ÔN THI TUYỂN SINH 10 MÔN TOÁN (ĐẠI SỐ)

TÀI LIỆU LUYỆN THI
TUYỂN SINH VÀO LỚP 10

PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỐN

ĐẠI SỐ

9

Tài liệu này được soạn dựa theo chương trình mới của SGK,
bám sát cấu trúc đề thi và chỉ dành cho HS ôn thi vào lớp 10 công lập

SƯU TẦM VÀ BIÊN SOẠN: TRẦN TRUNG CHÍNH
Trang 1


NỘI DUNG LUYỆN THI PHẦN ĐẠI SỐ:
Chuyên đề 1: Rút gọn và tính giá trị của biểu thức
Chuyên đề 2: Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn
Chuyên đề 3: Phương trình.
Chuyên đề 4: Ứng dụng của hệ thức VI-ET
Chuyên đề 5: Hàm số - Đồ thị - Sự tương giao
Chuyên đề 6: Giải bài tốn bằng cách lập phương trình và hệ phương trình
Chuyên đề 7: Giá trị lớn nhất - Giá trị nhỏ nhất
Chuyên đề 8: Bài toán ứng dụng thực tiễn

Trang 2


CHỦ ĐỀ 1: RÚT GỌN VÀ TÍNH GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC
I. PHƯƠNG PHÁP

1. Tập xác định
A=

g( x)

Dạng 1:
Dạng 2:

f ( x)

A = f ( x)
A=

có TXĐ: D = {x| g(x) ≠ 0}, [với g(x) = ax + b]
có TXĐ: D = {x| f(x) ≥ 0}, [với f(x) = ax + b]

f ( x)

g( x)

Lưu ý: Nếu

có TXĐ: D = {x| g(x) > 0}, [với f(x) có D = R]
[với g(x) = ax + b]
Dạng 3: A = f(x) có TXĐ: D = ¡ , [với f(x) là đa thức]
2. Các dạng khai triển của một số biểu thức (chứa căn thức):
Xét với a, b ≥ 0 nếu cần điều kiện:


( a - b)

hoặc

a + b) = ( a + b) ( a + b)
hoặc (
hoặc
a
a
=
a.b = a. b hoặc b
b , (với b > 0)
2

= ( a - b) ( a - b)

2

( a) −( b) = ( a − b) ( a + b)

a − 1 = ( a ) − 1 = ( a − 1) ( a + 1)

a a = a. a. a = ( a )

a − b = ( a ) − ( b ) = ( a − b ) ( a + ab + b )

a + b = ( a ) + ( b ) = ( a + b ) ( a − ab + b )

a a mb b = ( a ) m( b ) = ( a m b ) ( a ± ab + b )

a a m1 = ( a ) m1 = ( a m1) ( a ± a + 1)


2

a−b=

2

2

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3



3

3

3

3

3

3

2

2

3

3

3

3

3

3

 A khi A ≥ 0
A2 = A = 
-A khi A < 0 và
Nếu A ≥ 0 và B ≥ 0 thì

Nếu A < 0 và B ≥ 0 thì
 Trục căn thức ở mẫu:

A2B = A B
A 2B = A B ;
A 2 B = −A B ;

A
A B A B
=
=
2
B
B
B

+ Cho A bất kỳ và B > 0, ta có:
+ Cho A ≥ 0, A ≠ B2, C bất kỳ, ta có:

( )

Trang 3

2

2

a=

( a)

2

= a. a


(

)

(

C A mB
C A mB
C
=
=
2
A − B2
A ±B
A − B2

( )

+ Cho A ≥ 0, B ≥ 0, A ≠ B, C bất kỳ, ta có:

(

)
( ) ( )

C Am B
C
=
2
A± B
A − B
+ Cho A bất kỳ và B > 0, ta có:

C

=

2

(

(

)

Am B

)

A−B

)

A A ±1
A± A
=
= A
A ±1
A ±1
3. Thủ thuật xử lý rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai
Đừa thừa số ra ngoài - căn lồng căn - sử dụng (CASIO Fx - 570ES):

(

A±B C =

M± N

)

2

=

2

B C
c=

÷
2 

Bấm chọn
; Bấm mode 5 3 và nhập
2

B C
c=
÷
2 

a = 1; b = - A;
Bấm = " ta được:

x1 = M → M ; x 2 = N → N
II. BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài tập 1: Rút gọn biểu thức sau: A = 7 − 4 3 − 7 + 4 3
Hướng dẫn
CASIO 570 VN PLUS:

7±4 3 =

( 2 ± 3)

2

= 2± 3

2

4 3
c=
÷ = 12
2


Bấm chọn
; Bấm mode 5 3 và nhập
2

4 3
c=
÷ = 12
2


a = 1; b = - 7;
. Bấm = " ta được:

x 1 = 4 → 4 = 2; x 2 = 3 → 3
Hướng dẫn chi tiết:
Ta có:

Trang 4

M± N


A = 7−4 3 − 7+4 3

A = 22 − 2.2. 3 +

( 2 − 3) −
A = 2− 3 −( 2+
2

A=

( )
( 2 + 3)
3)
3

2

− 22 + 2.2. 3 +

( )
3

2

2

A = 2− 3−2− 3
A = −2 3.

A=

Bài tập 2: Rút gọn biểu thức sau:

4
8
15
−
+
1+ 5 1− 5
5
Hướng dẫn chi tiết

Ta có:

A=
A=

4
8
15
−
+
1+ 5 1− 5
5
4

(

(

)

5 −1

)(

5 −1

) (

5 +1

(

)

5 +1

)(

5 −1

)

5 +1

) + 8 ( 5 + 1) + 3 5
( 5 ) −1 ( 5 ) −1
4 ( 5 − 1) 8 ( 5 + 1)
A=
+
+3 5

4

A=

(

8

+

+

3. 5. 5
5

5 −1
2

2

2

4

A = 5 −1 + 2

(

2

4

)

5 +1 + 3 5

A = 5 −1 + 2 5 + 2 + 3 5
A = 6 5 +1

Bài tập 3: Rút gọn biểu thức sau:

(

A = 4 + 15

)(

10 − 6

)

4 − 15

Hướng dẫn chi tiết
2

CASIO:
Ta có:

(

 5
3
5
3
5
3
4 − 15 = 
−
−
=
−
÷ =
2
2
2
2
2
 2

A = 4 + 15

)(

)

10 − 6 .

