Bộ đề thi giữa kỳ i môn toán 9

1

Website:tailieumontoan.com

ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG GIỮA KỲ I
QUẬN HÀ ĐÔNG - MƠN TỐN 9
NĂM HỌC 2020-2021.
MƠN:
Bài 1:

(2 điểm) Thực hiện phép tính :
 2

1) A = 
+
 3


50
− 24  . 6 .
3


 14 − 7
15 − 5 
1
2) B 
.
=
+
 :

−
−
−
2
1
3
1
7
5



Bài 2:

(2,5 điểm) Giải phương trình:
12 .
a) 1) 3x − 5 12 x + 7 27 x =

b) 2)
Bài 3:

3

x2 + 2 =
3.

(2 điểm) Cho hai biểu thức: A =

x+7
x

2 x −1 2x − x − 3
+
−
và B =
với
x −9
x +3
x −3
x

x > 0; x ≠ 9 .

1) Tính giá trị biểu thức của A khi x = 1, 44 .
2) Rút gọn biểu thức B.
3) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S=
Bài 4:

1
+ A.
B

(3 điểm) Cho tam giác ∆ABC vuông tại A , đường cao AH . Biết BC = 8 cm ,
BH = 2 cm .

1) Tính độ dài các đoạn thẳng AB , AC , AH .
2) Trên cạnh AC lấy điểm K ( K ≠ A, K ≠ C ) , gọi D là hình chiếu của A trên BK .
Chứng minh rằng: BD.BK = BH .BC .
1
4

ABD .
3) Chứng minh rằng: S BHD = S BKC cos 2 

Bài 5:

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: K=

5x + 6 5x − 9 + 5x − 6 5x − 9 .

HẾT

Liên hệ tài liệu word tốn zalo: 039.373.2038

TÀI LIỆU TỐN HỌC


2

Website:tailieumontoan.com

HƯỚNG DẪN GIẢI
Bài 1:

 2


50
− 24  . 6
3


(2 điểm) 1) A = 
+
 3

 6 5 6

A = 
+
− 2 6  . 6
3
 3

6 6

=
A 
− 2 6  . 6
 3


=
A

(2

)

6 −2 6 . 6

=
A 0.=
6 0.
 14 − 7
15 − 5 
1
2) B 
=
+
 :
2 −1
3 −1  7 − 5


(

)

(

)  :

 7 2 −1
5 3 −1
=
+
B 

2 −1
3 −1



(

)(

B =+
7
5 .

7− 5




1
7− 5

)

B = 7−5 = 2.

Bài 2:

(2,5 điểm) Giải các phương trình sau:
12 .
c) 1) 3x − 5 12 x + 7 27 x =

d) 2)

3

x2 + 2 =
3.

Lời giải
1) ĐKXĐ: x ≥ 0 .
3x − 5 12 x + 7 27 x =
12
⇔ 3x − 5.2 3x + 7.3 3x =
12
⇔ 3x − 10 3x + 21 3x =
12
⇔ 12 3 x =
12

⇔ 3x =
1
⇔ 3x =
1

Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038

TÀI LIỆU TOÁN HỌC


3

Website:tailieumontoan.com

⇔x=

1
> 0 (thỏa mãn điều kiện).
3

1
Vậy phương trình có tập nghiệm S =   .
3

2)

3

x2 + 2 =
3

⇔ x 2 + 2 =27 ⇔ x 2 =25 ⇔ x =±5 .

Vậy phương trình có tập nghiệm S =

(2 điểm) a) Thay x = 1, 44 (tmđk) vào biểu thức A ta được:

Bài 3:
=
A

{±5} .

1, 44 + 7 8, 44 211

.
= =
1, 2
30
1, 44

Vậy tại x = 1, 44 thì A =

211
.
30

b) ĐKXĐ: x > 0; x ≠ 9 .
2 x −1 2x − x − 3
x
+
−
x −9
x +3
x −3

B=

x

B=

B=

B=

B=

(

) (
(

)( x + 3) − 2 x +
x + 3)( x − 3)

x − 3 + 2 x −1

x +3

x − 3 x + 2x + 6 x − x − 3 − 2x + x + 3

(

x

(

(

x +3

x +3

)(

x +3

)

x −3

)(

x −3

)

)

x
.
x −3

c) ĐKXĐ: x > 0; x ≠ 9 .
S=

1
+ A=
B

Vì

x > 0;

x −3 x +7 x + x + 4
+
=
=
x
x
x

x+

4
+1.
x

4
> 0 nên áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dương
x

x và

4
, ta
x

được:

Liên hệ tài liệu word tốn zalo: 039.373.2038

TÀI LIỆU TỐN HỌC

4

Website:tailieumontoan.com
x+

4
≥2
x

x.

4
x

⇒ x+

4
≥ 2.2
x

⇒ x+

4
≥4
x

⇔ x+

4

+1 ≥ 5 .
x

Dấu "=" xảy ra khi

x=

4
⇒ x= 4 (thỏa
x

mãn).
Vậy GTNN của S là 5 đạt được khi x = 4 .
Bài 4:

(3 điểm)
1) Xét ∆ABC vuông tại A ; đường
cao AH .
Áp dụng hệ thức lượng trong tam
giác vng ta có:
AB 2 =BH .BC =2.8 =16 ⇒ AB =4 cm
AC 2 =HC.BC =( BC − BH ) .BC =6.8 =48 ⇒ AC =4 3 cm
2
AH=
HB.HC ⇒ AH
= 2 3 cm .

