De HSG Toan 720162017 53

<span class='text_page_counter'>(1)</span>céng hoµ x· héi chñ nghÜa viÖt nam độc lập- tự do- hạnh phúc I.Tªn s¸ng kiÕn: “Một số phương pháp giải toán hình học lớp 7. ” II.T¸c gi¶ s¸ng kiÕn: Hä vµ tªn:Trung V¨n §øc Chøc vô: Gi¸o viªn §¬n vÞ c«ng t¸c:Trêng THCS lai Thµnh III.Néi dung s¸ng kiÕn:. 1.Lí do chọn đề tài.. + Ngoài việc giảng dạy,công việc nghiên cứu đóng vai trò quan trọng trong việc nâng cao trình độ chuyên môn của người giáo viên, góp phần ngày càng nâng cao chất lượng dạy - học. + Từ những nhận thức trên đây, bản thân tôi là một giáo viên giảng dạy bộ môn khoa học tự nhiên càng thấy rõ vai trò và trách nhiệm của mình trong việc dạy học, nghiên cứu. + Có thể khẳng định rằng môn Hình học là môn tương đối khó, trừu tượng đối với học sinh nói chung. Đặc biệt là học sinh lớp 7 vì các em mới làm quen xơ qua môn học này ở lớp 6.Vì vậy các em gặp nhiều khó khăn trong việc giải bài tập cũng như tiếp thu kiến thức còn lan man, do đó việc tổ chức cho học sinh tìm ra các phương pháp chứng minh các dạng toán hình học là rất cần thiết. + Chính vì những lí do trên mà bản thân tôi đã chọn đề tài nghiên cứu "Một số phương pháp giải toán hình học lớp 7" nhằm một phần nhỏ vào việc giúp đỡ học sinh nắm vững và hiểu rõ một số phương pháp (cơ bản) giải một số dạng toán hình học lớp 7, tạo cơ sở để học tiếp phân môn hình học ở các lớp trên.. 2.Mục đích nghiên cứu. - Nhằm rèn luyện cho học sinh khả năng nhìn nhận, tư duy chính xác, hợp lôgíc. Việc tìm ra phương pháp giải toán hình học có tác dụng lớn trong việc rèn luyện cho học sinh phương pháp khoa học trong suy luận, biến các kiến thức thu nhận được thành công cụ để nhận thức và học tập. -Tìm hiểu một số phương pháp chứng minh hình học 7. -Hệ thống hóa và bổ sung những kiến thức liên quan chương trình hình học 7 -Đưa ra một số bài toán và cách giải.. II. NỘI DUNG *Các phương pháp chứng minh định lý : Muốn chứng minh định lý " Nếu A thì B " ( ký hiệu A ⇒ B) ta có thể dùng một trong những phương pháp sau đây : 1. Chứng minh rằng từ A ta suy ra C rồi từ C ta suy ra B . Phương pháp này gọi là phương pháp: chứng minh trực tiếp ..