5− 3
2

Trang 5


(
) ( 5 − 3 ) 2. 5 −2 3
A = ( 4 + 15 ) ( 5 − 3 ) ( 5 − 3 ) = ( 4 +
A = 2 ( 4 + 15 ) ( 4 − 15 )
A = 2 ( 4 − ( 15 ) ) = 2
A = 4 + 15

)(

15 8 − 2 15

)

2

2

Bài tập 4: Rút gọn biểu thức sau:

A = 2 + 3. 2 + 2 + 3 . 2 + 2 + 2 + 3 . 2 − 2 + 2 + 3
Hướng dẫn chi tiết
Ta có:
•
2 




2
2 + 2 + 2 + 3 . 2 − 2 + 2 + 3 =  2 −  2 + 2 + 3 ữ ữ= 2 2 + 3


ữ



ã

2 + 2 + 3 . 2 − 2 + 3 = 22 −

⇒ A = 2 + 3. 2 − 3 = 2 2 −

( 3)

(

2

2+ 3

)

2

= 2−2 3

=1

 1
x 
x
A=
+
÷:
x +1 x + x
 x
Bài tập 5: Rút gọn biểu thức sau:
Hướng dẫn chi tiết
Điều kiện: x > 0.




x + x +1 ÷ x + x  x + x +1 ÷ x x +1
x + x +1

A=
.
=
.
=
 x x +1 ÷
 x x +1 ÷
x
x
x





Ta có:

(

)

(

)

(

4−2 3
6− 2 .
Bài tập 6: Rút gọn biểu thức sau:
Hướng dẫn chi tiết
A=

CASIO:

A=
Ta có:

4−2 3 =

(

)

3 −1

2

= 3 −1

4−2 3
3 −1
1
2
=
=
=
2
6− 2
2
2 3 −1

(

)

2x − 9
x + 3 2x + 1
−
−
2
x

−
5x
+
6
x
−
2
3− x
Bài tập 7: Rút gọn biểu thức sau:
Hướng dẫn chi tiết
A=

Trang 6

)


Điều kiện:
Ta có:

( x − 2 ) ( x − 3) ≠ 0
 x 2 − 5x + 6 ≠ 0
x ≠ 2


⇔ x − 2 ≠ 0
⇔
x − 2 ≠ 0
x ≠ 3
3 − x ≠ 0

3 − x ≠ 0



.

x − 2 ) ( x − 3)
Mẫu thức chung là: (
( x + 3) ( x − 3) + ( 2x + 1) ( x − 2 )
2x − 9
A=
−
( x − 2 ) ( x − 3) ( x − 2 ) ( x − 3) ( x − 2 ) ( x − 3)
=

2x − 9 − ( x 2 − 9 ) + 2x 2 − 3x − 2

( x − 2 ) ( x − 3)

x2 − x − 2
=
( x − 2 ) ( x − 3)
=

( x + 1) ( x − 2 )
( x − 2 ) ( x − 3)

=

x +1

.
x − 3 (thỏa mãn điều kiện)

 x+2
x +1
x +1
P = 1: 
+
−
÷
x x −1 x + x + 1 x −1 

Bài tập 8: Rút gọn biểu thức sau:
, (với 0 ≤ x ≠ 1 )
Hướng dẫn chi tiết


x+2
x +1
x +1

÷
P = 1:
+
−
 x −1 x + x + 1 x + x + 1
x −1 x +1 ÷





x +1 x −1
x+2
x + x +1

÷
P = 1:
+
−
 x −1 x + x +1
x −1 x + x + 1
x −1 x + x + 1 ÷




x −1 x + x + 1
x− x

÷=
P = 1:
 x −1 x + x +1 ÷
x− x


P=

(

(

)(

)

(

)(

) (

(

)(

)

)(
x(

) = x+

x −1 x + x + 1

)

x −1

(

)(

(

)(

(

)(

x +1
x

)

)(

) (
)

)

)(

. (thỏa mãn điều kiện bài tốn)
 x −1
1
8 x   3 x −2
P=
−

+
÷: 1 −
÷
9x
−
1
3
x
−
1
3
x
+
1
3 x +1 



Bài tập 9: Cho biểu thức:
a) Rút gọn P.
6
P= .
5
b) Tìm các giá trị của x để
Hướng dẫn chi tiết
9x − 1 = 3 x + 1 3 x − 1
a) Ta có:
.

(

)(

)

Trang 7

)


x ≥ 0
 x ≥ 0

⇔

1
x
≠
3 x − 1 ≠ 0

9
Điều kiện:
Ta có:

x −1 3 x + 1
3 x −1
8 x
P=
−
+

 3 x −1 3 x +1
3 x +1 3 x −1
3 x +1 3 x −1



3x − 2 x − 1 − 3 x + 1 + 8 x ÷ 3 x + 1

P=
.

÷
3
3 x −1 3 x +1



(

(

)(
)(

(

(

)

)

) (

)(

)(

) (

)(

)

 

÷:  3 x + 1 − 3 x − 2 ÷
÷  3 x +1 3 x +1 


)

3 x+ x 1
.
3 x −1 3
x+ x
P=
3 x − 1 . (thỏa mãn điều kiện)
P=

P=

6
x+ x 6
⇔
= ⇔ 5 x + x = 6 3 x −1
5
3 x −1 5

b) Để
⇔ 5x + 5 x − 18 x + 6 = 0
⇔ 5x − 13 x + 6 = 0
⇔

(

)(

(

) (

)

)

x −2 5 x −3 = 0

 x =2
x = 4

 x −2=0


⇔
⇔
9
3⇔

x=
x=
5 x − 3 = 0
25

5

Lưu ý: 5x − 13 x + 6 = 0 có thể giải theo phương trình bậc 2 với biến


a   1
2 a
P = 1 +
−
÷: 
÷
a +1   a −1 a a + a − a −1 

Bài tập 10: Cho biểu thức:
a) Rút gọn P.
b) Tìm giá trị của a để P < 1.
c) Tìm giá trị của P nếu a = 19 − 8 3.

