Chuyen de phuong trinh duong thang trong mat phang

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (2.55 MB, 64 trang )

(1)Chuyên đề phương trình đường thẳng trong mặt phẳng MỤC LỤC 1. Lý do chọn đề tài ........................................................................................... 2 2. Mục đích nghiên cứu ..................................................................................... 2 3. Nhiệm vụ nghiên cứu .................................................................................... 2 4. Phạm vi, đối tƣợng nghiên cứu ..................................................................... 2 5. Phƣơng pháp nghiên cứu ............................................................................... 2 6. Dự kiến đóng góp của đề tài ......................................................................... 3 CHƢƠNG I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT ................................................................ 4 1. Phƣơng trình đƣờng thẳng............................................................................. 4 2. Khoảng cách và góc ...................................................................................... 5 3. Các dạng bài tập ............................................................................................ 7 CHƢƠNG II. MỘT SỐ DẠNG TOÁN CƠ BẢN .............................................. 13 1. Điểm và đƣờng thẳng .............................................................................. 13 2. Điểm và đƣờng thẳng liên quan tới tam giác .......................................... 19 3. Điểm và đƣờng thẳng liên quan tới tứ giác ............................................. 37 CHƢƠNG III. TIẾP CẬN MỘT SỐ BÀI TOÁN THEO CÁC CÁCH KHÁC NHAU ................................................................................................................. 54 KẾT LUẬN ......................................................................................................... 64 TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................................... 64. 1. Ths. Trần Hải 0982 358 268.

(2) Chuyên đề phương trình đường thẳng trong mặt phẳng MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Đƣờng thẳng trong mặt phẳng là một nội dung hay và khó trong toán THPT, nó cũng là phần nằm trong các đề thi đại học cao đẳng, THPTQG. Tuy nhiên đa số các em còn lúng túng khi giải toán nên tôi chọn đề tài “phƣơng trình đƣờng thẳng trong mặt phẳng”. Với mong muốn củng cố cho các em những kiến thức cơ bản, nhận dạng ra các bài toán và rèn kĩ năng giải toán qua mỗi dạng bài tập. 2. Mục đích nghiên cứu Mục đích chính của sáng kiến là giúp các em làm đƣợc các dạng toán này, tránh những sai lầm dễ mắc phải. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Đƣa ra đƣợc những dạng bài tập về đƣờng thẳng trong mặt phẳng. 4. Phạm vi, đối tƣợng nghiên cứu . Phạm vi: Học sinh lớp 10, ôn thi THPPQG.. . Đối tƣợng: Học sinh lớp 10, ôn thi THPTQG.. 5. Phƣơng pháp nghiên cứu - Thông qua kinh nghiệm giảng dạy môn Toán cấp THPT trong nhiều năm và kinh nghiệm nghiên cứu giảng dạy thực hiện đổi mới CT - SGK vừa qua. - Phƣơng pháp tìm hiểu, nghiên cứu các tài liệu liên quan đến đề tài. - Phƣơng pháp thử nghiệm. - Phƣơng pháp quan sát: qua các tiết dự giờ thao giảng. - Phƣơng pháp nghiên cứu lý luận. - Phƣơng pháp khảo sát, thống kê.. 2. Ths. Trần Hải 0982 358 268.

(3) Chuyên đề phương trình đường thẳng trong mặt phẳng 6. Dự kiến đóng góp của đề tài Trình bày một cách hệ thống các dạng phƣơng trình đƣờng thẳng trong mặt phẳng.. 3. Ths. Trần Hải 0982 358 268.

(4) Chuyên đề phương trình đường thẳng trong mặt phẳng CHƢƠNG I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1. Phƣơng trình đƣờng thẳng 1.1. Phƣơng trình tổng quát của một đƣờng thẳng  Phƣơng trình tổng quát của đƣờng thẳng a2. b2. có dạng ax. by. c. 0. 0 với n a;b là véc tơ pháp tuyến..  Nhận xét: Nếu n là một véc tơ pháp tuyến của đƣờng thẳng một véc tơ pháp tuyến của đƣờng thẳng. thì k .n cũng là. .. 1.2. Phƣơng trình tham số của một đƣờng thẳng  Phƣơng trình tham số của đƣờng thẳng chỉ phƣơng u a1;a2. x y. là:. x0 y0. đi qua điểm M x 0 ; y 0 và có véc tơ. a1t ( a12 a2t. a22. 0 , t là tham số).  Nhận xét: Nếu u là một véc tơ chỉ phƣơng của đƣờng thẳng là một véc tơ chỉ phƣơng của đƣờng thẳng. thì k .u cũng. .. 1.3. Phƣơng trình chính tắc của đƣờng thẳng đi qua điểm M x 0 ; y 0 và có véc tơ. Phƣơng trình chính tắc của đƣờng thẳng chỉ phƣơng u a1;a2. là:. x. x0. y. a1. y0 a2. , a1.a2. 0. 1.4. Phƣơng trình đƣờng thẳng theo đoạn chắn Phƣơng trình đƣờng thẳng. đi qua điểm A a;0 và B 0;b , a,b x a. y b. 0 là:. 1. đƣợc gọi là phƣơng trình đƣờng thẳng theo đoạn chắn.. 4. Ths. Trần Hải 0982 358 268.

(5) Chuyên đề phương trình đường thẳng trong mặt phẳng Chú ý: Nếu có hai điểm A x A; yA và B x B ; yB , x B x A, yB yA 0 thì ta có đi qua điểm A x A; yA và B x B ; yB là:. phƣơng trình đƣờng thẳng. x xB. xA xA. y yA yB yA. 2. Khoảng cách và góc 2.1. Khoảng cách  Cho đƣờng thẳng. có phƣơng trình: ax. by. Khoảng cách từ điểm M đến đƣờng thẳng.  Cho đƣờng thẳng cắt nhau ax. by. c. 0 và điểm M x 0 ; y 0 .. đƣợc tính bởi công thức:. ax 0. d M,. c. by 0 a2. c. b2. có phƣơng trình: ax. và. by. c. 0 và. 0.. Phƣơng trình đƣờng phân giác của góc giữa hai đƣờng thẳng ax. by a2. c. ax. b2. by a. M x M ; yM , N x N ; yN không nằm trên. +) Hai điểm M, N nằm cùng phía với ax M. byM. c ax N. byM. c ax N. by. c. 0 và hai điểm. . Khi đó: khi và chỉ khi. byN. +) Hai điểm M , N nằm khác phía với ax M. 2. có phƣơng trình: ax. Chú ý: Cho đƣờng thẳng. là:. c b. 2. và. byN. c. 0. khi và chỉ khi c. 0. by. c. 2.2. Góc Cho đƣờng thẳng phƣơng trình: a x. có phƣơng trình: ax by. c. 0 và đƣờng thẳng. có. 0. 5. Ths. Trần Hải 0982 358 268.

(6) Gọi. Chuyên đề phương trình đường thẳng trong mặt phẳng là góc giữa hai đƣờng thẳng và ta có: Cos. aa a2. bb. b2 . a. 2. b. 2. 6. Ths. Trần Hải 0982 358 268.

(7) Chuyên đề phương trình đường thẳng trong mặt phẳng 3. Các dạng bài tập Chú ý:  Các điểm đặc biệt trong tam giác Cho tam giác ABC, khi đó: +) Trọng tâm G (. +) Trực tâm H:. xA. xB 3. xC y A ;. AH .BC. 0. BH .AC. 0. +) Tâm đƣờng tròn ngoại tiếp I:. yB 3. yC. IA2. IB 2. IA2. IC 2. ).  Các đƣờng đặc biệt trong tam giác: +) Đƣờng trung tuyến của tam giác: Khi gặp đƣờng trung tuyến của tam giác, ta chủ yếu khai thác tính chất đi qua đỉnh và trung điểm của cạnh đối diện. +) Đƣờng cao của tam giác: Ta khai thác tính chất đi qua đỉnh và vuông góc với cạnh đối diện. +) Đƣờng trung trực của tam giác: Ta khai thác tính chất đi qua trung điểm và vuông góc với cạnh đó. +) Đƣờng phân giác trong của tam giác: Ta khai thác tính chất nếu M thuộc AB, M’ đối xứng với M qua phân giác trong góc A thì M’ thuộc AC.  Một số bài toán cơ bản: Bài toán 1: Cho một đỉnh và hai đƣờng cao không qua đỉnh đó. Tìm các yếu tố còn lại. 7. Ths. Trần Hải 0982 358 268.

(8) Chuyên đề phương trình đường thẳng trong mặt phẳng Cách giải: - Viết phƣơng trình cạnh AB qua A và vuông góc với CK . - Viết phƣơng trình cạnh AC qua A và vuông góc với BH . A (a,b) H K. C. B. Bài toán 2: Cho một đỉnh và hai đƣờng trung tuyến không qua đỉnh đó. Tìm các yếu tố còn lại. Cách giải: - Lấy điểm M thuộc BM theo tham số, theo công thức trung điểm tìm tọa độ điểm C , thay tọa độ C vào phƣơng trình CN tìm tham số và điểm C.. - Lấy điểm N thuộc CN theo tham số, theo công thức trung điểm tìm tọa độ điểm B , thay tọa độ B vào phƣơng trình BM tìm tham số và điểm B. A(a,b) N. B. M. C. Bài toán 3: Cho một đỉnh và hai đƣờng phân giác trong không qua đỉnh đó. Tìm các yếu tố còn lại. Cách giải: - Gọi A ' và A '' là hai điểm đối xứng của A qua đƣờng phân giác BB ' và CC ' ( A ' và A '' thuộc cạnh BC ).. - Viết phƣơng trình cạnh BC , tìm tọa độ điểm B và C .. 8. Ths. Trần Hải 0982 358 268.

(9) Chuyên đề phương trình đường thẳng trong mặt phẳng A' A. C. B A''. Bài toán 4: Cho diện tích, cho điểm trên đoạn thẳng theo tỉ số cho trƣớc. Tìm các yếu tố còn lại. Cách giải: - Ta dùng công thức diện tích, công thức tìm tọa độ của điểm chia đoạn thẳng theo tỉ số k … Bài toán 5. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đƣờng thẳng : ax. thuộc. by. c. 0 a2. b2. 0 . và hai điểm A x A;yA , B x B ; yB không. . Xác định điểm M trên đƣờng thẳng. , biết đƣờng thẳng AM. vuông góc với đƣờng thẳng AB . Cách giải: - Viết phƣơng trình đƣờng thẳng AM qua A và vuông góc với đƣờng thẳng AB. - Xác định tọa độ giao điểm của đƣờng thẳng AM và đƣờng thẳng. .. :ax+by+c=0 M. AxA;yA. BxB;yB. 9. Ths. Trần Hải 0982 358 268.

(10) Chuyên đề phương trình đường thẳng trong mặt phẳng Bài toán 6. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đƣờng thẳng : ax. by. c. 0 a2. b2. 0 và điểm C xC ; yC không thuộc. định tọa độ điểm A trên đƣờng thẳng bằng. . Xác. , biết góc giữa hai đƣờng thẳng AC và C xC;yC. .. Cách giải:.  A. :ax+by+c=0. - Tham số hóa điểm A. AC .u. ( u là véc tơ chỉ phƣơng của đƣờng. - Sử dụng công thức cos AC u. thẳng. ).. - Giải phƣơng trình ở bƣớc 2 và kết luận. Bài toán 7. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai điểm phân biệt A x A; yA , B x B ; yB . Xác định điểm M trên đƣờng thẳng AB, biết AM. kBM ; k. R, k. 0 .. Cách giải: B. - Giả sử M x ; y. A. M1. M2. - Xác định M trong hai trƣờng hợp: - Trƣờng hợp 1: AM. kBM (điểm M nằm trong đoạn AB).. - Trƣờng hợp 2: AM. kBM (điểm M nằm ngoài đoạn AB).. Bài toán 8. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đƣờng thẳng : ax. by. c. 0 a2. b2. 0 và hai điểm A x A;yA , B x B ; yB không M. 10. Ths. Trần Hải 0982 358 268 B.

