HSG Toan 9cap TPLong XuyenChau Doc AG 2022016

<span class='text_page_counter'>(1)</span>

<span class='text_page_counter'>(2)</span>

<span class='text_page_counter'>(3)</span> BÀI 3 (3,0 điểm):  x  2  2 y  1 9  x  y  1  1 Giải hệ phương trình:  GIẢI:  x  2  2t 9 (1)  t  y  1 (t 0) x  t  1 (2) Đặt khi đó HPT đã cho trở thành:  Từ (2) suy ra: t  1  x thay vào PT (1) ta được: x  2  2( 1  x ) 9  x  2  2 x 11 x  2 x  2 * Nếu x 2 thì . Khi đó: x  2  2 x 11  x  2  2 x 11  x  11. (loại). x  2 2  x * Nếu x  2 thì . Khi đó: x  2  2 x 11  2  x  2 x 11   3 x 9  x  3. (nhận). Với x = -3 suy ra: t = - 1 – ( - 3) = 2 .  y  1 2  y 3 y  1 2     y  1  2  y  1 Do đó: Vậy HPT đã cho có hai nghiệm: (-3 ; 3) và (-3 ; - 1) BÀI 4 (3,0điểm): Cho hai số a, b khác 0. Chứng minh rằng: a b  1 1 1  1  b  a   a  b   ab  1 ab 0     Dấu bằng xảy ra khi nào? GIẢI: Ta có: a b  1 1 1  1 a 2  b 2  (a  b)  1  ab      1   0  0  b a  a b  ab  ab (ab) 2      a 2  b 2  (a  b)  1  ab 0 (do a, b khác 0 nên (ab)2  0 ) 1  2a 2  2b 2  2  2a  2b  2ab 0 2 1   a 2  2ab  b 2  a 2  2a  1  b 2  2b  1  0 2 1 2 2 2    a  b    a  1   b  1  0   2 2 2 2 a  b  0 ;  a  1 0 ;  b  1 0  Do: 1 2 2 2  a  b    a  1   b  1  0 Nên: 2. . . . a b ba Vậy .  .  . .  1  1 1 1      1  0  a b  ab  ab  a  b 0    a  1 0  b  1 0 . Dấu “=” xảy ra BÀI 5 (4,0 điểm):.  a b   a 1  a b 1 b 1 .

<span class='text_page_counter'>(4)</span> Cho tam giác ABC vuông tại B, kẻ trung tuyến BD. Đường tròn nội tiếp tam giác ABD tiếp xúc với cạnh AD tại K. Tính các góc của tam giác ABC nếu biết K là trung điểm của AD. GIẢI:. 0  Vì tam giác ABC vuông tại B nên: B 90. BD . AC 2 (1). Vì BD là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền AC nên: AC DA  2 (2) Mặt khác D là trung điểm của AC nên: Từ (1) và (2) suy ra: BD = DA nên tam giác DAB cân tại D   Do đó: DAB DBA (tính chất tam giác cân) (3) Hai tam giác vuông OKD và OKA có KD = KA (GT) và OK là cạnh chung nên: OKD OKA (c.g.c) BDA BAD     BDA BAD   ODK  OAK 2 2 Suy ra: (góc tương ứng) hay (4) DAB DBA   BDA hay tam giác DBA là tam giác đều. Từ (3) và (4) suy ra: 0  Suy ra: DAB 60 0  Do đó: ACB 30  900 B A 600 0  Vậy số đo các góc của tam giác ABC là: C 30. BÀI 6 (3,0điểm): Thả điều là một hoạt động vui chơi thường gặp trong những ngày hè. Vật liệu làm diều chính là giấy, hai thanh tre và dây thả. Bạn An làm một chiếc diều có dạng tứ giác ABCD (hình vẽ) 0 0   Biết AB = BC = 20cm ; AD = DC ; góc ABC 90 và ADC 60 . Tính chiều dài đoạn AC và BD để làm khung cho diều và diện tích tứ giác ABCD. GIẢI:.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> Áp dụng định lý Py-ta-go vào tam giác vuông ABC, ta có: AC  AB 2  BC 2  202  202 20 2 (cm) Dễ thấy H là trung điểm của AC AC 20 2 HA HC   10 2 2 2 Suy ra: (cm) AB.BC 20.20  BH   10 2 AC 20 2 Ta có: BH.AC = AB.BC (cm) ADC 600 Tam giác ADC có DA = DC (GT) và nên tam giác ADC là tam giác đều Suy ra: DA = DC = AC = 20 2 (cm) Áp dụng định lý Py-ta-go vào tam giác vuông DHA: DH  AD 2  HA2  (20 2) 2  (10 2) 2 10 6. (cm) Do đó: BD = BH + DH = 10 2  10 6 10 2(1  3) (cm) Diện tích tứ giác ABCD: BH . AC DH .AC AC ( BH  DH AC.BD 20 2.10 2(1  3) S ABCD S ABC  S ADC      200(1  3) 2 2 2 2 2 (cm2).

<span class='text_page_counter'>(6)</span>