De HSG Toan 820162017 127

<span class='text_page_counter'>(1)</span>UBND HUYỆN LONG PHÚ PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO. KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN Năm học 2014-2015 Khóa ngày 18/01/2015. MÔN THI: TOÁN LỚP 8 (Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề) Đề thi này có 01 trang Bài 1: (4,0 điểm). x y z   a) Cho 2 3 4 . Tìm giá trị của biểu thức :. M=. y+z-x x-y+z. 2 b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : f(x) = - x  5x + 3. Bài 2: (6,0 điểm). a) Tìm x, biết rằng:. 1 1  0,75x +4 4  1 =  11.13  13.15  ... + 19.21  : x 231   b) Rút gọn biểu thức sau đây:. 1 x 1+x + 2 1 x + x2 C = 1 x + x 1+ x 1-x 1 x + x2 1 - x + x2 Bài 3: (2,0 điểm). Trong một trường có ba lớp 7 . Biết rằng 2/3 số học sinh lớp 7A bằng 3/4 số học sinh lớp 7B và bằng 4/5 số học sinh lớp 7C. Lớp 7 C có số học sinh ít hơn tổng số học sinh của hai lớp kia là 57 bạn . Tính số học sinh mỗi lớp. Bài 4: (4,0 điểm). Cho tam giác ABC, các đường cao AK và BD cắt nhau tại G. Vẽ đường trung trực HE, HF của AC và BC. Chứng minh rằng : BG = 2HE và AG = 2HF Bài 5: (4,0 điểm). Cho tứ giác ABCD. Gọi E, F, I theo thứ tự là trung điểm của các đoạn thẳng AD, BC, AC. a) Chứng minh rằng EI // CD; FI // AB b) Chứng minh hệ thức. EF . AB + CD 2. c) Từ hệ thức trên, suy ra rằng dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi tứ giác ABCD là hình thang. -------Hết------Họ tên thí sinh:……………………………………………………….. Số báo danh:…… 1.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> Chữ ký của giám thị 1:………………... Chữ ký của giám thị 2:…………………………. UBND HUYỆN LONG PHÚ PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO. KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN Năm học 2014-2015 Khóa ngày 18/01/2015. HƯỚNG DẪN CHẤM Môn: Toán lớp 8 Bài 1: (4,0 điểm) a) (2,0 điểm) x y z   =k 0 2 3 4. Đặt. (0,5 điểm).  x = 2k , y = 3k, z = 4k. (0,5 điểm). Khi đó: y+z-x 3k + 4k - 2k M= = x-y+z 2k - 3k + 4k. (0,5 điểm). 5k 5 = 3k 3. (0,5 điểm). b) (2,0 điểm) f(x) = - x 2  5x + 3 = - ( x2 - 5x - 3 ). (0,25 điểm). M=. 25 37 5 2 4 4 2 = - (x – 2. .x +. ). (0,5 điểm). 2.  5 37     x -   2 4   . (0,5 điểm). 2. 5 37   - x -  + 2 4 . (0,25 điểm). Do 2. 5  -  x -   0 nên 2 . 5  x   2 . 2. lớn nhất là 0 khi. 37 Vậy f (x) có giá trị lớn nhất là 4. x=. 5 2. (0,25 điểm) (0,25 điểm). Bài 2: (6,0 điểm) a) (3,0 điểm) Ta có: 2.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> 1 1 1 + +... 11.13 13.15 19.21 1 1 1 1 1 1  1 1 1  =   +    + ... +    2  11 13  2  13 15  2  19 21 . . . (0,5 điểm). 1 1 1 1 1 1 1    + ... +     2  11 13 13 15 19 21 . (0,25 điểm). 1 1 1     2  11 21 . (0,25 điểm). Do đó:. 1  1 1  0, 75x + 4 4  : =   2  11 21  x 231 8  1 1  0, 75x + 4    =  : x 231  11 21  (0,25 điểm). . 10 0, 75x + 4 8 : = 231 x 231 (0,25 điểm). . 0, 75x + 4 10 8 10 5 = : = = = 1,25 x 231 231 8 4 (0,5 điểm).  0, 75x + 4 = 1,25x. (0,5 điểm). . 0,5x = 4. (0,25 điểm). . x =8. (0,25 điểm). b) (3,0 điểm) Ta có :. 1-x 1+x 1 - x 3 + 1 +x 3 2 + = = 1 - x + x2 1  x + x2 1 - x + x2 1 + x + x2 1 - x + x2 1 + x + x2. . .  . 3. 3. . .  . 3. ( 1 điểm). 3. 1+x 1-x 1 + x - 1 +x 2x = = 1 + x + x2 1 - x + x2 1 + x + x2 1 - x + x2 1 + x + x2 1 - x + x2. . . . . ( 1 điểm).