(11) Chuyên đề phương trình đường thẳng trong mặt phẳng . Xác định tọa độ điểm M thuộc sao cho. thuộc. d M , AB. k k. R, k. 0 .. Cách giải: - Tham số hóa điểm M. - Sử dụng công thức tính khoảng cách d M , AB . - Giải phƣơng trình ở bƣớc 2 và kết luận. Bài toán 9. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai điểm A x A;yA , B x B ; yB . Viết phƣơng trình đƣờng thẳng. và thỏa mãn hệ thức d A,. k.d B,. ;k. R, k. đi qua điểm M x 0 ; y 0 0 .. A. Cách giải: - Giả sử. : ax. by. ax 0. by0 a 2. b2. 0. M B. - Sử dụng hệ thức d A,. k .d B,. a a. b * b. - Chọn a, b đại diện và thỏa mãn *  Một số bài toán dựng hình cơ bản +) Hình chiếu vuông góc H của điểm A lên đƣờng thẳng Lập đƣờng thẳng d đi qua A và vuông góc với H. d. +) Dựng A’ đối xứng với A qua đƣờng thẳng Dựng hình chiếu vuông góc H của điểm A lên 11. Ths. Trần Hải 0982 358 268.

(12) Chuyên đề phương trình đường thẳng trong mặt phẳng x 2x H x A Lấy A’ đối xứng với A qua H: A ' yA ' 2yH yA +) Dựng đƣờng thẳng d’ đối xứng với d qua đƣờng thẳng Lấy hai điểm M, N thuộc d. Dựng M’, N’ lần lƣợt đối xứng với M, N qua . Khi đó d '. M 'N '. 12. Ths. Trần Hải 0982 358 268.

(13) Chuyên đề phương trình đường thẳng trong mặt phẳng CHƢƠNG II. MỘT SỐ DẠNG TOÁN CƠ BẢN 1. Điểm và đƣờng thẳng A-Ví dụ Ví dụ 1: Viết phƣơng trình đƣờng thẳng đi qua điểm I ( 2;3) tạo với đƣờng thẳng d :2x. 3y. 3. 0 góc 450 .. Lời giải: đi qua điểm I ( 2;3) có dạng:. Phƣơng trình đƣờng thẳng a x. Hay. b y. 2. : ax. by. 0 , a2. 3. 2a. 3b. 0 .. 0. Mà góc tạo bởi 2 đƣờng thẳng d và 2a. Cos 450. b2. bằng 450 suy ra: 3b. a 2 b 2 . 13 2a 3b. 2 2. a 2 b 2 . 13 2 2 2a 3b 13 a 2 b 2 5a 2 24ab 5b 2 0. + Chọn b. 0. a. 1. 5a. 0 ( loại) a. + Chọn b. 2. Vậy PT đƣờng thẳng. 24a. 5. 0. là: 5x. y. a. 13. 5 1 5. 0 hoặc x. 5y. 13. 0.  Chú ý: Hs cần nắm chắc công thức tính cosin của góc giữa hai đường thẳng. Hs cần hiểu rõ một đường thẳng có vô số vectơ chỉ phương nên ta có thể chọn được a, b trong bài toán trên dựa vào đẳng thức mối quan hệ giữa a và b. Ví dụ 2: 13. Ths. Trần Hải 0982 358 268.

(14) Chuyên đề phương trình đường thẳng trong mặt phẳng Viết phƣơng trình đƣờng thẳng đi qua điểm I ( 2;3) và cách đều 2 điểm A(5; 1) và B(3;7).. Lời giải: đi qua điểm I ( 2;3) có dạng:. Phƣơng trình đƣờng thẳng a x. : ax. Hay. b y. 2. Mà d A;. by. 3. 2a. a2. 0,. 3b. b2. 0. 5a. 4b. 0. d B;. 7a. 4b. a 2 b2 7a 4b a a. là: 4x. Vậy có 2 đƣờng thẳng. a 2 b2 5a 4b. 4b 0. y. 5. 0 hoặc y. 3. 0.  Nhận xét: Ta có thể giải bài toán trên bằng cách xét hai trường hợp là song song hoặc trùng với AB ,. đường thẳng. đi qua trung điểm của AB .. Ví dụ 3: có phƣơng trình: x. Cho đƣờng thẳng đƣờng thẳng. song song với đƣờng thẳng. y. 2. và cách. 0 . Viết phƣơng trình một khoảng bằng. 2 .. Lời giải: PT đƣờng thẳng x. y. m. song song với đƣờng thẳng. 0, m. 2. Chọn điểm M ( 2;0) thuộc m. 2 2. 2. m. có dạng:. 2. . Theo bài ra ta có: d M , 2. Vậy phƣơng trình đƣờng thẳng. m m. là: x. 2 hay. 4 0. y. 0 hoặc x. y. 4. 0. Ví dụ 4( Khối A-2006): 14. Ths. Trần Hải 0982 358 268.

(15) Chuyên đề phương trình đường thẳng trong mặt phẳng Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba đƣờng thẳng d1 : x. y. 3. 0, d2 : x. y. 0và d3 : x. 4. 2y. 0. Tìm tọa độ điểm M. thuộc d 3 sao cho khoảng cách từ M đến d1 bằng 2 lần khoảng cách từ M đến d2 . Lời giải: Gọi M 2a;a. d3. Theo bài ra ta có d M , d1. 2d M ,d2. 2a. a. 3a. 2 3. a. 2.. 2a. 2a. a. 4. 2. 4. 11 1. a. Vậy M. 3. 22; 11 hoặc N 2,1 .. Ví dụ 5( Khối B-2011): Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đƣờng thẳng. d :2x. y. 2. :x. y. 4. 0 và. 0 . Tìm tọa độ điểm N thuộc đƣờng thẳng d sao cho đƣờng. thẳng ON cắt đƣờng thẳng. tại điểm M thỏa mãn OM.ON = 8.. Lời giải: +) Gọi N a;2a. 2. d và M b;b. 4. +) Đƣờng thẳng ON cắt đƣờng thẳng OM. kON. b. ka. b. 4. k 2a. 2. tại điểm M nên O, M, N thẳng hàng hay a b. 4. 2a. 2b. b. 4a 2. a. (1) +) Mà. 15. Ths. Trần Hải 0982 358 268.

(16) Chuyên đề phương trình đường thẳng trong mặt phẳng OM .ON. b2. 8. 5a 2. 8a. 4. 2. b. 4. 4 a. 2. a 5a. 6a. 2. 0. 2. a2. 2. 2a 5a 2. 2. 2. 64. 10a. 8 5a 2. 6a. 0. 0 6 5. a. 6 2 ; 5 5. Vậy N 0; 2 hoặc N Ví dụ 6:. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho điểm M(1;2). Viết phƣơng trình đƣờng thẳng đi qua M cắt tia Ox, Oy tại A, B sao cho tam giác AOB có diện tích nhỏ nhất. Lời giải: PT đƣờng thẳng d cắt tia Ox tại A(a;0), cắt Oy tại B(0;b): x a. y b. M 1,2. 1 a,b. 0. 1 a. 2 b. d. 1. 1 a. Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có: 1. Mà : S. 1 ab 2. AOB. 4. S. 4. AOB min. Vậy phƣơng trình đƣờng thẳng d là:. 2 b. x 2. y 4. 2 a.b 1 a. 1 2 . a b 8 2 b. ab a b. 8 2 4. 1. B-Bài tập Bài tập 1: Cho điểm A 2; 1 . Tìm tọa độ điểm M thuộc đƣờng thẳng d :2x. y. 4. 0 sao cho AM. ĐS: M 1 1; 2 , M 2. 2.. 11 2 ; . 5 5 16. Ths. Trần Hải 0982 358 268.

(17) Chuyên đề phương trình đường thẳng trong mặt phẳng Bài tập 2: Tìm tọa độ hình chiếu H của điểm M 1; 1 lên đƣờng thẳng d :x. y. ĐS: H. 2. 0.. 2; 0 .. Bài tập 3: Tìm tọa độ điểm M là đối xứng của M 1;1 qua đƣờng thẳng d :x. y. 2. ĐS: M. 0.. 3; 3 .. đi qua A 1; 3 và cách điểm. Bài tập 4: Viết phƣơng trình đƣờng thẳng B. 2;1 một khoảng bẳng 3.. ĐS:. 1. :x. 1. 0;. 2. :5x. 12y. 41. 0.. Bài tập 5: Viết phƣơng trình đƣờng phân giác trong góc A của tam giác ABC biết A 1;1 , B 4;5 ,C ĐS: 4x. 7y. 11. 4; 11 .. 0.. Bài tập 6: Viết phƣơng trình đƣờng thẳng đi qua M 3;1 cắt Ox, Oy lần lƣợt tại A và B sao cho: a) OA OB nhỏ nhất. b) Diện tích tam giác OAB nhỏ nhất. c). 1 OA2. ĐS: a) 3. 1 nhỏ nhất. OB 2 3 x. 3 3. 3 y. Bài tập 7: Cho đƣờng thẳng d : x. 6 , b) x. 2y. 3y 1. 6 , c) 3x. y. 10.. 0 và hai điểm A 1; 1 , B 2;0 .. Tìm tọa độ điểm M thuộc đƣờng thẳng d sao cho: a) MA. MB nhỏ nhất.. b) MA. MB lớn nhất.. 17. Ths. Trần Hải 0982 358 268.

(18) Chuyên đề phương trình đường thẳng trong mặt phẳng 31 33 ĐS: a) M , b) M 5; 3 . ; 35 35 Bài tập 8: ( Khối B-2004) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho A 1;1 và B 4; 3 Tìm điểm C thuộc đƣờng thẳng x. 2y. 1. 0 sao cho khoảng cách. từ C đến AB bằng 6. ĐS: C(7;3) Bài tập 9: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đƣờng thẳng d :2x điểm I 1;1 . Viết phƣơng trình đƣờng thẳng. y. 2. 0 và. cách điểm I một khoảng bằng. 10 và tạo với đƣờng thẳng d một góc bằng 450.. ĐS: 3x. y. 0, 3x. 6. y. 14. 0, x. 3y. 8. 0, x. 3y. 12. 0.. Bài tập 10: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm M(1;1). Viết phƣơng trình đƣờng. thẳng. d1 : 3x. y. 2MA. 3MB. ĐS: x. y. đi 0, d2 : x. 5. qua y. điểm 4. M. và. cắt. 2. đƣờng. thẳng. 0 lần lƣợt tại hai điểm A, B sao cho. 0.. 0,x. 1. 0. Bài tập 11: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm M 1;2 . Viết phƣơng trình đƣờng thẳng đi qua M cắt Ox, Oy tại A, B khác O sao cho. 9 OA2. 4 OB 2. nhỏ. nhất. ĐS: 2x. 9y. 20. 0. Bài tập 12: Cho đƣờng thẳng d : x. y. 2. 0 và A 2;1 , B. 1; 3 ,C 1;3 .. Tìm M thuộc d sao cho: a) MA. MB lớn nhất.. b) MA2. MB 2. c) MA. MB. MC 2 nhỏ nhất.. MC nhỏ nhất. 18. Ths. Trần Hải 0982 358 268.