Hướng dẫn chi tiết
a a + a − a − 1 = ( a + 1) a − 1
a) Ta có:
a ≥ 0
a ≥ 0
⇔
⇔ 0 ≤ a ≠1

a
≠
1
a
−
1
≠
0


Điều kiện: 
Ta có:

 a + a +1 
a +1
2 a

÷
P=
−
÷:


a
+
1

  ( a + 1) a − 1 ( a + 1) a − 1 ÷


(

(

)

)

(

Trang 8

)

x.


 a + a +1   a − 2 a +1
P=
÷: 
 a + 1   ( a + 1) a − 1

(

)

(

)

2

 
a
−
1

÷ =  a + a + 1 ÷: 
÷  a + 1   ( a + 1) a − 1



(

a + a +1 a +1 a + a +1
.
=
a +1
a −1
a −1
b) Để P < 1
a + a +1
⇔

<1
a −1
P=

a + a +1
a −1
−
<0
a −1
a −1
a+2
⇔
<0
a −1
⇔ a − 1 < 0 (vì a + 2 > 0)
⇔

⇔ a <1
⇔ a < 1.
Kết hợp với điều kiện, ta có: 0 ≤ a < 1.
c) Khi a = 19 − 8 3 thì
19 − 8 3 =

P=

19 − 8 3 + 19 − 8 3 + 1
19 − 8 3 − 1

( 4 − 3)

2

=4− 3
Ta có:
19 − 8 3 + 4 − 3 + 1 24 − 9 3
P=
=
4 − 3 −1
3− 3
P=

( 24 − 9 3 ) ( 3 + 3 ) = 15 −
2
( 3 − 3) ( 3 + 3)

3

III. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài tập 1: Rút gọn biểu thức sau:

A=
B=

Bài tập 2: Rút gọn biểu thức sau:
Bài tập 3: Rút gọn các biểu thức sau:

15
8
6
+

+
− 9 6.
6 −1
6 +2 3− 6
2
6
−
.
1+ 2 − 3
2+ 3− 5

a) C = 14 + 6 5 − 14 − 6 5 ;
b)

D=

(

)

5 +1

6−2 5

.

P=

Bài tập 4: Cho biểu thức:
a) Rút gọn P.

b) Tìm giá trị của a để P < 1.

a +2
5
1
−
+
a +3 a + a −6 2− a

Trang 9

)


÷
÷
÷



 2 x
x
3x + 3   2 x − 2 
P=
+
−
− 1÷
÷: 
x
−

9
x
+
3
x
−
3
x
−
3

 

Bài tập 5: Cho biểu thức:
a) Rút gọn P.
1
P< .
2
b) Tìm x để
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của P.
15 x − 11 3 x − 2 2 x + 3
P=
+
−
x + 2 x − 3 1− x
x +3 .
Bài tập 6: Cho biểu thức:
a) Rút gọn P,
1
P= .

2
b) Tìm các giá trị của x để
2
P≤ .
3
c) Chứng minh

Trang 10


CHUYÊN ĐỀ 2: HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
a 1 x + b1 y = c1

a x + b 2 y = c2
1. Dạng hệ phương trình bậc nhất hai ẩn:  2

(I)

Cách giải:
Cách 1: Dùng phương pháp thế:
Cách 2: Giải bằng phương pháp cộng đại số
Bước 1: Nhân các vế của phương trình với một số sao cho hệ số của 1 ẩn ở hai phương
trình là đối nhau.
Bước 2: Cộng hai phương trình với nhau, quy hệ phương trình về phương trình bậc nhất
một ẩn, rồi giải tìm ra một ẩn.
Bước 3: Thay vào một trong hai phương trình để tìm nghiệm cịn lại.
Cách 3: Đặt ẩn phụ, rồi đưa hệ phương trình đã cho về dạng (I). Chú ý đặt điều kiện cho ẩn cũ
(nếu có).
Bài tập 1: Giải hệ phương trình: (Sử dụng phương pháp cộng đại số)
 x − 2y = 14

2x + 3y = −5
4x − 7y = −5



a) 2x + y = 13
b) 5x − 2y = 16
c) 5x − 9y = 6
d)

3x + 4y = 10

4x − 3y = 5

Giải
−
 x − 2y = 14 ( nhân ( −2 ) )
 2x + 4y = −28 ( 1)
⇔

( 2 ) (làm mất x, tìm y)
2x + y = 13
2x + y = 13
a) 
Lấy (1) + (2), ta được:
−
 2x + 4y = −28 ( 1)

( 2)
 2x + y = 13

( 1) + ( 2 ) ⇔ 5y = −15 ⇒ y = −3
Thay y = -3 vào (2), ta được:

2x + ( −3) = 13 ⇔ x = 8.

x = 8

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là  y = −3 .
2x + 3y = −5 ( nhân 2 )
4x + 6y = −10 ( 1)
⇔

5x − 2y = 16 ( nhân 3)
15x − 6y = 48 ( 2 ) (làm mất y, tìm x)
b) 
Lấy (1) + (2), ta được:
4x + 6y = −10 ( 1)

15x − 6y = 48 ( 2 )

( 1) + ( 2 ) ⇔ 19x = 38 ⇒ x = 2

Thay x = 2 vào 2x + 3y = -5. ta được: 2.2 + 3y = −5 ⇔ 3y = −9 ⇒ y = −3.
x = 2

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là  y = −3 .
4x − 7y = −5

c) 5x − 9y = 6

(làm tương tự)
3x + 4y = 10

d) 4x − 3y = 5
(làm tương tự)

Trang 11


x + 2 y = 1 (1)

Bài tập 2: Giải hệ phương trình: 2 x + 3y = 3 ( 2 )
Giải
Bằng phương pháp rút thế.
Từ phương trình (1), suy ra: x = 1 - 2y
Thay vào phương trình (2), ta được: 2(1 - 2y) + 3y = 3 ⇔ 2 - 4y + 3y = 3 ⇔ y = -1
Với y = 1 ⇒ x = 3
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là (x, y) = (3, -1).
Bài tập 3: Giải các hệ phương trình sau: (Đặt ẩn phụ để đưa về hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn)
1
2
1 1 1
 2
 3x
 x + y = 12
 x + 2y + y + 2x = 3
 x +1 − y + 4 = 4







 8 + 15 = 1
 4 − 3 =1
 2x − 5 = 9



1)  x y
2)  x + 2y y + 2x
3)  x + 1 y + 4

4)

