Đề thi HSG Toán 12 (vòng 1) năm 2020 – 2021 trường chuyên Nguyễn Du – Đắk Lắk

SỞ GD&ĐT ĐẮK LẮK

KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI

TRƯỜNG THPT CHUYÊN NGUYỄN DU

NĂM HỌC 2020 - 2021

ĐỀ CHÍNH THỨC

Mơn: TỐN - Lớp: 12 – Vịng: 1

(Đề thi có: 01 trang)

Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề)

Bài 1. (5,0 điểm)
a) Giải phương trình: x 4  2 x 3  2 x 2  2 x  1   x 3  x 

1  x2
.
x

 xy  2  y x 2  2
b) Giải hệ phương trình: 
.
2
2
2
 y  2( x  1) x  2 x  3  2 x  4 x
Bài 2. (3,0 điểm) Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn x  y  z  1 . Chứng minh rằng:

x z y
1 x 1 y 1 z


 2    .
yz zx x y
z y x
Bài 3. (4,0 điểm) Chứng minh rằng với mọi n    , luôn tồn tại m   sao cho:





n

2 1  m  1  m .

Bài 4. (5,0 điểm) Cho tứ giác lồi ABCD nội tiếp đường tròn  C  . Gọi M, N, P lần lượt là giao điểm của các

cặp đường thẳng AB và CD, AD và BC, AC và BD. Gọi I1 , I 2 , I 3 , I 4 lần lượt là tâm đường tròn bàng tiếp các
tam giác ABN, BCM, CDN và ADM tương ứng với các đỉnh A, C, D và D.
a) Chứng minh các điểm I1 , I 2 , I 3 , I 4 đồng viên.
b) Gọi I là tâm đường tròn qua I1 , I 2 , I 3 , I 4 . Chứng minh PI vng góc với MN.
Bài 5. (3,0 điểm) Tìm tất cả các hàm số f :    thỏa mãn:

f ( x  f ( y ))  f ( f ( x)  x)  f ( y )  f ( x)  2 x  2 y , x, y   .
-------------------- HẾT --------------------

/>Giải chi tiết trên kênh Youtube: Vietjack Tốn Lý hóa

(Bạn vào Youtube -> Tìm kiếm cụm từ: Vietjack Tốn Lý Hóa -> ra kết quả tìm kiếm)
Hoặc bạn copy trực tiếp Link kênh : />