(19) Chuyên đề phương trình đường thẳng trong mặt phẳng 2. Điểm và đƣờng thẳng liên quan tới tam giác A- Ví dụ Ví dụ 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A 1; 2 , B :x. điểm C thuộc. y. 2. 3;3 . Tìm tọa độ. 0 sao cho tam giác ABC vuông tại C..  Nhận xét: Ở đây ta phải nắm được điều kiện hai đường thẳng vuông góc. Lời giải: Gọi C c;c. ta có: AC c. 2. 1;c. 4,. BC c. Mà tam giác ABC vuông tại C suy ra AC .BC c. 1 c. c. 1 2c. c c. c. 3 7. 4 c. 1. 3;c. 1. 0. 0. 0. 7 2 1. Vậy có 2 điểm C thỏa mãn yêu cầu bài toán:C 1; 3 , C. 7 3 ; . 2 2. Ví dụ 2: Trong mặt phẳng tọa độOxy, cho A 2;1 . Tìm tọa độ điểm B trên :x. 2y. 2. 0 và điểm C trên d :x. 2y. 2. 0 sao cho tam giác ABC. vuông cân tai A..  Nhận xét: Tương tự ví dụ 1 chỉ thêm điều kiện bằng nhau. Lời giải: Gọi B 2. 2b;b. AC 2c. 4;c. 1,. , C 2c. 2;c. d , ta có. AB. 2b;b. 1. Theo bài ra tam giác ABC cân tại A nên:. AB. AC 0 AB 2 AC 2 19. Ths. Trần Hải 0982 358 268.

(20) Chuyên đề phương trình đường thẳng trong mặt phẳng 2b 2c 4 b 1 c 1 0 1 4b 2. Xét PT (1):. b. 1. 2b 2c. 4. 2. 2c. b. 2. 4. 1 c. c. 1. 1. 2. 2. 0. Nếu b = 0 thì c = 1 không thỏa mãn PT (2) suy ra b 2c. Khi đó PT (1). b. 4. 1 c. 0.. 1. 2b. Thay vào PT (2) ta đƣợc 4b 2. b. 1. 4b 2. c. 2. c. 1. c. 2. 1. 1. c. 1. 2. 2. 1. 4b 2. 1 2. c 1 c 1. 0. 0. 4b 2 2b 2b. c 1 2b Trƣờng hợp 1: 2c 4 b 1. Suy ra B. 2. 2. 1. 1. 1. 4b 2. b. 4b 2. c. b. 2. c b. 5 3 1 3. 4 1 4 5 ; , C ; 3 3 3 3. Trƣờng hợp 2:. c 2c. 1 4. 2b 1 b. c b. 3 1. Suy ra B 4; 1 , C 4;3 .. 20. Ths. Trần Hải 0982 358 268.

(21) Chuyên đề phương trình đường thẳng trong mặt phẳng 4 1 4 5 Vậy với B ; , C ; hoặc B 4; 1 , C 4;3 thỏa mãn yêu cầu bài toán. 3 3 3 3 Ví dụ 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC biết PT các đƣờng thẳng chứa các cạnh AB, BC lần lƣợt là: 4x trong của góc A có phƣơng trình: x. 3y. 2y. 0; x. 4. y. 1. 0. Phân giác. 0. Tìm tọa độ các đỉnh của tam. 6. giác ABC . Lời giải: A. B. C. D. Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ PT: 4x x. 3y 4 2y 6. x y. 0 0. 2 4. A. 2; 4. Tọa độ điểm B là nghiệm của hệ PT: 4x x. 3y 4 0 y 1 0. x y. 1 0. B 1; 0. Phƣơng trình đƣờng thẳng AC qua điểm A a x. b y. 2. Gọi d :x. 2y. 4. 6. ax. 0. by. 2a. 2; 4 có dạng: 4b. 0. 0. Theo bài ra ta có d là phân giác trong của góc A nên: Cos AB, d. Cos AC ,d. 1.a. 2.b. a2. b2 . 5. a. b. 2 a2. 4.1. 2.3. 25. 5. b2 21. Ths. Trần Hải 0982 358 268.

(22) Chuyên đề phương trình đường thẳng trong mặt phẳng 4b 0. a 3a a 3a. 0 4b. 0. +) Nếu a. 0. +) Nếu 3a. 4b. b. Suy ra AC : 4x. 0.Do đó AC : y 0 : chọn a. 3y. 4. 4. 4thìb. 0. 3.. 0 (trùng với AB ). Vậy PT đƣờng thẳng AC là :y. 4. 0. Tọa độ điểm C là nghiệm của hệ PT: y x. 4 y. 0 1. Vậy với A. 0. x y. 5 4. C 5; 4. 2;4 ; B 1;0 ; C 5;4 thỏa mãn yêu cầu bài toán..  Nhận xét: Khi bài toán cho phương trình đường phân giác thì ta có thể tìm ảnh của B qua đường phân giác là B’ thì B’ thuộc AC. Khi đó ta viết được phương trình đường AC. A B'. B. D. C. Ví dụ 4( Khối D-2011): Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh B tâm G 1;1 và đƣờng phân giác trong của góc A có PT: x. y. 1. 4;1 , trọng. 0. Tìm tọa. độ đỉnh A và C ..  Chú ý: Ở đây có đường phân giác nên ta làm tương tự như ví dụ trên. Lời giải:. 22. Ths. Trần Hải 0982 358 268.

(23) Chuyên đề phương trình đường thẳng trong mặt phẳng A. G. KM. I B. C. E. Gọi AE là đƣờng phân giác trong của góc A suy ra AE :x. y. 1. 0. Gọi M là trung điểm của AC . Do G là trọng tâm tam giác ABC nên 1 BG 2. GM. Mà BG 5; 0. suy ra. xM. 1. yM. 1. 5 2 0. Từ B kẻ BK vuông góc với AE (K. xM yM. 7 2 1. M. 7 ;1 2. AC ) tại I; Tam giác ABK có AI vừa là. đƣờng cao vừa là đƣờng phân giác nên cân tại A, suy ra I là trung điểm của BK. AE nên BK có dạng : x. Đƣờng thẳng BK Mà B BK nên. 4. c. 1. 0. c. 3. y. 3. 0.. Suy ra PT đƣờng thẳng BK :x Ta thấy I x x. y y. BK,I 1 3. y. c. 0.. AE nên tọa độ điểm I là nghiệm của hệ: x y. 0 0. 1 2. I. 1; 2. Lại có I là trung điểm của BK nên ta có tọa độ điểm K 2; 5 . Suy ra MK. 3 ; 6 2. 3 1; 4 2. Đƣờng thẳng AC đi qua 2 điểm M ,K nên có phƣơng trình: x. 2. y. 1. 4x. 5 4. y. 13. 0. Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ: 23. Ths. Trần Hải 0982 358 268.

(24) 4x x. y y. Chuyên đề phương trình đường thẳng trong mặt phẳng 13 0 x 4 A 4; 3 1 0 y 3. M là trung điểm của AC nên C 3; 1. Vậy A 4;3 ;C 3; 1 . Ví dụ 5( Khối D-2010): Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A 0;2 và O. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên. thẳng. là đƣờng thẳng đi qua. . Viết phƣơng trình đƣờng. , biết khoảng cách từ H đến trục hoành bằng AH .. Lời giải: là: u a;b ,. Gọi véc tơ chỉ phƣơng của. a2. x y H at;bt. AH. AH at;bt. AH .u. a 2t. 0. Lại có: d H , 0x b 2t 2 a 2t 2. 4. Từ 1 , 2 tacó :a 4 Chọn a. at bt. b2. 2b. 1. b2. 2. 0. AH. a 2t 2 4bt. a. là:. 2. 2b. t. 0. qua O 0; 0 và có véc tơ chỉ phƣơng u a;b. PT tham số của đƣờng thẳng. H. b2. bt. 2. 0. 2. 2. a 2.b 2. 2 tacó : b 4. b4. 2b 2. 0. 4. 0. b. 1. 5. 24. Ths. Trần Hải 0982 358 268.

(25) Chuyên đề phương trình đường thẳng trong mặt phẳng x. Vậy PT đƣờng thẳng. là. y. 2t 5t. 1. hoặc. x y. 2t 1. 5t. Ví dụ 6( Khối B-2010): Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuông tại A, có đỉnh C. 4;1 , phân giác trong góc A có PT: x. y. 5. 0. Viết phƣơng trình. đƣờng thẳng BC , biết diện tích tam giác ABC bằng 24 và đỉnh A có hoành độ dƣơng..  Nhận xét: Ở đây ta phải nắm được điều kiện hai điểm nằm cùng phía và khác phía với một đường thẳng. C. A. C'. B. Lời giải: Gọi: d là đƣờng phân giác trong góc A, A a;5 AC. a; a. 4. a. d. 4. Đƣờng thẳng d có véc tơ pháp tuyến n 1;1 suy ra có véc tơ chỉ phƣơng u 1; 1. Tam giác ABC vuông tại A ta có: AC .u Cos AC , d AC . u. 2.. 4. a. 4. a. 4 2. a 4. 1 a. 2. 2 25. Ths. Trần Hải 0982 358 268.

(26) Chuyên đề phương trình đường thẳng trong mặt phẳng 2a 4a 2. a. 4 2a 2. 32. a. 2. 4. a2. a. 2. 16. 4 ( do a có hoành độ dƣơng). Suy ra A 4;1 suy ra AC. 8 và AC 8, 0 .. Gọi B x ; y ta có AB x. 4; y. Theo bài ra ta có: S. 1 AB.AC 2. 24. Mà AB.AC. ABC. 1 .8. x 2 0. 2. 4. 8. x. 4. Thay vào (1) ta đƣợc y Xét hàm số: F x ; y. AB. 1. y. 1. 0. y. 2. y. 4. 2. y. 1. 2. (1) 1. 7 hoặc y x. x. 0. x. 4. 5 . Suy ra B 4;7 hoặc B 4; 5 .. 5. Với B 4;7 , ta có: F x B ; yB .F xC ; yC. 48. 0. Suy ra B và C nằm khác. phía với đƣờng phân giác góc A. Còn B 4; 5 (loại). Vậy phƣơng trình đƣờng thẳng BC : 3x. 4y. 16. 0..  Chú ý: Ở đây có đường phân giác nên ta có thể làm như sau: B1: Tìm C’ là ảnh của C qua d. B2: Gọi A thuộc d, tìm tọa độ điểm A. B3: Viết phương trình đường AC’. B4: Gọi tọa độ điểm B thuộc AC’. Tính diện tích AB. Với điều kiện B, C’ nằm cùng phía với điểm A. Hay AB cùng chiều với AC ' . Ví dụ 7( Khối A-2010): Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại A có đỉnh A 6;6 , đƣờng thẳng đi qua trung điểm các cạnh AB và AC có phƣơng 26. Ths. Trần Hải 0982 358 268.

