NGUYEN HAM TICH PHAN TO HOP CO DAP AN

<span class='text_page_counter'>(1)</span>PHAÀN II: NGUYÊN HAØM – TÍCH PHÂN – TỔ HỢP I.. CAÂU HOÛI TRAÉC NGHIEÄM:. 112. Moät nguyeân haøm cuûa haøm soá a/ c/. x x y  sin cos 2 2.   2 cos 4. bằng biểu thức nào dưới đây. b/. 1  cos x 2. 1 cos x 2. d/ Cả ba câu trên đều sai. 2. f(x)dx x  x  C 113. Cho  f(x 2 )dx ? Vaäy . a/ c/. x5 x3  C 5 3. 4 2 b/ x  x  C. 2 3 x  xC 3. d/ Không được tính. 3. 114.. 115.. (x  x )dx ...?. 1. a/ 8. b/ 10. 2. lim. . x  1 x. dt t 1. c/ 7. d/ 9. 1 2. . ...? 1 2. a/ -2 b/ 2 c/ d/ 2 116. Cho Parabol y = x vaø tieáp tuyeán At taïi A(1 ; 1) coù phöông trình: y = 2x – 1 Dieän tích cuûa phaàn boâi ñen nhö hình veõ laø: a/. 1 3. b/. 2 3. c/. 4 3. y 4. 1 -2 -1  4. 117.. sin 0. a/. 2. A -1 1. x.  x 2 x  2  cos  2  dx ...?    .  1  16 16. b/.  1  32 16.  1  32 16. c/ d/ Moät soá khaùc x  [a, b], f '(x) g'(x) 118. f vaø g laø hai haøm soá theo x. Bieát raèng Trong các mệnh đề: (I) x  [a, b], f '(x) g(x) b. b. (II) ( a. a. f(x)dx  g(x)dx. d/ Moät soá khaùc.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> (III) x  [a; b], f(x)  f(a) g(x)  g(a) Mệnh đề nào đúng? a/ I b/ II c/ Khoâng coù d/ III 119. Coi hàm số y = f(x) có đạo hàm y’ = 0 và có đồ thị (C) qua điểm A(1 ; 2) Diện tích giới hạn bởi (C), 2 trục toạ độ và đường thẳng x = 2 bằng bao nhiêu? a/ 1 b/ 2 c/ 4 d/ Không xác định được 120. Moät hoïc sinh tìm nguyeân haøm cuûa haøm soá y  x 1  x nhö sau: (I) Đặt u = 1 - x ta được y (1  u) u 1. (II) Suy ra. 3. y u 2  u 2 2. (III): Vaäy nguyeân haøm. 5. 2 2 F(x)  u 3  u 2  C 3 5 2 2 F(x)  (1  x) 1  x  (1  x) 2 1  x  C 3 5. (IV) Thay u = 1 ta được: Lập luận trên, nếu sai thì sai từ giai đoạn nào? a/ II b/ III c/ I. d/ IV.  2. 4 sin3 x I  dx 0 1  cos x. 121. Tính a/ 3 b/ -3 122. Caùc caâu sau ñaây, caâu naøo sai? a/. Ann  Pn. c/. C0n. c/ -2 b/. d/ -6. 1 Cnn  Ann n. n d/ Cn 1!.  0! 9 A10 x  Ax. A8x. 123. Tính x bieát raèng: a/ 11 b/ 12. 9. c/ 10. d/ Moät soá khaùc. 2. x  xy  C  f(y)dy.  124. Hãy xác định hàm số f(x) từ đẳng thức: a/ 2x b/ x c/ 2x + 1 d/ Không tính được eu  ev  C  f(v)dv. 125. Hãy xác định hàm số f từ đẳng thức sau: v u v a/ e b/ e c/  e 126. Hãy xác định hàm số f từ đẳng thức sau: a/ c/. . 1 y3. . 2 y3. b/. . 3 y3. d/ Moät keát quaû khaùc.. 127. Hãy xác định hàm số f từ đẳng thức: a/ 2cosucosv c/ cosu + cosv 128. Moät hoï nguyeân haøm cuûa haøm soá:. 4 1  2  C  f(y)dy 3 x y. u d/  e. sin u. cos v  C  f(u)du. f(x) . b/ -cosucosv d/ cosucosv e3x 1 ex  1. laø:.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> 1 2x e  ex  x  C 2. . a/ 2x x c/ e  e  x  C. 1 2x e  ex  x  C 2. b/ d/ Moät keát quaû khaùc. 2x x x 129. Moät hoï nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x) 2 .3 .7 laø:. a/. 74 x C ln 74. b/. c/. 94 x C ln 94. d/ Không tính được. 130. Để tìm họ nguyên hàm của hàm số: (I). f(x) . f(x) . 84 x C ln 84. 1 x  6x  5 . 2. Moät hoïc sinh trình baøy nhö sau:. 1 1 1 1 1       x 2  6x  5 (x  1)(x  5) 4  x  5 x  1 . (II) Nguyeân haøm cuûa caùc haøm soá. 1 1 , x 5 x 1. theo thứ tự là:. ln x  5 , ln x  1. 1 1 x 1 (ln x  5  ln x  1  C  C 4 4 x 5. (III) Hoï nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x) laø: Nếu sai, thì sai ở phần nào? a/ I b/ I, II c/ II, III. d/ III. 2. 131. Hoï nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x) x cos x laø: a/ c/. 1 sin 2 x  C 2. b/. 1  sin x 2  C 2. d/ Moät keát quaû khaùc. 132. Tìm nguyeân haøm cuûa haøm soá. f(x) . 3. x  3x 2  3x  7 (x  1)2. 2. a/. 1 sin x 2  C 2. với F(0) = 8 là:. 2. x 8 x 2 x 1. b/. x 8 x 2 x1. 2. c/. x 8  x 2 x 1. d/ Moät keát quaû khaùc. 133. Tìm nguyeân haøm cuûa: a/. sin 6x sin 8x  12 16. c/. sin 6x sin 8x  12 16.   y  sin x. sin 7x với F    0 2. b/ d/. 134. Hoï nguyeân haøm cuûa haøm soá. sin 6x sin 8x  12 16.  sin 6x sin 8x    16   12. 1 y x ln x ln(ln x). a/ ln(ln x)  C. b/. c/. d/. ln x  C. . laø:. ln 2 ln x  C ln ln(ln x)  C. x 135. F(x)  4 sin x  (4x  5)e  1 laø moät nguyeân haøm cuûa haøm soá: x a/ f(x) 4 cos x  (4x  9)e. x b/ f(x) 4 cos x  (4x  9)e. x c/ f(x) 4 cos x  (4x  5)e. x d/ f(x) 4 cos x  (4x  6)e. 136. Cho hai haøm soá. F(x) ln(x 2  2mx  4) vaø f(x) . 2x  3 x 2  3x  4.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> Định m để F(x) là một nguyên hàm của f(x) a/. 3 2. 137. Tính a/ c/. b/. . 3 2. c/. 2 3. d/. . 2 3. x. H  x3 dx. H H. 3x (x ln 3  1)  C ln 2 3. b/. H. 3x (x ln 2  2)  C ln 2 3. x. 3 (x ln 3  1)  C ln 2 3. d/ Moät keát quaû khaùc. 2 2 138. Tìm hoï nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x) cos x. cos 2x vaø g(x)  sin x. cos 2x. a/. 1 1  F(x)   x  sin 2x  sin 4x   C 4 4 . b/. 1 1  G(x)   x  sin 2x  sin 4x   C 4 4 . c/. 1 F(x)  x  sin 2x  sin 4x  C 4. d/. 1 G(x)  x  sin 2x  sin 4x  C 4. 1 1  G(x)   x  sin 2x  sin 4x   C 4 4  1 1  F(x)   x  si n2x  sin 4x   C 4 4  G(x) . F(x)  x  ln(1  x ). 139. Để chứng tỏ hàm số hoïc sinh trình baøy nhö sau:. 1 1  x  si n2x  sin 4x   C 4  4 . F(x) . 1 1  x  sin 2x  sin 4x   C 4  4 . laø moät nguyeân haøm treân R cuûa haøm soá. I. Trường hợp 1: x > 0 : ta có: F(x) = x – ln(1 + x).  F '(x) . F '(x) . II. Trường hợp 2: x < 0 : Ta có: F(x) = -x – ln(1- x) III. Trường hợp 3: x = 0 : ta có F(0) = 0 lim. a/. x 0. x 1 x. x 1x. x f(x) 1 x.  F '(x) . x x  f(x) 1 x 1 x.  ln(1  x)  ' F(x)  F(0) x  ln(1  x)  0  lim 1  lim x 0 x 0 x 0 x (x)'. 1  lim x 0. b/. f(x) . x1  0 f(0) 1. (quy taéc L’Hospital).  ln(1  x) ' 0 f(0) F(x)  F(0)  x  ln(1  x) lim  lim  1  lim x 0 x 0 x 0 x 0 x 0 (x)'. Từ a/ và b/  F '(0) 0  x  R : F'(x) f(x)  F(x) laø moät nguyeân haøm cuûa f(x) Phaùt bieåu naøo sai a/ I b/ I, II c/ III. d/ I, II, III. 2 2 140. Tính diện tích hình hữu hạn giới hạn bởi các đường cong ax  y ; ay x (a > 0 cho trước). a/ c/. S. a2 3. b/. 2 S  a2 3. d/. S. a2 2. 4 S  a2 3. 2 141. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: y x và y sin x  x (0 x ) là:. a/. . b/.  2. c/. 3  2. d/ Moät soá khaùc. moät.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> y. x2 8x 3  1. 142. Cho haøm soá với tập xác định D = R [0;  ) có đồ thị (C) Tính diện tích tam giác cong chắn bởi trục hoành, (C) và đường thẳng x = 1 a/ c/. S. . ln 2 10. b/. ln 3 S 12. S. ln 3 9. d/ Moät keát quaû khaùc 2. 143. Xét hình (H) giới hạn bởi các đường (C) : y (x  3) , y  0 và x = 0. Lập phương trình các đường thẳng đi qua điểm A(0 ; 9), chia (H) thành ba phần có diện tích bằng nhau. y 13x  9. a/ y. 27x 9 2. 27x 9 4 27x y 9 2. b/. y. 27x 9 4. y . c/ y 14x  9. d/. y. y 14x  9. 27x 9 4. 144. Để tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = cosx trên đoạn [0 ; 2], trục hoành (y = 0). Một học sinh trình bày như sau: (I). Ta coù:. cos x  0 khi 0  x .  3 vaø   x  2  2 2. 2.  2. 3 2. 2. 0. 0.  2. 3 2. S   cos x dx  cos x dx .  cos x dx .  2. 3 2. 2. 0.  2. 3 2. S  cos xdx .  . ( cos x)dx _ 3.  cos x dx. cos xdx. 2. S  sin x 02  sin x 2  sin x 3 . 2  (IV) S = 1 - 1 + 1 + 1 = 2. Sai ở phần nào? a/ Chæ (III) vaø (IV) c/ Chæ (I) vaø (IV). 2. d/ Chæ (II) vaø (IV). b/ Chæ (III). 2 145. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của: y  x  2x , trục Ox và 2 đường thẳng x = 0, x=2. a/. 2 3. b/. 4 3. c/. 1 3. 146. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi Parabol 11 2. 5 2. d/ Moät soá khaùc y  x2. 9 2. và đường thẳng y = -x - 2. a/ b/ c/ d/ Moät keát quaû khaùc 147. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi ba đường: y = sinx, y = cosx và x = 0 a/ 2 2  1 b/ 2 2  1 c/ 2 d/ Moät soá khaùc 148. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai parabol:. 1 1 y  x 2 vaø y  3x  x 2 4 2.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> a/ 8. b/ 7. c/ 9 y. d/ 6. 2. x  x 1 x  1 , tieäm. 149. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) : cận xiên, trục tng và đường thaúng x = -1 a/ ln3 b/ ln2 c/ ln5 d/ Moät soá khaùc 150. Tính diện tích của một hình tròn tâm tại gốc toạ độ, bán kính R: R 2 2. 2. 2 c/ R. a/ 2 R b/ 151. Tính dieän tích cuûa moät hình elip: a/. 2 ab. b/. ab 2. d/ Moät keát quaû khaùc. 3 ab 2. c/. d/ ab 2. 2 152. Tính diện tích giới hạn bởi 2 đường cong: (C1 ) : y  f1 (x) x  1; (C2 ) : y f2 (x)  x  2x và đường thẳng x = -1 và x = 2.. a/. 13 2. b/. 11 2. 153. Tính diện tích giới hạn bởi : (C) : =3 a/. 1 2. b/. 1 3. c/ 7. y x . d/ Một đáp số khác. 1 2x 2. , tiệm cận xiên của (C) và 2 đường thẳng x = 1, x. c/. 2 3. d/ 1. x  0, y  x  6 (D); y  x 2 (C1 ) vaø y . 154. Cho ba hàm số sau, xác định với hình phẳng giới hạn bởi ba đường: (D1 , (C1 ) và (C2 ) a/ 4 b/ 5 c/ 6. x2 (C2 ) 8 . Tính. dieän tích. d/ 3. y  x 2  2x  2. 155. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol: tiếp tuyến với parabol tại điểm M(3 ; 5) vaø truïc tung a/ 6 b/ 7 c/ 5 d/ 9 156. Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi: y = lnx, y = 0, x = e là: a/ 1 b/ 2 c/ 4 d/ Moät keát quaû khaùc 157. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: y = x(x – 1)(x – 2), y = 0 a/. 1 3. b/. 1 2. c/. 158. Cho D là miền kín giới hạn bởi các đường D 8 5. 7 2. 1 4. y 2. d/ 1. , y = 2 – x vaø y = 0. Tính dieän tích cuûa mieàn. 7 6. a/ b/ c/ d/ Một đáp số khác 159. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: y = x + 1, y = cosx và y = 0 a/. 1 2. b/ 1. c/ 2. d/ 2. 3 2. 3. 160. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: (y  x)  x và x 1 4 5. 3 5. 2 5. a/ b/ c/ d/ Moät soá khaùc 161. Tính thể tích vật thể giới hạn bởi mặt sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi: y  2x  x 2 , y  0. quay quanh Ox..

