục hiện đại để bồi dưỡng
cho học sinh năng lực tư duy, sáng tạo, năng lực giải quyết vấn đề”. Nghị quyết trung ương II
khóa VIII tiếp tục khắng định “Phải đối mới giáo dục đào tạo, khắc phục lối truyền thụ một
chiều, rèn luyện thành nề nếp tư duy sáng tạo của người học, từng bước áp dụng các phương
pháp tiên tiến, phương tiện hiện đại vào quá trình dạy học, dành thời gian tự học, tự nghiên cứu
cho học sinh ”.
Định hướng này đã được pháp chế hóa trong luật giáo dục điều 24 mục II đã nêu
“Phương pháp giáo dục phổ thơng phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của
học sinh, phải phù hợp với đặc điếm của từng môn học, rèn luyện kĩ năng vận dụng kiến thức
vào thực tiễn, tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh”. Trong
đó, tốn học có vai trò quan trọng đối với đời sống và đối với các ngành khoa học khác. Nhà tư
tưởng Bê-Cơn đã nói rằng: “Ai khơng hiếu tốn học thì khơng thế hiếu biết một khoa học nào
khác và cũng không thế phát hiện ra sự dốt nát của chính bản thân mình”. Sự phát triển của khoa
học cũng đã chứng minh lời tiên đoán của Các Mác: “Một khoa học chỉ thật sự phát triển nếu nó
có thế sử dụng được những phương pháp nghiên cứu của tốn học”. Do vai trị của tốn học
trong đời sống và trong cơng nghệ hiện đại, các kiến thức và phương pháp toán học được xem là
công cụ thiết yếu giúp học sinh học tốt các mơn học khác, giúp học sinh hoạt động có hiệu quả
hơn trong mọi lĩnh vực.
Với vai trò mạnh mẽ của toán học nên yêu cầu đặt ra là phải làm cho học sinh nắm được

các kiến thức toán học một cách chính xác, vững chắc và có hệ thống, có năng lực vận dụng các
kiến thức đó đế giải quyết các bài tốn thực tế. Muốn vậy thì học sinh phải có phương pháp học
tập thích hợp. Trong việc đối mới phương pháp dạy học thì học sinh đóng vai trị chủ động trong
việc tìm hiếu tri thức qua sự dẫn dắt, hướng dẫn của giáo viên.
-

4

-


(Q.Ền kí ntítui **■Ếiiaĩ bài ỈM Ín hà tui edeti láu ké uhưtínti
trình”

2/ Cơ sở thực tiễn:
Qua q trình giảng dạy và đánh giá kết quả thực tế từ các bài kiếm tra qua các năm
đứng lóp cho thấy: chỉ khoảng 20% học sinh giải tốt dạng toán này, khoảng 30% học sinh tìm
được kết quả nhưng chưa trình bày rõ ràng và mạch lạc, khoảng 50% học sinh còn lại bỏ trắng
cả bài vì khơng biết phải bắt đầu giải như thế nào? Có chăng là chép lống thống từ các bài giải
của bạn mà khơng có mở đầu và kết thúc. Từ thực tế trên cho thấy cần phải hình thành lại một
số kĩ năng cơ bản: về cách lập luận, chọn ẩn số, thế hiện được mối liên quan giữa các đối tượng
đế thiết lập hệ phương trình, tìm lời giải cho bài tốn là một u cầu thiết thực và tất yếu.
3/ Nội dung vấn đề:
Xuất phát từ thực tế là các em học sinh ngại khó khi giải các bài tốn, tơi thấy cần phải
tạo ra cho các em có niềm u thích say mê học tập, luôn tự đặt ra những câu hỏi và tự mình tìm
ra câu trả lời. Khi gặp các bài tốn khó, phải có nghị lực, tập trung tư tưởng, tin vào khả năng
của mình trong quá trình học tập. Đe giúp học sinh bớt khó khăn và cảm thấy dễ dàng hom
trong việc “Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình” ở lớp 9, tơi thấy cần phải phân loại các
dạng bài tập khác nhau. Mỗi dạng bài tập đều hướng dẫn học sinh cách lập các phương trình rồi
giải hệ phương trình một cách thành thạo. Điều quan trọng là các em phải biết phương pháp giải

từng dạng bài tập. Việc này đòi hỏi chúng ta phải tích cực quan tâm thường xun, khơng chỉ
giúp các em nắm vững lý thuyết mà còn phải tạo ra cho các em có một phương pháp học tập,
rèn cho các em có khả năng thực hành. Neu làm được điều đó chắc chắn kết quả học tập của các
em sẽ tiến bộ.
“Giải bài tốn bằng cách lập hệ phương trình” là phiên dịch bài tốn từ ngơn ngữ thơng
thường sang ngôn ngữ đại số rồi dùng các phép biến đối đại số đế tìm ra đại lượng chưa biết
thỏa mãn điều kiện bài cho.
3.1- ĐƯỜNG LỒI CHUNG ĐẺ GIẢI BẢI TỐN BẰNG CÁCH LÀP HẺ
PHƯƠNG TRÌNH :
Trước hết phải cho các em nắm được các bước đế “Giải bài toán bằng cách lập hệ
phương trình”
B ư ớ c 1 : Lập hệ phương trình gồm các cơng việc :
- Chọn ẩn số, chú ý ghi rõ đơn vị và đặt điều kiện cho ẩn số ( N e u c ỏ ) .
- Biếu thị các đại lượng chưa biết khác theo ẩn.
- Dựa vào các dữ kiện và điều kiện của bài tốn đế lập hệ phương trình.
B ư ớ c 2 : Giải hệ phương trình. Tùy theo từng dạng hệ phương trình mà chọn
cách giải thích thích họp và ngắn gọn.
B ư ớ c 3 : Nhận định kết quả và trả lời. Chú ý so sánh với điều kiện đặt ra cho ẩn xem
có thích họp khơng (Vì các em đặt điều kiện cho ẩn đơi khi thiếu chặt chẽ).

-

5

-


(Q.Ền
kí ntítui
bài ỈM

hà
tui edeti
Chú
ý : Bước
1 có**■Ếiiaĩ
tính chất quyết
địnhÍn
nhất.
Thường
đầuláu
bài ké
hỏiuhưtínti
số liệu gì thì ta đặt
cái

trình”

đó là ẩn số. Xác định đơn vị đo và điều kiện của ẩn phải phù họp với ý nghĩa thực tiễn.
Tuy nhiên một vài trường họp ta phải chọn ẩn trung gian.
Ví dư: Bài tốn u cầu tính chu vi hình chữ nhật thì ta có thế gọi ẩn là chiều dài, chiều
rộng của hình chữ nhật. Hoặc đề bài yêu cầu tính quãng đường AB thì ta có thế gọi ẩn là vận tốc
và thời gian đi từ A đến B....
3.2- PHÂN TÍCH BẢI TỐN :
- Trong q trình giảng dạy và hướng dẫn các em giải bài tập, giáo viên phải phân ra
từng loại toán, giới thiệu đường lối chung từng loại, các cơng thức, các kiến thức có liên quan
từng loại bài. Ớ lóp 9 các em thường gặp các loại bài như :
Loai toán :
1- Bài toán về chuyến động.
Bài tập năng suất lao động.
2- Bài toán liên quan đến số học và hình học.

