Đề cương hình học 11 chương 2

HÌNH HỌC 11

ĐỀ CƯƠNG

CHƯƠNG II

TỰ LUẬN

TRƯỜNG THPT
CHUYÊN NGOẠI NGỮ
ĐÁP ÁN CHI TIẾT
ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN
QUAN HỆ SONG SONG
KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
I. Đại cương về đường thẳng và mặt phẳng
1. Các tính chất thừa nhận:
a) Có một và chỉ một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt cho trước.
b) Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hang cho trước.
c) Tồn tại bốn điểm không cùng nằm trên mặt phẳng.
d) Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung duy nhất
chứa tất cả các điểm chung của hai mặt phẳng đó.
e) Trên mỗi mặt phẳng, các kết quả đã biết trong hình học phẳng đều đúng.
2. Nếu một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt của một mặt phẳng thì mọi điểm của đường
thẳng đều nằm trong mặt phẳng đó.
II. Hai đường thẳng song song
1. Trong không gian qua một điểm nằm ngồi một đường thẳng, có một và chỉ một đường thẳng
song song với đường thẳng đó.
2. Nếu ba mặt phẳng đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến ấy hoặc đồng
qui hoặc đơi một song song.
3. Nếu hai mặt phẳng cắt nhau lần lượt đi qua hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng
song song với hai đường thẳng đó (hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó).

4. Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ ba thì song song với nhau.
III. Đường thẳng và mặt phẳng song song

Gr: 2005 cùng nhau học toán 11


1. Nếu đường thẳng a không nằm trên mặt phẳng  P  và song song với một đường thẳng nào đó
trên  P  thì a song song với  P  .
2. Nếu đường thẳng a song song với mặt phẳng  P  thì mọi mặt phẳng  Q  chứa a mà cắt mặt
phẳng  P  thì cắt theo giao tuyến song song với a .
3. Nếu hai mặt phẳng cắt nhau cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến của chúng song
song với đường thẳng đó.
IV. Hai mặt phẳng song song
1. Hai mặt phẳng gọi là song song nếu chúng khơng có điểm chung.
2. Nếu mặt phẳng  P  chứa hai đường thẳng a và b cắt nhau và cùng song song với mặt phẳng

 Q  thì  P 

và  Q  song song với nhau.

3. Qua một điểm ngồi mặt phẳng, có một và chỉ một mặt phẳng song song với mặt phẳng đó.
4. Nếu đường thẳng a song song với mặt phẳng  Q  thì có duy nhất một mặt phẳng  P  chứa a
và song song với  Q  .
5. Nếu hai mặt phẳng  P  và  Q  song song với nhau thì mọi mặt phẳng  R  đã cắt  P  thì phải
cắt  Q  và các giao tuyến của chúng song song.
6. Định lí Ta – Lét: Ba mặt phẳng đôi một song song chắn ra trên hai cát tuyến bất kỳ các đoạn
thẳng tương ứng tỉ lệ.
7. Định lí Ta – Lét đảo: Giả sử trên hai đường thẳng chéo nhau a và a lần lượt lấy A , B , C và
A , B  , C  sao cho

AB
BC
CA


. Khi đó ba đường thẳng AA , BB , CC lần lượt nằm
AC  BC  C A

trên ba mặt phẳng song song, tức là chúng cùng song song với một mặt phẳng.
V. Các cách xác định mặt phẳng
Một mặt phẳng được xác định nếu biết một trong các điều kiện sau đây:
1. Mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng.
2. Mặt phẳng đi qua một đường thẳng và một điểm không thuộc đường thẳng ấy.
3. Mặt phẳng đi qua hai đường thẳng các nhau.
4. Mặt phẳng đi qua hai đường thẳng song song.
VI. Trọng tâm tứ diện
Ba đoạn thẳng nối trung điểm các cạnh đối diện của một tứ diện đồng qui tại trung điểm G của mỗi
đoạn. Điểm G đó gọi là trong tâm tứ diện.
VII. Định lí Mê – nê – la - uýt
Nếu đường thẳng d cắt đường thẳng AB , AC , BC của ABC lần lượt tại A , B  , C  thì

AB BC C A


1.
AC BA C B
CÁC BÀI TOÁN THƯỜNG GẶP
Gr: 2005 cùng nhau học toán 11

1. Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng. Tìm giao tuyến của đường thẳng và mặt phẳng.
2. Xác định thiết diện.
3. Chứng minh các điểm thẳng hàng; các điểm, các đường thẳng đồng qui.
4. Các bài toán chứng minh hai đường thẳng chéo nhau, hai đường thẳng song song; đường thẳng
song song với mặt phẳng, hai mặt phẳng song song.
5. Các bài có nội dung tính tốn.
6. Các bài có yếu tố chuyển động
a. Chứng minh một đường thẳng đi qua một điểm cố định.
b. Chứng minh một mặt phẳng chứa một đường thẳng cố định.
c. Chứng minh một đường thẳng thuộc mặt phẳng cố định.
d. Tìm tập hợp giao điểm.
HỆ THỐNG BÀI TẬP
§1. ĐẠI CƯƠNG VỀ ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG
Dạng 1: Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng, tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng
Bài 11/50 SGK.
Cho hình bình hành ABCD nằm trong mặt phẳng  P  và một điểm S nằm ngoài  P  . Gọi
M là điểm nằm giữa S và A ; N là điểm nằm giữa S và B ; giao điểm của hai đường thẳng

AC và BD là O .
a) Tìm giao điểm của mặt phẳng  CMN  với đường thẳng SO .
b) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng  SAD  và  CMN  .
Bài 1.