<span class='text_page_counter'>(2)</span> 2. Giả sử A ta suy ra B̄ ( B̄ có nội dung trái ngược với B ) ta dẫn đến một điều vô lý . Vậy giả sử trên là sai, nghĩa là từ A suy ra B là đúng . Phương pháp này gọi là phương pháp: chứng minh phản chứng . *Các phương pháp chứng minh hai góc là đối đỉnh : Muốn chứng minh hai góc xOy và x'Oy' là hai góc đối đỉnh ta có thể dùng một trong những phương pháp sau đây : 1. Chứng minh rằng tia Ox là tia đối của tia Ox' ( hoặc Oy' ) và tia Oy là tia đối của tia Oy' ( hoặc Ox' ), tức là hai cạnh của một góc là tia đối của hai cạnh của góc kia ( định nghĩa ). 2. Chứng minh rằng ∠ xOy = ∠ x'Oy' ; tia Ox và tia Ox' đối nhau còn hai tia Oy và tia Oy' nằm trên hai nửa mặt phẳng đối nhau có bờ là đường thẳng xx' (hệ quả của định nghĩa ). *Các phương pháp chứng minh một điểm là trung điểm của một đoạn. thẳng : Muốn chứng minh rằng điểm B là trung điểm của đoạn thẳng AC ta có thể dùng một trong những phương pháp sau đây: 1.Chứng minh rằng: AB + BC = AC và AB = BC (định nghĩa ). 2.Chứng minh rằng: Điểm B nằm giữa hai điểm A, C và AB = AC (hệ quả của định nghĩa ). 3.Chứng minh rằng: Ba điểm A, B, C thẳng hàng và AB = BC (hệ quả của định nghĩa ). 4.Chứng minh rằng: Ba điểm A, B, C thẳng hàng và AB, BC là hai cạnh tương ứng của hai tam giác bằng nhau.. *Các phương pháp chứng minh một đường thẳng là đường trực của một đoạn thẳng : Muốn chứng minh rằng đường thẳng a là đường trung trực của đọan thẳng AB ta có thể dùng một trong những phương pháp sau đây : 1.Chứng minh rằng a vuông góc với AB tại trung điểm I của AB ( định nghĩa ) 2. Lấy một điểm M tùy ý trên đường thẳng a rồi chứng minh MA = MB. *Các phương pháp chứng minh hai góc bằng nhau: Muốn chứng minh hai góc bằng nhau ta có thể dùng một trong những phương pháp sau đây : 1.Chứng minh hai góc có cùng số đo. 2.Chứng minh hai góc cùng bằng một góc thứ ba,chứng minh hai góc cùng phụ với một góc ,chứng minh hai góc cùng bù với một góc . 3.Chứng minh hai góc cùng bằng tổng ,hiệu của hai góc tương ứng bằng nhau. 4.Chứng minh hai góc đó đối đỉnh. 5.Chứng minh hai góc cùng nhọn hoặc cùng tù có cạnh tương ứng song song hoặc vuông góc. 6.Chứng minh hai góc đó là hai góc tương ứng của hai tam giác bằng nhau. 7.Chứng minh hai góc đó là hai góc đáy của một tam giác cân. 8.Chứng minh hai góc đó là hai góc của một tam giác đều. 9.Chứng minh dựa vào định nghĩa tia phân giác của một góc. 10.Chứng minh dựa vào tính chất của hai đường thẳng song song (đồng vị, so le, ...).

<span class='text_page_counter'>(3)</span> *Các phương pháp chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau : Muốn chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau ta có thể dùng một trong những phương pháp sau đây : 1.Chứng minh hai đoạn thẳng có cùng số đo. 2.Chứng minh hai đoạn thẳng cùng bằng một đoạn thẳng thứ ba. 3.Chứng minh hai đoạn thẳng cùng bằng tổng, hiệu, ... của hai đoạn thẳng bằng nhau đôi một. 4.Chứng minh hai đoạn thẳng là hai cạnh tương ứng của hai tam giác bằng nhau. 5.Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau được suy ra từ tính chất của tam giác cân, tam giác đều, tam giác vuông, v.v... 6.Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau dựa vào định nghĩa trung điểm của đoạn thẳng ,định nghĩa trung tuyến của tam giác,định nghĩa trung trực của đoạn thẳng,định nghĩa phân giác của một góc . 