<span class='text_page_counter'>(7)</span> 17  15. 16  15. 14  15. a/ b/ c/ d/ Moät keát quaû khaùc 162. Thể tích vật thể giới hạn bởi mặt sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi đường y  x 2 , 8x  y 2. 21 5. quay quanh Oy 23  5. 24 5. 23  5. a5 20. a4 5. a5 30. a/ b/ c/ d/ 163. Tính thể tích sinh ra khi quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn bởi trục Ox và Parabol (C) : y  ax  x 2 (a  0). a5 10. a/ b/ c/ d/ 164. Tính thể tích khối tròn xoay tạo nên khi ta quay quanh trục Ox, hình phẳng S giới hạn bởi các x đường: y  x.e , x 1, y  0 (0  x 1). a/. (e2  1) 4. (e2  1) 4. b/. 165. Cho hình giới hạn bởi elip (E) : Theå tích vaät theå troøn xoay laø: a/. 2 ab 2 3. c/ x2 y2  1 a2 b 2. 4ab 2 3. b/. (e2  1) 2. d/ Moät keát quaû khaùc. quay quanh truïc Ox.. c/. ab 2 3. d/ Moät keát quaû khaùc.  y  0, y  cos 4 x  sin 4 x , x  , x  2 .. 166. Cho D là miền được giới hạn bởi 4 đường: Tính thể tích khối tròn xoay tạo nên khi quay miền Được quanh trục Ox. a/. 2 8. 5 2 8. b/. c/. 3 2 8. d/ Moät keát quaû khaùc. TỔ HỢP 2. 2 2 167. Ñôn giaûn toång: A (1  1  1).1! (2  2  1).2! (3  3  1).3! ....  (n  n  1).n! a/ (n  1)! 1 b/ (n + 2)! – 1 c/ (n – 1)!(n – 1) - 1 d/ (n + 1)!(n + 1) - 1. 1. 2. 1 1 1 1    ...  3 1! 2! 3! n!. 168. Chứng minh: Moät hoïc sinh trình baøy nhö sau: (I) Ta coù:. 1 1  1! 1. 1 1  2! 1.2 1 1  3! 2.3 1 1  4! 3.4. ............... ................ (II). 1 1  n! (n  1)n 1 1 1 1 1 1 1 1  1     ...   11    ...  1! 2! 3! n! 1.2 2.3 3.4 (n  1)n.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> (III) VP = 1. 1  1 1 1 1  1 1 1 2          ...     2  1  n 3  n  3 1 2  2 3  n n 1. 1 1 1 1    ...   3 1! 2! 3! n!. Vaäy Sai ở giai đoạn nào? a/ (III) b/ (I) c/ (I) vaø (II) d/ Tất cả đúng 169. Có bao nhiêu cách để xếp 3 người Việt, 4 người Pháp, 4 người Nga, 2 người Thái Lan ngồi trong một hàng ghế sao cho những người cùng quốc tịch ngồi cạnh nhau? a/ 3! 4! 4! 2! b/ 4! 3! 4! 4! 2! c/ 5! 3! 4! 4! d/ Moät soá khaùc 170. Ta có thể hoàn tất một công việc bằng m lối trực tiếp hay bằng n lối gián tiếp. Vậy có tất cả bao nhiêu lối để hoàn tất công việc đó. a/ m  n b/ m  n c/ m + n d/ Moät soá khaùc 171. Học sinh X có thể đến trường bằng cách: đi bộ, đi xe đạp, đi xe gắn máy hay nhờ bạn chở, nhờ bạn đưa, đi xe lam, đi xe “bus”. Vậy học sinh X có bao nhiêu cách để đến trường? a/ 1 b/ 3 c/ 4 d/ 7 172. Trên kệ sách có 4 sách toán, 5 sách văn. Có bao nhiêu lối xếp sách cùng loại cạnh nhau? a/ 5760 b/ 2880 c/ 120 d/ Moät soá khaùc 2 3 173. Neáu 2Cn Cn thì n baèng bao nhieâu? a/ 7 b/ 8. 174. Neáu a/ 6. 2A2n.  A3n. 2A2n. C2n  1. 175. Neáu a/ 16. thì n baèng bao nhieâu? b/ 8. c/ 6. d/ 5. c/ 4. d/ 5.  Cn3  1. thì n baèng bao nhieâu? b/ 15 c/ 13. d/ 14.  A2n. 176. Neáu n! thì n baèng bao nhieâu? a/ 6 b/ 7 c/ 4 d/ Moät soá khaùc 177. Có bao nhiêu số nguyên dương chia đúng cho 10 gồm có 3 số? 3 a/ 9 10 b/ 10  9  8 c/ 10 d/ Moät soá khaùc 178. Có bao nhiêu số nguyên dương chia đúng cho 5 gồm có 3 số tạo bởi các con số 0, 1, 2, 4, 5 3 a/ 5 b/ 4  5  2 c/ 5  4  3 d/ Moät soá khaùc 179. Có bao nhiêu số nguyên dương gồm có 4 số khác nhau lớn hơn 2000 và nhỏ hơn 5000 4. 4. a/ 3A9 b/ A10 c/ 3  9  8  7 d/ Moät soá khaùc 180. Xổ số ở một tỉnh có 5 loại: A, B, C, D, E. Trên mỗi vé số có ghi 6 con số. Thí dụ: Loại A004786. Hoûi moãi kyø phaùt haønh coù toái ña bao nhieâu veù soá? 6. 6. a/ 10 b/ 5A10 c/ 10  5 d/ 5 10 181. Có bao nhiêu số chẵn dương gồm có 4 số tạo bởi các con số 1, 2, 3, 4, 5 6. 6. 3. a/ 5 b/ 5  4  3  2 c/ 5  2 d/ Moät soá khaùc 182. Có bao nhiêu số chẵn dương gồm có 4 số khác nhau tạo bởi các con số: 1, 2, 3, 4, 5? 4. 3. a/ 5 b/ 5  2 c/ 5  4  3  2 183. Coù bao nhieâu soá nguyeân döông goàm coù ba soá: 4. 2. 3. 3. a/ 9 10 b/ A10 c/ C10 184. Coù bao nhieâu soá nguyeân döông goàm coù ba soá khaùc nhau? 2. 2 d/ 2  4  3. d/ Moät soá khaùc. a/ 9  8 b/ 9  8 c/ 9  8  7 d/ Moät soá khaùc 185. Cho tập hợp E = {1, 2 ,3 4}. Các dòng dưới đây, dòng nào đúng?.

<span class='text_page_counter'>(9)</span> a/ Bộ ba thứ tư (1, 2, 4) là một chỉnh hợp 3 vật lý 4 b/ Bộ ba thứ tư (1, 1, 2) là một chỉnh hợp 4 vật lý 3 c/ Chỉnh hợp (1, 2, 3) giống chỉnh hợp (2, 3, 1) d/ Cặp thứ tư (2, 4) là một chỉnh hợp 4 vật lý 2 186. Caùc doøng sau ñaây, doøng naøo sai? a/ Một chỉnh hợp n vật lấy p là một bộ p thứ tự mà các phần tử của bộ p thứ tự này thuộc một tập hợp có n phần tử. b/ Một hoán vị n vật là một cách xếp đặt n vật khác nhau vào n chỗ khác nhau c/ Một hoán vị n vật là một chỉnh hợp n vật lấy n. d/ Một tổ hợp n vật lấy p là một tập hợp con, có p phần tử của một tập hợp có n phần tử. 187. Cho tập hợp E = {1, 2 , 3}. Các dòng sau đây dòng nào sai? a/ (1, 2, 3) là một hoán vị 3 vật b/ Mọi phần tử của E2 là một chỉnh hợp 3 vật lấy 2 c/ {1, 2} là một tổ hợp 3 vật lấy 2. d/ (2, 3) là một chỉnh hợp 3 vật lấy 2. 188. Dòng nào sau đây đúng: a/ 0! = 0 b/ 2! 4! = 8! (m  3)! (m  2)(m  3) (m  1)!. c/ d/ các dòng trên đều đúng. 189. Nghieäm soá cuûa phöông trình: n! = 30 (n – 2)! laø: a/ 5 b/ 4 c/ 3 d/ 6 190. Caùc doøng sau ñaây, doøng naøo sai? p a/ Am  m(m  1)(m  2) ... (m  p  1) p. p. c/ Am  p!Cm 191. Caùc doøng sau ñaây, doøng naøo sai? C37 . 7! 3! 5!. m b/ Am 1. d/ Caùc doøng sau ñaây, doøng naøo sai?. 0. 1. 7. a/ b/ C7 1 c/ C7  7 d/ C7 1 192. Nước A có 106 dân. Bầu Tổng thống và Phó Tổng thống thì có thể tối đa bao nhiêu liên danh khaùc nhau? 106 (10 6  1). 2.10 6. 1 6 6 10 (10  1) 2. a/ b/ c/ d/ Moät keát quaû khaùc 6 193. Nước B có 10 dân. Bầu Quốc hội. Mỗi liên danh có 10 người thì có thể có tối đa bao nhiêu lieân danh? 10. 10. a/ 10 b/ A1000.000 c/ C1000.000 d/ Moät soá khaùc 194. Có 3 học sinh a, b, c và bốn phần thưởng nhất, nhì, ba, tư. Có bao nhiêu cách chọn lựa phần thưởng cho 3 học sinh đó? a/ 3 b/ 12 c/ 6 d/ 24 6. p p 195. Am 120, Cm 20 thì p baèng: a/ 3 b/ 4. 196.. C2m. c/ 2. d/ Moät soá khaùc. c/ 7. d/ Moät soá khaùc. 4 3 c/ C7 C7. 4 1 d/ C7 4C7.  28. thì m baèng: a/ 9 b/ 8 197. Các dòng sau đây, dòng nào đúng? 4. 2. 4. 1. a/ C7 C7 b/ C7 C7 198. Các dòng sau đây, dòng nào đúng?.