Cho 4 điểm không đồng phẳng A , B , C , D . Gọi M , N lần lượt là trung điểm AC , BC .
E là một điểm trên BD thỏa mãn ED  EB .

a) Tìm giao điểm của CD và AD với mặt phẳng  MNE  .
b) Xác định giao tuyến của mặt phẳng  MNE  với các mặt phẳng  ACD  ,  ABD  .
Bài 2.

Cho tứ diện ABCD . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AD và BC .
a) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng  MBC  và  NDA  .
b) Cho I , J là hai điểm lần lượt nằm trên hai đoạn thẳng AB và AC . Xác định giao tuyến
của hai mặt phẳng  MBC  và  IJD  .

Bài 3.

Cho hình chóp tam giác S . ABC và điểm M thuộc miền trong tam giác SBC .Gọi E và F
tương ứng là hai điểm thuộc cạnh AB và AC sao cho EF không song song với BC .
a) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng  MEF  và  SBC  .
b) Lấy N là điểm thuộc miền trong của tam giác SAC sao cho NF cắt đoạn SA tại H . Xác
định giao tuyến của hai mặt phẳng  MNF  và  SAB  .

Bài 4.

Cho hình chóp SABCD có đáy là tứ giác ABCD sao cho AB  CD  E và AC  BD  F .

Gr: 2005 cùng nhau học toán 11


a) Xác định giao tuyến của mặt phẳng  SAB  và  SCD  ; của  SAC  và  SBD 
b) Xác định giao tuyến của mặt phẳng  SEF  và mp  SAD  ;  SBC 
Bài 5. Cho hình chóp S . ABCD . Trong SBC lấy một điểm M , trong SCD lấy một điểm N .
a) Tìm giao điểm của MN với mặt phẳng  SAC  .
b) Tìm giao điểm của SC với mặt phẳng  AMN  .
Bài 6.

Cho hình chóp S .ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của
SB , SD và E là một điểm thuộc cạnh SC sao cho SE  EC . Xác định giao tuyến của mặt

phẳng  MNE  với các mặt phẳng  SAC  ,  SAB  ,  SAD  và  ABCD  .
Bài 7.

Cho hình chóp S .ABCD có đáy ABCD là hình thang với đáy lớn AD , M là một điểm thuộc
mặt bên  SCD  .
a) Xác định giao tuyến của mặt phẳng  SAM  với mặt phẳng  SBC  .
b) N là điểm thuộc cạnh AB . Tìm giao điểm của SB với mặt phẳng  DMN  .

Dạng 2: Tìm thiết diện của hình chóp cắt bởi một mặt phẳng
Bài 15/51 SGK.
Cho hình chóp tứ giác S .ABCD . Ba điểm A , B , C  lần lượt nằm trên ba cạnh SA , SB , SC
nhưng không trùng với S , A , B , C . Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng

 ABC   .
Bài 16/ 51 SGK. Cho hình chóp S .ABCD . Gọi M là một điểm nằm trong tam giác SCD .
a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng  SBM  và  SAC  .
b) Tìm giao điểm của đường thẳng BM và mp  SAC  .
c) Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mp  ABM  .
Bài 8. Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a . Gọi I là trung điểm AD , J là điểm đối xứng với D
qua C ; K là điểm đối xứng với D qua B .
a) Xác định thiết diện của hình tứ diện cắt bởi mặt phẳng  IJK  .
b) Tính diện tích của thiết diện được tính ở câu a.
Bài 9.

Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi E là trung điểm SB , G là trọng
tâm tam giác SAD . Xác định thiết diện của hình chóp S . ABCD với:
a) Mặt phẳng  CEG  .

b) Mặt phẳng  AEG  .

Dạng 3: Chứng minh các điểm thẳng hàng, các đường thẳng đồng quy
Bài 4/ 50 SGK.

Gr: 2005 cùng nhau học toán 11


Cho hai mặt phẳng  P  ,  Q  cắt nhau theo giao tuyến  . Trên  P  cho đường thẳng a và trên

Q

cho đường thẳng b . Chứng minh rằng nếu a và b cắt nhau thì giao điểm phải nằm trên 

.
Bài 5/ 50 SGK.
Cho mặt phẳng  P  và ba điểm không thẳng hàng A , B , C cùng nằm ngoài mặt phẳng  P  .
Chứng minh rằng nếu ba đường thẳng AB , BC , CA đều cắt mp  P  thì các giao điểm đó thẳng
hàng.
Bài 9/ 50 SGK . Cho ba đường thẳng a , b , c không cùng nằm trong cùng một mặt phẳng sao cho
chúng đôi một cắt nhau. Chứng minh rằng chúng đồng quy.
Bài 10. Cho hình chóp tam giác S .ABC . Lấy các điểm M , N , E lần lượt thuộc các cạnh SA, SB và AC
sao cho MN cắt AB ở P , ME cắt SC ở Q . Chứng minh rằng ba đường BC , EP, NQ đồng
quy.
Bài 11.