2) Xét tam giác vng ABK , đường cao AD ta có: AB 2 = BD.BK
Xét tam giác vuông ABC , đường cao AH ta có: AB 2 = BH .BC

(1)
(2)

Từ (1) và (2) suy ra BD.BK = BH .BC = AB 2 (đpcm).
3) Gọi E là hình chiếu của H lên BD , F là hình chiếu của C lên BK . Ta có
1
.HE.BD HE BD BH BD BH BD.BK
BH BA2 1
S BHD 2
=
.
.
.
=
=
.
cos.
ABD
= = =
S BKC 1 .CF .BK CF BK BC BK BC BK 2
BC BK 2 4
2

Liên hệ tài liệu word tốn zalo: 039.373.2038

TÀI LIỆU TỐN HỌC


5

Website:tailieumontoan.com

1
⇒ S BHD =
S BKC cos 2 
ABD .
4

Bài 5:

ĐKXĐ: x ≥
Với x ≥
=
K

K=

(

9
5

9
ta có:
5
5x − 9 + 3

)

2

+

(3 −

5x − 9

)

2

5x − 9 + 3 + 3 − 5x − 9 .

Với x ≥

9
ta có:
5

3 − 5x − 9 ≥ 3 − 5x − 9
⇒ 5x − 9 + 3 + 3 − 5x − 9 ≥ 5x − 9 + 3 + 3 − 5x − 9
⇒ K ≥ 6.

Dấu " = " xảy ra ⇔ 3 − 5 x − 9 ≥ 0
⇔ 5x − 9 ≤ 3
⇔ 5x − 9 ≤ 9

⇔ x≤

Mà x ≥

18
.
5

9
9
18
nên ≤ x ≤ .
5
5
5

Vậy K có giá trị nhỏ nhất là 6 đạt được khi và chỉ khi

9
18
≤x≤ .
5
5

HẾT

Liên hệ tài liệu word tốn zalo: 039.373.2038

TÀI LIỆU TỐN HỌC


Website:tailieumontoan.com
6

TRƯỜNG THCS BA ĐÌNH
ĐỀ THI GIỮA HỌC KÌ 1
NĂM HỌC 2020-2021. MƠN: TỐN 9
Câu 1. Tính giá trị biểu thức
a) 2 45 + 5 − 3 80

(2 − 3)

b)

2

+

2
16
−6
3
3 +1

c) tan 2 40o.sin 2 50o − 3 + (1 − sin 40o )(1 + sin 40o )
Câu 2. Giải phương trình:
8
a) 4 − 3x =

b) 4 x − 8 − 12

(

)(

c) 2 x + 1

x−2
=−1
9

)

x −2 =
7


1 
x
x +1
và B =
−
 :
 x −1 x − x  x + 2

Câu 3. Cho biểu thức:
A 
=

x
với x > 0, x ≠ 1, x ≠ 9 .
x −3

a)Tính giá trị biểu thức B khi x = 36 .
1
b)Tìm x để B <

2

c)Rút gọn biểu thức A.
d)Tìm giá trị x nguyên nhỏ nhất để biểu thức P = A.B nguyên.
Câu 4.
1)Một chiếc máy bay cất cánh theo một góc 25o so với phương ngang. Hỏi muốn đạt độ
cao 2000m thì máy bay phải bay một đoạn đường là bao nhiêu mét? (làm tròn kết quả
đến chữ số thập phân thứ nhất)
2)Cho tam giác ABC vuông tại A , đường cao AH .
a)Biết AB = 4 cm, AC = 4 3 cm. Giải tam giác ABC .
b)Kẻ HD, HE lần lượt vng góc với AB, AC ( D thuộc AB , E thuộc AC ). Chứng
minh BD.DA + CE.EA =
AH 2
c)Lấy điểm M nằm giữa E và C , kẻ AI vng góc với MB tại I . Chứng minh
HI
sin 
AMB.sin 
ACB =
CM
Liên hệ tài liệu word tốn zalo: 039.373.2038

TÀI LIỆU TỐN HỌC


Website:tailieumontoan.com
7

)

(

Câu 5. Giải phương trình 2 x − 2 x 2 + 5 x − 3 = 1 + x

(

)

2x −1 − 2 x + 3 .