<span class='text_page_counter'>(10)</span> 4 3 1 a/ C7 C7  C7. 4 6 3 b/ C7 C7  2C6 2. 4 4 3 c/ C7  2C6  C6 1. 199. Nghieäm soá cuûa phöông trìh: Cx 5  Cx laø: a/ 5 b/ 4 c/ 2 200. Coù bao nhieâu vectô noái n ñieåm? a/ n - 1 b/ n(n – 1) c/ n 201.. 4 4 3 d/ C7 C6  C6. d/ Moät soá khaùc d/ Moät soá khaùc. Apn (n  3)(n  4)A 3n. thì p baèng: a/ 6 b/ 4 c/ 5 d/ Moät soá khaùc 202. Cho 10 điểm sao cho 10 điểm đó không thẳng hàng. Hỏi ta có thể vẽ được bao nhiêu đường thẳng qua 2 trong các điểm đó? a/ 20 b/ 90 c/ 10 d/ 45. 203. Một đa giác có 12 cạnh, có bao nhiêu đường chéo? a/ 54 b/ 66 c/ 40 d/ Moät soá khaùc 204. 20 đường thẳng có tối đa bao nhiêu giao điểm? a/ 20 b/ 190 c/ 200 d/ Moät soá khaùc 205. Có thể vẽ được tối đa bao nhiêu tam giác có đỉnh là 10 điểm đã cho? a/ 30 b/ 460 c/ 120 d/ Moät soá khaùc n. 206. Cho phép khai triển (a  b) , ta được bao nhiêu số hạng? a/ n b/ 2n + 1 c/ 2n C0n.  2C1n. 4C2n. n. d/ n + 1. Cnn.   ...  2 207. Toång soá baèng: n n n a/ 3 b/ 2 c/ 4 d/ Moät soá khaùc 6 2 4 208. Hệ só của x trong phép khai triển (1 – x ) bằng công thức Newton là: 3. 3. 2. a/ C4 b/  C4 c/ C4 209. Số hạng có chứa y6 trong phép khai triển (x – 2y2)4 là: 6. 2 6. d/ Moät soá khaùc. 6. a/ 32xy b/ 24x y c/  32xy d/ Moät soá khaùc 210. Có 5 bi xanh, 3 bi đỏ. Lấy 3 bi. Hỏi có bao nhiêu cách lấy được 3 bi đủ hai màu? 3. a/ 15 b/ C8 c/ 40 d/ 45 211. Có 7 vé số, trong đó có 3 vé trúng. Một học sinh mua 3 vé. Hỏi có bao nhiêu cách mua được ít nhaát 1 veù truùng. 3. a/ 31 b/ 29 c/ C7 d/ Moät soá khaùc 212. Có 4 trai, 3 gái bầu một ban đại diện ba người. Hỏi có bao nhiêu ban đại diện có ít nhất 2 trai? a/ 18 b/ 22 c/ 35 d/ Moät soá khaùc 213. Có 7 vé số, trong đó có 3 vé trúng. Một học sinh mua 3 vé. Hỏi có bao nhiêu cách mua được 2 veù truùng. a/ 18 b/ 3 c/ 12 d/ Moät soá khaùc 214. Một học sinh có 4 quyển sách toán, 3 quyển sách vật lý, 2 quyển sách sinh vật. Muốn xếp những sách này thành một hàng ngang thì có bao nhiêu cách? a/ 4! 3! 2! b/ 8! c/ 4. 3. 2. d/ 4! 3! 2! 3! 215. Có ba cặp vợ chồng (a; a’), (b; b’), (c; c’). Hỏi có bao nhiêu cách xếp 6 người này thành một vòng tròn sao cho vợ phải đứng cạnh chồng? a/ 2! 2! 2! 2! b/ 2! 2! 2! c/ 2! 2! 2! 3! d/ Moät keát quaû khaùc 216. Chia 7 caùi keïo khaùc nhau cho hai anh em sao cho anh hôn em moät caùi keïo. Hoûi coù bao nhieâu caùch chia?.

<span class='text_page_counter'>(11)</span> 4 3 a/ C7 .C 7. 4 b/ C7. A3x. c/ 4 . 3. d/ Moät soá khaùc. c/ x = 5. d/ Moät soá khaùc.  Cxx  2. 14x 217. Giaûi phöông trình: a/ x = 4 b/ x = 6 k k 1 k2 C14 ; C14 ; C14. 218. Caùc soá lập thành một cấp số cộng. Tìm số tự nhiêu k? a/ k = 3, k = 9 b/ k = 4, k = 5 c/ k = 8, k = 7 d/ k = 4, k = 8 219. Có 5 tem thư khác nhau và 6 bì thư cũng khác nhau. Người ta muốn chọn từ đó ra 3 tem thư, 3 bì thư và dán 3 tem thư ấy lên 3 bì thư đã chọn, mỗi bì thư chỉ dán 1 tem thư. Hỏi có bao nhiêu caùch laøm nhö vaäy? a/ 1200 b/ 1000 c/ 1800 d/ 200 1  x x  . 12. 220. Tìm số hạng thứ mấy không chứa x trong khai triển Newton của a/ 8 b/ 7 c/ 6 d/ Moät soá khaùc 1   x x  . 12. 221. Tìm số hạng thứ mấy không chứa ẩn x trong khai triển nhị thức Newton a/ 7 b/ 8 c/ 9 d/ Moät soá khaùc 1 2 2 3 3 n n n 222. Tính toång: S 1  2Cn  2 Cn  2 Cn  ...  ( 1) 2 Cn n. n. n. a/ 1 b/ ( 2) c/ ( 3) d/ ( 1) 223. Tranh giải đá banh Quốc khánh của nước Lào có 4 nước tham dự, mỗi nước chỉ gởi một đội đá banh và phải đấu với tất cả các đội. Số trận đấu phải là: a/ 6 b/ 4 c/ 8 d/ Moät soá khaùc 224. Một bình đựng 7 trái cầu trắng và 3 trái cầu đen. Nếu lấy ngẫu nhiên 4 trái cầu thì số cách lấy được 3 trái cầu đen là: n. 3. 1. 4. a/ C7 .P3 b/ 7 c/ C3 .P3 d/ C10 225. Một học sinh trong thời gian học thi, muốn sắp xếp 7 ngày học trong tuần cho 7 môn học. Số cách sắp xếp đúng nhất là: 1. 2. 7. a/ 49 b/ C7 . A7 ... A 7 c/ 7! d/ 7 P7 226. Một lớp 12A2 có 3 giáo viên dạy Toán phụ trách 3 môn Đại số, Hình học và Giải tích. Số caùch phaân phoái 3 moân daïy cho caùc giaùo vieân naøy laø: A33 3. a/ 6 b/ c/ 227. Giản đồ nhánh sau đây trình bày: a/ Các tổ hợp 4 lấy 2 b/ Các hoán vị của 2 phần tử trong E c/ Các tổ hợp con của tập hợp {a, b, c, d} d/ Các chỉnh hợp 4 lấy 2. C33. a ac d. d/ Moät soá khaùc. a bc d a cb d a db c. 228. Trong một gia đình có 7 cô con gái lớn. Muốn chọn 3 cô để lo việc ẩm thực theo thứ tự: 1 đi chợ, 1 cô nấu ăn, 1 cô rửa chén. Số cách chọn 3 cô con gái đó là:.

<span class='text_page_counter'>(12)</span> C37 P3. C37. a/ b/ 210 c/ d/ Moät soá khaùc 229. Trong một buổi tiệc có 30 người tham dự. Tan tiệc mọi người đều bắt tay nhau trước khi ra về. Số lần bắt tay của 30 thực khách đó là: a/ 30! b/ 870 c/ 435 d/ 60 230. Một thí sinh muốn lựa chọn 20 trong 30 câu trắc nghiệm toán. nếu đã lựa chọn 5 câu hỏi đầu, số cách chọn những câu còn lại là: 15. 15. 5. 5. 15. a/ A30 b/ C30 c/ C30 .C25 d/ C25 231. Cho tập hợp E = {2 ; 4 ; 6 ; 8}. Gọi abc là con số tạo thành bởi các phần tử của E. Nếu đặt điều kiện 200 < abc < 600 thì số các con số tìm được là: 3. 3. a/ 32 b/ 299 c/ A4  P3 d/ A4 232. Cho tập hợp E = {1 , 2, 3, 4, 5, 6}. Số các con số tạo bởi hai phần tử khác nhau của E là: A62 .P6. A62. 1 2 A 2 6. C62. a/ b/ c/ d/ 233. Cho bảy điểm trong mặt phẳng, sao cho cứ 3 điểm một không thẳng hàng. Qua hai điểm kẻ một đường thẳng. Số tối đa có thể có được của các giao điểm mới là: a/ 42 b/ 210 c/ 105 d/ Moät soá khaùc 234. Trong một cuộc đua gồm có 7 con ngựa mang số từ 1 đến 7. Số lần 3 con ngựa mang số 1, 2, 3 về trong 3 hàng đầu là: 3. 3. a/ A7 b/ A7 .P3 c/ 3! d/ 3! 4! 235. Quanh một bàn tròn có 5 ghế hoàn toàn giống nhau. Số cách sắp xếp 5 người vào 5 ghế này laø: a/ 4! b/ 5! c/ 2 . P5 d/ Moät soá khaùc 236. Moät gia ñình coù 7 coâ con caùi. Meï muoán cho 3 coâ ñi xem chieáu boùng. Soá caùch choïn 3 coâ caùi gaùi đó là: a/ 7!. 3 c/ A7. b/ 35 r. 3 d/ C7 .P3. n r. 237. Giải sử rằng phương trình: An  An được nghiệm đúng trong những điều kiện sau của n, hãy chọn trường hợp đúng nhất. a/ n = 2(r – 1) b/ n = 2( r + 1) c/ n = 2r d/ n = 2r với n là số nguyên chẵn 238. Gọi N là số các con số tạo bởi 3 số lấy trong tập hợp {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. N tính được baèng: 3. 3. 3. 3. 3. 3. 2. a/ A10 b/ A9 c/ 3A6 d/ A9  2A9 239. Quanh một bàn có 6 ghế, số cách xếp 3 người ngồi vào 6 ghế đó là: a/ A6 b/ C6 c/ 3! d/ Moät soá khaùc 240. Trong một đoàn có 80 đàn ông và 60 phụ nữ. nếu muốn tuyển chọn một phái đoàn gồm có 1 ông trưởng phái đoàn, 1 ông phó, 2 nữ thư ký và 3 đoàn viên. Số trường hợp có thể được lựa choïn laø: 2 2 a/ C80  C80  C136 2 2. 2. 2. 2 2 2 b/ A80 .C60 .C136 2. 2. 3. c/ A80 .A60 .C136 d/ C80 .C60 .C136 241. Cho E = {a, b, c, d, e} vaø  = {(x, x)/ x  E} . 2 e Những phần tử của tập hợp E   là: a/ Những tập hợp con của E d. A. c b a. E2.