2
2
 x + y = 13
 2
2
3x − 2y = −6

3 x + 2 y = 16

2 x − 3 y = −11
5) 

 x + 4 y = 18

3 x + y = 10

6) 

Giải
1
1 1

+
 x y = 12


 8 + 15 = 1

1)  x y
(1)
(Điều kiện: x, y ≠ 0).
1
1
u = ;v = .
x
y Khi đó phương trình (1) trở thành:
Đặt:
1

12u + 12v = 1
u + v =
12 ⇔ 

8u + 15v = 1 8u + 15v = 1
(2)
1


u
=

28

v = 1
21 .
Giải hệ phương trình (2), ta được nghiệm duy nhất là 

Với

1 1
1

=
u = 28
 x = 28
 x 28
⇔
⇔

 y = 21
v = 1
1 = 1
 y 21
21


 x = 28


Kết luận hệ phương trình (2) có nghiệm duy nhất là  y = 21 .
1
 2
 x + 2y + y + 2x = 3


 4 − 3 =1

2)  x + 2y y + 2x
(1)
(Điều kiện: x ≠ - 2y; y ≠ - 2x)
1
1
;v =
.
x + 2y
y + 2x Khi đó phương trình (1) trở thành:
Đặt:
Giải hệ (2) để được cặp nghiệm (u; v) rồi suy ra nghiệm (x; y).
u=

Trang 12

2u + v = 3

4u − 3v = 1

(2)

2
 3x
 x +1 − y + 4 = 4


 2x − 5 = 9

3)  x + 1 y + 4
(1)

(Điều kiện: x ≠ - 1; y ≠ - 4)

3u − 2v = 4
x
1
;v =
.

x
+
1
y
+
4
Đặt:
Khi đó phương trình (1) trở thành:  2u − 5v = 9
(2)
Giải hệ (2) để được cặp nghiệm (u; v) rồi suy ra nghiệm (x; y).
 x 2 + y 2 = 13

 2
3x − 2y 2 = −6
4) 
(Điều kiện: u, v ≥ 0)
u + v = 13

2
2
u
=
x
;
v
=
y
.
Đặt:
Khi đó phương trình (1) trở thành: 3u − 2v = −6
(2)
Giải hệ (2) để được cặp nghiệm (u; v) rồi suy ra nghiệm (x; y). (Giải thêm vài bước)
3 x + 2 y = 16

2 x − 3 y = −11
5) 
(Điều kiện: u, v ≥ 0)
3u + 2v = 16

u = x; v = y.
Đặt:
Khi đó phương trình (1) trở thành: 2u − 3v = −11

(2)
Giải hệ (2) để được cặp nghiệm (u; v) rồi suy ra nghiệm (x; y). (Giải thêm vài bước)
 x + 4 y = 18

3 x + y = 10
6) 
(Điều kiện: u, v ≥ 0)
 u + 4v = 18

u = x ;v = y .
Đặt:
Khi đó phương trình (1) trở thành: 3u + v = 10
(2)
Giải hệ (2) để được cặp nghiệm (u; v) rồi suy ra nghiệm (x; y). (Giải thêm vài bước)
u=

2. Dạng toán nâng cao của hệ phương trình bậc nhất hai ẩn:
Bài tập 1: Định m nguyên để hệ có nghiệm duy nhất là nghiệm nguyên:
 mx + 2y = m + 1

 2x + my = 2m − 1
Giải
 mx + 2y = m + 1 ( nhân ( −2 ) )
−
 2mx − 4y = −2m − 2 ( 1)
⇔

2
2
2x + my = 2m − 1 ( nhân m )

 2mx + m y = 2m − m ( 2 )
Ta có: 
Lấy (1) + (2), ta được:
−
 2mx − 4y = −2m − 2 ( 1)

2
2
 2mx + m y = 2m − m ( 2 )

( 1) + ( 2 ) ⇔ ( m2 − 4 ) y = 2m 2 − 3m − 2 ⇒ y =

2m 2 − 3m − 2 ( m − 2 ) ( 2m + 1) 2m + 1
=
=
m2 − 4
( m − 2) ( m + 2) m + 2

2m + 1 2 ( m + 2 ) − 3
3
=
= 2−
m+2
m+2
m+2
Thực hiện tìm giá trị nguyên của y:
Để y nguyên thì 3 phải chia hết cho (m + 2)hay (m + 2) là ước sơ ngun của 3.
Ta có:
y=

Trang 13


m + 2 = 1 ⇒ m = -1 và y = -1; x = -2.
m + 2 = -1 ⇒ m = -3 và y = 5; x = 4.
m + 2 = 3 ⇒ m = 1 và y = 1; x = 0.
m + 2 = -3 ⇒ m = -5 và y = 3; x = 2.
Bài tập 2: Định m nguyên để hệ có nghiệm duy nhất là nghiệm nguyên:
(m + 1)x + 2y = m − 1
 2
2
m x − y = m + 2m
Làm tương tự bài tập 1.
Bài tập 3: Định m, n để hệ phương trình sau có nghiệm là (2; -1)
 2mx − (m + 1)y = m − n

(m + 2)x + 3ny = 2m − 3 (I)
Giải
Thay cặp nghiệm (2; -1) vào hệ phương trình (I), ta được:
10

m=−

 4m + (m + 1) = m − n
4m + n = −1 
12
⇔
⇔

 2(m + 2) − 3n = 2m − 3 −3n = −7

n = 7

3
mx + 4y = 9

Bài tập 4: Cho hệ phương trình:  x + my = 8 (I). Với giá trị nào của m để hệ có nghiệm (x; y)
38
2
thỏa mãn hệ thức: 2x + y + m − 4 = 3.
Giải
Điều kiện: m ≠ ±2.
mx + 4y = 9
mx + 4y = 9
( 1)
⇔

2
 x + my = 8 ( nhân ( − m ) )
 −mx − m y = −8m ( 2 )
Lấy (1) cộng (2), ta được:
mx + 4y = 9
( 1)

2
− mx − m y = −8m ( 2 )