3- Bài tốn có nội dung vật lý - hóa học.
4- Bài tốn về cơng việc làm chung và làm riêng.
5- Bài toán về tỷ lệ, chia phần.
Khi bắt tay vào giải bài tập, một yêu cầu khơng kém phần quan trọng, đó là phải đọc kỹ
đề bài, tụ mình biết ghi tóm tắt đề bài, nếu tóm tắt đuợc đề bài là các em đã hiểu đuợc nội dung,
yêu cầu của bài, từ đó biết đuợc đại luợng nào đã biết, đại luợng nào chua biết, mối quan hệ
giữa các đại luợng.
Cần huớng dẫn cho các em nhu tóm tắt đề bài nhu thế nào đế làm tốn, lên dạng tống
qt của phưcmg trình, ghi đuợc tóm tắt đề bài một cách ngắn gọn, tốt lên đuợc dạng tổng quát
của phưcmg trình thì các em sẽ lập đuợc các phuơng trình dễ dàng. Đen đây coi nhu đã giải
quyết đuợc một phần lớn bài tốn rồi.
Khó khăn nhất đối với học sinh là buớc lập hệ phuơng trình, các em khơng biết chọn đối
tuợng nào là ẩn, rồi điều kiện của ẩn ra sao? Điều này có thế khắc sâu cho học sinh là ở những
bài tập đơn giản thì thuờng thuờng “bài tốn u cầu tìm đại luợng nào thì chọn đại luợng đó là
ẩn”.
Cịn điều kiện của ẩn dựa vào nội dung ý nghĩa thực tế của bài song cũng cần phải biết
đuợc nên chọn đối tuợng nào là ẩn đế khi lập ra phuơng trình bài tốn, ta giải dễ dàng hơn.
Muốn lập đuợc phuơng trình bài tốn khơng bị sai thì một yêu cầu quan trọng nữa là
phải nắm chắc đối tuợng tham gia vào bài, mối quan hệ của các đối tuợng này lúc đầu nhu thế
nào? lúc sau nhu thế nào?
-

6

-


(Q.Ền
**■Ếiiaĩ
bài ỈM Ín hà tui edeti láu ké uhưtínti

> Chẳng hạn
khi kí
giảintítui
bài tốn
:
trình”
Một tập đồn đánh cá dự

định trung bình mỗi tuần
bắt được 20 tấn cá.
Nhưng trong thực tế họ
đã vượt mức kế hoạch 6
tấn một tuần nên chẳng
những đã hồn thành
sớm một tuần mà cịn
vượt mức 10 tấn nữa.
Hỏi theo kế hoạch, tập
đoàn phải đánh bắt bao
nhiêu tấn cá?

-

7

-


(Q.Ền
Phân
tích:kí ntítui **■Ếiiaĩ bài ỈM Ín hà tui edeti láu ké uhưtínti

trình”

ở đây, ta gặp các đại lượng: s ổ tẩncáđánhbẳttrongtuần ( đã biết), tổngsổtẩncávàsổtuầnđánhbẳt (chưa
biết): theo kế hoạch và thực tế đã thực hiện. Chúng ta có quan hệ:
(Sổ tẩn cá đánh bắt trong tuần) X (so tuần đánh bắt) = Tong so tấn cá.
Ta chọn ẩn là một trong các đại lượng chưa biết. Ớ đây, ta chọn X là số tuần đánh bắt
theo kế hoạch và y là tống số tấn cá đánh bắt theo kế hoạch (ẩn được đề xuất) đế chuyến bài
toán về hệ phương trình bậc nhất hai ẩn. Quy luật trên cho phép ta lập bảng biếu thị mối quan hệ
giữa các đại lượng trong bài toán ( Giáo viên kẻ bảng và hướng dẫn học sinh điền vào bảng)
Số tấn cá đánh bắt trong 1
Số tuần

tuần

rp Á Á Á ĩ
I

Tỏng sỏ tân cá

Theo kế hoạch

20

X

y

Đã thực hiện

26

X- 1

y+10

Khi đó:
Phương trình (1) được thiết lập dựa trên địnnh mức trong kế hoạch Phương trình (2)
được thiết lập dựa trên việc thực hiện kế hoạch trong thực tế Như vậy theo điều kiện đề bài ta có
hệ phương trình:

1 20x = y
L 26(x-l)=y+10

Ớ chương trình lớp 9 thường gặp các bài tốn về dạng chuyến động ở dạng đơn giản
như : Chuyển động cùng chiều, ngược chiều trcn cùng quãng đường... hoặc chuyển động trên
dòng nước.
Do vậy, trước tiên cần cho học sinh nắm chắc các kiến thức, công thức liên quan, đơn vị
các đại lượng.
Trong dạng toán chuyến động cần phải hiếu rõ các đại lượng quãng đường, vận tốc, thời
gian, mối quan hệ của chúng qua công thức s = v.t. Từ đó suy ra:
s.s
V=-

; t----------

t

v

Do đó, khi giải nên chọn 1 trong 3 đại lượng làm ẩn

Dạng toán chuyến động cũng có thế chia ra nhiều dạng và lưu ý:
-Chuyển động cùng chiều trên cùng một quãng đường đến khi gặp nhau thì:
(S) ơtơ 1 đi = (S) ơtơ 2 đi
Neu hai xe cùng xuất phát mà ô tô 1 đến trước ơtơ 2 là t giờ thì:
(t) ơtơ 2 đi - (t) ôtô 1 đi = t
-Chuyển động ngược chiều trên cùng một qng đường thì:
(S) ơtơ 1 đi + (S) ôtô 2 đi = s Neu hai xe gặp
nhau ở chính giữa qng đường AB thì:
-

8

-


kí 2ntítui
(S)ơtơ 1 đi =(Q.Ền
(S) otơ
đi **■Ếiiaĩ bài ỈM Ín hà tui edeti láu ké uhưtínti
trình”
-Chuyển động trên dịng sơng:

Vxi dòng — ^Riêng V dòng
nước Vngược dòng — VRiêng ■
V dòng nước
-Chuyển động trên cùng một đuờng tròn:
Hai vật xuất phát tại một điếm sau t giờ gặp nhau:
+Chuyển động cùng chiều:
Độ dài đuờng tròn (S) = (t).(vi-v2) (Giả sử Vi, v2 là vận tốc của hai vật, Vi>v2) +Chuyển
động nguợc chiều:

Độ dài đuờng trịn (S) =(t).(vi+v2)
V í d u : Một nguời đi từ A đến B gồm quãng đuờng AC và CB hết thời gian là 4 giờ 20
phút. Tính quãng đuờng AC và CB biết rằng vận tốc của nguời đó trên AC là 30 km/h, trên CB
là 20 km/h và quãng đuờng AC ngắn hơn CB là 20km.
* Phân tích:
Đối với dạng tốn này, GV cần huớng dẫn
“V
y(km)

HS tóm tắt bài tốn bằng sơ đồ hình
A

B

V---------/-1
x(km) c

VAC = 30 km/h; VCB = 20km/h tAB=4 giờ 20 phút = y (giờ)
SBC - SAC = 20 (km)
Sau đó GV huớng dẫn HS lập bảng phân tích thơng qua các câu hỏi:
V (km/h)
Quãng đuờng AC

30

Quãng đuờng CB

20

t(h)

s (km)

X
30

ỵ_
20
13

Quãng đuờng AB

3

Theo đề bài ta biết đuợc những ô nào?
HS: VAC, VCB> ÍAB
Đe bài u cầu tìm đại luợng nào?
HS: Qng đuờng AC và CB
Hãy chọn các đại luợng đó là ẩn (SAC : x(km), SCB : y (km), đk 0Quãng đuờng AC ngắn hơn CB là 20 km, ta có phuơng trình thế nào?