Cho hình chóp S . ABCD .Trên hai cạnh AD , SB lần lượt lấy hai điểm M , N .
a) Tìm các giao điểm E , F lần lượt của MN , DN với  SAC  .
b) Gọi giao điểm của AD và BC là P và giao điểm của PN và SC là Q . Chứng minh rằng
bốn điểm A , E , F , Q thẳng hàng.

Dạng 4: Các bài tốn có yếu tố chuyển động

Bài 10/ 50 SGK.
Cho hai đường thẳng a và b cắt nhau tại điểm O và đường thẳng c cắt mp  a , b  ở điểm I
khác O . Gọi M là điểm di động trên c và khác I . Chứng minh rằng giao tuyến của các mặt
phẳng  M , a  ,  M , b  nằm trên một mặt phẳng cố định.
Bài 12. Cho tứ diện ABCD . Gọi M , N lần lượt là hai điểm cố định trên AB , AC và MN không
song song với BC . Mặt phẳng   quay quanh MN cắt các cạnh BD , CD lần lượt tại E và
F.

a) Chứng minh rằng đường thẳng EF luôn đi qua một điểm cố định.
b) Chứng minh giao điểm của ME và NF thuộc một đường thẳng cố định.
Bài 13.

Cho hình chóp S . ABCD với AB và CD không song song. M là điểm chuyển động trên cạnh

SA . N là giao điểm của SB và mặt phẳng  CDM  . Chứng minh đường thẳng MN ln đi
qua một điểm cố định.
Bài 14. Cho hình chóp S . ABCD . Gọi I , J là hai điểm cố định trên SA và SC với SI  IA , SJ  JC .
Một mặt phẳng   quay quanh IJ cắt SB tại M , cắt SD tại N .
a) Chứng minh IJ , MN và SO đồng qui ( O là giao điểm của AC và BD ).
b) AD cắt BC tại E , IN cắt MJ tại F . Chứng minh ba điểm S , E , F thẳng hàng.

Gr: 2005 cùng nhau học toán 11


c) IN cắt AD tại P , MJ cắt BC tại Q . Chứng minh PQ luôn đi qua một điểm cố định khi

 
Bài 15.

quay quanh IJ .

Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình bình hành với O là giao điểm của hai đường
chéo AC và BD . Gọi E là điểm thuộc đoạn OC ( E không trùng với O và C ) và M thuộc
đoạn SA ( M không trùng với S và A ).
a) Xác định giao tuyến của mặt phẳng  MDE  và mặt phẳng  SAB  .
b) Tìm giao điểm N của SB và  MDE  .
c) Chứng minh rằng SO, ME , DN đồng quy.

Bài 16.

Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. O là tâm của đáy . M , N lần lượt
là trung điểm của SA, SC . Gọi  P  là mặt phẳng qua M , N , B .
a) Xác định giao tuyến của mặt phẳng  P  với các mặt phẳng  SAB  ,  SBC  .
b) Tìm giao điểm I của đường thẳng SO với mặt phẳng  P  và giao điểm K của đường
thẳng SD với mặt phẳng  P  .
c) Xác định giao tuyến của mặt phẳng  P  với các mặt phẳng  SAD  ,  SCD  .
d) Tìm các giao điểm E , F cùa các đường thẳng AD, CD với mặt phẳng  P  và chứng minh
3 điểm E, B, F thẳng hàng.

Bài 17 . Cho hình chóp S.ABCD với ABCD là hình thang  AB / / CD , AB  CD  . Gọi I , J lần lượt là
trung điểm của SA, SB ; M là điểm bất kì trên SD .
a) Tìm giao điểm K của IM và mặt phẳng ( SBC ) .
b) Tìm giao điểm N của SC với mặt phẳng ( M IJ) .
c) Gọi H là giao điểm của IN và JM . Chứng minh H thuộc một đường thẳng cố định khi

M chuyển động trên SD .
Bài 18. Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình thang  AB / / C D , AB  C D  . Gọi I , J lần lượt là trung
điểm của các cạnh SB và SC .
a. Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng  SAD  và  SBC  .
b. Tìm giao điểm của đường thẳng SD với mặt phẳng  A IJ  .

c. Xác định thiết diện của hình chóp S . ABCD cắt bởi mặt phẳng  AIJ  .
Bài 19. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình thang với đáy lớn AD , M là trung điểm cạnh
bên SA và N là điểm bất kì thuộc cạnh bên SC ( N không là trung điểm của SC ).
a) Xác định giao tuyến của  ABN  và  CDM  .
b) Tìm giao điểm của MN với  SBD  .
c) Gọi P là một điểm thuộc cạnh AB . Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi  MNP  .
Gr: 2005 cùng nhau học toán 11