TRƯỜNG THCS BA ĐÌNH
ĐỀ THI GIỮA HỌC KÌ 1
NĂM HỌC 2020-2021. MƠN: TỐN 9
HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
Câu 1.

a) 2 45 + 5 − 3 80
2 45 + 5 − 3 80
= 2 9.5 + 5 − 3 16.5
= 2 32.5 + 5 − 3 42.5
= 2.3 5 + 5 − 3.4 5
= 6 5 + 5 − 12 5
= −5 5

b)

(

2− 3

=2 − 3 +

=2 −

=2 −

)

2

2
16
−6
3
3 +1

+
2

(

)

3 −1

42
−6

3
3 −1

)( )
2 ( 3 − 1)
4
(do 2 >
−6
3+
3
( 3 ) −1
2 ( 3 − 1)
3+
−8 3
(

3 +1

2

3 nên 2 − 3 =−
2
3)

2

2
= 2 − 3 + 3 −1 − 8 3
= 1− 8 3

c) tan 2 40o.sin 2 50o − 3 + (1 − sin 40o )(1 + sin 40o )
tan 2 40o.sin 2 50o − 3 + (1 − sin 40o )(1 + sin 40o )
= tan 2 40o.sin 2 50o − 3 + (1 − sin 2 40o )
sin 2 40o
.cos 2 40o − 3 + 1 − sin 2 40o
o
2
cos 40
= sin 2 40o − 3 + 1 − sin 2 40o
= −2

=

Câu 2.

a) 4 − 3x =
8
4 − 3x =
8
⇔

(

4 − 3x

)

2

82

=

64
⇔ 4 − 3x =
Liên hệ tài liệu word tốn zalo: 039.373.2038

TÀI LIỆU TỐN HỌC


Website:tailieumontoan.com
8

⇔x=
−20
Vậy phương trình có nghiệm x = −20
x−2
=−1
9

b) 4 x − 8 − 12

Điều kiện xác định: x − 2 ≥ 0 ⇔ x ≥ 2
x−2
=−1
9

4 x − 8 − 12

1
−1

( x − 2) =
9

⇔ 4( x − 2) − 12

1
x − 2 =−1
3
⇔ 2 x − 2 − 4 x − 2 =−1
⇔ 2 x − 2 − 12.

⇔ 2 x−2 =
1
1
⇔ x−2 =
2
1
⇔ x−2=
4
9
⇔ x = (thỏa mãn)
4

9
4

Vậy phương trình có nghiệm x = .

(

)(

c) 2 x + 1

)

x −2 =
7

Điều kiện xác định: x ≥ 0

(2

)(

x +1

)

x −2 =
7

⇔ 2x + x − 4 x − 2 =
7
⇔ 2x − 3 x − 9 =
0
⇔ 2x − 6 x + 3 x − 9 =
0
⇔ 2 x ( x − 3) + 3( x − 3) =
0

⇔ (2 x + 3)( x − 3) =
0

⇔ x −3 =
0 (do 2 x + 3 > 0 ∀ x ≥ 0 )

Câu 3.

⇔ x=
3
⇔x=
9 (thỏa mãn)
Vậy phương trình có nghiệm x = 9 .
a)Tính giá trị biểu thức B khi x = 36 .
Khi x = 36 (thỏa mãn điều kiên xác định x > 0, x ≠ 1, x ≠ 9 ), ta có:
=
B

36
6
= = 2
36 − 3 6 − 3

Vậy B = 2 .
1
b)Tìm x để B <

2

Liên hệ tài liệu word tốn zalo: 039.373.2038

TÀI LIỆU TỐN HỌC


Website:tailieumontoan.com
9

Ta có:
B<

1
2

⇔

1
x
<
x −3 2

⇔

1
x
− <0
x −3 2

⇔

2 x − x +3

<0
2( x − 3)

⇔

x +3
<0
2( x − 3)

⇔ 2( x − 3) < 0 (do

x + 3 > 0 ∀x > 0, x ≠ 1, x ≠ 9 )

⇔ x −3< 0
⇔ x <3
⇔ x<9

0 < x < 9
là giá trị cần tìm.
x ≠ 1

Kết hợp với điều kiện xác định, ta có 
c)Rút gọn biểu thức A.

x
x +1
1 
A 
=
−

 :
 x −1 x − x  x + 2

 x +2
x
1
= 
−
 .
x
−
x
x
−
1
(
1)

 x +1

 x +2
x
1
= 
−
.
x ( x − 1)  x + 1
 x ( x − 1)
=
=

=

x −1
x +2
.
x ( x − 1) x + 1
( x + 1)( x − 1) x + 2
.
x ( x − 1)
x +1
x +2
x

d)Tìm giá trị x nguyên nhỏ nhất để biểu thức P = A.B nguyên.
.B
P A=
=
=

x +2
x
.
x
x −3

x +2
x −3

x −3+5
x −3

5
= 1+
x −3
=

Liên hệ tài liệu word tốn zalo: 039.373.2038

TÀI LIỆU TỐN HỌC


Website:tailieumontoan.com
10

Ta có: P = A.B nguyên ⇔ 1 +

5
nguyên ⇔
x −3

5
nguyên ⇔ 5 ( x − 3)
x −3

⇔ x − 3 ∈ {−5; −1;1;5}
⇔ x ∈ {−2; 2; 4;8}
⇔ x ∈ {2; 4;8} (do x ≥ 0∀x ≥ 0 )
⇔ x ∈ {4;16;64}

Vậy x = 4 là giá trị nguyên nhỏ nhất để biểu thức P = A.B nguyên.
Câu 4.