7.Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau dựa vào tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền. 8.Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau dựa vào tính chất giao điểm ba đường phân giác trong tam giác,tính chất giao điểm ba đường trung trực trong tam giác. 9.Chứng minh dựa vào định lí Pitago.. *Các phương pháp chứng minh hai đường thẳng song song : Muốn chứng minh rằng a // b ta có thể dùng một trong những phương pháp sau đây : 1. Chứng minh hai góc so le trong bằng nhau : a 4A 3 ^ ^ ^ ^ A 1= B 1 hoặc A 2= B2 ( dấu hiệu song song ) 1 2 2. Chứng minh hai góc đồng vị bằng nhau : ^ ^3 A 1= B hoặc ^A 2= B^ 4 hoặc ^A 3= B^ 1 hoặc ^A 4 =B^ 2 b 2 1 (Dẫn tới dấu hiệu song song ). 3 B4 3. Chứng minh hai góc trong cùng phía bù nhau : 0 ^ ^ 2=1800 hoặc ^ A 1 +B A 2 + ^B4=180 c ( Dẫn tới dấu hiệu song song ). 4. Chứng minh hai góc sole ngoài bằng nhau (Dẫn tới dấu hiệu song song ). 5. Chứng minh hai góc ngoài cùng phía bù nhau (Dẫn tới dấu hiệu song song ). c 6.Chứng minh a và b cùng vuông góc a với một đường thẳng c nào đó. 7.Chứng minh a và b cùng song song với một đường thẳng c nào đó. b 8. Để chứng minh a//b . Ta giả sử a và b có điểm chung rồi dẫn đến một điều vô lý ( chứng minh bằng phản chứng ). *Các phương pháp chứng minh hai đường thẳng vuông góc : Muốn chứng minh hai đường thẳng vuông góc với nhau ta có thể dùng một trong những phương pháp sau đây :.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> 1.Chứng minh rằng một trong những góc tạo thành bởi hai đường thẳng ấy là góc vuông (định nghĩa ) . 2.Chứng minh dựa vào tính chất hai tia phân giác của hai góc kề bù. 3.Chứng minh dựa vào tính chất tổng các góc trong một tam giác bằng 180 ❑0 ,đi chứng minh cho tam giác có hai góc phụ nhau suy ra góc thứ ba bằng 90 ❑0 . 4.Chứng minh dựa vào định lí "đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì vuông góc với đường thẳng kia ". 5.Chứng minh dựa vào định nghĩa ba đường cao của tam giác, định nghĩa đường trung trực của đoạn thẳng. 6.Chứng minh dựa vào tính chất của tam giác cân , tam giác đều. 7.Chứng minh dựa vào tính chất ba đường cao của tam giác. 8.Chứng minh dựa vào định lí Pitago 9.Chứng minh dựa vào định lí nhận biết một tam giác vuông khi biết tam giác này có trung tuyến thuộc một cạnh bằng nửa cạnh ấy.. *Các phương pháp chứng minh hai tam giác vuông bằng nhau: Muốn chứng minh rằng hai tam giác vuông bằng nhau ta có thể dùng một trong những phương pháp sau: 1.Chứng minh hai tam giác ấy có hai cạnh góc vuông bằng nhau từng đôi một (c.g.c). 2.Chứng minh hai tam giác ấy có cạnh huyền và một góc nhọn bằng nhau từng đôi một (dẫn tới trường hợp bằng nhau c.g.c) 3.Chứng minh hai tam giác ấy có cạnh huyền và một cạnh góc vuông bằng nhau từng đôi một (định lí ) 4. Chứng minh hai tam giác ấy có một cạnh góc vuông và một góc nhọn bằng nhau từng đôi một (dẫn tới trường hợp bằng nhau g.c.g). *Các phương pháp chứng minh một tam giác là tam giác cân là tam giác đều : *Muốn chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác cân ta có thể dùng một trong những phương pháp sau : 1.Chứng minh rằng : AB = AC hoặc BA = BC hoặc CA = CB ( định nghĩa ). ^ hoặc ^ ^ hoặc B ^ =^ A . A=C 2.Chứng minh rằng : B^ =C 3.Chứng minh rằng:Một đỉnh nằm trên đường trung trực của cạnh đối diện ( để dẫn tới định nghĩa ). 