( 1) + ( 2 ) ⇔ ( 4 − m 2 ) y = 9 − 8m ⇒ y =

9 − 8m
4 − m2

9 − 8m
4 − m 2 vào (1), ta được:
Thay
−9m 2 + 32m
−9m + 32
 9 − 8m 
mx + 4 
=
9
⇔
mx
=
⇒x=
2 ÷
2
4−m
4 − m2
 4−m 
−9m + 32

 x = 4 − m 2

 y = 9 − 8m
4 − m2
Suy ra, hệ (I) có nghiệm duy nhất là 
38
2
Thay cặp nghiệm (x; y) theo m vào hệ thức 2x + y + m − 4 = 3, ta được:
y=

Trang 14


38
 −9m + 32  9 − 8m
2
+
+ 2
=3
2 ÷
2
m −4
 4−m  4−m

⇔ −18m + 64 + 9 − 8m − 38 = 3 ( 4 − m 2 )

⇔ −26m + 35 = 12 − 3m 2
⇔ 3m 2 − 26m + 23 = 0
Giải phương trình này, ta được:

m=

23
; m = 1.
3

 x + my = 9

Bài tập 5: Cho hệ phương trình: mx − 3y = 4 (I)

1) Giải hệ phương trình khi m = 3.
2) Với giá trị nào của m để hệ có nghiệm (-1; 3)
3) Chứng tỏ rằng hệ phương trình ln ln có nghiệm duy nhất với mọi m. Với giá trị nào của m
28
2
để hệ có nghiệm (x; y) thỏa mãn hệ thức: x - 3y = m + 3 - 3.
Giải
a) Thay m = 3 vào hệ (I) và giải để tìm nghiệm.
b) Thầy cặp nghiệm (-1; 3) vào hệ (I) để tìm giá trị của m ở cả hai phương trình của hệ (I) phải
bằng nhau.
c) Làm tương tự bài tập 4.
3x + 2y = 4

Bài tập 6: Cho hệ phương trình  2x − y = m (I).
1) Giải hệ phương trình khi m = 5.
2) Tìm m nguyên sao cho hệ có nghiệm (x; y) với x < 1, y < 1
3) Với giá trị nào của m thì ba đường thẳng 3x + 2y = 4; 2x – y = m; x + 2y = 3 đồng quy.
Giải
a) Thay m = 5 vào hệ (I) để giải tìm nghiệm.
b) Giải hệ (I) để tìm nghiệm (x; y) theo m và xét với x < 1, y < 1 để tìm m thích hợp.
c) Lập hệ phương trình gồm hai phương trình đầu để giải tìm nghiệm (x; y) theo m. Rồi thay vào
phương trình cuối cùng để tìm m. Vì x, y, m (nếu có) của ba phương trình đều bằng nhau.

Trang 15


CHUN ĐỀ 3: PHƯƠNG TRÌNH
PHƯƠNG PHÁP
1. Phương trình bậc nhất 1 ẩn
Cách giải

Bước 1: Quy đồng (nếu các hạng tử là phân số, phân thức).
Bước 2: Chuyển hạng tử chứa x sang vế trái, chuyển hạng tử là số (hằng số) qua vế phải
Bước 3: Thu gọn hai vế và đưa về dạng ax = b.
b
x=a.
Bước 4: Lấy nghiệm
1.1. Dạng tổng quát: ax + b = 0, (a ≠ 0)
Cách giải
- Nếu a ≠ 0:
b
x= a
ax + b = 0 ⇔ ax = -b ⇔
b
x= a.
Phương trình có nghiệm duy nhất
- Nếu a = 0:
Phương trình trở thành 0.x + b = 0.
Nếu b ≠ 0 thì phương trình đã cho vơ nghiệm.
Nếu b = 0 thì phương trình đã cho có vơ số nghiệm.
Bài tập
Bài tập 1: Giải phương trình: 5x - 10 = 0
Giải
10
x=
5 ⇔ x = 2.
5x - 10 = 0 ⇔ 5x = 10 ⇔
Vậy phương trình có một nghiệm x = 2.
Bài tập 2: Giải phương trình: 9 + 3x = 0
Giải
−9

x=
3 ⇔ x = -3.
9 + 3x = 0 ⇔ 3x = -9 ⇔
Vậy phương trình có một nghiệm x = -3.
Bài tập 3: Giải phương trình: 7 - 21x = 0
Giải
−7
1
x=
x=
−21 ⇔
3
7 - 21x = 0 ⇔ -21x = -7 ⇔
1
x=
3.
Vậy phương trình có một nghiệm

Trang 16


1.2. Dạng phương trình bậc nhất: f(x) = g(x) (g(x) khác đa thức 0).
Cách giải:
Bước 1: Nếu trong phương trình có các biểu thức chứa dấu ngoặc thì ta phải thực hiện quy
tắc bỏ dấu ngoặc.
Bước 2: Thu gọn các đơn thức đồng dạng.
Bước 3: Giải phương trình dạng: ax + b = 0.
Bài tập áp dụng
Bài tập 1: Giải phương trình sau: - 5x + 3 = 2x - 4
Giải

- 5x + 3 = 2x - 4 ⇔ -5x - 2x = -4 - 3 ⇔ - 7x = -7 ⇔ x = 1.
Vậy tập nghiệm của phương trình là x = 1.
Bài tập 2: Giải phương trình: 8x - 3 = 5x + 12
Giải
8x - 3 = 5x + 12 ⇔ 8x - 5x = 12 + 3 ⇔ 3x = 15 ⇔ x = 5.
Vậy tập nghiệm của phương trình là x = 5.
x - 3 5 - 2x x 5
= +
6
2 12
Bài tập 3: Giải phương trình: 4
Giải
x -3 5- 2x x 5
= +
4
6
2 12
MSC = 12.
3 ( x − 3) 2 ( 5 − 2x ) 6x 5
⇔
−
= + ⇔ 3 ( x − 3) − 2 ( 5 − 2x ) = 6x + 5 ⇔ 3x − 9 −10 + 4x = 6x + 5 ⇔ x = 24.
12
12
12 12
Vậy tập nghiệm của phương trình là x = 24.
x - 305 x - 307 x - 309 x - 401
+
+
+

=4
1700
1698
1696
1694
Bài tập 4: Giải phương trình:
Giải
(Ta sử dụng phương pháp nhân tử hóa)
Phương trình trên tương đương:
 x − 305   x − 307   x − 309   x − 401 
− 1÷ + 
− 1÷+ 
− 1÷ + 
− 1÷ = 0

 1700
  1698
  1696
  1694

⇔

x − 2005

+

x − 2005

+

x − 2005

+

x − 2005

1700
1698
1696
1694
⇔ x = 2005.
1
1
1
1
+
+
+
>0
Vì 1700 1698 1696 1694
Vậy tập nghiệm của phương trình là x = 2005.