-

9

-

X
y

bài ỈM Ín hà tui edeti láu ké uhưtínti
HS:y-x = 20(Q.Ền
hay-xkí
+ ntítui
y = 20 **■Ếiiaĩ
(1)
trình”

Biết qng đường và vận tốc đi trên mỗi quãng đường, ta tính được đại lượng nào? HS:thời gian
đi trên mỗi quãng đường
,

13

Vì thời gian đi tông cộng là 4 giờ 20 phút = — (giờ) nên ta có phưcmg trình thê
HS:^ + ^ 30
20

13
(2)
3

nào?
Từ (1) và (2) ta đã tìm được hệ phưcmg trình của bài tốn Sau khi phân tích xong, giáo
viên cần cho học sinh thấy rằng : Như ta đã phân tích ở trên thì bài tốn này cịn có thời gian đi
trên mỗi quãng đường chưa biết, nên ngoài việc chọn quãng đường là ẩn, ta cũng có thể chọn
thời gian đi trên mỗi quãng đường là ẩn
Neu gọi thời gian đi trên quãng đường AC là X (km), đk x>0 Thời gian đi trên quãng
đường CB là y (km), đk y>0 Khi đó ta có bảng phân tích như sau:

V (km/h)

t(h)

s (km)

Quãng đường AC

30

X

30x

Quãng đường CB

20

y

20y

13

Quãng đường AB

3

Vì thời gian đi tổng cộng là 4 giờ 20 phút = — (giờ) nên ta có phương trình thế
nào?

HS: X + y = 13 (1)
3
Quãng đường AC ngắn hơn CB là 20 km, ta có phương trình thế nào?
HS: 20y - 30x = 20 hay -30x + 20y =20 (2)
Từ (1) và (2) ta có hê phương trình:

p ,13
1x+y3
l -30x + 20y =20

Giải hệ phương trình này ta sẽ tìm được X và y
Đen đây học sinh dễ mắc sai lầm là dừng lại trả lời kết quả bài tốn
Do đó cần khắc sâu cho các em thấy được bài toán yêu cầu tìm qng đường nên khi có
thời gian rồi phải tìm quãng đường.

-

10

-


**■Ếiiaĩ
bàitốn
ỈMchuyển
Ín hàđộng,
tui edeti
* 1 *(Q.Ền
T ó mkí lntítui
a i : Khi

giải dạng
trongláu
bàiké
có uhưtínti
nhiều đại luợng chua
trình”

biết, nên ở buớc lập hệ phuơng trình ta tùy ý lựa chọn một trong các đại luợng chua biết làm ẩn.
Nhung ta nên chọn trực tiếp đại luợng bài toán yêu cầu cần phải tìm là ẩn nhằm tránh
những thiếu sót khi trả lời kết quả.
Song thực tế không phải bài nào ta cũng chọn đuợc trực tiếp đại luợng phải tìm là ẩn mà
có thế phải chọn đại luợng trung gian là ẩn.
Đối với bài tốn “làm chung - làm riêng một cơng việc” giáo viên cần cung cấp cho học
sinh một số kiến thức liên quan nhu :
- Khi công việc không đuợc đo bằng số luợng cụ thế, ta coi toàn bộ công việc là 1 đơn
vị công việc biểu thị bởi số 1.
- Năng suất làm việc là phần việc làm đuợc trong 1 đơn vị thời gian.
Ta có cơng thức A = nt; Trong đó:
A : Khối luợng cơng việc n :
Năng suất làm việc t: Thời
gian làm việc
- Tống năng suất riêng bằng năng suất chung khi cùng làm.
- Biết tìm năng suất làm việc nhu thế nào? thời gian hồn thành, khối luợng cơng việc
để vận dụng vào từng bài toán cụ thể.
Khi ta nắm đuợc các vấn đề trên rồi thì các em sẽ dễ dàng giải quyết bài tốn.
yxẻt bài tốn sau :
Hai vịi nước cùng chảy vào một bể
khơng có nước thì sau 1
giị 20 phút sẽ đầy. Nếu

mở vịi thứ
thì đầy bể. Hỏi mỗi vịi chảy một mình thì sau
bao lâu mới đầy bể?
Phân tích:
- Truớc hết phân tích bài tốn đế nắm đuợc những nội dung sau : + Khối luợng công việc ở đây
là luợng nuớc của một bể.

-

11

-


(Q.Ền
kí ntítui
**■Ếiiaĩ
bài ỈM Ín hà tui edeti láu ké uhưtínti
+ Đối
tượng
tham gia
? (2 vịi nước)
trình”

+ Số liệu đã biết ? (thời gian hai vòi cùng chảy).
+ Đại lượng liên quan: Năng suất chảy của mỗi vịi, thời gian hồn thành của mỗi vòi.
+ Số liệu chưa biết ? (Thời gian làm riêng để hồn thành cơng việc của mỗi
vịi).
- Bài tốn u cầu tìm thời gian mỗi vịi chảy riêng để đầy bể.
Giao viên hướng dẫn học sinh lập bảng phân tích:

Năng suất chảy trong 1 giờ

Thời gian HTCV

Cả 2 vòi

4
1 giờ 20 phút = — giờ 3

4
Vòi I

1

X

X

Vòi II

y

1

y
113
Qua bảng phân tích ta tìm đươc phương trình: — + — = — (1)
Xy

4

Đe tìm được phương thứ hai, ta dựa vào giả thiết cịn lại của bài tốn đó là:Neu mở vòi
, . 2 thứ nhât chảy trong 10 phút và vịi thứ hai chảy trong 12 phút thì đây — bê
Như vậy ta phải tính xem trong 10 phút = — giờ vòi I chảy được bao nhiêu?
6

Trong 12 phút = -giờ vòi II chảy được bao nhiêu?
HS:Trong 10 phút = — giờ vòi I chảy đươc : —. — = 1 (bể)
6
6 X
6x
Trong 12 phút = -giờ vịi II chảy đươc : —
5
5y
Như vậy ta có phương trình thế nào?
112
HS: — + — = — (2)
6x 5y 15