1) Xét ∆ABC vng tại H có:
BH
2000
 ⇔ 2000
= sin BAH
= sin 25o ⇔ AB
=
≈ 4732, 4 ( m )
AB
AB
sin 25o

Vậy muốn đạt độ cao 2000m thì máy bay phải bay một đoạn đường 4732,4m.
2)

a)Biết AB = 4 cm, AC = 4 3 cm. Giải tam giác ABC .
Xét ∆ABC vuông tại A , đường cao AH có:
AB 2 + AC 2= BC 2 ⇒ 42 + (4 3) 2= BC 2 ⇒ BC= 8
4 1
60o
cos 
ABC ==⇒ 
ABC =
8 2


ABC + 
ACB = 90o ⇒ 
ACB = 90o − 

ABC = 90o − 60o = 30o

Liên hệ tài liệu word tốn zalo: 039.373.2038

TÀI LIỆU TỐN HỌC


Website:tailieumontoan.com
11

b)Kẻ HD, HE lần lượt vng góc với AB, AC ( D thuộc AB , E thuộc AC ). Chứng
minh BD.DA + CE.EA =
AH 2
Xét ∆ABH vuông tại H , DH là đường cao
Ta có HD 2 = BD.DA
Xét ∆AHC vng tại H , đường cao HE có:
HE 2 = AE.EC




= 
AEH
= EHD
= HDA
= 90o nên tứ giác DAEH là hình chữ nhật.
Vì DAE
⇒ HE =
DA
Xét ∆ADH vng tại D có:

DA2 + DH 2 =
AH 2
⇒ HE 2 +=
DH 2 AH 2 (do
=
HE DA)
⇒ BD.DA + CE.EA =
AH 2
c)Lấy điểm M nằm giữa E và C , kẻ AI vuông góc với MB tại I . Chứng minh
HI
sin 
AMB.sin 
ACB =
CM

-

Xét ∆ABM vng tại A có đường cao AI

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vng ta có : BI .BM = AB 2
Xét ∆ABC vng tại A có đường cao AH
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vng ta có : BH .BC = AB 2
⇒ BI .BM = BH .BC (= AB 2 )
BH BC
=
BM
BI
- Xét ∆AHI và ∆BMC có
BH BC
=

BM
BI
 chung
IBC
⇒

⇒ ∆AHI # ∆BMC (c-g-c)
HI
BI
.
Suy ra:
=
MC BC
AB
BM
AB
Xét ∆ABC vng tại A ta có: sin 
ACB =
BC
2
AB AB
AB

mà BI .BM = AB 2
ABM .sin
=
ACB =
.
⇒ sin 
BM BC BM .BC

AB 2
BI .BM
BI
HI
BI


=
ACB = =
mà
=
⇒ sin ABM .sin
BM .BC BM .BC BC
MC BC
HI
(đpcm)
sin 
ABM .sin 
ACB =
MC

Xét ∆ABM vng tại A ta có: sin 
AMB =

Liên hệ tài liệu word tốn zalo: 039.373.2038

TÀI LIỆU TỐN HỌC


1

Câu 5.

Website:tailieumontoan.com

ĐKXĐ: x ≥

1
2

1
2

Với x ≥ ta có:

)

(

2 x − 2 x2 + 5x − 3 = 1 + x

(

⇔ 2 x −1 − 2 2 x2 + 5x − 3 − x
 2 x − 1 =
a

Đặt 

b

 x + 3 =

2x −1 − 2 x + 3

(

)

)

2 x − 1 − 2 x + 3 =0 (1)

( a ≥ 0, b > 0 )

2 x − 1 =a 2

⇒  x =b 2 − 3

2
ab
 2 x + 5x − 3 =

Phương trình (1) trở thành:
a 2 − 2ab − ( b 2 − 3) ( a − 2b ) =
0
⇔ a 2 − 2ab − ab 2 + 2b3 + 3a − 6b =
0

⇔ a ( a − 2b ) − b 2 ( a − 2b ) + 3 ( a − 2b ) =
0

⇔ ( a − 2b ) ( a − b 2 + 3) =
0

 a = 2b
⇔ 2
b = a + 3

+) Nếu a = 2b ta có:
2 x −=
1 2 x+3
⇔ 2 x − 1= 4 x + 12
⇔ 2x =
−13
−13
⇔ x = (không thỏa mãn điều kiện)
2

+) Nếu b 2= a + 3 ta có:
x +=
3

2x −1 + 3

⇔ 2 x − 1 =x
⇔ 2 x − 1 =x 2
Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038

TÀI LIỆU TOÁN HỌC

2

Website:tailieumontoan.com
⇔ x2 − 2 x + 1 =
0

0
⇔ ( x − 1) =
2

⇔ x − 1 =0
1 (thỏa mãn điều kiện)
⇔x=

Vậy phương trình có tập nghiệm S = {1}

PHỊNG GD VÀ ĐT QUẬN CẦU GIẤY
TRƯỜNG THCS CẦU GIẤY
ĐỀ KIỂM TRAGIỮA HỌC KÌ I
NĂM HỌC 2020-2021. MƠN: TỐN 9
Bài 1:
A=

C=

(2

(2 điểm) Tính giá trị biểu thức

)

=
B

6 − 4 3 + 5 2 .3 6

2− 3
2+ 3
+
2+ 3
2− 3

48 − 10 7 + 4 3 + 2 + 3

Bài 2:

(1,5 điểm) Giải các phương trình sau
0
a) x − 3 x − 4 =

b)

2x −1 + x −1 =
5

7 3
c) x 2 + 2 x +=

Bài 3:

(x

2

)

+ 1 . ( x + 3)

(2,5 điểm) Cho biểu thức: A =

x +7
và B =
x −1

1
3
x +8
+
+
với x ≥ 0
x + 2 1− x x + x − 2

, x ≠1
a) Tính giá trị của A biết x= 9 + 4 2
b) Rút gọn B
c) Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức P = A.B có giá trị nguyên
Bài 4:

(3,5 điểm)
1. Một cột đèn có bóng trên mặt đất dài 8,5 m . Các tia nắng mặt trời tạo với mặt

đất một góc xấp xỉ 38° . Tính chiều cao của cột đèn ? (Kết quả làm tròn đến 1 chữ
số thập phân)

Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038

TÀI LIỆU TOÁN HỌC


3

Website:tailieumontoan.com

2. Cho ∆ABC nhọn có 
ABC= 60° , đường cao AH . Đường thẳng qua C vng
góc với AC cắt đường thẳng AH tại D . Gọi E và F lần lượt là hình chiếu của
H trên AC và CD .
a) Nếu AH = 3cm , AC = 5 cm . Tính độ dài các đoạn thẳng HC , HD , CD ?
b) Chứng minh rằng CF .CD = CE.CA .
c) Biết AB + BC =
8 cm , tìm giá trị lớn nhất của diện tích tam giác ABC .
Bài 5:

(0,5 điểm) Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn: ab + bc + ca =
abc . Tìm giá
trị lớn nhất của biểu thức: P =

a
b
c
+

+
.
bc ( a + 1) ca ( b + 1) ab ( c + 1)

 HẾT 
HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
Bài 1:
A=

(2

)

6 − 4 3 + 5 2 .3 6

A = 2 6.3 6 − 4 3.3 6 + 5 2.3 6

A =−
36 12 18 + 15 12

A=
36 − 12 32.2 + 15 22.3
36 − 12.3 2 + 15.2 3 =
36 − 36 2 + 30 3
A=
=
B

2− 3
2+ 3

+
2+ 3
2− 3

(2 − 3) + (2 + 3)
( 2 + 3 ) .( 2 − 3 ) ( 2 − 3 ) .( 2 + 3 )
2

=
B

B=

(2 − 3)

2

+

2

(2 + 3)

2

B = 2− 3 + 2+ 3

B = 2− 3 +2+ 3 = 4

C=

48 − 10 7 + 4 3 + 2 + 3

Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038

TÀI LIỆU TOÁN HỌC


4

Website:tailieumontoan.com

(2 + 3)

2

C=

48 − 10

C=

48 − 10. 2 + 3 + 2 + 3

C=

48 − 20 − 10 3 + 2 + 3

C=

28 − 10 3 + 2 + 3

C=

(5 − 3 )

2

+2+ 3

+2+ 3

C = 5− 3 + 2+ 3 = 5− 3 + 2+ 3 = 7

Bài 2:
0 (điều kiện: x ≥ 0 )
a) x − 3 x − 4 =
0
⇔ x+ x −4 x −4=

(

) (

)

⇔ x+ x − 4 x +4 =
0

⇔

⇔

x.

(

(

) (

)

x +1 − 4

)(

x −4 .

x +1 =
0

)

x +1 =
0

⇔

x −4=
0 (do

⇔

x =4

x + 1 > 0 với mọi x ≥ 0 )

⇔ x = 16 (thỏa mãn điều kiện)

Vậy phương trình có nghiệm x = 16

⇔

(điều kiện: x ≥ 1 )

2x −1 + x −1 =
5

b)

(

2x −1 + x −1

⇔ 2 x − 1 + x − 1 + 2.

)

2

52
=

( 2 x − 1) . ( x − 1) =25

25
⇔ 3 x − 2 + 2. 2 x 2 − 3 x + 1 =
⇔ 2. 2 x 2 − 3 x + 1 = 27 − 3 x

(điều kiện: x ≤ 9 )

⇔ 8 x 2 − 12 x + 4= 9 x 2 − 162 x + 729
⇔ x 2 − 150 x + 725 =
0
⇔ x 2 − 5 x − 145 x + 725 =
0
Liên hệ tài liệu word tốn SĐT và zalo: 039.373.2038

TÀI LIỆU TỐN HỌC


5

Website:tailieumontoan.com

0
⇔ ( x − 5 ) . ( x − 145 ) =

(do đk x ≤ 9 nên x − 145 < 0 )

0
⇔ x −5 =

⇔ x = 5 (thỏa mãn điều kiện 1 ≤ x ≤ 9 )

Vậy phương trình có nghiệm x = 5

(x

7 3
c) x 2 + 2 x +=

(

)

(

) (x

)

+ 1 . ( x + 3) (điều kiện: x ≥ −3 )

2

⇔ x 2 + 1 + 2 ( x + 3) − 3

⇔ x2 + 1 −
⇔

⇔

x2 + 1

(

2

(x

2

)

+ 1 . ( x + 3) =
0

)

)

(

x2 + 1 − x + 3 + 2 x + 3

)(

2

)

+ 1 . ( x + 3) =
0

)

(

x + 3 − x2 + 1 =
0

)

x2 + 1 − 2 x + 3 .