Bài 20. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O . Gọi M , N , P lần lượt là
trung điểm BC , CD , SO .
a) Xác định giao tuyến của  MNP  với các mặt phẳng  SAB  ,  SAD  ,  SBC  và  SCD  .
b) Xác định thiết diện của hình chóp với mặt phẳng  MNP  .
c) Tính tỉ số các đoạn thẳng chia bởi các đỉnh của thiết diện trên các cạnh của hình chóp

S . ACBD .
Bài 21. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình bình hành; M là điểm thuộc cạnh SD thỏa mãn
1
SM  SD .
3

a) Tìm giao điểm của BM với mặt phẳng  SAC  .
b) N là một điểm thay đổi trên cạnh BC. Xác định giao tuyến của  AMN  và  SBC  . Chứng
minh giao tuyến này luôn đi qua một điểm cố định.
c) G là trọng tâm tam giác SAB . Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mp  MNG  .

PHẦN ĐÁP ÁN
§1. ĐẠI CƯƠNG VỀ ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG
Dạng 1: Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng, tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng
Bài 11/50 SGK.

Cho hình bình hành ABCD nằm trong mặt phẳng  P  và một điểm S nằm ngoài  P  . Gọi
M là điểm nằm giữa S và A ; N là điểm nằm giữa S và B ; giao điểm của hai đường thẳng

AC và BD là O .
a) Tìm giao điểm của mặt phẳng  CMN  với đường thẳng SO .
b) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng  SAD  và  CMN  .
Lời giải
a) Tìm SO   CMN 

Gr: 2005 cùng nhau học toán 11


S

M

K
I

D

A

N

O

B

C

 I  SO
Trong  SAC  , gọi I  SO  CM . Ta có 
.
 I  CM   CMN 

Vậy I  SO   CMN  .
b) Tìm  SAD    CMN 
TH1: NI , SD cắt nhau
Trong  SBD  , gọi K  NI  SD .
 M  SA   SAD 

 M   CMN 
Ta có 
.
 K  SD   SAD 
 K  NI  CMN




Vậy  SAD    CMN   MK .
TH2: NI , SD song song
S

N

M
I
A

K
H
O

B

Ta có:

Gr: 2005 cùng nhau học toán 11

C

D


 M   CMN    SAD 

 NI / / SD

 NI   CMN 
 SD   SAD 


  CMN    SAD   MK / / SD / / NI  K  AD  .
Bài 1.

Cho 4 điểm không đồng phẳng A , B , C , D . Gọi M , N lần lượt là trung điểm AC , BC .
E là một điểm trên BD thỏa mãn ED  EB .

a) Tìm giao điểm của CD và AD với mặt phẳng  MNE  .
b) Xác định giao tuyến của mặt phẳng  MNE  với các mặt phẳng  ACD  ,  ABD  .
Lời giải

a) Trong mặt phẳng  BCD  gọi F  NE  CD .

 F  NE   MNE 
 F  CD   MNE  .

 F  CD
Trong mặt phẳng  ACD  gọi G  MF  AD .

G  MF   MNE 
 G  AD   MNE  .

 G  AD
 M  AC   ACD 
b) Ta có: 
 M   ACD    MNE 
 M   MNE 
 F  CD   ACD 
 F   ACD    MNE 

 F  NE   MNE 

Từ 1 và  2   MF   ACD    MNE  .

Gr: 2005 cùng nhau học toán 11

 2 .

1 .


 E  BD   ABD 
Ta có: 
 E   ABD    MNE 
 E   MNE 
 G  AD   ABD 
 G   ABD    MNE 

G  MF   MNE 

 3 .

 4 .

Từ  3 và  4   GE   ABD    MNE  .

Bài 2.

Cho tứ diện ABCD . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AD và BC .
a) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng  MBC  và  NDA  .
b) Cho I , J là hai điểm lần lượt nằm trên hai đoạn thẳng AB và AC . Xác định giao tuyến
của hai mặt phẳng  MBC  và  IJD  .
Lời giải

 M   MBC 
a) Ta có 
 M   MBC    NDA  (1).

 M  AD   NDA 
 N   NDA 
Và 
 N   MBC    NDA  (2).
 N  BC   MBC 
Từ (1) và (2) suy ra  MBC    NAD   MN .
b) Trong mặt phẳng  ABD  gọi H  MB  ID .
 H  MB   MBC 
Ta có 
 H   MBC    IJD  (3).
 H  ID   IJD 
Trong mặt phẳng  ACD  gọi K  MC  JD .
 K  MC   MBC 
Ta có 
 K   MBC    IJD  (4).
 K  JD   IJD 
Từ (3) và (4) suy ra  MBC    IJD   HK .
Gr: 2005 cùng nhau học toán 11


Bài 3.

Cho hình chóp tam giác S . ABC và điểm M thuộc miền trong tam giác SBC .Gọi E và F
tương ứng là hai điểm thuộc cạnh AB và AC sao cho EF không song song với BC .
a) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng  MEF  và  SBC  .
b) Lấy N là điểm thuộc miền trong của tam giác SAC sao cho NF cắt đoạn SA tại H . Xác
định giao tuyến của hai mặt phẳng  MNF  và  SAB  .
Lời giải

a) Trong mặt phẳng  ABC  , gọi D  EF  BC .