(27) Chuyên đề phương trình đường thẳng trong mặt phẳng : x y 4 0. Tìm tọa độ các đỉnh B và C , biết điểm E 1; 3. trình:. nằm trên đƣờng cao đi qua đỉnh C của tam giác đã cho. Lời giải: A. E. I. B. C. H. Gọi H là chân đƣờng cao hạ từ đỉnh A xuống cạnh BC suy ra AH có phƣơng trình: x. AH. AH qua A suy ra 6. c. 6. 0. c. 0. y. 0.. Phƣơng trình đƣờng cao AH là: x. c. 0. và AH nên tọa độ I là nghiệm của hệ:. Gọi I là giao điểm của x. y. y. 4. x. y. x y. 0 0. 2 2. A(2;2). Theo tính chất đƣờng trung bình ta có I là trung điểm của AH Suy ra H. 2; 2 .. có dạng: x. PT đƣờng thẳng BC qua H và song song với 2. H thuộc BC. 2. d. 0. d. CE. 1. 4 ;C x 2 ; x 2. x 2;1. x 2 ; AB. d. 0.. 4. Suy ra phƣơng trình đƣờng thẳng BC : x Gọi B x1; x1. y. y. 4. 0. 4 ta có:. x1. 6; x 1. 6. 1. 10. Theo bài ra ta có: CE .AB. 0. 1. x 2 x1. x2. Mặt khác H là trung điểm của BC nên: x1. x1. x2. 10. 4. 0. (1) (2). 27. Ths. Trần Hải 0982 358 268.

(28) Chuyên đề phương trình đường thẳng trong mặt phẳng x1 0 x1 6 Từ (1), (2) ta có: hoặc x2 4 x2 2 Vậy B 0; 4 ;C. 4;0 hoặc B. 6;2 ,;C 2; 6 .. Ví dụ 8: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có phân giác trong AD : x. y. 0, đƣờng cao CK : 2x. y. 3. 0, đƣờng thẳng AC đi qua. M 0; 1 . Viết phƣơng trình các cạnh biết BA. 2MA.. Lời giải: A K N. M I. B. C. D. Gọi N đối xứng với M qua AD thì N thuộc AB Phƣơng trình đƣờng thẳng MN qua M và vuông góc với AD suy ra MN : x. y. 1. 0. Gọi I là giao của MN và AD suy ra tọa độ điểm I là nghiệm của hệ: x x. y y. 1. 1 2 1 2. x. 0 0. y. Mà I là trung điểm của MN nên N. I. 1 1 ; 2 2. 1; 0. Đƣờng thẳng AB qua N và vuông góc với CK suy ra AB : x. 2y. 1. 0. Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ: x. 2y x. 1 y. 0 0. x y. 1 1. Đƣờng thẳng AC qua A và M nên AC : x. A 1;1. 2y. 1. 0 28. Ths. Trần Hải 0982 358 268.

(29) Chuyên đề phương trình đường thẳng trong mặt phẳng Tọa độ điểm C là nghiệm của hệ: x 2y 2x y. Gọi B 2b. 1;b. Ta có: AB 2 Mà BA. 1 3. 0 0. y. 2. 2MA. 2. 2. b. 4MA2. 1 , MA2 AB 2. 1. B. 5.. 5b b. +) Nếu b. 1 ; 2 2. C. AB. 2b. +) Nếu b. 1 2 2. x. 1. 2. 1. 2. 20 b b. 4. 1 3. 3; 1 Thỏa mãn. B 5;3 không thỏa mãn do B,C nằm cùng một phía so với. 3. AD.. Suy ra đƣờng thẳng BC qua B và C là: x. 5 y 2. 11 2. 0.. Vậy phƣơng trình các cạnh là: AB :x. 2y. 1. 0,. AC :x. 2y. 1. 0,. BC : x. 5 y 2. 11 2. 0.. Ví dụ 9 ( Khối B-2013): Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có chân đƣờng cao hạ từ đỉnh A là H. 17 1 ; , chân đƣờng phân giác trong của góc A là D 5; 3 và 5 5. trung điểm của AB là M 1; 0 . Tìm tọa độ đỉnh C . Lời giải:. 29. Ths. Trần Hải 0982 358 268.

(30) Chuyên đề phương trình đường thẳng trong mặt phẳng A N M. K. B. C. H D. Ta có AH qua H và vuông góc với HD nên AH có phƣơng trình: x. 2y. Gọi A 3. Suy ra 3. 3. 0 AH. Do M là trung điểm của AB nên MA. 2a;a. 2a. 2. a. 1. 2. 1 5 3. a. 13. a 1 17 1 ( loại do A thì A ; 5 5 5. +) Nếu a +) Nếu a. 3thì A. H ). 3;3. Phƣơng trình đƣờng thẳng AD qua A và D là: y. 3. 0. Gọi N a,b là điểm đối xứng với M qua AD suy ra N góc AD hay MN .AD. 0. a.8. b.0. 0. Gọi K là giao điểm của MN và AD suy ra K K. AD. b. 1 2. MH. 3. 0. b. a. AC và MN vuông. 0. a b 1 ; 2 2. 5. Do đó N 0;5 Phƣơng trình đƣờng thẳng AC qua A và N là: 2x. 3y. Phƣơng trình đƣờng thẳng BC qua H và D là: 2x. y. 15 7. 0 0. Tọa độ điểm C là nghiệm của hệ: 2x 3y 2x y. 15 0 7 0. x y. 9 11. C 9;11. Vậy C 9;11 . 30. Ths. Trần Hải 0982 358 268.

(31) Chuyên đề phương trình đường thẳng trong mặt phẳng Ví dụ 10 ( THPTQG-2015): Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên cạnh BC ; D là điểm đối xứng của B. qua H ; K là hình chiếu vuông góc của C trên đƣờng thẳng AD. Giả sử H. 5; 5 , K 9; 3 và trung điểm của cạnh AC thuộc đƣờng thẳng. x. y. 10. 0. tìm tọa độ điểm A.. Lời giải: A M. B. H. C. D K. Gọi M là trung điểm AC . Ta có MH. MK. AC , nên M thuộc đƣờng 2. trung trực của HK . Đƣờng trung trực của HK có phƣơng trình. 7x. y. 10. 0, nên tọa độ của M thỏa mãn hệ. x y 10 0 7x y 10 0.. Suy ra M 0;10 , Ta có HKA HA. HCA. HK . Mà MA. HAB. HAD, nên AHK cân tại H , suy ra. MK, nên A đối xứng với K qua MH .. 5;15 ; đƣờng thẳng MH có phƣơng trình 3x. Ta có MH. Trung điểm AK thuộc MH và AK 3 x. x. 9 2 9. Suy ra A. y. 3 2. 3 y. 3. 10. y. 10. 0.. MH nên tọa độ điểm A thỏa mãn hệ. 0. 0.. 15;5 . 31. Ths. Trần Hải 0982 358 268.

(32) Chuyên đề phương trình đường thẳng trong mặt phẳng  Nhận xét: Mấu chốt ở đây là ta nhớ được tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông để chỉ ra MH=MK. Nhớ được tính chất chỉ ra HAK. HKA.. B- Bài tập Bài tập 1: Cho tam giác ABC có A 2;2 và các phân giác trong góc B, góc C lần lƣợt là: Đáp số: B. B. :x. 3y. 4. 0,. C. :x. y. 2. 0. Tìm tọa độ B và C .. 6 14 ; , C 9; 7 . 5 15. Bài tập 2: Cho các điểm A 1;1 , B 2;5 ,C 4;7 . Chứng minh tam giác ABC có góc A nhọn. Viết phƣơng trình đƣờng thẳng d đi qua A asao cho d B ,d. d C ,d lớn nhất.. Đáp số: 2x. 5y. 7. 0.. Bài tập 3: Cho tam giác ABC vuông cân tại A . Điểm K thuộc đoạn BC sao cho CK. 3KB. Điểm G thỏa mãn AG. 2GK . Điểm D thuộc BC sao. cho GD. GB. Biết D 7; 2 , phƣơng trình AK :3x. y. 13. 7. 0.. 0 và điểm A. có tung độ âm. Viết phƣơng trình AB. Đáp số: x. 3.. Bài tập 4: Cho tam giác ABC có: AB : x. y. 0, AC :2x. 2. y. 1. 0, BC :4x. Lập phƣơng trình đƣờng thẳng d đi qua điểm M. y. 3 ;6 mà chia tam giác ABC 2. thành hai phần có diện tích bằng nhau. Đáp số: d : 6. 6 34 x. 3 34. 15 y. Bài tập 5: Cho tam giác ABC CM :3x. 7y. 8. 81. 9 34. 0.. có trực tâm H 2; 0 , trung tuyến. 0. Trung trực của BC là d : x. 3. 0. Tìm tọa độ điểm. A. 32. Ths. Trần Hải 0982 358 268.

(33) Chuyên đề phương trình đường thẳng trong mặt phẳng 16 Đáp số: A 2;2 , A 2; . 5 Bài tập 6: Cho tam giác ABC , phân giác trong AD : x BH :2x. y. 0. AB qua M 1;1 , S ABC. 1. 2. 0, đƣờng cao. 27 . Tìm A, B,C . 4. A A Ox (0. Bài tập 7: Cho tam giác ABC có. y. xA. 2,5). Hai đƣờng cao. hạ từ B,C có phƣơng trình lần lƣợt là: d1 : x. y. 1. 0; d2 :2x. y. 4. 0.. Tìm tọa độ A, B,C để diện tích tam giác ABC lớn nhất. Đáp số: A. 1 ;0 ,B 2. 5 3 7 ; ,C ; 3 . 2 2 2. Bài tập 8: Cho tam giác ABC và đƣờng thẳng D 4;. :x. 3y. 1. 0. Giả sử. 7 14 19 ,E ; , N 3; 3 theo thứ tự là chân đƣờng cao từ A, B và trung 2 5 10. điểm AB. Tìm tọa độ các đỉnh tam giác ABC , biết trung điểm M của BC nằm trên. và hoành độ của điểm M nhỏ hơn hoặc bằng 4.. Bài tập 9: Cho tam giác ABC có trực tâm H 3; 0 và trung điểm của BC là I 6;1 . Đƣờng thẳng AH : x. 2y. 3. 0. Gọi D, E lần lƣợt là chân đƣờng. cao kẻ từ B và C của tam giác ABC . Xác định tọa độ các đỉnh của tam giác ABC , biết đƣờng thẳng DE : x. Đáp số: A. 2. 0 và điểm D có tung độ dƣơng.. 1;2 , B 4; 3 ,C 8;5 .. Bài tập 10( Khối D-2009): Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có M 2; 0 là trung điểm cạnh AB. Đƣờng trung tuyến và đƣờng cao qua đỉnh A lần lƣợt có phƣơng trình : 7x. 2y. 3. 0; 6x. y. 4. 0. Viết phƣơng trình đƣờng thẳng AC . 33. Ths. Trần Hải 0982 358 268.

(34) Chuyên đề phương trình đường thẳng trong mặt phẳng Đáp số: Phƣơng trình đƣờng thẳng AC : 3x 4y 5 0 Bài tập 11(Khối B-2009): Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại A có đỉnh A và các đỉnh B, C thuộc đƣờng thẳng. :x. y. 4. 1; 4. 0. X ác định tọa độ các. điểm B và C biết diện tích tam giác ABC bằng 18. Đáp số: B. 11 3 3 5 3 5 11 3 ; ;C ; hoặc B ; ;C ; 2 2 2 2 2 2 2 2. Bài tập 12(Khối B-2008): Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, hãy xác định tọa độ đỉnh C của tam giác ABC biết hình chiếu của C lên đƣờng thẳng AB là H trong của góc A có phƣơng trình x phƣơng trình: 4x. 3y. 1. y. 2. 1; 1 , đƣờng phân giác. 0 và đƣờng cao kẻ từ B có. 0.. 10 3 ; 3 4. Đáp số: C. Bài tập 13(Khối B-2007): Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A 2;2 và các đƣờng thẳng d1 : x. y. 0,d2 : x. 2. y. 8. 0. Tìm hai điểm B, C thuộc d1, d2 sao cho. tam giác ABC vuông cân tại A. Đáp số: B. 1;3 ,C 3;5 hoặc B 3; 1 ,C 5;3. Bài tập 14: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC với AB. 5, đỉnh. x. 2y. x. y. 3 2. Đáp số: A 4;. 0,. C. 1; 1 ,. đƣờng. thẳng. trọng tâm của tam giác. AB. có. phƣơng. trình:. ABC thuộc đƣờng thẳng:. 0. Xác định tọa độ các đỉnh A, B của tam giác ABC . 1 3 1 3 , B 6; , A 6; hoặc B 4; 2 2 2 2. 34. Ths. Trần Hải 0982 358 268.