Trường hợp 1:

(x

+ 1 . ( x + 3) + 2 ( x + 3) −

x2 + 1 − x + 3 =
0

x2 + 1 − 2 x + 3 =
0

⇔ x2 +=
1 2 x + 3 ⇔ x 2 + 1= 4 x + 12 ⇔ x 2 − 4 x − 11 =
0

Ta có ⇔ x 2 − 4 x − 11 =
0 ⇔ x2 − 4x =
11 ⇔ x 2 − 4 x + 4 = 15 ⇔ ( x − 2 ) = 15
2

⇔ x= 2 ± 15 (thỏa mãn điều kiện)

Trường

hợp

x2 + 1 − x + 3 =
0⇔

2:

x 2 + 1=

x + 3 ⇔ x2 + 1 = x + 3 ⇔

x2 − x − 2 =
0

0 ⇔ x = −1 hoặc x = 2
⇔ ( x − 2 ) . ( x + 1) =

(thỏa mãn điều kiện)

Kết hợp với điều kiện ta được phương trình có tập nghiệm

{

}

S =2 − 15; −1; 2; 2 + 15 .

Bài 3:

(

)

2

a) Ta có: x = 9 + 4 2 = 8 + 2.2 2.1 + 1 = 2 2 + 1 (thoả mãn điều kiện)
⇒ x=

=
A

(2

)

2 +1

2

= 2 2 + 1 , thay vào biểu thức A , ta có:

(

)

2 2 + 1 + 7 2 2 + 8 2 2. 2 2 + 1
=
=
= 2 2 +1
2 2 +1−1
2 2
2 2

A 2 2 +1
Vậy x= 9 + 4 2 , thì=

b) Với x ≥ 0 , x ≠ 1 ta có:
Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038

TÀI LIỆU TOÁN HỌC


6

Website:tailieumontoan.com

1
3
x +8
+

+
x + 2 1− x x + x − 2

B=

1
3
−
+
x +2
x −1

=

=

(

x +2

)(

x −1− 3

=

(

x +2

3

−

) (

x −1

(

(

)

(

(

(

)(

)(
)

x −1

x +2

)(

(

x +2

)(

)

+

) (

x −1

x+8
x +2

)(

)

x −1

)

x −1

)

x −1

=

(

x − 2 x +1
x +2

)(

)

x −1

2

)

x −1

c) Ta có: P = A.B =

=

x −1
x +2
x + 7 x −1
.
=

x −1 x + 2

Ta có: x ∈ , để P ∈ ⇒
Mà

)

x −1

x + 2 + x +8

x +2

x +2

)(

x +2

x −1− 3 x − 6 + x + 8

=

=

x −1

x +8

5

x +7
= 1+
x +2
x +2

5
∈ ⇒ 5 x + 2 ⇒ x + 2 ∈ Ö ( 5 ) ⇒ x + 2 ∈ {±1; ±5}
x +2

x + 2 ≥ 2 với x ≥ 0 , x ≠ 1

Do đó:

x +2=5⇒ x =3⇒ x =
9 (thoả mãn)

Vậy x = 9 thì P = A.B có giá trị nguyên.
Bài 4:

Liên hệ tài liệu word tốn SĐT và zalo: 039.373.2038

TÀI LIỆU TỐN HỌC


7

Website:tailieumontoan.com
A
E

B

60°
H

C

F

D

a) Nếu AH = 3cm , AC = 5 cm . Tính độ dài các đoạn thẳng HC , HD , CD ?
+) Xét ∆AHC vuông tại H , đường cao HE ta có:
AH 2 + HC 2 =
AC 2 (định lý Py-ta-go)

⇒ HC 2 =
AC 2 − AH 2 =
52 − 32 =
25 − 9 =
16
⇒ HC =
4 (cm)

HC 2 = CE. AC (quan hệ giữa cạnh và đường cao tam giác vuông)
HC 2 42 16
⇒ CE =
= = =3, 2 (cm)
AC
5

5

= ECF
= HFC
= 90°
+) Xét tứ giác HECF có: HEC
⇒ tứ giác HECF là hình chữ nhật (dấu hiệu nhận biết)

⇒ HF = CE = 3, 2 (cm)

+) Xét ∆CHD vuông tại H , đường cao HF ta có:
1
1
1
=
+
(quan hệ giữa cạnh và đường cao tam giác vng)
2
2
HF
HC
HD 2
⇒

1
1
1
=
−
2

2
HD
HF
HC 2

42. ( 3, 2 )
HC 2 .HF 2
256
⇒ HD
=
=
=
2
2
2
2
HC − HF
9
4 − ( 3, 2 )
2

2

⇒ HD =

256 16
= ≈ 5,3 (cm)
9
3

Có: HF .CD = HC.HD (quan hệ giữa cạnh và đường cao tam giác vuông)
Liên hệ tài liệu word tốn SĐT và zalo: 039.373.2038