 D  BC   SBC 
 D   SBC    MEF  1 .
Ta có 
 D  EF   MEF 

M   SBC    MEF 

 2 .

Từ 1 và  2  suy ra MD   SBC    MEF  .
b) Trong mặt phẳng  SBC  , gọi J  MD  SB .
Trong mặt phẳng  MEF  , gọi I  EJ  MF .
 H  SA   SAB 
Ta có 
 H   SAB    MNF 
 H  NF   MNF 
 I  EJ   SAB 
 I   SAB    MNF 

 I  MF   MNF 

 3 .

 4 .

Từ  3  và  4  suy ra HI   SAB    MNF  .

Bài 4.

Cho hình chóp SABCD có đáy là tứ giác ABCD sao cho AB  CD  E và AC  BD  F .

c) Xác định giao tuyến của mặt phẳng  SAB  và  SCD  ; của  SAC  và  SBD 
d) Xác định giao tuyến của mặt phẳng  SEF  và mp  SAD  ;  SBC 

Gr: 2005 cùng nhau học toán 11


Lời giải

a) + Giao tuyến của mặt phẳng  SAB  và  SCD 
Ta có S   SAB    SCD  .
Từ giả thiết AB  CD  E .
 E  AB   SAB 
 E   SAB    SCD  .

 E  CD   SCD 
Vậy SE là giao tuyến của mặt phẳng  SAB  và  SCD  .
+ Giao tuyến mặt phẳng  SAC  và  SBD 
Ta có S   SAB    SCD  .
Từ giả thiết AC  BD  F .
 F  AC   SAC 
 F   SAC    SBD  .

 F  BD   SBD 
Vậy SF là giao tuyến của mặt phẳng  SAB  và  SCD  .
b) Trong mặt phẳng  ABCD  : kéo dài EF cắt BC và AD lần lượt tại M và N .
+ Giao tuyến của mặt phẳng  SEF  và  SAD 
Ta có S   SAD    SEF  .
Từ cách vẽ EF  AD  N .
 N  AD   SAD 
 N   SAD    SEF  .


 N  EF   SEF 
Vậy SN là giao tuyến của mặt phẳng  SAD  và  SEF  .
+ Giao tuyến mặt phẳng  SEF  và  SBC 
Gr: 2005 cùng nhau học toán 11


Ta có S   SEF    SBC  .
Từ cách vẽ EF  BC  M .
 M  BC   SBC 
 M   SBC    SEF  .

 M  EF   SEF 
Vậy SM là giao tuyến của mặt phẳng  SEF  và  SBC  .
Bài 5. Cho hình chóp S . ABCD . Trong SBC lấy một điểm M , trong SCD lấy một điểm N .
a) Tìm giao điểm của MN với mặt phẳng  SAC  .
b) Tìm giao điểm của SC với mặt phẳng  AMN  .
Lời giải

a) Trong  SBC  kéo dài SM cắt BC tại F .
Trong  SCD  kéo dài SN cắt CD tại G .
 SJ   SAC 
Trong  ABCD  có AC cắt FG tại J  
.
 SJ   SFG 

 E  SJ

Trong  SFG  có MN cắt SJ tại E   SJ   SAC   MN   SAC   E .
 E  MN


 K  AE

b) Trong  SAC  kẻ AE cắt SC tại K   AE   AMN   SC   AMN   K .
 K  SC

Bài 6.

Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của
SB, SD và E là một điểm thuộc cạnh SC sao cho SE  EC . Xác định giao tuyến của mặt

phẳng  MNE  với các mặt phẳng  SAC  ,  SAB  ,  SAD  và  ABCD  .
Lời giải
Gr: 2005 cùng nhau học toán 11


S
H
M

N

I
D

A

G

E

O
B

C

F

+) Trong mp  ABCD  gọi O  AC  BD , trong mp  SBD  gọi I  SO  MN .
 I  SO  I   SAC 
 IE là hai điểm chung của hai mặt phẳng  MNE  và  SAC  .

 I  MN  I   MNE 
Gọi IE  SA  H , ta có  MNE    SAC   HE .
+) Ngoài ra cũng có  MNE    SAB   HM ,  MNE    SAD   HN .
+) Trong mp  SAB  gọi F  HM  AB , trong mp  SAD  gọi G  HN  AD .
Khi đó F , G là hai điểm chung của hai mặt phẳng  MNE  và  ABCD  .
Vậy  MNE    ABCD   FG .

Bài 7.

Cho hình chóp S .ABCD có đáy ABCD là hình thang với đáy lớn AD , M là một điểm thuộc
mặt bên  SCD  .
a) Xác định giao tuyến của mặt phẳng  SAM  với mặt phẳng  SBC  .
b) N là điểm thuộc cạnh AB . Tìm giao điểm của SB với mặt phẳng  DMN  .
Lời giải

Gr: 2005 cùng nhau học toán 11


S

I

M

K

A

D
N
E

B

C

F

H

a)  SAM    SBC   ?
Ta có: S   SAM    SBC 

1 .