=0

Trang 17


2. Phương trình tích:
Dạng phương trình: A(x).B(x).C(x)... = 0, trong đó A(x), B(x), C(x) là các biểu thức.
Cách giải:

 A( x) = 0
A ( x ) .B ( x ) = 0 ⇔ 
 B ( x ) = 0
 A( x) = 0

A ( x ) .B ( x ) .C ( x ) = 0 ⇔  B ( x ) = 0
C x = 0
 ( )

 A( x) = 0

B ( x) = 0
A ( x ) .B ( x ) .C ( x ) ...= 0 ⇔ 
C ( x ) = 0
....
Nghiệm của phương trình là hợp tất cả các nghiệm của các phương trình: A(x), B(x), C(x), ....
Bài tập áp dụng
Bài tập 1: Giải phương trình: (2x - 3)(3x + 4) = 0 (1)
Giải
3

x
=

2x − 3 = 0  2x = 3
2
3x + 4 = 0 ⇔ 3x = −4 ⇔ 



x = − 4

3
(2x - 3)(3x + 4) ⇔
3 4
S=  ;- 
2 3 .
Vậy tập nghiệm của phương trình là
Bài tập 2: Giải phương trình: (3x - 2)(4x + 5) = 0
Giải
x=

2
5
x=3 hoặc
4

(3x - 2)(4x + 5) = 0 ⇔ 3x - 2 = 0 hoặc 4x + 5 = 0 ⇔
 2 5
S=  ; - 
 3 4
Vậy tập nghiệm của phương trình là
Bài tập 3: Giải phương trình: (2x - 3)(x + 5) - (x + 5)(x - 6) = 0
Giải
(2x - 3)(x + 5) - (x + 5)(x - 6) = 0
 x + 5 = 0  x = −5
 x + 3 = 0 ⇔  x = −3

⇔ (x + 5)[(2x - 3) - (x - 6)] = 0 ⇔ (x + 5)(x + 3) = 0 ⇔ 
Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {-5; 3}.

Bài tập 4: Giải phương trình: 2x(x - 3) + 5(x - 3) = 0
Giải
2x(x - 3) + 5(x - 3) = 0 ⇔ (x - 3)(2x + 5) = 0 ⇔ x - 3 = 0 hoặc 2x + 5 = 0 ⇔ x = 3 hoặc
5

S = 3; - 
2

Vậy phương trình tập nghiệm
Bài tập 5: Giải phương trình sau: (5x + 3)(2x - 1) = (4x + 2)(2x - 1)
Giải
(5x + 3)(2x - 1) = (4x + 2)(2x - 1)

Trang 18

x=-

5
2


⇔
⇔
⇔
⇔

(5x + 3)(2x - 1) - (4x + 2)(2x - 1) = 0
(2x - 1)[(5x + 3) - (4x + 2)] = 0
(2x - 1)[5x + 3 - 4x - 2] = 0
(2x - 1)(x + 1) = 0

1

x=
 2x -1 = 0 ⇔ 
2

 x +1 = 0
 x = −1
⇔ 

1 
 ; -1
Vậy tập nghiệm của phương trình là S =  2 

3. Phương trình chứa ẩn ở mẫu
Cách giải:
Bước 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình.
Bước 2: Quy đồng mẫu thức rồi khử mẫu: Tìm mẫu thức chung.
Bước 3: Giải phương trình.
Bước 4: Đối chiếu nghiệm tìm được với điều kiện của bài tốn để kết luận nghiệm của phương
trình.
Bài tập áp dụng
1
3
5
=
Bài tập 1: Giải phương trình sau: 2x - 3 x(2x - 3) x
Giải
3


2x − 3 ≠ 0
x ≠
⇔
2

x ≠ 0
 x ≠ 0
Điều kiện xác định (ĐKXĐ):
Mẫu thức chung (MTC) = x(2x - 3)
5 ( 2x − 3)
x
3
1
3
5
−
=
=
2x - 3 x(2x - 3) x ⇔ x ( 2x − 3 ) x(2x − 3) x ( 2x − 3 )
4
x=
3 (thỏa mãn điều kiện)
⇔ x - 3 = 5(2x - 3) ⇔ x - 3 = 10x - 15 ⇔ 9x = 12 ⇔
4
S=  
3
Vậy tập nghiệm của phương trình là
x+2 1
2
+ =

Bài tập 2: Giải phương trình sau: x − 2 x x(x − 2)

Giải
x − 2 ≠ 0 x ≠ 2
⇔

x
≠
0

x ≠ 0
ĐKXĐ:
MTC = x(x - 2)
x+2 1
2
+ =
x − 2 x x(x − 2)
x ( x + 2)
x−2
2
+
=
x x − 2 ) x ( x − 2 ) x(x − 2)
⇔ (
⇔ x(x + 2) + x - 2 = 2
⇔ x2 + 2x + x - 2 = 2
⇔ x2 + x - 4 = 0

Trang 19

x = 1
⇔
x = 4
(thỏa mãn điều kiện)
Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {1; 4}.
2
1
2x − 5
+
= 2
Bài tập 3: Giải phương trình sau: x + 3 x − 3 x − 9
Giải
x − 3 ≠ 0 x ≠ 3
⇔

x
+
3
≠
0

 x ≠ −3
ĐKXĐ:

(1)

MTC = (x - 3)(x + 3)
2 ( x − 3)
( x + 3) = 2x − 5

⇒
+
( x − 3 ) ( x + 3) ( x − 3) ( x + 3 ) ( x − 3 ) ( x + 3 )
(1)
⇔ 2(x - 3) + x + 3 = 2x - 5
⇔ 2x - 6 + x + 3 = 2x - 5
⇔ x = -2 (thỏa mãn điều kiện)
Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {- 2}
4. Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối
Định nghĩa: Giá trị tuyệt đối của số a, kí hiệu là |a|, được định nghĩa như sau:

a nÕu a ≥ 0
a=
− a nÕu a < 0
Ví dụ: |5| = 5, |0| = 0, |-3,5| = 3,5.