TÀI LIỆU TỐN HỌC


8

Website:tailieumontoan.com

16
4.
20
HC.HD
⇒ CD =
= 3 = ≈ 6, 7 (cm)
16
HF
3
5

b) Chứng minh rằng CF .CD = CE.CA .
+) Xét ∆AHC vuông tại H , đường cao HE ta có:
HC 2 = CE. AC (quan hệ giữa cạnh và đường cao tam giác vuông) (1)

+) Xét ∆CHD vuông tại H , đường cao HF ta có:
HC 2 = CF .CD (quan hệ giữa cạnh và đường cao tam giác vuông) ( 2 )

Từ (1) và ( 2 ) ⇒ CF .CD =
CE.CA (điều phải chứng minh)

c) Biết AB + BC =
8 cm , tìm giá trị lớn nhất của diện tích tam giác ABC .
Ta có: S ABC =

1
AH .BC
2

Vì ∆ABH vng tại H nên ta có AH = AB.sin B
=
Do
đó: S ABC

1
1
1 3
AB
=
AB=
.BC.sin B
.BC.sin 60° =
. . AB.BC
2
2
2 2

3
AB.BC
4

AB + BC   8 
16
 =
  =
2

 2

Mặt khác AB.BC ≤ 

2

2

= BC
= 4 cm
Dấu “=” xảy ra khi AB

Do đó: S∆ABC ≤

3
.16 =
4 3 ( cm 2 )
4

Vậy max S∆ABC = 4 3 cm 2 khi ∆ABC cân tại B .
Bài 5:
Ta có:

a

a
a
a
1
a
a
=
=
=
≤ 
+

bc ( a + 1) abc + bc ab + bc + ca + bc b ( a + c ) + c ( a + b ) 4  b ( a + c ) c ( a + b ) 

Tương tự ta chứng minh được:

b
1
b
b
≤ 
+

ac ( b + a ) 4  a ( b + c ) c ( a + b ) 

c
1
c
c
≤ 

+

ab ( c + 1) 4  b ( a + c ) a ( b + c ) 
Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038

TÀI LIỆU TOÁN HỌC


9

Website:tailieumontoan.com

Do đó P =

a
b
c
1 a+c
b+c
a+b 
+
+
≤ 
+
+

bc ( a + 1) ca ( b + 1) ab ( c + 1) 4  b ( a + c ) a ( b + c ) c ( a + b ) 

1  1 1 1  1 ab + bc + ca 1
⇔ P ≤ =

+ + 
.=
4a b c 4
abc
4
1
⇒ max P =
4

Dấu bằng xảy ra khi b ( a + c ) = c ( a + b ) = a ( b + c ) ⇔ ab + bc = ac + bc = ab + ac
⇔ abc − ac = abc − ab = abc − bc .
⇔ ab = bc = ca mà ab + bc + ca = abc ⇔ a = b = c = 3

 HẾT 

Liên hệ tài liệu word tốn SĐT và zalo: 039.373.2038

TÀI LIỆU TỐN HỌC


10

Website:tailieumontoan.com

PHÒNG GD VÀ ĐT HUYỆN ĐAN PHƯỢNG
ĐỀ KIỂM TRA GIỮA HỌC KÌ I
NĂM HỌC 2020-2021. MƠN: TỐN 9
Bài 1.

(1,5 điểm) Rút gọn các biểu thức sau:

(

a) A = 2 − 3

)

2

+2 3 ;

b) B = 18 − 2 50 + 3 8 + 3 27 ;
c) C=
Bài 2.

4
10
125
5
.
−
+
+ 2.
2
5 −1
5
5

(2,0 điểm)
Cho hai biểu thức A =

x −3
x
1 
 x
và B 
với x > 0 , x ≠ 4
=
−
:

x +1
x −2 x +2
 x−4

a) Tính giá trị của A khi x = 25.
b) Rút gọn biểu thức B
c) Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức P = A.B có giá trị ngun.
Bài 3.

Bài 4.

(2,0 điểm) Tìm x biết:
a)

4 x  20  2 x  5  9 x  45  12

b)

x 2 10 x  25  6

(4 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A , đường cao AH ( H ∈ BC ).
a) =
Biết AB 12
ABC ( làm tròn đến độ);
=
cm, BC 20cm , Tính AC , AH và 
b) Kẻ HM vng góc với AB tại M , HN vng góc với AC tại N . Chứng
minh: AN .=
AC AC 2 − HC 2 ;
c) Chứng minh: AH = MN và AM .MB + AN .NC =
AH 2 ;
d) Chứng minh: tan 3 C =

Bài 5.

BM
.
CN

(0,5 điểm) Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn điều kiện
P
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức =

(

)(

a +1

)

b + 1 ≥ 4.

a 2 b2
+ .
b a

HẾT
Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038

TÀI LIỆU TOÁN HỌC


11

Website:tailieumontoan.com

ĐÁP ÁN ĐỀ KIỂM TRA GIỮA KÌ I
PHỊNG GD&ĐT ĐAN PHƯỢNG
Năm học: 2020-2021
HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT

Bài 1.