4.Chứng minh rằng : Đường trung tuyến xuất phát từ một đỉnh trùng với đường cao phát xuất từ đỉnh ấy (để dẫn tới định nghĩa ). *Muốn chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác đều ta có thể dùng một trong những phương pháp sau đây : 1.Chứng minh rằng : AB = BC = CA ( định nghĩa ). 0 0 0 ^ ^ C=60 ^ ^ ^ 2.Chứng minh rằng : ^A= B=60 hoặc B= hoặc . A=C=60 3.Chứng minh rằng : Tam giác ABC là tam giác cân có một góc bằng 60 ❑0 (để dẫn tới định nghĩa ).. *Các phương pháp chứng minh đường vuông góc :.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> Muốn chứng minh AH là đường vuông góc kẻ từ điểm A đến đường thẳng a ta có thể dùng một trong những phương pháp sau đây: 1.Chứng minh : AH a (định nghĩa). 2.Lấy một điểm B tùy ý trên a . Chứng minh AH < AB . (Dễ chứng minh AH a bằng phản chứng ).. *Các phương pháp chứng minh 3 điểm thẳng hàng: Muốn chứng minh 3 điểm thẳng hàng ta có thể dùng một trong những phương pháp sau: 1.Sử dụng hai góc kề bù có ba điểm cùng nằm trên hai cạnh là hai tia đối nhau. x. Ta có ∠ BAx + ∠ xAC = 180 ❑0 ⇒ B, A, C thẳng hàng. B A C 2.Chứng minh ba điểm cùng thuộc một tia hoặc cùng thuộc một đường thẳng. 3.Chứng minh trong ba đoạn nối hai trong ba điểm có một đoạn thẳng bằng tổng của hai đoạn thẳng kia. A C B B A C ; AB = AC + CB BC = BA + AC A B C AC = AB + BC 4.Chứng minh hai đường thẳng đi qua hai trong ba điểm ấy cùng song song với đường thẳng thứ ba A. B C. a. AB, AC cùng song song với a hoặc BA, BC cùng song song với a hoặc CA, CB cùng song song với a 5.Sử dụng vị trí của hai góc đối đỉnh.. ⇒. A, B, C thẳng hàng ..

<span class='text_page_counter'>(6)</span> B A. 1. a. 2 C Đường thẳng a đi qua A, nếu ta chứng minh được ^A 1= ^A 2 thì ba điểm B, A, C thẳng hàng. 6.Chứng minh hai đường thẳng đi qua hai trong ba điểm ấy cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba AB, AC cùng vuông góc với a ⇒ A, B, C thẳng hàng. hoặc BA, BC cùng vuông góc với a hoặc CA, CB cùng vuông góc với a 7.Đường thẳng đi qua hai trong ba điểm có chứa điểm thứ ba. 8.Sử dụng tính chất đường phân giác của một góc, tính chất đường trung trực của đoạn thẳng, tính chất ba đường cao, ... trong tam giác.. *Các phương pháp chứng minh 3 đường thẳng đồng quy: Muốn chứng minh 3 đường thẳng đồng quy ta có thể dùng một trong những phương pháp sau: 1.Tìm giao của hai đường thẳng, sau đó chứng minh đường thẳng thứ ba đi qua giao của hai đường thẳng trên. 2.Chứng minh một điểm thuộc ba đường thẳng. 3.Chứng minh dựa vào tính chất đồng quy trong tam giác: Ba đường thẳng chứa các đường trung tuyến, các đường phân giác, các đường trung trực, các đường cao của tam giác.. *Một số bài toán áp dụng 1.Bài toán 1. Cho điểm A nằm ngoài đường thẳng a cho trước. Gọi I là một điểm trên đường thẳng a sao cho AI là đoạn nhỏ nhất trong các đoạn nối điểm A với một điểm của đường thẳng a. Trên a lấy hai điểm B và C sao cho I là trung điểm của đoạn BC và BC = AI. a.Chứng minh rằng tam giác ABC cân. b.Gọi Bx là tia phân giác của góc ABC. Chứng minh rằng tia Bx không cùng vuông góc với đường thẳng AC. Giải a.Vì AI là đoạn nhỏ nhất trong các đoạn nối điểm A với một điểm của đường thẳng a nên AI BC. A Hơn nữa, I là trung điểm của BC nên AI là đường trung trực của đoạn BC. Do đó AB = AC, nghĩa là tam a giác ABC cân tại A. b.Xét tam giác vuông AIB .. x K B. I. C.