(35) Chuyên đề phương trình đường thẳng trong mặt phẳng Bài tập 15: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A 4; 2 , phƣơng trình đƣờng cao kẻ từ C và đƣờng trung trực của BC lần lƣợt là:. x. y. 0, 3x. 2. 4y. 2. 0. Xác định tọa độ các đỉnh C , B của tam giác. ABC . 1 9 ; ;C 4 4. Đáp số: B. 7 1 ; 4 4. Bài tập 16: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh A 2, 4 . Đƣờng thẳng 4x. 6y. PT: 2x tích bằng. đi qua trung điểm của AB, AC. 9. 2y. có phƣơng trình:. 0. Trung điểm của cạnh BC nằm trên đƣờng thẳng d có. 1. 0. Tìm tọa độ các đỉnh B và C biết tam giác ABC có diện. 7 và đỉnh C có hoành độ lớn hơn 1. 2. Đáp số: B 1;1 , C 4;3 Bài tập 17: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại A, phƣơng trình các cạnh AB, BC lần lƣợt là: x. 2y. 1. 0, 3x. y. 5. 0. Viết. phƣơng trình cạnh AC biết AC đi qua điểm M 1; 3 . Đáp số: Phƣơng trình đƣờng thẳng AC: 2x. 11y. 31. 0. Bài tập 18: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có phƣơng trình đƣờng phân giác trong góc A là d1 : x từ B là d2 : 2x. y. 1. y. 2. 0, phƣơng trình đƣờng cao vẽ. 0, cạnh AB đi qua M 1; 1 . Viết phƣơng trình cạnh. AC .. Đáp số: Phƣơng trình đƣờng thẳng AC: x. 2y. 7. 0.. Bài tập 19: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho 2 đƣờng thẳng d1 : 2x. 5y. 3. 0, d2 : 5x. 2y. 7. 0 cắt nhau tại A và điểm P. 7; 8 .. 35. Ths. Trần Hải 0982 358 268.

(36) Chuyên đề phương trình đường thẳng trong mặt phẳng Viết phƣơng trình đƣờng thẳng d 3 đi qua P tạo với d1,d2 thành tam giác cân tại A và có diện tích bằng. 29 . 2. Đáp số: Phƣơng trình đƣờng thẳng d3 : 7x. 3y. 25. 0.. 36. Ths. Trần Hải 0982 358 268.

(37) Chuyên đề phương trình đường thẳng trong mặt phẳng 3. Điểm và đƣờng thẳng liên quan tới tứ giác.  Chú ý: Khi giải các bài toán về hình bình hành, hình thoi, hình chữ nhật và hình vuông, chúng ta cần chú ý đến tính chất đối xứng. Chẳng hạn, giao điểm hai đường chéo là tâm đối xứng của hình bình hành; hai đường chéo của hình thoi là trục đối xứng… A- Ví dụ Ví dụ 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, viết phƣơng trình các cạnh hình bình hành ABCD biết tâm hình bình hành là I 1;6 còn các cạnh AB, BC , CD, DA. lần lƣợt đi qua M 3;0 ; N 6;6 ; P 5;9 ; Q. 5;4 ..  Chú ý: Ở đây ta chú ý đến tính chất đối xứng tâm của hình bình hành. Lời giải: M. A. B Q I D. Q' C. M'. P. N. Do I là tâm hình bình hành nên lấy M đối xứng với M qua I . M ( 1;12), M. x. 2y. 23. CD PT đƣờng thẳng CD qua P và M là:. 0.. PT đƣờng thẳng AB qua M và song song với CD là: x Lấy Q đối xứng với Q qua I. Q (7;8) và Q. PT đƣờng thẳng BC qua N và Q là: 2x. y. 6. 2y. 23. AB :x. 2y. 3. 0. BC :2x. y. 6. 0. AD :2x. y. 13. 0. 3. 0.. BC. 0. PT đƣờng thẳng AD qua Q và song song BC là: 2x Vây PT các cạnh HBH là: CD :x. 2y. y. 13. 0. 0. 37. Ths. Trần Hải 0982 358 268.

(38) Chuyên đề phương trình đường thẳng trong mặt phẳng  Nhận xét: Bài toán trên có thể lấy đối xứng của điểm N, P qua tâm I. Khi đó ta tìm được tọa độ hai điểm đối xứng là N’ và P’ lần lượt nằm trên hai đường thẳng AD và AB. Ví dụ 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có tâm I đƣờng thẳng AB :x. 2y. 2AD. Tìm tọa độ các đỉnh của. 0 và AB. 2. 1 ; 0 và 2. hình chữ nhật..  Chú ý: Ở đây ta chú ý đến tính chất đối xứng tâm của hình chữ nhật. Lời giải: M. A. B. I D. C. M'. Lấy M 0;1 thuộc đƣờng thẳng AB Do I là tâm HCN nên lấy M đối xứng với M qua I. M (1; 1), M. đƣờng thẳng CD qua M và song song với AB là: x. 2y. Tacó : AD. d AB,CD. AB. 2AD. 1. d M , AB. 1. 2. 5. PT đƣờng thẳng AD vuông góc với đƣờng thẳng AB là: 2x d I , AD. 5. 1. c. Suy ra đƣờng thẳng AD có 2 PT: 2x. y. Trƣờng hợp 1: Nếu AD : 2x. 0. y. 4. c c. 5. 5. 0. 5. 5. d I , AD. 2 5. 2.. 3. CD PT. 4. y. c. 0. 4 6. 0 và 2x. y. 6. 0. Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ PT: 38. Ths. Trần Hải 0982 358 268.

(39) Chuyên đề phương trình đường thẳng trong mặt phẳng 2 0 x 2 A 2, 0 C 3; 0 4 0 y 0. x 2y 2x y. Tọa độ điểm D là nghiệm của hệ PT: x 2y 2x y. 3 4. x y. 0 0. 1 2. D. Trƣờng hợp 2: Nếu AD : 2x. y. B 2;2. 1; 2. 6. 0. Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ PT: x 2y 2x y. 2 6. x y. 0 0. 2 2. A 2;2. C. 1; 2. B. 2; 0. Tọa độ điểm D là nghiệm của hệ PT: x 2y 2x y. 3 6. 0 0. x y. 3 0. D 3; 0. Vậy tọa độ các đỉnh hình chữ nhật là: A. 2;0 ; B 2;2 ; C 3;0 ; D. A 2;2 ; B. 2;0 ; C. 1; 2 hoặc. 1; 2 ; D 3;0. Ví dụ 3( Khối D-2012): Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD. Các đƣờng thẳng AC và AD lần lƣợt có phƣơng trình là 2x. y. 3. 0và x. y. 4. 0, đƣờng. 1 ;1 . Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật 3. thẳng BD đi qua điểm M ABCD.. Lời giải: A. B N I M. D. O C 39. Ths. Trần Hải 0982 358 268.

(40) Chuyên đề phương trình đường thẳng trong mặt phẳng Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ PT: x. 3y. x. y. x y. 0 4. 0. 3 1. A. 3;1. Gọi d là đƣờng thẳng qua M và song song với AD thì phƣơng trình d có dạng: x. y. M. m. d. 0 m. 4. 4 3. m. d :x. 4 3. y. 0. Tọa độ điểm N là nghiệm của hệ PT: x. y x. 3y. 4 3. x. 0. y. 0. 1 1 3. N. 1;. 2 2 ; 3 3. Gọi I là trung điểm của MN thì I Gọi. x. 1 3. là đƣờng thẳng qua I và vuông góc với AB thì phƣơng trình của. y. n. là:. 0. Điểm I. n. :x. 0. y. 0. Gọi O là tâm hình chữ nhật ABCD thì tọa độ điểm O là nghiệm của hệ PT: x 3y x y. x y. 0 0. 0 0. O 0; 0. Phƣơng trình đƣờng thẳng BD đi qua 2 điểm M, O có dạng: x. 3y. 0.. Tọa độ điểm D là nghiệm của hệ PT: 3x x. y y. x y. 0 4. 0. 1 3. D. 1; 3. Do O là trung điểm của AC và BD nên ta có B 1; 3 ; C 3; 1 Vậy D. tọa. độ. các. đỉnh. 1;3 ;B 1; 3 ;C 3; 1 ; A. của. hình. chữ. nhật. là:. 3;1.  Nhận xét: Ở đây ta để ý để chỉ ra ON=OM. 40. Ths. Trần Hải 0982 358 268.

(41) Chuyên đề phương trình đường thẳng trong mặt phẳng Ta có thể dùng cách 2: Viết phương trình đường thẳng BD qua M tạo với AD một góc bằng (AD,AC). Khi đó được hai đường nhưng có 1 đường song song với AC. Ví dụ 4( Khối A-2012): Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD. Gọi M là trung điểm của cạnh BC , N là điểm trên cạnh CD sao cho CN 11 1 và đƣờng thẳng AN có phƣơng trình: 2x ; 2 2. M. y. 2ND. Giả sử. 3. 0. Tìm tọa độ. điểm A. Lời giải: B. A. M D. Đặt BAM tan. , DAN. BM AB. ,tacó : DN AD. 1 ,tan 2. 1 3. tan tan 1 tan .tan. Mặt khác: tan. MAN. C. N. 1 2 1. 1 3 1 1 . 2 3. 1. 450. 450.  Nhận xét: Mấu chốt của bài toán là ta chỉ ra được MAN. 450. Đến đây thì. bài toán trở nên dễ dàng. Gọi A a;2a Ta có: AM. AN ,. 3 11 2. a;. 7 2. a. 1 11 2. 2a;7. 4a. 41. Ths. Trần Hải 0982 358 268.

(42) Chuyên đề phương trình đường thẳng trong mặt phẳng Đƣờng thẳng AM , AN có véc tơ chỉ phƣơng lần lƣợt là: AM 11. 2a;7. 4a , AN 1;2 ta có:. AM .AN Cos 45. 0. AM . AN 10a. 25. 1 2. 11. 5. 2a. 5. 2a. a2. 5a. 2. 2a. 2. 2. 4a . 5. 7. 2a 2. 10a. 17. 2a 2. 10a. 17. a a. 1 4. 4. 0. Vậy có 2 điểm A cần tìm là: A1 1; 1 , A2 4;5 Ví dụ 5( Khối A- 2013): Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD với điểm C thuộc đƣờng thẳng d : 2x. y. 0và A. 5. 4;8 . Gọi M là điểm đối xứng của. B qua C, N là hình chiếu vuông góc của B trên MD.Tìm tọa độ các điểm B và C, biết rằng N 5; 4 . Lời giải: A(-4;8). B I. C. D N(5;4). M. 42. Ths. Trần Hải 0982 358 268.