1,1_
— +---- 3
X y
4

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

- 6x 5y 15

-

12

-

(bể)


(Q.Ềnchọn
kí ntítui
tui
edeti
láu HS:
ké uhưtínti
GV: Ngồi cách
ẩn này**■Ếiiaĩ
ra, ta cịn bài
cáchỈM
chọnÍn
nàohà
nữa
hay
khơng?
trình”

chọn X, y lần lượt là năng suất của mỗi vòi.
Giáo viên hướng dẫn học sinh lập bảng phân tích tương ứng:
Năng suất chảy trong 1 giờ
3 „ V
"(bể)

Cả 2 vòi

Thời gian HTCV
4 .
1 giờ 2 0 phút = — giờ

4
1

X

Vòi I

X

Vịi II

1
—

y

y

GV: Qua bảng phân tích ta có phương trình thế nào?
HS: X +y = 3 (1)
4
GV: Đe tìm được phương trình (2) ta thực hiện như cách 1. Như vậy ta có phương trình thế nào?
112
HS: — X + -y= — (2)

6

5

15

3
4

X +y
=

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:
Đen đây học sinh dễ nhầm lẫn là lấy kết quả tím được đế trả lời bài tốn. Vì thế giáo
viên cần nhắc nhở học sinh đây không phải là kết quả cuối cùng mà ta phải trả lời ở cột thời
gian tức là lấy nghịch đảo kết quả tìm được đế trả lời.
L ư u ý: Dù chọn ẩn ở cột thời gian hay năng suất thì phương trình lập được bao giờ
cũng dựa vào cột năng suất.
* Ớ chương trình đại số lóp 9 các em cũng thường gặp loại bài tìm 1 số tự nhiên có 2
chữ số, đây cũng là loại tốn tương đối khó đối với các em; để giúp học sinh đỡ lúng túng khi
giải loại bài thì trước hết phải cho các em nắm được một số kiến thức liên quan:
- Cách viết số trong hệ thập phân:
+SỐ có 2 chữ số được kí hiệu là: ữồ = 10a+b
+SỐ có 3 chữ số được kí hiệu là: a b c = lOOa+lOb+c
Mối quan hệ giữa các chữ số, vị trí giữa các chữ số trong số cần tìm...; điều
kiện của các chữ số.
- Quan hệ chia hết và chia CÓ dư:
+ Chữ số hàng chục a chia hết cho chữ số hàng đon vị b là a = b.q (q là thương)
-

13

-


kí ntítui
bàisốỈM
Ín
hà
edetithương
láu ké
+ Chữ(Q.Ền
số hàng
chục a**■Ếiiaĩ
chia cho chữ
hàng
đơn
vịtui
b được
là uhưtínti
q và dư là r thì: a =

b.q + r

trình”

Ví dụ : “Một số tự nhiên có hai chữ số, tổng các chữ số của nó là 16, nếu đổi chỗ hai
chữ số cho nhau được một số lớn hơn số đã cho là 18 đơn vị. Tìm số đã cho.” P h â n t í c h :
Học sinh phải nắm được :
-

Số cần tìm có mấy chữ số ?(2 chữ số).

-

Quan hệ giữa chữ số hàng chục và hàng đơn vị như thế nào? (Tống 2 chữ số là

16).
- Vị trí các chữ số thay đối thế nào? (Chữ số hàng chục thành hàng đơn vị và ngược lại)
- Số mới so với ban đầu thay đối ra sao? (Số mới lớn hơn số đã cho là 18 đơn vị)
- Muốn biết số cần tìm, ta phải biết điều gì? (Chữ số hàng chục, chữ số hàng đơn vị).
- Đen đây ta dễ dàng giải bài toán, thay vì tìm số tự nhiên có hai chữ số ta đi tìm chữ số hàng
chục, chữ số hàng đơn vị
Neu gọi chữ số hàng chục là X, chữ số hàng đơn vị là y Điều kiện của X và y ? (x,yeN, 0
< x,y < 10).
Tống các chữ số là 16, vậy ta có phương trình thế nào?
X+

y = 16 (1)

Số đã cho được viết thế nào? x y = lOx + y
Đối vị trí hai chữ số cho nhau thì số mới được viết như thế nào? y x = 10y + X
Số mới lớn hơn số đã cho là 18 nên ta có phương trình ra sao?
(lOy + x) - (lOx + y) = 18 hay-x + y = 2 (2)

3.3-

MOT SỒ VÍ DU MINH HOA VẺ CÁC DANG TỐN VẢ BẢI TÀP HÌNH THẢNH KĨ

NĂNG:

Trong phần soạn một số bài tốn điển hình của từng loại, bản thân tơi khơng có tham vọng gì
lớn chỉ mong đó là tài liệu tham khảo đế các em học sinh luyện tập thêm.
Loai 1 : Bài toán về chuyển động
Vi d u 1 :Một ôtô dự định đi từ A đến B trong một thời gian nhất định. Nếu xe chạy
với vận tốc 35 km/h thì đến chậm mất 2 giờ. Neu xe chạy với vận tốc 50 km/h thì đến sớm hon
1 giờ. Tính thời gian dự định đi lúc đầu và quãng đuờng AB.

-

14

-


(Q.Ền kí ntítui **■Ếiiaĩ bài ỈM Ín hà tui edeti láu ké uhưtínti
Hãy xác trình”
định đối tuợng tham gia vào bài
toán?

Gọi thời gian dự định đi lúc đầu là x(h), điều

Đe bài yêu cầu ta tìm các đại luợng nào?

kiện : x>0
Hãy chọn ẩn cho các đại luợng đó và xác định Gọi độ dài quãng đuờng AB là y(km), điều
điều kiện tuơng ứng?

kiện : y>0

Với giả thiết nếu xe chạy với vận tốc 35 km/h Neu xe chạy với vận tốc 35 km/h thì đến chậm

thì đến chậm mất 2 giơ, ta hiếu nhu thế nào?

mất 2 giờ, tức là thời gian chạy bằng x+2 do
đó:

HS:Neu thời gian dự định tăng thêm 2 giờ thì

35(x+2)=y (1)

xe sẽ đi hết quãng đuờng AB
Với giả thiết đó đuợc biểu thị qua các ẩn

X,

y Neu xe chạy với vận tốc 50 km/h thì đến sớm

nhu thế nào?

hơn 1 giờ, tức là thời gian chạy bằng x-1 do

Tuơng tự, nếu xe chạy với vận tốc 50

đó:

km/h thì đến sớm hơn 1 giờ, ta biếu thị
qua các ẩn X, y nhu thế nào?