Trong mặt phẳng  SCD  gọi E  SM  CD . Trong mặt phẳng  ABCD  gọi F  AE  BC .
 F  AE   SAM 
 F   SAM    SBC 
Ta có: 

 F  BC   SBC 

 2 .

Từ 1 và  2  suy ra  SAM    SBC   SF .
b) SB   DMN   ?
+) Chọn mặt phẳng  SAB   SB .
+) Tìm giao tuyến của  SAB  và  DMN  :
Ta có: N   SAB    DMN 

1 .

Trong mặt phẳng  ABCD  kéo dài AB và CD cắt nhau tại H .
Trong mặt phẳng  SDH  gọi I  DM  SH .
Suy ra I   SAB    DMN 

 2 .

Từ 1 và  2  suy ra  SAB    DMN   NI .
 K  SB
+) Gọi K  SB  NI . Ta có 
.
 K  NI , NI   DMN 

Vậy SB   DMN   K .
Dạng 2: Tìm thiết diện của hình chóp cắt bởi một mặt phẳng
Bài 15/51 SGK.

Gr: 2005 cùng nhau học toán 11

Cho hình chóp tứ giác S . ABCD . Ba điểm A , B , C  lần lượt nằm trên ba cạnh SA , SB , SC
nhưng không trùng với S , A , B , C . Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng

 ABC   .
Lời giải

Trong  ABCD  , gọi O  AC  BD .

 S   SAC 
 S   SAC    SBD 
Ta có 
 S   SBD 
O  AC   SAC 
 O   SAC    SBD 

O  BD   SBD 
Suy ra SO   SAC    SBD  .
Trong  SAC  , gọi O  AC   SO .
Trong  SBD  , gọi D  BO  SD . Suy ra D   AB C   .
Ta có AB , BC  C D , DA lần lượt là giao tuyến của mặt phẳng  ABC   với các mặt
phẳng  SAB  ,  SBC  ,  SCD  ,  SDA  nên thiết diện của hình chóp S . ABCD khi cắt bởi mặt
phẳng  ABC   là tứ giác ABCD .
Bài 16/ 51 SGK. Cho hình chóp S . ABCD . Gọi M là một điểm nằm trong tam giác SCD .
a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng  SBM  và  SAC  .
b) Tìm giao điểm của đường thẳng BM và mp  SAC  .
c) Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mp  ABM  .
Lời giải

Gr: 2005 cùng nhau học toán 11

S

B

A
I

K

J

M

O

D
N

C

a) Trong mp  SCD  , kẻ SM cắt CD tại N . Trong mp  ABCD  , gọi O là giao điểm của

AC và BN .
Khi đó, ta có S   SBM    SAC  .

(1)

Ta có N  SM  N   SBM 

O  AC  BN

Mặt khác,  AC   SAC   O   SAC    SBM  .

 BN   SBM 

(2)

Từ (1) và (2), ta có SO là giao tuyến của hai mặt phẳng  SBM  và  SAC  .
b) Trong mp  SBM  , gọi I là giao điểm của SO và BM . Vì SO   SAC  , nên I là giao
điểm của BM và mặt phẳng  SAC  .
c) Trong mp  SAC  , đường thẳng AI cắt SC tại J . Trong mp  SCD  , đường thẳng JM cắt

SD tại K .
 ABM    ABCD   AB

 ABM    SAB   AB

Khi đó, ta có  ABM    SBC   BJ , suy ra thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng

 ABM    SCD   JK
 ABM    SAD   AK


 ABM  là tứ giác

ABJK .

Bài 8. Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a . Gọi I là trung điểm AD , J là điểm đối xứng với D

qua C ; K là điểm đối xứng với D qua B .
Gr: 2005 cùng nhau học toán 11


a) Xác định thiết diện của hình tứ diện cắt bởi mặt phẳng  IJK  .
b) Tính diện tích của thiết diện được tính ở câu a.
Lời giải
a) Ta có: IK và AB cùng thuộc mặt phẳng  ABD  nên IK  AB   E .
Tương tự IJ và AC cùng thuộc mặt phẳng  ADC  nên IJ  AC   H  .
Vậy thiết diện của tứ diện ABCD cắt bởi  IJK  là tam giác IHE .

A

I
E
M

K

H
D

B
C
J
b) Áp dụng định lí: Menelaus cho tam giác ADC ta có
 HA 

a 13
2

.
a 1 . Trong tam giác AHI có HI  AH 2  AI 2  2 AH . AI .cos 600 
6
3

Tương tự trong tam giác ABD ta cũng có
 EA 

JD CH AI
CH 1
.
.
 1 suy ra
 .
JC HA ID
HA 2

KD BE AI
BE 1
.
.
 1 suy ra
 .
KB EA ID
EA 2

a 13
2
.
a  2  . Trong tam giác AEI có EI  AE 2  AI 2  2 AE. AI .cos 600 

6
3

Từ 1 và  2  suy ra AE  AH  AEH đều nên EH 

2
a.
3

Gọi M là trung điểm cạnh EH do IHE cân đỉnh I nên IM  IH 2  MH 2 
Vậy diện tích IHE là S 
Bài 9.