(43) Chuyên đề phương trình đường thẳng trong mặt phẳng Gọi C t; 2t 5 d, gọi I là tâm hình chữ nhật ABCD suy ra I là trung điểm t. của AC nên I. 4 2. ;. 2t 3 2. Tam giác BDN vuông tại N nên IN = IB (trong tam giác vuông đƣờng trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền) suy ra IN = IA Do đó ta có phƣơng trình: t. 5. 4. 2. 4. 2. t. 2t 3 2. 2. 4. t. 4. 2. 2. 2t 3 2. 8. 2. C 1, 7. 1. Do M đối xứng với B qua C nên CM = CB Mà CB = AD và CM song song với AD ( tính chất hình chữ nhật) nên tứ giác ACMD là hình bình hành. Suy ra AC song song DM Lại có BN. DM , suy ra BN. AC và CB. CN .. Vậy B là điểm đối xứng với N qua AC. Phƣơng trình đƣờng thẳng AC qua A và C là: 3x Đƣờng thẳng BN qua N và vuông góc với AC là: x Gọi B 3a. K. 4. 3y. 17;a , gọi K là trung điểm của BN suy ra K. AC. Vậy B. y. 3. 3a. 22. a. 2. 4 2. 4. 0. a. 7. 0.. 17 3a 2 B. 0. 22 a ;. 4 2. 4; 7. 4; 7 ,C 1; 7 .. Ví dụ 6( Khối B- 2013): Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thang cân ABCD có hai đƣờng chéo vuông góc với nhau và AD = 3BC. Đƣờng thẳng BD có phƣơng trình:. x. 2y. 6. 0 và tam giác ABD có trực tâm H. 3;2 . Tìm tọa độ các đỉnh C. và D. 43. Ths. Trần Hải 0982 358 268.

(44) Chuyên đề phương trình đường thẳng trong mặt phẳng Lời giải: B. C. I. H A. D. Gọi I là giao điểm của AC và BD suy ra IB. ICB. 450. IC (gt) nên tam giác BIC vuông cân tại I. Mà IB BH. IC. AD. BH. HBC vuông cân tại B suy ra I là trung điểm của. BC. HC. Gọi C a;b Do CH I. I. BD. 3 2. Từ (1), (2) suy ra. Ta có. IC ID. Mà :CD. Gọi D 6 7. Vậy C. 2. 2. 2.. b. a b. 2 2. BC AD. IC 2. ID 2. 2a. 0. 2. 6. 0. C. 1, 6. 2 1 6. IB ID. 2t, t. 2t. 3 b ;. CH .BD. a. BD. a. 1 3. t. 6. 2. 2. 0. (1) (2). 3IC. 10IC 2. DB vàCD. b. 3. ID. 5 2 ( theo pitago). 5 2 t t. 50. 1;6 , D 4;1 hoặc C. 1 7. 1;6 , D. 8;7 .. Ví dụ 7: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thoi ABCD có đƣờng chéo BD nằm trên đƣờng thẳng. :x. y. 2. 0. Điểm M 4; 4 nằm trên đƣờng 44. Ths. Trần Hải 0982 358 268.

(45) Chuyên đề phương trình đường thẳng trong mặt phẳng thẳng chứa cạnh BC, điểm N 5;1 nằm trên đƣờng thẳng chứa cạnh AB. Biết BD. 8 2. Tìm tọa độ các đỉnh của hình thoi ABCD , biết điểm D có. hoành độ âm..  Chú ý: Ở đây ta chú ý đến tính chất đối xứng trục của hình thoi. Lời giải: N(-5;1) B. A. C. I. M(4;-4). M' D. Gọi M đối xứng với M qua BD. M. 2;2. Đƣờng thẳng AB qua M N nên AB : x. 3y. 8. 128. d. 0. Tọa độ điểm B là nghiệm của hệ PT: x y 2 0 x 3y 8 0. Gọi D d, d doBD. x y. 2. B 7;5. ,. d. 8 2. 7 5. 7. 2. d. 7. 2. 1. D. 1, 3. Gọi I là tâm hình thoi suy ra I 3;1 , khi đó đƣờng thẳng AC qua I và vuông góc với BD suy ra AC có phƣơng trình: x. y. 4. 0.. Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ PT: x y x 3y. 4 8. 0 0. x y. 1 3. A 1, 3. C 5, 1. Vậy tọa độ các đỉnh hình thoi là: A 1;3 , B 7;5 , C 5; 1 , D. 1; 3 .. 45. Ths. Trần Hải 0982 358 268.

(46) Chuyên đề phương trình đường thẳng trong mặt phẳng  Nhận xét: Bài toán trên có thể lấy đối xứng của điểm N qua trục đối xứng AC. Khi đó ta tìm được tọa độ điểm đối xứng là N’ nằm trên đường thẳng AD. Ví dụ 8: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD trong đó A thuộc. thẳng d1 : x. đƣờng. thẳng d2 :2x. y. 3. y. 1. 0, và. C,. nằm. D. trên. đƣờng. 0. Tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông biết hình vuông. có diện tích bằng 5. Lời giải: C. D. A. B. Gọi I là tâm hình vuông ABCD . Gọi A a;1 a. d1,tacó SABCD. d A, d2. 5. 2a. AD. a. 1. 5. 3. 5. 5 a. 1 7 3. A 1;0 suy ra phƣơng trình cạnh AD : x. 2y. 3a. *) Với a. 1. 2. 5. a. 1. 0. Tọa độ điểm D là nghiệm của hệ PT: 2x y x 2y. 3 1. 0 0. Gọi C a,b tacóC. x y. 1 1. d2 và DC. D. 1;1. 5. Tọa độ điểm C là nghiệm của hệ PT:. 46. Ths. Trần Hải 0982 358 268.

(47) Chuyên đề phương trình đường thẳng trong mặt phẳng 2a a. b. 1. 3. 2. a b. 0. b. 2. 1. a b. 5. Suy ra C 0; 3 hoặc C +) Với C 0, 3. +) Với C. 2, 1. *) Với a. 7 3. x. 13 3. 2y. 2 1. 2; 1 .. 1 3 ; 2 2. I. 0 3. B 2;2 1 1 ; 2 2. I. B(0; 2). 7 10 suy ra phƣơng trình cạnh AD là: ; 3 3. A 0. Tọa độ điểm D là nghiệm của hệ PT: 2x x. y. 3 13 3. 2y. 0. 1 3 7 3. x. 0. y. Gọi C a;b tacóC. D. d2 và DC. 1 7 ; 3 3. 5. Tọa độ điểm C là nghiệm của hệ PT: a 2a a. b 1 3. 3. 0. 2. b. 7 3. b. 2. 5. a b. +) Với C. 4 1 ; 3 3. I. 11 11 ; 6 6. 4 3 1 3 2 3 13 3. B. 10 4 ; 3 3 47. Ths. Trần Hải 0982 358 268.

(48) Chuyên đề phương trình đường thẳng trong mặt phẳng 2 13 5 23 4 16 +) Với C ; I ; B ; 3 3 6 6 3 3 Vậy có 4 hình vuông thỏa mãn yêu cầu bài toán là: A 1;0 ,B 2;2 ,C 0;3 , D. hoặc A 1;0 ,B 0; 2 ,C. 1;1. 2; 1 ,D. 1;1. hoặc A. 7 10 ; ,B 3 3. 10 4 ; ,C 3 3. 4 1 ; ,D 3 3. hoặc A. 7 10 ; ,B 3 3. 4 16 2 13 ; ,C ; ,D 3 3 3 3. 1 7 ; 3 3 1 7 ; . 3 3. Ví dụ 9 (Khối A-2014): Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình vuông ABCD có M là trung điểm AB , N thuộc cạnh AC sao cho AN. 3NC . Viết phƣơng trình đƣờng. thẳng CD, biết M 1;2 , N 2; 1 . Lời giải: D. I. C N. A. Ta có MN Ta có AM nên MN. 2. 5a 2 Do đó 8. M. B. 10. Gọi a là độ dài cạnh hình vuông ABCD, a. 3AC 4. a và AN 2 AM 10. 2. AN a. 2. 0.. 3a 2 , 4. 2AM .AN .cos MAN. 5a 2 . 8. 4. 48. Ths. Trần Hải 0982 358 268.

(49) Chuyên đề phương trình đường thẳng trong mặt phẳng Gọi I x ; y là trung điểm của CD. Ta có IM. AD. 4 và IN. BD 4. 2,. nên ta có hệ phƣơng trình x. 1. x. 2. 2. 2. +) Với x. y. 2. y. 1. 1; y. 2. 2. 16. x. 1; y. 2. x. 17 ;y 5. 2 6 . 5. 2 ta có I 1; 2 và IM. 0; 4 .. Đƣờng thẳng CD đi qua I có vtpt IM có phƣơng trình: y +) Với x. 17 ;y 5. 6 17 6 . ta có I và IM ; 5 5 5. 2. 0.. 12 6 ; . 5 5. Đƣờng thẳng CD đi qua I có vtpt IM có phƣơng trình: 3x. 4y. 15. 0.. B- Bài tập: Bài tập 1: Cho hình thang cân ABCD có A 1;2 , B 3;0 . Chân đƣờng cao H kẻ từ đỉnh A xuống đáy lớn CD thỏa mãn tam giác AHC vuông cân tại H và có diện tích bằng 9. Tìm tọa độ các đỉnh hình thang. Bài tập 2(Khối A-2005): Trong mặt phẳng Oxy, cho 2 đƣờng thẳng d1 : x. y. 0, d2 : 2x. y. 1. 0. Tìm tọa độ các đỉnh hình vuông ABCD biết. đỉnh A thuộc đƣờng thẳng d1, đỉnh C thuộc đƣờng thẳng d2 và B, D thuộc trục hoành. Đáp số: A 1;1 ,B 0;0 ,C 1; 1 , D 2;0 hoặc A 1;1 ,B 2;0 ,C 1; 1 ,D 0;0 .. Bài tập 3( Khối A-2009): Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có điểm I 6;2 là giao điểm của hai đƣờng chéo AC và BD. Điểm M 1;5 thuộc đƣờng thẳng AB và trung điểm E của cạnh CD thuộc đƣờng thẳng. :x. y. 5. 0. Đáp số: AB: y. 5. 0 hoặc x. 4y. 19. 0. 49. Ths. Trần Hải 0982 358 268.

(50) Chuyên đề phương trình đường thẳng trong mặt phẳng Bài tập 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có các đƣờng thẳng AB, AD lần lƣợt đi qua các điểm M 2;3 ,N. 1;2 . Hãy lập phƣơng. trình đƣờng thẳng BC và CD, biết rằng hình chữ nhật ABCD có tâm I độ dài đƣờng chéo AC bằng Đáp số: BC : x. y. 7. hoặc BC : 3x. 4y. 14. 5 3 ; và 2 2. 26.. 0, CD :x. y. 0,CD : 4x. 3. 0. 3y. 12. 0.. Bài tập 5: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình thoi ABCD có tâm I 3; 3 và AC. 2BD. Điểm M 2;. 4 13 thuộc đƣờng thẳng AB, điểm N 3; 3 3. thuộc. đƣờng thẳng CD. Viết phƣơng trình đƣờng chéo BD biết B có hoành độ nhỏ hơn 3. Đáp số BD : 7x. y. 18. 0.. Bài tập 6: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình thoi ABCD có đƣờng chéo BD nằm trên đƣờng thẳng. :x. thẳng chứa cạnh BC, điểm N Biết BD. y. 2. 0. Điểm M 4; 4 nằm trên đƣờng. 5;1 nằm trên đƣờng thẳng chứa cạnh AB.. 8 2. Tìm tọa độ các đỉnh của hình thoi ABCD, biết điểm D có. hoành độ âm. Đáp số: A 1;3 ,B 7;5 ,C 5; 1 , D. 1; 3. Bài tập 7: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD có đỉnh A. : 7x. 4;5 , và một đƣờng chéo có phƣơng trình. y. 8. 0. Viết. phƣơng trình các cạnh của hình vuông. Đáp số: AB : 3x. 4y. 31. 0, AD : 4x. BC : 4x. 3y. 24. 0,CD : 3x. 3y. 4y. 1. 7. 0,. 0.. 50. Ths. Trần Hải 0982 358 268.