Cách giải:
Dạng 1: |A| = |B| ⇔ A2 = B2, |A| = |B| ⇔ A = ± B
Dạng 2:

B ≥ 0
⇔ 2
2
 A = B hoặc
|A| = B

 A ≥ 0

A= B
A=B⇔

 A < 0

 -A = B

B ≥ 0
A= B ⇔
 A = ±B
Dạng 3: Áp dụng đối với phương trình có nhiều biểu thức bậc nhất chứa dấu giá trị tuyệt đối.
i) Lập bảng xét dấu.
ii) Giải phương trình trong từng khoảng xác định của x.

Trang 20


Bài tập áp dụng
Bài tập 1: Giải phương trình: |3x| = x + 4.
Giải
| 3x | = 3x khi 3x ≥ 0 hay x ≥ 0;
| 3x | = − 3x khi 3x < 0 hay x < 0.
- Xét x ≥ 0: Phương trình đã cho trở thành: 3x = x + 4 ⇔ 2x = 4 ⇔ x = 2 (thỏa mãn điều kiện)
- Xét x < 0: Phương trình đã cho trở thành: -3x = x + 4 ⇔ -4x = 4 ⇔ x = -1 (thỏa mãn điều kiện)
Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là S = {-1; 2}.
Bài tập 2: Giải phương trình: |x - 3| = 9 - 2x.
Giải
|x - 3| = x - 3 khi x - 3 ≥ 0 hay x ≥ 3;
|x - 3| = -(x - 3) khi x - 3 < 0 hay x < 3.
Xét x ≥ 3: Phương trình đã cho trở thành: x - 3 = 9 - 2x ⇔ 3x = 9 + 3 ⇔ 3x = 12 ⇔ x = 4 (thỏa)
Với x < 3: Phương trình đã cho trở thành: -(x - 3) = 9 - 2x ⇔ -x + 3= 9 - 2x ⇔ x = 6 (không thỏa)
Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là S = {4}.
x +1 + x + 2 + x + 3 = 3

Bài tập 3: Giải phương trình sau:
.
Giải
Ta có bảng xét dấu:
x
-3
-2
- 1
x+1
↓
- ↓
0
+
x+2
↓
- ↓
0
+
+
x+3
↓
↓
- 0
+
+
+
Xét x ≤ −3 : Phương trình trở thành: -(x + 1) - (x + 2) - (x + 3) = 3 ⇔ -3x - 6 = 3 ⇔ x = -3(thỏa)
Xét -3 < x ≤ −2 : Phương trình trở thành: -(x+1)–(x+2)+(x+3) = 3 ⇔ -x = 3 ⇔ x = -3(không thỏa)
Xét -2 < x ≤ −1 : Phương trình trở thành: -(x + 1) + x + 2x + 3 = 3 ⇔ x + 4 = 3 ⇔ x = −1 (thỏa)
Xét x > -1 : Phương trình trở thành: x + 1 + x + 2 + x + 3 = 3 ⇔ 3x = −3 ⇔ x = −1 (không thỏa)

Vậy phương trình có tập nghiệm là S = {-1; -3}
5. Phương trình bậc hai một ẩn
Định nghĩa: Phương trình bậc hai một ẩn có dạng:
ax2 + bx + c = 0, a ≠ 0
trong đó a, b, c là các hệ số, x là ẩn số.
Cách giải:
Bước 1: Tính biệt thức: ∆ = b2 - 4ac. (hoặc tính ∆' = b'2 - ac, với b = 2b')
Bước 2: Lấy nghiệm của phương trình bậc hai theo ∆:
Nếu ∆ < 0: Phương trình vơ nghiệm.
b 
b' 
x = - , x = - ÷
2a 
a
Nếu ∆ = 0: Phương trình có nghiệm kép

Trang 21


Nếu ∆ > 0: Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

-b' ±Δ'
-b ±Δ
x
=

1,2
x1,2 =

a

2a
,


÷
÷


Lưu ý:
Điều kiện để phương trình ax2 + bx + c = 0, (a ≠ 0) có nghiệm, nếu xảy ra một trong các trường
hợp sau:
i) a.c < 0
ii) ∆ ≥ 0
Trường hợp đặc biệt:
c
x1 = 1; x 2 =
a.
- Nếu phương trình thỏa mãn: a + b + c = 0 thì phương trình có hai nghiệm là
c
x1 = -1; x 2 = a
- Nếu phương trình thỏa mãn: a - b + c = 0 thì phương trình có hai nghiệm là
Bài tập
Bài tập 1: Giải các phương trình sau:
a) 3x2 - 10x + 8 = 0
b) 4x2 - 8x = 0
Giải
a) ∆ = (-10)2 - 4.3.8 = 4 > 0 ⇒ ∆ = 4 = 2.
− ( − 10 ) + 2
− ( − 10) − 2 4
=2

=
2.3
2.3
3.
Phương trình có hai nghiệm phân biệt: x1 =
và x2 =
4 x = 0
x = 0
x − 2 = 0 ⇔ x = 2

b) 4x2 - 8x = 0 ⇔ 4x(x - 2) =0 ⇔ 
Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt x = 0; x = 2.
Bài tập 2: Giải các phương trình sau:
a) 2x2 - 18 = 0
b) 3x2 + 7x + 4 = 0
Giải
 x + 3 = 0  x = −3
x − 3 = 0 ⇔ x = 3
2
2

a) 2x - 18 = 0 ⇔ 2(x - 9) = 0 ⇔ 2(x + 3)(x - 3) = 0 ⇔ 
Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt x = 3; x = -3.
b) Tổng các hệ số: 3 - 7 + 4 = 0
4
Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 = 1 và x2 = 3 .
Bài tập 3: Giải phương trình sau:
a) 3x2 + 6 = 0
b) 3x2 + 5x + 3 - 3 = 0
Giải

6
x 2 = − ⇔ x 2 = −2 < 0
2
2
3
a) 3x + 6 = 0 ⇔ 3x = - 6
(vô lý)
Vậy phương trình vơ nghiệm.
b) 4x2 - 2 3 x + 3 - 1 = 0
⇔ (4x2 - 1) + (2 3 x +
⇔ (2x + 1)(2x - 1) +
⇔ (2x + 1)[(2x - 1) +
⇔ (2x + 1)(2x - 1 +

