De HSG Toan 820162017 144

<span class='text_page_counter'>(1)</span>UBND HUYỆN KIM SƠN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ------------------------------. ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI - 1. MÔN TOÁN 8 Thời gian : 120 phút ( không kể thời gian giao đề ) A. ĐỀ BÀI Bài 1. ( 2 điểm ): a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x3(x2 - 7 )2 - 36x b) Dựa vào kết quả trên hãy chứng minh: A= n3(n2 - 7 )2 - 36n chia hết cho 210 với mọi số tự nhiên n. Bài 2. ( 2 điểm ): Cho biểu thức A =. (. 3. 2. 1− x 1−x −x : 2 3 1−x 1− x −x +x. ). với x khác -1 và 1.. a, Rút gọn biểu thức A. b, Tính giá trị của biểu thức A tại x. ¿ −1. 2 . 3. c, Tìm giá trị của x để A < 0. Bài 3. ( 1,0 điểm ) Cho ba số a, b, c thỏa mãn abc = 2004. 2004a b c   Tính : M = ab  2004a  2004 bc  b  2004 ac  c  1 .. Bài 4. (4 điểm ) : Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 4 cm. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB , BC. Gọi P giao điểm của AN với DM. a) Chứng minh : tam giác APM là tam giác vuông. b) Tính diện tích của tam giác APM c) Chứng minh tam giác CPD là tam giác cân. Bài 5. ( 1 điểm ): Tìm các giá trị x, y nguyên dương sao cho : x2 = y2 + 2y + 13. ----------------------------- HẾT ----------------------------.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> UBND HUYỆN KIM SƠN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ------------------------Bài. Đáp án a) x (x - 7 ) - 36x = x[( x - 7x) - 36] = x(x3 - 7x - 6)( x3 - 7x + 6 ) = x(x3 - x - 6x - 6)( x3 - x - 6x + 6 ) = x[x(x - 1 )( x + 1) - 6( x+ 1)][ x(x - 1 )( x + 1) - 6( x- 1)] = x(x + 1 )(x2 - x - 6)(x - 1 )( x2 + x - 6 ) = x(x + 1 )(x2 - 3x + 2x - 6)(x - 1 )( x2 +3x - 2x - 6 ) = x(x + 1 )(x2 - 3x + 2x - 6)(x - 1 )( x2 + 3x - 2x - 6 ) = x(x + 1 )( x - 1 )[(x(x - 3 ) + 2( x - 3 )][(x(x + 3 ) - 2( x + 3 )] = x(x + 1 )( x - 1 ) (x - 3 )(x + 2 ) ( x - 2 )( x + 3 ) b) Theo phần a ta có : A = n3(n2 - 7 )2 - 36n = n(n + 1 )( n - 1 ) (n - 3 )(n + 2 ) ( n - 2 )( n + 3 ) Đây là tích của 7 số nguyên liên tiếp . Trong 7 số nguyên liên tiếp có : - Một bội của 2 nên A chia hết cho 2. - Một bội của 3nên A chia hết cho 3. - Một bội của 5 nên A chia hết cho 5. - Một bội của 7 nên A chia hết cho 7. Mà 2; 3; 5; 7 đôi một nguyên tố cùng nhau nên: A ( 2.3.5.7 ) Hay A  210. 3. 1. HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN 8. 2. 2. 3. Điểm. 2. 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25. 0,25. a) Với x khác -1 và 1 thì : 3 2 (1 − x )(1+ x) 1 − x − x+ x : 2 1−x (1+ x )(1 − x+ x )− x (1+ x) (1− x)(1+ x + x 2 − x) (1 − x )(1+ x) : 1− x (1+ x )(1− 2 x + x 2) 1 2 = (1+ x ) : = (1+ x 2)(1 − x) (1− x). A=. 2. b) Tại x = −1. =. (1 . 2 3. = −. 5 3. =. 0,25. 0,25 5 2 − ¿ 3. thì Acó giá trị là. 25 5 )(1  ) ¿ 34 . 8 =272 =10 2 9 3 27 27 9 3. 5 1+¿ − 1 −(− ) 3 ¿. [. 0,25. ]. 0,25. c) Với x khác -1 và 1 thì A< 0 khi và chỉ khi (1+ x 2)(1 − x)< 0 (1) Vì 1+ x 2> 0 với mọi x nên (1) xảy ra khi và chỉ khi 1− x< 0 KL Thay 2004 = abc vào M ta có : a 2bc b c   2 ab  a bc  abc bc  b  abc ac  c  1 a 2bc b c    ab(1  ac  c) b(c  1  ac) ac  c  1 ac 1 c    1  ac  c c  1  ac ac  c  1 ac  c  1  1 1  ac  c M. 3. ⇔ x >1. 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> Vẽ hình đúng cho phần a. A. 1. 1. M. 0,25. B. P. 4. I. N. H 1. D. C. a) Chứng minh ∆ADM =∆BAN ( cgc ) =>. 0,75. A D  1 1. 0,25. 0   Mà D1  M 1 90 ( ∆ADM vuông tại A ). 0,25. 0   0  Do đó: A1  M 1 90 => APM 90 .Hay ∆APM vuông tại P. 4 5 (cm) b) Tính được : AP = 5. 2 5 (cm) AM = 5 4 (cm 2 ) 5 SAPM =. 0, 5 0,25. c) Gọi I là trung điểm của AD. Nối C với I; CI cắt DM tại H. Chứng minh tứ giác AICN là hình bình hành => AN // CI mà AN  DM nên CI  DM Hay CH là đường cao trong ∆CPD (1) Vận dụng định lý về đường trung bình trong ∆ADP chứng minh được H là trung điểm của DP => CH là trung tuyến trong ∆CPD (2) Từ (1) và (2) suy ra ∆CPD cân tại C. 5. Biến đổi đẳng thức đã cho về dạng ( x + y + 1)( x - y - 1) = 12 Lập luận để có x + y + 1> x - y - 1 và x + y + 1; x - y - 1 là các ước dương của 12 từ đó có các trường hợp : x+y+1 x-y-1. 12 1. x. 13 2 9 2. y. 0,5. 6 2 4 1. 4 3 7 2 1 2. Mà x; y nguyên dương nên ( x; y) = ( 4; 1) KL. *Chú ý: Ở mỗi phần, học sinh làm đúng theo cách khác vẫn cho điểm tối đa.. 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25. 0,25. 0,25.

<span class='text_page_counter'>(4)</span>