<span class='text_page_counter'>(13)</span> a. b. c. d. e. b/ Những đôi thứ tự của tập hợp E c/ Các chỉnh hợp 5 lấy 2 d/ Các tổ hợp 5 lấy 2.. 242. Cho số N gồm có 6 con số, nếu số N có được thành lập bằng cách lấy hai lần số 1, ba lần số 2 và một lần số 3. Số các con số N tìm được là: 6! 3!2 !1!. a/ 6! 3! 2! 1! b/ 3! 2! 1! c/ 6! d/ 243. Trong một bình đựng 10 trái cầu xanh, 6 trái cầu đỏ và 4 trái cầu vàng. Nếu lấy ngẫu nhiên 6 trái cầu, thì số lần lấy được 2 trái cầu xanh, 3 trái cầu đỏ và 1 trái cầu vàng là: 2. 3. 1. 2. 3. 1. 6. 6. a/ C10 .C6 .C4 b/ C10  C6  C4 c/ C20 d/ C20 : (P2  P3  P1 ) 244. Có 6 lực sĩ Việt Nam, 5 lực sĩ Campuchia và 7 lực sĩ Thái Lan. Hỏi có bao nhiêu cách sắp hàng để lực sĩ cùng 1 nước đứng cạnh nhau. 6. 5. 7. a/ 3.C18 .C18 .C18 b/ 3! 6! 5! 7! c/ 3.(6! 5! 6!) d/ Moät keát quaû khaùc 245. Trong một họp có 4 quả cân 2g, 8 quả cân 1g. Muốn cân 5g, số cách chọn các quả cân đó là: 2. 1. 1. 3. 3. 4. 5. a/ C4 .C8  C4 .C8 b/ C12 .C12 .C12 c/ 328 d/ Moät soá khaùc 246. Cho 19 tam giác đều bằng nhựa bằng nhau và có màu khác nhau. Ráp 6 tam giác đó lại thành một hình lục giác có 6 màu. Số cách xếp các tam giác đó: 6. 6. 6. a/ A10 b/ 10.P6 c/ C10 d/ C10 .P6 247. Xếp 2 nữ sinh và 3 nam sinh vào một bàn học có 5 chỗ ngồi. Nếu không muốn xếp nam nữ ngoài xen keõ nhau, thì soá caùch xeáp choã 5 hoïc sinh naøy laø: 5. a/ 3! 2! 2 b/ A5 c/ P5 d/ 3! 2! 248. Cho 10 điểm trên cùng một đường tròn. Số tam giác tạo được bằng các điểm trên là: 3. 3. a/ A10 b/ 120 c/ C10 .P3 d/ Moät soá khaùc 249. Một trường nữ Trung học gồm có 10 nam giáo viên và 5 nữ giáo viên. Bà hiệu trưởng muốn chọn 5 giáo viên gồm 2 nam và 3 nữ vào hội đồng kỷ luật nhà trường. Số cách chọn phải là: 2. 3. 2. 3. 2. 3. 2. 3. a/ C10  C 5 b/ A10 .A5 c/ C10 .C5 d/ A10  A 5 250. Bác Tám có 11 người bạn, nhưng chỉ muốn mời 5 người dự buổi cơm chiều. Hỏi có bao nhiêu cách mời? a/ 378 b/ 48 c/ 55 d/ 462 251. Trong một bình đựng 5 viên bi xanh, 4 viên bi đỏ và 2 viên bi vàng. Lấy liên tiếp 2 lần: lần thứ nhất 2 viên bi, lần thứ hai 1 viên bi. Số cách lấy được bi đỏ trong lần thứ hai là: 2 1 1 1 1 2 1 a/ C7 .C4  C7 .C4 .C3  C4 .C2. 2 1 b/ C11 .C4. 2 1 2 1 c/ C11 .C4 .P4  C11 .C4. 1 1 1 2 1 2 1 d/ C5 .C2 .C4  C5 .C4  C2 .C4. 3 2 252. Neáu P.C8 C112 thì trò soá cuûa P baèng: a/ 109 b/ 111 k C15. 8 C15. C8p. C9p. 253. neáu a/ 13 254. Neáu a/ 18. thì k baèng: b/ 8. c/ 112. d/ Moät soá khaùc. c/ 7 hay 8. d/ Moät soá khaùc. thì p baèng: b/ 72.

<span class='text_page_counter'>(14)</span> c/ Nghieäm soá cuûa phöông trình: (p – 8)! = 9(p – 9) d/ 17. 255. Nếu bốn số hạng đầu của một hàng trong tam giác Pascal được ghi lại là: 1 16 120 560 Khi đó 4 số hạng đầu của hàng kế tiếp là: a/ 1 17 136 680 b/ 1 18 123 564 c/ 1 32 360 1680 d/ 1 17 137 697 p 256. Cn là số tổ hợp n lấy p, trong những đẳng thức sau đây, đẳng thức nào đúng? 5 4 3 a/ C8 C7  C7 p2. 0 120 b/ C120 C120. 258. Neáu a/ 25 259.. 8 C15. a/ 260.. Cpn. 9  C15. C827. thì p baèng: b/ 20. 261.. c/ 21. d/ 21 hat 80. c/ 21. d/ 11 hay 22.. coù trò soá baèng:. 9 C16. b/. 8 C16. c/. C10 16. d/. 15! 8!6!(9.7). là số tổ hợp n lấy p. Trong các đẳng thức sau đây, đẳng thức nào nghiệm đúng?. 6 4 2 a/ C10 C10  C10. C10 19. 5 6 7 d/ C6  C6 C6. 80. 257. Neáu C521 C521 thì p baèng: a/ 20 b/ 19 Cp27 3. 3 5 c/ Cn Cn. . C10 18. 6 6 4 b/ C10 C9  C9. 6 6 4 c/ C10 C9  C9. d/ Một đẳng thức khác. coù trò baèng:. C11 19. 9. 9. a/ b/ C19 c/ C18 d/ Moät soá khaùc 262. Một nhóm 20 người gồm 12 đàn ông và 8 phụ nữ. Nếu muốn cử một ban đại diện cho nhóm này có 5 người gồm 3 đàn ông và 2 phụ nữ, thì số cách lựa chọn là: a/ 3080 b/ 1540 c/ 770 d/ 6160 4. 4. 2p 1. 263. Neáu C15 C14  C14 thì p baèng: a/ 1 hay 5 b/ 5 264. Khai trieån cuûa (a + b)4 laø:. c/ 1. d/ 2 hay 5. 4 2 2 4 a/ a  2a b  b. 0 4 1 3 2 2 2 3 3 4 4 b/ C4 a  C4 a b  C4 a b  C4 ab  C4 b. 1 4 2 3 3 2 2 2 3 1 4 c/ C4 a  C4 a b  C4 a b  C4 ab  C4 b. 4 1 3 2 2 3 3 4 4 d/ a b  C4 a b  C4 a b  C 4 ab  b. p 265. Cn là số tổ hợp n lấy p. Trong các mẹenh đề sau đây, mệnh đề nào được nghiệm đúng: p p 1 p 1 a/ Cn Cn  1  Cn p. p 1. p p 1 p 1 b/ Cn Cn  Cn  1. p. p. p 1. p 2. c/ Cn Cn  1  Cn  1 d/ Cn  Cn  Cn 266. Neáu cho bieát caùc heä soá cuûa moät haøng trong tam giaùc Pascal laø: 1 6 15 20 15 6 1 thì heä soá trong haøng keá tieáp laø: a/ 1 12 30 40 30 12 1 b/ 1 7 16 21 16 7 1 c/ Những hệ số khác, nhưng không thể tìm được khi tam giác Pascal chỉ cho biết có 1 hàng. d/ 1 7 21 35 35 21 7 1 267. Một bình đựng 6 trái cầu đỏ: Đ1 , Đ2 , Đ3 , Đ4 , Đ5 , Đ6 , 5 trái cầu xanh: X1 , X 2 , X 3 , X 4 , X 5 và 4 trái vàng: V1 , V2 , V3 , V4 . Lấy 5 trái cầu. Số trường hợp lấy được 2 trái cầu đỏ, 2 trái cầu xanh vaø 1 traùi caàu vaøng laø: a/ 600. 5 b/ C15  3003. c/ 150. d/ Moät soá khaùc.

<span class='text_page_counter'>(15)</span> 3 2 268. C12 C8 coù giaù trò baèng: a/ 220. b/ 6160. 8 !(4! 1) 2!6! (3  5). c/ d/ Moät soá khaùc 269. Trong một lớp có 20 học sinh gồm có 12 nam sinh và 8 nữ sinh. Nếu muốn bầu một ban đại diện 5 người gồm 3 nam sinh và 2 nữ sinh, biết rằng có 2 nam sinh không chịu vào ban đại diện này, thì số cách lựa chọn ban đại diện 5 người đó là: a/ 1440 b/ 1680 c/ 3360 d/ Moät soá khaùc 270. Một hình đựng 6 trái cầu đỏ Đ1 , Đ2 , Đ3 , Đ4 , Đ5 , Đ6 và 5 trái cầu trắng T1 , T2 , T3 , T4 , t 5 . Lấy 4 trái cầu trong bình. Số trường hợp lấy được 4 trái cầu cùng màu là: a/ 75 b/ 2 c/ 15 d/ 20 11 8 3 271. Trong bảng khai triển của nhị thức (x  y) , hệ số của x y là: 3 a/  C11. 3 b/ C11. 8 c/ C11. 7 8 d/ C10  C10. n r 272. Cn  28 được nghiệm đúng với n và r bằng: a/ n = 8, r = 4 b/ n = 8, r = 2. d/ Hai nghieäm soá cuûa phöông trình: phương trình thứ hai.. n!  28 (n  r)!r!. c/ n = 8, r = 5. và hai số này chỉ tính được khi có một. 15 10 5 273. Trong phần khai triển của một nhị thức (2x  y) , hệ số của x y là: 10 a/ C15. 5 10 b/ 5 .C15. 10 5 c/ 2 .C15. d/ Moät soá khaùc. 4. 274. Số dạng chính giữa của khai thức (3x  2y) là: 2 2 a/ 6(3x  2y). 2 2 2 b/ 6C4 x y. 2 2 2 c/ C4 x y. 2 2 2 2 d/ C4 6 x y. 0 1 2 n n 275. Toång soá Cn  Cn  Cn  ...  ( 1) Cn coù giaù trò baèng: a/ 0 trong mọi trường hợp b/ 0 neáu n leû c/ 0 neáu n chaün d/ 0 nếu n hữu hạn n. n 1. n 2. 1. 0. 276. Toång soá Cn  Cn  Cn  ...  Cn  Cn baèng: a/ 16 khi n = 4 b/ 48 khi n = 12 2 4 c/ khi n bằng 8, sau khi đã nhân tất cả các số hạng với 256 d/ Cả hai trị số cho bởi A và C. 1 2 3 p n n 1 n 277. Từ khai thức (1  x) , ta có thể suy ra đẳng thức: Cn  2Cn  3Cn  ...  pCn  ...  nCn  n2 bằng caùch: a/ Tính đạo hàm b/ Tính đạo hàm rồi cho x = 1 c/ Cho x = 1 rồi sau đó nhân các số hạng liên tiếp với 0, 1, 2, 3, ... n rồi cộng lại d/ Thực hiện liên tiếp các giai đoạn A và C. p n 278. Tính số các hệ số Cn của khai thức (1  x) bằng:. a/. (n!)n 1!(n  1)!2!(n  2) ... p!(n  p)!. b/. 2. (n!) [1!2 ! ... n!]2. c/ 279. Số hạng lớn nhất của (1 + a)n là:. d/. (n!)n  1 [1!2! ... (n  1)!]2 (n!) n  1 1!2! ... (n  1)!.

<span class='text_page_counter'>(16)</span> a/. u p 1 Cpn 1  ap 1. b/ Laø hai soá haïng. với p bằng phần nguyên của phân số Cpn ap vaø Cpn 1 ap 1 khi p . u 0 1 neáu a . na  1 a 1. na  1 a1. 1 n. c/ Laø d/ Các số hạng cho bởi A, B và C. n 280. Từ khai thức Newton (1  x) , ta có thể suy ra đẳng thức:. C1n  2Cn2  ...  ( 1)p Cpn  ...  (  1)n  1 nCnn 0. a/ b/ c/ d/. B.. C.. baèng caùch: Lần lượt nhân các số hạng liên tiếp với 0, 1, 2, ..., n rồi cộng lại. Tính đạo hàm của hai vế Tính đạo hàm rồi thay x = -1 Cho x = -1, sau đó nhân các số hạng liên tiếp với 0, 1, 2, 3 ... n rồi cộng lại.. BẢNG TRẢ LỜI: 112c 113c 114d 122b 123a 124b 132a 133c 134d 146c 147d 148a 156a 157b 158c 166c 167d 168a 176d 177a 178b 186a 187b 188c 196b 197c 198d 206d 207a 208b 216b 217c 218d 226a 227d 228b 236b 237c 238d 246d 247a 248b 256b 257c 258d 266d 267a 268b 276d 277b 278c. 115b 125a 135a 149b 159d 169b 179c 189d 199a 209c 219a 229c 239a 249c 259a 269c 279d. 116a 126c 136b 150c 160a 170c 180d 190d 200b 210d 220b 230d 240b 250d 260b 270d 280c.. 117c 127d 137c 151d 161b 171d 181c 191a 201c 211a 221c 231a 241c 251a 261c 271a. 118d 128a 138d 152a 162c 172a 182d 192c 202d 212b 222d 232b 242d 252b 262d 272b. 119c 129b 139c 153b 163d 173b 183a 193c 203a 213c 223a 233c 243a 253c 263a 273c. 120b 130d 140a 154c 164a 174c 184b 194d 204b 214d 224b 234d 244b 254d 264b 274d. GIẢI ĐỀ TRẮC NGHIỆM:. 112c/. x x 1 1 y sin cos  sin x  F(x)  cos x 2 2 2 2. 2 113c/ Ta coù: f(x)  (x  x  C)' 2x  1.  f(x 2 ) 2x 2  1  3. 114d/ Vì 115b/ Vì. (x  x )dx . 1. . 3. 0. 3. 0. 3. 1. 0. 1. 0.  x C. 2 (x  x )dx  (x  x )dx  0dx  2xdx 0  x. dt. d(t  1) du    2 u  C 2 t  1  C t 1 t 1 u 2. Vaäy. 2. f(x)dx  3 x. I  x. dt t 1. 2 t  1. 2 x.  2  2 x  1  lim I 2. x 1. 3 0. 9. 121d 131b 145b 155d 165b 175d 185d 195a 205c 215a 225c 235a 245c 255a 265c 275a.