(51) Chuyên đề phương trình đường thẳng trong mặt phẳng Bài tập 8: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình thang cân ABCD có đáy lớn CD. Biết A 0;2 ,D. 2; 2 và giao điểm I của AC và BD nằm trên đƣờng. thẳng có phƣơng trình: d : x thang khi góc AID. y. 4. 0. Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình. 450.. Đáp số: B 2. 2;2. hoặc B 4. 3 2;2. 2 ,C 2. 4 2;2. 2 , C 4. 4 2. 4 2; 2 2. Bài tập 9: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình bình hành ABCD có diện tích bằng 4. Biết A 1;0 , B 0;2 và giao điểm I của hai đƣờng chéo nằm trên đƣờng thẳng y Đáp số: C. x. Tìm tọa độ các đỉnh C và D.. 5 8 8 2 ; , D ; hoặc C 3 3 3 3. 1;0 , D 0; 2 .. Bài tập 10: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD . Biết AB. 4 ;1 , đƣờng thẳng BC đi qua 3. 2BC , đƣờng thẳng AB đi qua điểm M. điểm N 0; 3 , đƣờng thẳng AD đi qua điểm P 4;. 1 , đƣờng thẳng CD đi qua 3. điểm Q 6;2 . Viết phƣơng trình các cạnh của hình vuông ABCD. Đáp số: AB : 3x. 9y. BC : 3x. hoặc AB : 3x BC : 17. y. 17y 3y. 0, AD : 9x. 13 3. 0, CD : x. 0, AD : 17x. 13 9. 3y. 0, CD : 3x. 17y. 3y. 35. 0,. 71. 0,. 0. 3y 52. 0.. Bài tập 11: Cho tam giác ABC . Gọi A , B ,C ABA C , BCB A,CAC B. là. các. hình. là các điểm sao cho bình. hành.. Biết. 51. Ths. Trần Hải 0982 358 268.

(52) Chuyên đề phương trình đường thẳng trong mặt phẳng H 1 0; 2 , H 2 2; 1 , H 3 0;1 là trực tâm của các tam giác BCA ,CAB , ABC . Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC . Đáp số: A 1;1 , B 2; 1 ,C 1; 2 . Bài tập 12: Cho hình chữ nhật ABCD có H 1;2 là hình chiếu vuông góc của A xuống BD, điểm M. 9 ; 3 là trung điểm BC . Trung tuyến kẻ từ A của tam 2. giác ADH là d :4x. y. Đáp số: BC :2x. y. 4. 0. Viết phƣơng trình đƣờng thẳng BC .. 0, BC :2x. 12. 8y. 33. 0.. Bài tập 13: Cho hình chữ nhật ABCD có A 5; 7 , điểm C nằm trên đƣờng thẳng d1 : x. y. 4. thẳng AB là d2 ;3x. 0. Đƣờng thẳng đi qua đỉnh D và trung điểm của đoạn. 4y. 23. 0. tìm tọa độ của B và C biết điểm B có. hoành độ dƣơng. Đáp số: B. 33 21 ; ,C 1;5 . 5 5. Bài tập 14: Cho hình bình hành ABCD có N là trung điểm cạnh CD và đƣờng thẳng BN :13x cho AC. 10y. 13. 0, điểm M. 4AM . Gọi H là điểm đối xứng của N qua C . Tìm tọa độ các đỉnh. của hình bình hành, biết rằng 3CA :2x. 1;2 thuộc đoạn AC sao. 3y. Đáp số: A. 2AB và điểm H thuộc đƣờng thẳng. 0. 5 7 7 13 ; ,B ; ,C 1;1 , D 3 3 3 3. 3; 1 .. Bài tập 15: Cho hình chữ nhật ABCD có điểm C thuộc đƣờng thẳng d :2x. y. 5. 0 và A. 4; 8 . Gọi M là điểm đối xứng với B qua C , N là. hình chiếu của B lên MD. Tìm tọa độ của B,C , biết N 5; 4 . 52. Ths. Trần Hải 0982 358 268.

(53) Chuyên đề phương trình đường thẳng trong mặt phẳng 4;7 ,C 1; 7 .. Đáp số: B. Bài tập 16: Cho 3 đƣờng thẳng: d1 :3x. 2y. 4. 0, d2 : x. Tìm tọa độ điểm A,C. y. d3, B. Đáp số: B 4;4 , D 2;4 , A,C. 0, d3 : x. 6 d1, D. 3. 0.. d2 sao cho ABCD là hình vuông.. 3;3 ; 3;5 .. Bài tập 17: Cho hình vuông ABCD có M là trung điểm AB, đƣờng thẳng DM :2x. y. 1. 0 và điểm C 1; 1 . Tìm tọa độ điểm D .. Bài tập 18 (Khối B-2014): Trong mặt phẳng Oxy cho hình bình hành ABCD. Điểm M. 3; 0 là trung. điểm cạnh AB , điểm H 0; 1 là hình chiếu vuông góc của B trên AD và điểm G. 4 ; 3 là trọng tam tam giác BCD. Tìm tọa độ các điểm B, D. 3. 53. Ths. Trần Hải 0982 358 268.

(54) Chuyên đề phương trình đường thẳng trong mặt phẳng CHƢƠNG III. TIẾP CẬN MỘT SỐ BÀI TOÁN THEO CÁC CÁCH KHÁC NHAU Bài toán 1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình vuông ABCD . Gọi M 1; 3 là trung điểm của cạnh BC, N AN. 3 1 ; . là điểm trên cạnh AC sao cho 2 2. 1 AC . Xác định tọa độ các đỉnh của hình vuông ABCD , biết D nằm 4. trên đƣờng thẳng x. y. 3. 0.. Phân tích: - Ta nhận thấy rằng giả thiết bài toán xoay quanh ba điểm D, M, N nên giữa chúng xuất hiện những mối quan hệ đặc biệt. Bằng trực quan ta đƣa ra giả thuyết DN. MN . Nếu giả thuyết là đúng dựa vào bài toán 1 ta. sẽ tìm đƣợc tọa độ điểm D. Từ đó ta sẽ tìm đƣợc các đỉnh còn lại của hình vuông bằng phƣơng pháp tham số hóa quen thuộc. - Ta sẽ cụ thể bài toán trên để kiểm chứng giả thuyết đã đề ra: Giả sử ta chọn hình vuông ABCD có tọa độ các đỉnh A. 2;2 , B 2;2 ,C 2; 2 ,. DN .MN. 0. DN. 2; 2 . Khi đó. MN .. Giải. Trƣớc hết ta sẽ chứng minh DN. MN . Ta có thể chứng minh bằng một trong. các cách sau: Cách 1. (Thuần túy hình phẳng). A. B N. I. M. F. D. C. 54. Ths. Trần Hải 0982 358 268.

(55) Chuyên đề phương trình đường thẳng trong mặt phẳng Gọi I là giao điểm của hai đƣờng chéo AC và BD . Điểm F là trung điểm của đoạn DI . Khi đó tứ giác FNMC là hình bình hành và F là trực tâm tam DN . Mà CF / /MN nên DN. giác NDC nên CF. MN .. Cách 2 . (Sử dụng công cụ véc tơ) Đặt DA. x ; DC. y x.y. A. 0; x. B N. y . Ta có. M. x. DN. 3 x 4. 1 y; MN 4. DN. 1 x 4. DM. 3 y. 4 C. D 2 3 x 16. Suy ra DN .MN. y. 2. y. 0. DN. MN .. Cách 3. (Sử dụng công cụ tọa độ). Chọn hệ trục tọa độ Oxy nhƣ hình vẽ. Khi đó D 0;0 , A 0;a ,C a;0 , Nên M a;. a a 3a ,N ; . Do đó DN .MN 2 4 4. 3 2 a 16. 3 2 a 16. 0. DN. MN .. Cách 4. (Sử dụng công cụ lƣợng giác) Đặt AB. BC. CD. DA. a.. - Xét tam giác AND , ta có DN 2. AN 2. AD 2. 2AN .AD.cosA. 5 2 a. 8. - Xét tam giác CMN , ta có MN 2. CN 2. CM 2. 2CN .CM.cosC. 5 2 a. 8 55. Ths. Trần Hải 0982 358 268.

(56) Chuyên đề phương trình đường thẳng trong mặt phẳng 5 2 - Xét tam giác DCM , ta có DM 2 DC 2 CM 2 a . Suy ra 4 DM 2. DN 2. MN 2. DN. MN .. B. A N. M. Sau khi chứng minh DN. MN ta có. Phƣơng trình đƣờng thẳng DN : x x x. Tọa độ điểm D là nghiệm của hệ. Giả sử A m; n , từ AC AB. M. DC. 13 2. B. 5m 6 ;. Từ đó ta có. 7. y. 4AN. 2m;4. 1 y y. 0.. 1 3. C. 6. C. D. x y. 0 0 3m;2. 1 2. D 1; 2 .. 3n . Từ. 2n . Suy ra tọa độ điểm. 5n . 2. 13 5m 2 6 5n 6. m n. 3 0. A. 3; 0 , B. 1; 4 ;C 3;2. Nhận xét: Để giải quyết bài toán 1 ta mở “ nút thắt đầu tiên” là tìm tọa độ điểm D nhờ mối quan hệ DN. MN . Nhƣ vậy bài toán 1 thực chất đƣợc xây dựng trên bài toán. hình phẳng thuần túy : Cho hình vuông ABCD. Gọi M là trung điểm của cạnh BC; N là điểm trên cạnh AC sao cho AN DN. 1 AC . Chứng minh rằng 4. MN. Bài toán 1.2. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình vuông ABCD . Gọi M là trung điểm của cạnh BC , N. 3 1 ; là điểm trên cạnh AC sao cho 2 2 56. Ths. Trần Hải 0982 358 268.

(57) Chuyên đề phương trình đường thẳng trong mặt phẳng 1 AC . Xác định tọa độ các đỉnh của hình vuông ABCD , biết đƣờng 4. AN. thẳng DM có phƣơng trình x. 1. 0.. Phân tích: - Dữ kiện bài toán xoay quanh ba điểm D, M, N . Bằng trực quan ta dễ nhận thấy những nét giống bài toán 1. - Theo kết quả của bài toán 1, ta đã có DN. MN . Tuy nhiên một vấn đề. nảy sinh là giả thiết bài toán 2 không đủ để “mở nút thắt đầu tiên” chỉ với mối quan hệ vuông góc. Từ đó ta đƣa ra nhận định, giữa ba điểm này có mối quan hệ ràng buộc. -. khác nữa. Ta dễ dàng nhận ra mối quan hệ này là tam giác DMN vuông cân, hay NDM. 450 từ cách giải 4 trong bài toán 1.. Giải: Để chứng minh tam giác DMN vuông cân tại N ta có thể thực hiện theo các A. cách sau:. B N. Cách 1: (Sử dụng công cụ lƣợng giác) M. Đặt AB. BC. CD. DA. a. D. C. Xét tam giác AND , ta có DN 2. AN 2. AD 2. 2AN .AD.cosA. 5 2 a. 8. Xét tam giác CMN , ta có MN 2. CN 2. CM 2. 2CN .CM .cosC. 5 2 a. 8. Xét tam giác DCM , ta có DM 2. DC 2. CM 2. 5 2 a . Suy ra 4. DN MN DM 2 DN 2. MN 2. DMN vuông cân tại N .. Cách 2: (Thuần túy hình phẳng) 57. Ths. Trần Hải 0982 358 268.