(

a) A = 2 − 3

)

2

+2 3

A =2 − 3 + 2 3

A =2 − 3 + 2 3
A= 2 + 3

b) B = 18 − 2 50 + 3 8 + 3 27
B = 9.2 − 2 25.2 + 3 4.2 + 3 3.3.3

B=
3 2 − 2.5 2 + 3.2 2 + 3
B = 3 2 − 10 2 + 6 2 + 3
B= 3 − 2

4
10
125
5
−
+
+ 2.
2
5 −1
5
5

c) C=

=
C

=
C

4.

(

(

5 −1

4.

(

( )

=
C

4.

)(

2

(

C=

(

2.5
125
5
+
+ 2.
5
5
2

5 + 25 + 5

) −2

5 +5+ 5

5 +1

)−

5 +1
4

−

) −2

− 12

5 −1
4.

)

5 +1

5 +1

5

=
C

)

5 +1

5 +5

5 +1− 5 + 5

C =6

Bài 2.

(2,0 điểm)

Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038

TÀI LIỆU TOÁN HỌC


12

Website:tailieumontoan.com

a) Ta có x = 25 (thỏa mãn điều kiện), thay vào biểu thức A ta có:
A=

Vậy khi x = 25 thì A =

25 − 3 5 − 3 2 1
=
= =
25 + 1 5 + 1 6 3

1
3

b) Với x > 0 , x ≠ 4 , ta có:
1 
x
 x
:

B 
=
−

x −2 x +2
 x−4


= 



=

=

(

(

x

x +2

)

x− x −2
x +2

)(

x −2

)

.

x +2
x

x−2 x + x −2
x

=

)(


1  x +2
−
.
x − 2
x
x −2


(

x −2
x

=

(

(

x −2

)(

)

)

x +1

x −2

)

x +1
x

x +1
x > 0, x ≠ 4,
x
c) với x > 0 , x ≠ 4 , ta có

Vậy B =

P = A.B =

x − 3 x +1
=
.
x +1
x

x −3
3
= 1−
x
x

Với x ∈  , x > 0 , x ≠ 4 ,
3
là số vô tỉ nên P không là số nguyên (loại).
x

+) Nếu

x là số vơ tỉ thì

+) Nếu

x là số ngun nên P là số nguyên

⇔

3
là số nguyên
x

Liên hệ tài liệu word tốn SĐT và zalo: 039.373.2038

TÀI LIỆU TỐN HỌC


13

Website:tailieumontoan.com

⇔ x là ước dương của 3
 x =1
⇔
 x = 3
x = 1
⇔
 x = 9

( nhaän )
( nhaän )

Vậy x ∈ {1;9} thì P có giá trị ngun.
Bài 3.
4 x  20  2 x  5  9 x  45  12

a)

Điều kiện: x ≥ −5
Ta có:
4 x + 20 − 2 x + 5 + 9 x + 45 =
12

⇔ 4 ( x + 5) − 2 x + 5 + 9 ( x + 5) =
12

⇔ 2 x+5 −2 x+5 +3 x+5 =
12
⇔ 3 x+5 =
12
⇔ x+5 =
4
⇔ x+5 =
16
⇔x=
11 (thỏa mãn)

Vậy tập nghiệm của phương trình là S  11 .
b)

x 2 10 x  25  6

Ta có:
x 2 10 x  25  6

  x  5  6
2

 x 5  6

x 5  6

 x  5  6
 x  11

 x  1
Liên hệ tài liệu word tốn SĐT và zalo: 039.373.2038

TÀI LIỆU TỐN HỌC


14

Website:tailieumontoan.com

Vậy tập nghiệm của phương trình là S  11; 1 .
Bài 4.
A

N
12

M

B

H

20

C

a) Xét tam giác ABC vuông tại A , ta có:
2
=
BC
AB 2 + AC 2 (Định lý Pytago)
2
Hay 20=
16 cm
122 + AC 2 ⇒ AC 2 = 202 − 122 = 162 ⇒ AC =

Xét tam giác ABC vng tại A đường cao AH
Ta có: AB. AC = AH .BC ( Hệ thức giữa đường cao và các cạnh góc vng)
⇒ AH =

AB. AC 12.16
=
= 9, 6
20
BC

Ta có: sin ABC =

AC 16 4
= = ⇒
ABC ≈ 53°
BC 20 5

Vậy AC = 16 cm, AH = 9, 6 chứng minnh, 
ABC ≈ 53° .
b) Xét ∆AHC đường cao HN
Có: AN . AC = AH 2 ( Hệ thức giữa đường cao và các cạnh góc vng)

(1)

2
AC
=
AH 2 + HC 2 (Định lý Pytago)

⇒ AH 2 = AC 2 − HC 2

(2)

Từ (1), (2) ⇒ AN .=
AC AC 2 − HC 2
= 
c) Ta có: MAN
ANH= 
AMH= 90°
⇒ ANHM là hình chữ nhật ⇒ AH =
MN

Xét ∆AHB , ∆AHC và ∆MHN có:
 AM .MB = MH 2

2

 AN .NC = HN
 =
2
HN 2 + HM 2
 MN
Liên hệ tài liệu word tốn SĐT và zalo: 039.373.2038

TÀI LIỆU TỐN HỌC