50(x-l)=y (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phuơng trình:

Từ hai phuơng trình có đuợc hãy lập hệ
phuơng trình và giải hệ phuơng trình

r 35(x+2)=y

GV mời 1 HS lên bảng giải
Sau khi HS giải xong, GV chú ý cho HS so
sánh giá trị tìm đuợc của ẩn với điều kiện ban
đầu rồi kết luận

1 50(x-l)=y

»{ y= 350 <™ĐK)
Vậy quãng đuờng AB bằng 350 và thời gian
dự định đi lúc đầu là 8 giờ

Ví du 2 : Giữa hai địa điếm A và B cách nhau 30 km, một xe máy và một xe đạp khởi hành
cùng lúc tại A và B. Neu hai xe đi nguợc chiều nhau thì sau 40 phút chúng gặp nhau, còn
nếu hai xe đi cùng chiều theo huớng từ A đến B thì sau 2 giờ chúng gặp nhau. Hãy tính vận
tốc của mỗi xe?
GV tóm tắt bài tốn trên hình vẽ cho HS chọn Gọi x(km/h), y(km/h) lần luợt là vận tốc của
ẩn và tính các đại luợng chua biết qua ẩn?

xe máy và xe đạp, điều kiện: x>y>0

-

15

-

2 trình :
Trường
Xe
Xe máy
máyhọp
~~Y1: X -km/h
- động ngược
B chiều,
Xe đạp
D Do đó ta có phương
Khi
hai
xe chuyến
haiđạp
xe
Xe
30km
2 giờ Sau 40 phút = — giờ :
gặp nhau khi nào? Từ đó ta thiết lập được -X+ -y= 30 <=>X + y = 45 (1)
vkm/h
(Q.Ền kí ntítui **■Ếiiaĩ
bài ỈM Ín hà tui edeti láu
2 ké uhưtínti
3
3
phương trình
nào?
trình”

30km họp 2:
Trường
Xe máy đi được — X (km)
Sau 2 giờ:
2
Xe máy đi được 2x (km)
Xe đạp đi được — y (km)
Xe đạp đi được 2y (km)

Ta có phương trình:
2x-2y= 30 «x + y= 15 (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:
rx

+ y = 45

IX—y

= 15

r X = 30 (TMĐK)
I y= 15

Vậy vận tốc của xe máy là 30 km/h
Vận tốc của xe đạp là 15 km/h
Bài tập hình thành kĩ nănẹ :
1- Hai canơ cùng khởi hành từ bến A và B cách nhau 85 km, đi ngược chiều nhau. Sau
1 giờ 40 phút thì gặp nhau. Tính vận tốc riêng của mỗi canơ. Biết rằng vận tốc riêng của canô đi
xuôi lớn hơn vận tốc riêng của ca nô đi ngược là 9 km/h và vận tốc dòng nước là 3 km/h.
2- Một ca nô đi xuôi từ đến B với vận tốc trung bình là 30 km/h sau đó đi ngược lại từ

B về A. Tính quãng đường AB, biết thời gian đi xi ít hơn thời gian đi ngược là 40 phút và vận
tốc dòng nước là 3 km/h.
3- Lúc 7 giờ, một người đi xe máy khởi hành từ A với vận tốc 40 km/h. Sau đó, lúc 8
giờ 3 0 phút, một người khác cũng đi xe máy từ A đuối theo với vận tốc 60 km/h. Hỏi hai người
gặp nhau lúc mấy giờ?
Một người đi xe đạp dự định đi hết quãng đường AB với vận tốc 10 km/h. Sau khi đi được nửa
quãng đường với vận tốc dự định người ấy nghỉ 30 phút. Vì muốn đến B kịp giờ nên người ấy
phải đi với vận tốc 15 km/h trên qng đường cịn lại. Tính qng đường AB?
Loai 2 : Bài toán về năng suất lao động
Chủ ý :
Năng suất lao động là kết quả làm đuợc, nhu vậy:
Năng suất lao động trội = mức quy định + tăng năng suất.
V í d u 1 : Trong tháng 3, hai tổ trồng đuợc 720 cây xanh. Trong tháng 4, tổ I vuợt mức
15%, tố II vuợt mức 12% nên cả hai tố trồng đuợc 819 cây xanh. Tính xem trong tháng 3, mỗi
tổ trồng đuợc bao nhiêu cây xanh ?

-

16

-


(Q.Ền kí ntítui **■Ếiiaĩ bài ỈM Ín hà tui edeti láu ké uhưtínti
Đề bài utrình”
cầu tính gì?
Gọi số cây xanh tố I trồng đuợc trong tháng 3
Hãy chọn ẩn và đặt điều kiện cho ẩn

là x(cây), điều kiện : 0

Số cây xanh tố II trồng đuợc trong tháng 3 là y
(cây), điều kiện : 0
Trong tháng 3, hai tổ trồng đuợc 720 cây xanh Trong tháng 3, hai tổ trồng đuợc 720 cây xanh
nên ta có phuơng trình thế nào?

nên ta đuợc:
x + y= 720 (1)

Chú ý: Neu làm vuợt mức a% tức là đã làm

đạt (10 0+a) %
Hãy tính số cây xanh mà mỗi tổ trồng đuợc Trong tháng 4, tổ I vuợt mức 15%, tổ II vuợt
trong tháng 4?

mức 12% nên trồng đuợc 819 cây xanh. Do đó

HS : Tổ 1: 115%x ; Tổ II: 112%y

ta có phưcmg trình:

Tống số cây trồng đuợc trong tháng 4 là

115%x + 112%y =819

819 cây. Nhu vậy ta có phuơng trình thế

« 115x + 112y= 81900 (2)

nào?

Từ (1) và (2) ta có hệ phuomg trình:
r X + y = 720

1 115x + 112y= 81900

«, [ x = 420 (TMĐK)

1 y = 300
So sánh kết quả với điều kiện đầu bài rồi trả Vậy trong tháng 3 tổ I trồng đuợc 420 cây
lời

xanh, tố II trồng đuợc 300 cây xanh

Ví du 2: Hai tổ sản xuất phải hoàn thành 90 sản phẩm. Tổ I vuợt mức 15% kế hoạch của tố.
Tố II vuợt mức 12% kế hoạch của tố. Do đó, cả hai tố làm đuợc 102 sản phẩm. Hỏi theo kế
hoạch, mỗi tổ phải làm bao nhiêu sản phẩm?
Đề bài yêu cầu tính gì?

Gọi số sản phẩm theo kế hoạch tố I phải làm là

Hãy chọn ẩn và đặt điều kiện cho ẩn

x(sản phẩm), điều kiện: 0 < xeN Số sản phẩm
theo kế hoạch tố II phải làm

-

17

-


(Q.Ền kí ntítui **■Ếiiaĩ bài ỈM Ín hà tui edeti láu ké uhưtínti
là y (sản phẩm), điều kiện: 0 < yeN
trình”
Theo kế hoạch, hai tổ sản xuất phải hồn thành Vì hai tổ sản xuất phải hồn thành 90 sản
bao nhiêu sản phẩm?

phẩm nên ta có phương trình:

HS: 90 sản phẩm

X + y = 90 (1)

Như vậy ta có phương trình thế nào?
Tổ I vượt mức 15% kế hoạch, vậy tổ I làm
được bao nhiêu sản phẩm?
HS: 115%x
Tương tự, tổ II vượt mức 12% kế hoạch, vậy
tố I làm được bao nhiêu sản phẩm? HS:
112%y

Tổ I vượt mức 15% kế hoạch, tổ II vượt mức

Khi thực hiện, cả hai tố làm dược bao nhiêu

12% kế hoạch. Do đó, cả hai tố làm được 102

sản phẩm? hãy lập phương trình ?

