Đề thi chọn đội tuyển HSG QG TP đà nẵng năm học 2013 2014

"Đừng lo lắng về khó khăn của bạn trong toán học, tôi đảm bảo với bạn rằng những khó khăn toán học của tôi còn gấp bội."

Bạn đang ở: Trang chủ Toán Olympic Đề thi, Kiểm tra Đề thi chọn Đội tuyển HSG QG TP Đà Nẵng năm học 2013-
2014
Chuyên mục: Đề thi, Kiểm tra Olympic
Đề thi chọn Đội tuyển HSG QG TP Đà Nẵng năm học 2013-2014
Ban Biên Tập
Chủ nhật, 15 Tháng 9 2013 07:36
Ngày 1. Thời gian: 180 phút.
Bài 1: (5 điểm)
Tìm tất cả các hàm số sao cho
Bài 2: (5 điểm)
Cho số nguyên dương đôi một khác nhau ( ). Đặt . Với mội
lấy . Chứng minh nguyên với mọi tự nhiên.
Bài 3: (5 điểm)
Cho đường thẳng và điểm A không nằm trên . Gọi là hình chiếu của trên d và K là trung điểm của
. Hai đường tròn di động nhưng luôn tiếp xúc với d và tiếp xúc với nhau tại A. Chứng minh:
a) Phương tích của K với đường tròn đường kính không đổi.
b) Chứng minh đường tròn đường kính luôn tiếp xúc với đường tròn cố định.
Bài 4: (5 điểm)
Cho bảng kẻ ô vuông kích thước . Hãy tìm giá trị lớn nhất của sao cho thoả mãn điều
kiện: ta có thể tô màu ô vuông đơn vị của bảng sao cho không có hai ô vuông đơn vị nào được tô mà có đỉnh
chung.
Ngày 2 Thời gian: 180 phút.
Bài 5: (6 điểm)
Cho số nguyên tố . Gọi . Chứng minh:
Bài 6: (7 điểm)
Cho tam giác và điểm nằm trên đường thẳng . Chứng minh rằng:
a) Tồn tại duy nhất tam giác đồng dạng với tam giác mà các điểm và nằm lần lượt trên
đường thẳng và .
b) Trực tâm của tam giác không phụ thuộc vị trí của điểm trên đường thẳng .

Bài 7: (7 điểm)
Cho là một đa giác đều cạnh. Mỗi đỉnh của sẽ được tô bởi chỉ một trong hai màu xanh và đỏ. Khi
đó, nếu là một đa giác đều thoả mãn đồng thời hai điều kiện:
- Tập đỉnh của là tập con của tập đỉnh của .
- Tất cả các đỉnh của được tô bởi cùng một màu.
thì ta gọi là một mẫu đơn sắc. Hãy tính số cách tô màu các đỉnh của sao cho không có mẫu đơn
sắc nào được tạo ra.

Hết
Chuyên mục
Tin tức và Sự kiện
Toán học và đời sống
Lịch sử Toán học
Toán học lý thú
Phương pháp học Toán
Dành cho giáo viên
Nghiên cứu
Trung học Cơ sở
Trung học Phổ thông
Thi Đại học
Toán Olympic
Toán cao cấp
Sách báo, Tài liệu
Nhịp sống diễn đàn
Trang nhất Diễn đàn Tin tức Giới thiệu Cộng tác viên Trợ giúp