a
.
2

1
a2
.
EH .IM 
2
6

Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi E là trung điểm SB , G là trọng
tâm tam giác SAD . Xác định thiết diện của hình chóp S . ABCD với:
a) Mặt phẳng  CEG  .
b) Mặt phẳng  AEG  .
Lời giải

Gr: 2005 cùng nhau học toán 11


a) Xác định thiết diện của hình chóp S . ABCD với mặt phẳng  CEG  .
Gọi F là trung điểm của đoạn SA . Khi đó EF //AB //DC
Do đó:  GEC    FECD 

 GCE    SAB   FE

 GCE    SBC   EC
Ta có: 
 GCE    SCD   CD
 GCE  SDA  DF
  

 Tứ giác FECD là thiết diện tạo bởi hình chóp S . ABCD với mặt phẳng  CEG  .
b) Xác định thiết diện của hình chóp S . ABCD với mặt phẳng  AEG  .
Gọi H là trung điểm SD , O  AC  DB , I  SO  HE , K  AI  SC

 AEG    SAB   AE

 AEG    SBC   EK
Ta có: 
 AEG    SCD   KH
 AEG  SDA  HA
 


 Tứ giác AEKH là thiết diện tạo bởi hình chóp S . ABCD với mặt phẳng  AEG  .
Dạng 3: Chứng minh các điểm thẳng hàng, các đường thẳng đồng quy

Bài 4/ 50 SGK.
Cho hai mặt phẳng  P  ,  Q  cắt nhau theo giao tuyến  . Trên  P  cho đường thẳng a và trên

Q

cho đường thẳng b . Chứng minh rằng nếu a và b cắt nhau thì giao điểm phải nằm trên 

.
Lời giải

Gr: 2005 cùng nhau học toán 11


Q

a
Δ

P

M

b

Giả sử điểm M là giao điểm của hai đường thẳng a và b . Khi đó:
 M  a, a   Q   M   Q 

 M   P   Q     M   .

 M  b, b   P 

 M   P 

Bài 5/ 50 SGK.
Cho mặt phẳng  P  và ba điểm không thẳng hàng A , B , C cùng nằm ngoài mặt phẳng  P  .
Chứng minh rằng nếu ba đường thẳng AB , BC , CA đều cắt mp  P  thì các giao điểm đó thẳng
hàng.
Lời giải

Gọi D , E , F lần lượt là giao điểm của AB , BC , CA với mp  P  .
Vì ba điểm A , B , C không thẳng hàng nên ba điểm A , B , C xác định mp  ABC  .
Ba điểm D , E , F thuộc hai mặt phẳng phân biệt là mp  P  và mp  ABC  suy ra chúng
cùng thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng  P  và  ABC  nên chúng thẳng hàng .
Bài 9/ 50 SGK . Cho ba đường thẳng a , b , c không cùng nằm trong cùng một mặt phẳng sao cho
chúng đôi một cắt nhau. Chứng minh rằng chúng đồng quy.
Lời giải
Giả sử ba đường thẳng a , b , c không đồng quy.
Gọi a  b  A; b  c  B; c  a  C . Khi đó ta có:
Đường thẳng a đi qua A , C hay a  AC .
Đường thẳng b đi qua A , B hay b  AB .
Gr: 2005 cùng nhau học toán 11


Đường thẳng c đi qua B , C hay c  BC .
Mà A , B , C luôn nằm trong một mặt phẳng. Suy ra a , b , c đồng phẳng.
Vậy giả sử ban đầu là sai. Hay a , b , c đồng quy.
Bài 10. Cho hình chóp tam giác S . ABC . Lấy các điểm M , N , E lần lượt thuộc các cạnh SA, SB và AC
sao cho MN cắt AB ở P , ME cắt SC ở Q . Chứng minh rằng ba đường BC , EP, NQ đồng
quy.
Lời giải

Gọi giao điểm của EP và BC là K .
Yêu cầu đề bài tương đương với chứng minh N , K , Q thẳng hàng .
 N  MP  N   MEP 
 N là điểm chung của hai mặt phẳng  SBC  ,  MEP  1 .

 N  SB  N   BSC 
 K  BC  K   SBC 
 K là điểm chung của hai mặt phẳng  SBC  ,  MEP   2  .

 K  EP  K   MEP 
Q  ME  Q   MEP 
 Q là điểm chung của hai mặt phẳng  SBC  ,  MEP   3  .

Q  SC  Q   SCB 

1 2   NK   SBC    MEP  ; 1 3  NQ   SBC    MEP 

.

Do đó N , K , Q thẳng hàng . Từ đó suy ra BC , EP, NQ đồng quy.
Bài 11.