(58) Chuyên đề phương trình đường thẳng trong mặt phẳng Gọi I là giao điểm của hai đƣờng chéo AC và BD. Điểm F là trung điểm của đoạn DI . Khi đó tứ giác FNMC là hình bình hành và F là trực tâm tam giác NDC nên CF. DN . Mà CF//MN nên DN. Tứ giác DNMC nội tiếp nên NMD. MN .. 450 . Từ đó suy ra tam giác. NCD. DMN vuông cân tại N .. Cách 3: (Sử dụng công cụ véc tơ) Đặt DA. x ; DC. 3 x 4. DN. 1 y; MN 4 2 3 x 16. DM .MN. Lại có DN. MN. 2. y x.y. 1 x 4. 3 y 4. DN. y. a . Ta có 1 x 4. DM. 3 y; Suy ra 4. 2. y. 3 x 4. 2. 0; x. 1 y 4 2. DN. 0. 2. 1 x 16. 9 x 16 2. 2. 9 y 16. MN .. 1 y 16 2. 2. 5 2 a 8. 5 2 a ; 8. DN. MN . Từ đó suy ra. tam giác DMN vuông cân tại N . Cách 4: ( Sử dụng công cụ tọa độ ) Chọn hệ trục tọa độ nhƣ hình vẽ. Khi đó D 0;0 , A 0;a ,C a;0 .. Ta có M a;. a a 3a . ;N ; 2 4 4. Do đó DN. a 3a ; ; MN 4 4. 3a a ; 4 4. DN .MN. 3 2 a 16. 3 2 a 16. DN. MN . 58. Ths. Trần Hải 0982 358 268.

(59) Chuyên đề phương trình đường thẳng trong mặt phẳng 5 2 MN 2 a . Hay tam giác DMN vuông cân tại N . 8. Và DN 2. Sau khi chứng minh tam giác DMN vuông cân tại N ta có: Giả sử D 1;d , ta có DN .u DM. cos NDM. DN u DM. Với d. 2. 2 2. d 5 2. 1 2. 2. d. 1 2. 2. d d. 2 3. D 1; 2 . Phƣơng trình đƣờng thẳng NM : x. y. 2 . Suy. ra M (1;3) . Từ đó theo kết quả bài toán 1 ta có A Với d. 3. 3;0 ; B. 1;4 ;C 3;2 .. D 1; 3 . Phƣơng trình đƣờng thẳng AN . Suy ra M (1; 2) .. Từ đó theo kết quả bài toán 1.1 ta có M Nhận xét : - Ta nhận thấy bài toán 1 và bài toán 2 là giống nhau về mặt hình thức, song kết quả bài toán 1 và bài toán 2 lại có sự khác nhau . Nguyên nhân của sự khác nhau này chính là việc lựa chọn mối quan hệ ba điểm tạo thành góc AM trong cách phát biểu bài toán. - Từ đó ta cũng dễ dàng nhận ra bài toán 2 thực ra đƣợc xây dựng dựa trên bài toán thuần túy hình phẳng sau: Cho hình vuông ABCD. Gọi M là trung điểm của cạnh BC , N là điểm trên cạnh AC AN. sao cho. 1 AC . Chứng minh tam giác DMN vuông cân. 4. Một số bài tập áp dụng 59. Ths. Trần Hải 0982 358 268.

(60) Chuyên đề phương trình đường thẳng trong mặt phẳng Bài 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD có phƣơng trình đƣờng chéo AC : x. y. 5. 0 . Trên tia đối của tia CB lấy điểm M và trên. tia đối của tia DC lấy điểm N sao cho DN. BM . Đƣờng thẳng song song. với AN kẻ từ M và đƣờng thẳng song song với AM kẻ từ N cắt nhau ở F 0; 3 . Xác định tọa độ các đỉnh của hình vuông ABCD, biết điểm M nằm. trên trục hoành. Bài 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD có A 1; 4 . Trên tia đối của tia CB lấy điểm M và trên tia đối của tia DC lấy điểm N sao cho BM . Đƣờng thẳng song song với AN kẻ từ M và đƣờng thẳng song. DN. song với AM kẻ từ N cắt nhau tại F . Biết phƣơng trình đƣờng thẳng. CF : x y 3. 0 . Xác định tọa độ các điểm M , N . Biết rằng M nằm trên. trục hoành. Bài 3: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có hai đƣờng chéo cắt nhau ở I 0; 1 . Kẻ AH và BK lần lƣợt vuông góc với BD và AC . Đƣờng thẳng AH và BK cắt nhau ở E. 3 1 ; . Xác định tọa độ các 2 2. đỉnh của hình chữ nhật ABCD, biết điểm H nằm trên đƣờng thẳng. x. 2y. 1. 0. Bài 4: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có hai đƣờng chéo cắt nhau tại I . Kẻ AH và BK lần lƣợt vuông góc với BD và AC . Đƣờng thẳng AH và BK cắt nhau tại E . Xác định tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật ABCD, biết phƣơng trình đƣờng thẳng BK : 3x phƣơng trình đƣờng thẳng IE : x. y. 1. y. 0 và tọa độ điểm H. 5. 0, 3 4 ; . 5 5. 60. Ths. Trần Hải 0982 358 268.

(61) Chuyên đề phương trình đường thẳng trong mặt phẳng Bài 5: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại A, D là trung điểm của đoạn AB. Biết rằng I. 11 5 13 5 ; ,E ; lần lƣợt là tâm đƣờng 3 3 3 3. tròn ngoại tiếp tam giác ABC , trọng tâm tam giác ADC . Các điểm M 3; 1 , N. 3;0 lần lƣợt thuộc các đƣờng thẳng DC , AB. Tìm tọa độ các. đỉnh của tam giác ABC , biết A có tung độ dƣơng. Bài 6: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại A, D là trung điểm của đoạn thẳng AB. Điểm E trình đƣờng thẳng CD : x. 3. 13 5 ; là trọng tâm tam giác ADC . Phƣơng 3 3. 0 , đƣờng cao kẻ từ đỉnh A của tam giác. ABC đi qua N 2; 0 . Xác định tọa độ tâm đƣờng tròn ngoại tiếp tam giác. ABC .. Bài 7: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD, E 2;1 là một điểm thuộc cạnh BC . Đƣờng thẳng qua M. 3 6 vuông góc với DE cắt ; 5 5. các đƣờng thẳng DE và DC theo thứ tự ở H và K 5; 2 . Xác định tọa độ các đỉnh của hình vuông , biết đƣờng thẳng CH có phƣơng trình. 7x. y. 16. 0.. Bài 8: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông N 3;. 13 là một 3. điểm thuộc cạnh BC . Đƣờng thẳng qua B vuông góc với DE cắt các đƣờng thẳng DE và DC theo thứ tự ở H. 62 34 ; và K 5; 2 . Xác định tọa độ các 25 25. đỉnh của hình vuông, biết điểm C thuộc đƣờng thẳng x. 2y. 2. 0.. 61. Ths. Trần Hải 0982 358 268.

(62) Chuyên đề phương trình đường thẳng trong mặt phẳng Bài 9: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD, gọi E là trung 11 2 là hình chiếu vuông góc của B lên CE và ; 5 5. điểm của cạnh AD, H. M. 3 6 là trung điểm của BH . Xác định tọa độ các đỉnh của hình vuông ; 5 5. ABCD, biết điểm A có hoành độ âm.. Bài 10: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi M là điểm trên cạnh AC sao cho AB. 2AM . Đƣờng tròn tâm. I 1; 1 đƣờng kính CM cắt BM tại D. Xác định tọa độ các đỉnh của. biết đƣờng thẳng BC đi qua N. CD : x. 3y. 6. ABC. 4 ; 0 , phƣơng trình đƣờng thẳng 3. 0 và điểm C có hoành độ dƣơng.. Bài 11: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có trọng tâm G 1;1 , đƣờng cao từ đỉnh A có phƣơng trình 2x đƣờng thẳng. :x. 2y. y. 1. 0 và các đỉnh B, C thuộc. 0 . Xác định tọa độ các đỉnh A, B, C biết diện. 1. tích tam giác ABC bằng 6. Bài 12: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD, có tâm O và hai cạnh kề lần lƣợt đi qua M. 1;2 , N 3; 1 . Xác định tọa độ các đỉnh của hình. vuông. Bài 13: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD có phƣơng trình đƣờng thẳng chứa các cạnh AB và CD lần lƣợt là. 4x. 3y. 4. 0;4x. 3y. 18. 0 . Xác định tọa độ các đỉnh của hình vuông. ABCD, biết tâm I thuộc đƣờng thẳng. :x. y. 1. 0.. Bài 14: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thang cân ABCD có hai đáy AB vàCD, hai đƣờng chéo AC và BD vuông góc với nhau. Biết A 0; 3 , 62. Ths. Trần Hải 0982 358 268.

(63) Chuyên đề phương trình đường thẳng trong mặt phẳng B 3; 4 và điểm C nằm trên trục hoành. Xác định tọa độ đỉnh D của hình thang ABCD. Bài 15: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thoi ABCD có tâm I 3; 3 và AC. N 3;. 2BD. Điểm M 2;. 4 thuộc đƣờng thẳng AB, điểm 3. 13 thuộc đƣờng thẳng CD. Viết phƣơng trình đƣờng chéo BD biết đỉnh 3. B có hoành độ nhỏ hơn 3.. 63. Ths. Trần Hải 0982 358 268.

(64) Chuyên đề phương trình đường thẳng trong mặt phẳng KẾT LUẬN Phƣơng trình đƣờng thẳng trong mặt phẳng là một nội dung quan trọng, đòi hỏi học sinh phải biết cách tƣ duy, biến đổi, lựa chọn phƣơng pháp giải phù hợp. Đề tài đã nêu lên các dạng phƣơng trình đƣờng thẳng, các phƣơng pháp giải phù hợp. Tuy nhiên, do đây là một nội dung rộng, nên việc đƣa ra các phƣơng pháp đôi khi còn mang tính tƣơng đối. Hi vọng qua bài viết này phần nào giúp cho học sinh có tƣ duy tốt hơn, thành thạo kỹ năng giải toán và một số các kiến thức liên quan. Các kiến thức trong đề tài cũng đã đƣợc tôi áp dụng với học sinh các lớp tôi dạy và cũng thu đƣợc một số kết quả khả quan. Tuy nhiên, do kiến thức cá nhân có hạn, kinh nghiệm giảng dạy còn nhiều hạn chế và bài viết cũng chƣa đƣợc áp dụng nhiều đối với các đối tƣợng nên chắc chắn còn nhiều thiếu sót. Hi vọng sẽ nhận đƣợc sự góp ý của các thầy cô, anh chị đồng nghiệp để đề tài đƣợc hoàn thiện hơn và có ứng dụng rộng rãi hơn. Xin chân thành cảm ơn! TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Trần Văn Hạo, 2008, Hình học 10 cơ bản, NXB Giáo dục. [2] Đoàn Quỳnh, 2008, Hình học 10 nâng cao, NXB Giáo dục. [3] Trần Phƣơng, 2007, Hình học giải tích, NXB Trẻ. [4] Tủ sách toán học và tuổi trẻ, 2012, NXB Giáo dục. [5] Tuyển tập tạp chí Toán học và Tuổi trẻ năm 2004.. 64. Ths. Trần Hải 0982 358 268.

(65)

Chuyen de phuong trinh duong thang trong mat phang

Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về