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> Ta thấy cạnh huyền BC là cạnh lớn nhất,nên: AB > AI ⇒ AB > BC. Gọi K là giao điểm của Bx và AC.Ta cần chứng minh : BK không vuông góc với AC. Ta chứng minh bằng phản chứng. Giả sử BK AC . Vì BK là phân giác của góc B nên tam giác ABC cân đỉnh B, tức là BA = BC. Vô lí, vì ở trên đã chứng minh được AB > BC. Như vậy, giả sử BK AC là sai, nghĩa là BK không vuông góc với AC, hay Bx không vuông góc với AC. 2.Bài toán 2. Cho góc vuông xOy, điểm A thuộc tia Ox, điểm B thuộc tia Oy. Đường trung trực của đoạn thẳng OA cắt Ox ở D, đường trung trực của đoạn thẳng OB cắt Oy ở E. Gọi C là giao điểm của hai đường trung trực đó. Chứng minh rằng: a) CE = OD; b) CE CD; c) CA = CB; d) CA // DE; e) Ba điểm A, B, C thẳng hàng. Giải a)Chứng minh CE = OD y Ta có : CE // OD (cùng vuông góc ^ 1 =O ^1 với OB) suy ra C (so le trong) B Δ OCE=Δ COD (cạnh huyền góc nhọn) suy ra CE = OD E C 1 b)Chứng minh CE CD Ta có :CD // OE (cùng vuông góc O 1 với OA) D A x suy ra ∠ BEC =∠ECD (so le trong). Ta lại có ∠ BEC=900 nên ∠ ECD=900 Vậy CE CD. c)Chứng minh CA = CB Ta có : CD là đường trung trực của OA ⇒ CO = CA. CE là đường trung trực của OB ⇒ CO = CB. Do đó CA = CB. d) Chứng minh CA // DE Ta có CE = OD (theo câu a)) mà OD = DA nên CE = DA Ta lại có ∠ECD=900 (theo câu b)) ⇒ ∠ CDE=∠ ACD⇒ CA // DE (hai góc so le trong Do đó Δ ECD=Δ ADC (c.g.c) bằng nhau. e)Chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng Cách 1 : Theo câu d): CA // DE. Chứng minh tương tự ta cũng có: CB // DE..

<span class='text_page_counter'>(8)</span> Qua C ta có CA và CB cùng song song với DE nên theo tiên đề Ơ-clit thì ba điểm A , C, B thẳng hàng. ΔOCA cân ⇒ đường cao CD là đường phân giác Cách 2 : Ta có CO = CA ⇒ của góc OCA ⇒ ∠OCD=∠ ACD⇒ ∠OCA=2 ⋅∠ OCD . Chứng minh tương tự , ta cũng có: ∠ OCE=∠ BCE⇒ ∠ OCB=2⋅∠ OCE Dođó: ∠ OCA +∠ OCB=2 ⋅∠ OCD+2⋅∠ OCE=2(∠ OCD +∠ OCE)=2⋅∠ ECD=2⋅ 900=180 0 Vậy ba điểm A , C, B thẳng hàng. 3.Bài toán 3. Cho tam giác ABC,có trung tuyến AM, các điểm E,D thuộc các cạnh AB,AC sao cho 1. 1. AE = 3 AB và AD = 3 AC. Chứng minh rằng AM, BD và CE đồng quy. Giải. A MB = MC GT : AE = AD =. 1 AB 3 1 AC 3. E. D O. B. Q C. KL : AM, BD, CE đồng quy. M Lời giải (tóm tắt) Trên AB xác định E và K sao cho AE = EK = KB Trên AC xác định D và Q sao cho AD = DQ = QC Gọi O là giao điểm của AM và BD, ta có MQ // BD Xét tam giác AMQ có: AD = DQ ( gt) ⇒ OA = OM DO // MQ Vậy O là trung điểm của AM. Chứng minh tương tự , ta có CE qua trung điểm O của AM. Vậy AM , BD và CE đồng quy.. *Ngụy biện toán học: Góc vuông bằng góc tù. Có người đã thử chứng minh góc vuông bằng góc tù như sau: Lấy một đoạn thẳng AB. Trong cùng một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng AB dựng hai tia Ax và Ay sao cho ∠ BAx = 90 ❑0 và ∠ ABy > 90 ❑0 . Lấy trên hai tia Ax và By theo thứ tự O các điểm C và D sao cho AC = BD. Gọi O là giao điểm của hai đường trung trực của hai đoạn AB và CD. A I B Xét hai tam giác OAC và OBD chúng có : OA = OB (vì O nằm trên đường trung trực của AB ). OC = OD (vì O nằm trên D đường trung trực của CD ). C x K y AC = CD (giả thiết )..

