De HSG Toan 820162017 85

<span class='text_page_counter'>(1)</span>§Ò thi olympic n¨m häc 2008-2009 M«n to¸n 8 huyÖn h¬ng s¬n. C©u1 . Cho biÓu thøc A=. (. x +1 x −1 x 2 − 4 x −1 x −1004 − + . x −1 x+ 1 x x 2 −1. )(. ). a) Tìm điều kiện xác định của biểu thức A b) Rót gän biÓu thøc A c) Víi gi¸ trÞ nµo cña x th× A<. 1 2. C©u 2. Cho hai sè d¬ng x,y tho¶ m·n x+y =1 a) TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc M= x(x+34) +y( y+ 34 ) +2xy +65 b) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc P=. (1 − x1 ) .(1 − y1 ) 2. 2. C©u 3. §a thøc P(x) bËc 4 cã hÑ sè bËc cao nhÊt lµ 1 Gi¶ sö P(1)= 0 ; P(3) =0 ; P(5) =0.H·y tÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc : Q= P(-2) +7P(6) C©u 4. T×m tÊt c¶ c¸c sè nguyªn n tho¶ m·n : (n+5)2 = [ 4 ( n− 2 ) ]3 C©u 5. Cho ®o¹n th¼ng AB , gäi O lµ trung ®iÓm cña AB , vÏ vÒ mét phÝa cña AB c¸c tia Ax vµ By cïng vu«ng gãc víi AB . LÊy ®iÓm C trªn Ax , lÊy ®iÓm D trªn By sao cho gãc COD = 900 a) Chứng minh Δ ACO đồng dạng với Δ BOD b) Chøng minh CD= AC + BD c) KÎ OM vu«ng gãc víi CD t¹i M. Gäi N lµ giao ®iÓm cña AD víi BC . Chøng minh MN// AC. ............................................... đáp án và biểu điểm C©u 1( 3,5 ®) a) (0,5®) §KX§. ¿ x ≠ ±1 x≠0 ¿{ ¿. b) (1,5®) Rót gän ta cã A=. x −1004 x.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> 1 x −1004 1 x −2008 < ⇔ khi <0 ⇔ 0< x< 2008 . KÕt hîp víi §KX§ 2 x 2 x ¿ 0< x <2008 1 ta cã khi Th× A< x≠1 2 ¿{ ¿. c) (1,5®) A<. C©u 2 (4®) a) (2®) M= x(x+34) + y( y+34) +2xy +65= (x+y)2 +34(x+y) +65 thay x+y =1 ta cã M=100. 1 1 ( x2 −1 ) ( y 2 − 1 ) ..... thay x+y =1 ta cã . 1 − = 2 2 x y x2 y 2 P = ( x +1 ) ( y +1 ) = x + y + xy+1 = 2+xy =1+ 2 xy xy xy xy 2 2 Ta cã P nhá nhÊt khi nhá nhÊt do x,y >0 nªn nhá nhÊt khi x,y lín nhÊt xy xy 2 Pmin =1+ =9 mà x+y =1 không đổi nên x,y lớn nhất khi x=y=1/2. Vậy 1 1 . 2 2. b) (2®) P=. (. 1−. )(. ). C©u 3 ( 3 ®) V× P(1) =0; P(3)= 0; P(5) =0 nªn ®a thøcP(x) nhËn 1;3;5 lµm nghiÖm. Mµ hÖ sè cña bậc cao nhất bằng 1 nên P(x) = (x-1) (x-3) (x-5) (x-a) .Từ đó ⇒ P(-2) =210+105a vµ 7P(6) = 630-105a. VËy Q= P(-2) +7P(6) =840. C©u 4 (3,5®) V× (n+5)2 0 víi mäi n nªn n 2 . DÔ thÊy n=2 kh«ng tho¶ m·n nªn n>2. Víi n>2 ta cã ( n+5 )2=64 ( n −2 )3 ≥64 ( n −2 )2 ⇒ ( n+5 )2 ≥8 ( n − 2 ) ⇔ 7 n≤ 21 ⇔n ≤ 3. KÕt hîp víi n>2 ta cã n=3 .VËy gi¸ trÞ cÇn t×m lµ n=3 C©u 5 (6 ®) a) (2®) Ta cã ∠ BOD =∠ OCA cïng phô víi gãc COA đồng dạng với Δ BOD ∠ A =∠ B=1V ⇒ ΔACO b) ( 2®) KÐo dai CO c¾t BD t¹i E ta cã tam gi¸c AOC b»ng tam gi¸c BOE Suy ra CA =BE vµ CO =OE . Tõ AC =BE suy ra CA + BD=DE (1) Tõ CO =OE vµ DO vuong gãc víi CE suy ra tam gi¸c CDE c©n t¹i D ⇒ CD=DE (2) Tõ (1) vµ (2 ) ta cã AC+BD= CD ND BD (3) v× tam gi¸c CDE c©n t¹i D nªn DO còng = NA AC lµ ph©n gi¸c cña gãc CDE ⇒OM=OB . VËy Δ MOC= Δ BOE mµ Δ BOE=Δ AOC Suy ra ΔMOC= ΔAOC Từ đó AC=CM (40 mà AC+BD= CD MD ND =CM+MD suy ra BD =MD (5) Tõ (3),(4),(5) ta cã VËy MN//AC = MC NA. c) (2®) Tõ AC//BD ta cã.

<span class='text_page_counter'>(3)</span>