HS: 102 sản phẩm

sản phẩm, ta được phương trình:
115%x + 112%y = 102 « 115x + 112y= 10200
(2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:
r X + y = 90 t 115x +112y = 10200

r X =40
(TMĐK)
1 y = 50
Vậy theo kế hoạch:

So sánh kết quả với điều kiện đầu bài rồi
trả lời

TỐI phải làm 40 sản phẩm Tổ II phải
làm 50 sản phẩm
Bài tập hình thành kĩ năng:
1- Theo kế hoạch, trong quý I, phân xưởng A phải sản xuất nhiều hơn phân xưởng B
200 bình bơm thuốc trừ sâu. Khi thực hiện, do phân xưởng A tăng năng suất 20%, còn phân
xưởng B tăng năng suất 15% nên phân xưởng A sản xuất được nhiều hơn phân xưởng B là 350
bình bom. Hỏi theo kế hoạch mỗi phân xưởng phải sản xuất bao nhiêu bình bom?
2- Trong tuần đầu hai tổ sản xuất được 1500 bộ quần áo. Sang tuần thứ hai, tổ A vượt
mức 25% kế hoạch, tố B giảm 18% kế hoạch. Do đó, trong tuần này cả hai tố sản xuất được
1617 bộ. Hỏi trong tuần đầu, mỗi tổ sản xuất được bao nhiêu bộ?
3-Theo kế hoạch, hai tổ sản xuất 600 sản phẩm trong một thời gian nhất định. Do áp
dụng kỉ thuật mới nên tổ I đã vuợt mức 18% và tổ II vuợt mức 21%. Vì vậy, trong thời gian qui
-

18

-


kí ntítui
bàiphẩm.
ỈM Ín
kégiao
uhưtínti
định, họ đã (Q.Ền
hồn thành
vuợt**■Ếiiaĩ
mức 120 sản
Hỏihà
số tui
sảnedeti
phẩmláu
đuợc
của mỗi tổ theo kế

hoạch?

trình”

4-Hai xí nghiệp theo kế hoạch phải làm tống cộng 360 dụng cụ. Xí nghiệp I đã vuợt
mức kế hoạch 12%, xí nghiệp II đã vuợt mức kế hoạch 10%. Do đó, cả hai xí nghiệp đã làm
tổng cộng 400 dụng cụ. Tính số dụng cụ mỗi xí nghiệp phải làm theo kế hoạch?
Loại 3 : Bài tốn có liên quan đến sổ học và hình học
V í d ụ 1 : Tìm một số có hai chữ số, biết rằng tống hai chữ số đó bằng 7 và nếu ta

viết hai chữ số ấy theo thứ tự nguợc lại thì đuợc một số lớn hơn số đã cho là 27 đơn vị.
Gọi HS nhắc lại cách biếu diễn của một số
duới dạng lũy thừa theo cơ số 10 :
x ỹ = 1Ox+y
x y z = lOOx + 10 y + z
Gọi số đã cho là xy=10x+y, trong đó
GV cho HS hoạt động theo nhóm (7’)

xeN, yeNvà 1 < X < 9, 1 < y < 9

duới sụ gợi ý của GV :

Theo giả thiết: tống hai chữ số đó bằng 7,

- Số cần tìm có mấy chữ số ?

tađuợc: x + y= 7 (1)
- Quan hệ giữa chữ số hàng chục và hàng đơn Số đuợc viết theo thứ tự nguợc lại là :
ỹ x = 10y + x
vị nhu thế nào?
Vì số mới lớn hơn số đã cho là 27 đơn vị nên ta
- Vị trí các chữ số thay đối thế nào?
có phuơng trình:
- Số mới so với ban đầu thay đối ra sao?
(lOy+x) - (lOx+y) = 27
hay -X + y = 3 (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phuơng trình : f X + y= 7
f x= 2 (TMĐK) t-x

+y

= 3 Vậy số phải tìm là 25.

Sau đó mời đại diện một nhóm lên trình bày
HS nhóm khác nhận xét GV nhận xét chung
Ví du 2 \ Tính độ dài các cạnh góc vng của tam giác vng ,biết rằng nếu tăng các cạnh lên
3cm thì diện tích tăng lên 36cm2 và nếu giảm một cạnh 2cm, cạnh kia đi 4cm thì diện tích của
tam giác giảm đi 26cm2 GV huớng dẫn HS lập bảng phân tích:

-

19

-


(Q.Ền kí ntítui **■Ếiiaĩ bài ỈM Ín hà tui edeti láu ké uhưtínti
Cạnh 1
Cạnh 2
s
trình”
Ban đầu
x(cm)
y(cm)
f Tăng
(x+3) (cm)
(y+3)(cm)
(* + 3)(y + 3) 2

cm
2\
)
Giảm
(x-2) (cm)
(y-4) (cm)
(x-2)(y-4) 2
cm
2\
>
_______________ĐK:x>2;y>4____________
Gọi độ dài hai cạnh góc vng của tam
giác vng lầ luợt là x(cm), y(cm); điều
kiện: x>2; y>4
Neu tăng các cạnh lên 3cm thì diện tích
tăng lên 36cm2, ta đuợc phuomg trình :
(x + 3).(y + 3) x y _ 3 6
2 2 hay X + y
= 21 (1)
Neu giảm một cạnh 2cm, cạnh kia đi 4cm thì
diện tích của tam giác giảm đi 26cm2, ta đuợc
phuơng trình :
xy (x-2).(y-4)_ 2 2 hay 2x
+ y = 30 (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phuomg trình:

Nếu gọi x(cm), y(cm) là độ dài hai cạnh
góc vng thì diện tíc của tam giác vng
này là bao nhiêu?
HS: — (cm2)

2
Neu tăng các cạnh lên 3cm thì diện tích
tăng lên 36cm2, ta đuợc phuomg trình thế
nào ?
Neu giảm một cạnh 2cm, cạnh kia đi 4cm
thì diện tích của tam giác giảm đi 26cm2, ta
đuợc phuơng trình nào ?