Cho hình chóp S . ABCD .Trên hai cạnh AD , SB lần lượt lấy hai điểm M , N .
a) Tìm các giao điểm E , F lần lượt của MN , DN với  SAC  .
b) Gọi giao điểm của AD và BC là P và giao điểm của PN và SC là Q . Chứng minh rằng
bốn điểm A , E , F , Q thẳng hàng.
Lời giải

Gr: 2005 cùng nhau học toán 11

a)
*) Tìm E  MN   SAC 
Chọn  SMB   MN . Trong  ABCD  gọi I  AC  MB .
Trong  SMB  gọi E  SI  MN  E  MN   SAC  .
*) Tìm F  DN   SAC 
Chọn  SBD   DN . Trong  ABCD  gọi K  AC  BD .
Trong  SBD  gọi F  SK  DN  F  DN   SAC  .
b) Xét  SAC  và  ANP  có A   SAC    ANP  1
Ta có E  MN   SAC   E   SAC    ANP   2 

F  DN   SAC   F   SAC    ANP 
Q  PN  SC  Q   SAC    ANP 

 3

 4

Từ 1 ,  2  ,  3 ,  4  ta suy ra bốn điểm A, E , F , Q thẳng hàng.
Dạng 4: Các bài tốn có yếu tố chuyển động
Bài 10/ 50 SGK.
Cho hai đường thẳng a và b cắt nhau tại điểm O và đường thẳng c cắt mp  a , b  ở điểm I
khác O . Gọi M là điểm di động trên c và khác I . Chứng minh rằng giao tuyến của các mặt
phẳng  M , a  ,  M , b  nằm trên một mặt phẳng cố định.
Lời giải

Gr: 2005 cùng nhau học toán 11


O  a , a   M , a 

O  b , b   M , b 
  M , a    M , b   MO .
Do 
và 
 M   M , a 
 M   M , b 
 M  c , c   O , c 
Mà 
 MO   O, c  .
O   O , c 
Do hai đường thẳng a và b cắt nhau tại điểm O , nên điểm O cố định , đường thẳng c cố
định , suy ra  O , c  là mp cố định .
Vậy giao tuyến của các mặt phẳng  M , a  ,  M , b  là đường thẳng MO nằm trên mặt phẳng

 O , c  cố định .
Bài 12. Cho tứ diện ABCD . Gọi M , N lần lượt là hai điểm cố định trên AB , AC và MN không
song song với BC . Mặt phẳng   quay quanh MN cắt các cạnh BD , CD lần lượt tại E và
F.

a) Chứng minh rằng đường thẳng EF luôn đi qua một điểm cố định.
b) Chứng minh giao điểm của ME và NF thuộc một đường thẳng cố định.
Lời giải

a) Trong mặt phẳng  ABC  , gọi K  MN  BC nên K cố định và K là điểm chung của mặt
phẳng   và mặt phẳng  BCD  .
Mặt khác  BCD      EF nên K  EF .
Vậy đường thẳng EF luôn đi qua điểm cố định K .
Gr: 2005 cùng nhau học toán 11

b) Trong mặt phẳng   , gọi I  ME  NF .

 I  ME , ME   ABD 
Do 
 I là điểm chung của mặt phẳng  ACD  và  ABD  .
 I  NF , NF   ACD 
Mặt khác  ACD    ABD   AD nên I  AD cố định.
Vậy giao điểm I của ME và NF thuộc đường thẳng cố định AD .
Bài 13.

Cho hình chóp S . ABCD với AB và CD khơng song song. M là điểm chuyển động trên cạnh

SA . N là giao điểm của SB và mặt phẳng  CDM  . Chứng minh đường thẳng MN luôn đi
qua một điểm cố định.
Lời giải

Do AB và CD không song song nên kéo dài chúng cắt nhau tại điểm cố định E .
Trong mặt phẳng  SAB  , gọi N  SB  ME . Khi đó: N  SB   CDM  .
Như vậy ta có 3 điểm M , N , E luôn thẳng hàng, hay đường thẳng MN luôn đi qua điểm cố
định E .
Bài 14. Cho hình chóp S . ABCD . Gọi I , J là hai điểm cố định trên SA và SC với SI  IA , SJ  JC .
Một mặt phẳng   quay quanh IJ cắt SB tại M , cắt SD tại N .
a) Chứng minh IJ , MN và SO đồng qui ( O là giao điểm của AC và BD ).
b) AD cắt BC tại E , IN cắt MJ tại F . Chứng minh ba điểm S , E , F thẳng hàng.
c) IN cắt AD tại P , MJ cắt BC tại Q . Chứng minh PQ luôn đi qua một điểm cố định khi

 

quay quanh IJ .
Lời giải

Gr: 2005 cùng nhau học toán 11


a) Trong mặt phẳng  SAC  , gọi H  IJ  SO .

    SBD   MN

    SAC   IJ
Ta có: 
 SBD    SAC   SO
 IJ  SO  H

 Ba đường thẳng IJ , MN và SO đồng qui tại H .

b) Ta có:

 E  AD   SAD 
 E   SAD    SBC 

 E  BC   SBC 

1

 F  IN   SAD 
 F   SAD    SBC 

 F  MJ   SBC 

 2

 S   SAD 
 S   SAD    SBC 

 S   SBC 

 3 .

Từ 1 ,  2  và  3  suy ra ba điểm S , E , F thẳng hàng.
c) Trong mặt phẳng  SAC  , gọi K  IJ  AC .
Ta có:

 K  IJ   
 K      ABCD 

 K  AC   ABCD 

Gr: 2005 cùng nhau học toán 11

 4