<span class='text_page_counter'>(9)</span> Vậy Δ OAC = Δ OBD (c.c.c). suy ra ∠ OAC = ∠ OBD (1) Theo chứng minh trên thì OA = OB nên AOB cân, từ đó ∠ OAB = ∠ OBA (2) Trừ (1) và (2) vế với vế ta được ∠ OAC - ∠ OAB = ∠ OAB - ∠ OBA ⇒ ∠ BAC = ∠ ABD Mà ∠ BAC = 90 ❑0 và ∠ ABD > 90 ❑0 nên ta được góc vuông bằng góc tù !.. Sai lầm ở đâu?. Trả lời là : Vị trí của điểm O là sai. Hai điểm O và A nằm trong hai nửa mặt phẳng đối nhau có bờ đường thẳng BD. Lúc này hai tam giác OAC và OBD vẫn bằng nhau nhưng không suy ra được góc vuông bằng góc tù. Nghịch lí này nhắc những người làm toán hình học vai trò vị trí quan trọng của các điểm và vị trí các hình nói chung.. III.KẾT LUẬN Nhờ áp dụng một số các phương pháp chứng đã nêu, trong quá trình dạy học của bản thân cũng như quá trình học tập của học sinh tôi thu được một số kết quả sau: Học sinh hiểu bài nhanh hơn, không chỉ ngừng lại ở chỗ nắm vững kiến thức cơ bản mà học sinh còn có khả năng hệ thống ( theo dạng nhành cây ), giúp việc "phân tích ngược" khi chứng minh hình học. Từ đó học sinh tư duy, lí luận cao, chặt chẽ và logic hơn. Biểu hiện là từ một bài toán hay một dạng toán đã biết mà giáo viên đưa ra các bài toán tương tự thì hầu hết các em làm được.Đặc biệt đã có những em đã biết khai thác, phát triển bài toán và biết làm theo nhiều cách khác nhau. Học sinh đa số không còn chây lười trong học tập mà đã tạo ra tâm thế đúng đắn hơn trong trong việc học bộ môn hình học. Thể hiện là các em làm bài tập tương đối đầy đủ ở nhà trước khi đến lớp. Các em hứng thú, say mê hơn trong học tập bộ môn. Qua việc thực hiện nghiên cứu đề tài đã giúp tôi tìm hiểu kĩ hơn chương trình toán hình học lớp 7.Với những kinh nghiệm đã nêu trong đề tài, do điều kiện còn hạn hẹp chắc chắn vẫn còn hạn chế. Rất mong sự góp ý của các đồng nghiệp.Bản thân tôi xin tiếp thu và chân thành cảm ơn!. Lai Thµnh, ngµy 19 th¸ng 4 n¨m 2009 C¬ quan chñ qu¶n T¸c gi¶ s¸ng kiÕn phßng gd&®t huyÖn kim s¬n trêng thcs lai thµnh. §øc céng hoµ Trung x· héiV¨n chñ nghÜa viÖt nam §éc lËp -tù do- h¹nh phóc. s¸ng kiÕn kinh nghiÖm “Một số phương pháp giải toán hình học lớp 7’’.

<span class='text_page_counter'>(10)</span>