<span class='text_page_counter'>(17)</span> 2 2 1 S   x 2  (2x  1)  dx  (x  1)2 dx  (x  1) 3 3. 116a/. 1. 1. 2. 117c/ Vì. 2.  1. 1 1 0  3 3. ñvdt.. 2. x x 1  1  f(x)  sin . cos   sin x   sin 2 x 2 2 4  2 . 1  1  cos 2x  1 1     8  8 cos 2x 4 2   4. . . 4  1  x  x 1 1   x sin 2x  4  sin 2   cos 2  dx    cos 2x dx       8 16  0 32 16  2  2  8 0 0 8 118d/ * f '(x) g'(x)  f(x) g(x)  C (1) : (I) sai. f(x) g(x)  C . f(x)dx  g(x)dx  Cx.   * : (II) sai * Khi x = a  f(a) = g(a) + C (2) * (1) – (2)  f(x) – f(a) = g(x) – g(a) : (III) đúng 119c/ Vì y’ = 0  y = haèng soá Vì (C) qua A(1 ; 2)  y = 2 vậy (C) là đường thẳng song song với trục hoành Dieän tích S = 2.2 = 4 ñvdt. 1 u 2. 3.  120b/ Vieát y coù moät nguyeân haøm: thiếu thừa số u’).. 121d/ Ta coù:. A. O. . . 1 1    2 4  sin x  sin 2x dx 4  cos x  cos 2x   6 2 4   0 0 Crn . n! n! 1 , Arn   Crn  Arn r!(n  r)! (n  r)! r! .. 122b/ Vì 123a/ Ñieàu kieän x  N vaø x 10 9 A10 x  Ax. A8x. . 9. x(x  1)(x  2) ... (x  9)  x(x  1) ... (x  8) 9 x(x  1)(x  2) ... (x  7). Đơn giản tử và mẫu cho x(x – 1)(x – 2) ... (x – 7) (vì x 10) 2 Ta được: x  16x  55 0  x 11    x 5. 124b/ Từ. (loại vì không thoả x 10). x 2  xy  C  f(y)dy . 125a/ Ta có từ 126c/ Ta có từ. d 2 (x  xy  C)  f(y)  f(y) x dy. eu  ev  C  f(v)dv . 2. laø sai (trong caùc soá haïng cuûa y coøn. 2 sin 2 x sin x (1  cos 2 x) sin x I 4  dx  4  dx 1  cos x 0 1  cos x 0.  2. 1. 5. 2 2 F(x)  u 2  u 2 3 5. 3 u2.  2. y. d u (e  ev  C)  f(v)  f(v) ev . dv.  4 1 d  4 1 2  2  C  f(y)dy   3  2  C   f(y)  f(y)  3 3 dy  x x y y y .

<span class='text_page_counter'>(18)</span> 127d/ Từ. sin u cos v  C  f(u)du . d (sin u cos v  C)  f(u)  f(u) cos u cos v. du. e3x  1 (e x  1)(e2 x  1  ex ) dx  dx   ex  1  ex  1. 128a/ Ta coù. 1  (e2x  ex  1)dx  e2x dx  ex dx  dx  e2x  ex  x  C. 2 84 x f(x)  2 2x .3x .7x 84x  f(x)dx  84 x dx  C ln 84 129b/ Ta coù:. 130d/ Sai ở D vì họ nguyên hàm của f(x) là: 131b/ . x cos x x cos. 2. 132a/ Ta coù: . 2. 1 1 x 5 (ln x  5  ln x  1 )  C  ln C 4 4 x 1. dx, Ñaët x 2 u  2xdx  du  xdx . du 2. 1 1 1 cos udu  sin u  C  sin x 2  C  2 2 2 x 3  3x 2  3x  1 (x  1)3. dx . (x  1)3  8 8 x  1  2 (x  1) (x  1)2.  F(x) . x2 8 x C 2 x 1. Cho x = 0, F(0) = 8 = 8 + C  C = 0  F(x) . 1 sin x. sin 7x  (cos 6x  cos 8x) 2. 133c/ Ta coù:  F(x) . 134d/ Ñaët . x2 8 x 2 x 1 .. sin 6x sin 8x  12 16. (C  0). u  ln(ln x)  du  dx. du. x ln x ln(ln x)   u. (ln x)' dx dx  ln x x ln x.  ln u  C ln ln(ln x)  C. x x 135a/ Ta coù: F'(x)  4 cos x  4e  (4x  5)e.  4 cos x  (4x  9)e x , x  D R  f(x), x  D R. Vaäy F(x) laø moät nguyeân haøm cuûa f(x). 136b/ Ta coù:. F '(x) . F '(x)  f(x) . Đồng nhất ta. 137c/ Ñaët. 2x  2m x  2mx  4 2. . Để F(x) là một nguyên hàm của f(x), x  R ta phải có:. 2x  2m 2x  3  2 x  2mx  4 x  3x  4 3 2m  3  m  2 coù: 2.  du dx  u  x     3x x  dv  3 dx v  ln 3 .  H  x.. 3x  ln 3. 3x. 3x. ln 3 dx  ln 2 3 (x ln 3  1)  C. 138d/ Gọi F(x), G(x) là nguyên hàm của g(x), g(x) thì F(x)  G(x) và F(x)  G(x) lần lượt là nguyên haøm cuûa f(x) + g(x) vaø f(x) – g(x)..

<span class='text_page_counter'>(19)</span> 2 2 Ta coù: * f(x)  g(x)  (cos x  sin x) cos 2x cos 2x. 1  F(x)  G(x)  sin 2x  C1 2. f(x)  g(x)  (cos 2 x  sin 2 x). cos 2x cos 2 2x . 1  cos 4x 1 1   cos 4x 2 2 2. 1 1  F(x)  G(x)   x  sin 4x   C 2 2 4  1 F(x)  G(x)  sin 2x  C1 2 Vaäy ta coù:. (1). 1 1 F(x)  G(x)  x  sin 4x  C2 (2) 2 8 1 1  (1)  (2), (1)  (2)  F(x)   x  sin 2x  sin 4x   C 4 4  G(x) . 139c/. 1 1  x  sin 2x  sin 4x   C  4 4 . Sai ở b/. F(x)  F(0)  x  ln(1  x) lim  lim x 0 x 0 x 0 x 0 ln(1  x)   1  lim x 0 x [ln(1  x)]'   1  lim (x)' 1 1  1  lim  x  1  1  0  f(0) x 0 1 2 y  ax vaø (P ') : x 2  ay. 140a/ Xeùt (P): (P) vaø (P’) caét nhau taïi O(0 ; 0) vaø A(a; a). y. Vì x  [0; a] thì y  0  (P) : y  ax. (P’). x2 (P') : x ay  y  a 2. (P). A. Diện tích S giới hạn bởi (P) và (P’): a. a. 2 a  x2  x3  2 a a3 a2 S   ax  x x (a a)     dx  a  3a  3 3a 3 0  3 0. O. .. a. 2 Phương trình hoành độ giao điểm của (C) : y sin x  x và ( ) : y x. 141b/.  x 0 sin 2 x  x  x  sin 2 x 0  sin x  0    x  Với x  (0;  )  sin 2 x  x  x  (C) trên ( ) . . 0. 0. x.  S  (sin 2 x  x  x)dx  sin 2 xdx . 1  cos 2x  x 1   dx    sin 2x   2 2 4 0 2 0 . 1. 142c/. 1 x2 S  3 dx 0 8x  1. 3 2 Ñaët u x  du  3x dx. 1. O. (C). 1 1 du 11 1 1    ln(8u  1)   ln 9  ln 3  3 0 8u  1 3  8 12  0 24. y. S. x.

<span class='text_page_counter'>(20)</span> 0 1 S  (x  3)2 dx  (x  3) 3 3 3. 0. 9. y. 3 143d/ Ta coù: A y  Các đường thẳng AB, AC chia (H) thành 3 phần với diện tích mỗi phần là 3. Dễ thấ 9 x B , x C  0 , vì B, C ở trên đoạn OS.. 1 1 2 S OAB  3  OA.OB  9.x B  x B  2 2 3. Ta coù:. 1 1 4 SOAC 6  OA.OC  9.x C  xC  2 2 3. (C) 4. Đường thẳng AB đi qua A(0; 9), B(-2/3; 0) có phương trình: x y 27  1  y  x  9 2 9 2  3. Đường thẳng AC đi qua A(0 ; 9), C(-4/3; 0) có phươn gtrình:. 1. S -5. -4. -3. C -1 B o. x y 27  1  y  x  9 4 9 4  3 .. 3. . 2. . S sin x 02  sin x 2  sin x 3. 144a/ (III) S=1+1+1+1=4. 2. 2. . 2 Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y  x  2x và trục hoành:. 145b/.  x 0 x 2  2x  0  x(x  2)  0    x 2. 2. 2.  x3  4 S   (x  2x)dx    x2   0  3 0 3. Ta coù: 146c/. 2. Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng và parrabol:.  x  1  x 2  x  2  x 2  x  2  0    x 2 2. 2.  x3 x2   S    x  x  2 dx  ( x  x  2)dx      2x  2 1 1  3  1 . 147d/. 2. 2. 2. 8 1 1  9  2  4     2  . 3 3 2  2. Phương trình hoành độ giao điểm của y = cosx và y = sinx :.   cos x  sin x  cos x  sin x  2 cos  x   0 4    x 4  4.  S  cos x  sin x dx 0.  4.  (cos x  sin x)dx  (sin x  cos x) 0.  sin.    cos  (sin 0  cos x 4 4.  2  1 (ñvdt).  4 0. x.

<span class='text_page_counter'>(21)</span> 148a/. Phương trình hoành độ giao điểm của hai parabol:.  x 0 1 2 1 x  3x  x 2  3x 2  12x 0  3x(x  4) 0   4 2  x 4  1 1 Ta co:ù S   x 2  3x  x 2 dx 4 2 0 4. 4  x3 3 2  3    x 2  3x dx    x  8  0 4  4 2 0 0 0  1  1    S   x   x  dx    dx     x  1  x  1   1  1. 149b/ 150c/. 0. dx. 0. x  1  ln x  1  1 ln 2.. 1 Ta coù: Đường tròn có thể xem là hợp các đồ thị của hai hàm số:. y1  R 2  x 2.      x  R sin t  t    ;    2 2   2. R. R. R. R. S  ( R 2  x 2  R 2  x 2 )dx  2  R 2  x 2 dx. Vaäy dieän tích hình troøn: Ñaët. vaø y 2  R2  x 2. y. ,. 2. Ta coù: R  x  R cos t, dx R cos tdt khi khi. x  R  sin t  1  t  x  R  sin t 1  t .  S.  2R. x. O.  2.  2. 2. cos t. cos tdt .  2R.  2.  2.  2. 2. cos . 2. tdt 2R.  2.  2. 2. 1  cos 2t dt 2 .  . 2.  2. 1    R2  t  sin 2t  R 2 2   2. a. b 2 a  x 2 (  1  x  a) a. x. truïc Ox. O. S1 giới hạn bởi đồ thị hàm số:. y. y. 151d/ S1 laø. x2 y2  2 1 2 Phöông trình elip laø: a b diện tích của phân nửa elip ứng với y 0. a. b 2 b a  x 2 dx  2  a2  x 2 dx a aa a. S  2S1 2 . Ñaët. x  a sin t, x  a  sin t  1  t . 2b  S a. 152a/.  2. .   ; x  a  sin t 1  t  2 2. a2  a2 sin 2 t a cos tdt ab (dx  a cos tdt).   2. Phương trình hoành độ giao điểm của (C1) và (C2):. x 2  1  x 2  2x  x . 1 2.