<span class='text_page_counter'>(4)</span> Vậy:. C=. 2 1- x + x 2 1 + x + x 2. . . 2x 3 1 + x + x2 1 - x + x2. .  . . =. 2 1 = 2x 3 x3 ( 1 điểm). Bài 3: (2,0 điểm). * Gọi x, y, z lần lượt là số học sinh của các lớp 7A, 7B, 7C (x, y, z  N ). (0,25 điểm) Theo đề bài ta có: 2 3 4 x= y= z 3 4 5 (0,2 5 điểm) x y z x+y-z 57  = = = = = 36 3 4 5 3 4 5 19  2 3 4 2 3 4 12 (1 điểm). 3 = 54 2 - Lớp 7A có học sinh 4 36 . = 48 3 - Lớp 7B có học sinh 36 .. - Lớp 7C. 36 .. (0,5 điểm). 5 = 45 4 học sinh. Bài 4: (4,0 điểm). A D I. E. G H. B. K. C F. Chứng minh rằng : BG = 2HE và AG = 2HF Lấy I đối xứng với C qua H, kẻ AI và BI. Ta có HE là đường trung bình của tam giác ACI, nên: 4. (0,5 điểm).

<span class='text_page_counter'>(5)</span> IA HE // IA và HE = 2. ( 1). (0,5 điểm). ( 2). (0,5 điểm). Tương tự, trong tam giác CBI: IB HF // IB và HF = 2. Từ BG  AC và HE  AC ( gt) Suy ra BG // IA ( 3) Tương tự : AK  BC và HF  BC ( gt) Suy ra AG // IB ( 4) Từ ( 3) và ( 4) suy ra BIAG là hình bình hành Do đó: BG = IA và AG = IB. Kết hợp với các kết quả ( 1) và ( 2) Suy ra : BG = 2 HE và AG = 2 HF. (0,5 điểm) (0,5 điểm) (0,5 điểm) (0,5 điểm) (0,5 điểm). Bài 5: (4,0 điểm). B. A. F E I D C. a) Chứng minh rằng EI // CD; FI // AB Ta có: EI là đường trung bình của tam giác ACD. (0,25 điểm). Suy ra: EI // CD. (0,25 điểm). Tương tự, ta có: FI là đường trung bình của tam giác ABC. (0,25 điểm). Suy ra: FI // AB. (0,25 điểm). b) Chứng minh hệ thức. EF . AB + CD 2. Ta có: EI là đường trung bình của tam giác ACD Suy ra:. EI =. 1 DC 2. (1) 5. (0,25 điểm).

<span class='text_page_counter'>(6)</span> Tương tự :. IF =. 1 AB 2. (2). (0,25 điểm). Trong tam giác EIF, theo bất đẳng thức tam giác, ta có: EF  EI + IF. Suy ra:. EF . (0,5 điểm). 1  AB + CD  2. (0,5 điểm). c) Từ hệ thức trên, suy ra rằng dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi tứ giác ABCD là hình thang. Khi tứ giác ABCD là hình thang thì ba điểm E, I, F thẳng hàng, lúc đó EF = EI + IF Suy ra:. EF =. (0,25 điểm) AB + CD 2. Ngược lại: nếu ta có. EF =. (0,25 điểm) AB + CD 2 thì EF = EI + IF. (0,25 điểm). Suy ra: ba điểm E, I, F thẳng hàng. (0,25 điểm). Do EI // CD và FI // AB mà E, I, F thẳng hàng nên AB // CD. (0,25 điểm). Suy ra: tứ giác ABCD là hình thang.. (0,25 điểm). * Ghi chú : Thí sinh có thể giải theo cách khác. Nếu đúng vẫn cho trọn số điểm theo qui định của từng bài -------Hết-------. 6.

<span class='text_page_counter'>(7)</span>