3)=0

3 (2x + 1) = 0
3]=0

3)=0

Trang 22


−1

x=

 2x + 1 = 0
 2x = −1

2
⇔
⇔

1− 3

 2x − 1 + 3 = 0
 2x = 1 − 3
 x = 2
⇔
−1
1− 3
x= ; x=
2
2 .
Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt

6. Phương trình trùng phương
Dạng phương trình: ax4 + bx2 + c = 0, (a ≠ 0)

(1)

Cách giải:
Bước 1: Đặt: t = x2, (t ≥ 0)
Bước 2: Khi đó phương trình được viết lại là:
at2 + bt + c = 0
(2)
Bước 3: Xét nghiệm của phương trình
Nếu phương trình (2) vơ nghiệm thì phương trình (1) cũng vơ nghiệm.
Nếu phương trình (2) có nghiệm kép dương thì phương trình (1) có hai nghiệm đối nhau.

Nếu phương trình (2) có nghiệm kép âm thì phương trình (1) vơ nghiệm.
Nếu phương trình (2) có hai nghiệm đều âm thì phương trình (1) vơ nghiệm.
Nếu phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt, trong đó có một nghiệm âm và một nghiệm
dương thì phương trình (1) có hai nghiệm đối nhau.
Nếu phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt đều dương thì phương trình (1) có hai cặp
nghiệm đối nhau từng đôi một.
Bài tập áp dụng
Bài tập 1: Giải phương trình: x4 - 5x2 - 36 = 0
Giải
Đặt: x2 = t ≥ 0.
Khi đó phương trình trở thành: t2 - 5t - 36 = 0 ⇔ t = 9 và t = -4 (loại)
Xét với t = 9 ⇔ x = 3 và x = -3.
Suy ra phương trình đã cho có 2 nghiệm x = 3 và x = -3.
Bài tập 2: Giải phương trình: x4 - 20x2 + 64 = 0
Giải
2
Đặt: x = t ≥ 0.
Khi đó phương trình trở thành: t2 - 20t + 64 = 0 ⇔ t = 4 và t = 16.
Với t = 4 suy ra x = 2 và x = -2
Với t = 16 suy ra x = 4 và x = -4
Suy ra phương trình đã cho có 4 nghiệm.
7. Phương trình vơ tỉ
Dạng 1: Phương trình
Cách giải:

Dạng 2: Phương trình
Cách giải:

A( x) = m

, (m là số thực không âm).

A ( x ) = m ⇔ A ( x ) = m2

A ( x) = B( x)

Trang 23


B ( x ) ≥ 0
A ( x ) = B( x ) ⇔ 
2
A ( x ) =  B ( x ) 
Chú ý:
- Ta có thể bình phương cả hai vế nếu cả hai vế không âm.
- Trong một phương trình có nhiều dấu căn, muốn bình phương hai vế phải chuyển về hai vế cùng
không âm hoặc dương rồi mới bình phương.
Bài tập 1: Giải các phương trình sau:
a)

2x − 1 = 7 ;

b)

x 2 + 4x + 13 = 5 .

Giải

2x − 1 = 7
⇔ 2x − 1 = 49 ⇔ 2x = 50 ⇔ x = 25.

a)

b)

x 2 + 4x + 13 = 5

x = 2
⇔ x 2 + 4x + 13 = 25 ⇔ x 2 + 4x − 12 = 0 ⇔ 
 x = −6

Bài tập 2: Giải các phương trình sau:
a) x − 2x + 3 = 0 ;
Giải

b)

25 − x 2 = x − 1 ;

c)

x + 4 − 1 − x = 1 − 2x

a) x − 2x + 3 = 0

x ≥ 0
x
≥
0
x

≥
0



⇔ 2x + 3 = x ⇔ 
⇔ 2
⇔   x = −1 ≤ 0 ( loaïi )
2
2x + 3 = x
 x − 2x − 3 = 0
  x = 3 nhaä
( n)
 
b)

25 − x 2 = x − 1

x ≥ 1
x ≥ 1
x ≥ 1

 x − 1 ≥ 0
 x = −3 ≤ 1( loaïi )
⇔
⇔
⇔
⇔




2
2
2
2
2x
−
2x
−
24
=
0
x
−
x
−
12
=
0
25
−
x
=
x
−
1
(
)



  x = 4 nhaä

( n)
 

c)

x + 4 − 1 − x = 1 − 2x


 x ≥ −4
x + 4 ≥ 0

1

1 − x ≥ 0 ⇔  x ≤ 1 ⇔ −4 ≤ x ≤
2
1 − 2x ≥ 0

1

x ≤

2
Điều kiện:
Ta có: x + 4 − 1 − x = 1 − 2x

Trang 24

⇔ x + 4 = 1 − 2x + 1 − x
⇔ x + 4 = 2 − 3x + 2 1 − 2x. 1 − x
⇔ 4x + 2 = 2 2x 2 − 3x + 1
⇔ 2x 2 − 3x + 1 = 2x + 1
2x + 1 ≥ 0
⇔ 2
2
2x − 3x + 1 = ( 2x + 1)
1

x ≥ −
⇔
2
2x 2 + 7x = 0

1

x
≥
−

2

⇔   x = 0 ( nhaä
n)

  x = − 7 < − 1 ( loaïi )
 
2
2

1

x ≥ − 2

1

−4 ≤ x ≤
2

 x = 0 ( nhaä
n)

Kết hợp điều kiện, ta được: 
Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm x = 0.
Bài tập 3: Giải các phương trình sau:
a) x + 5x + 1 = 2x − 1
Giải tương tự bài tập 2.
Bài tập 4: Giải các phương trình sau:
2

a)

x + 2 2x + 2 + 3 =

b)

2x + 3 + 5 − 8x = 4x + 7

x +1
2

b)

x + 3 + 4 x −1 + x + 8 − 6 x −1 = 5 ;

c)

x + 2− 4 x − 2 + x + 7−6 x − 2 =1
Giải

x +1
⇔ 2x + 2 2x + 2 + 4 = x + 1
2
a)
(1)
2
t −2
t = 2x + 2 ≥ 0 ⇔ t 2 = 2x + 2 ⇒ x =
2
Đặt:
x + 2x + 2 + 2 =

Trang 25