<span class='text_page_counter'>(22)</span> . 1 2. S  [f1 (x)  f2 (x)]dx . Ta coù:. 1. 1 2. . (x. . 2. 2.  f1 (x)  2.  1  x 2  2x)dx . (x. 1. . . . 1 2. (2x  1)dx 1 2 1.  1  x 2  2x)dx. 1 2. 2.  . 2. (2x  1)dx. . 1.  (x 2  x). f2 (x) dx. 1  2. 1 2.  (x 2  x 2 ). 2 . 1 2. 1 1 1 1   (1  1)  4  2     4 2  4 2 1 25 13    (ñvdt) 4 4 2 1 lim 2  0  y  x Vì x   2x laø phöông . 153b/. 3. Ta coù: 154c/. trình tiệm cận xiên của đồ thị (C) 3. 3. 1 1 1  1    S   x  2  x  dx   2 dx     2  3 2x   2x  1 1  1 2x. Phương trình hoành độ giao điểm của (C1) và (D) : x 2  x  6  x 2  x  6  0  x  3, x  2. Phương trình hoành độ giao điểm của (C2) và (D) :  x 4 x2  x  6  x 2  8x  48  0   8  x  12. Phương trình hoành độ giao điểm của (C1) và (C2): x2  2. Ta coù:. 2.  x  S   x 2   dx  8  0 . 4. x2  7x 2 0  x  0 8. (keùp). 2. x   x  6  dx 8  .  2. 2. 2. 4. 4  x2   7x 3   x3 x 2  7x 2  8 dx   8  x  6  dx   24    24  2  6x   6. 0 2   0  2. 155d/. Phương trình tiếp tuyến với parabol tại M(3 ; 5) là: y  y M  f '(xM )(x  x M ) (*). / Với y '  2  2  y m  f '(x M ) 6  2  4. (*)  y  5  4(x  3)  y  4x  7. Tiếp tuyến đó cắt trục tung tại điểm (0 ; -7) : 3. Ta coù:. S   x 2  2x  2  (4x  7)  dx 0. 3.  (x 2  6x  9)dx 0. 3.  x3    3x 2  9x   9  27  27 9  3 0.

<span class='text_page_counter'>(23)</span> e. 156a/. Ta coù:. S  ln xdx 1. 1   u  ln x  du  dx  x    dv dx  v  x. Ñaët. e.  S  x ln x 1. y 1. e. 1 e  x. dx  (e ln e  1 ln1)  x 1  e  (e  o1) 11 e x 1. x. y  x(x  1)(x  2)  x 3  3x 2  2x. 157b/ Ta coù. 1. 2. 0. 1. S  y dx  y dx. x. -. 0 0. y  x 3  3x 2  2x 1. 2. 0. 1. 1 0. +. 1. 2 0. -. +. 2.  ydx  ydx  (x 3  3x2  2x)dx  (x 3  3x 2  2x)dx 0. 1. 1. 2.  x4   x4  1   x3  x2     x3  x2   4 4 2  0  1. Phương trình hoành độ giao điểm của y  x và đường thẳng y = 2 – x. 158c/. x  1  y  f(x)   cos x. neáu  1 x  0  neáu 0  x  2.  2. 0.  2. 1. 1. 0. S  f(x)dx  (x  1)dx  cos xdx  2. y.  x2  7   2x    2  6  0. (x  1)2 2. 0. 1. . 1. y. x. 2 xdx  (2  x)dx  x 2 3 1. 159d/ Vì Cho neân :. 2. 0. 3 1. 2. 4.  S . 2. 1. 1.  x (2  x)2  x  4  4x  x 2      x  2  2  x  0 2  x  5x  4  0    x 1  x  2. 1. O. x  2  x (x  0).  sin x 02 . 3 2. -1. O. x.  2. .. 3. Từ (y  x)  x ta thấy hàm số y xác định từ phương trình chỉ xác định với giá trị. 160a/ x  0 . Suy. ra phương trình của hai nhánh đường cong là: y x  x x và y x  x x .. Vì x  0 cho neân x  x x x  x x vaø ta coù: 5 1. 1 1 4 S  (x  x x  x  x x )dx 2 x xdx  x 2 5 0 0. 164b/. Đồ thị 2. y  2x  x 2.  0. 4 5. cắt trục Ox tại x= 0, do đó: 2. 4 x5  16 V  (2x  x ) dx   x 3  x 4     5  15 1 3 0 2 2. x 2 (y)  y  x1 (y) . 162c/ Ta coù: Vì tung độ giao điểm của hai đồ thị:. .. 2. y 8. treân [0 ; 4]. y 4. O. 1. 2. x.

<span class='text_page_counter'>(24)</span> 2  y x  y1  0, 2  4  2  y 8x 4  y4  24  V   y  dy   64 5 0  2 Phương trình hoành độ các giao điểm của (P) và trục Ox: ax  x 0  x 0  x a. 163d/ a. a. 0. 0.  V  (ax  x 2 )2 dx   (a2 x 2  2ax 3  x 4 )dx  x5 1 a2      ax 4  x 3  3  5 2 . a.  0. 1. 1. 0. 0. a5 30. V   (xex ) 2 dx   x 2 e 2x dx. 164a/.  du 2xdx 2  u  x     1 2x 2x  dv  e dx  v  2 e. Ñaët. 1. 1 V  x 2 e2x  2 0. Ñaët. 1. xe. 2x. dx. (*). 0.  du1 dx  u1  x     1 2x 2x  dv1  e dx  v1  e  2 1. 1. x 11 1 1  xe dx  e2x  e2x dx  e2  e 2x 2 20 2 4 0 0 2x. 1. (**). 0. (e2  1) 4 x2 y2 b 2  2 1  y  a  x2 2 a coù : a b. (*) vaø (**)  V . 165b/. Ta. 2. a. b2 b 2   V   a  x 2  dx  2 a   a a 2. . 3. a. b  2 x  4ab a x   2  3  3 a  a. Ta coù v. (a. 2.  x 2 )dx. e. a. 2. S 2. . 166c/. a. y. 1. x.    cos 4 x  sin 4 x  dx    2. .   (cos 4 x  sin 4 x)dx .  2. .   (1  2 sin 2 x cos 2 x)dx  2.  (3  cos 4x)   dx 4  2.  3x sin 4x     16   4. .   2. 32 8. 2 2 2 167d/ Ta coù: (k  k  1).k!  (k  2k  1  k).k!  (k  1) .k! k.k! (k  1)!(k  1)  k.k! (**) Thay k = 1, k = 2, ... k = n vaøo (**):.

<span class='text_page_counter'>(25)</span> (12  1  1).1!  2 !.2  1.1! (2 2  2  1).1!  2!.2  1.1! (2 2  2  1).2!  3!3  2.2 ! . (3 2  3  1).3!  4!4  3.3! .......................................... ........................................... (n 2  n  1).n! (n  1)!.(n  1)  n.n!  A  (n  1)!(n  1)  1.1! (n  1)!(n  1)  1 1 1 1  1 1  1 VP  2          ...     1 2  2 3  n 1 n. 168a/ mới đúng. 169b/ Bốn quốc tịch có thể xếp ngồi trên hàng ghế bằng 4! cách. Trong mỗi trường hợp, 3 người Việt có thể ngồi theo 3! cách, 4 người Pháp 4! cách, 4 người Nga theo 4! cách, 2 người Thaùi Lan theo 2! caùch. Theo quy taéc nhaân, ta coù taát caû: 4! 3! 4! 4! 2!. 170c/ Sự thực hiện công việc độc lập nhau, nên áp dụng quy tắc cộng. 171d/ Đi bộ, đi xe đạp, đi xe gắn máy là 3 cách. Nhờ bạn chở, nhờ bạn đưa, đi xe lam, đi xe “bus” có 4 cách. Quy taéc coäng cho 3 + 4 = 7 caùch. 172a/ Có 4! = 24 cách xếp sách Toán cạnh nhau, có 5! = 120 cách xếp sách văn cạnh nhau. Vậy có 24 x 120 = 2880 cách xếp sách cùng loại cạnh nhau. Nhưng ta có thể xếp sách Toán bên cạnh trái hay bên phải của sách Văn nên có 2 x 2880 = 5760 caùch. 173b/. 2C2n C3n . 2n(n  1) n(n  1)(n  2)  2 6.  6 = n – 2  n = 8.. 174c/. 2A2n  An3  2n(n  1)  n(n  1)(n  2)  2  n  2  n  4.. 175d/. 2A2n C2n  1  Cn3  1. 1 1  2n(n  1)  (n  1)(n  2)  (n  1)(n  2)(n  3) 2 6  12n  3(n  2)  (n  2)(n  3)  12n  n 2  2n  12  n  2  n 14 2. 176d/ Ta coù: n!  An  n!  n(n  1)  (n  2)! 1  n  2 1  n  3 177a/ Các số nguyên chia đúng cho 10 phải tận cùng bằng 0. Con số hàng trăm có thể là: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 (coù 9 caùch choïn). Con soá haøng chuïc coù theå laø: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 (coù 10 caùch choïn). Con soá haøng ñôn vò laø 0 (moät caùch choïn) Vậy số các số viết được là: 9 x 10 x 1 = 90. 178b/ Con soá haøng traêm coù theå choïn trong 4 soá: 1, 2, 4, 5. Con soá haøng chuïc coù theå choïn trong 5 số: 0, 1, 2, 4, 5. Số đã cho chia đúng cho 5 nên con số hàng đơn vị chỉ có thể chọn trong 2 soá : 0, 5. Vậy số các số viết được là: 4 x 5 x 2. 179c/ Nếu số đã cho lớn hơn 2000 và nhỏ hơn 5000 thì con số hàng nghìn chỉ có thể là: 2, 3, 4. Caùc soá khaùc nhau. Vaäy coù: 3 caùch choïn con soá haøng nghìn 8 caùch choïn con soá haøng chuïc 9 caùch choïn con soá haøng traêm 7 caùch choïn con soá haøng ñôn vò.

<span class='text_page_counter'>(26)</span> Do đó số các số phải viết là: 3 x 9 x 8 x 7 180d/ Có 5 cách chọn các chữ số A, B, C, D, E. Các con số hàng trăm ngàn, hàng chục ngaøn, ..., haøng ñôn vò coù theå. Vaäy soá caùc veù soá laø: 5.10.10.10.10.10.10 = 5.10 6. 181c/ Caùc con soá haøng ngaøn, haøng traêm, haøng chuïc coù theå choïn trong 5 soá: 1, 2, 3, 4, 5. Con soá haøng ñôn vò chæ coù theå choïn trong 2 soá 2, 4. Vậy số các số viết được là: 5 x 5 x 5 x 2 = 53 x 2. 182d/ Có 2 cách chọn con số hàng đơn vị (2 hoặc 4). Vì 4 số phải khác nhau nên nếu chọn một số ở hàng đơn vị thì chỉ còn 4 cách để chọn con số hàng chục, sau đó còn 3 cách để con số ở hàng trăm và sau đó còn lại 2 cách để chọn con số hàng ngàn. Vậy số các số viết được là: 2 x 4 x 3 x 2 = 22 x 4 x 3. 183a/ Tập hợp các con số hàng trăm: {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} Tập hợp các con số hàng chục: {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} Tập hợp các con số hàng đơn vị: {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} 9 caùch choïn con soá haøng traêm, 10 caùch choïn con soá haøng chuïc, 10 caùch choïn con soá haøng ñôn vò. 184b/ Vì các số khác nhau, nên nếu số nào đã viết ở hàng trăm, sẽ không được dùng để viết vào hàng chục hay hàng đơn vị nữa, 9 cách viết con số hàng trăm, 9 cách viết con số hàng chuïc, 8 caùch vieát con soá haøng ñôn vò. Vậy số các số viết được là: 9 x 9 x 8 = 92 x 8 185d/ a/ (1, 2, 4) là một chỉnh hợp 4 vật lấy 3 b/ (1, 1, 2) không phải là một chỉnh hợp vì trong một chỉnh hợp, các phần tử phải khác nhau. c/ (1, 2, 3) (2, 1, 3) vì trong một chỉnh hợp, ta phải để ý đến thứ tự của các phần tử. d/ (2, 4) là một chỉnh hợp 4 vật thể lấy 2. 186a/ b, c, d đúng, a sai 187b/ a, c, d đúng, b sai 188c/ Ta coù: 0! = 1 vaäy a sai 2! 4! = 1.2 . 1.2.3.4  8! Vaäy bsai (m  3)! 1.2.3.4 ...(m  1)(m  2)(m  3)   (m  2)(m  3) (m  1)! 1.2.3... (m  1). Vậy c đúng. 189d/ Ñieàu kieän: n  2  0  n 2. n!  1 2 3  ... (n  2)(n  1)n  n! (n  2)!(n  1)n. Phương trình cho được viết là: (n – 2)! (n – 1)n = 30 (n – 2)!  n = -5 v n = 6, vì n  2  n 6 190d/. a đúng, b đúng, c đúng vì: C37 . Cpm . Apm  Apm  p!Cpm  D sai p!. 7! 7!   A sai 3!(7  3)! 3!4!. 191a/ b, c đúng, 192b/ Ta phải chọn 2 người trong 106 người xếp vào 2 chỗ khác nhau: Tổng thống và phó Tổng thống, nên mỗi liên danh là một chỉnh hợp 10 6 vật lấy 2. 2. 6. 6. Soá lieân danh laø: A1.000.000 10 (10  1) 193c/ Muốn có một liên danh, ta phải chọn 10 người trong 106 người nên mỗi liên danh là một tổ hợp 106 vật lấy 10. 10. Soá lieân danh laø: C1.000.000 194d/ Ta phải chọn 3 phần thưởng khác nhau trong 4 phần thưởng khác nhau rồi tặng cho 3 học sinh khác nhau. Mỗi cách chọn là một chỉnh hợp 4 vật lý lấy 3. Số cách chọn là:.