26

Ịx

+ y=2l ^ Ị x = 9

(TMĐK)

[ 2x + y = 30
1 y= 12
Vậy hai cạnh góc vng cần tìm là 9(cm) và
Giải hệ phuomg trình tìm X và y ?
GV cho HS giải theo nhóm (10’) rồi mời đại 12(cm)
diện nhóm lên trình bày HS nhận xét
GV hồn chỉnh bài cho HS
Bài tậphình thành kĩ nănẹ:
1- Tìm một số có hai chữ số. Biết rằng chữ số hàng chục lớn hon chữ số hàng đon vị là
5, nếu viết xen chữ số 0 vào giữa chữ số hàng chục và chữ số hàng đon vị thì số tự nhiên đó tăng
630 đon vị.
2- Tìm số tự nhiên có hai chữ số. Biết tống các chữ số bằng 8, nếu đối vị trí hai chữ số
cho nhau thì số tự nhiên đó tăng lên 18 đon vị.
3- Một mảnh đất hình chữ nhật có chu vi là 54m. Neu giảm chiều dài đi 5m và tăng

chiều rộng thêm 2m thì diện tích tăng thêm 9m2. Tính các kích thuớc của hình chữ nhật.
Cho một tam giác vuông : Neu tăng mỗi cạnh góc vng thêm 2m thì diện tích tăng 17m 2. Nếu
giảm một cạnh góc vng đi 3m và giảm cạnh góc vng kia lm thì diện tích giảm 1 lm 2. Tính
độ dài các cạnh của tam giác vng
Loai 4 : Bài tốn có nội dung vật lý, hóa học
Để lập được phương trình, ta phải dựa vào các cơng thức, định luật của vật lý, hóa học
liên quan đến những đại lượng có trong đề tốn.
-

20

-


Chú(Q.Ền
ý: kí ntítui **■Ếiiaĩ bài ỈM Ín hà tui edeti láu ké uhưtínti
trình”

Trong đó :
D:
khối lượng riêng m :
khối lượng V : thể tích

V í d ụ : Một vật có khối lượng là 124 gam, thể tích là 15cm3 là họp kim đồng và kẽm.
Tính xem trong đó có bao nhiêu gam đồng, bao nhiêu gam kẽm. Biết rằng 89 gam đồng thì có
thể tích 10cm3 và 7gam kẽm có thể tích là lcm3.
Bài tốn u cầu tính gì ? Hãy chon ẩn
và đặt điều kiện cho ẩn.

Gọi khối lượng đồng trong họp kim là

x(gam)
Và khối lượng kẽm trong họp kim là y(gam)

Vât có khối lương là 124g ("gồm đồng và
kẽm) nên ta có phương trình thế nào ?

Điều kiện: x>0;ỳ>0
Vì khối lượng của vật là 124 gam nên ta
có phương trình : x+y = 124 (1)

GV : 89 gam đồng thì có thể tích 10cm3. Vậy
x(g) đồng có thể tích bao nhiêu ?
HS: ^(g)
GV : 7gam kẽm có thể tích là lcm 3. Vậy y(g)
kẽm có thế tích bao nhiêu ?
HS : ị y (g)
Vì thể tích của vật là 15cm3 ta có phương

Vật có thể tích là 15 cm3, ta được
phương trình thế nào ?

trình:— , x + — . y = 15 (2)

Giải hệ phương trình, so sánh điều kiện

89 7
Từ (1) và 2 ta có hệ phương trình :

{xr'ỉA. «íx=35(TMĐK)
—JC + -.V = 15 y=35 L 89 7 L

rồi trả lời

Vậy khối lượng đồng trong họp kim là 89g.
Khối lượng đồng trong họp kim là 35g.

-

21

-


kíkĩntítui
Bài tâv hình(Q.Ền
thành
năm:**■Ếiiaĩ bài ỈM Ín hà tui edeti láu ké uhưtínti
trình”

1- Có hai loại dung dịch chứa cùng một thứ axit. Loại I chứa 30% axit, loại II chứa
50% axit. Muốn có 50 lít dung dịch chứa 15% axit thì cần phải trộn lẫn bao nhiêu lít dung dịch
mỗi loại?
2- Một hợp kim đồng và nhơm nặng 11,250kg, có thể tích là 3,500dm3.
Tính khối luợng của đồng và nhơm có trong hợp kim, biết rằng khối luợng riêng của
đồng là 8,9g/cm3; của nhơm là 2,6g/cm3.
Loại 5 : Bài tốn về công việc làm chung, làm riêng
Chủ V : Neu mất n đơn vị thời gian (giờ, ngày...) đế làm xong một cơng việc thì
trong 1 đơn vị thời gian ấy sẽ làm đuợc — cơng việc.
n

V í d u : Hai vịi nuớc cùng chảy vào bế khơng có nuớc trong 12 giờ thì đầy bế.

Nếu mở vịi thứ nhất chảy trong 4 giờ và vòi thứ hai chảy trong 6 giờ thì đầy — bể. Hỏi mỗi vịi
nếu chảy một mình thì phải mất bao lâu mới đầy bể ?

II

và (2)một
ta cómình
hệ phương
GV cho HS phân tích đề, xác định các đối Gọi thời gian đế Từ
vòi(1)
I chảy
cho trình :
Giải
phương
được,đầy
so bể
sánh
c kiện : X >12
tuơng tham gia vào
bàihệtốn
(quatrình
bảngcóphân
là x(giờ), điều
điều kiện để trả lời bài toán
1 1 _một
1 mình cho đầy X = 20
tích)
Thời gian đế vịi II chảy
* y 12 <=>
J

(TMĐK
Chọn ẩn cho bài toán ?
bể là y(giờ), điều kiện„11
: y 2>12
Vòi I chảy trong X giờ thì đầy bế. Vậy trong Nhu vậy, sau 1 giờ : 4, —+ 6.—= —
1 giờ, vòi I chảy đuợc bao nhiêu phần của bể
^ X(bể)
y 5
Vòi I chảy đuợc —
Vậy
thời gian đế vịi I chảy một mình cho đầy
X
?
bể là 20(giờ).
Vòi II chảy đuợc — (bể)
Tuơng tụ cho vòi II, tính xem trong 1 giờ
y gian đế vịi II chảy một mình cho đầy bể
Thời
chảy đuợc bao nhiêu phần của bể ? Hai vòi
Cả hai vòi chảy đuợc
J_bể nên ta có
là 30(giờ)
12

nuớc cùng chảy vào bế khơng có nuớc trong

phuơng trình :

12 giờ thì đầy bế. Vậy trong 1 giờ, cả hai vòi
chảy đuợc bao nhiêu phần của bể ?

Ta thiết lập đuợc phuơng trình nào từ giả
thiết trên ?

ỉ

I_J_

Neu mở vịi I chảy trong 4 giờ thì vịi I chảy
đuợc bao nhiêu phần của bể ?

X y

Neu mở vịi II chảy trong 6 giờ thì vịi II
chảy đuợc bao nhiêu phần của bể ?

(1)

12

Nếu mở vòi thứ nhất chảy trong 4 giờ và
.2
vòi thứ hai chảy trong 6 giờ thì đây —

Nếu mở vịi I chảy trong 4 giờ và vòi II
2

bể, tađuơc: 4, —+ 6.— = — (2)
X y 5

chảy trong 6 giờ thì đây — bê, ta lập đuợc

phuơng trình nào ?