<span class='text_page_counter'>(27)</span> A34  4 3 2  24. 195a/. Ta coù:. 196b/. Cpm . Apm A p 120  p!  pm  6 3!  p 3 p! 20 Cm. Ñieàu kieän m > 2;. C2m. .  28. m!  28 2!(m  2)!. (m  2)! (m  1)m  28 2 !(m  2)! m(m  1)   28 1.2  m2  m  56  0 .  m  7    m 8 vì m  2  nhaän m 8. 197c/. p m p 4 7 4 3 Ta coù: Cm Cm  C7 C7 C7. 198d/. p p 1 p 4 3 4 Ta coù: Cm Cm 1Cm 1  C7 C6  C6. k 2 199a/ Khi vieát Cm phaûi coù ñieàu kieän k  m  Cx coù ñieàu kieän laø 2 x . Phương trình cho được viết lại:. 37   x  2 5 x(x  1) 2  5  x  x  3x  10  0   1.2  x  3  7  2  2 x  2 Vì neân chæ nhaän x = 5.. 200b/ Muoán coù moät vectô, ta phaûi laáy 2 ñieåm trong n ñieåm xeáp theo moät thứ tự, một điểm là gốc, một điểm là ngọn. Vậy số vectơ là số chỉnh hợp n chập 2. A2n . n! (n  2)!(n  1)n   n(n  1) (n  2)! (n  2)!. Apn  n(n  1)(n  2) ... (n  p  1). 201c/ n.. = tích số của P số nguyên giảm dần từ. A3n  n(n  1)(n  2)  (n  3)(n  4)n(n  1)(n  2) n(n  1)(n  2) ...(n  p  1)  p 5. 202d/ Muốn vẽ một đường thẳng ta phải lấy 2 điểm trong 10 điểm đó rồi nối lại với nhau (không cần thứ tự vì đường thẳng AB cũng giống đường thẳng BA). Vậy số đường thẳng là: 2 C10 . 203a/. 10.9  45 1.2. Số đường chéo bằng số đường thẳng qua 12 đỉnh trừ đi số cạnh:. 12! 2 C12  12   12  54 2 ! (12  2)! .. 204b/ Muốn có 1 giao điểm, ta phải lấy hai đường thẳng trong số 20 đường thẳng rồi tìm điểm chung. Vậy số giao điểm là: C220 . 20! 18 !19.20  190 2 !(20  2)! 2!18!. 205c/ Muoán coù moät tam giaùc, phaûi laáy 3 ñieåm trong 10 ñieåm, roài noái laïi với nhau. Số tam giác là: 3 C10 . 10! 7!8.9.10   120 3!(10  3)! 3!7!.

<span class='text_page_counter'>(28)</span> 206d/. Caùc heä soá trong pheùp khai trieån (a + b)n laø: C0n , C1n , C2n , ... , Cnn. Từ 1 đến n có n số hạng. Từ 0 đến n có n + 1 số hạng. n 0 1 2 2 n n Ta coù (1  x) Cn  Cn x  Cn x  ...  Cn x. 207a/. n 0 1 2 n n Thay x = 2, seõ: 3 Cn  2Cn  4Cn  ...  2 Cn. (1  x 2 )4  (1  X)4 với X  x 2. 208b/ C04  C14 X  C24  C34 X 3  C44 X 4. C04  C14 X  C24 X 4  C34 x 6  C44 x8 (x  2y 2 )4 (a  b)4 với a  x, b  2y 2. 209c/.  a4  4a3 b  6a2 b 2  4ab 3  b 4  x 4  8x 3 y 2  24x 2 y 4  32xy 6  16y 8. 6 6 Số hạng có chứa y là  32xy 210d/ Các loại 3 bi đỏ hai màu là: 2 1 2 xanh 1 đỏ: Số cách lấy C5 .C3 1 2 1 xanh 2 đỏ: Số cách lấy C5 .C3 2 1 1 2 Số cách lấy 3 bi đỏ hai màu: C5 .C3  C5 .C3 10 3  5 3  45 211a/ Coù 2 caùch giaûi: Caùch giaûi 1: 3 Soá caùch mua 3 veù trong 7 veù laø: C7 3 Soá caùch mua 3 veù khoâng truùng trong 4 veù khoâng truùng laø: C4 3. 3. Soá caùch mua ít nhaát 1 veù truùng laø: C7  C4  35  4  31 Caùch giaûi 2: Các loại 3 vé có ít nhất một vé trúng thưởng là: 3 3 truùng 0 traät: Soá caùch mua laø C3 2 1 2 truùng 1 traät: Soá caùch mua laø C3 .C4 1 2 1 truùng 2 traät: Soá caùch mua laø C3 .C4 3 2 1 1 2 Vaäy soá caùch mua ít nhaát 1 veù truùng laø: C3  C3 .C4  C3 .C4 1  3.4  3.6  31 212b/ Các loại ban đại diện có ít nhất 2 trai là: 2 1 2 trai 1 gái: Số ban đại diện: C4 .C3 3 3 trai 0 gái: Số ban đại diện: C4 2. 1. 3. Vaäy C4 .C4  C4 6.3  4  22 213c/ Soá caùch mua 3 veù coù 2 veù truùng baèng soá caùch mua 2 veù truùng vaø 1 veù traät, vaäy laø: C23 .C14  3.4 12. 214d/ 4! cách xếp các sách Toán, 3! cách xếp các sách Vật lý, 2! cách xếp các sách Sinh vật. Có 3 loại sách, số cách xếp các loại này là 3!. Vaäy soá caùch xeáp ñaët laø: 4! 3! 2! 3! c b’ 215a/ Coù 2! caùch xeáp choã cho a, a’ Coù 2! caùch xeáp choã cho b, b’ c’ b Coù 2! caùch xeáp choã cho c, c’ a. a’.

<span class='text_page_counter'>(29)</span> Có 3 cặp vợ chồng vì xếp trên vòng tròn neân soá caùch xeáp ñaët 3 caëp naøy laø: (3 – 1)! = 2! Vaäy soá caùch xeáp ñaët laø: 2! 2! 2! 2! 216b/ Goïi x laø soá keïo cuûa em thì soá keïo cuûa anh laø x + 1 Ta coù: (x + 1) + x = 7  x = 3 Ta phải chia 7 cái kẹo làm 2 toán. Một toán có 4 kẹo, một toán có 3 kẹo. Ta chỉ chia 7 cái kẹo làm 2 toán. Một toán có 4 kẹo, một toán có 3 kẹo. Ta chỉ cần lấy 4 kẹo từ 7 cái kẹo cho 4 người anh (số kẹo còn lại đương nhiên thuộc người em). Vậy số cách chia là: C7 .. A3x.  Cxx  2. 14x. 217c/. x  N  x 3  (1) ÑK  x 3   x  N  x  2 0 . x! x!  14x (x  3)! (x  2)!(x  x  2)! (x  3)!(x  2)(x  1)x (n  2)!(x  1)x   14x (x  3)! (x  2)!2 !. (1) .  2(x  2)(x  1)  x  1  28  2x 2  5x  25 0  x 5   225    x  5 (loại)  2. Vaäy nghieäm soá x = 5. 218d/ Ñieàu kieän 0  k 12 . Vì caùc soá laäp thaønh moät caáp soá coäng, neân ta coù: k 1 k k2 2C14 C14  C14  k 2  12k  32  0.  k 4    k 8. thoả điều kiện 0  k 12, nên nhận.. 3 219a/ Choïn 3 bì thö trong 6 bì thö, soá caùch choïn: C6  20 3. Choïn 3 tem thö trong 5 tem thö, soá caùch choïn: C5 10 Dán 3 tem đã chọn lên 3 bì thư ấy, số cách dán: p 3 3! 6 Theo quy taéc nhaân, soá caùch laø: 20 10 6 1200 . 220b/ Khai trieån:. 1  x x  . 12. 1 1 1 0 12 2 10 1 k 12  k 1 C12 x  C112 x11 .  C112 x11 .  C12 x . 2  ...  C12 x . k  ...  C12 12 . 12 x x x x x k 12  k C12 x .. 1 k 12  2k C12 x xk. Số hạng thứ (k + 1) trong khai triển đó là: Soá haïng naøy khoâng phuï thuoäc x khi 12 – 2k = 0  k = 6.. 6 Vậy số hạng thứ 7 của khai triển không phụ thuộc vào x và có giá trị C12 924. 221c/. k n k k Ta coù: * Tk1 Cn a b , k 0, 1, 2, 3, ..., n. * Với. 1 n 12, a  , b  x x. ta coù:. k  1 Tk 1 C12 .   x. 12  k. ..  x. k. k C12 x. 3  12  k 2. * Điều kiện cần và đủ để số hạng trong khai triển không chứa ẩn x là: * 222d/. 8 T9 C12 . 12! 495 8!4!. là số hạng thứ 9 trong khai triển không chứa ẩn x. n. 0 1 2 2 n n n Ta coù: (1  x) Cn  Cn x  Cn x  ...  ( 1) Cn x. n 1 2 2 3 3 n n n Cho x = 2, ta coù: ( 1) 1  2Cn  2 Cn  2 Cn  ...  (  1) 2 Cn. 3  12  k  0  k 8 2.

<span class='text_page_counter'>(30)</span> 1 2 2 3 3 n n n n Do đó: S 1  2Cn  2 Cn  2 Cn  ...  (  1) 2 C n ( 1) 223a/ Hai đội cầu của 2 nước tham dự bất kỳ sẽ có một trận đấu.. C24 . 4! 6 2!(4  2)!. Vậy số trận đấu là số tổ hợp 4 lấy 2: 224b/ Chæ coù 1 caùch duy nhaát choïn 3 traùi caàu ñen. 1. Trái cầu trắng còn lại có thể được lựa chọn trong 7 trái cầu trắng: C7  7 Vậy nếu lấy ngẫu nhiên 4 trái cầu, số cách chọn được 3 rái cầu đen và 1 trái cầu trắng là 7. 225c/ Để sắp xếp 7 môn học cho 7 ngày, số cách sắp xếp là hoán vị của 7 phần tử khác nhau P7  7!. 226a/. Có 3 môn: Đại số, Hình học và Giải tích. Các cách sắp xếp khác nhau 3 giáo viên cho. 3 3 môn học này có thể được coi là một chỉnh hợp A3 hay một hoán vị P3:. P3  3! 1.2.3  6. 227d/ Giản đồ trên trình bày các cách xếp đặt thứ tự của 2 phần tử trong số 4 phần tử. 228b/ Sự sắp xếp thứ tự 3 cô con gái trong số 7 cô để lần lượt lo các công tác đi chợ, nấu ăn và rửa chén là một chỉnh hợp 7 lấy 3. 3. Số cách chọn 3 cô gái đó là: A7 7.6.5 210. 229c/ 30 thực khách bắt tay nhau trước khi ra về. Cứ mỗi nhóm 2 người bắt tay nhau một laàn. Vậy số lần bắt tay chính là số tổ hợp 30 lấy 2: C230 . 30! 29.30   29.15  435 2 !28! 2. 230d/. Nếu đã chọn lựa 5 câu, thí sinh đó còn phải lựa chọn một nhóm 15 câu trong số 25 15. câu trắc nghiệm còn lại. Số cách lựa chọn những câu đó là C25 . 231a/ Để có số abc người ta phải lần lượt chọn các số hàng trăm, chục và đơn vị. Vì 200 < abc < 600. Chỉ có 2 cách lựa chọn số hàng trăm là 2 và 4. Phần còn lại: có 4 cách lựa chọn số hàng chục: 2, 4, 6, 8, có 4 cách lựa chọn số hàng đơn vị: 2, 4, 6, 8. Vậy số các con số tìm được là: 2. 4. 4 = 32. 232b/ E có 6 phần tử khác nhau. Vì các con số tạo bởi 2 phân tử khác nhau của E nên số các 2. con số đó là A6 . 233c/ Với 4 điểm bắt đầu A, B, C, D, tối đa có 3 giao điểm mới I1, I2, I3. Trong 7 điểm của 4. maët phaúng, soá caùch choïn 4 ñieåm baát kyø laø: C7 . Với mỗi cách chọn, có 3 giao điểm mới, vậy số tối đa có thể có được của các giao điểm mới laø: 3.C47  3.. 7! 5.6.7  3. 105 4!3! 4.2.3 .. A. B. I1. I3. D. C. I2.

<span class='text_page_counter'>(31)</span> 234d/ Để 3 con ngựa mang số 1, 2, 3 luôn luôn trong 3 hạng đầu. Số cách xếp là P3 = 3! Để 4 ngựa còn lại luôn luôn trong các hạng từ 4 đến 7, số cách xếp là P 4 = 4! Vậy số cách sắp xếp chung cho 7 con ngựa đua với ba con 1, 2, 3 luôn luôn ở 3 hạng đầu là 3! 4! 235a/ Vì 5 ghế ngồi giống nhau, người thứ nhất có thể chọn một ghế bất kỳ. Bốn người còn lại có thể đổi chỗ lẫn nhau trong 4 ghế. Số cách xếp là p4 = 4! 236b/ Vì ba cô được chọn cùng một lúc không cần thứ tự. Số cách chọn 3 cô gái trong 7 cô là số tổ hợp 7 lấy 3. C37 . 237c/. 7! 5.6.7  35 3! 4! 1.2.3 Arn  Ann  r.  n(n  1) ... (n  r  1) n(n  1) ...(n  n  r  1)  n  r  1 r  1  n  2r. (khoâng caàn ñieàu kieän n laø soá nguyeân chaün, vì r laø soá nguyeân, chaéc chaén n = 2r laø soá nguyeân chaün). 238d/ Tập hợp {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} có 10 phần tử. Với số có dạng abc Số các con số này chính là số chỉnh hợp 9 lấy 3 trong tập hợp các số khác 0. Với số có dạng a0b hay ab0 : chỉ còn sự sắp xếp thứ tự hai số a và b. 2 Soá caùc con soá naøy baèng A9 3. 2. Vậy số các con số đó là: A9  2A9 . 239a/ Vì cách sắp xếp 3 người cần giữ theo một thứ tự, nên mỗi cách sắp xếp là một chỉnh 3. hợp 6 lấy 3. Số cách sắp xếp này là A6 . 240b/ Số lựa chọn theo thứ tự 2 người đàn ông để làm trưởng phái đoàn và phó là một chỉnh 2 hợp. Số cách lựa chọn này là A80 2. Với 2 nữ thư ký, không cần giữ thứ tự, số cách lựa chọn là số tổ hợp C60 . Sau khi đã chọn 2 ông trưởng và phó, hai nữ thư ký, tổng số đoàn viên còn lại là 136. 3 Số cách lựa chọn 3 đoàn viên là C136 . 2 2 3 Vậy số trường hợp có thể lựa chọn là A80 .C60 .C136 . 2. 241c/ Tập hợp E   {(x, y) / x  E và y  E với x y} Như vậy các phần tử của tập hợp này là một chỉnh hợp 5 lấy 2. 242d/ Khi cho sẵn 6 số, số N được thành lập bằng cách hoán vị 6 số đó. Số các con số đó là P6 = 6! Vì có 2 con số 1 giống nhau, hoán vị giữa 2 số này không thay đổi số N. Do đó có P 2 = 2!, số N giống nhau. Tương tự với các con số 2 và 3. Vậy số các con số N tìm được là: 243a/ Soá caùch choïn 2 traùi caàu xanh trong 10 traùi caàu xanh laø:. 2 C10. 3 Số cách chọn 3 trái cầu đỏ trong 6 trái cầu đỏ là: C6 1 Soá caùch choïn 1 traùi caàu vaøng trong 4 traùi caàu vaøng laø: C4 2 3 1 Số cách chọn 6 trái cầu với 2 canh, 3 đỏ, 1 vàng là: C10 .C6 .C4 244b/ Cách xếp đặt 3 nhóm lực sĩ có P3 = 3! cách Xếp đặt lực sĩ Việt Nam có P6 = 6! cách. 6! 3!2 !1!. ..

<span class='text_page_counter'>(32)</span> Xếp đặt lực sĩ Campuchia có P5 = 5! cách Xếp đặt lực sĩ Thái Lan có P7 = 7! cách Quy taéc nhaân cho: 3! 6! 5! 7! caùch xeáp ñaët. 245c/ Muoán coù 5g ta coù theå choïn: 2 quaû caân 2g vaø 1 quaû caân 1g hay 1 quaû caân 2g vaø 3 quaû caân 1g hay 5 quaû caân 1g. 2 Soá caùch choïn 2 quaû caân 2g trong 4 quaû caân 2g: C4 1 Soá caùch choïn 1 quaû caân 1g trong 8 quaû caân 1g: C8 1 3 Vậy với cách thứ nhất, số cách chọn là: C4 .C8 5 Với cách chọn thứ hai, số cách chọn là: C8. Quy taéc coäng cho:. C24 .C18  C14 .C85 . 4! 8! 8! .8  4   328 2 !2! 3! 5! 3!5!. 6 246d/ Soá caùch choïn 6 tam giaùc trong 10 tam giaùc : C10 Số cách hoán vị 6 tam giác đã lựa chọn: P6 6. Vaäy: soá caùch xeáp caùc tam giaùc thaønh hình luïc giaùc laø: C10 .P6 247a/ Có 2 cách xếp, 3 nam sinh có thể hoán vị: P3 = 3! 2 nữ sinh có thể hoán vị: P2 = 2!  Soá caùch xeáp : 3! 2! * Ở cách xếp 2 nữ, 3 nam là: 2! 3! Quy taéc coäng cho: 3! 2! + 2! 3! = 3! 2! 2 248b/ Với 3 điểm có 1 tam giác. Số cách chọn 3 điểm chính là số tổ hợp 3 C10 . 10! 8.9.10  120 3!(10  3) 1.2.3. 249c/. 2 3 Có C10 cách chọn 2 nam giáo viên và C5 cách chọn 3 nữ giáo viên. 2. 3. Theo quy tắc phép đếm ta có: C10  C5 cách chọn 250d/ Bác tám mời 5 trong 11 người bạn mà không cần lựa chọn, nên số cách mời là số tổ hợp: 251a/. 5 C11 . 11!  462 5!6!. Trường hợp 1: Lần một được 2 bi không đỏ. 2 Số cách chọn 2 bi không đỏ: C7 1 2 1 Số cách chọn 1 bi đỏ trong lần hai C4 . Quy tắc nhân có C7 .C4 cách Trường hợp 2: Lần một được 1 bi không đỏ 1 Số cách chọn 1 bi không đỏ trong lần thứ 1: C7 1 Số cách chọn 1 bi đỏ trong lần 1: C4 1 1 1 1 Số cách chọn 1 bi đỏ trong lần 2 C3 . Quy tắc nhân C7 C4 C3 Trường hợp 3: Lần một được 2 bi đỏ 2 Số cách chọn 2 bi đỏ trong lần 1: C4 1 Số cách chọn 1 bi đỏ trong lần 2: C2 2 1 Quy taéc nhaân C4 C2 caùch choïn 2 1 1 1 1 2 1 Với cả 3 trường hợp, số cách chọn để có bi đỏ trong lần thứ hai là: C7 .C4  C7 C4 C3  C4 C2. 252b/. P. 2 C112. C83. . 112 ! 8! : 111 2 !110! 3!5!.

<span class='text_page_counter'>(33)</span> 253c/. 7 8 k = 7 hay k = 8 vì: C15 C15. 254d/ 255a/. 8 9 k n k Ta coù: Cn Cn . Neáu Cp Cp thì p = 8 + 9 = 17. 1 17 136 680 0 120 C120 C120 1. 256b/. 2. CP521 C80 521  p  21 (p  0). 257c/. 11  3 8 22  3 19 8 p = 11 hay p = 22 vì C27 C27 , C27 C27 C27. 258d/. 8 9 9 C15  C15 C16. 259d/ 260b/. 4 5 4 6 5 6 6 Vì C9 C9 , C9  C9 C9  C9 C10. 161c/. 10 10 9 9 10 10 Vì C19 C18  C18  C18 C19  C18. 262d/. 3 Cách chọn 3 người đàn ông trong số 12 người đàn ông: C12. 2 Cách chọn 2 phụ nữ trong số 8 phụ nữ: C8. Số cách lựa chọn:. 3 C12 C82 . 12 ! 8! .  6160 3! 9! 2!61. 4 3 4 p 1 : 2p  1  3; C14  C14 C15. 263a/. 4 11 4 3 4 p = 5 : 2p + 1 = 11; C14  C14 C14  C14 C15  p 1  p  5. 264b/. C04 a4  C14 a3 b  C24 a2 b2  C34 ab 3  C44 b4. 265c/ 266d/. Cpn Cpn  11  Cnp  1. 267a/ 268b/ 269c/ 270d/. 1. 7. 21. 35. 35. 6! 5! 4! C62 .C52 .C14  . . 600 2 !4! 2!3! 1!3! 3 C12 C82 . 12! 8! . 6160 3!9! 2!6!. 3 C10 C82 . 10! 8!   3360 3!7! 2 !6!. C64  C54 . 6! 5!   20 4!2! 4!1!. 21. 7. 1. 8 3 8 3 8 3 241a/ Heä soá cuûa x y laø: C11 ( 1)  1 C11  C11 10 5. 10. 10. 10. 5. 272b/ Heä soá cuûa x y laø: C15 2 2 C15 274d/ Số hạng chính giữa của khai thức (3x + 2y)4 là: C24 (3x)2 .(2y)2 C24 6 2 .x 2 y 2 n 0 n 1 n 1 2 n 2 2 n n 275a/ Vì (1  x) Cn 1  Cn 1 .x  Cn 1 x  ...  Cn x n 0 1 2 n n Thay x baèng –1 : (1  1)  0  Cn  Cn  Cn  ...  ( 1) Cn n. n 1. n 2. 1. 0. n. n. 276d/ Toång soá Cn  Cn  Cn  ...  Cn  Cn (1  1)  2 Khi n = 4 toång soá treân baèng 24 = 16 Nếu nhân tất cả các số hạng với 256 = 162 = 28 vế thứ hai số là: 2 n 2 8  2 8 .2 8  4 8  4 n với n = 8 0 1 2 2 n n 1 n 1 277b/ Cn  Cn x  Cn x  ...  nCn x n(1  x) 1 2 n n 1 n 1 Tính đạo hàm của hai vế: Cn  2Cn x  ...  nCn x n(1  x) 1 2 n n 1 Cho x = 1 : Cn  2Cn  ...  nCn  n2.

<span class='text_page_counter'>(34)</span> 278c/. n! n! n! (n!) n  1   ...   1!(n  1)! 2!(n  2)! n!1! [1!2! ... (n  1)!]2. n!    vì n!1! 1   . 279d/ Trong khai thức Newton, gọi ui là số hạng thứ i. So sánh u p 1 và u p u p  1 cực đại nế u p 1  u p. Suy ra: p baèng phaàn nguyeân cuûa hay p baèng. na  1 a1. na  1 a1. neáu phaân soá naøy laø soá nguyeân.. 1 na  1 a , 0 n a1. Neáu không có trị số p để u p 1 u p Do đó số hạng lớn nhất là u0 = 1. 0 1 2 n n 1 n 1 280c/ Cn  Cn x  Cn x  ...  nCn x  n(1  x). cho x = -1 : (1)  . C1n. . 2Cn2.  ...  ( 1). p. (1) Cpn.  ...  ( 1) n  1 nCnn  0.

<span class='text_page_counter'>(35)</span>