-

22

-


ntítui
bàihồn
ỈM Ín
hàmột
tuicơng
edetiviệc
láu trong
ké uhưtínti
Ví (Q.Ền
du 2 :kíHai
bạn **■Ếiiaĩ
A và B cùng
thành
4 ngày hoặc A làm
trình”

trong 3 ngày, B làm trong 6 ngày thì cơng việc cũng xong. Neu làm riêng mỗi bạn phải mất bao
nhiêu thời gian mới hoàn thành cơng việc ?
Đây là dạng tốn tương tự như dạng tốn
vịi nước, GV cho HS hoạt động nhóm để
giải (10’)

Gọi số ngày đế bạn A tự mình hồn
thành cơng việc là X (ngày), điều kiện :
X> 4
Số ngày đế bạn B tự mình hồn thành cơng
việc là y (ngày), điều kiện : y > 4

Mời đại diện 2 nhóm lên trình bày, mỗi
nhóm trình bày một trường họp Trường họp

Trong 1 ngày:
Bạn A làm được — công việc

1 : Hai bạn A và B cùng

X

hồn thành một cơng việc trong 4 ngày

Ban B làm đươc — công viêc
y
Cả hai ban cùng làm đươc — cơng viêc

4
Ta có phương trình :
1 + 1 = 1 (1) X y 4

Trường họp 2 : Bạn A làm trong 3 ngày,
bạn B làm trong 6 ngày thì cơng việc

Trong 3 ngày, bạn A làm được — công
X

cũng xong

việc
Trong 6 ngày, ban B làm đươc — cơng
y

việc
Theo giả thiết ta có phương trình :
HS khác lên giải hệ phương trình, so sánh điều
- + - = 1 (2) X y

kiện và trả lời

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình :

-

23

-


X=6
<=>
+ 1 =làm
1 Xriên,
Vớinhóm

dạng
việc
và
vịichỉnh
nước,hai
ta việc
HS
-haiTrong
kháctốn
một
nhậncơng
giờ,
xét,cả
GV
hai
hồn
vịi
(hay
bài
Vậy1 nếu
bạn A mất 6(TMĐK)
ngày và bạn
y4
y=!2
thường
trảchốt
lời hai
các:đội,..)
câu hỏi
đếbao

thiết
lập B mất 12 ngày mới hoàn thành cơng
cho
HS và
người,
lại
làmsau
được
nhiêu
(Q.Ền
kí
ntítui
**■Ếiiaĩ
bài
ỈM
Ín Ị+Ậ-1
hà tui edeti láu ké uhưtínti
phưomgphần
trìnhcơng
:
việc ?
X y

trình”

-

Trong một giờ, mỗi vòi (hay mỗi
người, mỗi đội,...) làm được bao
nhiêu phần công việc ?

-

Khi làm riêng với một đơn vị thời
gian cho trước thì cả hai vịi (hay hai
người, hai đội,...) làm được bao nhiêu
phần công việc, ta sẽ thiết lập được
phương trình

Bài tập hình thành kĩ năng:
1- Hai cần cẩu làm chung thì hồn thành cơng việc sau 7giờ 30 phút. Nếu cần cẩu thứ
nhất làm riêng trong 5 giờ và cần cẩu thứ hai làm riêng tiếp tục trong 1 giờ 40 phút thì mới được
một nửa cơng việc. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi cần cẩu phải làm trong bao lâu đế xong công
việc?.
2- Hai đội sản xuất cùng đào một con mương. Neu để mỗi đội làm riêng cả con mương
thì tính ra cả hai đội sẽ mất tất cả 25 ngày mới xong. Neu góp sức làm chung thì cả hai đội chỉ
mất 6 ngày. Hỏi nếu làm một mình thì mỗi đội phải mất bao lâu để đào xong mương ?
3- Hai vòi nước cùng chảy vào bể khơng có nước, sau 2— giờ thì đầy bể.
Neu chảy riêng thì vịi thứ nhất sẽ đầy bể nhanh hơn vòi thứ hai 2 giờ. Hỏi mỗi vòi chảy đầy bế
trong bao lâu?.
4- Hai vòi nước cùng chảy vào một bể khơng có nước sau 5 giờ 50 phút sẽ đầy bế. Neu
đế hai vòi cùng chảy 5 giờ rồi khóa vịi I lại thì vòi II chảy thêm 2 giờ nữa mới đầy bể. Tính
xem nếu để mỗi vịi chảy một mình thì sau bao lâu mới đầy bể ?

-

24

-

kí tốn
ntítui
bàiphần
ỈM Ín hà tui edeti láu ké uhưtínti
Loai(Q.Ền
6 : Bài
về**■Ếiiaĩ
tỉ lệ, về chia
trình”

V ỉ d u : Hai cửa hàng có tất cả 600 lít nước chấm. Neu cửa hàng thứ nhất chuyển sang
cửa hàng thứ hai 80 lít thì số nước chấm ở cửa hàng thứ hai sẽ tăng gấp đôi ở cửa hàng thứ nhất.
Đe bài yêu cầu tính gì ? Hãy chọn ẩn và đặt

Gọi số nước chấm có ở cửa hàng thứ nhất là

điều kiện cho ẩn

X

Hai cửa hàng có tất cả bao nhiêu lít nước

kiện : 0< X, y <600

chấm ?
HS : 600 (lít)

(lít), ở cửa hàng thứ hai là y (lít). Điều

Theo gia thiết thứ nhất ta có : x

Từ đó hãy lập phương trình bài tốn ? Neu

+ y= 600 (1)

cửa hàng thứ nhất chuyến sang cửa hàng thứ
hai 80 lít thì số nước chấm ở mỗi cửa hàng là
bao nhiêu ?
HS : Cửa hàng I : X - 80 (lít)

Sau khi chuyến 80 lít sang, cửa hàng thứ hai

Cửa hàng II : y + 80 (lít)

có (y + 80) lít.

Khi đó số nước chấm ở cửa hàng thứ hai sẽ
tăng gấp đơi ở cửa hàng thứ nhất, vậy ta có

Theo đề bài thì y + 80 = 2(x - 80)

phương trình thế nào ?

Hay 2x - y = 240 (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:
;

x

+ y =600 « r*= 2 8 0 (TMĐK) 1 2x - y = 240
ly* 3 2 0

Vậy cửa hàng thứ nhất có 280 lít nước chấm.
HS giải hệ phương trình, so sánh kết quả và Cửa hàng thứ hai có 320 lít nước chấm.
trả lời
HS khác nhận xét, GV nhận xét chung
Hỏi mỗi cửa hàng chứa bao nhiêu lít nước chấm?
Bài tây hình thành kĩ năns :
1 - Hai lóp 9! và 92 được mua tất cả thảy 380 tập giấy và được phân phối đều
cho hai lóp theo tỷ lệ _9_. Hỏi mỗi lóp mua được bao nhiêu tập giấy ?
10

2- Tống số học sinh của hai lóp 9A và 9B là 55 học sinh. Neu lóp 9A bớt đi 2 học sinh
và thêm vào lóp 9B 3 học sinh thì số học sinh hai lóp bằng nhau. Tìm số học sinh mỗi lóp
3.4-

BIÊN PHÁP THƯC HIÊN:

Đe thực hiện tốt yêu cầu đề ra trong việc phân tích bài tốn “Giải bài tốn bằng cách lập hệ
phương trình” với thời lượng lên lớp chính khóa (2tiết) là rất khó. Do đó, bản thân tôi mạnh dạn
đưa ra các biện pháp sau đây:

-

25

-